Конденсатор в цепи переменного тока
Господа, в сегодняшней статье я хотел бы рассмотреть такой интересный вопрос, как конденсатор в цепи переменного тока. Эта тема весьма важна в электричестве, поскольку на практике конденсаторы повсеместно присутствуют в цепях с переменным током и, в связи с этим, весьма полезно иметь четкое представление, по каким законам изменяются в этом случае сигналы. Эти законы мы сегодня и рассмотрим, а в конце решим одну практическую задачу определения тока через конденсатор.
Господа, сейчас для нас наиболее интересным моментом является то, как связаны между собой напряжение на конденсаторе и ток через конденсатор для случая, когда конденсатор находится в цепи переменного сигнала.
Почему сразу переменного? Да просто потому, что конденсатор в цепи постоянного тока ничем не примечателен. Через него течет ток только в первый момент, пока конденсатор разряжен. Потом конденсатор заряжается и все, тока нет (да-да, слышу, уже начали кричать, что заряд конденсатора теоретически длится бесконечно долгое время, да еще у него может быть сопротивление утечки, но пока что мы этим пренебрегаем).
Пока мы будем исходить из того, что в цепи переменного тока находится только конденсатор и все. Без каких-либо других компонентов типа резисторов или индуктивностей. Напомню, что в случае, когда у нас в цепи находится исключительно одни только резисторы, подобная задача решается очень просто: ток и напряжения оказываются связанными между собой через закон Ома. Мы про это уже не один раз говорили. Там все очень просто: делим напряжение на сопротивление и получаем ток. А как же быть в случае конденсатора? Ведь конденсатор-то это не резистор.
Сперва давайте вернемся назад. Далеко назад. Даже очень далеко. К самой-самой первой моей статье на этом сайте. Старожилы должно быть помнят, что это была статья про силу тока. Вот в этой самой статье было одно интересное выражение, которое связывало между собой силу тока и заряд, протекающий через сечение проводника. Вот это самое выражение
Кто-нибудь может возразить, что в той статье про силу тока запись была через Δq и Δt – некоторые весьма малые величины заряда и времени, за которое этот заряд проходит через сечение проводника. Однако здесь мы будем применять запись через 
Безусловно, глубоко сведущие в высшей математике люди могут поспорить с этим утверждением, но да сейчас я не хочу концентрировать внимание на данных вещах.
Итак, выражение для силы тока мы вспомнили. Давайте теперь вспомним, как связаны между собой емкость конденсатора
Давайте-ка выразим из этой формулы заряд конденсатора:
А теперь есть очень большой соблазн подставить это выражение для заряда конденсатора в предыдущую формулу для силы тока. Приглядитесь-ка повнимательнее – у нас ведь тогда окажутся связанными между собой сила тока, емкость конденсатора и напряжение на конденсаторе! Сделаем эту подстановку без промедлений:
Емкость конденсатора у нас является величиной постоянной.
Она определяется исключительно самим конденсатором, его внутренним устройством, типом диэлектрика и всем таким прочим. Про все это подробно мы говорили в одной из прошлых статей. Следовательно, емкость С конденсатора, поскольку это константа, можно смело вынести за знак дифференциала (такие вот правила работы с этими самыми дифференциалами). А вот с напряжением U нельзя так поступить! Напряжение на конденсаторе будет изменяться со временем
Господа, спешу вас поздравить – только что мы получили полезнейшее выражение, которое связывает между собой напряжение, приложенное к конденсатору, и ток, который течет через него.
Таким образом,
А как быть в обратном случае? Допустим, нам известен закон изменения тока через конденсатор и мы хотим найти закон изменения напряжения на нем. Читатели, сведущие в математике, наверняка уже догадались, что для решения этой задачи достаточно просто проинтегрировать написанное выше выражение. То есть, результат будет выглядеть как-то так:
По сути оба этих выражений про одно и тоже. Просто первое применяется в случае, когда нам известен закон изменения напряжения на конденсаторе и мы хотим найти закон изменения тока через него, а второе – когда нам известно, каким образом меняется ток через конденсатор и мы хотим найти закон изменения напряжения. Для лучшего запоминания всего этого дела, господа, я приготовил для вас поясняющую картинку. Она изображена на рисунке 1.
Рисунок 1 – Поясняющая картинка
На ней, по сути, в сжатой форме изображены выводы, которые хорошо бы запомнить.
Господа, обратите внимание – полученные выражения справедливы для любого закона изменения тока и напряжения. Здесь не обязательно должен быть синус, косинус, меандр или что-то другое. Если у вас есть какой-то совершенно произвольный, пусть даже совершенно дикий, не описанный ни в какой литературе, закон изменения напряжения
Итак, мы выяснили как связать между собой ток и напряжение для абсолютно любых, даже самых безумных вариантов их изменения. Но не менее интересны и некоторые частные случаи. Например, случай успевшего уже нам всем полюбиться синусоидального тока. Давайте теперь разбираться с ним.
Пусть напряжение на конденсаторе емкостью C изменяется по закону синуса вот таким вот образом
Какая физическая величина стоит за каждой буковкой в этом выражении мы подробно разбирали чуть раньше.
Как же в таком случае будет меняться ток? Используя уже полученные знания, давайте просто тупо подставим это выражение в нашу общую формулу и найдем производную
Или можно записать вот так
Господа, хочу вам напомнить, что синус ведь только тем и отличается от косинуса, что один сдвинут относительно другого по фазе на 90 градусов. Ну, или, если выражаться на языке математики, то . Не понятно, откуда взялось это выражение? Погуглите
Господа, отмечу сразу один момент. В своих статьях я не буду рассказывать про правила нахождения производных и взятия интегралов. Надеюсь, хотя бы общее понимание этих моментов у вас есть. Однако даже если вы не знаете, как это делать, я буду стараться излагать материал таким образом, чтобы суть вещей была понятна и без этих промежуточных выкладок.
Рисунок 2 – Ток через конденсатор и напряжение на конденсаторе
На рисунке 2 синий график – это синусоидальный ток через конденсатор, а красный – синусоидальное напряжение на конденсаторе.
По этому рисунку как раз очень хорошо видно, что ток опережает напряжение (пики синусоиды тока находятся левее соответствующих пиков синусоиды напряжения, то есть наступают раньше).
Давайте теперь проделаем работу наоборот. Пусть нам известен закон изменения тока I(t) через конденсатор емкостью C. И закон этот пусть тоже будет синусоидальным
Давайте определим, как в таком случае будет меняться напряжение на конденсаторе. Воспользуемся нашей общей формулой с интегральчиком:
По абсолютнейшей аналогии с уже написанными выкладками, напряжение можно представить вот таким вот образом
Здесь мы снова воспользовались интересными сведениями из тригонометрии, что . И снова формулы приведения придут вам на помощь, если не понятно, почему получилось именно так.
Какой же вывод мы можем сделать из данных расчетов? А вывод все тот же самый, какой уже был сделан: ток через конденсатор и напряжение на конденсаторе сдвинуты по фазе друг относительно друга на 90 градусов.
Более того, они не просто так сдвинуты. Ток опережает напряжение. Почему это так? Какая за этим стоит физика процесса? Давайте разберемся.
Представим, что незаряженный конденсатор мы подсоединили к источнику напряжения. В первый момент никаких зарядов в конденсаторе вообще нет: он же разряжен. А раз нет зарядов, то нет и напряжения. Зато ток есть, он возникает сразу при подсоединении конденсатора к источнику. Замечаете, господа? Напряжения еще нет (оно не успело нарасти), а ток уже есть. И кроме того, в этот самый момент подключения ток в цепи максимален (разряженный конденсатор ведь по сути эквивалентен короткому замыканию цепи). Вот вам и отставание напряжения от тока. По мере протекания тока, на обкладках конденсатора начинает накапливаться заряд, то есть напряжение начинает расти а ток постепенно уменьшаться. И через некоторое время накопится столько заряда на обкладках, что напряжение на конденсаторе сравняется с напряжением источника и ток в цепи совсем прекратится.
Теперь давайте этот самый заряженный конденсатор отцепим от источника и закоротим накоротко. Что получим? А практически то же самое. В самый первый момент ток будет максимален, а напряжение на конденсаторе останется таким же, какое оно и было без изменений. То есть снова ток впереди, а напряжение изменяется вслед за ним. По мере протекания тока напряжение начнет постепенно уменьшаться и когда ток совсем прекратится, оно тоже станет равным нулю.
Для лучшего понимания физики протекающих процессов можно в который раз уже использовать водопроводную аналогию. Представим себе, что заряженный конденсатор – это некоторый бачок, полный воды. У этого бачка есть внизу краник, через который можно спустить воду. Давайте этот краник откроем. Как только мы его откроем, вода потечет сразу же. А давление в бачке будет падать постепенно, по мере того, как вода будет вытекать. То есть, грубо говоря, ручеек воды из краника опережает изменение давления, подобно тому, как ток в конденсаторе опережает изменение напряжения на нем.
Подобные рассуждения можно провести и для синусоидального сигнала, когда ток и напряжения меняются по закону синуса, да и вообще для любого. Суть, надеюсь, понятна.
Давайте проведем небольшой практический расчет переменного тока через конденсатор и построим графики.
Пусть у нас имеется источник синусоидального напряжения, действующее значение равно 220 В, а частота 50 Гц. Ну, то есть все ровно так же, как у нас в розетках. К этому напряжению подключают конденсатор емкостью 1 мкФ. Например, пленочный конденсатор К73-17, рассчитанный на максимальное напряжение 400 В (а на меньшее напряжение конденсаторы ни в коем случае нельзя подключать в сети 220 В), выпускается с емкостью 1 мкФ. Чтобы вы имели представление, с чем мы имеем дело, на рисунке 3 я разместил фотографию этого зверька (спасибо Diamond за фото )
Рисунок 3 – Ищем ток через этот конденсатор
Требуется определить, какая амплитуда тока будет протекать через этот конденсатор и построить графики тока и напряжения.
Сперва нам надо записать закон изменения напряжения в розетке. Если вы помните, амплитудное значение напряжения в этом случае равно около 311 В. Почему это так, откуда получилось, и как записать закон изменения напряжения в розетке, можно прочитать вот в этой статье. Мы же сразу приведем результат. Итак, напряжение в розетке будет изменяться по закону
Теперь мы можем воспользоваться полученной ранее формулой, которая свяжет напряжение в розетке с током через конденсатор. Выглядеть результат будет так
Мы просто подставили в общую формулу емкость конденсатора, заданную в условии, амплитудное значение напряжения и круговую частоту напряжения сети. В результате после перемножения всех множителей имеем вот такой вот закон изменения тока
Вот так вот, господа. Получается, что амплитудное значение тока через конденсатор чуть меньше 100 мА. Много это или мало? Вопрос нельзя назвать корректным. По меркам промышленной техники, где фигурируют сотни ампер тока, очень мало.
Да и для бытовых приборов, где десятки ампер не редкость – тоже. Однако для человека даже такой ток представляет большую опасность! Отсюда следует вывод, что хвататься за такой конденсатор, подключенный к сети 220 В не следует . Однако на этом принципе возможно изготовление так называемых источников питания с гасящим конденсатором. Ну да это тема для отдельной статьи и здесь мы не будем ее затрагивать.
Все это хорошо, но мы чуть не забыли про графики, которые должны построить. Надо срочно исправляться! Итак, они представлены на рисунке 4 и рисунке 5. На рисунке 4 вы можете наблюдать график напряжения в розетке, а на рисунке 5 – закон изменения тока через конденсатор, включенный в такую розетку.
Рисунок 4 – График напряжения в розетке
Рисунок 5 – График тока через конденсатор
Как мы можем видеть из этих рисунков, ток и напряжение сдвинуты на 90 градусов, как и должно быть.
И, возможно, у читателя возникла мысль – если через конденсатор течет ток и на нем падает какое-то напряжение, вероятно, на нем должна выделяться и некоторая мощность. Однако спешу предупредить вас – для конденсатора дело обстоит совершенно не так. Если рассматривать идеальный конденсатор, то мощность на нем не будет вообще выделяться, даже при протекании тока и падении на нем напряжения. Почему? Как же так? Об этом – в будущих статьях. А на сегодня все. Спасибо что читали, удачи, и до новых встреч!
Вступайте в нашу группу Вконтакте
Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.
2.2 Переходные процессы в rc-цепях
Как
уже указывалось выше (см. рис. 1.1), э.
д.с.
может периодически изменяться во
времени, что приводит к возникновению
в электрических цепях переменного тока.
В цепях переменного тока наряду с
проводами и резисторами используют
конденсаторы и катушки индуктивности.
Конденсатор – компонент электрической цепи, способный накапливать электрический заряди электрическую энергию. Основной параметр, характеризующий свойства конденсатора накапливать электрический заряд и энергию – ёмкость. В электрических схемах конденсатор изображается
условно и обозначается буквой .
Приведённое изображение конденсатора отражает его простейшую конструкцию: две близко расположенные друг к другу одинаковые металлические пластины, между которыми располагается диэлектрик. В воздушном конденсаторе диэлектриком является воздух.
При подключении
конденсатора к источнику постоянной
э.д.с.
он заряжается до напряжения,
равного э.д.с. источника:.
При этом в конденсаторе накапливается
заряд,
определяемый по формуле:.
Если к конденсатору приложить слишком большое напряжение, то он пробивается, т.е. через диэлектрик между пластинами пойдёт электрический ток. Это означает, что конденсатор теряет своё основное свойство накапливать электрический заряд. Чтобы не допускать пробоя конденсатора, на его корпусе кроме ёмкости указывается максимально допустимое напряжение.
Катушка индуктивности – компонент электрической цепи, способный преобразовывать электрическую энергию в магнитную и сохранять её при протекании через катушку электрического тока. В электрических схемах катушка индуктивности изображается так: обозначается буквой. В современных электронных устройствах по многим причинам стараются не использовать катушки индуктивности или, по крайней мере, свести их количество к минимуму.
Рассмотрим более подробно свойства цепей, содержащих резисторы и конденсаторы, так называемые – цепи. Прежде всего заметим, что конденсатор может заряжаться или разряжаться, но через него не может проходить постоянный электрический ток (между пластинами конденсатора – диэлектрик!). В зависимости от места включения конденсатора в цепь с постоянной э.д.с., он может либо полностью исключить прохождение электрического тока, либо наоборот совсем не оказывать влияния на его величину. Например, в цепи, приведённой на рис.1.13, постоянного тока не будет, т.к. конденсатор зарядится до напряжения. Поскольку э.д.с. источника и напряжение на конденсаторе компенсируют друг друга, ток через резистор отсутствует.
Рис. 1.13 Схема цепи постоянного тока, в которой конденсатор препятствует прохождению электрического токов в резистор
В схеме, приведённой на рис. 1.14, ток будет протекать, причём конденсатор не будет оказывать какое-либо влияние на его величину.
Рис.1.14. Схема цепи постоянного тока, в которой конденсатор
не влияет на электрический ток
Действительно . Напряжение на конденсаторе равно напряжению на резистореи, следовательно,. Конденсатор будет заряжен до напряжения, но оказывать влияние на ток в цепи он не будет.
В рассмотренных нами примерах полагалось, что электрические цепи работают в установившемся стационарном режиме. Теперь положим, что электрическая цепь собрана с электрическим ключом (рис. 1.15). Пример такого ключа – телеграфный ключ. В момент замыкания ключа в схеме возникнет переходной процесс.
Рис. 1.15 Схема RC-цепи с ключом и источником э.д.с.
Рассмотрим этот переходный процесс. Замыкание ключа аналогично подаче на схему сигнала, имеющего форму скачка напряжения (рис. 1.16).
Рис. 1.16. Скачок напряжения
Сущность происходящего в цепи после замыкания ключа отражает один из законов коммутации, который гласит: напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, т.е. мгновенно. Понять этот закон нетрудно, вспомнив, что электрическая энергия, запасённая в конденсаторе , равняется:
,
где – ёмкость конденсатора;
–напряжение на его выводах.
Если бы напряжение на конденсаторе могло бы измениться мгновенно, то, как следует из приведённой формулы, скачком бы изменилась и электрическая энергия, т.е. источник энергии, от которого конденсатор бы заряжался мгновенно, должен был бы иметь бесконечно большую мощность:
при .
Поскольку подобных источников электрической энергии в природе не существует, напряжение на конденсаторе будет изменяться постепенно.
Приведённые соображения позволяют понять, какие процессы будут протекать в -цепи, приведённой на рис. 1.15. В первый момент после замыкания ключа напряжение на конденсаторе останется равным нулю. При этом по закону Ома ток в цепи в начальный момент временибудет равен:. Этим током конденсатор в первый момент и будет заряжаться. Но по мере зарядки конденсатора на нём будет создаваться падение напряжения, противодействующее напряжению источника э.д.с.
Для того чтобы найти закон изменения напряжения в цепи и закон изменения напряжения на конденсаторе нужно вспомнить, что сила тока определяется как количество заряда, проходящего через сечение проводника в единицу времени: .
Отсюда заряд в конденсаторе можно определить по формуле:,где– ток зарядки конденсатора,– момент измерения.
Поскольку , получаем .
Второй закон Кирхгофа в рассматриваемой -цепи для любого момента временибудет иметь следующий вид:. Решение этого уравнения даёт следующий результат:, где– постоянная времени заряда конденсатора. График изменения тока от времени приведён на рис. 1.17,а.
Изменения напряжения на конденсаторе будет происходить по закону:. График изменения напряжения на конденсаторе приведён на рис. 1.17,б. Эта зависимость называется переходной характеристикой цепи.
Рис. 1.17 Зависимость тока в RC-цепи и напряжения
на конденсаторе от времени
Предположим, что в схеме на рис. 1.15 после достаточно долгого времени нахождение ключа в замкнутом состоянии, он размыкается. В этом случае, если считать конденсатор идеальным элементом напряжение на конденсаторе, равное , должно сохраняться бесконечно долго, т.к. цепь разряда конденсатора разомкнута. Однако конденсатор имеет хотя и большое, но конечное значение сопротивления утечки, шунтирующее, т.е. последовательно соединённое с ёмкостью конденсатора. Именно через это сопротивление напряжение на конденсаторе будет очень медленно разряжаться по экспоненциальному закону.
Анализ -цепей, содержащих один конденсатор, показывает, что всем им присущ экспоненциальный закон изменения токов и напряжений.
Рассмотрим наиболее типичные -цепи при воздействии на них импульсных сигналов.
Определение закона изменения во времени напряжения и построение в масштабе его графика
Задача, №1
Для заданной схемы (рис. 1) требуется:
1.Классическим методом определить закон изменения во времени токов всех ветвей схемы и напряжений на катушке и конденсаторе .
2.Построить графики изменения во времени тока в катушке и напряжения на её зажимах .
3.Операторным методом найти закон изменения во времени тока переходного процесса в катушке iL(t) или напряжения на конденсаторе uC(t).
Задача №2
На вход несимметричного четырехполюсника (рис. 2) подается импульс напряжения длительностью (график 3). Определить закон изменения во времени напряжения и построить в масштабе его график. Задачу решить с помощью интеграла Дюамеля.
рис. 1
рис. 2
Решение.
Задача №1
Исходные расчётные данные:
E=30 B; r1=12 Ом;
L=95 мГн; r2=24 Ом;
С=120 мкФ; r3=17 Ом;
r4=9 Ом.
1.Классический метод
Схема электрической цепи:
рис. 3
Составим уравнения для послекоммутационной схемы по законам Киргофа:
.
Решаем данное уравнение:
.
Определим закон изменения напряжения на конденсаторе:
Находим независимые начальные условия:
Рассмотрим докоммутационною схему, заменив в ней конденсатор разрывом цепи, а катушку – коротко-замкнутой перемычкой. Определим при и
, а
рис. 4
В
Так как ток , то ток равен
А
Находим зависимые начальные условия:
Рассмотрим послекоммутационную схему, в которой заменим катушку источником тока, а конденсатор – источником ЭДС:
рис. 5
Решаем систему методом контурных токов:
рис. 6
В первом контуре контурный ток . Для нахождения второго контурного тока достаточно только одного уравнения.
В
А
А
Найдем напряжение на катушке при
В
Определим принужденные составляющие тока и напряжения :
, В ; ; А.
Найдем постоянные интегрирования:
Для напряжения на конденсаторе:
В
В
Проверим для
В
Определим ток :
А
Проверим для
А
Найдем ток
А
А
Проверим для
А
Из схемы мы видим что ток можно определить как обратную величину от суммы токов и :
А
А
Проверим для
А
Определим напряжение на катушке :
В
В
Проверим для
В
2.Графики изменения во времени напряжения и тока в катушке :
График 1
График 2
3.Операторный метод.
Операторная схема замещения:
рис. 7
Независимые начальные условия вычисленные при расчете классическим методом:
В
А
Рассчитаем цепь методом узловых потенциалов, считая потенциал узла 0 равным нулю вольт.
В
(1)
Определим значение при которых знаменатель выражения (1) обращается в нуль:
; В
В
Определим напряжение :
; В
Проверим для
В
Задача №2
Исходные расчётные данные:
r1=10 Ом C=70 мкФ
r2=8 Ом =14 В
r3=7 Ом c
График 3
Найдем переходную функцию по напряжению для данной схемы
рис.8
Примем на входе цепи напряжение равное одному вольту, тогда:
или
Определим закон изменения напряжения на конденсаторе:
Начальные независимые условия:
В
В
Составим операторную схему замещения:
рис. 9
Определим постоянную составляющую
Ток в цепи конденсатора
Определим
таким образом
Для интервала , где
Для интервала , где
Для интервала :
Таким образом функция напряжения будет принимать значения трёх различных функций на соответствующих интервалах.
Построим график функции
График 4
Закон — изменение — напряжение
Закон — изменение — напряжение
Cтраница 2
Такой закон изменения напряжения можно получить первоначальным смещением плунжера диф-трансформаторного преобразователя датчика давления 1 типа МЭД или включения напряжения смещения с помощью задающего преобразователя 2 последовательно с преобразователем датчика давления, как это выполнено в схеме на рис. 2 — 6 а. Конденсатор С служит для подгонки фаз напряжений. [16]
Определить закон изменения напряжения и тока вдоль линий; построить график их изменения для момента времени, когда падающие в кабельной линии волны пробегут 3 / 4 ее длины. [17]
Поэтому закон изменения напряжения на активном сопротивлении всегда соответствует закону изменения тока. [19]
Определить закон изменения напряжений при растяжении и сжатии удается с помощью гипотезы плоских сечений ( гипотезы Бернулли), которая заключается в следующем: сечения плоские и перпендикулярные к оси бруса до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к оси после деформации. [20]
Если закон изменения напряжения развертки отличается от линейного, то форма исследуемого напряжения искажается. Если линейный закон изменения напряжения ыр нарушается то горизонтальная скорость луча на экране осциллографа не остается постоянной, происходит растягивание изображения на участке с большой скоростью и сжатие — на участке с малой скоростью. [21]
Рассмотрим гармонический закон изменения напряжений, не изменяющийся во времени и соответствующий регулярному на-гружению. [22]
Выяснение закона изменения напряжения и тока вдоль однородных цепей является одной из основных задач теории связи по проводам. [24]
Такому закону изменения напряжений отвечает постепенный поворот площадок максимального напряжения сдвига в элементе вокруг оси z при сохранении постоянной величины напряжения т на этих площадках. При этом 0 является углом поворота площадок сдвига в элементе, который отсчитывается от их положения на начальном этапе нагружения. [25]
Каждому закону изменения напряжения ( формы кривой мгновенных значений) соответствуют определенные количественные соотношения между амплитудным, среднеквадратическим и средним значениями напряжений. Эти отношения оцениваются коэффициентами амплитуды / са ит / и и формы / c W / MCP. [27]
Требуется определить закон изменения напряжения, при котором конец трещины из критического положения х ( 0) / о ( в момент времени t 0) перейдет в заданное положение x ( ti) / i ( в момент времени t ti), где и остановится. Коней трещины считаем некоторой квазичастицей — креконом [171], масса то которого здесь принята постоянной. Примем также в этом примере, что сила, действующая на крекон, пропорциональна напряжению, т.е. G F0a Таким образом, записав для крекона первый закон движения Ньютона можно решать вопросы роста трещины. [28]
Требуется найти закон изменения напряжения на конденсаторе ис и ток i в цепи. [29]
При изгибе закон изменения напряжений по площади поперечного сечения линейный: чем дальше удалена точка от нейтральной линии сечения, тем выше возникающее в ней напряжение. [30]
Страницы: 1 2 3 4
8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
Короткое замыкание в R-L цепи
На рис. 8.1 изображена электрическая цепь, в которой включен источник постоянной ЭДС. В результате коммутации рубильник замыкается и образуется замкнутый на себя R-L контур.
До коммутации по индуктивности протекал ток
Этот ток создавал постоянное магнитное поле
в индуктивной катушке.
Рис. 8.1
Определим закон изменения
тока в индуктивности после коммутации.
В соответствии с классическим методом
Принужденный ток после коммутации замыкается через рубильник, имеющий нулевое сопротивление, и через индуктивность не протекает. Индуктивный ток имеет только свободную составляющую
Магнитное поле, исчезая,
индуктирует в индуктивной катушке ЭДС самоиндукции. Свободный ток в
R-C контуре существует за счет этой электродвижущей силы.
Запишем уравнение для свободного тока в
R-L контуре, используя второй закон Кирхгофа.
(8.1)
Ищем решение этого уравнения в виде экспоненты
.
Производная
.
Подставим значения свободного тока и производной тока в уравнение (8.1)
(8.2)
Уравнение (8.2), полученное из уравнения (8.1), называется характеристическим.
— корень характеристического уравнения.
— постоянная времени переходного процесса, измеряется в секундах.
Постоянная времени τ — это интервал времени,
за который переходный ток уменьшается в e раз.
.
Постоянную интегрирования А определяем с помощью начального условия.
В соответствии с первым законом коммутации,
.
Получим
Напряжение на индуктивности .
На рис. 8.2 изображены кривые переходного тока в ветви с индуктивностью и переходного напряжения на индуктивности. Переходный ток и напряжение по экспоненте стремятся к нулю. В инженерных расчетах полагают, что через интервал времени, равный (4 ÷ 5)τ, переходный процесс заканчивается.
Рис. 8.2
Подключение R-L цепи к источнику постоянной ЭДС
В схеме на рис. 8.3 до коммутации рубильник разомкнут. В результате коммутации рубильник замыкается и подключает R-L цепь к источнику постоянной ЭДС. Определим закон изменения тока i(t).
.
Принужденный ток в установившемся режиме после коммутации
.
В свободном режиме из схемы исключен внешний источник питания. Схема на рис. 8.3 без источника ЭДС ничем не отличается от схемы на рис. 8.1.
Свободный ток определяется по формуле
.
Запишем значение переходного тока для момента
коммутации, (t = 0). ,
откуда .
Рис. 8.3
До коммутации рубильник
был разомкнут, и ток в схеме отсутствовал.
Сразу после коммутации ток в индуктивности
остается равным нулю.
.
.
.
Напряжение на индуктивности
.
На рис. 8.4 изображены кривые переходного, принужденного, свободного токов и переходного напряжения на индуктивности.
Свободный ток и напряжение на индуктивности плавно уменьшаются
до нуля. В момент коммутации свободный и принужденный токи одинаковы
по абсолютной величине.
Переходный ток начинается при включении с нуля,
затем возрастает, приближаясь к установившемуся постоянному значению.
Рис. 8.4
Короткое замыкание в R-C цепи
В схеме на рис. 8.5 в результате
коммутации рубильник замыкается, и образуется замкнутый на себя R-C
контур.
До коммутации емкость полностью зарядилась
до напряжения, равного ЭДС источника питания, то есть uc(0-)
= E. После коммутации емкость полностью разряжается, следовательно,
принужденный ток в R-C цепи и принужденное напряжение на конденсаторе
равны нулю.
В цепи существует только свободный ток за счет напряжения
заряженного конденсатора.
Запишем для R-C контура уравнение по второму закону
Кирхгофа
.
Рис. 8.5
Ток через конденсатор .
Получим дифференциальное уравнение
. (8.3)
Решение этого уравнения .
Подставим значение свободного напряжения и производной от напряжения
в уравнение (8.3).
.
Уравнение называется характеристическим.
— корень характеристического уравнения;
— постоянная времени переходного процесса;
Переходный ток и переходное напряжение на конденсаторе по показательному закону уменьшаются до нуля (рис. 8.6).
Рис. 8.6
Подключение R-C цепи к источнику постоянной ЭДС
Полагаем, что до коммутации
конденсатор не заряжен, напряжение на нем uc(0-) = 0.
В результате коммутации рубильник замыкается, и
конденсатор полностью заряжается (рис. 8.7).
Принужденное напряжение на емкости равно
ЭДС источника питания ucпр= E.
Переходное напряжение
.
В момент коммутации .
Постоянная интегрирования .
В соответствии со вторым законом коммутации
. .
Рис. 8.7
Переходное напряжение
.
Переходный ток
.
Кривые напряжений и тока изображены на рис. 8.8.
Рис. 8.8
1.13. RC — цепи: изменения во времени напряжения и тока
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОНИКИ
Конденсаторы и цепи переменного тока
Для анализа цепей переменного тока (или в общем случае схем, работающих с изменяющимися напряжениями и токами) можно использовать характеристики двух типов. Во-первых, можно рассматривать изменения напряжения U и тока I во времени, а во-вторых — изменение амплитуды при изменении частоты сигнала. И те, и другие характеристики имеют свои преимущества, и в каждом практическом случае приходится выбирать наиболее подходящие. Мы начнем изучение цепей переменного тока с временных зависимостей, а в разд. 1.18 перейдем к частотным характеристикам.
Каковы же свойства схем, в состав которых входят конденсаторы? Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим простейшую RC — цепь (рис. 1.29). Воспользуемся полученным ранее выражением для емкости:
C(dU/dt) = I = — U/R.
Рис. 1.29.
Это выражение представляет собой дифференциальное уравнение, решение которого имеет вид:
U = Ae — t/RC.
Отсюда следует, что если заряженный конденсатор подключить к резистору, то он будет разряжаться так, как показано на рис. 1.30.
Рис. 1.30. Сигнал разряда RС — цепи.
Постоянная времени. Произведение RC называют постоянной времени цепи. Если R измерять в омах, а С — в фарадах, то произведение RC будет измеряться в секундах. Для конденсатора емкостью 1 мкФ, подключенного к резистору сопротивлением 1 кОм. постоянная времени составляет 1 мс, если конденсатор был предварительно заряжен и напряжение на нем составляет 1 В, то при подключении резистора в цепи появится ток, равный 1 мА.
Рис. 1.31.
На рис. 1.31 показана несколько иная схема. В момент времени t = 0 схема подключается к батарее. Уравнение, описывающее работу такой схемы, выглядит следующим образом:
I = C(dU/dt) = (Uвх — U)/R.
и имеет решение
U = Uвх + Ae -t/RC.
Не пугайтесь, если не поняли, как выполнено математическое преобразование. Важно запомнить полученный результат. В дальнейшем мы будем многократно его использовать, не прибегая к математическим выкладкам. Постоянная величина А определяется из начальных условий (рис. 1.32): U = 0 при t = 0, откуда А = -Uвх и U = Uвх(1 — e -t/RC).
Рис. 1.32.
Установление равновесия. При условии t » RC напряжение достигает значения Uвх. (Советуем запомнить хорошее практическое правило, называемое правилом пяти RC. Оно гласит: за время, равное пяти постоянным времени, конденсатор заряжается или разряжается на 99%.) Если затем изменить входное напряжение Uвх (сделать его равным, например, нулю), то напряжение на конденсаторе U будет убывать, стремясь к новому значению по экспоненциальному закону e -t/RC. Например, если на вход подать прямоугольный сигнал Uвх, то сигнал на выходе U будет иметь форму, показанную на рис. 1.33.
Рис. 1.33. Напряжение, снимаемое с конденсатора (верхние сигналы), при условии, что на него через резистор подается прямоугольный сигнал.
Упражнение 1.13. Докажите, что время нарастания сигнала (время, в течение которого сигнал изменяется от 10 до 90% своего максимального значения) составляет 2.2 RC.
У вас, наверное, возник вопрос: каков закон изменения для произвольного Uвх(t)? Для того чтобы ответить на него, нужно решить неоднородное дифференциальное уравнение (стандартные методы решения таких уравнений здесь не рассматриваются). В результате получим
U(t) = 1/RC t∫ — ∞Uвхτe -t/RCdt.
Согласно полученному выражению, RC — цепь усредняет входное напряжение с коэффициентом пропорциональности e-t/RC где Δt = τ — t. На практике, однако, такой вопрос возникает редко. Чаше всего рассматриваются частотные характеристики и определяют, какие изменения претерпевает каждая частотная составляющая входного сигнала. Скоро (разд. 1.18) мы также перейдем к этому немаловажную вопросу. А пока рассмотрим несколько интересных схем, хотя анализа которых достаточно временных зависимостей.
Упрощение с помощью эквивалентного преобразования Тевенина. Можно было бы приступить к анализу более сложных схем, пользуясь, как и раньше, методом решения дифференциальных уравнений. Однако чаше всего не стоит прибегать к решению дифференциальных уравнений. Большинство схем можно свести к RC — схеме. показанной на рис. 1.34. Пользуясь эквивалентным преобразованием для делителя напряжения, образованного резисторами R1 и R2, можно определить U(t) для скачка входного напряжения Uвх.
Рис. 1.34.
Упражнение 1.14. Для схемы, показанной на рис. 1.34. R1 = R2 = 10 кОм и С = 0,1 мкФ. Определите U(t) и изобразите полученную зависимость в виде графика.
Пример: схема задержки. Мы уже упоминали логические уровни — напряжения, определяющие работу цифровых схем. На рис. 1.35 показано, как с помощью конденсаторов можно получить задержанный импульс. В виде треугольников изображены КМОП — буферные усилители. Они дают высокий уровень на выходе (более половины величины напряжения питания постоянного тока) и наоборот. Первый буферный усилитель воспроизводит входной сигнал и обеспечивает небольшое выходное сопротивление, предотвращая тем самым воздействие на источник сигнала RС — цепи (вопрос о нагрузке схемы мы рассмотрели в разд. 1.05). Согласно характеристике RС — цепи, выходной сигнал для нее задерживается относительно входного, поэтому выходной буферный усилитель переключается на 10 мкc позже скачка напряжения на входе (напряжение на выходе RС — цепи достигает 50% своего максимального значения через 0,7 RC). На практике приходится принимать во внимание отклонение входного порога буфера от величины, равной половине напряжения питания, так как это отклонение изменяет задержку и ширину выходного импульса. Иногда подобную схему используют для того, чтобы задержать импульс на время, в течение которого может произойти какое-либо событие. При проектировании схем лучше не прибегать к подобным трюкам, но иногда они бывают полезны.
Рис. 1.35. Использование RС — цепи для формирования задержанного цифрового сигнала.
Индуктивности и трансформаторы
Закон изменения заряда колебательном контуре. Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания. Превращение энергии в колебательном контуре. Формула Томпсона. Вынужденные электромагнитные колебания
Урок № 48-169 Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания. Превращение энергии в колебательном контуре. Формула Томпсона. Колебания — движения или состояния, повторяющиеся во времени. Электромагнитные колебания — это колебания электрических и магнитных полей, которые сопро вождаются периодическим измене нием заряда, тока и напряжения. Колебательный контур — это система, состоящая из катушки индуктивности и конденсатора (рис. а). Если конденсатор зарядить и замкнуть на катушку, то по катушке потечет ток (рис. б). Когда конденсатор разрядится, ток в цепи не прекратится из-за самоиндукции в катушке. Индукционный ток, в соответствии с правилом Ленца, будет течь в ту же сторону и перезарядит конденсатор (рис. в). Ток в данном направлении прекратится, и процесс повторится в обратном направлении (рис. г).
Таким образом, в колеба тельном контуре происхо дят электромагнитные колеба ния из-за превращения энергии электрического поля конденсато ра ( W Э =
) в энергию магнитного поля катушки с током (W М =
), и наоборот .
Гармонические колебания — периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса.
Уравнение, описывающее свободные электромагнитные колебания, принимает вид
q»= — ω 0 2 q (q»- вторая производная.
Основные характеристики колебательного движения:
Период колебаний — минимальный промежуток времени Т, через который процесс полностью повторяется.
Амплитуда гармонических колебаний — модуль наибольшего значения колеблющейся величины.
Зная период, можно определить частоту колебаний, т. е. число колебаний в единицу времени, например в секунду. Если одно колебание совершается за время Т, то число колебаний за 1 с νопределяется так: ν = 1/Т.
Напомним, что в Международной системе единиц (СИ) частота колебаний равна единице, если за 1 с совершается одно колебание. Единица частоты называется герцем (сокращенно: Гц) в честь немецкого физика Генриха Ге р ц а.
Через промежуток времени, равный периоду Т, т. е. при увеличении аргумента косинуса на ω 0 Т, значение заряда повторяется и косинус принимает прежнее значение. Из курса математики известно, что наименьший период косинуса равен 2л. Следовательно, ω 0 Т =2π, откуда ω 0 = =2πν Таким образом, величина ω 0 — это число колебаний, но не за 1 с, а за 2л с. Она называется циклической или круговой частотой.
Частоту свободных колебаний называют собственной частотой колебательной системы. Часто в дальнейшем для краткости мы будем называть циклическую частоту просто частотой. Отличить циклическую частоту ω 0 от частоты ν можно по обозначениям.
По аналогии с решением дифференциального уравнения для механической колебательной системы циклическая частота свободных электриче ских колебаний равна:ω 0 =
Период свободных колебаний в контуре равен: Т==2π
— формула Томсона.
Фаза колебаний (от греческого слова phasis – появление, ступень развития какого-либо явления) – величина φ, стоящая под знаком косинуса или синуса. Выражается фаза в угловых единицах – радианах. Фаза определяет при заданной амплитуде состояние колебательной системы в любой момент времени.
Колебания с одинаковыми амплитудами и частотами могут отличаться друг от друга фазами.
Так как ω 0 = , то φ= ω 0 Т=2π . Отношение показывает, какая часть периода прошла от момента начала колебаний. Любому значению времени, выраженному в долях периода, соответствует значение фазы, выраженное в радианах. Так, по прошествии времени t= (четверти периода) φ=, по прошествии половины периода φ = π, по прошествии целого периода φ=2π и т.д.Можно изобразить на графике зависимость
заряда не от времени, а от фазы. На рисунке показана та же косинусоида, что и на предыдущем, но на горизонтальной оси отложены вместо времени
различные значения фазы φ.
Соответствие между механическими и электрическими величинами в колебательных процессах
Механические величины
Задачи .942(932). Начальный заряд, сообщенный конденсатору колебательного контура, уменьшили в 2 раза. Во сколько раз изменились: а) амплитуда напряжения; б) амплитуда силы тока;
в) суммарная энергия электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки?
943(933). При увеличении напряжения на конденсаторе колебательного контура на 20 В амплитуда силы тока увеличилась в 2 раза. Найти начальное напряжение.
945(935). Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 400 пФ и катушки индуктивностью L = 10 мГн. Найти амплитуду колебаний силы тока I т , если амплитуда колебаний напряжения U т = 500 В.
952(942). Через какое время (в долях периода t/T) на конденсаторе колебательного контура впервые будет заряд, равный половине амплитудного значения?
957(947). Катушку какой индуктивности надо включить в колебательный контур, чтобы при емкости конденсатора 50 пФ получить частоту свободных колебаний 10 МГц?
Колебательный контур. Период свободных колебаний.
1. После того как конденсатору колебательного контура был сообщён заряд q = 10 -5 Кл, в контуре возникли затухающие колебания. Какое количество теплоты выделится в контуре к тому времени, когда колебания в нём полностью затухнут? Ёмкость конденсатора С=0,01мкФ.
2. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью 400нФ и катушки индуктивностью 9мкГн. Каков период собственных колебаний контура?
3. Какую индуктивность надо включить в колебательный контур, чтобы при ёмкости 100пФ получить период собственных колебаний 2∙ 10 -6 с.
4. Сравнить жесткости пружин k1/k2 двух маятников с массами грузов соответственно 200г и 400г, если периоды их колебаний равны.
5. Под действием неподвижно висящего груза на пружине её удлинение было равно 6,4см. Затем груз оттянули и отпустили, вследствие чего он начал колебаться. Определить период этих колебаний.
6. К пружине подвесили груз, вывели его из положения равновесия и отпустили. Груз начал колебаться с периодом 0,5с. Определите удлинение пружины после прекращения колебаний. Массу пружины не учитывать.
7. За одно и то же время один математический маятник совершает 25 колебаний, а другой 15. Найти их длины, если один из них на 10см короче другого. 8. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью 10мФ и катушки индуктивности 100мГн. Найти амплитуду колебаний напряжения, если амплитуда колебаний силы тока 0,1А 9. Индуктивность катушки колебательного контура 0,5мГн. Требуется настроить этот контур на частоту 1МГц. Какова должна быть ёмкость конденсатора в этом контуре?Экзаменационные вопросы:
1. Какое из приведенных ниже выражений определяет период свободных колебаний в колебательном контуре? А.
; Б.
; В.
; Г.
; Д. 2
.
2. Какое из приведенных ниже выражений определяет циклическую частоту свободных колебаний в колебательном контуре? А. Б.
В.
Г.
Д. 2π
3. На рисунке представлен график зависимости координаты Х тела, совершающего гармонические колебания вдоль оси ох, от времени. Чему равен период колебания тела?
А. 1 с; Б. 2 с; В. 3 с. Г. 4 с.4. На рисунке изображён профиль волны в определённый момент времени. Чему равна её длина?
А. 0,1 м. Б. 0,2 м. В. 2 м. Г. 4 м. Д. 5 м.5. На рисунке представлен график зависимости силы тока через катушку колебательного контура от времени. Чему равен период колебаний силы тока? А. 0,4 с. Б. 0,3 с. В. 0,2 с. Г. 0,1 с.
Д. Среди ответов А-Г нет правильного.
6. На рисунке изображён профиль волны в определённый момент времени. Чему равна её длина?
А. 0,2 м. Б. 0,4 м. В. 4 м. Г. 8 м. Д. 12 м.
7. Электрические колебания в колебательном контуре заданы уравнением q =10 -2 ∙ cos 20t (Кл).
Чему равна амплитуда колебаний заряда?
А . 10 -2 Кл. Б.cos 20t Кл. В.20t Кл. Г.20 Кл. Д.Среди ответов А-Г нет правильного.
8. При гармонических колебаниях вдоль оси ОХ координата тела изменяется по закону X=0,2cos(5t+). Чему равна амплитуда колебаний тела?
А. Xм; Б. 0,2 м;В. сos(5t+) м; (5t+)м; Д.м
9. Частота колебаний источника волны 0,2 с -1 скорость распространения волны 10 м/с. Чему равна, длина волны? А. 0,02 м. Б. 2 м. В. 50 м.
Г. По условию задачи нельзя определить длину волны. Д. Среди ответов А-Г нет правильного.
10. Длина волны 40 м, скорость распространения 20 м/с. Чему равна частота колебаний источника волн?
А. 0,5 с -1 . Б. 2 с -1 . В. 800 с -1 .
Г. По условию задачи нельзя определить частоту колебания источника волн.
Д. Среди ответов А-Г нет правильного.
3
- Электромагнитные колебания – это периодические изменения со временем электрических и магнитных величин в электрической цепи.
- Свободными называются такие колебания , которые возникают в замкнутой системе вследствие отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия.
При колебаниях происходит непрерывный процесс превращения энергии системы из одной формы в другую. В случае колебаний электромагнитного поля обмен может идти только между электрической и магнитной составляющей этого поля. Простейшей системой, где может происходить этот процесс, является колебательный контур .
- Идеальный колебательный контур (LC-контур ) — электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C .
В отличие от реального колебательного контура, который обладает электрическим сопротивлением R , электрическое сопротивление идеального контура всегда равна нулю.{2}}{2},\)
Где W e — энергия электрического поля колебательного контура в данный момент времени, С — электроемкость конденсатора, u — значение напряжения на конденсаторе в данный момент времени, q — значение заряда конденсатора в данный момент времени, W m — энергия магнитного поля колебательного контура в данный момент времени, L — индуктивность катушки, i -значение силы тока в катушке в данный момент времени.
Процессы в колебательном контуре
Рассмотрим процессы, которые возникают в колебательном контуре.
Для выведения контура из положения равновесия зарядим конденсатор так, что на его обкладках будет заряд Q m (рис. 2, положение 1 ). С учетом уравнения \(U_{m}=\dfrac{Q_{m}}{C}\) находим значение напряжения на конденсаторе. Тока в цепи в этом момент времени нет, т.е. i = 0.
После замыкания ключа под действием электрического поля конденсатора в цепи появится электрический ток, сила тока i которого будет увеличиваться с течением времени. Конденсатор в это время начнет разряжаться, т.к. электроны, создающие ток, (Напоминаю, что за направление тока принято направление движения положительных зарядов) уходят с отрицательной обкладки конденсатора и приходят на положительную (см. рис. 2, положение 2 ). Вместе с зарядом q будет уменьшаться и напряжение u \(\left(u = \dfrac{q}{C} \right).\) При увеличении силы тока через катушку возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая изменению силы тока. Вследствие этого, сила тока в колебательном контуре будет возрастать от нуля до некоторого максимального значения не мгновенно, а в течение некоторого промежутка времени, определяемого индуктивностью катушки.
Заряд конденсатора q уменьшается и в некоторый момент времени становится равным нулю (q = 0, u = 0), сила тока в катушке достигнет некоторого значения I m (см. рис. 2, положение 3 ).
Без электрического поля конденсатора (и сопротивления) электроны, создающие ток, продолжают свое движение по инерции. При этом электроны, приходящие на нейтральную обкладку конденсатора, сообщают ей отрицательный заряд, электроны, уходящие с нейтральной обкладки, сообщают ей положительный заряд. На конденсаторе начинает появляться заряд q (и напряжение u ), но противоположного знака, т.е. конденсатор перезаряжается. Теперь новое электрическое поле конденсатора препятствует движению электронов, поэтому сила тока i начинает убывать (см. рис. 2, положение 4 ). Опять же это происходит не мгновенно, поскольку теперь ЭДС самоиндукции стремится скомпенсировать уменьшение тока и «поддерживает» его. А значение силы тока I m (в положении 3 ) оказывается максимальным значением силы тока в контуре.
И снова под действием электрического поля конденсатора в цепи появится электрический ток, но направленный в противоположную сторону, сила тока i которого будет увеличиваться с течением времени. А конденсатор в это время будет разряжаться (см. рис. 2, положение 6 )до нуля (см.{2} }{2}.\)
Полная энергия идеального колебательного контура сохраняется с течением времени, поскольку в нем потерь энергии (нет сопротивления). Тогда
\(W=W_{e\, \max } = W_{m\, \max } = W_{e2} + W_{m2} = W_{e4} +W_{m4} = …\)
Таким образом, в идеальном LC -контуре будут происходить периодические изменения значений силы тока i , заряда q и напряжения u , причем полная энергия контура при этом будет оставаться постоянной. В этом случае говорят, что в контуре возникли свободные электромагнитные колебания .
- Свободные электромагнитные колебания в контуре — это периодические изменения заряда на обкладках конденсатора, силы тока и напряжения в контуре, происходящие без потребления энергии от внешних источников.
Таким образом, возникновение свободных электромагнитных колебаний в контуре обусловлено перезарядкой конденсатора и возникновением ЭДС самоиндукции в катушке, которая «обеспечивает» эту перезарядку. Заметим, что заряд конденсатора q и сила тока в катушке i достигают своих максимальных значений Q m и I m в различные моменты времени.
Свободные электромагнитные колебания в контуре происходят по гармоническому закону:
\(q=Q_{m} \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _{1} \right), \; \; \; u=U_{m} \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _{1} \right), \; \; \; i=I_{m} \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _{2} \right).\)
Наименьший промежуток времени, в течение которого LC -контур возвращается в исходное состояние (к начальному значению заряда данной обкладки), называется периодом свободных (собственных) электромагнитных колебаний в контуре.
Период свободных электромагнитных колебаний в LC -контуре определяется по формуле Томсона:
\(T=2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}, \;\;\; \omega =\dfrac{1}{\sqrt{L\cdot C}}.\)
Сточки зрения механической аналогии, идеальному колебательному контурусоответствует пружинный маятник без трения, а реальному — с трением.{2} \cdot q=0,\)
замечаем, что это — уравнение гармонических колебаний с циклической частотой
\(\omega =\dfrac{1}{\sqrt{L\cdot C} }.\)
Соответственно период рассматриваемых колебаний
\(T=\dfrac{2\pi }{\omega } =2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}.\)
Литература
- Жилко, В.В. Физика: учеб. пособие для 11 класса общеобразоват. шк. с рус. яз. обучения / В.В. Жилко, Л.Г. Маркович. — Минск: Нар. Асвета, 2009. — С. 39-43.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
§1 Колебательный контур.
Собственные колебания в колебательном контуре.
Формула Томсона.
Затухающие и вынужденные колебания в к.к.
- Свободные колебания в к.к.
Колебательным контуром (к.к.) называется цепь, состоящая из конденсатора и катушки индуктивности. При определенных условиях в к.к. могут возникнуть электромагнитные колебания заряда, тока, напряжения и энергии.
Рассмотрим цепь, показанную на рис.2. Если поставить ключ в положение 1, то будет происходить заряд конденсатора и на его обкладках появится заряд Q и напряжение U C . Если затем перевести ключ в положение 2, то конденсатор начнет разряжаться, в цепи потечет ток, при этом энергия электрического поля, заключенного между обкладками конденсатора, будет превращаться в энергию магнитного поля, сосредоточенную в катушке индуктивности L . Нали-чие катушки индуктивности приводит к тому, что ток в цепи увеличивается не мгновенно, а постепенно из-за явления самоиндук-ции. По мере разряда конденсатора заряд на его обкладках будет уменьшаться, ток в цепи увеличиваться. Максимального значения контурный ток достигнет при заряде на обкладках равном нули. С этого момента контурный ток начнет уменьшаться, но, благодаря явлению самоиндукции, он будет поддерживаться магнитным полем катушки индуктивности, т.е. при полном разряде конденсатора энергия магнитного поля, запасенного в катушке индуктивности, начнет переходить в энергию электрического поля. Из-за контурного тока начнется перезаряд конденсатора и на его обкладках начнет накапливаться заряд противоположный первоначальному. Перезаряд конденсатора будет происходить до тех пор, пока вся энергия магнитного поля катушки индуктивности не перейдет в энергию электрического поля конденсатора. Затем процесс повторится в обратном направлении, и, таким образом, в цепи возникнут электромагнитные колебания.
Запишем 2 -й закон Кирхгофа для рассматриваемого к.к,
Дифференциальное уравнение к.к.
Мы получили дифференциальное уравнение колебаний заряда в к.к. Это уравнение аналогично дифференциальному уравнению, описывающему движение тела под действием квазиупругой силы. Следовательно, аналогично будет записываться и решение этого уравнения
Уравнение колебаний заряда в к.к.
Уравнение колебаний напряжения на обкладках конденсатора в к.к.
Уравнение колебаний тока в к.к.
- Затухающие колебания в к.к.
Рассмотрим к.к., содержащий емкость, индуктивность и сопротивление. 2-й закон Кирхгофа в этом случае запишется в виде
— коэффициент затухания,
Собственная циклическая частота.
— — дифференциальное уравнение затухающих колебаний в к.к.
Уравнение затухающих колебаний заряда в к.к.
Закон изменения амплитуды заряда при затухающих колебаниях в к.к.;
Период затухающих колебаний.
Декремент затухания.
— логарифмический декремент затухания.
Добротность контура.
Если затухание слабое, тогда Т ≈Т 0
Исследуем изменение напряжения на обкладках конденсатора.
Изменение тока отличается по фазе на φ от напряжения.
при — возможны затухающие колебания,
при — критическое положение
при , т.е. R > R К — колебания не возникают (апериодический разряд конденсатора).
Свободные колебания хорошо воспринимаются на примере пружинного или математического маятника, однако они могут происходить не только в механических системах, но и в электрических цепях. Одним из примеров таких цепей является колебательный $LCR$-контур.
Определение
Колебательный контур (LCR-контур) — электрическая цепь, состоящая из конденсатора ёмкостью $C$, катушки индуктивностью $L$ и резистора сопротивлением $R$. В этой цепи происходят свободные затухающие электромагнитные колебания, причём скорость затухания этих колебаний определяется сопротивлением $R$ резистора.
Идеальный колебательный контур (LC-контур) — колебательный контур, в котором отсутствует электрическое сопротивление $R$. В нём происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания.
Вид контура определяется способом соединения его элементов. Например, при их последовательном соединении колебательный контур называют последовательным.
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР ($LC$-КОНТУР)
Исследуем поведение $LC$-контура. Рассмотрим последовательно соединённые конденсатор ёмкостью $C$, катушку индуктивностью $L$ и разомкнутый ключ $K$.
Предположим, что конденсатор был первоначально заряжен до напряжения $U_0$ так, как показано на рисунке. Что будет происходить в контуре после замыкания ключа $K$?
Общий анализ
В контуре будет протекать синусоидальный ток, который будет периодически то разряжать, то заряжать конденсатор.
Каждая из основных величин будет изменяться по закону синуса или косинуса с циклической (собственной) частотой
$\omega=\dfrac{1}{\sqrt{L{\cdot}C}}{\textrm{.}}$
| Сила тока $I$ в контуре | Заряд $q$ конденсатора | Напряжение $U_C$ на конденсаторе | Напряжение $U_L$ на катушке |
| $I=I_0{\cdot}\sin(\omega{\cdot}t)$ | $q=q_0{\cdot}\cos(\omega{\cdot}t)$ | $U_C=U_0{\cdot}\cos(\omega{\cdot}t)$ | $U_L=U_0{\cdot}\cos(\omega{\cdot}t)$ |
доказательство
Первоначальный заряд конденсатора равен $q_0=C{\cdot}U_0$. Сразу после замыкания ключа $K$ ток в цепи не изменится скачком и будет нулевым. Это связано с наличием катушки индуктивности, в которой изменению тока воспрепятствует ЭДС самоиндукции $ℰ_{si}$.
Напряжение $U_C$ на конденсаторе прямо пропорционально его заряду $q$, то есть
$U_C=\dfrac{q}{C}{\textrm{.}}$
Напряжение $U_L$ на катушке определяется её ЭДС самоиндукции $ℰ_{si}$ по формуле
$U_L=-ℰ_{si}=L{\cdot}I»(t){\textrm{,}}$
где $I»(t)=\dfrac{{\Delta}I}{{\Delta}t}$ — скорость изменения тока $I$ (производная тока).
Электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивности и конденсатора (см. рисунок), называется колебательным контуром. В этой цепи могут происходить своеобразные электрические колебания. Пусть, например, в начальный момент времени мы заряжаем пластины конденсатора положительным и отрицательным зарядами, а затем разрешим зарядам двигаться. Если бы катушка отсутствовала, конденсатор начал бы разряжаться, в цепи на короткое время возник электрический ток, и заряды пропали бы. Здесь же происходит следующее. Сначала благодаря самоиндукции катушка препятствует увеличению тока, а затем, когда ток начинает убывать, препятствует его уменьшению, т.е. поддерживает ток. В результате ЭДС самоиндукции заряжает конденсатор с обратной полярностью: та пластина, которая изначально была заряжена положительно, приобретает отрицательный заряд, вторая — положительный. Если при этом не происходит потерь электрической энергии (в случае малого сопротивления элементов контура), то величина этих зарядов будет такая же, как величина первоначальных зарядов пластин конденсатора. В дальнейшем движение процесс перемещения зарядов будет повторяться. Таким образом, движение зарядов в контуре представляет собой колебательный процесс.
Для решения задач ЕГЭ, посвященных электромагнитным колебаниям, нужно запомнить ряд фактов и формул, касающихся колебательного контура. Во-первых, нужно знать формулу для периода колебаний в контуре. Во-вторых, уметь применять к колебательному контуру закон сохранения энергии. И, наконец (хотя такие задачи встречаются редко), уметь использовать зависимости силы тока через катушку и напряжения на конденсаторе от времени
Период электромагнитных колебаний в колебательном контуре определяется соотношением:
где и — заряд на конденсаторе и сила тока в катушке в этот момент времени, и — емкость конденсатора и индуктивность катушки. Если электрическое сопротивление элементов контура мало, то электрическая энергия контура (24.2) остается практически неизменной, несмотря на то, что заряд конденсатора и ток в катушке изменяются с течением времени. Из формулы (24.4) следует, что при электрических колебаниях в контуре происходят превращения энергии: в те моменты времени, когда ток в катушке равен нулю, вся энергия контура сводится к энергии конденсатора. В те моменты времени, когда равен нулю заряд конденсатора, энергия контура сводится к энергии магнитного поля в катушке. Очевидно, в эти моменты времени заряд конденсатора или ток в катушке достигают своих максимальных (амплитудных) значений.
При электромагнитных колебаниях в контуре заряд конденсатора изменяется с течением времени по гармоническому закону:
стандартной для любых гармонических колебаний. Поскольку сила тока в катушке представляет собой производную заряда конденсатора по времени, из формулы (24.4) можно найти зависимость силы тока в катушке от времени
В ЕГЭ по физике часто предлагаются задачи на электромагнитные волны. Необходимый для решения этих задач минимум знаний включает в себя понимание основных свойств электромагнитной волны и знание шкалы электромагнитных волн. Сформулируем кратко эти факты и принципы.
Согласно законам электромагнитного поля переменное магнитное поле порождает поле электрическое, переменное электрическое поле порождает поле магнитное. Поэтому если одно из полей (например, электрическое) начнет меняться, возникнет второе поле (магнитное), которое затем снова порождает первое (электрическое), затем снова второе (магнитное) и т.д. Процесс взаимного превращения друг в друга электрического и магнитного полей, который может распространяться в пространстве, называется электромагнитной волной. Опыт показывает, что направления, в которых колеблются векторы напряженности электрического и индукции магнитного поля в электромагнитной волне перпендикулярны направлению ее распространения. Это означает, что электромагнитные волны являются поперечными. В теории электромагнитного поля Максвелла доказывается, что электромагнитная волна создается (излучается) электрическими зарядами при их движении с ускорением. В частности, источником электромагнитной волны является колебательный контур.
Длина электромагнитной волны , ее частота (или период ) и скорость распространения связаны соотношением, которое справедливо для любой волны (см. также формулу (11.6)):
Электромагнитные волны в вакууме распространяются со скоростью = 3 10 8 м/с, в среде скорость электромагнитных волн меньше, чем в вакууме, причем эта скорость зависит от частоты волны. Такое явление называется дисперсией волн. Электромагнитной волне присущи все свойства волн, распространяющихся в упругих средах: интерференция, дифракция, для нее справедлив принцип Гюйгенса. Единственное, что отличает электромагнитную волну, это то, что для ее распространения не нужна среда — электромагнитная волна может распространяться и в вакууме.
В природе наблюдаются электромагнитные волны с сильно отличающимися друг от друга частотами, и обладающие благодаря этому существенно различными свойствами (несмотря на одинаковую физическую природу). Классификация свойств электромагнитных волн в зависимости от их частоты (или длины волны) называется шкалой электромагнитных волн. Дадим краткий обзор этой шкалы.
Электромагнитные волны с частотой меньшей 10 5 Гц (т.е. с длиной волны, большей нескольких километров) называются низкочастотными электромагнитными волнами. Излучают волны такого диапазона большинство бытовых электрических приборов.
Волны с частотой от 10 5 до 10 12 Гц называются радиоволнами. Этим волнам отвечают длины волн в вакууме от нескольких километров до нескольких миллиметров. Эти волны применяются для радиосвязи, телевидения, радиолокации, сотовых телефонов. Источниками излучения таких волн являются заряженные частицы, движущиеся в электромагнитных полях. Радиоволны излучаются также свободными электронами металла, которые совершают колебания в колебательном контуре.
Область шкалы электромагнитных волн с частотами, лежащими в интервале 10 12 — 4,3 10 14 Гц (и длинами волн от нескольких миллиметров до 760 нм) называется инфракрасным излучением (или инфракрасными лучами). Источником такого излучения служат молекулы нагретого вещества. Человек излучает инфракрасные волны с длиной волны 5 — 10 мкм.
Электромагнитное излучение в интервале частот 4,3 10 14 — 7,7 10 14 Гц (или длин волн 760 — 390 нм) воспринимается человеческим глазом как свет и называется видимым светом. Волны различных частот внутри этого диапазона воспринимаются глазом, как имеющие различный цвет. Волна с самой маленькой частотой из видимого диапазона 4,3 10 14 воспринимается как красная, с самой большой частотой внутри видимого диапазона 7,7 10 14 Гц — как фиолетовая. Видимый свет излучается при переходе электронов в атомах, молекулами твердых тел, нагретых до 1000 °С и более.
Волны с частотой 7,7 10 14 — 10 17 Гц (длина волны от 390 до 1 нм) принято называть ультрафиолетовым излучением. Ультрафиолетовое излучение имеет выраженное биологическое действие: оно способно убивать ряд микроорганизмов, способно вызвать усиление пигментации человеческой кожи (загар), при избыточном облучении в отдельных случаях может способствовать развитию онкологических заболеваний (рак кожи). Ультрафиолетовые лучи содержатся в излучении Солнца, в лабораториях создаются специальными газоразрядными (кварцевыми) лампами.
За областью ультрафиолетового излучения лежит область рентгеновских лучей (частота 10 17 — 10 19 Гц, длина волны от 1 до 0,01 нм). Эти волны излучаются при торможении в веществе заряженных частиц, разогнанных напряжением 1000 В и более. Обладают способностью проходить сквозь толстые слои вещества, непрозрачного для видимого света или ультрафиолетового излучения. Благодаря этому свойству рентгеновские лучи широко используются в медицине для диагностики переломов костей и ряда заболеваний. Рентгеновские лучи оказывают губительное действие на биологические ткани. Благодаря этому свойству их можно использовать для лечения онкологических заболеваний, хотя при избыточном облучении они смертельно опасны для человека, вызывая целый ряд нарушений в организме. Из-за очень малой длины волны волновые свойства рентгеновского излучения (интерференцию и дифракцию) можно обнаружить только на структурах, сравнимых с размерами атомов.
Гамма-излучением (-излучением) называют электромагнитные волны с частотой, большей, чем 10 20 Гц (или длиной волны, меньшей 0,01 нм). Возникают такие волны в ядерных процессах. Особенностью -излучения является его ярко выраженные корпускулярные свойства (т.е. это излучение ведет себя как поток частиц). Поэтому о -излучении часто говорят как о потоке -частиц.
В задаче 24.1.1 для установления соответствия между единицами измерений используем формулу (24.1), из которой следует, что период колебаний в контуре с конденсатором емкостью 1 Ф и индуктивностью 1 Гн равен секунд (ответ 1 ).
Из графика, данного в задаче 24.1.2 , заключаем, что период электромагнитных колебаний в контуре составляет 4 мс (ответ 3 ).
По формуле (24.1) находим период колебаний в контуре, данном в задаче 24.1.3 :
(ответ 4 ). Отметим, что согласно шкале электромагнитных волн такой контур излучает волны длинноволнового радиодиапазона.
Периодом колебания называется время одного полного колебания. Это значит, что если в начальный момент времени конденсатор заряжен максимальным зарядом (задача 24.1.4 ), то через половину периода конденсатор будет также заряжен максимальным зарядом, но с обратной полярностью (та пластина, которая изначально была заряжена положительно, будет заряжена отрицательно). А максимальный в контуре ток будет достигаться между этими двумя моментами, т.е. через четверть периода (ответ 2 ).
Если увеличить индуктивность катушки в четыре раза (задача 24.1.5 ), то согласно формуле (24.1) период колебаний в контуре возрастет в два раза, а частота уменьшится в два раза (ответ 2 ).
Согласно формуле (24.1) при увеличении емкости конденсатора в четыре раза (задача 24.1.6 ) период колебаний в контуре увеличивается в два раза (ответ 1 ).
При замыкании ключа (задача 24.1.7 ) в контуре вместо одного конденсатора будут работать два таких же конденсатора, соединенных параллельно (см. рисунок). А поскольку при параллельном соединении конденсаторов их емкости складываются, то замыкание ключа приводит к двукратному увеличению емкости контура. Поэтому из формулы (24.1) заключаем, что период колебаний увеличивается в раз (ответ 3 ).
Пусть заряд на конденсаторе совершает колебания с циклической частотой (задача 24.1.8 ). Тогда согласно формулам (24.3)-(24.5) с той же частотой будет совершать колебаний ток в катушке. Это значит, что зависимость тока от времени может быть представлена в виде . Отсюда находим зависимость энергии магнитного поля катушки от времени
Из этой формулы следует, что энергия магнитного поля в катушке совершает колебания с удвоенной частотой, и, значит, с периодом, вдвое меньшим периода колебания заряда и тока (ответ 1 ).
В задаче 24.1.9 используем закон сохранения энергии для колебательного контура. Из формулы (24.2) следует, что для амплитудных значений напряжения на конденсаторе и тока в катушке справедливо соотношение
где и — амплитудные значения заряда конденсатора и тока в катушке. Из этой формулы с использованием соотношения (24.1) для периода колебаний в контуре находим амплитудное значение тока
ответ 3 .
Радиоволны — электромагнитные волны с определенными частотами. Поэтому скорость их распространения в вакууме равна скорости распространения любых электромагнитных волн, и в частности, рентгеновских. Эта скорость — скорость света (задача 24.2.1 — ответ 1 ).
Как указывалось ранее, заряженные частицы излучают электромагнитные волны при движении с ускорением. Поэтому волна не излучается только при равномерном и прямолинейном движении (задача 24.2.2 — ответ 1 ).
Электромагнитная волна — это особым образом изменяющиеся в пространстве и времени и поддерживающие друг друга электрическое и магнитное поля. Поэтому правильный ответ в задаче 24.2.3 — 2 .
Из данного в условии задачи 24.2.4 графика следует, что период данной волны — = 4 мкс. Поэтому из формулы (24.6) получаем м (ответ 1 ).
В задаче 24.2.5 по формуле (24.6) находим
(ответ 4 ).
С антенной приемника электромагнитных волн связан колебательный контур. Электрическое поле волны действует на свободные электроны в контуре и заставляет их совершать колебания. Если частота волны совпадает с собственной частотой электромагнитных колебаний, амплитуда колебаний в контуре возрастает (резонанс) и может быть зарегистрирована. Поэтому для приема электромагнитной волны частота собственных колебаний в контуре должна быть близка к частоте этой волны (контур должен быть настроен на частоту волны). Поэтому если контур нужно перенастроить с волны длиной 100 м на волну длиной 25 м (задача 24.2.6 ), собственная частота электромагнитных колебаний в контуре должна быть увеличена в 4 раза. Для этого согласно формулам (24.1), (24.4) емкость конденсатора следует уменьшить в 16 раз (ответ 4 ).
Согласно шкале электромагнитных волн (см. введение к настоящей главе), максимальной длиной из перечисленных в условии задачи 24.2.7 электромагнитных волн обладает излучение антенны радиопередатчика (ответ 4 ).
Среди перечисленных в задаче 24.2.8 электромагнитных волн максимальной частотой обладает рентгеновское излучение (ответ 2 ).
Электромагнитная волна является поперечной. Это значит, что векторы напряженности электрического поля и индукции магнитного поля в волне в любой момент времени направлены перпендикулярно направлению распространения волны. Поэтому при распространении волны в направлении оси (задача 24.2.9 ), вектор напряженности электрического поля направлен перпендикулярно этой оси. Следовательно, обязательно равна нулю его проекция на ось = 0 (ответ 3 ).
Скорость распространения электромагнитной волны — есть индивидуальная характеристика каждой среды. Поэтому при переходе электромагнитной волны из одной среду в другую (или из вакуума в среду) скорость электромагнитной волны изменяется. А что можно сказать о двух других параметрах волны, входящих в формулу (24.6), — длине волны и частоте . Будут ли они изменяться при переходе волны из одной среды в другую (задача 24.2.10 )? Очевидно, что частота волны не изменяется при переходе из одной среды в другую. Действительно, волна это колебательный процесс, в котором переменное электромагнитное поле в одной среде создает и поддерживает поле в другой среде благодаря именно этим изменениям. Поэтому периоды этих периодических процессов (а значит и частоты) в одной и другой среде должны совпадать (ответ 3 ). А поскольку скорость волны в разных средах разная, то из проведенных рассуждений и формулы (24.6) следует, что длина волны при ее переходе из одной среды в другую — изменяется.
Расчет напряжения на зарядно-разрядном конденсаторе
Здесь выводится выражение для получения мгновенного напряжения на зарядном конденсаторе как функции времени, то есть V (t).
Рассмотрим конденсатор, подключенный последовательно с резистором к источнику постоянного постоянного тока через переключатель S.
«C» — это значение емкости, а « R» — значение сопротивления . ‘V’ — это напряжение источника постоянного тока, а « v » — мгновенное напряжение на конденсаторе.
Когда переключатель «S» замкнут, ток течет через конденсатор, и он заряжается до напряжения V от значения 0. По мере заряда конденсатора напряжение на конденсаторе увеличивается, а ток в цепи постепенно уменьшается. Для незаряженного конденсатора ток в цепи будет максимальным в момент переключения. И зарядные токи достигают примерно нулевого значения, когда потенциал на конденсаторе становится равным напряжению источника «V».
Этапы вывода уравнения заряда конденсатора,
С учетом закона напряжения, напряжение источника будет равно общему падению напряжения в цепи.
Следовательно,
Перепишите уравнение для выполнения функции интегрирования,
RHS упрощение,
При интегрировании получаем,
Поскольку мы рассматриваем незаряженный конденсатор (нулевое начальное напряжение), значение постоянной «K» может быть получено путем подстановки начальных условий времени и напряжения.В момент замыкания переключателя начальное условие — время t = 0, а напряжение на конденсаторе — v = 0.
Таким образом, мы получаем logV = k для t = 0 и v = 0.
Принимая экспоненту с обеих сторон,
Из приведенного выше выражения ясно, что мгновенное напряжение будет результатом таких факторов, как емкость, сопротивление последовательно с конденсатором, время и значение приложенного напряжения.
По мере увеличения значения постоянной RC значение экспоненциальной функции также увеличивается.То есть скорость нарастания напряжения на конденсаторе будет меньше со временем. Это показывает, что время зарядки конденсатора увеличивается с увеличением постоянной времени RC.
По мере увеличения значения времени «t» этот член уменьшается, и это означает, что напряжение на конденсаторе почти достигает значения насыщения.
Заряд
q и ток заряда i конденсатораВыражение для напряжения на зарядном конденсаторе получается как,
ν = V (1- e -t / RC ) → уравнение (1).
В — напряжение источника
ν — мгновенное напряжение
C — емкость
R — сопротивление
т — время
Напряжение заряженного конденсатора, В = Q / C .
Q — Максимальный заряд
Мгновенное напряжение, v = q / C .
q — мгновенный заряд
q / C = Q / C (1- e -t / RC )
q = Q (1-e -t / RC )
Зарядный ток
Для конденсатора поток зарядного тока постепенно уменьшается до нуля по экспоненциальной функции затухания по времени.
Из закона напряжения,
ν = V (1-e -t / RC )
ν = V — V e -t / RC
V — ν = V e -t / RC → уравнение (2)
Напряжение источника, V = падение напряжения на резисторе (IR) + напряжение на конденсаторе ( ν ).
V = i R + ν
В — ν = i R
Заменить V — ν = i R в уравнение 2.
Следовательно, i R = V e -t / RC
i = (V / R) e -t / RC
Поскольку V — это напряжение источника, а R — сопротивление, V / R будет максимальным значением тока, который может протекать через цепь.
V / R = Imax
i = Imax e -t / RC
Вывод уравнения разряда конденсатора
Для разряжающегося конденсатора напряжение на конденсаторе v разряжается до нуля.
Применяя закон Кирхгофа, v равно падению напряжения на резисторе R.
Ток i через резистор переписывается, как указано выше, и подставляется в уравнение 1.
Интегрируя и переставляя приведенное выше уравнение, мы получаем
Применение экспоненциальной функции,
Мгновенное напряжение на разряжающемся конденсаторе v = V e -t / RC
Мгновенный заряд, q = Q e -t / RC
Мгновенный ток, i = — Imax e -t / RC
Из приведенных выше уравнений ясно, что напряжение, ток и заряд конденсатора экспоненциально затухают во время разряда.Ток разряда имеет отрицательный знак, поскольку его направление противоположно току заряда.
электрических цепей — законы Кирхгофа, разряд конденсаторов, знаковая конвенция
Интересный факт в этом вопросе заключается в том, что его бы не спросили, анализируется ли это схема 1 , но если это схема 2 или схема 3 , часто возникает вопрос / обсуждение знаков.
Чтобы решить такие проблемы, нужно иметь соглашение (набор правил), и, поскольку их много, это часто может привести к кондитерским изделиям.
Что означают символы в цепи 1 ?
$ \ mathcal E $ — это разность потенциалов (ЭДС) в идеальной ячейке с узлом $ Z $, имеющим более высокий потенциал относительно узла $ X $.
Так будет всегда, независимо от направления тока в цепи.
$ I $ — это ток в цепи, который обычно направлен таким образом, что выходит из положительного вывода ячейки.
Направление выбрано так, чтобы числовое значение $ I $ было положительным.
Если обнаружено, что числовое значение $ I $ отрицательное, то фактический ток течет в противоположном направлении.
$ v _ {\ rm C} $ и $ v _ {\ rm R} $ — разности потенциалов на конденсаторе и резисторе соответственно.
Как показано на рисунке с током, протекающим через резистор в узле $ Y $, потенциал узла $ Y $ выше потенциала узла $ X $ на $ v _ {\ rm R} $ и $ v _ {\ rm R} $ будет положительным числом. $ v _ {\ rm R} = IR $
Знаки плюс и минус у символа резистора указывают на то, что $ v _ {\ rm R} $ — это потенциал узла $ Y $ (положительный знак) относительно потенциал узла $ X $ (знак минус).
Может случиться так, что числовое значение $ v _ {\ rm R} $ отрицательное, что указывало бы на то, что потенциал узла $ X $ был выше, чем у узла $ Y $, и ток протекал в другую сторону от указанного. на принципиальной схеме.
То же самое для конденсатора, где $ v _ {\ rm C} $ — потенциал узла $ Z $ относительно узла $ Y $ с верхней пластиной, несущей положительный заряд $ Q $ с $ Q = Cv _ {\ rm C } $.
$ v _ {\ rm C} $ может иметь отрицательное значение, и это будет означать, что именно нижняя пластина имеет положительный заряд.
Применение правила Кирхгофа к этой цепи, движущейся по часовой стрелке, дает
$ \ mathcal E — v _ {\ rm C} — v _ {\ rm R} = 0 \ Rightarrow \ mathcal E — \ frac QC -IR = 0 $
, который может быть решен с учетом начальных условий и с учетом того, что $ I = \ frac {dQ} {dt} $
Теперь посмотрите на диаграмму 2 , которая совпадает с диаграммой 1 с $ \ mathcal E = 0 $, поэтому применение правила Кирхгофа дает
$ v _ {\ rm C} + v _ {\ rm R} = 0 \ Стрелка вправо \ frac QC + IR = 0 $
, это уравнение, используемое вашим учителем.
Но метки, используемые вашим учителем, немного отличаются с направлением тока, обратным, как в схеме 3 .
Это не имеет значения, потому что если проанализировать схему 2 , значение $ I $ будет отрицательным, показывая, что текущее направление — против часовой стрелки.
Чтобы проиллюстрировать этот момент о текущем направлении, вы, вероятно, были вполне довольны уравнением для цепи 1 , но обратите внимание, что это уравнение все равно будет верным, если начальные условия, где $ \ mathcal E = +3 \, \ rm V $ и $ v _ {\ rm C} = +5 \, \ rm V $, т.е. конденсатор начинает с некоторого заряда на нем.
Это привело бы к тому, что ток $ I $, который изначально был отрицательным (течением против часовой стрелки), позже стал положительным (течением по часовой стрелке).
Решение $ \ frac QC + \ frac {dQ} {dt} R = 0 $ для заряда конденсатора в цепи 2 дает
$ Q (t) = Q (0) \ exp \ left (- \ frac {t} {RC} \ right) $ и $ I (t) = — \ frac {Q (0)} {RC} \ exp \ left (- \ frac {t} {RC} \ right) $
с ожидаемым отрицательным значением для текущего, т.е. против часовой стрелки.
Применение закона Кирхгофа к цепи 3 действительно дает $ v_R — v _ {\ rm R} = 0 $ и $ IR — \ frac QC = 0 $, но теперь вы должны быть осторожны с соединением между текущим $ I $ и заряд $ Q $.
Это полностью описано в разделе «Переменные токи 1: разрядка конденсатора», где вы замечаете, что автор говорит, что, зная, что заряд будет уменьшаться со временем, и поэтому значение $ \ frac {dQ} {dt} $ отрицательное, чтобы сделать $ I $ положительным. нужно использовать $ I = — \ frac {dQ} {dt} $.
Уравнение, которое необходимо решить, такое же, как и до
$ \ frac QC -IR = 0 \ Rightarrow \ frac QC — \ left (- \ frac {dQ} {dt} \ right) R = 0 \ Rightarrow \ frac QC + \ frac {dQ} {dt} R = 0 $
, но на этот раз ток будет положительным, но все еще против часовой стрелки.
Импеданс
ИмпедансЗакон Ома описывает связь между ток и напряжение в цепях, которые находятся в равновесии, то есть когда ток и напряжение не меняются. Когда у нас есть ситуация, когда изменяется ток (часто называемая цепью переменного тока) факторы должны быть приняты во внимание.
Реактивное сопротивлениеЕсть устройства, которые выступают против любых изменений в текущий поток. Их не замечают, пока не изменится напряжение, но когда это происходит, эти устройства проявляют удивительные свойства, впитывая ток и возвращение его позже, так что вычисления по закону Ома выйти не так.Свойство противоположного изменения называется реактивным сопротивлением. Он также измеряется в омах.
КонденсаторыЕсли сделать бутерброд из двух металлических пластин и кусок стекла, вы сделали конденсатор. Если вы примените положительное напряжение на одну пластину и отрицательное напряжение на другую, некоторое время будет протекать ток, потому что стекло может хранить электроны. Со временем это прекратится, так как стекло впитает столько же электроны как можно.На этом этапе мы говорим, что конденсатор полностью заряжен. заряжен, и вольтметр, подключенный между двумя пластинами, покажет Чтение близко к тому, что изначально давало ток. Если вы затем соедините две металлические пластины вместе, ток будет течь. в противоположном направлении по мере разряда конденсатора.
Текущий поток не является стабильным на протяжении всего этого процесс. Начиная с разряженной стадии ток течет сильно сначала, но замедляется по мере того, как напряжение на конденсаторе приближается к зарядному напряжению.Аналогично, при разряде ток сначала течет сильно, затем сужается по мере приближения заряда нуль. Любое сопротивление между источником заряда и разряженным конденсатор ограничит начальный зарядный ток — поскольку конденсатор заряжает напряжение на резисторе снижается (это разница между источником напряжения и возрастающим напряжением пластину конденсатора.) Резистор подчиняется закону Ома, поэтому ток в конденсатор (и, очевидно, с другой стороны) истощается в Показанная здесь постепенная кривая:
Ток заряда конденсатора
Это означает, что напряжение на конденсаторе изменения кривой тоже:
Напряжение на конденсаторе во время его зарядки.
Время, необходимое для этого, определяется по сопротивлению, через который должен проходить ток, а также по размеру и материал конденсатора. Поскольку в конце он меняется очень медленно, невозможно определить время, когда конденсатор заряжен на 100%. В на самом деле он никогда не попадает туда. «Постоянная времени» определяется как время, необходимое для достижения 63% полной зарядки. Значение для измерения размер конденсатора (называемый емкостью) определяется формула
Емкость измеряется в фарадах, а единица измерения Фарадный конденсатор, включенный последовательно с резистором сопротивлением 1 Ом, имеет постоянную времени одной секунды.В реальной жизни мы имеем дело с большими сопротивлениями и довольно короткое время, поэтому конденсаторы в большинстве цепей имеют номинал диапазон микрофарад. (Это 10-6 фарад.)
Если вы соедините два конденсатора параллельно, вы сделайте конденсатор большего размера, и их значения сложатся:
Если они соединены последовательно, вы получите это:
переменного тока и конденсатор
А теперь представьте зарядку и разрядку конденсатор очень быстро — мы могли бы сделать это с помощью тонального генератора вместо батареи в качестве источника напряжения.
Если начать с высокой частоты и посмотреть ток через цепь, это почти как если бы конденсатор там вообще не было! Это потому, что ток самый высокий в начале цикл заряда, и если источник тока сильно меняет направление быстрее, чем постоянная времени, это всегда в начале цикла зарядки. При уменьшении частоты амплитуда тока уменьшается — до точка, где нет ничего, кроме легкой ряби на устойчивой стоимость.
Есть еще одна важная вещь, на которую следует обратить внимание здесь: ток на 90 ° не совпадает по фазе с напряжением, текущее лидерство.
Как видите, у нас есть ситуация, когда Закон Ома не раскрывает всей истории. Ток через конденсатор зависит от частоты сигнала. Частота зависимым противодействием току является реактивное сопротивление, которое указано в формулы буквой X. Емкостное реактивное сопротивление находится с помощью формула:
X — реактивное сопротивление в Ом.
F — частота в герцах.
C — емкость в фарадах.
Так как частотный член находится внизу дроби, вы можете видеть, что по мере того, как частота падает, реактивное сопротивление Продолжается. Другими словами, конденсаторы препятствуют низкой частоте сигналы.
Объединение емкостного реактивного сопротивления и сопротивление
Чтобы закон Ома работал для изменения токов, мы переопределяем его как
I = E / Z
Где Z представляет импеданс , противостояние всему текущему, меняется или нет.Импеданс последовательно включенные резистор и конденсатор находится по формуле:
Полное сопротивление резистора и конденсатора в параллельный немного сложнее:
Простой фильтр
А резистор и конденсатор можно объединить в сделайте схему делителя переменного тока или фильтра.
При низкой частоте сопротивление конденсатор высокий, поэтому большая часть тока будет проходить через резистор.По мере увеличения частоты отводится больше тока. через конденсатор, меньше на остальную часть цепи. Таким образом ответ низкий. Если вы поменяли местами конденсатор и резистор, у вас будет схема высоких частот.
Частота среза определяется как частота, при которой сопротивление резистора равно реактивное сопротивление конденсатора. В этот момент сигнал составляет 0,707 раза. исходная амплитуда или уменьшенная на 3 дБ. Выше частоты среза, сигнал падает на 6 дБ на октаву.Ниже этой точки (в полоса пропускания) сигнал не изменяется. Чтобы найти отсечку частота:
Катушки индуктивности
Конденсаторы— не единственные гаджеты, у которых есть реактивное сопротивление. Если вы возьмете какой-нибудь провод и плотно намотаете его, значит, вы сделали индуктор. Вот что происходит:
Когда ток проходит через индуктором L создается магнитное поле. Не появляется внезапно он накапливается.Магнитное поле, движущееся мимо провода, создает ток, и растущее поле движется. В этом случае он движется за провода самой катушки таким образом, чтобы противостоять входящий ток, поэтому текущий поток задерживается следующим образом:
Текущий потокЗнакомо? Это такая же кривая, как конденсатор, за исключением того, что ток через катушку индуктивности строится как напряжение на конденсаторе. (И да, напряжение на катушке индуктивности начинается с высокого уровня и падает, как ток в конденсатор.) Что я на самом деле Интересно в индукторах то, что после источника тока удалены, коллапсирующее магнитное поле поддерживает ток в течение немного.
Во многих отношениях катушка индуктивности противоположна конденсатор. Имеет постоянную времени:
Где L — индуктивность в единицах называется Генрис. Индуктивность для катушек индуктивности последовательно и параллельно следует форме для резисторов, по крайней мере, если катушки индуктивности не достаточно близко друг к другу, чтобы взаимодействовать магнитно.
Реактивное сопротивление катушки индуктивности:
Так как частота просто умножается на индуктивности, индукторы препятствуют высокочастотным сигналам. Когда вы применяете синусоидальной волны к катушке индуктивности, ток отстает от напряжения на 90 °.
Можно делать фильтры с резисторами и индукторы, но они не распространены в аудио, потому что индукторы подходящего размера довольно большие. Их используют в радио- и видеосхемах много.
Катушки индуктивности и конденсаторы комбинированный
При включении индуктора последовательно с конденсатор, получается интересный эффект. Сопротивление найдено по:
Импеданс — это абсолютное значение разница реактивных сопротивлений конденсатора и катушки индуктивности. Поскольку частота сигнала используется для вычисления обеих частей реактивного сопротивления, но одна возрастает с частотой, а один падает, кривая импеданса выглядит как это:
Существует магическая частота, называемая резонансная частота, где течет много тока, но выше и ниже резонанса ток меньше.Если конденсатор и индуктивности включены параллельно, эта формула дает полное сопротивление:
График частоты текущих стихов выглядит как это:
Что здесь происходит? Ну на низком частот индуктор пропускает почти все (помните, индуктор — это просто провод для постоянного тока), а конденсатор все блокирует. При повышении частоты катушка индуктивности тормозит, но конденсатор перенимать.Когда импедансы обоих совпадают, вы не получаете тока поток. Как это возможно?
Это из-за смены фаз: ток через конденсатор на 90 ° опережает напряжение, а ток через индуктор находится на 90 ° сзади. Когда цепь находится в резонанс, два компенсируются. В реальных схемах последовательное сопротивление имеет тенденцию к уменьшению пиков. Это называется демпфированием, и отношение индуктивное сопротивление к сопротивлению известно как Q (для качества фактор).
Трансформаторы
Как я уже говорил, вы не видите много индукторы в аудиосхемах, в первую очередь из-за размера, но также потому что они не очень точны по сравнению с конденсаторами. Существует один жизненно важная функция, которую могут выполнять только индукторы:
Если две катушки индуктивности расположены близко друг к другу, ток протекание в одном из них вызовет ток в другом. Такое расположение называется трансформатором.Что касается звука, есть три полезных особенности трансформаторов:
- Правая часть (вторичная) цепи полностью изолирован от левого (первичного). Это означает, что любой стабильное напряжение (или смещение постоянного тока) от источника не появляется при конечный результат.
- Если во вторичной обмотке больше витков катушки, чем в первичной, напряжение, развиваемое на вторичный будет пропорционально выше.Это не может быть бесплатно — ток во вторичной обмотке будет пропорционально меньше. В другом словами, мощность (напряжение, умноженное на ток) постоянна.
- Если провода от истока к трансформатор длинный, есть вероятность, что паразитные токи будут индуцированы от внешних источников (радиосигналы, гудящие поля и прочий хлам). Поскольку эти токи будут иметь одинаковое направление в обоих проводах, они не будут развивать напряжение на первичной обмотке, поэтому нет шума ток появится во вторичном.
Итак, используем трансформаторы для изоляции шума подавление и изменение напряжения сигналов переменного тока (чаще всего для регулировки питание от сети на что-нибудь полезное для аудиосистемы.) упомяните их еще раз. Просто помните, что трансформаторы — это катушки индуктивности. во-первых и имеют все импедансные и частотные эффекты, которые у нас есть только что обсудили.
шт. 01.10.98
Вернуться к Mu126 Темы
Уравнение зарядки и разрядки конденсаторов и постоянная времени RC
Что означает зарядка и разрядка конденсатора? Каковы принципы работы зарядки конденсаторов? Что такое теория заряда и разряда конденсаторов?
Зарядка конденсатора означает накопление заряда на пластинах конденсатора, а разрядка — это высвобождение зарядов с пластин конденсатора.Переходная характеристика зарядки и разрядки конденсатора регулируется законом Ома, законом напряжения и основным определением емкости.
Зарядка конденсатора:
Предположим, у нас есть приведенная ниже схема с конденсатором C, источником напряжения V и тумблером. Считайте, что конденсатор изначально разряжен, а переключатель разомкнут. В какой-то момент я перемещаю переключатель в положение 1, и допустим, что время t = 0.
Зарядный ток конденсатора:
В момент времени t = 0 обе пластины конденсатора нейтральны и обладают способностью поглощать или обеспечивать заряд (электроны).При замыкании переключателя в момент времени t = 0 пластина подключается к положительному выводу, а другая — к отрицательному. Пластина конденсатора, подключенная к положительному выводу, обеспечивает электроны, потому что пластина имеет сравнительно больше электронов, чем положительный вывод источника. А пластина, подключенная к отрицательному выводу, поглощает электроны, поступающие от отрицательного вывода источника, который имеет сравнительно больше электронов. Это движение электронов является зарядным током во время фазы зарядки.
- Аналоговая и цифровая электроника для инженеров pdf Книга
- Справочник по силовой электронике Мухаммада Х.Рашид
Напряжение на конденсаторе:
В момент времени t = 0 напряжение на пластинах конденсатора «абсолютно равно нулю». Когда электроны начинают перемещаться между выводами источника и обкладками конденсатора, конденсатор начинает накапливать заряд. {- \ frac {t} {RC}} $
Ток, проходящий через конденсатор во время фазы зарядки.Уравнение напряжения:
На диаграмме ниже показано напряжение на конденсаторе и резисторе на временном графике.{- \ frac {t} {RC}} $
Напряжение на конденсаторе во время фазы зарядкиПостоянная времени RC:
Здесь R и C заменены греческой буквой $ \ tau $ (Tau) и названы как « Постоянная времени RC ”измеряется в секундах. Конденсатору требуется $ 5 \ tau $ секунд для полной зарядки из незаряженного состояния до любого напряжения источника.
Постоянная времени RC = $ 5 \ tau $
Уравнение тока и напряжения:
Ток на конденсаторе зависит от изменения напряжения на конденсаторе.Если на нем есть изменяющееся напряжение, он будет потреблять ток, но когда напряжение стабильно, через конденсатор не будет тока. Вот почему во время зарядки он потребляет ток лишь в течение небольшого промежутка времени.
$ {i} _ {c} = C \ frac {d} {dt} ({V} _ {c}) $
Сводка по зарядке конденсатора:
- В момент включения переключателя конденсатор потребляет очень большой ток, который ведет себя как короткое замыкание. В этот момент на конденсаторе появляется практически нулевое напряжение.Ток в цепи ограничивается только сопротивлением цепи.
- Когда время зарядки заканчивается, конденсатор ведет себя как разомкнутая цепь, и через конденсатор не течет ток, и на нем имеется максимальное напряжение.
Разрядка конденсатора:
Предположим, что конденсатор, показанный ниже, заряжается источником напряжения E, поэтому напряжение на конденсаторе будет повышено до напряжения E. Теперь я перемещаю переключатель в положение 2 в следующей схеме, конденсатор подключен к резистивной нагрузке вместо источника напряжения.Конденсатор теперь будет работать как источник для резистора, и напряжение на конденсаторе начнет терять накопленный заряд, минуя ток. При потере заряда напряжение конденсатора начнет уменьшаться. Для постоянного резистора ток также начнет уменьшаться при уменьшении напряжения. Наконец, напряжение на конденсаторе достигнет нулевой точки с 5-кратной постоянной времени ($ 5 \ tau $). {- \ frac {t} {RC }} $
Ток через конденсатор во время фазы разрядкиОбратите внимание, что приведенный выше график находится ниже нулевых линий, потому что направление тока во время фазы разрядки противоположно направлению фазы зарядки.{- \ frac {t} {RC}} $
Напряжение на резисторе во время фазы разрядкиРазряд также зависит от сопротивления и емкости и требует полной разрядки.
- Тестирование транзисторов в схемах с помощью мультиметров, омметра и измерителя кривой
- Что такое полевой транзистор? Основы полевого транзистора, конструкция, символы, характеристики, кривые и типы
Исходное состояние:
Во всех приведенных выше обсуждениях мы предполагаем незаряженный конденсатор, однако это не всегда так.Здесь нас интересует зарядка конденсатора, на котором уже накоплен некоторый заряд. Из-за накопленного заряда конденсатор будет иметь некоторое напряжение на нем, т.е.
$ v_ {i} = \ frac {Q_ {i}} {C} $
$ Q_ {i} $ — начальный заряд, накопленный на конденсаторе. {- (\ frac {t } {\ tau})}) $
V $ _ {f} $ — напряжение источника, V $ _ {i} $ — напряжение заряженного конденсатора перед включением в цепь.
Вывод:
- Никакой ток не течет через диэлектрик во время фазы зарядки и разрядки, за исключением тока утечки.
- Для зарядки или разрядки конденсатора требуется 5-кратная константа, даже если он уже несколько заряжен.
- Напряжение конденсатора экспоненциально возрастает до напряжения источника, где ток экспоненциально спадает до нуля в фазе зарядки.
- Когда переключатель замыкается, зарядный ток вызывает высокий импульсный ток, который может быть ограничен только последовательным соединением.
- Разряженный конденсатор ведет себя как короткое замыкание при первоначальном включении в цепь, что означает первоначальное возникновение импульсного тока.
- Конденсатор ведет себя как разомкнутая цепь, когда он полностью заряжен, что означает, что через него не пропускается ток.
- В фазе разряда напряжение и ток экспоненциально снижаются до нуля.
ТОК СМЕЩЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
ТОК СМЕЩЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛАРасчет магнитного поля распределения тока может, в принципа, проводиться с использованием закона Ампера, который связывает интеграл по путям магнитное поле вокруг замкнутого пути к току, перехваченному произвольная поверхность, которая охватывает этот путь:
(35.1)
Закон Ампера не зависит от формы выбранной поверхности, пока ток течет по непрерывной непрерывной цепи. Однако рассмотрим случай в котором токовый провод оборван и подключен к конденсатору с параллельными пластинами (см. рисунок 35.1). Во время зарядки по проводу будет течь ток. процесс конденсатора. Этот ток будет генерировать магнитное поле, и если мы далеко от конденсатора, это поле должно быть очень похоже на магнитное поле, создаваемое бесконечно длинным непрерывным проводом.Тем не менее ток, перехваченный произвольной поверхностью, теперь зависит от выбранной поверхности. Например, поверхность, показанная на рисунке 35.1, не пропускает ток. Ясно, что в этом случае закон Ампера не может быть применен для нахождения магнитного поля. поле генерируется текущим.
Рисунок 35.1. Закон Ампера в конденсаторной цепи. Хотя поверхность, показанная на рисунке 35.1, не пересекает любой ток он перехватывает электрический поток. Допустим, конденсатор идеальный конденсатор, с однородным электрическим полем E между пластинами и без электрическое поле вне пластин.В определенный момент t заряд на обкладок конденсатора — Q. Если обкладки имеют площадь поверхности А, то электрическая поле между пластинами равно(35,2)
Электрическое поле вне конденсатора равно нулю. Электрический поток, [Phi] E , перехваченный поверхностью, показанной на рисунке 35.1, равен на номер
(35,3)
Если по проводу течет ток I, то заряд конденсатора тарелки будут зависеть от времени.Следовательно, электрический поток также будет временем зависимая, а скорость изменения электрического потока равна
(35,4)
Магнитное поле вокруг провода теперь можно найти, изменив закон Ампера
(35,5)
где [Phi] E — электрический поток через поверхность, обозначенную на Рис. 35.1 В наиболее общем случае поверхность, покрываемая интегрированием путь магнитного поля может перехватывать ток и электрический поток.В таком В этом случае влияние электрического потока и электрического тока должно быть вместе, и закон Ампера становится
(35,6)
Ток I — это ток, улавливаемый любой поверхностью, используемой в расчет, и не обязательно совпадает с током в проводах. Уравнение (35.6) часто записывается как
(35,7)
где I d называется , ток смещения и определяется как
(35.8)
Пример: Задача 35.8
Конденсатор с параллельными пластинами имеет круглые пластины площадью A, разделенные расстояние d. Тонкая прямая проволока длиной d проходит по оси конденсатор и соединяет две пластины. Этот провод имеет сопротивление R. внешние выводы пластин подключены к источнику переменной ЭДС с напряжением V = V 0 sin (Омега) t.
а) Какой ток в тонком проводе?
б) Какой ток смещения через конденсатор?
в) Какой ток поступает на внешние выводы конденсатора?
г) Какое магнитное поле между обкладками конденсатора на расстоянии r от ось? Предположим, что r меньше радиуса пластин.
а) Установку можно рассматривать как параллельную цепь резистора с сопротивление R и конденсатор емкостью C (см. рисунок 35.2). Электрический ток в тонкой проволоке можно получить по закону Ома
(35.9)
Рисунок 35.2. Принципиальная схема 35.8.б) Напряжение на конденсаторе равно внешней ЭДС. Электрический поэтому поле между пластинами конденсатора равно
(35.10)
Следовательно, электрический поток через конденсатор равен
. (35.11)
Ток смещения I d можно получить, подставив уравнение (35.11) в уравнение (35.8)
(35.12)
Ток на внешних выводах конденсатора складывается из тока используется для зарядки конденсатора и тока через резистор. Заряд на конденсаторе
равно(35.13)
Таким образом, зарядный ток равен
. (35,14)
Таким образом, общий ток равен
. (35.15)
г) Силовые линии магнитного поля внутри конденсатора будут образовывать концентрические круги, с центром вокруг резистора (см. рисунок 35.3). Интеграл по путям магнитное поле вокруг круга радиуса r равно
(35.16)
Рисунок 35.3. Петля Ампера, используемая для определения магнитного поля. внутри конденсатора. Поверхность, которая будет использоваться для определения силы тока и электрического Перехватываемый поток — это диск радиуса r, показанный на рис. 35.3. Электрический поток через этот диск равно(35,17)
Ток смещения, улавливаемый этой поверхностью, равен
(35.18)
Ток, перехваченный поверхностью, равен току через резистор (ур.(35.9)). Таким образом, закон Ампера требует
(35,19)
Таким образом, сила магнитного поля равна
. (35.20)
Основные уравнения, описывающие поведение электрических и магнитных поля известны как уравнения Максвелла. Их
(35.21)
(35.22)
(35.23)
(35,24)
Уравнения Максвелла дают полное описание взаимодействия между заряды, токи, электрические и магнитные поля. Все свойства поля могут быть получены путем математических манипуляций с этими уравнениями. Если дано распределение зарядов и токов, то эти уравнения однозначно определить соответствующие поля.
Пример: Задача 35.10
Докажите, что уравнения Максвелла математически предполагают сохранение электрический заряд; то есть доказать, что если электрический ток не течет в При заданном объеме электрический заряд в этом объеме остается постоянным.
Уравнение (35.21) показывает, что вложенный заряд Q связан с электрическим током. поток [Phi] E :
(35,25)
Скорость изменения вложенного заряда может быть определена дифференцированием уравнение (35.25) по времени
(35.26)
Замкнутая поверхность, используемая в уравнении (35.24) для определения потока и тока перехваченный может быть заменен сумкой, рот которой сжался до нуля.Путь поэтому интеграл магнитного поля вдоль устья равен нулю, и уравнение (35.24) можно записать как
(35.27)
Используя уравнение (35.26), мы можем переписать уравнение (35.27) как
(35.28)
Другими словами, если ток не течет в замкнутом объеме и не выходит из него (I = 0) тогда электрический заряд в этом объеме останется постоянным. Из этого следует сохранение заряда.
Электрическое поле между пластинами конденсатора с параллельными пластинами равно определяется внешней ЭДС.Если расстояние между пластинами равно d (см. Рисунок 35.4), то электрическое поле между пластинами равно
(35.29)
Это зависящее от времени электрическое поле будет индуцировать магнитное поле с напряженностью что может быть получено с помощью закона Ампера. Рассмотрим круговую амперовскую петлю из радиус r. Интеграл по траекториям магнитного поля вокруг этой петли равен на номер
(35.30)
Электрический поток через поверхность, охватываемую этим путем, равен
. (35.31)
Рисунок 35.4. Колебательный конденсатор с параллельными пластинами. Таким образом, ток смещения равен. (35.32)
Используя закон Ампера, получаем для магнитного поля
(35,33)
Это зависящее от времени магнитное поле будет индуцировать электрическое поле. Общая электрическое поле внутри конденсатора, следовательно, будет суммой постоянных электрическое поле, создаваемое источником ЭДС и индуцированного электрического поля, генерируется зависящим от времени магнитным полем.Сила наведенного электрическое поле можно рассчитать с помощью закона индукции Фарадея. Рассматривать замкнутый путь, показанный на рисунке 35.4. Возьмем индуцированное электрическое поле на оси конденсатора равен нулю. Интеграл по путям индуцированной электрической поле вдоль указанного пути тогда равно
(35,34)
где E ind считается положительным, если направлено вверх. Магнитный поток через поверхность, охватываемую петлей, показанной на рисунке. 35.4 равно
(35,35)
Таким образом
(35,36)
Индуцированное электрическое поле E ind может быть получено из закона Фарадея. индукции (уравнение (35.23)) и равно
(35,37)
Таким образом, полное электрическое поле равно
. (35,38)
Но добавление индуцированного поля означает, что необходимо внести поправку. приложено к магнитному полю, рассчитанному ранее (ур.(35.33)). Это, в свою очередь, измените индуцированный ток, и этот процесс будет продолжаться вечно. Если мы пренебрегаем дополнительные поправки, то уравнение (35.38) показывает, что электрическое поле исчезает на радиусе R, если
(35,39)
или
(35,40)
Если мы создадим полость, заключив конденсатор в проводящий цилиндр из радиуса R, тогда уравнение (35.40) может использоваться для определения частоты движения ЭДС, которая вызовет стоячую волну.Эта частота называется резонансной. частота и равна
(35,41)
Для резонатора с R = 0,5 м резонансная частота составляет 1,2 ГГц. Электромагнитное излучение с частотой в этом диапазоне называется микроволновым. излучения, а полость называется микроволновой печью.
Электрическое поле, создаваемое неподвижным зарядом, стационарно. Когда заряд ускоряется, он создает дополнительные электрические и магнитные поля, которые перемещаются наружу из положения заряда.Эти поля излучения называются электромагнитных волн . Они движутся со скоростью света (в вакуума) и уносят энергию и импульс от заряда. Их свойства определяются свойствами ускоренного заряда, и таким образом предоставить средства для передачи информации со скоростью света в течение длительного времени расстояния.
Рассмотрим сначала заряд q в состоянии покоя (при t <0). Между t = 0 и t =
[tau], заряд ускоряется с ускорением a.После t = [tau]
заряд движется с постоянной скоростью (v = a [тау]). Будем считать, что
конечная скорость заряда мала по сравнению со скоростью света (v
<< c) и что период времени [тау], в течение которого заряд ускоряется
короткий. Электрическое поле, создаваемое зарядом в момент времени t> [тау]
состоит из трех отдельных областей (см. рисунок 35.5). В области r> ct
силовые линии будут линией точечного заряда, покоящегося в начале координат
(электромагнитные волны распространяются со скоростью света, и область с r
> ct может еще не знать, что заряд отошел от зародыша).В
сферическая область радиусом r Радиальная составляющая определяется законом Гаусса.Рассмотрим сферическую
Гауссова поверхность, расположенная между двумя сферами, показана на рисунке 35.5. В
заряд, заключенный в этой поверхности, равен q. Электрический поток через это
поверхность зависит только от радиальной составляющей поля. Применение закона Гаусса
заключаем, что радиальная составляющая электрического поля — это просто обычная
Кулоновское поле (35.42) (35,43) Поскольку радиальное поле известно, уравнение.(35.42), мы можем использовать уравнение (35.43) для определения
поперечная составляющая электрического поля: (35,44) Расстояние r, на котором происходит перегиб, связано со временем t, на котором мы
посмотрите на поле: (35,45) Исключая зависимость от t в уравнении (35.44), получаем следующее
выражение для поперечной компоненты электрического поля: (35.46) Уравнение для поперечного электрического поля (ур.(35.46)) действует в
вообще, даже если ускорение не постоянное. Если заряд колеблется
назад и вперед простым гармоническим движением с частотой [омега], затем
ускорение в момент времени t будет равно (35,47) Для определения поля излучения в момент времени t и на расстоянии r имеем
чтобы понять, что ускорение a, используемое в уравнении (35.46), должно быть
ускорение в момент времени t — r / c, где r / c — время, необходимое для того, чтобы сигнал
путешествовать на расстояние r.Поле излучения колеблющегося заряда равно
следовательно, равно (35,48) На радиоантенне (прямой кусок провода) электроны движутся назад и
вперед в унисон. Предположим, что скорость электронов v =
v 0 cos ([omega] t), где v 0 = 8,0 x 10 -3 м / с
и [омега] = 6,0 x 10 6 рад / с. а) Какое максимальное ускорение электронов? б) В соответствии с этим максимальным ускорением, какова сила
поперечное электрическое поле, создаваемое одним электроном на расстоянии 1.0 км от
антенну в направлении, перпендикулярном антенне? Сколько времени
задержка (или замедление) между моментом максимального ускорения и
момент, когда соответствующее электрическое поле достигает расстояния 1,0 км
? c) На антенне 2,0 x 10 24 электронов. Что
коллективное электрическое поле, создаваемое всеми электронами, действующими вместе? Предполагать
антенна достаточно мала, так что все электроны вносят примерно
такое же электрическое поле на расстоянии 1.0 км. а) Ускорение электронов можно получить, дифференцируя их
скорость относительно времени: (35,49) Таким образом, максимальное ускорение равно . (35,50) б) Максимальное поперечное электрическое поле на расстоянии 1,0 км (= 1000 м), в
направление, перпендикулярное антенне ([theta] = 90deg.), может быть получено
используя уравнение (35.48): (35.51) Поскольку скорость распространения поля излучения равна скорости
свет, c, максимумы в поле излучения будут происходить за период времени [Delta] t
после максимумов ускорения электрона. Длина этого
период [Delta] t равен (35,52) в) Если предположить, что все электроны находятся в фазе, то максимальное суммарное
поперечное электрическое поле на расстоянии 1,0 км равно количеству
электронов, умноженных на максимальное поперечное электрическое поле, создаваемое одним
электрон.Таким образом (35,53) Когда заряд ускоряется из состояния покоя, он создает магнитное поле.
Изначально магнитное поле будет равно нулю (заряд в состоянии покоя). Как
в результате ускорения возмущение переместится наружу и изменит
магнитное поле от его начального значения (B = 0 Тл) до его конечного значения, в значительной степени
так же, как мы наблюдали для электрического поля. Магнитное поле может быть
полученный из электрического потока по закону Максвелла-Ампера, который гласит, что (35.54) Обратите внимание, что ток I не появляется в ур. (35,54). Поскольку мы ищем
в области, удаленной от движущегося заряда, ток, перехваченный поверхностью
, охватываемый путем, используемым для вычисления интеграла по путям B, равен нулю.
Индуцированное магнитное поле будет зависеть от времени и, следовательно, будет вызывать
электрическое поле по закону Фарадея. Это индуцированное электрическое поле снова будет
зависит от времени и индуцирует другое магнитное поле, и этот процесс продолжается.Комбинированные электрические и магнитные поля излучения, создаваемые
Ускоряющий заряд называют электромагнитными волнами. Они есть
хозрасчетные; электрическое поле индуцирует магнитное поле, а индуцированное
магнитное поле индуцирует электрическое поле. Поскольку электрические и магнитные
поля естественно поддерживают друг друга, электромагнитная волна не требует
среда для его распространения, и он легко распространяется в вакууме. Максвелл
уравнения могут быть использованы, чтобы показать, что произведение u 0 и
[epsilon] 0 равно 1 / c 2 .Или (35,55) Это уравнение было одним из величайших и ранних триумфов Максвелла.
электромагнитная теория света. Это показывает, что электричество и магнетизм
два разных аспекта одного и того же явления. Конденсатор — это устройство, используемое для хранения электрического заряда и электрической энергии.Он состоит как минимум из двух электрических проводников, разделенных расстоянием. (Обратите внимание, что такие электрические проводники иногда называют «электродами», но, точнее, они «обкладки конденсатора».) Пространство между конденсаторами может быть просто вакуумом, и в этом случае конденсатор будет известен как «Вакуумный конденсатор». Однако пространство обычно заполняется изолирующим материалом, известным как диэлектрик . (Вы узнаете больше о диэлектриках в разделах, посвященных диэлектрикам, далее в этой главе.) Объем памяти в конденсаторе определяется свойством, называемым емкостью , , о котором вы узнаете больше чуть позже в этом разделе. могут применяться в самых разных областях — от фильтрации статического электричества от радиоприема до накопления энергии в дефибрилляторах сердца. Обычно у промышленных конденсаторов две проводящие части расположены близко друг к другу, но не соприкасаются, как на рисунке 4.1.1. В большинстве случаев между двумя пластинами используется диэлектрик. Когда клеммы батареи подключены к первоначально незаряженному конденсатору, потенциал батареи перемещает небольшой заряд величины от положительной пластины к отрицательной.Конденсатор в целом остается нейтральным, но заряжается и находится на противоположных пластинах. (рисунок 4.1.1) Система, состоящая из двух идентичных параллельно проводящих пластин, разделенных расстоянием, называется конденсатором с параллельными пластинами (рисунок 4.1.2). Величина электрического поля в пространстве между параллельными пластинами равна, где обозначает поверхностную плотность заряда на одной пластине (напомним, что это заряд на площадь поверхности). Таким образом, величина поля прямо пропорциональна. (рисунок 4.1.2) Конденсаторы с разными физическими характеристиками (такими как форма и размер пластин) накапливают разное количество заряда для одного и того же приложенного напряжения на своих пластинах. Емкость , конденсатора определяется как отношение максимального заряда, который может храниться в конденсаторе, к приложенному напряжению на его пластинах.Другими словами, емкость — это наибольшая величина заряда на вольт, которая может храниться на устройстве: (4.1.1) Единица измерения емкости в системе СИ — фарад (), названная в честь Майкла Фарадея (1791–1867). Поскольку емкость — это заряд на единицу напряжения, один фарад равен одному кулону на один вольт, или По определению, конденсатор способен накапливать заряд (очень большой заряд), когда разность потенциалов между его пластинами равна всего.Следовательно, одна фарада — это очень большая емкость. Типичные значения емкости находятся в диапазоне от пикофарад () до миллифарад (), включая микрофарады (). Конденсаторы могут быть разных форм и размеров (рисунок 4.1.3). (рисунок 4.1.3) Мы можем рассчитать емкость пары проводников с помощью следующего стандартного подхода. Чтобы показать, как работает эта процедура, мы теперь вычисляем емкости параллельных пластин, сферических и цилиндрических конденсаторов. Во всех случаях мы предполагаем вакуумные конденсаторы (пустые конденсаторы) без диэлектрического вещества в пространстве между проводниками. Конденсатор с параллельными пластинами (рисунок 4.1.4) имеет две идентичные проводящие пластины, каждая из которых имеет площадь поверхности, разделенную расстоянием.Когда на конденсатор подается напряжение, он накапливает заряд, как показано на рисунке. Мы можем увидеть, как его емкость может зависеть от и , рассматривая характеристики кулоновской силы. Мы знаем, что сила между зарядами увеличивается с увеличением заряда и уменьшается с расстоянием между ними. Следует ожидать, что чем больше пластины, тем больше заряда они могут хранить. Таким образом, должно быть больше для большего значения. Точно так же, чем ближе пластины расположены друг к другу, тем сильнее на них притяжение противоположных зарядов.Следовательно, должно быть больше для меньшего. (рисунок 4.1.4) Определим поверхностную плотность заряда на пластинах как Из предыдущих глав мы знаем, что когда оно мало, электрическое поле между пластинами довольно однородно (без учета краевых эффектов) и что его величина определяется как где постоянная — диэлектрическая проницаемость свободного пространства,.Единица СИ эквивалентна. Поскольку электрическое поле между пластинами однородно, разность потенциалов между пластинами составляет Следовательно, уравнение 4.1.3 дает емкость конденсатора с параллельными пластинами как (4.1.3) (a) Какова емкость пустого конденсатора с параллельными пластинами с металлическими пластинами, каждая из которых имеет площадь, разделенную на? (б) Сколько заряда хранится в этом конденсаторе, если к нему приложено напряжение? Определение емкости — это прямое приложение уравнения 4.1.3. Как только мы найдем, мы сможем найти накопленный заряд, используя уравнение 4.1.1. а. Ввод данных значений в уравнение 4.1.3 дает Это небольшое значение емкости указывает на то, насколько сложно сделать устройство с большой емкостью. г. Обращение уравнения 4.1.1 и ввод известных значений в это уравнение дает Этот заряд лишь немного больше, чем в типичных приложениях статического электричества.Поскольку воздух разрушается (становится проводящим) при напряженности электрического поля около, на этом конденсаторе больше не может храниться заряд при увеличении напряжения. Емкость конденсатора с параллельными пластинами составляет. Если площадь каждой пластины равна, каково расстояние между пластинами? Пример: задача 35.25
Отправляйте комментарии, вопросы и / или предложения по электронной почте на адрес [email protected] и / или посетите домашнюю страницу Фрэнка Вольфса. 4.1 Конденсаторы и емкость — Введение в электричество, магнетизм и схемы
ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ
К концу этого раздела вы сможете: Расчет емкости
Стратегия решения проблем: расчет емкости
Конденсатор с параллельными пластинами
ПРИМЕР 4.1.1
Емкость и заряд в конденсаторе с параллельными пластинами
Стратегия
Решение
Значение
ПРОВЕРЬТЕ ПОНИМАНИЕ 4.1
ПРОВЕРЬТЕ ПОНИМАНИЕ 4.2
Убедитесь в том, что у вас такие же физические единицы.
Сферический конденсатор
Сферический конденсатор — это еще один набор проводников, емкость которых можно легко определить (Рисунок 4.1.5). Он состоит из двух концентрических проводящих сферических оболочек радиусов (внутренняя оболочка) и (внешняя оболочка). Снарядам придаются равные и противоположные заряды и соответственно. Из-за симметрии электрическое поле между оболочками направлено радиально наружу. Мы можем получить величину поля, применив закон Гаусса к сферической гауссовой поверхности радиусом r , концентричной оболочкам. Вложенная плата есть; следовательно, у нас
Таким образом, электрическое поле между проводниками равно
Мы подставляем это в уравнение 4.1.2 и интегрировать по радиальному пути между оболочками:
В этом уравнении разность потенциалов между пластинами равна. Мы подставляем этот результат в уравнение 4.1.1, чтобы найти емкость сферического конденсатора:
(4.1.4)
(рисунок 4.1.5)
Рисунок 4.1.5. Сферический конденсатор состоит из двух концентрических проводящих сфер. Обратите внимание, что заряды на проводнике находятся на его поверхности.ПРИМЕР 4.1,3
Емкость изолированной сферы
Рассчитайте емкость одиночной изолированной проводящей сферы радиуса и сравните ее с уравнением 4.1.4 в пределе как.
Стратегия
Мы предполагаем, что на сфере есть заряд, и поэтому выполняем четыре шага, описанные ранее. Мы также предполагаем, что другой проводник представляет собой концентрическую полую сферу бесконечного радиуса.
Решение
На внешней стороне изолированной проводящей сферы электрическое поле задается уравнением 4.1.2. Величина разности потенциалов между поверхностью изолированной сферы и бесконечностью составляет
.Таким образом, емкость изолированной сферы равна
.Значение
Тот же результат может быть получен, если взять предел уравнения 4.1.4 как. Таким образом, одиночная изолированная сфера эквивалентна сферическому конденсатору, внешняя оболочка которого имеет бесконечно большой радиус.
ПРОВЕРЬТЕ ПОНИМАНИЕ 4.3
Радиус внешней сферы сферического конденсатора в пять раз превышает радиус его внутренней оболочки.Какие размеры у этого конденсатора, если его емкость?
Цилиндрический конденсатор
Цилиндрический конденсатор состоит из двух концентрических проводящих цилиндров (рисунок 4.1.6). Внутренний цилиндр радиуса может быть либо оболочкой, либо полностью твердым. Внешний цилиндр представляет собой оболочку внутреннего радиуса. Мы предполагаем, что длина каждого цилиндра равна и что избыточные заряды и находятся на внутреннем и внешнем цилиндрах соответственно.
(рисунок 4.1.6)
Рисунок 4.1.6 Цилиндрический конденсатор состоит из двух концентрических проводящих цилиндров. Здесь заряд на внешней поверхности внутреннего цилиндра положительный (обозначен), а заряд на внутренней поверхности внешнего цилиндра отрицательный (обозначен).Без учета краевых эффектов электрическое поле между проводниками направлено радиально наружу от общей оси цилиндров. Используя гауссову поверхность, показанную на рисунке 4.1.6, мы имеем
Следовательно, электрическое поле между цилиндрами равно
(4.1,5)
Здесь \ hat {\ mathrm {r}} — единичный радиальный вектор по радиусу цилиндра. Мы можем подставить в уравнение 4.1.2 и найти разность потенциалов между цилиндрами:
Таким образом, емкость цилиндрического конденсатора
(4.1.6)
Как и в других случаях, эта емкость зависит только от геометрии расположения проводников. Важным применением уравнения 4.1.6 является определение емкости на единицу длины коаксиального кабеля , который обычно используется для передачи изменяющихся во времени электрических сигналов.Коаксиальный кабель состоит из двух концентрических цилиндрических проводников, разделенных изоляционным материалом. (Здесь мы предполагаем наличие вакуума между проводниками, но физика качественно почти такая же, когда пространство между проводниками заполнено диэлектриком.) Эта конфигурация защищает электрический сигнал, распространяющийся по внутреннему проводнику, от паразитных электрических полей, внешних по отношению к проводнику. кабель. Ток течет в противоположных направлениях во внутреннем и внешнем проводниках, при этом внешний провод обычно заземлен.Теперь из уравнения 4.1.6 емкость коаксиального кабеля на единицу длины равна
.В практических приложениях важно выбирать конкретные значения. Это может быть достигнуто за счет соответствующего выбора радиусов проводников и изоляционного материала между ними.
ПРОВЕРЬТЕ ПОНИМАНИЕ 4.4
Когда цилиндрический конденсатор заряжается, между цилиндрами измеряется разность потенциалов.а) Какова емкость этой системы? б) Если цилиндры длинные, каково соотношение их радиусов?
Несколько типов конденсаторов, которые можно использовать на практике, показаны на рисунке 4.1.3. Обычные конденсаторы часто состоят из двух небольших кусочков металлической фольги, разделенных двумя небольшими кусочками изоляции (см. Рисунок 4.1.1 (b)). Металлическая фольга и изоляция покрыты защитным покрытием, а два металлических вывода используются для подключения фольги к внешней цепи. Некоторые распространенные изоляционные материалы — это слюда, керамика, бумага и антипригарное покрытие Teflon ™.
Другой популярный тип конденсатора — электролитический конденсатор . Он состоит из окисленного металла в проводящей пасте. Основным преимуществом электролитического конденсатора является его высокая емкость по сравнению с другими распространенными типами конденсаторов. Например, емкость одного типа алюминиевого электролитического конденсатора может достигать. Однако вы должны быть осторожны при использовании электролитического конденсатора в цепи, потому что он работает правильно только тогда, когда металлическая фольга находится под более высоким потенциалом, чем проводящая паста.Когда возникает обратная поляризация, электролитическое действие разрушает оксидную пленку. Этот тип конденсатора не может быть подключен к источнику переменного тока, потому что в половине случаев переменное напряжение будет иметь неправильную полярность, поскольку переменный ток меняет свою полярность (см. Схемы переменного тока в цепях переменного тока).
Регулируемый воздушный конденсатор (рисунок 4.1.7) имеет два набора параллельных пластин. Один набор пластин закреплен (обозначен как «статор»), а другой набор пластин прикреплен к валу, который может вращаться (обозначается как «ротор»).Поворачивая вал, можно изменять площадь поперечного сечения в перекрытии пластин; следовательно, емкость этой системы может быть настроена на желаемое значение. Настройка конденсатора находит применение в любом типе радиопередачи и при приеме радиосигналов от электронных устройств. Каждый раз, когда вы настраиваете автомобильное радио на любимую станцию, думайте о емкости.
(рисунок 4.1.7)
Рисунок 4.1.7. В конденсаторе переменного тока емкость можно регулировать, изменяя эффективную площадь пластин.(кредит: модификация работы Робби Спрула)Символы, показанные на рисунке 4.1.8, представляют собой схемные изображения различных типов конденсаторов. Обычно мы используем символ, показанный на рис. 4.1.8 (а). Символ на Рисунке 4.1.8 (c) представляет конденсатор переменной емкости. Обратите внимание на сходство этих символов с симметрией конденсатора с параллельными пластинами. Электролитический конденсатор представлен символом на рис. 4.1.8 (b), где изогнутая пластина обозначает отрицательный вывод.
(рисунок 4.1.8)
Рисунок 4.1.8 Здесь показаны три различных схемных представления конденсаторов. Символ в (а) является наиболее часто используемым. Символ в (b) представляет собой электролитический конденсатор. Символ в (c) представляет конденсатор переменной емкости.Интересный прикладной пример модели конденсатора взят из клеточной биологии и имеет дело с электрическим потенциалом в плазматической мембране живой клетки (рис. 4.1.9). Клеточные мембраны отделяют клетки от их окружения, но позволяют некоторым отобранным ионам проходить внутрь или из клетки.Разность потенциалов на мембране составляет около. Клеточная мембрана может быть слишком толстой. Рассматривая клеточную мембрану как конденсатор наноразмеров, оценка наименьшей напряженности электрического поля на ее «пластинах» дает значение.
Этой величины электрического поля достаточно, чтобы вызвать электрическую искру в воздухе.
(рисунок 4.1.9)
Рисунок 4.1.9. Полупроницаемая мембрана биологической клетки имеет разные концентрации ионов на внутренней поверхности, чем на внешней.Диффузия перемещает ионы (калия) и (хлорида) в показанных направлениях, пока кулоновская сила не остановит дальнейший перенос. Таким образом, внешняя поверхность мембраны приобретает положительный заряд, а ее внутренняя поверхность приобретает отрицательный заряд, создавая разность потенциалов на мембране. Мембрана обычно непроницаема для (ионов натрия).Кандела Цитаты
Лицензионный контент CC, конкретная атрибуция
- Загрузите бесплатно по адресу http: // cnx.org/contents/[email protected]. Получено с : http://cnx.org/contents/[email protected]. Лицензия : CC BY: Attribution
8.1 Конденсаторы и емкость — University Physics Volume 2
8.1 Конденсаторы и емкость
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
- Объясните понятие конденсатора и его емкости
- Опишите, как оценить емкость системы проводов
Конденсатор — это устройство, используемое для хранения электрического заряда и электрической энергии.Конденсаторы обычно состоят из двух электрических проводников, разделенных расстоянием. (Обратите внимание, что такие электрические проводники иногда называют «электродами», но, точнее, они «обкладки конденсатора».) Пространство между конденсаторами может быть просто вакуумом, и в этом случае конденсатор будет известен как «Вакуумный конденсатор». Однако пространство обычно заполнено изолирующим материалом, известным как диэлектрик. (Вы узнаете больше о диэлектриках в разделах, посвященных диэлектрикам, далее в этой главе.) Объем памяти в конденсаторе определяется свойством , емкостью , о котором вы узнаете больше чуть позже в этом разделе.
Конденсаторымогут применяться в самых разных областях — от фильтрации статического электричества от радиоприема до накопления энергии в дефибрилляторах сердца. Обычно в промышленных конденсаторах две токопроводящие части расположены близко друг к другу, но не соприкасаются, как показано на рисунке 8.2. В большинстве случаев между двумя пластинами используется диэлектрик. Когда клеммы батареи подключены к первоначально незаряженному конденсатору, потенциал батареи перемещает небольшой заряд величиной Q с положительной пластины на отрицательную.Конденсатор в целом остается нейтральным, но с зарядами + Q + Q и −Q − Q, находящимися на противоположных пластинах.
Фигура 8,2 Оба конденсатора, показанные здесь, были изначально разряжены перед подключением к батарее. Теперь у них на пластинах есть заряды + Q + Q и −Q − Q (соответственно). (a) Конденсатор с параллельными пластинами состоит из двух пластин противоположного заряда с площадью A , разделенных расстоянием d . (b) Катаный конденсатор имеет диэлектрический материал между двумя проводящими листами (пластинами).Система, состоящая из двух идентичных параллельно проводящих пластин, разделенных расстоянием, называется конденсатором с параллельными пластинами (рис. 8.3). Величина электрического поля в пространстве между параллельными пластинами составляет E = σ / ε0E = σ / ε0, где σσ обозначает поверхностную плотность заряда на одной пластине (напомним, что σσ — это заряд Q на площадь поверхности A ). Таким образом, величина поля прямо пропорциональна Q .
Фигура 8,3 Разделение зарядов в конденсаторе показывает, что заряды остаются на поверхности пластин конденсатора.Линии электрического поля в конденсаторе с параллельными пластинами начинаются с положительных зарядов и заканчиваются отрицательными зарядами. Величина электрического поля в пространстве между пластинами прямо пропорциональна количеству заряда на конденсаторе.
Конденсаторы с разными физическими характеристиками (такими как форма и размер пластин) накапливают разное количество заряда для одного и того же приложенного напряжения В на своих пластинах. Емкость C конденсатора определяется как отношение максимального заряда Q , который может храниться в конденсаторе, к приложенному напряжению В на его пластинах.Другими словами, емкость — это наибольшая величина заряда на вольт, которая может храниться на устройстве:
Единица измерения емкости в системе СИ — фарад (Ф), названная в честь Майкла Фарадея (1791–1867). Поскольку емкость — это заряд на единицу напряжения, один фарад равен одному кулону на один вольт, или
.По определению, конденсатор емкостью 1,0 мкФ может сохранять заряд 1,0 К (очень большой заряд), когда разность потенциалов между его пластинами составляет всего 1,0 В. Следовательно, один фарад является очень большой емкостью.Типичные значения емкости варьируются от пикофарад (1пФ = 10−12Ф) (1пФ = 10−12Ф) до миллифарадов (1мФ = 10−3Ф) (1мФ = 10−3Ф), что также включает микрофарады (1мкФ = 10−6F1мкФ = 10− 6F). Конденсаторы могут быть разных форм и размеров (рис. 8.4).
Фигура 8,4 Это некоторые типичные конденсаторы, используемые в электронных устройствах. Размер конденсатора не обязательно зависит от его емкости. (Источник: Windell Oskay)
Расчет емкости
Мы можем рассчитать емкость пары проводников с помощью следующего стандартного подхода.
Стратегия решения проблем
Расчет емкости
- Предположим, что конденсатор имеет заряд Q .
- Определите электрическое поле E → E → между проводниками. Если в расположении проводников присутствует симметрия, вы можете использовать закон Гаусса для этого расчета.
- Найдите разность потенциалов между проводниками из
VB − VA = −ABE → · dl →, VB − VA = −ABE → · dl →,
8,2
где путь интегрирования ведет от одного проводника к другому.Тогда величина разности потенциалов равна V = | VB-VA | V = | VB-VA |. - Зная В, , определите емкость непосредственно из уравнения 8.1.
Чтобы показать, как работает эта процедура, мы теперь вычисляем емкости параллельных пластин, сферических и цилиндрических конденсаторов. Во всех случаях мы предполагаем вакуумные конденсаторы (пустые конденсаторы) без диэлектрического вещества в пространстве между проводниками.
Конденсатор с параллельными пластинами
Конденсатор с параллельными пластинами (рисунок 8.5) имеет две идентичные токопроводящие пластины, каждая из которых имеет площадь поверхности A , разделенную расстоянием d . Когда на конденсатор подается напряжение В , он сохраняет заряд Q , как показано. Мы можем увидеть, как его емкость может зависеть от A и d , рассматривая характеристики кулоновской силы. Мы знаем, что сила между зарядами увеличивается с увеличением заряда и уменьшается с расстоянием между ними. Следует ожидать, что чем больше пластины, тем больше заряда они могут хранить.Таким образом, C должно быть больше для большего значения A . Точно так же, чем ближе пластины расположены друг к другу, тем сильнее на них притяжение противоположных зарядов. Следовательно, C должно быть больше для меньшего d .
Фигура 8,5 В конденсаторе с параллельными пластинами, разделенными пластинами на расстояние d , каждая пластина имеет одинаковую площадь поверхности A .
Определим плотность поверхностного заряда σσ на пластинах как
Из предыдущих глав мы знаем, что когда d мало, электрическое поле между пластинами довольно однородно (без учета краевых эффектов) и что его величина определяется как
.где постоянная ε0ε0 — диэлектрическая проницаемость свободного пространства, ε0 = 8.85 × 10–12Ф / м. Ε0 = 8,85 × 10–12Ф / м. Единица СИ в Ф / м эквивалентна C2 / N · m2.C2 / N · m2. Поскольку электрическое поле E → E → между пластинами однородно, разность потенциалов между пластинами составляет
. V = Ed = σdε0 = Qdε0A.V = Ed = σdε0 = Qdε0A.Следовательно, уравнение 8.1 дает емкость конденсатора с параллельными пластинами как
C = QV = QQd / ε0A = ε0Ad.C = QV = QQd / ε0A = ε0Ad.8,3
Обратите внимание на это уравнение, что емкость является функцией только геометрии и того, какой материал заполняет пространство между пластинами (в данном случае вакуум) этого конденсатора.Фактически, это верно не только для конденсатора с параллельными пластинами, но и для всех конденсаторов: емкость не зависит от Q или В . При изменении заряда соответственно изменяется и потенциал, так что Q / V остается постоянным.
Пример 8.1
Емкость и заряд в конденсаторе с параллельными пластинами
(а) Какова емкость пустого конденсатора с параллельными пластинами с металлическими пластинами, каждая из которых имеет площадь 1?00м21.00м2, расстояние между которыми составляет 1,00 мм? (b) Сколько заряда хранится в этом конденсаторе, если к нему приложено напряжение 3,00 × 103 В3,00 × 103 В?Стратегия
Определение емкости C является прямым применением уравнения 8.3. Найдя C , мы сможем найти накопленный заряд, используя уравнение 8.1.Решение
- Ввод заданных значений в уравнение 8.3 дает C = ε0Ad = (8,85 × 10−12Fm) 1,00м21,00 × 10−3м = 8,85 × 10−9F = 8,85nF.C = ε0Ad = (8,85 × 10−12Fm) 1,00м21.00 × 10−3m = 8,85 × 10−9F = 8,85 нФ. Это небольшое значение емкости указывает на то, насколько сложно изготовить устройство с большой емкостью.
- Обращение уравнения 8.1 и ввод известных значений в это уравнение дает Q = CV = (8,85 × 10–9F) (3,00 × 103 В) = 26,6 мкКл. Q = CV = (8,85 × 10–9F) (3,00 × 103 В) = 26,6 мкКл.
Значение
Этот заряд лишь немного больше, чем в типичных приложениях для статического электричества. Поскольку воздух разрушается (становится проводящим) при напряженности электрического поля около 3.0 МВ / м, на этом конденсаторе больше нельзя накапливать заряд при увеличении напряжения.Пример 8,2
А 1-Ф конденсатор с параллельными пластинами
Предположим, вы хотите сконструировать конденсатор с параллельными пластинами емкостью 1,0 F. Какую площадь вы должны использовать для каждой пластины, если пластины разделены на 1,0 мм?Решение
Преобразуя уравнение 8.3, получаем A = Cdε0 = (1.0F) (1.0 × 10−3m) 8.85 × 10−12F / m = 1.1 × 108m2 A = Cdε0 = (1.0F) (1.0 × 10−3m) 8,85 × 10−12F / m = 1,1 × 108 м2.Каждая квадратная пластина должна быть 10 км в поперечнике.Раньше было обычной шуткой просить студента пойти в склад лаборатории и попросить конденсатор с параллельными пластинами 1F, пока обслуживающий персонал не устанет от этой шутки.
Проверьте свое понимание 8.1
Проверьте свое понимание Емкость конденсатора с параллельными пластинами составляет 2,0 пФ. Если площадь каждой пластины составляет 2,4 см 22,4 см2, каково расстояние между пластинами?
Проверьте свое понимание 8,2
Проверьте свое понимание Убедитесь, что σ / Vσ / V и ε0 / dε0 / d имеют одинаковые физические единицы.
Конденсатор сферический
Сферический конденсатор — это еще один набор проводников, емкость которых можно легко определить (рис. 8.6). Он состоит из двух концентрических проводящих сферических оболочек радиусов R1R1 (внутренняя оболочка) и R2R2 (внешняя оболочка). Оболочкам приписываются равные и противоположные заряды + Q + Q и −Q − Q соответственно. Из-за симметрии электрическое поле между оболочками направлено радиально наружу. Мы можем получить величину поля, применив закон Гаусса к сферической гауссовой поверхности радиусом r , концентричной оболочкам.dr) = Q4πε0∫R1R2drr2 = Q4πε0 (1R1−1R2).
В этом уравнении разность потенциалов между пластинами равна V = — (V2 − V1) = V1 − V2V = — (V2 − V1) = V1 − V2. Мы подставляем этот результат в уравнение 8.1, чтобы найти емкость сферического конденсатора:
C = QV = 4πε0R1R2R2 − R1.C = QV = 4πε0R1R2R2 − R1.8,4
Фигура 8,6 Сферический конденсатор состоит из двух концентрических проводящих сфер. Обратите внимание, что заряды на проводнике находятся на его поверхности.
Пример 8.3
Емкость изолированной сферы
Вычислите емкость одиночной изолированной проводящей сферы радиуса R1R1 и сравните ее с уравнением 8.4 в пределе R2 → ∞R2 → ∞.Стратегия
Мы предполагаем, что заряд на сфере равен Q , и поэтому следуем четырем шагам, описанным ранее. Мы также предполагаем, что другой проводник представляет собой концентрическую полую сферу бесконечного радиуса.Решение
На внешней стороне изолированной проводящей сферы электрическое поле задается уравнением 8.dr) = Q4πε0∫R1 + ∞drr2 = 14πε0QR1.Таким образом, емкость изолированной сферы равна
. C = QV = Q4πε0R1Q = 4πε0R1.C = QV = Q4πε0R1Q = 4πε0R1.Значение
Тот же результат можно получить, взяв предел уравнения 8.4 при R2 → ∞R2 → ∞. Таким образом, одиночная изолированная сфера эквивалентна сферическому конденсатору, внешняя оболочка которого имеет бесконечно большой радиус.Проверьте свое понимание 8,3
Проверьте свое понимание Радиус внешней сферы сферического конденсатора в пять раз больше радиуса его внутренней оболочки.Каковы размеры этого конденсатора, если его емкость 5,00 пФ?
Конденсатор цилиндрический
Цилиндрический конденсатор состоит из двух концентрических проводящих цилиндров (рисунок 8.7). Внутренний цилиндр радиуса R1R1 может быть либо оболочкой, либо полностью твердым. Внешний цилиндр представляет собой оболочку внутреннего радиуса R2R2. Мы предполагаем, что длина каждого цилиндра составляет l и что избыточные заряды + Q + Q и -Q − Q находятся на внутреннем и внешнем цилиндрах соответственно.
Фигура 8,7 Цилиндрический конденсатор состоит из двух концентрических проводящих цилиндров. Здесь заряд на внешней поверхности внутреннего цилиндра положительный (обозначен ++), а заряд на внутренней поверхности внешнего цилиндра отрицательный (обозначен −−). dA = E (2πrl) = Qε0.dr) = Q2πε0l∫R1R2drr = Q2πε0llnr | R1R2 = Q2πε0llnR2R1.Таким образом, емкость цилиндрического конденсатора
C = QV = 2πε0lln (R2 / R1). C = QV = 2πε0lln (R2 / R1).8,6
Как и в других случаях, эта емкость зависит только от геометрии расположения проводников. Важным применением уравнения 8.6 является определение емкости на единицу длины коаксиального кабеля , который обычно используется для передачи изменяющихся во времени электрических сигналов. Коаксиальный кабель состоит из двух концентрических цилиндрических проводников, разделенных изоляционным материалом.(Здесь мы предполагаем наличие вакуума между проводниками, но физика качественно почти такая же, когда пространство между проводниками заполнено диэлектриком.) Эта конфигурация защищает электрический сигнал, распространяющийся по внутреннему проводнику, от паразитных электрических полей, внешних по отношению к проводнику. кабель. Ток течет в противоположных направлениях во внутреннем и внешнем проводниках, при этом внешний провод обычно заземлен. Теперь из уравнения 8.6 емкость коаксиального кабеля на единицу длины равна
. Cl = 2πε0ln (R2 / R1).Cl = 2πε0ln (R2 / R1).В практических приложениях важно выбирать конкретные значения C / l . Это может быть достигнуто за счет соответствующего выбора радиусов проводников и изоляционного материала между ними.
Проверьте свое понимание 8,4
Проверьте свое понимание Когда цилиндрический конденсатор получает заряд 0,500 нКл, между цилиндрами измеряется разность потенциалов 20,0 В. а) Какова емкость этой системы? (b) Если цилиндры 1.Длина 0 м, каково соотношение их радиусов?
Несколько типов конденсаторов, пригодных для использования на практике, показаны на рис. 8.4. Обычные конденсаторы часто состоят из двух небольших кусочков металлической фольги, разделенных двумя небольшими кусочками изоляции (см. Рисунок 8.2 (b)). Металлическая фольга и изоляция покрыты защитным покрытием, а два металлических вывода используются для подключения фольги к внешней цепи. Некоторые распространенные изоляционные материалы — это слюда, керамика, бумага и антипригарное покрытие Teflon ™.
Другой популярный тип конденсатора — электролитический конденсатор.Он состоит из окисленного металла в проводящей пасте. Основным преимуществом электролитического конденсатора является его высокая емкость по сравнению с другими распространенными типами конденсаторов. Например, емкость одного типа алюминиевого электролитического конденсатора может достигать 1,0 F. Однако вы должны быть осторожны при использовании электролитического конденсатора в цепи, потому что он работает правильно только тогда, когда металлическая фольга находится под более высоким потенциалом, чем проводящая паста. Когда возникает обратная поляризация, электролитическое действие разрушает оксидную пленку.Этот тип конденсатора не может быть подключен к источнику переменного тока, потому что в половине случаев переменное напряжение будет иметь неправильную полярность, поскольку переменный ток меняет свою полярность (см. Схемы переменного тока в цепях переменного тока).
Конденсатор переменного тока (рисунок 8.8) имеет два набора параллельных пластин. Один набор пластин закреплен (обозначен как «статор»), а другой набор пластин прикреплен к валу, который может вращаться (обозначается как «ротор»). Поворачивая вал, можно изменять площадь поперечного сечения в перекрытии пластин; следовательно, емкость этой системы может быть настроена на желаемое значение.Настройка конденсатора находит применение в любом типе радиопередачи и при приеме радиосигналов от электронных устройств. Каждый раз, когда вы настраиваете автомобильное радио на любимую станцию, думайте о емкости.
Фигура 8,8 В переменном воздушном конденсаторе емкость можно регулировать, изменяя эффективную площадь пластин. (кредит: модификация работы Робби Спрула)
Символы, показанные на рисунке 8.9, представляют собой схемные изображения различных типов конденсаторов.Обычно мы используем символ, показанный на рис. 8.9 (а). Символ на Рисунке 8.9 (c) представляет конденсатор переменной емкости. Обратите внимание на сходство этих символов с симметрией конденсатора с параллельными пластинами. Электролитический конденсатор представлен символом на рис. 8.9 (b), где изогнутая пластина обозначает отрицательный вывод.
Фигура 8.9 Здесь показаны три различных схемных представления конденсаторов. Символ в (а) является наиболее часто используемым.Символ в (b) представляет собой электролитический конденсатор. Символ в (c) представляет конденсатор переменной емкости.
Интересный прикладной пример модели конденсатора взят из клеточной биологии и имеет дело с электрическим потенциалом в плазматической мембране живой клетки (рис. 8.10). Клеточные мембраны отделяют клетки от их окружения, но позволяют некоторым отобранным ионам проходить внутрь или из клетки. Разность потенциалов на мембране составляет около 70 мВ. Клеточная мембрана может иметь толщину от 7 до 10 нм.Рассматривая клеточную мембрану как наноразмерный конденсатор, оценка наименьшей напряженности электрического поля на ее « пластинах » дает значение E = Vd = 70 × 10−3V10 × 10−9m = 7 × 106V / m> 3MV / mE. = Vd = 70 × 10−3V10 × 10−9m = 7 × 106V / m> 3MV / m.
Этой величины электрического поля достаточно, чтобы вызвать электрическую искру в воздухе.
Фигура 8.10 Полупроницаемая мембрана биологической клетки имеет разные концентрации ионов на внутренней поверхности, чем на внешней.Диффузия перемещает ионы K + K + (калий) и Cl – Cl– (хлорид) в показанных направлениях, пока кулоновская сила не остановит дальнейший перенос. Таким образом, внешняя поверхность мембраны приобретает положительный заряд, а ее внутренняя поверхность приобретает отрицательный заряд, создавая разность потенциалов на мембране. Мембрана обычно непроницаема для Na + (ионов натрия). .