+7 495 120-13-73 | 8 800 500-97-74

(для регионов бесплатно)

Содержание

Закон Ома в интегральной форме

Для того, чтобы перейти к интегральной форме записи закона Ома для участка проводника, на котором действуют две силы, введем понятие линии тока.

Линия тока – кривая, в каждой точке которой вектор плотности тока направлен по касательной к этой кривой. В этом случае вектор плотности находится из соотношения:

где τ ⃗ – единичный вектор касательной к линии тока.

Предположим, что удельное сопротивление (r) и напряженность поля движущих сил (E ⃗) на поперечном сечении проводника однородны, т.к. E ⃗ однородна, то j ⃗ так же однородная величина. Возьмем произвольное значение поперечного сечения цепи – S. Тогда:

, а значит

Последнее равенство до множим на dl (элементарное перемещение вдоль вектора плотности тока):

где
  • dφ – элементарный сброс потенциала электростатического поля,
  • dε – элементарная работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда (ЭДС).
Отсюда:

Учитывая, что ρ/S dl=dR (элементарное сопротивление), запишем закон Ома в интегральной форме:

Закон Ома в интегральной форме для неоднородного участка цепи

Проинтегрируем получившееся соотношение на конкретном участке цепи постоянного тока между поперечными сечениями S1 и S2:

интегральный закон Ома для участка цепи

где:

  • – сопротивление участка,
  • – работа сторонних сил на перемещении единичного положительного заряда по данному участку цепи ЭДС участка,
  • – работа электростатических сил на перемещении единичного положительного заряда по данному участку цепи (напряжение участка),
  • – абсолютная величина работы сил сопротивления на перемещении единичного положительного заряда по данному участку цепи (падение напряжения участка).

Запишем значение напряжения при постоянном токе:

Отсюда запишем закон Ома:

Таким образом закон Ома в интегральной форме – это закон изменения механической энергии единичного положительного заряда на этом участке. В арифметическом виде этот закон можно записать так:

Решение задач

Какой будет плотность тока в металлическом проводнике с удельным сопротивлением ρ постоянного сечения, имеющем длину l, если напряжение, которое приложено к проводу равно U?

Дано:Решение:
  • Плотность тока можно найти по формуле —
Пространство между пластинами плоского конденсатора заполняет неоднородное плохо проводящее вещество, удельная проводимость которого изменяется в соответствии с линейным законом: в направлении перпендикулярном пластинам. Известно, что расстояние между пластинами – d, площадь пластин конденсатора – S. Каким будет ток через этот конденсатор, если напряжение на нем станет равно U?
Дано:Решение:
  • d
  • S
  • U
  • Запишем закон Ома —
  • Отсюда можем найти силу тока —

  • Ответ

17.4. Закон Ома в интегральной форме

Для любой точки внутри проводника напряженность результирующего поля равна сумме напряженности поля кулоновских сил и поля сторонних сил . Подставляя в (17.6), получим

Умножим скалярно обе части на вектор , численно равный элементу длины проводника и направленный по касательной к проводнику в ту же сторону, что и вектор плотности тока

Так как скалярное произведение совпадающих по направлению векторов и , равно произведению их модулей, то это равенство можно переписать в виде


С учетом

Интегрируя по длине проводника от сечения 1 до некоторого сечения 2 и учитывая, что сила тока во всех сечениях проводника одинакова, получаем

(17.7)

Интеграл численно равен работе, совершаемой кулоновскими силами при перенесении единичного положительного заряда с точки 1 в точку 2. В электростатике было показано, что


Таким образом,

где и — значение потенциала в т.1 и т.2.

Интеграл, содержащий вектор напряженности поля, сторонних сил, представляет собой эдс , действующей на участке 1-2

(17.9)

Интеграл

(17.10)

равен сопротивлению участка цепи 1-2.

Подставляя (17.10), (17.9) и (17.8) в (17.7), окончательно получим

(17.11)

Последнее уравнение выражает собой закон Ома в интегральной форме для участка цепи, содержащего эдс и формулируется следующим образом: падение напряжения на участке цепи равно сумме падений электрического потенциала на этом участке и эдс всех источников электрической энергии, включённых на участке.

При замкнутой внешней цепи сумма падений электрических потенциалов и эдс источника равна сумме падений напряжения на внутреннем сопротивлении источника и во всей внешней цепи где или Отсюда

(17.12)

3.2.2. Закон Ома в интегральной и дифференциальной форме

Пусть по проводнику длиной l и сечением S течет ток I. В проводнике создается электрическое поле напряженности E, а

1 и 2 – потенциалы на концах проводника. В случае однородного проводника величину 1 2 = U можно назвать падением напряжения на участке проводника.

Закон Ома: сила тока, текущего по однородному участку проводника, прямо пропорциональна падению напряжения на проводнике:

— закон Ома в интегральной форме

где R – электрическое сопротивление проводника.

Размерность сопротивления в СИ: [R] = В/А = Ом.

Ом – сопротивление такого проводника, в котором при напряжении в 1 В течет ток 1А.

Сопротивление зависит от геометрических размеров и формы проводников, материала и температуры проводников. Для цилиндрического проводника

где — удельное сопротивление проводника.

Удельное сопротивление численно равно сопротивлению проводника длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м2. Размерность удельного сопротивления в СИ: [] = Омм.

Величина, обратная сопротивлению, называется проводимостью.

Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью:

Единица, обратная Ом, называется Сименсом [См].

Учитывая выше написанные уравнения, а также , получим:

– закон Ома в дифференциальной форме.

3.2.3. Сторонние силы. Закон Ома для цепи, содержащей эдс

Для возникновения и существования электрического тока необходимо:

  1. наличие свободных носителей тока – заряженных частиц, способных перемещаться упорядоченно;

  2. наличие электрического поля, энергия которого должна каким-то образом восполняться.

Соединим проводником два тела с зарядами +q и q. Кулоновские силы заставляют электроны перемещаться по проводнику. Возникнет ток. Однако тела при этом будут разряжаться, разность потенциалов уменьшится, ток быстро прекратится.

Т.е. если в цепи действуют только силы электростатического поля, то происходит перемещение носителей таким образом, что потенциалы всех точек цепи выравниваются и электростатическое поле исчезает.

Следовательно, поле кулоновских сил не может являться причиной постоянного электрического тока.

Ток в проводнике нейтрализует заряды на его концах. Для поддержания постоянного тока необходимо поддерживать постоянную разность потенциалов, следовательно, разделять заряды. Электрические силы разделять заряды не могут.

Силы, разделяющие заряды, имеют неэлектрическую природу и называются сторонними силами.

Устройство, в котором действуют сторонние силы, называется источником тока.

Сторонние силы заставляют заряды двигаться внутри источника тока против сил поля. Благодаря этому в цепи поддерживается постоянная разность потенциалов.

Перемещая заряды, сторонние силы совершают работу за счет энергии, затраченной в источнике тока. Например, в электрофорной машине разделение зарядов происходит за счет механической работы, в гальваническом элементе – за счет энергии химических реакций и т.д.

Величина, равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда, называется

электродвижущей силой (ЭДС).

Обозначим — вектор напряженности поля сторонних сил.

Результирующее поле, действующее на заряды в проводнике, в общем случае

Плотность тока в цепи

.

– закон Ома в дифференциальной форме для цепи, содержащей ЭДС.

Рассмотрим участок AB замкнутой цепи, содержащей ЭДС (рис.3.18). Выделим мысленно малый элемент dl.

Плотность тока на этом участке опишется уравнением . Умножим скалярно обе части этого равенства наи проинтегрируем по участку

AB:

Рассмотрим каждый интеграл в отдельности:

а)

где АВ – разность потенциалов между точками A и B.

Разность потенциалов численно равна работе кулоновских сил по перемещению единичного положительного заряда из т.A в т.B;

б)

где — ЭДС.

ЭДС, действующая на участке цепи, численно равна работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда из т.A в т.B;

в)

где RAB – сопротивление участка AB.

С учетом выше сказанного можно получить:

— закон Ома для участка цепи с ЭДС.

Частные случаи:

  1. если на данном участке цепи источник тока отсутствует, то получаем закон Ома для однородного участка цепи:

  1. если цепь замкнута (=0), то получим закон Ома для замкнутой цепи:

где — ЭДС, действующая в цепи, R – суммарное сопротивление всей цепи, rвнутр – внутреннее сопротивление источника тока, Rвнеш – сопротивление внешней цепи;

  1. если цепь разомкнута, то I = 0 и 12 = 21, т.е. ЭДС, действующая в разомкнутой цепи равна разности потенциалов на ее концах.

  2. В случае короткого замыкания сопротивление внешней цепи Rвнеш = 0 и сила тока в этом случае ограничивается только величиной внутреннего сопротивления источника тока.

Величина IRAB = UAB называется падением напряжения на участке AB.

Падение напряжения на участке AB численно равно работе кулоновских и сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда из т.A в т.B.

Если цепь замкнута, то 1 = 2 и

– закон Ома для замкнутой цепи.

Если участок цепи не содержит ЭДС, то

Закон Ома в дифференциальной и интегральной форме

Закон Ома для участка цепи утверждает: сила тока I прямо пропорциональна напряжению U на участке цепи и обратно про­порциональна сопротивлению R

.

Закон Ома можно представить в дифференциальной форме. Через поперечное сечение проводника течет ток силой dI равной dI = jdS. Напря- жение, приложенное на концах проводника, будет равно Е·dl (т.к. и dφ = -Edl). Для проводника постоянного сече­ния длиной l будем иметь

.

Отсюда , где- удельная проводимость проводника. Таким образом, выражениезакона Ома в дифференциальной форме в векторном виде будет

j = γ E.

Плотность тока в проводнике прямо пропорциональна напряженно­сти электрического поля в нем.

Рассмотрим замкнутую электрическую цепь, содержащую ЭДС. Источник тока в такой цепи обладает внут­ренним сопротивлением r. Сопротивление внешней части цепи R называют внешним или сопротивлением нагрузки. Падение напря­жения на внутреннем участке цепи равно U1 = Ir, а на внешнем — U =IR. При замкнутой внешней цепи ЭДС источника тока ؏ равна сумме падений напряжения на внутреннем сопротивлении источ­ника тока и во внешней цепи, ؏ = Ir + IR, откуда

I = ؏ / (r + R).

Это есть выражение закона Ома в интегральной форме.

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной и интегральной форме

Опытом установлено, что если в проводнике течет ток, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание. Предполо­жим, что на концах участка проводника имеется разность потен­циалов U = φ1 – φ2.

Тогда работа по переносу заряда q на этом участке равна

A = q(φ1 – φ2) = qU.

Если ток постоянный, то иA = I U t.

Эта работа равна количеству теплоты Q и формула Q = I U t вы­ражает закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.

Используя выражение закона Ома получим

.

Преобразуем закон Джоуля–Ленца. Введем плотность тепловой мощности w – величину, равную энергии, выделяемой за время t прохождения тока в единице объема проводника:

,

где S — сечение, l — длина проводника. Подставляя Q = I2 R t и , получим .

Здесь — плотность тока,, и учитывая, чтоj = γE, получим

.

Это есть выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Плотность тепловой мощности в проводнике, по которому течет ток, прямо пропорциональна квадрату напряженности поля в проводнике. Коэффициентом пропорциональности является удель­ная проводимость проводника.

Вывод законов Ома и Джоуля-Ленца из классических электрон­ных представлений

Какова природа носителей тока в металлах? В 1901 г. Рикке проделал опыты: через 3 цилиндра, установленных друг на друга в течение 3-х лет пропускал постоянный ток. Был пропущен заряд, равный 3,5·106 Кл. Взвешивание показало неизменный вес цилинд­ров. Исследование торцов цилиндров не показало следов переноса вещества. Из этого был сделан вывод, что носители заряда не ионы, а открытые Томпсоном в 1897 г. электроны.

Чтобы отождествить носители заряда с электронами, нужно было определить знак и величину удельного заряда носителей.

Если в металле имеются легко перемещающиеся заряженные частицы, то при торможении металлического проводника эти час­тицы должны некоторое время продолжать двигаться по инерции, в результате чего в проводнике возникнет импульс тока и будет пе­ренесен некоторый заряд.

Мандельштам и Папалекси в 1913 г. проделали такой опыт – они приводили в быстрое крутильное колебание катушку с прово­дом вокруг ее оси. К концам катушки подключили телефон, в кото­ром был слышен звук, обусловленный импульсами тока. Был полу­чен качественный результат – зарегистрирован импульс тока.

Толмен и Стюарт в 1916 г. получили количественный ре­зультат. Катушка с проводом длиной 500 м приводилась во враще­ние со скоростью v=300 м/с. Катушка резко тормозилась и с по­мощью баллистического гальванометра измеряли заряд, протекав­ший в цепи во время торможения. Вычисленное значение отношения заряда к массе e/m полу­чалось очень близким для электронов. Таким образом было доказано, что носителем тока являются электроны. Исходя из представлений о свободных электронах была создана классическая теория электро­проводности металлов в предположении, что:

— электроны в металле ведут себя подобно молекулам иде­ального газа;

— движение электронов подчиняется законам классической механики;

— взаимодействие электронов сводится к соударениям с ио­нами кристалли-ческой решетки;

— силами взаимодействия между электронами можно пре­небречь и они между собой не сталкиваются;

— электроны в отсутствие электрического поля движутся хаотически.

Вычислим плотность тока j в проводнике, возникающего под действием поля напряженностью Е.

По определению плотность тока j = n e <v> — это заряд, переносимый через единицу площади S = 1м2 за единицу времени t=1 с; n – концентрация электронов, е – заряд элек­трона, <v> — средняя скорость упорядоченного движения электро­нов.

На каждый электрон действует сила F = eE = ma, поэтому электрон приобретает ускорение и к концу свободного про­бега он достигнет скорости, а средняя скорость <v>=vmax/2.

Если <vT> — средняя скорость теплового хаотичного движе­ния электронов, а средняя длина свободного пробега электронов <λ>, то среднее время между соударениями <t> = . Подставляя <t> в формулу для <v> получим:

.

Подставляя <v> в формулу для j, получим

,

т.е. плотность тока прямо пропорциональна Е, а это и есть выраже­ние закона Ома в дифференциальной форме. Если положить, что

то j = γ E.

Удельная проводимость γ ~ n и < λ>, <vт> ~ T, поэтому проводимость снижа­ется с ростом температуры, а удельное сопротивление по­вышается с ростом температуры. К концу свободного пробега электрон приоб­ретает кинетическую энергию

Предполагается, что вся энергия при соударении передается узлу кристаллической решетки и переходит в тепло. За 1 с электрон ис­пытывает <vT>/ < λ > cоударений, а значит выделяет во столько же раз больше тепла. Если в единице объема n электронов, то в еди­нице объема за единицу времени выделится количество тепла

.

Таким образом, — выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Закон Ома в интегральной  и дифференциальной форме

 Закон Ома в интегральной форме для однородного участка цепи (не содержащего ЭДС)

(7.6.1)

Для однородного линейного проводника выразим R через ρ:

,

(7.6.2)

ρ – удельное объемное сопротивление; = .

      Найдем связь между  и  в бесконечно малом объеме проводника – закон Ома в дифференциальной форме.

Внимание!

Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

      В изотропном проводнике (в данном случае с постоянным сопротивлением) носители зарядов движутся в направлении действия силы, т.е. вектор плотности тока  и вектор напряженности поля  сонаправлены(рис. 7.6).

: Исходя из закона Ома (7.6.1), имеем

      А мы знаем, что  или . Отсюда можно записать

,

(7.6.3)

      это запись закона Ома в дифференциальной форме.

Здесь  – удельная электропроводность.,  Размерность σ – .

      Плотность тока можно выразить через заряд электрона е, количество зарядов n и дрейфовую скорость :

.

      Обозначим , тогда ;

(7.6.4)

Теперь, если удельную электропроводность σ выразить через еn и b:  то вновь получим выражение закона Ома в дифференциальной форме:

                  -вектор плотности тока

Закон Джоуля Ленца

Мощность тепла, выделяемого в единице объёма среды при протекании электрического тока, пропорциональна произведению плотности электрического тока на величину напряженности электрического поля

Математически может быть выражен в следующей форме:

где  — мощность выделения тепла в единице объёма,  — плотность электрического тока,  — напряжённость электрического поля, σ — проводимость среды, а точкой обозначено скалярное произведение.

 

Поможем написать любую работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Узнать стоимость

О законе Ома: интегральная и дифференциальная формы

Немецкий физик Георг Ом в XIX веке экспериментально вывел основную закономерность, по которой функционируют и проектируются электрические цепи. Она заключается в том, что сила тока прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению. Данная формулировка описывает закон Ома в интегральной форме.

Дифференциальный вид закона Ома

Действие электродвижущих сил

Работая с электричеством, следует помнить, что сопротивление проводника зависит от его размера, формы и материала, из которого он изготовлен. Поэтому данный показатель при решении теоретических и прикладных задач рассчитывается как отношение длины к площади, умноженное на величину удельного сопротивления материала.

Дополнительная информация. Величина сопротивления также зависит и от температуры, где находится проводник. Как правило, такая зависимость носит линейный характер: чем выше температура, тем больше сопротивление проводящего вещества.

Чтобы в цепи появилось электричество, необходимо наличие в ней свободных заряженных частиц (обычно электронов). Кроме того, они должны обладать способностью перемещаться в определенном направлении (от источника тока к его потребителю, от отрицательно заряженного предмета к месту с положительным зарядом). Такое движение создает электрическое поле. Следовательно, чтобы движение частиц не прекращалось, необходимо энергию этого поля каким-либо образом восполнять.

Если соединить проводом два тела, у одного из которых положительный, а  у другого отрицательный заряд, из-за кулоновских сил начнется движение электронов. Однако достаточно быстро такое перемещение прекратится, поскольку разница потенциалов из-за действия законов природы восстановится. Таким образом, наличие в электрической цепи только электростатических сил явно недостаточно, чтобы обеспечить постоянное движение электронов в сети.

Важно! Чтобы поддерживать постоянное наличие тока в сети, необходимо обеспечивать разность потенциалов на ее концах. Естественным образом такую ситуацию создать невозможно. Следовательно, необходимы сторонние силы, которые называются электродвижущими.

Электродвижущие силы

Благодаря внешнему воздействию, электроны движутся в направлении, противоположном действию электрического поля, за счет чего поддерживается постоянная разница потенциалов. Создает электродвижущие силы источник тока за счет механического действия, химической реакции и так далее. Следовательно, интегрального вида записи закона Ома для описания функционирования электрической цепи недостаточно, поскольку, помимо разницы потенциалов и сопротивления проводника, на движение электронов действует еще ряд факторов. Решить эту задачу позволяет закон Ома в дифференциальной форме.

Движение тока по неоднородным проводникам

Дифференциальная форма записи выявленной Омом закономерности особенно актуальна, когда проводящий элемент по своему составу неоднороден – на всем протяжении движения электронов у него меняется площадь сечения и уровень сопротивления. Это создает определенные сложности при расчете мощности источника тока, параметров изоляции и так далее, чтобы обеспечить стабильность работы сети, а главное – ее безопасность.

Чтобы сформулировать закон Ома в дифференциальной форме, следует представить проводник не как однородное тело, а как набор бесконечного числа бесконечно малых частей. Это позволит считать каждый элемент однородным, а значит, у него постоянная толщина и постоянный уровень сопротивления, и на таком бесконечно малом участке действуют стандартные принципы закона Ома.

Обратите внимание! При записи закономерности Ома в дифференциальном виде необходимо ввести такие понятия, как плотность тока и удельная проводимость, поскольку именно они являются ключевыми для расчета параметров электрической цепи с неоднородным проводником.

Под плотностью понимается векторная величина, которая демонстрирует уровень силы тока, протекающий через единицу площади. Учет плотности приводит к тому, что при неоднородном проводящем элементе в схеме  потребуется установка различных дополнительных устройств для выравнивания напряжения и обеспечения стабильности и безопасности работы.

Плотность и проводимость проводника

Удельная проводимость – это величина, обратная удельному сопротивлению, которая позволяет оценить способность единицы какого-либо вещества обеспечивать прохождение через себя электронов. Знание такой характеристики также позволяет корректно спроектировать схему из различных проводников.

Итак, закон Ома является базовым для понимания устройства электрической цепи. Возможность записать его в разных видах позволяет учесть при проектировании схем устройств и приборов толщину, проводимость и другие характеристики материалов. Необходимо отметить, что такая деятельность требует знаний в области высшей математики (владение основами дифференциальных и интегральных вычислений).

Видео

Оцените статью:

Закон ома в интегральной и дифференциальной форме

Рис.3.16 Пусть по проводнику длиной l и сечением S течет ток I. В проводнике создается электрическое поле напряженности E, а j1 и j2 – потенциалы на концах проводника (рис.3.16). В случае однородного проводника величину j1 – j2 = U можно назвать падением напряжения на участке проводника.

Закон Ома: сила тока, текущего по однородному участку проводника, прямо пропорциональна падению напряжения на проводнике:

(3.47)

где R – электрическое сопротивление проводника.

(3.47) – закон Ома в интегральной форме.

Размерность сопротивления в СИ: [R] = В/А = Ом.

Ом – сопротивление такого проводника, в котором при напряжении в 1 В течет ток 1А.

Сопротивление зависит от геометрических размеров и формы проводников, материала и температуры проводников. Для цилиндрического проводника

(3.48)

где r – удельное сопротивление проводника.

Удельное сопротивление численно равно сопротивлению проводника длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м 2 . Размерность удельного сопротивления в СИ: [r] = Ом×м.

Величина, обратная сопротивлению, называется проводимостью.

Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью:

(3.49)

Единица, обратная Ом, называется Сименсом [См].

Учитывая (3.46) – (3.49), а также , получим:

(3.50)

(3.50) – закон Ома в дифференциальной форме.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9821 – | 7687 – или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Пусть по проводнику длиной l и сечением S течет ток I. В проводнике создается электрическое поле напряженности E, а 1 и 2 – потенциалы на концах проводника. В случае однородного проводника величину 1 2= U можно назвать падением напряжения на участке проводника.

Закон Ома: сила тока, текущего по однородному участку проводника, прямо пропорциональна падению напряжения на проводнике:

– закон Ома в интегральной форме

где R – электрическое сопротивление проводника.

Ом – сопротивление такого проводника, в котором при напряжении в 1 В течет ток 1А.

Сопротивление зависит от геометрических размеров и формы проводников, материала и температуры проводников. Для цилиндрического проводника

где – удельное сопротивление проводника.

Удельное сопротивление численно равно сопротивлению проводника длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м 2 . Размерность удельного сопротивления в СИ: [] = Омм.

Величина, обратная сопротивлению, называется проводимостью.

Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью:

Учитывая выше написанные уравнения, а также , получим:

– закон Ома в дифференциальной форме.

3.2.3. Сторонние силы. Закон Ома для цепи, содержащей эдс

Для возникновения и существования электрического тока необходимо:

наличие свободных носителей тока – заряженных частиц, способных перемещаться упорядоченно;

наличие электрического поля, энергия которого должна каким-то образом восполняться.

Соединим проводником два тела с зарядами +q и q. Кулоновские силы заставляют электроны перемещаться по проводнику. Возникнет ток. Однако тела при этом будут разряжаться, разность потенциалов уменьшится, ток быстро прекратится.

Т.е. если в цепи действуют только силы электростатического поля, то происходит перемещение носителей таким образом, что потенциалы всех точек цепи выравниваются и электростатическое поле исчезает.

Следовательно, поле кулоновских сил не может являться причиной постоянного электрического тока.

Ток в проводнике нейтрализует заряды на его концах. Для поддержания постоянного тока необходимо поддерживать постоянную разность потенциалов, следовательно, разделять заряды. Электрические силы разделять заряды не могут.

Силы, разделяющие заряды, имеют неэлектрическую природу и называются сторонними силами.

Устройство, в котором действуют сторонние силы, называется источником тока.

Сторонние силы заставляют заряды двигаться внутри источника тока против сил поля. Благодаря этому в цепи поддерживается постоянная разность потенциалов.

Перемещая заряды, сторонние силы совершают работу за счет энергии, затраченной в источнике тока. Например, в электрофорной машине разделение зарядов происходит за счет механической работы, в гальваническом элементе – за счет энергии химических реакций и т.д.

Величина, равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС).

Обозначим – вектор напряженности поля сторонних сил.

Результирующее поле, действующее на заряды в проводнике, в общем случае

Плотность тока в цепи

.

– закон Ома в дифференциальной форме для цепи, содержащей ЭДС.

Рассмотрим участок AB замкнутой цепи, содержащей ЭДС (рис.3.18). Выделим мысленно малый элемент dl.

Плотность тока на этом участке опишется уравнением . Умножим скалярно обе части этого равенства наи проинтегрируем по участкуAB:

Рассмотрим каждый интеграл в отдельности:

Разность потенциалов численно равна работе кулоновских сил по перемещению единичного положительного заряда из т.A в т.B;

ЭДС, действующая на участке цепи, численно равна работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда из т.A в т.B;

С учетом выше сказанного можно получить:

– закон Ома для участка цепи с ЭДС.

если на данном участке цепи источник тока отсутствует, то получаем закон Ома для однородного участка цепи:

если цепь замкнута (=0), то получим закон Ома для замкнутой цепи:

где – ЭДС, действующая в цепи, R – суммарное сопротивление всей цепи, rвнутр – внутреннее сопротивление источника тока, Rвнеш – сопротивление внешней цепи;

если цепь разомкнута, то I = 0 и 12= 2 1, т.е. ЭДС, действующая в разомкнутой цепи равна разности потенциалов на ее концах.

В случае короткого замыкания сопротивление внешней цепи Rвнеш= 0 и сила тока в этом случае ограничивается только величиной внутреннего сопротивления источника тока.

Падение напряжения на участке AB численно равно работе кулоновских и сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда из т.A в т.B.

Читайте также:

  1. A. Закон места заключения договора. Данный принцип оговаривает применение права того места где заключен контракт
  2. B. Закон постоянного места жительства, то есть применяется законодательство государства на территории которого это физическое лицо постоянно проживает.
  3. I. Закон и изотонический коэффициент Вант-Гоффа
  4. II группу составляют следующие федеральные законы, относящиеся к специальному законодательству по вопросам туристской деятельности.
  5. II – 1. Первый закон Ньютона
  6. II – 20. В случае действия только консервативных сил по закону сохранения энергии
  7. II. Уголовно-процессуальное законодательство
  8. III ЗАКОН — ВРЕМЕННОЙ НАСЫЩАЕМОСТИ ЭГО-ВЛЕЧЕНИЙ
  9. III. Нарушения законодательства о ценных бумагах при принятии Советом директоров АО “Шахта “Воргашорская”” решения о дополнительном выпуске акций.
  10. III. ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС И ЗАКОНЫ ДИДАКТИКИ
  11. IV. Несоответствия законодательству Проспекта эмиссии дополнительных акций АО “Шахта “Воргашорская””.
  12. А это христианские летописи: «Слово о законе и благодати митрополита Иллариона». 1 страница

Интегральная форма записи закона Ома для участка цепи: сила тока, текущего по однородному (отсутствуют сторонние силы) металлическому проводнику, пропорциональна падению напряжения на проводнике:

Сопротивление проводника. Величина R называется электрическим сопротивлением проводника. Единица сопротивления – 1 Ом. Для однородного цилиндрического проводника

где l – длина проводника; S – площадь его поперечного сечения; – зависящий от свойств материала коэффициент, называемый удельным электрическим сопротивлением. В системе СИ единица измерения есть.

Интегральная форма записи для полной цепи: I=E/(r+R).

Интегральная форма записи закона Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС: I=(U+E)/(r+R) или I=(U-E)/(r+R)

Дифференциальной формой закона Ома для однородного участка цепи: Связь между плотностью тока j и напряженностью поля Е в одной и той же точке проводника. В изотропном проводнике упорядоченное движение носителей тока происходит в направлении вектора Е. Поэтому направления векторов j и Е совпадают.

Учитывая, что j и Е совпадают по направлению, получаем

Это соотношение является дифференциальной формой закона Ома для однородного участка цепи. Величина называется удельной проводимостью.

На неоднородном участке цепи на носители тока действуют, кроме электростатических сил , еще и сторонние силы , следовательно, плотность тока в этих участках оказывается пропорциональной сумме напряженностей. Учет этого приводит к дифференциальной форме закон Ома для неоднородного участка цепи.

Дата добавления: 2015-04-24 ; Просмотров: 4196 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Интегралы в электрических цепях

Производные и интегралы широко используются для описания переходных процессов в электрических цепях. Ниже мы рассмотрим некоторые типичные проблемы, которые можно решить с помощью интеграции. Ограничимся рассмотрением схем первого порядка.

Связь между начислением и током

Электрический ток \ (I \) определяется как скорость потока заряда \ (Q \) и выражается производной

\ [I \ left (t \ right) = \ frac {{dQ \ left (t \ right)}} {{dt}}.{{t_2}} {I \ left (t \ right) dt}, \]

, который представляет собой количество заряда, проходящего через провод между моментами времени \ (t = {t_1} \) и \ (t = {t_2}. \)

RC-схема

Простая последовательная RC-цепь — это электрическая цепь, состоящая из резистора и конденсатора.

Рисунок 1.

После того, как переключатель замкнут в момент времени \ (t = 0, \), ток начинает течь по цепи. Напряжение на резисторе определяется законом Ома:

.

\ [{V_R} \ left (t \ right) = I \ left (t \ right) R.{- \ frac {t} {{RC}}}}. \]

Рисунок 2.

Постоянная времени \ (\ tau = RC \) здесь определяет, насколько быстро происходит переходный процесс в цепи.

RL Схема

В простой цепи RL последовательно соединены резистор и катушка индуктивности.

Рисунок 3.

Когда переключатель в момент времени \ (t = 0 \) замкнут, применяется постоянная ЭДС \ (\ varepsilon \), и ток \ (I \) начинает течь по цепи.

Как и в предыдущем разделе, напряжение на резисторе равно

.

\ [{V_R} \ left (t \ right) = I \ left (t \ right) R.\]

Напряжение на катушке индуктивности выражается производной

\ [{V_L} \ left (t \ right) = L \ frac {{dI}} {{dt}}. \]

Так, по КВЛ,

\ [{V_R} \ left (t \ right) + {V_L} \ left (t \ right) = \ varepsilon, \]

или

\ [RI \ left (t \ right) + L \ frac {{dI}} {{dt}} = \ varepsilon. {- \ frac {R} {L} t}}} \ right).\]

Рис. 4.

Мы видим, что постоянная времени для цепи RL определяется выражением \ (\ tau = \ large {\ frac {L} {R}} \ normalsize. \)

Мощность и энергия

Электрическая энергия \ (E, \), измеряемая в джоулях (Дж), представляет собой форму энергии, которая возникает из кинетической или потенциальной энергии, которой обладают электрические заряды.

Электрическая мощность \ (P, \), измеряемая в ваттах (Вт), представляет собой скорость, с которой электрическая энергия передается по электрической цепи.

Мощность, рассеиваемая в элементе цепи постоянного тока \ (\ left ({DC} \ right) \), определяется формулой

\ [P = VI, \]

где \ (V \) — напряжение на элементе, а \ (I \) — ток в цепи.t {V \ left (s \ right) I \ left (s \ right) ds}, \]

где \ (s \) — внутренняя переменная интегрирования.

Энергия, накопленная в конденсаторе

Перемещение небольшого заряда \ (dq \) с одной пластины конденсатора на другую требует работы

\ [dW = Vdq = \ frac {q} {C} dq, \]

где \ (C \) — емкость, а \ (q \) — текущий заряд конденсатора. 2}}} {2}.2} — 4, & t \ gt 3 \ end {case}, \] где ток \ (I \) измеряется в \ (A \), а время \ (t \) измеряется в \ ({сек}. \). Найдите общий заряд, попавший в элемент за время \ (T = 6 \, с. \)

Пример 2

Ток в цепи увеличивается линейно во времени как \ (I \ left (t \ right) = \ alpha t \) в течение временного интервала \ (\ left [{0, T} \ right] \) и вызывает резистор \ (R \), чтобы нагреться. Предполагая, что процесс нагрева является адиабатическим, определите, как изменение температуры резистора \ (\ Delta T \) зависит от скорости \ (\ alpha.\) Удельная теплоемкость материала резистора \ (c, \), масса резистора \ (m. \)

Пример 3

Предположим, конденсатор \ (C \) заряжается от источника с постоянной ЭДС \ (\ varepsilon. \). Вычислите тепловую энергию, рассеиваемую резистором \ (R \) за время зарядки.

Пример 4

Когда переключатель замкнут в момент времени \ (t = 0, \), начальный ток в цепи без источника \ (RL \) равен \ ({I_0} = 1 \, A. \) Найдите энергию \ ({E_R } \) рассеивается резистором между \ (t = 0 \) и \ (T = 1 \, ms, \), если \ (R = 50 \, k \ Omega, \) \ (L = 0.{- 100t}} \, \ left (V \ right).} \] Определите полную энергию, рассеиваемую элементом между \ (t = 0 \) и \ (t = 10 \, {ms}. \)

Пример 6

В момент времени \ (t = 0, \) ЭДС \ (\ varepsilon = 50 \, V \) применяется к первоначально незаряженному конденсатору \ (C = 10 \, \ mu F. \). Конденсатор начинает заряжаться через резистор \ (R = 100 \, k \ Omega. \) Определите количество электронов на отрицательной пластине конденсатора за \ (1 \) секунду.

Пример 7

Ток и напряжение на элементе схемы изменяются по синусоидальному закону: \ [{I \ left (t \ right) = {I_0} \ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi t}} {T} + \ theta} \ right), \; \;} \ kern0pt { V \ left (t \ right) = {V_0} \ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi t}} {T}} \ right),} \] где \ (T \) — период колебаний, \ (\ theta \) — разность фаз, \ ({I_0} \) и \ ({V_0} \) — начальные значения тока и напряжения. 2} — 4, & t \ gt 3 \ end {case}, \] где ток \ (I \) измеряется в \ (A \), а время \ (t \) измеряется в \ ({сек}.6} = {9 + \ left ({\ frac {{216}} {3} — 4} \ right) — \ left ({3 — 12} \ right)} = {60 \, C}. \]

Пример 2.

Ток в цепи увеличивается линейно во времени как \ (I \ left (t \ right) = \ alpha t \) в течение временного интервала \ (\ left [{0, T} \ right] \) и вызывает резистор \ (R \), чтобы нагреться. Предполагая, что процесс нагрева является адиабатическим, определите, как изменение температуры резистора \ (\ Delta T \) зависит от скорости \ (\ alpha. \). Удельная теплоемкость материала резистора равна \ (c, \) масса резистора \ (м.2}. \]

Таким образом, изменение температуры \ (\ Delta \ theta \) пропорционально квадрату текущей скорости \ (\ alpha \).

Пример 3.

Предположим, конденсатор \ (C \) заряжается от источника с постоянной ЭДС \ (\ varepsilon. \). Вычислите тепловую энергию, рассеиваемую резистором \ (R \) за время зарядки. {- \ frac {t } {{RC}}}}.{15}}} \]

Пример 7.

Ток и напряжение на элементе схемы изменяются по синусоидальному закону: \ [{I \ left (t \ right) = {I_0} \ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi t}} {T} + \ theta} \ right), \; \;} \ kern0pt { V \ left (t \ right) = {V_0} \ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi t}} {T}} \ right),} \] где \ (T \) — период колебаний, \ (\ theta \) — разность фаз, \ ({I_0} \) и \ ({V_0} \) — начальные значения тока и напряжения. Найдите среднюю мощность, рассеиваемую в элементе схемы за период одного цикла.T {\ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi t}} {T} + \ theta} \ right) \ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi t}} {T}} \ right ) dt}.} \]

Использование идентичности произведения на сумму

\ [{\ sin \ alpha \ sin \ beta \ text {=}} \ kern0pt {\ frac {1} {2} \ left [{\ cos \ left ({\ alpha — \ beta} \ right) — \ cos \ left ({\ alpha + \ beta} \ right)} \ right],} \]

подынтегральное выражение можно переписать в виде

\ [{\ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi t}} {T} + \ theta} \ right) \ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi t}} {T}}) \ right)} = {\ frac {1} {2} \ left [{\ cos \ left ({- \ theta} \ right) — \ cos \ left ({\ frac {{4 \ pi t}} {T } + \ theta} \ right)} \ right]} = {\ frac {1} {2} \ left [{\ cos \ theta — \ cos \ left ({\ frac {{4 \ pi t}} {T } + \ theta} \ right)} \ right].T} = {\ frac {{{I_0} {V_0}}} {2} \ left [{\ cos \ theta — \ underbrace {\ frac {{\ sin \ left ({4 \ pi + \ theta} \ right ) — \ sin \ theta}} {{4 \ pi}}} _ 0} \ right]} = {\ frac {{{I_0} {V_0} \ cos \ theta}} {2}.} \]

Как видите, максимальная средняя мощность достигается при \ (\ theta = 0: \)

\ [{{\ bar P} _ {\ max}} = \ frac {{{I_0} {V_0}}} {2}. \]

Пример 8.

Источник постоянной ЭДС \ (\ varepsilon = 100 \, V \) подключается к цепи с начальным сопротивлением \ ({R_0} = 20 \, \ Omega.\) Рассчитайте заряд \ (Q \), который будет проходить в цепи в течение \ (T = 1 \, min, \), если сопротивление линейно увеличивается со скоростью \ (\ alpha = 1 \ large {\ frac {\ Омега} {s}} \ normalsize. \)

Решение.

Сопротивление \ (R \) цепи изменяется по закону

\ [R \ left (t \ right) = {R_0} + \ alpha t. \]

По закону Ома,

\ [I \ left (t \ right) = \ frac {\ varepsilon} {{R \ left (t \ right)}} = \ frac {\ varepsilon} {{{R_0} + \ alpha t}}. \ ]

Чтобы найти заряд \ (Q, \), мы интегрируем ток \ (I \ left (t \ right) \) по временному интервалу \ (\ left [{0, T} \ right], \), где \ ( T = 1 \, min = 60 \, с.T} = {\ frac {\ varepsilon} {\ alpha} \ left [{\ ln \ left ({{R_0} + \ alpha T} \ right) — \ ln {R_0}} \ right]} = {\ frac {\ varepsilon} {\ alpha} \ ln \ frac {{{R_0} + \ alpha T}} {{{R_0}}}} = {\ frac {\ varepsilon} {\ alpha} \ ln \ left ({1 + \ frac {{\ alpha T}} {{{R_0}}}} \ right).} \]

Подставляя указанные значения, получаем

\ [{Q = \ frac {\ varepsilon} {\ alpha} \ ln \ left ({1 + \ frac {{\ alpha T}} {{{R_0}}}} \ right)} = {\ frac { {100}} {1} \ ln \ left ({1 + \ frac {{1 \ times 60}} {{20}}} \ right)} \ приблизительно {138.6 \, C} \]

Закон

Ом — обзор

2.2 Электродинамика черных дыр

Описание ЧД, которое мы приводим здесь, по сути «голографическое» по своей природе, поскольку оно будет заключаться в вырезании внутренней части ЧД и замене описания внутренней ЧД. физика величинами и явлениями, происходящими целиком на «поверхности ЧД» (т. е. на горизонте). Поверхность ЧД определяется как нулевая гиперповерхность, то есть поверхность, везде касательная к световому конусу, отделяющая область внутри ЧД от области снаружи.Как только что было сказано, мы игнорируем область внутри, включая сингулярность пространства-времени, и рассматриваем физику во внешней области, дополняя ее подходящими «граничными эффектами» на горизонте. Эти граничные эффекты являются фиктивными и на самом деле не существуют на поверхности ЧД, но играют роль представления, в голографическом смысле, физики, происходящей внутри. В конце концов, у нас будет горизонт, набор поверхностных величин на горизонте и набор объемных свойств за пределами горизонта. Сначала рассмотрим уравнения Максвелла, а именно: F мкВ = δ μ A v — δ v A μ и

(2.32) ∇νFμν = 4πJμ, ∇μJμ = 0⋅

Априори электромагнитное поле F μv пронизывает все пространство-время, существующее как внутри, так и за пределами горизонта, и ток, т.е. F мкВ , несущий заряд, также распределяется как снаружи, так и внутри ЧД. Чтобы заменить внутреннюю электродинамику ЧД поверхностными эффектами, мы заменяем реальный F мкВ (x) на F мкВ (x) Θ H , где Θ H равно ступенчатая функция, подобная Хевисайду, равная 1 вне ЧД и 0 внутри.Затем мы рассмотрим, каким уравнениям удовлетворяет это электромагнитное поле, модифицированное Θ H . Соответствующие модифицированные уравнения Максвелла содержат два типа источниковых членов:

(2.33) ∇ν (FμνΘ) = (∇νFμν) Θ + Fμν∇vΘ = 4π (JμΘ + jvμ),

, где мы ввели поверхность ЧД. ток jHμ as

(2.34) jHμ = 14πFμν∇vΘ⋅

Этот поверхностный ток содержит δ-функцию Дирака, которая ограничивает его горизонтом. Действительно, рассмотрим скалярную функцию ϕ (x) такую, что ϕ (x) = 0 на горизонте, при этом ϕ (x) <0 внутри ЧД и ϕ (x) > 0 вне его.Введенная выше Θ-функция BH просто равна Θ H = θ (ϕ (x)) , где θ обозначает стандартную ступенчатую функцию одной действительной переменной. Следовательно, градиент Θ H имеет вид

(2.35) ∂μΘH = ∂μθ (ϕ (x)) = δ (ϕ (x)) ∂μϕ,

, где δ — (одномерный) обычный дираковский δ , так что δ (ϕ (x)) — функция δ с опорой на горизонте. С моральной точки зрения, градиент ∂ μ ϕ дает вектор «нормальный к горизонту». В случае ЧД (в отличие от обычного случая гиперповерхности в евклидовом пространстве) существует дополнительная тонкость в точном определении нормали к горизонту.Горизонт — это нулевая гиперповерхность, которая по определению нормальна к нулевому ковариантному вектору ℓ μ , удовлетворяющему как ℓ μ μ = 0, так и ℓ μ d x μ = 0 для любого бесконечно малого смещения d x μ внутри гиперповерхности. Поскольку ℓ μ равно нулю, его нельзя нормализовать так же, как в евклидовом пространстве. Это приводит к неоднозначности физических наблюдаемых, связанных с ℓ μ . В стационарно-осесимметричном пространстве-времени однозначно нормализуется ℓ μ , требуя, чтобы соответствующий градиент направления ℓ μ μ имел форму ∂ / ∂ t + Ω∂ / θϕ (с коэффициентом, равным единице перед члена, производного по времени).Мы будем предполагать (в общем нестационарном случае), что ℓ μ нормировано, так что его нормализация совместима с обычной нормализацией при рассмотрении предельного случая стационарно-осесимметричных пространств-времени. В любом случае, при любой нормировке существует скаляр ω такой, что

(2.36) ℓμ = ω∂μϕ,

, и тогда мы можем определить «δ-функцию горизонта»

(2.37) δH = 1ωδ (ϕ),

так, что

(2.38) ∂μΘH = ℓμδH⋅

Затем можно определить «плотность поверхностного тока ЧД»

(2.39) Kμ = 14πFμνℓν⋅

При таком определении ток ЧД jHμ составляет

(2.40) jHμ = KμδH,

и удовлетворяет

(2.41) ∇μ (ΘHJμ + KμδH) = 0,

, что является сохранением закон суммы внешнего объемного тока Θ H J μ и граничного тока K μ δ H В живописных терминах поверхностный ток K μ δ H эффективно «замыкает» внешние линии тока, проходящие через ЧД (аналогично случаю, когда внешние токи вводятся в идеальный проводник и приводят к токам, текущим по его поверхности).Кроме того, уравнение. (2.39) показывает, что этот поверхностный ток связан с электромагнитными полями, которые находятся на горизонте. Таким образом, мы наделили горизонт поверхностными величинами, определенными однозначно и локально на горизонте.

Прежде чем продолжить, мы введем удобную систему координат для описания физики на горизонте общей ЧД. Мы предполагаем некоторую регулярную «срезку» горизонта и его окрестностей некоторой (продвинутой) временной координатой типа Эддингтона-Финкельштейна t = x 0 .Затем мы предполагаем, что первая координата x 1 такова, что она равна нулю на горизонте (например, r r + в случае Керра-Ньюмана). Наконец, x A для A = 2, 3 обозначают некоторые угловые координаты на двумерном пространственном срезе S t ( x 0 = t) горизонта. В этой системе координат мы нормализуем ℓ μ так, чтобы

(2.42) ℓμ∂μ = ∂∂t + vA∂∂xA⋅

Здесь мы использовали тот факт, что «нормальный» вектор ℓ μ , будучи нулевым, также является касательной к горизонту, так что ℓ μ μ — это общая комбинация ∂ / ∂ t и ∂ / ∂ x A , но не имеет компонента вдоль «радиальной» (или «поперечной») координаты x 1 . Поскольку ℓ μ является вектором, касательным к гиперповерхности, мы можем рассматривать его интегральные линии ℓ μ = dx μ / dt , которые лежат в пределах горизонта.Эти интегральные кривые называются образующими горизонта. Это нулевые геодезические кривые, полностью лежащие в пределах горизонта.

Выражение (2.42) для направленного градиента вдоль ℓ μ предполагает, что v A следует интерпретировать как скорость некоторых «жидких частиц» на горизонте, которые являются «составляющими» нулевой мембраны. Подобно обычному описанию движения жидкости, нужно отслеживать изменения расстояния между двумя частицами жидкости, когда жидкость расширяется и сдвигается.Для обычной жидкости рассматривается градиент поля скоростей, разбивая его на симметричную и антисимметричную части. Антисимметричная часть — это просто локальное вращение, которое не влияет на физику и может быть проигнорировано. Симметричная часть далее разделяется на ее следовую и бесследную части, а именно

(2.43) 12 (∂ivj + ∂jvi) = σij + 1d∂⋅vδij,

, где d — пространственный размер рассматриваемой жидкости (который в нашем случае будет d = 2). Здесь первый член описывает сдвиг, а второй — скорость расширения.Позже мы увидим, как определяются аналоги этих величин в ЧД. А пока давайте рассмотрим расстояния на горизонте. Они измеряются с учетом ограничения горизонта метрики пространства-времени (которая, как предполагается, удовлетворяет уравнениям Эйнштейна). Поскольку мы рассматриваем нулевую гиперповерхность, имеем

(2.44) ds2 | x1 = 0 = γAB (t, xC) (dxA-vAdt) (dxB-vBdt),

, где vA = dxAdt. Обратите внимание, что d s 2 является вырожденной метрикой: действительно, на (трехмерной) нулевой гиперповерхности нет направления реального времени (d s 2 исчезает вдоль генераторов).Один имеет только два положительно определенных пространственных измерения вдоль, например, пространственные срезы S t . Эта метрика описывает геометрию на горизонте, по которой можно вычислить элемент площади пространственных сечений S t

(2.45) dA = detγABdx2∧dx3⋅

Плотность тока можно разложить K μ во временную составляющую σ H = K 0 , и две пространственные компоненты K A , касательные к пространственным срезам S t ( t = const.) горизонта

(2.46) Kμ∂μ = σH∂t + KA∂A

, в котором ∂ t = ℓ μ μ v A A , так что

(2.47) Kμ∂μ = σHℓμ + (KA-σHvA) ∂A⋅

Полный электрический заряд пространства-времени определяется поверхностным интегралом в ∞, скажем

(2.48) Qtot = 14π∮ S∞12FμνdSμν⋅

Этот результат можно переписать как сумму интеграла поверхности на горизонте и интеграла объема между горизонтом и ∞.dxσ = (nμℓv-nvℓμ) dA. Здесь n μ — второй нулевой вектор, который поперечен горизонту и ортогонален пространственным сечениям S t . Он нормализован таким образом, что n μ μ = + 1. Используя приведенные выше определения для поверхностного тока ЧД, легко найти, что полный заряд ЧД можно переписать как

(2,50) QH = HσHd. A,

, где σ H — временная составляющая поверхностного тока BH, представленная выше.Хотя априори ясный физический смысл имеет только интегрированный заряд ЧД, естественно рассматривать плотность σ H , фигурирующую в приведенном выше интеграле поверхности, как определяющую распределение заряда на горизонте. Тогда связь

(2,51) σH = Kμnμ = 14πFμνnμlν

можно рассматривать как аналог результата σ = 14πEini, дающего распределение электрического заряда на металлическом объекте. Это снова можно рассматривать как часть голографического подхода, в котором внутренняя часть ЧД заменяется граничными эффектами.Эта аналогия распространяется на (пространственные) токи, текущие по поверхности ЧД. Действительно, используя закон сохранения μ (ΘHJμ + KμδH) = 0, который является просто тождеством Бианки, получаем

(2.52) 1γ∂∂t (γσH) + 1γ∂∂xA (γKA) = — Jμℓμ⋅

Это показывает математически точным образом, как внешний ток, введенный «нормально» к горизонту, «замыкается» на комбинацию токов, текущих вдоль горизонта, и / или увеличения локальной плотности заряда горизонта. Можно также ввести электромагнитную 2-форму и ограничить ее горизонтом.Затем он определяет электрические и магнитные поля на горизонте в соответствии с

(2.53) 12Fμνdxμ∧dxν | H = EAdxA∧dt + B⋅dA⋅

Взяв внешнюю производную левой части, получаем

( 2.54) ∇ × E → = -1γ∂t (γB⊥) ⋅

, который связывает электрическое и магнитное поля на горизонте.

Из различных формальных определений, приведенных выше, также получается следующее соотношение:

(2,55) EA + εABB⊥vB = 4πγAB (KB-σHvB),

или

(2,56) E → + v → × B → ⊥ = 4π (K → -σHv →) ⋅

Мы видим здесь аналог ЧД обычного закона Ома, связывающего электрическое поле с током (особенно в случае, когда v → 0, т.е.е., при отсутствии различных «эффектов конвекции», связанных со «скоростью» горизонта v →). Из этой формы закона Ома можно понять, что ЧД имеют поверхностное электрическое сопротивление , равное ρ = 4π = 377 Ом [8,11].

Приведем пример, в котором этот закон Ч. Ома можно «применить» к конкретной системе. Мы рассмотрим для простоты случай ЧД Шварцшильда и создадим электрическую цепь «на поверхности ЧД» путем инжекции на северном полюсе (через электрод, проникающий в горизонт под полярным углом θ 1 , например, θ 1 «1) электрический ток I , и позволяя ему уйти 2 с южного полюса (через электрод, пронизывающий горизонт под полярным углом θ 2 , скажем, с π — θ 2 ≪ 1).Если рассматривать ЧД как мембрану с удельным поверхностным сопротивлением ρ, эта установка вызовет фиктивный электрический ток на горизонте, замыкая цепь между северным и южным полюсами. Связанный с текущим потоком на горизонте, между полюсами будет падение потенциала V . Это падение потенциала просто дается обычным законом Ома, V = RI , то есть произведением тока I на «сопротивление» R:

(2.57) V = -A0 (θ1) + A0 (θ2) = RI⋅

Сопротивление BH R можно вычислить двумя разными способами: либо путем решения уравнений Максвелла на фоне Шварцшильда, либо путем вычислений в обычном евклидовом пространство, полное сопротивление сферической металлической оболочки с однородным удельным поверхностным сопротивлением ρ = 4π (путем разложения задачи на множество элементарных сопротивлений, некоторые из которых параллельны, а другие — последовательно). Оба метода дают один и тот же ответ, а именно:

(2,58) R = 2lntanθ22tanθ12,

, выраженное в единицах 30 Ом. 3 Этот результат говорит о том, что типичное полное удельное сопротивление ЧД составляет порядка 30 Ом. Кроме того, если рассматривать вращающуюся ЧД, помещенную в магнитное поле, не совмещенную с ее осью вращения (поле, однородное на ∞, но искаженное на горизонте), можно ожидать, что на горизонте будут обнаружены вихревые токи, которые рассеивают энергия. Эти токи существуют, их можно вычислить, и они действительно тормозят вращение ЧД. В такой ситуации также можно найти крутящий момент, который восстанавливает совмещение ЧД с полем [8].

электричество — Общий интеграл для определения сопротивления

Мой вопрос: существует ли простое и действительно общее уравнение для сопротивления между двумя электрическими эквипотенциальными поверхностями? . Очевидно, если да, то что это такое, а если нет, то почему? Конечно, это было бы очень сложно решить, но я просто хочу увидеть уравнение исчисления, которое было бы полностью описательным. У меня есть две схемы, в которых это можно было бы развлечь, я напишу их, а затем объясню мотивацию.

Для начала нам нужно предположить, что объем, разделяющий две поверхности, имеет объемное удельное сопротивление, $ \ rho $ в единицах $ (\ Omega m) $.

Мы можем ограничить обсуждение определенным объемом, тогда поверхности будут находиться в этом объеме или на его поверхности. Этот объем может иметь постоянное удельное сопротивление $ \ rho $, в то время как всюду за пределами объема он полностью электрически изолирующий.

Альтернативой вышеупомянутому подходу, который может сделать задачу более или менее сложной, может быть замена постоянного удельного сопротивления пространственной зависимостью $ \ rho (\ vec {r}) $ и больше не требует граничного условия.В этом случае у нас есть только 3 математических входа для решения задачи: удельное сопротивление, определенное для всех $ \ vec {r} $, и определение двух поверхностей, $ S_1 $ и $ S_2 $.

Основная алгебраическая формулировка, которую я считаю недостаточной:

$$ R = \ rho \ frac {\ ell} {A} $$

Где $ l $ — длина неустойчивого материала, который представляет собой любую форму, имеющую трансляционную симметрию по этой длине, а $ A $ — площадь поперечного сечения. Очевидно, это довольно простое уравнение, которое не применимо к более сложной геометрии.l \ frac {1} {A (x)} dx $$

Я думаю, очевидно, что подобное уравнение построено на множестве предположений. Для мысленного эксперимента представьте, что область вначале очень маленькая, а затем быстро превращается в очень большую. Что ж, учет большей площади в указанном выше смысле недооценивает сопротивление, потому что заряд должен распространяться перпендикулярно среднему направлению потока, а также параллельно ему.

У меня есть основания подозревать, что это может быть довольно сложно.Большая причина в том, что все подходы, с которыми я знаком, требуют, чтобы пути потока были установлены заранее, что не может быть сделано для того, о чем я прошу. Так что, возможно, это приведет к двум взаимосвязанным уравнениям исчисления.

У меня был интерес к Squishy Circuits, и мне пришло в голову, что я не могу быстро и просто записать уравнение сопротивления между двумя точками. Уникальность Squishy Circuits заключается в том, что для этого используются два типа теста: проводящее и в основном изолирующее.Однако рецепты не идеальны, и из-за этого маленькие дети, которые играют с этими схемами, регулярно сталкиваются с ограничениями определений проводников и изоляторов. Если вы сделаете тесто для проводника слишком длинным и / или слишком тонким, вы столкнетесь с затемнением света, с которым вы соединяетесь. Точно так же тонкий слой изолятора приведет к сильному току утечки, который также затемняет свет.

Закон

Ома: что это такое и почему это важно?

Обновлено 28 декабря 2020 г.

Ли Джонсон

Электрические цепи повсеместно встречаются в нашей повседневной жизни.От сложных интегральных схем, управляющих устройством, которое вы читаете в этой статье, до проводки, которая позволяет вам включать и выключать лампочку в вашем доме, вся ваша жизнь была бы радикально другой, если бы вы не были окружены цепями повсюду. ты иди.

Но большинство людей на самом деле не изучают мельчайших деталей того, как работают схемы, и довольно простые уравнения, такие как закон Ома, которые объясняют взаимосвязь между ключевыми понятиями, такими как электрическое сопротивление, напряжение и электрический ток.Однако более глубокое погружение в физику электроники может дать вам гораздо более глубокое понимание основных правил, лежащих в основе большинства современных технологий.

Что такое закон Ома?

Закон Ома — одно из самых важных уравнений, когда дело доходит до понимания электрических цепей, но если вы собираетесь его понять, вам понадобится хорошее понимание основных понятий, которые он связывает: напряжение , ток и сопротивление . Закон Ома — это просто уравнение, которое описывает соотношение между этими тремя величинами для большинства проводников.

Напряжение — это наиболее часто используемый термин для обозначения разности электрических потенциалов между двумя точками, который обеспечивает «толчок», который позволяет электрическому заряду перемещаться по проводящей петле.

Электрический потенциал — это форма потенциальной энергии, подобная гравитационной потенциальной энергии, и определяется как электрическая потенциальная энергия на единицу заряда. Единицей измерения напряжения в системе СИ является вольт (В), а 1 В = 1 Дж / Кл, или один джоуль энергии на кулон заряда. Иногда его также называют электродвижущей силой , или ЭДС.

Электрический ток — это скорость протекания электрического заряда через заданную точку в цепи, в системе СИ единицей измерения является ампер (А), где 1 А = 1 Кл / с (один кулон заряда в секунду). Он имеет форму постоянного (DC) и переменного (AC) тока, и хотя постоянный ток проще, цепи переменного тока используются для подачи энергии в большинство домашних хозяйств по всему миру, потому что его проще и безопаснее передавать на большие расстояния.

Последняя концепция, которую вам необходимо понять, прежде чем приступить к рассмотрению закона Ома, — это сопротивление, которое является мерой сопротивления току, протекающему в цепи.Единицей измерения сопротивления в системе СИ является ом (в котором используется греческая буква омега, Ом), где 1 Ом = 1 В / А.

Уравнение закона Ома

Немецкий физик Георг Ом описал взаимосвязь между напряжением, током и сопротивлением в своем одноименном уравнении. Формула закона Ома:

В = IR

, где В, — напряжение или разность потенциалов, I — величина тока, а сопротивление R — окончательная величина.

Уравнение можно легко переформулировать, чтобы получить формулу для расчета тока на основе напряжения и сопротивления или сопротивления на основе тока и напряжения. Если вам неудобно переставлять уравнения, вы можете найти треугольник закона Ома (см. Раздел «Ресурсы»), но это довольно просто для любого, кто знаком с основными правилами алгебры.

Ключевые моменты, которые показывает уравнение закона Ома, заключаются в том, что напряжение прямо пропорционально электрическому току (поэтому, чем выше напряжение, тем выше ток), и этот ток обратно пропорционален сопротивлению (поэтому чем выше сопротивление, тем ниже электрический ток).

Вы можете использовать аналогию с потоком воды, чтобы запомнить ключевые моменты, в основе которой лежит труба с одним концом на вершине холма и одним концом внизу. Напряжение похоже на высоту холма (более крутой и высокий холм означает большее напряжение), текущий поток похож на поток воды (вода течет быстрее по крутому склону), а сопротивление похоже на трение между сторонами трубы. и вода (более тонкая труба создает большее трение и снижает скорость потока воды, как более высокое сопротивление для электрического тока).

Почему важен закон Ома?

Закон Ома жизненно важен для описания электрических цепей, поскольку он связывает напряжение с током, а значение сопротивления регулирует взаимосвязь между ними. Из-за этого вы можете использовать закон Ома для управления величиной тока в цепи, добавляя резисторы, чтобы уменьшить ток, и снимая их, чтобы увеличить величину тока.

Его также можно расширить, чтобы описать электрическую мощность (скорость потока энергии в секунду), потому что мощность P = IV, и поэтому вы можете использовать ее, чтобы гарантировать, что ваша схема обеспечивает достаточно энергии, например, для 60-ваттного прибора.

Для студентов-физиков наиболее важным в законе Ома является то, что он позволяет анализировать принципиальные схемы, особенно когда вы объединяете его с законами Кирхгофа, которые следуют из него.

Закон Кирхгофа по напряжению гласит, что падение напряжения вокруг любого замкнутого контура в цепи всегда равно нулю, а закон тока утверждает, что величина тока, протекающего в переходе или узле в цепи, равна величине, вытекающей из Это. Вы можете использовать закон Ома с законом напряжения, в частности, для расчета падения напряжения на любом компоненте схемы, что является общей проблемой, возникающей в классах электроники.

Примеры закона Ома

Вы можете использовать закон Ома, чтобы найти любую неизвестную величину из трех, при условии, что вам известны две другие величины для рассматриваемой электрической цепи. Работа с некоторыми базовыми примерами показывает, как это делается.

Во-первых, представьте, что у вас есть 9-вольтовая батарея, подключенная к цепи с общим сопротивлением 18 Ом. Сколько тока течет при подключении цепи? Изменив закон Ома (или используя треугольник), вы можете найти:

\ begin {align} I & = \ frac {V} {R} \\ & = \ frac {9 \ text {V}} {18 \ текст {Ω}} \\ & = 0.5 \ text {A} \ end {align}

Итак, по цепи течет ток 0,5 ампер. Теперь представьте, что это идеальная величина тока для компонента, который вы хотите запитать, но у вас есть только батарея на 12 В. Какое сопротивление вы должны добавить, чтобы убедиться, что компонент получает оптимальную силу тока? Опять же, вы можете переставить закон Ома и решить его, чтобы найти ответ:

\ begin {align} R & = \ frac {V} {I} \\ & = \ frac {12 \ text {V}} {0.5 \ text {A}} \\ & = 24 \ text {Ω} \ end {align}

Итак, вам понадобится резистор 24 Ом для завершения вашей схемы.Наконец, каково падение напряжения на резисторе 5 Ом в цепи с током 2 А, протекающим через нее? На этот раз стандартная форма закона V = IR работает нормально:

\ begin {align} V & = IR \\ & = 2 \ text {A} × 5 \ text {Ω} \\ & = 10 \ text {V} \ end {align}

Омические и неомические резисторы

Вы можете использовать закон Ома в огромном количестве ситуаций, но есть ограничения на его применимость — это не действительно фундаментальный закон физики. .Закон описывает линейную зависимость между напряжением и током, но эта зависимость сохраняется только в том случае, если резистор или резистивный элемент схемы, с которым вы работаете, имеет постоянное сопротивление при различных значениях напряжения В и тока I .

Материалы, которые подчиняются этому правилу, называются омическими резисторами, и хотя большинство физических проблем связано с омическими резисторами, вы знакомы со многими неомическими резисторами из своей повседневной жизни.

Лампочка — прекрасный пример неомического резистора.Когда вы строите график зависимости В от I для омических резисторов, он показывает полностью прямолинейную зависимость, но если вы сделаете это для чего-то вроде лампочки, ситуация изменится. По мере того как нить накала в лампе нагревается, сопротивление лампы увеличивается на , что означает, что график становится кривой, а не прямой линией, и закон Ома не действует.

(PDF) Закон Ома и уравнения Максвелла

, представленные формулой (36), мы заключаем, однако, что уравнения (1–7) требуют модификации

, которая должна сделать их совместимыми в целом.

4 Обсуждение

Из нашего анализа следует, что электрическое поле в законе Ома (7) должно быть чем-то

иначе, чем электрическое поле, определяемое уравнениями Максвелла (1-6). В частности,

не следует путать со статическим электрическим полем, как определено формулами (1) и (5), что очень очевидно из нашего результата в разд. 2.

Микроскопическая картина течения предполагает, что электрические токи следует рассматривать как движущиеся электроны, которые ускоряются средним полем и снова останавливаются

столкновениями.Каждый электрон создает магнитное поле согласно (2) и (6), которое

изменяется во времени. В результате индуцируются флуктуирующие электрические поля согласно (3). В среднем

эти поля складываются в квазистатическое макроскопическое поле, которое в конечном итоге

входит в закон Ома и может быть выражено как градиент потенциала. Однако это

, а не электростатический потенциал, который создается плотностью заряда в соответствии с

согласно (1) и (5). Расхождение среднего макроскопического поля в законе Ома

, конечно, должно исчезнуть — в соответствии с (10) — поскольку это вращательное поле, созданное

микроскопически путем индукции.

Ситуация аналогична гидродинамическому течению. Когда вода проходит через трубу

в зависимости от вязкости, необходимо поддерживать градиент давления вдоль трубы. Давление

формально входит в гидродинамическое уравнение движения как гравитационный потенциал

, но его происхождение, очевидно, носит динамический характер. Это происходит путем усреднения

по столкновениям между взаимодействующими атомами жидкости. Из-за индуцированных электрических полей

силовой диапазон между взаимодействующими частицами в случае электрических токов только на

длиннее, чем в случае сталкивающихся нейтральных атомов, но результирующий «электрический потенциал» составляет

, также имеет динамическую природу, как ‘ потенциал давления ».

Конечно, существует важное различие между гидродинамическим потоком и электрическим потоком

: градиент давления ограничен внутренней частью трубы, тогда как градиент электрического потенциала

не исчезает также за пределами провода. , поскольку у нас есть

, показанное на рисунке 1b. Однако для подтверждения этой качественной точки зрения целесообразно выполнить локальные электростатические измерения электрического поля в пространстве между

проводниками с током.Таким образом можно получить более подробную картину

, чем если бы измерить только напряжение между кусками проводов, подключив гальванический

или резистивный вольтметр. Этот метод искажает электрическое поле, поскольку он «проводит» электрический потенциал

к прибору через соединительный провод, как будто давление

«подводится» к измерителю давления, когда он подсоединяется к трубе, по которой течет вода.

Наш результат в разд. 3 ставит другую проблему.В рассматриваемом случае мы имеем только

наведенных электрических полей как внутри, так и вне проводника. Хотя уравнения

(23-25) предсказывают то, что примерно кажется наблюдаемым, они все же не могут быть правильным

описанием того, что на самом деле происходит, поскольку они приводят к противоречащим решениям

, которые не удовлетворяют всем граничным условиям для на магнитное поле

и плотность тока. Однако граничные условия являются следствием

8

2 7 Закон интегральных омов

Мюнхенский технический университет Председатель по физике электротехнологии Др.Франц Виттманн

2.1 Транспорт электрического тока 2.2 Источники напряжения 2.3 Электрические схемы 2.4 Электрическое поле, действующее на подвижные заряды 2.5 Модель Друде 2.6 Плотность электрического тока 2.7 Интегральный закон Ома 2.7.1 Закон интегрального Ома от закона локального Ома 2.7.2 Вольт-амперные характеристики резисторов 2.7.3 Конструкции резисторов 2.7.4 Цветовой код и серия E для резисторов 2.7.5 Резистор как эквивалентное схемное устройство 2.8 Законы Кирхгофа 2.9 Применение законов Кирхгофа

2 постоянного тока 2.7.1 Закон интегрального Ома из Закона о местных органах

Ток I

+ —

Электрическое поле

Скорость дрейфа (для отрицательных носителей заряда)

Поперечное сечение площадь А

Длина L

Потенциал φ 2

Потенциал φ 1

Технический университет Мюнхена Председатель по физике электротехнологии доктор Франц Виттманн

Используя напряженность электрического поля для тока I, находим ток-напряжение (I-V-) характеристика в определяя сопротивление R.

В предположении гомогенного электропроводящего провода сечением А, длиной Проводимость земли σ мы можем вычислить полную плотность тока j = σ E, которая равна перпендикулярно поперечным сечениям. Общий ток If для этого особого случая может быть найденная умножением плотности тока j площадью А: () А

I  jr dA j A  E A

#######   

Напряженность электрического поля E внутри проводника с приложенным напряжением V. по длине Lis V E LL



####### 

####### /

####### V

####### I EA A V R

####### L



2.7.1 Закон интегрального Ома из Закона о местных органах

2 постоянного тока

Сопротивление — это своего рода «фрикционные» потери (возникающие из-за процессы рассеяния носителей заряда) в проводнике. Закон Ома — это линейная зависимость между напряжением и током в проводнике. Сопротивление R для однородного проводника с площадью поперечного сечения A, длина L, проводимость σ и соответственно удельное сопротивление ρ = 1/ σ :

1 LL р А А

####### 

####### VV

####### IVRIR

####### RI

#######  

Наконец, мы пришли к знаменитому — и упрощенному — интегральному закону Ома:

Физическая единица сопротивления R:   


####### V V

####### R

####### IA

####### 

2.7.1 Закон интегрального Ома из Закона о местных органах

Технический университет Мюнхена Председатель по физике электротехнологии доктор Франц Виттманн

2.1 Транспорт электрического тока 2.2 Источники напряжения 2.3 Электрические схемы 2.4 Электрическое поле, действующее на подвижные заряды 2.5 Модель Друде 2.6 Плотность электрического тока 2.7 Интегральный закон Ома 2.7.1 Закон интегрального Ома от закона локального Ома 2.7.2 Вольт-амперные характеристики резисторов 2.7.3 Конструкции резисторов 2.7.4 Цветовой код и серия E для резисторов 2.7.5 Резистор как эквивалентное схемное устройство 2.8 Законы Кирхгофа 2.9 Применение законов Кирхгофа

2 постоянного тока

 = Ом

VRI

R V А





R

####### V

####### I

Ток I [A]

ВАХ резисторов

Напряжение В [В]

2.7.2 I (В) -характеристики резисторов

Технический университет Мюнхена Председатель по физике электротехнологии доктор Франц Виттманн

2.1 Транспорт электрического тока 2.2 Источники напряжения 2.3 Электрические схемы 2.4 Электрическое поле, действующее на подвижные заряды 2.5 Модель Друде 2.6 Плотность электрического тока 2.7 Интегральный закон Ома 2.7.1 Закон интегрального Ома от закона локального Ома 2.7.2 Вольт-амперные характеристики резисторов 2.7.3 Конструкции резисторов 2.7.4 Цветовой код и серия E для резисторов 2.7.5 Резистор как эквивалентное схемное устройство 2.8 Законы Кирхгофа 2.9 Применение законов Кирхгофа

2 постоянного тока

переменная Резистор

Стеклоочиститель

Стеклоочиститель

Стеклоочиститель Потенциометр с резистивная дорожка из углеродный слой

Потенциометр с проволочной обмоткой

2.7.3 Конструкции резисторов

Технический университет Мюнхена Председатель по физике электротехнологии доктор Франц Виттманн

2.7.4 Цветовой код и серия E для резисторов

2 постоянного тока

Цвет допуска для серии E

Значения резистора в пределах одной декады

RRii /  1  96 10 1.0242 …

RRii /  1  48 10 1.0491 …

RRii /  1  24 10 1.100 …

RRii /  1  12 10 1,211 …

RRii /  1  6 10 1,467 …

2.7.4 Цветовой код и серия E для резисторов

Технический университет Мюнхена Председатель по физике электротехнологии доктор Франц Виттманн

2.1 Транспорт электрического тока 2.2 Источники напряжения 2.3 Электрические схемы 2.4 Электрическое поле, действующее на подвижные заряды 2.5 Модель Друде 2.6 Плотность электрического тока 2.7 Интегральный закон Ома 2.7.1 Закон интегрального Ома от закона локального Ома 2.7.2 Вольт-амперные характеристики резисторов 2.7.3 Конструкции резисторов 2.7.4 Цветовой код и серия E для резисторов 2.7.5 Резистор как эквивалентное схемное устройство 2.8 Законы Кирхгофа 2.9 Применение законов Кирхгофа

2 постоянного тока

Резисторы

используются не только как одно из так называемых пассивных устройств в электроники, но простая модель резистора очень важна в интерпретация многих свойств схем в аналоговой электронике.По закону Ома резисторы показывают линейную зависимость между напряжение и ток.

Даже нелинейные электронные устройства и подсхемы под определенными условия можно приблизительно смоделировать линейным вольт-амперным связь. Математика — это ряд Тейлора для нелинейных ВАХ. Мы будет использовать эту концепцию как эквивалентные схемы / устройства довольно часто в следующий семестр — курс «Аналоговая электроника». Эквивалентная схема — это схема, которая показывает те же характеристики, что и другая схема, но в целом ее проще анализировать.

VRI 

R

####### V

####### I

2.7.5 Резистор как эквивалентное устройство цепи

решено: введение Закон Ома говорит вам, как электрический ток …

  1. наука
  2. продвинутая физика
  3. продвинутая физика вопросы и ответы
  4. Введение Закон Ома говорит вам, как электрический ток в металле реагирует на электрическое поле. …

Показать расшифрованный текст изображения

Ответ эксперта

(a) Уравнение движения, ma = qE — mv / T для E = 0, mdv / dt = -mv / T, которое легко решается как dv / v = -dt / T после интегрирования lnv = -t / T + C v = exp (-t / T) exp (C) = C’exp (-t / T), поскольку он показывает полный ответ Предыдущий вопрос Следующий вопрос

Введение Закон Ома говорит вы, как электрический ток в металле реагирует на электрическое поле.В векторной форме J = сигма E (1), где J — плотность тока (единицы — амперы на квадратный метр), а сигма — проводимость. Обычный закон Ома восстанавливается интегрированием по объему. В этом случае мы получаем интеграл J middot dl dA = сигма-интеграл E middot dl dA (2) где направление dl перпендикулярно площади поперечного сечения dA. Полный ток равен потоку J через площадь поперечного сечения I = интеграл J middot n dA (3), а полный электрический потенциал равен Delta V = интеграл E middot dl (4) Таким образом, сложив, мы находим для провода длины L и площади поперечного сечения A, LI = sigma A Delta V (5) Закон Ома восстанавливается путем определения R = L / A sigma = L rho / A (6), где мы заметили, что удельное сопротивление является обратной величиной проводимость rho = 1 / сигма.Теперь мы построим микроскопическую модель для описания металла, в котором действует закон Ома. Эту модель часто называют моделью Друде. Несмотря на упрощение, на самом деле он довольно успешно объясняет многие особенности проводящих материалов. (а) Предположим, что ток переносится электронами в металле и что на них действует сила электрического поля плюс сила трения. Второй закон Ньютона дает уравнение движения для электронов ma = qE — m / tau v (7) где a = dv / dt, — ускорение, v — скорость, m — масса, q — заряд, а E электрическое поле.Объясните, почему последний член -1 / тау v называется трением? Это легче всего увидеть, установив E = 0 и решив относительно v (t). (b) Теперь решите это уравнение для v (t) с ненулевым не зависящим от времени электрическим полем E. Предположим, что начальная скорость v (0) = v_0. (c) Если металл состоит из множества электронов, которые не взаимодействуют друг с другом, мы можем рассматривать их независимо и предполагать, что все они по отдельности движутся в соответствии со вторым законом Ньютона, написанным выше. В этом случае плотность тока связана со скоростью через J = nqV (8), где n — числовая плотность (количество электронов на кубический метр), q — заряд, а v — решение из части (b).Используя эту формулу для J и сравнивая с первой формулой J = sigma E, определите проводимость для времен t >> tau.

Разное

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *