Закон Ома в интегральной форме

Для того, чтобы перейти к интегральной форме записи закона Ома для участка проводника, на котором действуют две силы, введем понятие линии тока.

Линия тока – кривая, в каждой точке которой вектор плотности тока направлен по касательной к этой кривой. В этом случае вектор плотности находится из соотношения:

где τ ⃗ – единичный вектор касательной к линии тока.

Предположим, что удельное сопротивление (r) и напряженность поля движущих сил (E ⃗) на поперечном сечении проводника однородны, т.к. E ⃗ однородна, то j ⃗ так же однородная величина. Возьмем произвольное значение поперечного сечения цепи – S. Тогда:

, а значит

Последнее равенство до множим на dl (элементарное перемещение вдоль вектора плотности тока):

где

• dφ – элементарный сброс потенциала электростатического поля,
• dε – элементарная работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда (ЭДС).

Отсюда:

Учитывая, что ρ/S dl=dR (элементарное сопротивление), запишем закон Ома в интегральной форме:

Закон Ома в интегральной форме для неоднородного участка цепи

Проинтегрируем получившееся соотношение на конкретном участке цепи постоянного тока между поперечными сечениями S1 и S2:

интегральный закон Ома для участка цепи

где:

• – сопротивление участка,
• – работа сторонних сил на перемещении единичного положительного заряда по данному участку цепи ЭДС участка,
• – работа электростатических сил на перемещении единичного положительного заряда по данному участку цепи (напряжение участка),
• – абсолютная величина работы сил сопротивления на перемещении единичного положительного заряда по данному участку цепи (падение напряжения участка).

Запишем значение напряжения при постоянном токе:

Отсюда запишем закон Ома:

Таким образом закон Ома в интегральной форме – это закон изменения механической энергии единичного положительного заряда на этом участке. В арифметическом виде этот закон можно записать так:

Решение задач

Какой будет плотность тока в металлическом проводнике с удельным сопротивлением ρ постоянного сечения, имеющем длину l, если напряжение, которое приложено к проводу равно U?

Дано:	Решение:
	Плотность тока можно найти по формуле —

Пространство между пластинами плоского конденсатора заполняет неоднородное плохо проводящее вещество, удельная проводимость которого изменяется в соответствии с линейным законом: в направлении перпендикулярном пластинам. Известно, что расстояние между пластинами – d, площадь пластин конденсатора – S. Каким будет ток через этот конденсатор, если напряжение на нем станет равно U?

Дано:	Решение:
d S U	Запишем закон Ома — Отсюда можем найти силу тока — Ответ

zakon-oma.ru

Закон Ома (интегральная форма)

Основной закон электрических цепей (закон Ома) установил экспериментально в 1826 году немецкий физик Георг Ом.

В общем случае закон Ома (обобщённый) формулируется так: сила тока на участке цепи прямо пропорциональна напряжению на этом участке:

I = GU, (8)

Коэффициент пропорциональности G называется проводимостью участка цепи.

Величина, обратная проводимости, называется электросопротивлением (или просто — сопротивлением) участка цепи:

R = 1/G. (9)

Обобщённый закон Ома обычно выражается так:

I = . (10)

В СИ сопротивление измеряется в омах: [R] = 1 Ом, а проводимость — в сименсах: [G] = 1 См.

Сопротивление проводников зависит от его размеров, формы и материала, из которого проводник изготовлен. Для однородного проводника с одинаковой по всей длине

 площадью поперечного сечения s сопротивление равно:

, (11)

где  — удельное сопротивление материала проводника.

В области температур, близких или выше комнатных, сопротивление линейно зависит от температуры:

R = R₀(1 + T), (12)

где R₀ — сопротивление проводника при некоторой температуре Т₀ (обычно Т₀

=0⁰С), R — сопротивление этого проводника при температуре Т=Т₀+T,  — термический коэффициент сопротивления.

В конкретных электротехнических задачах закон Ома удобно представлять в виде —

— для однородного участка цепи (не содержащего ЭДС):

I = , (13)

— для неоднородного участка цепи (содержащего ЭДС):

I = =, (14)

— для замкнутой цепи:

I = . (15)

Здесь (₁ — ₂) — разность потенциалов на концах участка,  — алгебраическая сумма ЭДС неоднородного участка цепи или всего контура (в случае замкнутой цепи), R — полное сопротивление всех однородных участков цепи, r — общее внутреннее сопротивление всех источников ЭДС, R_п=R+r — полное сопротивление неоднородного участка цепи. Перед  ставятся знаки «+» или «-» в зависимости от полярности источника ЭДС по отношению к полярности внешнего напряжения

(₁ — ₂), приложенного к участку цепи.

Закон Ома (дифференциальная форма).

Закон Ома можно представить в дифференциальной форме, если в уравнении (10) использовать вместо интегральных характеристик — силы тока I, напряжения U и сопротивления R, дифференциальные, характеризующие электрическое состояние среды в одной точке, — плотность тока J, напряжённость поля E и удельное сопротивление проводника  соответственно.

Для проводника, имеющего форму цилиндра, сопротивление определяется формулой (11). Подстановка её в формулу (10) даёт: или. Поскольку=

J, =Е, = (удельная проводимостью материала проводника), то

закон Ома принимает вид:

J = E. (16)

Плотность тока и напряжённость поляявляются коллинеарными векторами. Таким образом,закон Ома в дифференциальной форме можно представить так:

. (17)

studfiles.net

Закон Ома в интегральной форме

Ляпин Али Ибрагимович, доцент БРУ

1.	Однородный и неоднородный участки цепи.		2		ρ dl	2		r	r	2 r	r
	Вывод закона Ома в интегральной форме	для	I ∫			=∫Eк dl				+∫Eстор dl
					S
	неоднородного участка цепи		1			1				1
2.	Разность потенциалов, электродвижущая				2 r	r				2 r	r
	сила, напряжение	ϕ1	−ϕ2 = ∫Eк dl				;	ε1−2	= ∫Eстор dl
				1						1
3.	Правила Кирхгофа для электрических цепей				N			N			N
				∑Ik = 0 ;				∑Ik Rk = ∑εk
				k =1				k =1			k =1

2Ляпин Али Ибрагимович, доцент БРУ

1.Однородный и неоднородный участки цепи. Вывод закона Ома в интегральной форме для неоднородного участка цепи.

Однородный и неоднородный участки цепи.

Если в проводнике действует только электростатическое поле, то в нем может возникнуть только кратковременный электрический ток. Действительно, если обкладки конденсатора, заряженного до некоторой разности потенциалов Δφ, соединить проводником, то в проводнике возникнет электрический ток. По мере протекания тока конденсатор будет разряжаться, и разность потенциалов будет уменьшаться. С течением времени потенциал во всех точках системы уравняется и ток прекратится.

Например, если обкладки заряженного конденсатора емкостью 1Ф замкнуть проводником, имеющим сопротивление 1Ом, то электрический ток в цепи будет протекать примерно в течение 1с.

В электростатическом поле заряды перемещаются из точек с большим потенциалом в точки с меньшим потенциалом, что приводит к выравниванию потенциалов. Для поддержания электрического тока достаточно длительное время, необходим источник, в котором за счет сил не электростатического происхождения осуществлялся бы перенос носителей тока в исходную точку с большим потенциалом. Указанные силы называются сторонними.

Таким образом, для поддержания электрического тока в цепи необходимо наличие сторонних сил, действующих либо во всей цепи, либо на отдельных ее участках.

Сторонние силы могут быть химической, электромагнитной природы и др. Например, в большинстве аккумуляторов роль сторонних сил играют силы химического взаимодействия, приводящие к разделению молекул электролитов на разноименные заряды. В этом случае разность потенциалов на электродах аккумулятора поддерживается за счет энергии химической реакции.

Участок цепи, на котором не действуют сторонние силы, называется однородным. Участок цепи, на котором действуют сторонние силы, называется неоднородным.

Вывод закона Ома в интегральной форме для неоднородного участка цепи.

В общем случае на неоднородном участке цепи действуют и кулоновские и сторонние силы. Обозначим напряженность поля электростатических (кулоновских) сил через Ек, а напряженность поля сторонних сил через Естор. Тогда в любой точке внутри проводника результирующая напряженность равна

E = Eк + Eстор

и закон Ома в дифференциальной форме будет иметь вид

r

1

r

r

j =

(E

к

+ E

)

. (1)

ρ

стор

Обе части уравнения (1) умножим

скалярно на вектор dl ,

численно равный элементу dl длины проводника и совпадающий

по направлению с вектором j плотности тока

r

r

1

r

r

r

r

j

dl

=

(E

dl

+ E

dl ) . (2)

ρ

к

стор

Так как плотность тока j постоянного

равна

j = I / S и скалярное произведение

сонаправленных векторов

rj и

dl равно произведению их модулей, то формулу (2) можно

записать в следующей форме

ρ dl

r

r

r

r

I

=

E

к

dl + E

dl . (3)

S

стор

3	Ляпин Али Ибрагимович, доцент БРУ

Формула (3) представляет собой закон Ома для бесконечно малого элемента dl неоднородного участка цепи от сечения 1 с потенциалом φ1 до сечения 2 с потенциалом φ2. Проинтегрировав выражение (3) по всей длине участка цепи от сечения 1 с потенциалом φ1

до сечения 2 с потенциалом φ2 получим формулу обобщенного закона Ома в интегральной форме для неоднородного участка цепи

	2	ρ dl	2	r	r	2	r	r
	I ∫		=∫Eк dl			+∫Eстор dl			. (4)
		S
	1		1			1

Так как сила постоянного тока во всех сечениях проводника постоянна, то сила тока вынесена за знак интеграла.

2. Разность потенциалов, электродвижущая сила, напряжение

Проанализируем интегралы, входящие в формулу (4). Нетрудно видеть, что подынтегральное выражение в интеграле левой части формулы (4) определяет электрическое сопротивление элемента dl проводника, а сам интеграл выражает электрическое сопротивление цепи на рассматриваемом участке

R	=	2	ρ dl	. (5)
		∫1
1−2			S

При этом, сопротивление R1-2 включает в себя как сопротивление R проводника, так и сопротивление r промежутка цепи между электродами источника тока (сопротивление электролита или внутреннее сопротивление источника)

R1-2=R+r. (6)

Первый интеграл правой части формулы (4) выражает работу сил электростатического поля по перемещению единичного положительного заряда из точки с потенциалом φ1 в точку

с потенциалом φ2. Эта работа в электростатике была названа разностью потенциалов, поэтому

ϕ1 −ϕ2 = ∫2 Erк dlr. (7)

1

Второй интеграл правой части формулы (4) выражает работу сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда на рассматриваемом участке цепи. Указанная работа сторонних сил называется электродвижущей силой (ЭДС) и часто

обозначается символом ε

ε1−2 = ∫2 Erстор dlr. (8)

1

Из формулы (8) следует физический смысл ЭДС:

ЭДС на участке цепи называется физическая величина, численно равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда на этом участке.

ЭДС, так же как и разность потенциалов, измеряется в вольтах.

С учетом введенных обозначений для интегралов, формулу (4) можно записать в следующем виде

I R1−2 = (ϕ1 −ϕ2 ) +ε1−2 . (9)

Формула (9) также является математическим выражением закона Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме.

ЭДС, так же как и сила тока, является величиной алгебраической. Поэтому следует учитывать ее знак.

Если ЭДС способствует перемещению положительных зарядов в данном направлении, то она считается положительной. Если ЭДС препятствует перемещению положительных зарядов в данном направлении, то она считается отрицательной.

4 Ляпин Али Ибрагимович, доцент БРУ

Произведение величины сопротивления участка цепи и силы тока в нем называется падением напряжения. Из формулы (9) следует физический смысл напряжения:

напряжением на участке цепи называется физическая величина, численно равная сумме работ электростатических и сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль этого участка.

Формула (9) называется также формулой обобщенного закона Ома, так как она справедлива для различных цепей.

Если на приведенном выше рисунке участок цепи замкнуть проводником, то получим замкнутую цепь. В этом случае φ1=φ2 и из формулы (9), с учетом формулы (6), получим закон Ома в следующем виде

	I (R + r)= ε или I =	ε	. (10)
		R + r

В случае замкнутой неразветвленной цепи ЭДС равна работе по перемещению единичного положительного заряда по всей цепи.

Из формулы (10) следует, что ЭДС равна сумме падений напряжений на внутреннем и внешнем участках цепи.

В случае однородного (в отсутствие ЭДС) участка цепи с током I, ε=0,

r=0 и формула (9) принимает следующий вид
I =	ϕ1	−ϕ2	или	I =	U	, (11)
		R			R

где φ1-φ2=U называется падением напряжения на сопротивлении R.

Если неоднородная цепь не замкнута, то I=0 и формула (9) принимает следующий вид

(ϕ1 −ϕ2 ) = ε , (12)

то есть в этом случае ЭДС равна разности потенциалов на клеммах источника тока.

Для каждого проводника в неизменном состоянии существует однозначная зависимость между разностью потенциалов, приложенной к его концам, и силой тока в нем I=f(U). Эта зависимость называется вольтамперной характеристикой (ВАХ). Для многих проводников, особенно металлических, эта зависимость выражается законом Ома

I = R1 U . (13)

То есть значение силы тока изменяется прямо пропорционально с изменением значения U. Обобщенный закон Ома в интегральной форме позволяет рассчитывать различные электрические цепи.

3. Правила Кирхгофа для разветвленных электрических цепей

Расчеты сложных (разветвленных) электрических цепей значительно упрощаются с помощью правил Кирхгофа (Г. Кирхгоф, нем. ученый, 1847г.). Любую разветвленную цепь можно представить как совокупность точек разветвления и замкнутых контуров.

Узлом называется точка разветвления цепи, в которой сходится больше

двух проводников с током.	I	I2	I3
Первое правило Кирхгофа выражает условие постоянства тока в цепи. В
случае постоянного тока электрические заряды не должны накапливаться на	I5		I4
каком либо участке цепи.
Первое правило Кирхгофа гласит: алгебраическая сумма токов,
сходящихся в узле, равна нулю:

N

∑Ik = 0 , (14)

k =1

где N– число проводников, сходящихся в узле; Ik– сила тока в k-м проводнике, причем токи, подходящие к узлу считаются положительными, а токи, отходящие от него– отрицательными

5	Ляпин Али Ибрагимович, доцент БРУ

Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома (9) на разветвленные цепи.

Второе правило гласит: в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма напряжений на всех участках этого контура равна алгебраической сумме Э.Д.С. всех источников электрической энергии, включенных в контур

N	N
∑Ik Rk = ∑εk , (15)
k =1	k =1

где N– число участков, на которые контур разбивается узлами; Ik, Rk и εk– сила тока, сопротивление и Э.Д.С. соответствующие k-му участку.

При составлении уравнения (15) необходимо

ε1

выбрать направление обхода контура. Все токи в

A R1

I1

B

участках,

совпадающие

по

направлению с

–

+

направлением

обхода контура,

следует

считать

I2

положительными, а не совпадающие с направлением

+

ε2

обхода – отрицательными.

Э.Д.С.

источников тока

–

считать положительными, если они создают ток,

R4

совпадающий

с направлением

обхода

контура.

R2

Например, в случае обхода приведенного контура

I4

ABCD по часовой стрелке уравнение имеет вид

+

–

C

I1 R1 − I2 R2 + I3 R3 + I4 R4 =ε1 −ε2 +ε3 .

D

ε3

I3

R3

Вопросы для самопроверки:

1.Что понимают под сторонними силами и какова их роль в электрической цепи? Укажите природу сторонних сил.

2.Какой участок цепи называется однородным, и какой неоднородным? Вывести закон Ома в интегральной форме для неоднородного участка цепи. Как выбирается знак Э.Д.С. при записи закона Ома?

3.Пояснить физический смысл разности потенциалов, электродвижущей силы и напряжения на участке электрической цепи. Указать на отличие между этими величинами.

4.Сформулировать правила Кирхгофа. Как выбираются знаки Э.Д.С. и токов при записи правил Кирхгофа?

studfiles.net

Закон Ома в интегральной и дифференциальной форме. — КиберПедия

Закон Ома в интегральной форме:

— для участка цепи: «Сила тока на однородном участке электрической цепи прямо пропорциональна напряжению на данном участке и обратно пропорциональна сопротивлению этого участка »:

— для всей цепи:

где – электродвижущая сила, В;

– сопротивление всех элементов цепи, Ом;

– внутреннее сопротивление источника питания, Ом;

– сила тока, А.

Закон Ома в дифференциальной форме:

— для участка цепи: «Плотность тока в каждой точке однородного участка цепи пропорциональна напряженности электрического поля в этой же точке»:

Где – вектор плотности тока, А/м²;

– удельная проводимость, См= ;

– вектор напряженности электрического поля, В/м.

Работа и мощность электрического тока. Закон Джоуля-Ленца в интегральной и дифференциальной форме.

За время t по участку электрической цепи будет перенесён заряд и при этом будет совершена работа:

где – электрический заряд, Кл;

– напряжение, В;

– сила тока, А;

– время, с.

Работа, совершаемая в единицу времени – мощность электрического тока:

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: «Мощность тепла , выделяемого в единице объёма среды при протекании постоянного электрического тока, равна произведению плотности электрического тока на величину напряженности электрического поля »:

где – удельная электрическая проводимость, См= .

Закон Джоуля-Ленца в интегральной форме:

где – полное количество теплоты, выделенное за промежуток времени от до , Дж;

– сила тока, А;

– сопротивление. Ом.

Закон Ома для участка цепи и для замкнутой цепи, содержащей э.д.с.

Закон Ома для участка цепи:

«Сила тока на однородном участке электрической цепи прямо пропорциональна напряжению на данном участке и обратно пропорциональна сопротивлению этого участка »:

Закон Ома для неоднородного участка цепи (содержащего ЭДС):

где – разность потенциалов (напряжение), В;

– электродвижущая сила, В;

– сопротивление участка, Ом.

Если направление тока совпадает с направлением обхода, его принято считать положительным; если источник тока повышает потенциал в направлении обхода (источник посылает ток в направлении обхода), то ЭДС такого источника считается положительной.

Закон Ома для замкнутой цепи, содержащей ЭДС:

где – электродвижущая сила, В;

– сопротивление всех элементов цепи, Ом;

– внутреннее сопротивление источника питания, Ом;

– сила тока, А.

 

Законы Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа: «Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

».

Второе правило Кирхгофа: «В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений равна алгебраической сумме ЭДС, встречающихся в этом контуре:

где – число источников ЭДС;

– число ветвей в замкнутом контуре;

– ток и сопротивление -той ветви, А, Ом».

Правило знаков:

1) ЭДС положительна, если ее направление совпадает с направлением произвольно выбранного обхода контура;

2) падение напряжения на резисторе положительно, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

 

cyberpedia.su

3.2.2. Закон Ома в интегральной и дифференциальной форме

Пусть по проводнику длиной l и сечением S течет ток I. В проводнике создается электрическое поле напряженности E, а 1 и 2 – потенциалы на концах проводника. В случае однородного проводника величину 1 — 2 = U можно назвать падением напряжения на участке проводника.

Закон Ома: сила тока, текущего по однородному участку проводника, прямо пропорциональна падению напряжения на проводнике:

— закон Ома в интегральной форме

где R – электрическое сопротивление проводника.

Размерность сопротивления в СИ: [R] = В/А = Ом.

Ом – сопротивление такого проводника, в котором при напряжении в 1 В течет ток 1А.

Сопротивление зависит от геометрических размеров и формы проводников, материала и температуры проводников. Для цилиндрического проводника

где  — удельное сопротивление проводника.

Удельное сопротивление численно равно сопротивлению проводника длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м². Размерность удельного сопротивления в СИ: [] = Омм.

Величина, обратная сопротивлению, называется проводимостью.

Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью:

Единица, обратная Ом, называется Сименсом [См].

Учитывая выше написанные уравнения, а также , получим:

– закон Ома в дифференциальной форме.

3.2.3. Сторонние силы. Закон Ома для цепи, содержащей эдс

Для возникновения и существования электрического тока необходимо:

1. наличие свободных носителей тока – заряженных частиц, способных перемещаться упорядоченно;

2. наличие электрического поля, энергия которого должна каким-то образом восполняться.

Соединим проводником два тела с зарядами +q и –q. Кулоновские силы заставляют электроны перемещаться по проводнику. Возникнет ток. Однако тела при этом будут разряжаться, разность потенциалов уменьшится, ток быстро прекратится.

Т.е. если в цепи действуют только силы электростатического поля, то происходит перемещение носителей таким образом, что потенциалы всех точек цепи выравниваются и электростатическое поле исчезает.

Следовательно, поле кулоновских сил не может являться причиной постоянного электрического тока.

Ток в проводнике нейтрализует заряды на его концах. Для поддержания постоянного тока необходимо поддерживать постоянную разность потенциалов, следовательно, разделять заряды. Электрические силы разделять заряды не могут.

Силы, разделяющие заряды, имеют неэлектрическую природу и называются сторонними силами.

Устройство, в котором действуют сторонние силы, называется источником тока.

Сторонние силы заставляют заряды двигаться внутри источника тока против сил поля. Благодаря этому в цепи поддерживается постоянная разность потенциалов.

Перемещая заряды, сторонние силы совершают работу за счет энергии, затраченной в источнике тока. Например, в электрофорной машине разделение зарядов происходит за счет механической работы, в гальваническом элементе – за счет энергии химических реакций и т.д.

Величина, равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС).

Обозначим — вектор напряженности поля сторонних сил.

Результирующее поле, действующее на заряды в проводнике, в общем случае

Плотность тока в цепи

.

– закон Ома в дифференциальной форме для цепи, содержащей ЭДС.

Рассмотрим участок AB замкнутой цепи, содержащей ЭДС (рис.3.18). Выделим мысленно малый элемент dl.

Плотность тока на этом участке опишется уравнением . Умножим скалярно обе части этого равенства наи проинтегрируем по участкуAB:

Рассмотрим каждый интеграл в отдельности:

а)

где _А — _В – разность потенциалов между точками A и B.

Разность потенциалов численно равна работе кулоновских сил по перемещению единичного положительного заряда из т.A в т.B;

б)

где  — ЭДС.

ЭДС, действующая на участке цепи, численно равна работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда из т.A в т.B;

в)

где R_AB – сопротивление участка AB.

С учетом выше сказанного можно получить:

— закон Ома для участка цепи с ЭДС.

Частные случаи:

1. если на данном участке цепи источник тока отсутствует, то получаем закон Ома для однородного участка цепи:

2. если цепь замкнута (=0), то получим закон Ома для замкнутой цепи:

где  — ЭДС, действующая в цепи, R – суммарное сопротивление всей цепи, r_внутр – внутреннее сопротивление источника тока, R_внеш – сопротивление внешней цепи;

3. если цепь разомкнута, то I = 0 и ₁₂ = ₂ — ₁, т.е. ЭДС, действующая в разомкнутой цепи равна разности потенциалов на ее концах.

4. В случае короткого замыкания сопротивление внешней цепи R_внеш = 0 и сила тока в этом случае ограничивается только величиной внутреннего сопротивления источника тока.

Величина IR_AB = U_AB называется падением напряжения на участке AB.

Падение напряжения на участке AB численно равно работе кулоновских и сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда из т.A в т.B.

Если цепь замкнута, то ₁ = ₂ и

– закон Ома для замкнутой цепи.

Если участок цепи не содержит ЭДС, то

studfiles.net

Закон Ома в дифференциальной и интегральной форме

Закон Ома для участка цепи утверждает: сила тока I прямо пропорциональна напряжению U на участке цепи и обратно про­порциональна сопротивлению R

.

Закон Ома можно представить в дифференциальной форме. Через поперечное сечение проводника течет ток силой dI равной dI = jdS. Напря- жение, приложенное на концах проводника, будет равно Е·dl (т.к. и dφ = -Edl). Для проводника постоянного сече­ния длиной l будем иметь

.

Отсюда , где— удельная проводимость проводника. Таким образом, выражениезакона Ома в дифференциальной форме в векторном виде будет

j = γ E.

Плотность тока в проводнике прямо пропорциональна напряженно­сти электрического поля в нем.

Рассмотрим замкнутую электрическую цепь, содержащую ЭДС. Источник тока в такой цепи обладает внут­ренним сопротивлением r. Сопротивление внешней части цепи R называют внешним или сопротивлением нагрузки. Падение напря­жения на внутреннем участке цепи равно U₁ = Ir, а на внешнем — U =IR. При замкнутой внешней цепи ЭДС источника тока ؏ равна сумме падений напряжения на внутреннем сопротивлении источ­ника тока и во внешней цепи, ؏ = Ir + IR, откуда

I = ؏ / (r + R).

Это есть выражение закона Ома в интегральной форме.

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной и интегральной форме

Опытом установлено, что если в проводнике течет ток, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание. Предполо­жим, что на концах участка проводника имеется разность потен­циалов U = φ₁ – φ₂.

Тогда работа по переносу заряда q на этом участке равна

A = q(φ₁ – φ₂) = qU.

Если ток постоянный, то иA = I U t.

Эта работа равна количеству теплоты Q и формула Q = I U t вы­ражает закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.

Используя выражение закона Ома получим

.

Преобразуем закон Джоуля–Ленца. Введем плотность тепловой мощности w – величину, равную энергии, выделяемой за время t прохождения тока в единице объема проводника:

,

где S — сечение, l — длина проводника. Подставляя Q = I² R t и , получим .

Здесь — плотность тока,, и учитывая, чтоj = γE, получим

.

Это есть выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Плотность тепловой мощности в проводнике, по которому течет ток, прямо пропорциональна квадрату напряженности поля в проводнике. Коэффициентом пропорциональности является удель­ная проводимость проводника.

Вывод законов Ома и Джоуля-Ленца из классических электрон­ных представлений

Какова природа носителей тока в металлах? В 1901 г. Рикке проделал опыты: через 3 цилиндра, установленных друг на друга в течение 3-х лет пропускал постоянный ток. Был пропущен заряд, равный 3,5·10⁶ Кл. Взвешивание показало неизменный вес цилинд­ров. Исследование торцов цилиндров не показало следов переноса вещества. Из этого был сделан вывод, что носители заряда не ионы, а открытые Томпсоном в 1897 г. электроны.

Чтобы отождествить носители заряда с электронами, нужно было определить знак и величину удельного заряда носителей.

Если в металле имеются легко перемещающиеся заряженные частицы, то при торможении металлического проводника эти час­тицы должны некоторое время продолжать двигаться по инерции, в результате чего в проводнике возникнет импульс тока и будет пе­ренесен некоторый заряд.

Мандельштам и Папалекси в 1913 г. проделали такой опыт – они приводили в быстрое крутильное колебание катушку с прово­дом вокруг ее оси. К концам катушки подключили телефон, в кото­ром был слышен звук, обусловленный импульсами тока. Был полу­чен качественный результат – зарегистрирован импульс тока.

Толмен и Стюарт в 1916 г. получили количественный ре­зультат. Катушка с проводом длиной 500 м приводилась во враще­ние со скоростью v=300 м/с. Катушка резко тормозилась и с по­мощью баллистического гальванометра измеряли заряд, протекав­ший в цепи во время торможения. Вычисленное значение отношения заряда к массе e/m полу­чалось очень близким для электронов. Таким образом было доказано, что носителем тока являются электроны. Исходя из представлений о свободных электронах была создана классическая теория электро­проводности металлов в предположении, что:

— электроны в металле ведут себя подобно молекулам иде­ального газа;

— движение электронов подчиняется законам классической механики;

— взаимодействие электронов сводится к соударениям с ио­нами кристалли-ческой решетки;

— силами взаимодействия между электронами можно пре­небречь и они между собой не сталкиваются;

— электроны в отсутствие электрического поля движутся хаотически.

Вычислим плотность тока j в проводнике, возникающего под действием поля напряженностью Е.

По определению плотность тока j = n e <v> — это заряд, переносимый через единицу площади S = 1м² за единицу времени t=1 с; n – концентрация электронов, е – заряд элек­трона, <v> — средняя скорость упорядоченного движения электро­нов.

На каждый электрон действует сила F = eE = ma, поэтому электрон приобретает ускорение и к концу свободного про­бега он достигнет скорости, а средняя скорость <v>=v_max/2.

Если <v_T> — средняя скорость теплового хаотичного движе­ния электронов, а средняя длина свободного пробега электронов <λ>, то среднее время между соударениями <t> = . Подставляя <t> в формулу для <v> получим:

.

Подставляя <v> в формулу для j, получим

,

т.е. плотность тока прямо пропорциональна Е, а это и есть выраже­ние закона Ома в дифференциальной форме. Если положить, что

то j = γ E.

Удельная проводимость γ ~ n и < λ>, <v_т> ~ T, поэтому проводимость снижа­ется с ростом температуры, а удельное сопротивление по­вышается с ростом температуры. К концу свободного пробега электрон приоб­ретает кинетическую энергию

Предполагается, что вся энергия при соударении передается узлу кристаллической решетки и переходит в тепло. За 1 с электрон ис­пытывает <v_T>/ < λ > cоударений, а значит выделяет во столько же раз больше тепла. Если в единице объема n электронов, то в еди­нице объема за единицу времени выделится количество тепла

.

Таким образом, — выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

studfiles.net

Обобщенный закон Ома в интегральной и дифференциальной формах.

Обобщенный закон Ома в интегральной и дифференциальной  формах.

Немецкий физик Г. Ом (1787-1854) экспериментально установил, что сила тока в однородном проводнике пропорциональна разности потенциалов на его концах и обратно пропорциональна сопротивлению проводника (закон Ома для участка цепи): 

 где R – электрическое сопротивление проводника, определяющее упорядоченность перемещения свободных носителей тока.

 Электрическое сопротивление металлического проводника обусловлено тем, что свободные электроны при своем движении взаимодействуют (соударяются) с положительными ионами кристаллической решетки. Поэтому сопротивление проводников зависит прежде всего от материала проводника, т.е. строения его кристаллической решетки. Для однородного цилиндрического проводника длиной l и площадью поперечного сечения S сопротивление определяется по формуле 

Удельное электрическое сопротивление проводника зависит не только от рода вещества, но и от температуры (по Цельсию):

  У чистых металлов α = 1/273  1/K

Для полной цепи, содержащей ЭДС, справедлив обобщенный закон Ома в интегральной форме

Для участка с источником тока и для участка с внешним сопротивлением будем иметь

Сложив, получим     закон Ома для полной цепи

  I(r+R)=ε

Разности потенциалов сократились, потому что работа электростатических сил по замкнутому контуру равна нулю. В случае многих источников направление тока заранее неизвестно; выбираем его произвольно и проходим контур в этом направлении. Записав соответствующие уравнения, получим

 I∑Ri=∑±εi
Если сила тока окажется отрицательной, то направление тока надо изменить на противоположное.

mini-fizik.blogspot.com