22. Микки С.М., Антар Ю.М. 2011 г. О пространственной структуре антенны электромагнитного ближнего поля . На Генеральной ассамблее и научном симпозиуме , 2011, XXXI URSI, Стамбул, Турция, 13–20 августа . С. 1–4.

25.Эме Дж., Руде Дж., Клавель Э, Ауин О, Лабарр С., Коста Ф, Экраби Дж. 2007 г. Прогнозирование и измерение ближнего магнитного поля статического преобразователя . В Industrial Electronics, 2007. ISIE 2007. IEEE Int. Symp ., Виго, Испания, 4–7 июня , стр. 2550–2555. Пискатауэй, Нью-Джерси: IEEE.

43. Cullwick EG. 1949 г. Основы электромагнетизма . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.

(PDF) Векторный потенциал, электромагнитная индукция и «физический смысл»

, где A0 — амплитуда векторного потенциала, а его угловая частота.

Следовательно, измерение интенсивности и частоты волны дает A0.

Однако, поскольку измерение Максвеллом коэффициента жесткости эфира

не обеспечивает физического смысла эфира, поэтому измерение

амплитуды векторного потенциала не дает физического смысла

. векторный потенциал. В конце концов, векторный потенциал может быть, как и эфир,

теоретическим термином, от которого можно отказаться. Эти соображения приводят нас к решающему пункту

: физический смысл теоретического термина опирается, в первую очередь, на теоретические основания

.Мы предполагаем, что теоретический термин имеет физическое значение

, если:

(C1) его исключение снижает предсказания — экспериментально проверяемые — теории

7;

или, в более слабом смысле, если

(C2), его исключение снижает описательную эффективность теории.

Электромагнитные потенциалы удовлетворяют обоим критериям. Что касается (C1), потенциалы

позволяют локально и лоренцево ковариантное описание явления электромагнитной индукции

, невозможного с точки зрения полей [9]; что касается (C2), потенциалы

прозрачным и «спонтанным» путем приводят к пространственно-временной формулировке электромагнетизма

.

Критерии (C1) и (C2), конечно, могут быть применены также к потенциалам

, полученным из пары, однозначно определенной в соответствии с процедурой, описанной в разделе

4. Эти пары потенциалов могут быть отброшены без уменьшения прогнозируемого

сила теории; остается спорным, снижает ли их отбрасывание описательную эффективность теории (калибровочная инвариантность) [2] [14] [17].

Вышеупомянутые критерии могут быть плодотворно использованы при решении большого количества вопросов

.Конечно, их применение, будучи теоретически зависимым, дает результаты, которые зависят от времени. Во времена Максвелла, например, концепция эфира имела, согласно нашему определению, «физический смысл»; сегодня, поскольку наши экспериментально

подтвержденных теорий не используют концепцию эфира, эта концепция не может иметь никакого «физического смысла». В качестве важных современных примеров мы рассмотрим только два случая: понятие пространства-времени и волновую функцию.

Формулировка электромагнетизма в терминах пространства-времени Минковского

не увеличивает предсказательную силу теории (нет более экспериментально проверяемых

предсказаний): так, хотя пространство-время не удовлетворяет критерию (C1), оно выполняет Критерий

терион (С2). Конечно, в общей теории относительности пространство-время удовлетворяет также критерию

(C1): это напоминает нам, что применение вышеуказанных критериев должно учитывать

всей теоретической основы.Что касается волновой функции, говорится, что

, хотя это и не является измеримой величиной, но имеет физический смысл, потому что

ψψ ∗ dV дает вероятность нахождения частицы в элементе объема dV.

7Этот критерий является сокращенной версией одного из критериев Герца: «Далее я попытался в

изложении максимально ограничить количество тех концепций, которые произвольно вводятся нами

, и допустить только такие элементы, как не могут быть удалены или изменены без

, одновременно изменяя возможные экспериментальные результаты »[16, стр. 28].Ясно, что этот критерий

имел принципиальное значение для отказа Герца от векторного потенциала.

10

средняя электродвижущая сила, вызванная нестабильностями магнитной плавучести | Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества

Аннотация

По ряду причин, основанных на результатах магнитоконвекции, расчетах самосогласованного динамо и гелиосейсмологии, кажется правдоподобным, что основная часть солнечного магнитного поля находится в зоне выброса.Кроме того, было высказано предположение, что в этой области работает солнечное динамо. Целью данной статьи является показать, что можно получить среднюю электродвижущую силу (ЭДС) и, следовательно, α-эффект в конвективно устойчивой зоне выброса, которая вызвана нестабильностью магнитной плавучести.

Путем исследования стабильности слоя магнитного поля, заключенного между двумя немагнитными слоями плазмы, мы можем показать следующее: во-первых, нестабильность магнитной плавучести действительно приводит к возникновению средней ЭДС и, во-вторых, что электродвижущая сила является наибольшим в области нестабильности магнитного слоя, т.е.е. где напряженность поля убывает быстрее всего с высотой.

Кроме того, было исследовано влияние скорости вращения и напряженности магнитного поля на неустойчивость магнитной плавучести, чтобы определить, при каких значениях этих параметров может происходить динамо-действие.

1 Введение

Важной проблемой в физике Солнца является объяснение того, как в основном крупномасштабное тороидальное магнитное поле выходит из недр Солнца, чтобы появиться на поверхности как активные биполярные области.Трубки с сильным магнитным потоком, которые способны противостоять турбулентному измельчению конвективной зоны, обладают высокой плавучестью и, следовательно, их трудно хранить в конвективной зоне в масштабах времени, сопоставимых с солнечным циклом. Таким образом, Spiegel & Weiss (1980) и Galloway & Weiss (1981) предположили, что основная часть магнитного поля хранится в конвективно устойчивой зоне выброса, а не в зоне конвекции.

Поэтому становится важным исследовать стабильность магнитных полей в субадиабатической среде.Во-первых, это дает объяснение образования флюсовых трубок (см., Например, Cattaneo & Hughes 1988; Matthews et al. 1995). Во-вторых, нестабильности магнитной плавучести могут играть важную роль в динамо-процессе, поскольку они вызывают α-эффект в сочетании с вращением, как будет показано ниже.

Для исследования устойчивости диффузного горизонтального слоя магнитного поля необходимо различать плавно изменяющиеся магнитные поля и прерывистое магнитное поле.Исследования неустойчивости непрерывных полей включают исследования Ньюкомба (1961), Ачесона (1978, 1979) и Хьюза (1985a, b). Проблема разрывных магнитных полей, которая нас здесь интересует, была впервые исследована Краскалом и Шварцшильдом (1954), а затем Хьюзом и Каттанео (1987), Каттанео и Хьюзом (1988) и Каттанео, Чиуе и Хьюзом (1990). В последнем случае неустойчивость вызвана скачком плотности на границе раздела намагниченной плазмы и немагнитной плазмы.Таким образом, возникает неустойчивость типа Рэлея-Тейлора, поскольку энергия, необходимая для возбуждения нестабильности, является исключительно результатом силы тяжести, поскольку намагниченная плазма поддерживает более плотную немагнитную плазму.

Поскольку комбинированный эффект нестабильности и вращения вызывает α-эффект, естественно предположить, что можно управлять α-эффектом за счет нестабильности магнитной плавучести. Это было показано Моффаттом (1978) и Шмиттом (1985). Они исследовали поведение магнитострофических волн в тонком изотермическом слое при отсутствии вязкости и магнитопроводности при бесконечной теплопроводности.Кроме того, использовалось неупругое приближение. Этот слой пронизан верхним сильным магнитным полем и равномерно вращается вокруг оси, наклоненной к вертикали. В частности, они показали, что нестабильные магнитострофические волны способны индуцировать электродвижущую силу, параллельную приложенному магнитному полю, и, следовательно, создавать полоидальное поле из тороидального поля. Однако выражение для α, полученное Моффаттом, порождает проблему, а именно, что добавление α, вызванного волной, бегущей на север, к таковой для волны, бегущей на юг, всегда приводит к чистому нулю α, независимо от широты; этот аспект процесса, по-видимому, нереален, если мы ищем α, ответственного за солнечный цикл.С другой стороны, работа Шмитта имеет тот недостаток, что она действительна только при отсутствии диффузии и при бесконечной теплопроводности. В этой статье мы распространяем их работу на более общий случай. Наша модель полностью сжимаема, не делаются предположения о распределении температуры и учтены все коэффициенты диффузии.

Эта статья организована следующим образом. В разделе 2 описывается модель, которая использовалась для расчета неустойчивости магнитной плавучести и α-эффекта.В разделе 3 представлено краткое описание численного метода, а в разделе 4 приведены результаты. Сначала мы описываем α-эффект, полученный в результате взаимодействия неустойчивости магнитной плавучести с вращением, а, во-вторых, мы исследуем, для каких скоростей вращения и напряженности магнитного поля может быть получено такое α. Наконец, в разделе 5 представлен вывод.

2 Модель и уравнения

Модель, описанная здесь, аналогична модели, использованной Каттанео и Хьюзом (1988) в их исследовании эволюции нестабильных режимов обмена, т.е.е. моды, которые не искривляют силовые линии магнитного поля, в прерывистом магнитном слое. Он был модифицирован для включения неосесимметричных режимов. Эти режимы считаются более важными в этой проблеме, поскольку режимы обмена не вызывают α-эффекта.

Рисунок 1.

Рисунок 1.

Рис. 2.

Начальный профиль магнитного поля, заданный как B ₀ = 0,5 {tanh [30 ( z — z ₁ )] — tanh [30 ( z — z ₂ )]} и плотность исходного состояния как функция глубины для следующих параметров: м = 1,6, θ = 2 и β = 0,30.

Рис. 2.

Начальный профиль магнитного поля, заданный как B ₀ = 0.5 {tanh [30 ( z — z ₁ )] — tanh [30 ( z — z ₂ )]} и плотность исходного состояния как функция глубины для следующие параметры: м = 1,6, θ = 2 и β = 0,30.

Поскольку Ω ₀ является постоянным, будет использоваться вращающаяся система отсчета. Атмосфера считается политропной и конвективно устойчивой. Таким образом, начальное распределение температуры определяется выражением:

Следует отметить, что эти граничные условия были выбраны для простоты, а не для моделирования реальных физических граничных условий в зоне выброса. Во-первых, ожидается, что моделируемая нами нестабильность магнитной плавучести будет локализована в середине нашей расчетной области, и поэтому не считается, что точный характер граничных условий играет важную роль. Во-вторых, неясно, какими должны быть правильные граничные условия в зоне перерегулирования.Следовательно, было бы неразумно применять сложные граничные условия к этой идеализированной модели.

3 Численный метод

Как только известны собственные функции флуктуации скорости υ и флуктуации магнитного поля b α был получен из выражения для средней электродвижущей силы:

Здесь B ₀ начальное магнитное поле и 〈·〉 обозначают средние по пространству более z .

4 Результаты

4.1 α-эффект

Из выражения (10) следует, что каждая волна описывается одной из следующих четырех комбинаций волновых чисел: (+ k _x , + k _y ), (- k ) _x , + k _y ), (+ k _x , — k _y ) и (- k _x , — k _y ), предполагая, что k _x и k _y положительны.Первая и четвертая комбинации имеют одинаковые темпы роста и одинаковое α, но их частоты имеют противоположный знак. Аналогично для второй и третьей комбинаций. Следовательно, необходимо учитывать только две следующие комбинации волновых чисел: (+ k _x , + k _y ) и (- k _x , + к _y ). Поскольку наша цель — показать, что нестабильность магнитной плавучести вместе с вращением приводит к ненулевой ЭДС, требуется, чтобы случайная суперпозиция волн не приводила к нулевой ЭДС.В частности, необходимо обеспечить, чтобы α-эффект, возникающий в результате волны с (+ k _x , + k _y ) не компенсировался волной с (- k _x , + k _y ). Таким образом, необходимо учитывать α-эффект, порождаемый обоими типами волн. Здесь следует отметить, что, поскольку это линейный анализ, амплитуда собственных функций известна только с точностью до мультипликативной константы и, следовательно, аналогичным образом равна α.Однако, после нормализации собственных функций, все еще можно сравнить α-эффекты, которые являются результатом волн с разными волновыми числами, и попытаться определить знак α в северном полушарии. В таблице 1 показаны скорости роста и среднее значение α для возмущения с (+ k _x , + k _y ) и с (- k _x , + k _y ) на разных широтах, начиная с режима максимальной скорости роста на экваторе.

Таблица 1.

Скорость роста и среднее значение α для возмущений с (+ k _x , + k _y ) и (- k _x , + k _y ) для: k _x = 11, k _y = 1,0, θ = 2, β = 0,30, τσ = 0,1, Ro ⁻¹ = 0,8 и C _K = 0.05. и обозначим темпы роста, принадлежащие возмущению, соответственно с (+ k _x , + k _y ) и с (- k _x , + k _y ). Здесь ψ обозначает широту.

Таблица 1.

Скорость роста и среднее значение α для возмущений с (+ k _x , + k _y ) и (- k _x , + k _y ) для: k _x = 11, k _y = 1.0, θ = 2, β = 0,30, τσ = 0,1, Ro ⁻¹ = 0,8 и C _K = 0,05. и обозначим темпы роста, принадлежащие возмущению, соответственно с (+ k _x , + k _y ) и с (- k _x , + k _л ). Здесь ψ обозначает широту.

Видно, что эти два типа возмущений приводят к разным темпам роста.На экваторе (ψ = π / 2) волна, движущаяся на юг, и волна, движущаяся на север, имеют одинаковые темпы роста и среднее значение α противоположного знака. Однако по мере приближения к полюсу (ψ = 0) волны, распространяющиеся к экватору, дестабилизируются гораздо сильнее, чем волны, движущиеся к полюсу. В некоторых случаях последние даже стабилизируются по мере приближения к полюсу. Это различие в поведении соответствующих волн является результатом диссипативных эффектов вязкости и магнитной диффузии. На рис.3 показаны скорости роста обеих волн с (+ k _x , + k _y ) и с (- k _x , + k _y ) в зависимости от широты при τσ = 0.1 и для τσ = 0,01. Все остальные параметры такие же, как в таблице 1, и остаются без изменений. Видно, что разница в скоростях роста и уменьшается при τ → 0 и σ → 0. Следовательно, разница между собственными значениями λ ⁺ и λ ^—, по-видимому, возникает только тогда, когда предполагается, что влияние вязкости и магнитопроводности является значительным. Это согласуется с работой Шмитта (1985), который рассмотрел линейную устойчивость подобной модели с использованием неупругого и магнитострофического приближения.

Рис. 3.

Скорость роста в зависимости от широты для τσ = 0,1 и τσ = 0,01. В остальном параметры такие же, как в таблице 1. Непрерывная линия соответствует волне с k _x <0, а пунктирная линия соответствует волне с k _x > 0.

Рис. 3.

Скорость роста в зависимости от широты для τσ = 0,1 и τσ = 0,01. В остальном параметры такие же, как в таблице 1. Непрерывная линия соответствует волне с k _x <0, а пунктирная линия соответствует волне с k _x > 0.

Кроме того, он пренебрег вязкостью и магнитопроводностью и предположил, что теплопроводность бесконечна. Вопреки нашим результатам, он обнаружил, что волны, идущие к полюсу и экватору, имеют одинаковые темпы роста. Равенство скоростей роста волн с k _x > 0 и k _x <0 можно объяснить, вычислив дисперсионные соотношения неустойчивостей магнитной плавучести в отсутствие диффузии.Действительно, было показано, что в этом случае коэффициенты λ λ _R + i λ _I всегда являются функциями четных степеней k _x . Следовательно, изменение знака k _x не влияет на скорость роста λ _R и частоту λ _I нестабильности (Hughes 1985a; Schmitt 1985). Точно так же можно показать, по крайней мере, в неупругом и магнитострофическом приближениях, что изменение k _y влияет только на частоту колебаний, но оставляет неизменной скорость роста.Более того, просто добавив α-эффекты, вызванные этими волнами, он обнаружил следующую широтную зависимость: в окрестностях экватора α отрицательно и меняет знак на некоторой средней широте, чтобы стать положительным около полюса. Однако следует отметить, что эта зависимость справедлива только в частном случае нулевой вязкости и коэффициента диффузии. В более общем случае, рассматриваемом здесь, разница в темпах роста и волн, распространяющихся к экватору и к полюсу, делает невозможным расчет чистого среднего α-эффекта, возникающего в результате наложения этих двух волн.Таким образом, вопрос о широтной зависимости α-эффекта остается открытым, и кажется, что только нелинейный расчет α может дать ответ на эту проблему.

Однако наиболее важный результат, который следует из этого анализа линейной устойчивости, заключается в том, что α-эффект максимален вблизи верхней границы раздела горизонтального магнитного слоя, как ясно видно из рис. 4. Это связано с тем, что магнитная плавучесть наиболее сильна на верхней границе магнитного слоя.Это проиллюстрировано на рис. 5, на котором показаны собственные функции температуры, компонентов скорости, плотности и z -компоненты магнитного поля как функции радиуса. Собственные функции имеют максимум на верхней границе раздела, потому что нестабильность вызвана очень быстрым уменьшением плотности плазмы, которое происходит в этой области. Следовательно, поскольку нестабильность магнитной плавучести наиболее важна на верхней границе раздела, естественно, что α-эффект, который является результатом волн, индуцированных нестабильностью, также является наиболее сильным в этой области.Из рис.4 также видно, что, во-первых, α равен нулю на нижней границе раздела, где радиальный градиент напряженности магнитного поля положителен, и, во-вторых, что в первом приближении α пропорционален радиальному градиенту тороидального поле, если оно отрицательное.

Рис. 4.

α в зависимости от радиуса для следующих значений параметров: | k _x | = 11, k _y = 1,0, θ = 2, β = 0,30, τσ = 0.1, Ro ⁻¹ = 0,8 и C _K = 0,05 на разных широтах.

Рис. 4. Зависимость

α от радиуса для следующих значений параметров: | k _x | = 11, k _y = 1,0, θ = 2, β = 0,30, τσ = 0,1, Ro ⁻¹ = 0,8 и C _K = 0,05 на разных широтах.

Рис. 5.

Собственные функции в зависимости от радиуса на экваторе для следующих значений параметров: k _x = 11, k _y = 1.0, θ = 2, β = 0,30, τσ = 0,1, Ro ⁻¹ = 0,8 и C _K = 0,05.

Рисунок 5.

Собственные функции в зависимости от радиуса на экваторе для следующих значений параметров: k _x = 11, k _y = 1.0, θ = 2, β = 0.30, τσ = 0,1, Ro ⁻¹ = 0,8 и C _K = 0,05.

4.2 Влияние равномерного вращения

В этом разделе исследуется влияние изменений скорости вращения, измеряемой обратным числом Россби Ro ⁻¹ , на нестабильность.Влияние скорости вращения на режим максимальной скорости роста проиллюстрировано на рис.6, на котором показаны изолинии скорости роста в плоскости k _x — k _y плоскости при на экваторе (ψ = π / 2), на средних широтах (ψ = π / 4) и на полюсе (ψ = 0).

Рисунок 6.

Изолинии скорости роста в плоскости k _x — k _y на экваторе (ψ = π / 2) на средних широтах (ψ = π / 4) и на полюсе (ψ = 0) для Ro ⁻¹ = 0.4, Ro ^-1 = 1,1 и Ro ^-1 = 1,8. Остальные параметры: θ = 2, β = 0,30, τσ = 0,1 и C _K = 0,05.

Рисунок 6.

Изолинии скорости роста в плоскости k _x — k _y на экваторе (ψ = π / 2) на средних широтах (ψ = π / 4) и на полюсе (ψ = 0) для Ro ⁻¹ = 0,4, Ro ⁻¹ = 1,1 и Ro ⁻¹ = 1.8. Другие параметры: θ = 2, β = 0,30, τσ = 0,1 и C _K = 0,05.

Обратите внимание, что все контурные графики, показанные здесь и в следующих двух разделах, были получены для k _x <0, поскольку ранее было показано, что эти режимы имеют более высокие темпы роста. Как видно из рис. 6, существует четкое различие между нестабильностями, возникающими при малых и тех, которые возникают при больших скоростях вращения. Для малых значений Ro ^-1 предпочтительным режимом нестабильности является режим обмена, т.е.е. режим с k _y = 0. Это согласуется с данными Крускала и Шварцшильда (1954) и Паркера (1979). Причина, по которой предпочтение отдается режимам обмена, заключается в следующем. Режимы с k _y перемещают силовые линии параллельно самим себе, не изгибая их, и, таким образом, в этой нестабильности участвует только обмен немагнитной и магнитной жидкости. Это означает, что режимы обмена должны работать против магнитного давления и давления газа.Однако неосесимметричные моды, то есть моды с k _y ≠ 0, искривляют силовые линии и, следовательно, должны действовать против силы магнитного натяжения, а также против магнитного давления и давления газа. Таким образом, режимы обмена требуют меньше энергии и их легче дестабилизировать, чем неосесимметричные режимы.

По мере увеличения скорости вращения Ro ⁻¹ режим максимальной скорости роста становится неосесимметричным и смещается в сторону больших значений k _y .Это следствие критерия Рэлея, который гласит, что вращающаяся жидкость неустойчива к осесимметричным возмущениям, если угловой момент уменьшается наружу. Следовательно, равномерное вращение оказывает стабилизирующее влияние на режимы обмена. Однако в случае неосесимметричных режимов это уже не так. Определенная величина изгиба силовых линий помогает нестабильности магнитной плавучести преодолеть стабилизирующее влияние вращения, поскольку оно индуцирует составляющую силы Лоренца, параллельную горизонтальному магнитному полю.Эта составляющая силы Лоренца эффективно снимает ограничение углового момента, наложенное на жидкость вращением, когда k _y = 0. Таким образом, из-за конкуренции между равномерным вращением и магнитным натяжением существует режим k _{y max} ≠ 0, такой, что скорость роста является максимальной. Для k _y ≪ k _{y max} , с одной стороны, важен стабилизирующий эффект вращения, поскольку эти моды не искривляют силовые линии магнитного поля.Для k _y ≫ k _{y max} , с другой стороны, силовые линии магнитного поля становятся «слишком изогнутыми», и стабилизирующий эффект магнитного напряжения начинает преобладать. Однако изгиб силовых линий магнитного поля только снижает стабилизирующее влияние вращения по сравнению с режимами обмена, но не устраняет его полностью. Это проиллюстрировано на рис. 7, на котором показаны изолинии скорости роста в плоскости Ro ⁻¹ — k _y на экваторе.Неосесимметричные моды, кажется, стабилизируются только для больших значений Ro ^-1 и не зависят от медленных скоростей вращения.

Рисунок 7.

Изолинии скорости роста в плоскости Ro ⁻¹ — k _y на экваторе (ψ = 0) для различных значений k _x . Остальные параметры: θ = 2, β = 0,30, τσ = 0,1 и C _K = 0.05.

Рис. 7.

Изолинии скорости роста в плоскости Ro ⁻¹ — k _y на экваторе (ψ = 0) для различных значений k _х . Остальные параметры: θ = 2, β = 0,30, τσ = 0,1 и C _K = 0,05.

Это подтверждается результатами исследований устойчивости непрерывного вращающегося магнитного поля. Во-первых, эффективную стабилизацию режимов обмена можно увидеть путем сравнения критериев нестабильности для осесимметричных и неосесимметричных режимов для непрерывного магнитного поля, которые задаются формулами

Так же существует режим | k _{x макс.} | такой, чтобы скорость роста была максимальной. Этот режим максимальной скорости роста является результатом конкуренции между стабилизирующими эффектами как обычного рассеивания, так и равномерного вращения. В отсутствие диффузии моды с большими значениями | k _x | легче дестабилизируются, и скорость роста максимальна для | k _x | → ∞.Однако в случае вязкости режимы с большими значениями | k _x | легко стабилизируются за счет рассеяния и, следовательно, | k _{x макс.} | движется в сторону меньших значений | k _x | чтобы минимизировать этот эффект. Но вязкость также приводит к ослаблению ограничения углового момента. Таким образом, для преодоления стабилизирующего эффекта вращения требуется меньше энергии, и поэтому режимы с большими значениями | k _x | являются предпочтительными.Как показано на рис. 6, | k _{x макс.} | движется в сторону меньших значений | k _x | на экваторе и средних широтах и ​​в сторону больших значений | k _x | на полюсе. Однако неясно, всегда ли так должно быть.

Наконец, рассмотрим влияние широты на нестабильность. В отсутствие вращения нестабильность наступает как обмен неустойчивостью на всех широтах.Это означает, что в начале неустойчивости λ ^— = 0 и, следовательно, неустойчивость монотонно нарастает. Кроме того, природа нестабильности магнитной плавучести остается неизменной по мере того, как мы движемся от экватора к полюсу, то есть собственные значения и собственные функции одинаковы на всех широтах. В этом нет ничего удивительного, поскольку в отсутствие вращения сила Кориолиса равна нулю, и система не знает широты. Даже при небольших значениях Ro ^-1 собственные значения и собственные функции очень похожи, что, например, можно увидеть, сравнив контурные графики темпов роста при Ro ^-1 = 0.4 на разных широтах на рис. 6. Однако по мере увеличения Ro ^-1 сила Кориолиса становится более важной, и разница между нестабильными модами становится более отчетливой. Более того, начало стабильности и количество нестабильных режимов, похоже, также зависят от широты. Сначала рассмотрим случай низких широт. Для Ro ^-1 ≠ 0 нестабильность наступает через сверхстабильность, то есть в начале стабильности. Таким образом, при низких скоростях вращения предпочтительным режимом является колебательный режим обмена, а при высоких скоростях вращения режим максимальной скорости роста является колеблющаяся неосесимметричная мода.Однако на высоких широтах нестабильность возникает через обмен устойчивости, и поэтому нестабильность всегда монотонно нарастает. В средних широтах ситуация, показанная на рис. 8, более сложная. Для больших значений Ro ^-1 ( Ro ^-1 ≥3,5) режимы обмена стабильны, и предпочтительным режимом нестабильности является колебательный неосесимметричный режим (см. Рис. 8a). При небольшом уменьшении Ro ⁻¹ появляется второй режим нестабильности, а именно режим обмена (см.рис.8б). И снова начало нестабильности происходит из-за чрезмерной стабильности. По мере дальнейшего уменьшения Ro ^-1 скорость роста этих двух мод становится больше, и неосесимметричный режим перемещается в сторону меньших значений k _y , что приводит к «столкновению» два режима, как показано на рис. 8 (c). Этот показатель был получен путем расчета максимальной скорости роста режима обмена и неосесимметричного режима, а затем путем отслеживания этих режимов по мере увеличения, соответственно уменьшения k _y .Дальнейшее уменьшение Ro ^-1 затем приводит к зависимости скорости роста от k _y , как показано на рис. 8 (d). По мере увеличения k _y от 0 скорость роста уменьшается до k _y ≈0,6, когда она снова начинает увеличиваться. Это связано с тем, что метод обратной итерации выбирает только режим максимальной скорости роста. Для еще меньших значений Ro ^-1 предпочтительным режимом нестабильности является режим обмена.Таким образом, существует диапазон значений Ro ^-1 , в котором существуют два режима нестабильности. Существование осциллирующего режима неустойчивости на экваторе и монотонно нарастающей неустойчивости на полюсе согласуется с моделью Шмитта (1985). Однако в результате магнитострофического приближения он не может получить режимы обмена и, следовательно, не обнаружил вторую моду неустойчивости на полюсе.

Рисунок 8.

Скорость роста относительно k _y для следующих параметров: στ = 0.1, C _K = 0,05, θ = 2,0, β = 0,30 и k _x = −10 и для различных значений Ro ⁻¹ .

Рисунок 8.

Скорость роста относительно k _y для следующих параметров: στ = 0,1, C _K = 0,05, θ = 2,0, β = 0,30 и k _x = −10 и для разных значений Ro ⁻¹ .

4.3 Влияние напряженности магнитного поля

Далее рассматривается влияние напряженности магнитного поля, измеряемой параметром β, то есть отношением давления газа к магнитному давлению. Увеличение β соответствует уменьшению напряженности магнитного поля. Влияние изменения напряженности магнитного поля на режим максимальной скорости роста показано на рис.9, на котором показаны контурные графики скоростей роста в k _x — k _y плоскости для различных значений Ro ⁻¹ и β на средних широтах (ψ = π / 4).

Рисунок 9.

Контурные графики скорости роста на плоскости k _x — k _y на средних широтах (ψ = π / 4) для Ro ⁻¹ = 0,0, Ro ⁻¹ = 0,8 и Ro ⁻¹ = 1,4 и различные значения β. Остальные параметры: θ = 2, τσ = 0,1 и C _K = 0,05.

Рис. 9.

Изолинии скорости роста в плоскости k _x — k _y на средних широтах (ψ = π / 4) для Ro ⁻¹ = 0.0, Ro ⁻¹ = 0,8 и Ro ⁻¹ = 1,4 и различные значения β. Остальные параметры: θ = 2, τσ = 0,1 и C _K = 0,05.

Как объяснялось в предыдущей главе, при отсутствии вращения режим максимальной скорости роста всегда является режимом обмена, независимым от других значений параметров (см. Рис. 9a). В этом случае изменение β имеет два эффекта. Во-первых, увеличение β имеет стабилизирующий эффект, поскольку уменьшение напряженности магнитного поля приводит к более слабому магнитному давлению и, следовательно, к более сильному давлению газа в магнитном слое, что означает, что плотность газа в этом слое увеличивается.Таким образом, скачок плотности на верхней границе раздела менее выражен, то есть конфигурация менее тяжелая, и поэтому нестабильность менее значительна. Во-вторых, увеличение β сдвигает режим максимального роста | k _{x макс.} | в сторону меньших значений | k _x |. Это будет обсуждено более подробно на более позднем этапе.

В случае равномерного вращения характер режима максимальной скорости роста зависит как от скорости вращения, так и от напряженности магнитного поля.Для малых значений Ro ^-1 , то есть медленного вращения, режим максимальной скорости роста является режимом обмена для сильных магнитных полей, в то время как предпочтительный режим нестабильности для более слабых магнитных полей является неосесимметричным (см. Рис. 9b). ). Для больших значений Ro ^-1 предпочтительный режим нестабильности становится неосесимметричным режимом даже в случае сильных магнитных полей, как показано на рис. 9 (c). Такое поведение можно объяснить следующим образом. При увеличении Ro ^-1 режим обмена быстро стабилизируется вращением в соответствии с критерием Рэлея.Однако, как упоминалось ранее, этот стабилизирующий эффект можно преодолеть, слегка изогнув силовые линии магнитного поля. В случае сильных магнитных полей необходимо проделать большую работу против магнитного натяжения, чтобы искривлять силовые линии и, следовательно, преодолевать ограничение углового момента, налагаемое критерием Рэлея на жидкость. При низких скоростях вращения этот объем работы является недопустимым по сравнению с работой, которую необходимо выполнить в режиме обмена, чтобы преодолеть слабый стабилизирующий эффект вращения.Поэтому предпочтительны режимы обмена, которые требуют меньше энергии, чтобы стать нестабильными, чем неосесимметричные режимы. Однако при больших скоростях вращения режимы обмена требуют больше энергии, и, следовательно, предпочтительны режимы, изгибающие силовую линию магнитного поля. По мере уменьшения напряженности магнитного поля объем работы, который необходимо выполнить против магнитного натяжения, уменьшается, и, таким образом, неосесимметричные режимы становятся предпочтительными режимами при более низких скоростях вращения.

Далее происходит сдвиг в результате увеличения β режима максимальной скорости роста | k _{x макс.} | в сторону меньших значений | k _x | будет рассмотрено.Режимы с малым | k _x | легче всего стабилизируются в отсутствие диссипации, и скорость роста становится наибольшей для мод с | k _x | → ∞. Однако для больших значений | k _x | | диссипация становится важной и в режимах с большими | k _x | легко стабилизируются. Для сильных магнитных полей нестабильность достаточно велика, чтобы преодолеть стабилизирующий эффект диффузии, и поэтому наиболее быстрорастущие моды имеют большие | k _x |.По мере уменьшения напряженности магнитного поля нестабильность становится менее сильной, и диффузия становится важной. Чтобы уменьшить этот эффект, режим максимальной скорости роста смещается в сторону меньших значений k _x .

На широтную зависимость характера неустойчивости не влияет изменение напряженности магнитного поля. На средних широтах получаются два колебательных неустойчивых режима: режим смены и неосесимметричный.На экваторе существует только колебательный режим неустойчивости, а на полюсе существует только монотонно нарастающий режим неустойчивости.

Из рисунков 6 и 7 также следует, что нестабильность, соответствующая режиму максимальной скорости роста, имеет место в больших масштабах. Следовательно, этот α-эффект можно в некотором смысле рассматривать как крупномасштабный эффект. Кроме того, следует отметить, что неосесимметричные режимы, то есть режимы, которые могут создавать α-эффект, возникают только для больших значений Ro ^-1 и β, т.е.е. для относительно больших скоростей вращения и относительно слабых полей.

5 Заключение

Из анализа линейной устойчивости, выполненного в этой статье, выяснилось, что нестабильности магнитной плавучести в присутствии вращения приводят к нестабильным волнам, которые способны вызывать среднюю электродвижущую силу, параллельную нижележащему тороидальному магнитному полю, и, следовательно, вызывают α-эффект . Поскольку этот α-эффект полностью не зависит от конвективных движений, он может без проблем работать в конвективно устойчивой зоне выброса, и, следовательно, динамо-машина должна работать в этой области.Более того, вычисляя α-эффект, возникающий в результате одиночной волны из собственных функций магнитного поля и возмущений скорости, можно было показать, что α является наибольшим на верхней границе раздела между немагнитным и магнитным слоями газа. Это связано с тем, что нестабильность магнитной плавучести наиболее сильна в этой области, поскольку здесь магнитное поле спадает быстрее всего с высотой. Таким образом, α является наибольшим там, где наибольший радиальный градиент магнитного поля. Следовательно, поскольку быстрое уменьшение высоты поля также является простейшим критерием нестабильности магнитной плавучести и поскольку α-эффект возникает из-за таких нестабильностей, не кажется необоснованным предположить, что в первом приближении α ( r ) равно пропорциональна радиальному градиенту магнитного поля.

Однако попытка определить широтную зависимость α-эффекта приводит к трудностям, которые возникают из-за требования, чтобы случайная суперпозиция волн не приводила к нулевому α-эффекту, поскольку в противном случае динамо-машина вышла бы из строя. Следовательно, для получения реалистичного α необходимо рассчитать α-эффект, возникающий в результате наложения по крайней мере двух волн, а именно одной, идущей к экватору, и одной, идущей к полюсу. Тем не менее, совсем не очевидно, каким должно быть результирующее α, поскольку в рассматриваемом здесь общем случае две такие волны имеют разные скорости роста, и, следовательно, просто добавить их соответствующие α-эффекты нереально.Таким образом, совсем не очевидно, как следует рассчитывать широтную зависимость α-эффекта.

Следует также отметить, что с помощью нашей модели невозможно сделать какие-либо количественные прогнозы относительно α-эффекта, поскольку был проведен только линейный анализ устойчивости, и, следовательно, амплитуды волн и α известны только с точностью до мультипликативной постоянный. Более того, безразмерные параметры в разделе 3 принимают экстремальные значения в недрах Солнца, и с этими значениями невозможно провести численные расчеты.Кроме того, выбрав декартову геометрию, мы пренебрегли влиянием кривизны на тороидальное магнитное поле. Можно показать, что этими эффектами можно пренебречь, пока масштаб плотности мал по сравнению с радиусом кривизны (см., Например, Acheson 1979). В зоне перерегулирования (и в основании зоны конвекции) это условие выполняется от экватора до высоких широт и просто нарушается вблизи полюсов.

Тем не менее, качественно говоря, вполне вероятно, что такой α-эффект присутствует в зоне выброса Солнца, поскольку можно ожидать возникновения нестабильности магнитной плавучести в этой области.Причина этого в том, что если основная часть магнитного поля расположена в форме диффузного слоя в зоне перерегулирования, то области выше относительно свободны от поля, и, следовательно, относительно плотный газ поддерживается более легкой намагниченной плазмой против гравитация, ситуация, которая приводит к магнитным неустойчивостям типа Рэлея-Тейлора.

Благодарность

Я благодарен профессору Д. В. Хьюзу за его постоянную помощь и бесценные советы во время моей докторской диссертации.

Список литературы

,

1978

Phil. Пер. R. Soc. Лондон.

289

459

,

1954

Proc. R. Soc. Лондон. А

223

348

,

1978

Генерация магнитного поля в электропроводящих жидкостях

Cambridge Univ. Пресс

Кембридж

,

1961

Phys.Жидкости

4

391

,

1979

Космические магнитные поля

Oxford Univ. Пресс

Оксфорд

,

1985

Кандидатская диссертация

Univ. Гёттинген

Заметки автора

© 2000 РАН

Определение индукции в физике.

Примеры индукции по следующим темам: