+7 495 120-13-73 | 8 800 500-97-74

(для регионов бесплатно)

Содержание

Интегральные и дифференциальные форма закона Ома: содержание и формулы

Обычно для расчётов электрического тока пользуются законом Ома для участка цепи: I=U/R, где I – ток в цепи, U – напряжение, R – суммарное сопротивление. Ток в этой цепи может протекать через различные участки из разных проводов. Поэтому для расчётов силы тока в определённом участке проводника лучше применить закон Ома в дифференциальной форме. Так как плотность тока Ī – векторная величина, то формула закона имеет вид: Ī = γĒ, где γ – удельная проводимость, обратная удельному сопротивлению γ=1/R, а Ē – напряжённость электрического поля. Может выражаться закон Ома также в интегральных формах.

Закон Ома

Закон Ома

Действие электродвижущих сил

Электродвижущая сила (ЭДС) является скалярной величиной, характеризующей работу не электрических сил, заставляющих производить разность потенциалов на выходе.

Дополнительная информация. Скалярная величина – это когда она может быть выражена только определённым значением. В отличие от векторной величины, которая определяется не только значением, но и направлением.

Используется ЭДС в генераторах, преобразующих какую либо работу А (джоуль) в электрическую. Для этого могут быть использованы такие виды энергии по их происхождению:

  • Механическая индукционная. Вывод ЭДС возникает при пересечении проводником линий магнитного поля;
  • Механическая пьезоэлектрическая. Возникновение ЭДС происходит при деформации некоторых веществ;
  • Световая энергия. Здесь ЭДС появляется в полупроводниках при действии на них световых лучей;
  • Термическая энергия. ЭДС образуется, когда контакты из разнородных проводников находятся под разными температурами;
  • Химическая энергия. Возникновение ЭДС происходит вследствие химических реакций.

В зависимости от характера энергии и устройства генератора ЭДС может возникать как переменная, так и постоянная. Переменная может быть как синусоидальная (магнитные индукционные генераторы), так и импульсная (пьезозажигалки). Постоянную ЭДС преобразуют в основном из химической (элементы питания, аккумуляторы), световой (фотоэлементы) энергий и температуры (элементы Пельтье).

Генераторы тока

Генераторы тока

ЭДС образует на разноименных проводниках разность потенциалов. Если не соединять проводником клеммы, на которых имеется разность потенциалов, то тока в цепи не будет. Следовательно, никакой энергии не будет израсходовано. На клеммах будет оставаться разность потенциалов. Работу для поддержания этой разности совершать не надо.

Если к клеммам с разностью потенциалов подключить проводник с нагрузкой, то через него будет протекать электрический ток, выполняя работу в нагрузке. При этом разность потенциалов на клеммах будет стремиться к 0, что приведёт к падению тока до 0. Для поддержания разности потенциалов стабильной величиной необходимо, чтобы ЭДС получала энергию. Эта энергия затрачивает работу, равную той, которая совершается в нагрузке.

Движение тока по неоднородным проводникам

Разность потенциалов, вызванная ЭДС, будет производить напряжение на клеммах генератора. ЭДС – это скалярная величина. При подключении к клеммам проводника через него потечёт ток, плотность которого выражается, например, Ī. Это уже векторная величина. Если ток создан только разностью потенциалов на клеммах, то векторы потенциала и плотности тока будут совпадать. Такой проводник называют однородным. Закон Ома для однородного участка цепи:

I=U/R.

Вектор напряжённости

Вектор напряжённости

Неоднородный проводник, кроме сил, которые образованы разностями потенциалов, имеет сторонние силы. Для определения плотности тока Ī пользуются законом Ома в дифференциальной форме для неоднородных проводников:

Ī=γ(E+Ē₁+ Ē₂+ Ēn).

Векторы и каждый участок проводника складываются, E – напряжённость, созданная разностью потенциалов на клеммах проводника (скалярная величина). Ē₁, Ē₂, Ēn – векторные величины напряжённости первой, второй и энной сторонних сил.

Так как γ – удельная проводимость проводника, обратная сопротивлению, ϕ₁ – потенциал на 1-ой точке, ϕ₂ – потенциал на 2-ой точке, то закон Ома для неоднородного участка цепи от 1-ой до 2-ой точки будет записываться так:

Ī =(ϕ₁ – ϕ₂+ Ē)/R.

Для ознакомления металлы и их удельное сопротивление:

  • Серебро – 1,6×10ˉ⁸Ом×м;
  • Медь – 1,72×10ˉ⁸ Ом×м;
  • Алюминий – 2,6×10ˉ⁸ Ом×м;
  • Латунь – 3…7,0×10ˉ⁸ Ом×м;
  • Бронза – 8,0×10ˉ⁸ Ом×м;
  • Железо – 9,8×10ˉ⁸ Ом×м;
  • Свинец – 2.0×10ˉ⁶Ом×м;
  • Графит – 3…5,0×10ˉ⁵Ом×м.

Трактовка и пределы применимости закона Ома

Если необходимо определить одну из величин: ток, напряжение или сопротивление для однородной цепи, то пользуются формулой, формулировка которой изображена на рисунке.

Закон Ома в треугольнике

Закон Ома в треугольнике

Для удобства решения тождества величины изображены в треугольнике. Теперь, пользуясь первой формулой, зная сопротивление цепи и ток, можно высчитать напряжение, которое действует на замкнутый контур. Зная напряжение и сопротивление цепи, можно определить ток по 2-ой формуле. По 3-ей формуле высчитывают сопротивление нагрузки, зная напряжение и ток.

Существуют исключения, когда закон Ома не соблюдается. Примеры:

  • В переменных ЭДС, если нагрузка имеет индукционный или ёмкостный характер. При повышении частоты из-за инерционности носителей заряда вступают в силу законы электродинамики. Конденсаторы и катушки индуктивности в качестве сопротивления для переменного тока, колебательный контур.
  • Для веществ, обладающих сверхпроводимостью при низких температурах. Датчики измерительных приборов высокой точности, сверхпроводящие соленоиды, сверхпроводящие кабели с током 5 000 А.
  • При высоких температурах, когда проводник начинает проявлять нелинейную характеристику сопротивления. Вольфрамовая нить лампы накаливания, спирали нагревательных элементов.
  • При высоких напряжениях, когда происходит пробой диэлектрика. Свечи зажигания карбюраторных двигателей, наконечники для защиты от тлеющего разряда высоковольтных ЛЭП.
  • В наполненных газом люминесцентных и вакуумных лампах. Люминесцентные лампы, вакуумные индикаторы, индикаторы тлеющего разряда.
  • В полупроводниковых приборах с p-n переходами и в нелинейных полупроводниках. Это светодиоды, стабилитроны, транзисторы, электронные приборы.

Интересно. Используется закон Ома в дифференциальной форме, когда имеется несколько ЭДС, или цепь проводников находится под воздействием сторонних сил. К примеру, при зарядке аккумуляторов солнечными батареями или другими ЭДС, также в генераторах с обмотками возбуждения, если их дифференцировать.

Измерительный мост

Измерительный мост

Материалы проводников, к которым применяется закон Ома, названы оммическими или линейными проводниками. Те, у которых сопротивление имеет функциональную зависимость от интенсивности тока, – нелинейными. Так могут вести себя металлы при крайне низких или высоких температурах.

Видео

Закон Ома в интегральной и дифференциальной форме — Студопедия

Рис.3.16 Пусть по проводнику длиной l и сечением S течет ток I. В проводнике создается электрическое поле напряженности E, а j1 и j2 – потенциалы на концах проводника (рис.3.16). В случае однородного проводника величину j1 — j2 = U можно назвать падением напряжения на участке проводника.

Закон Ома: сила тока, текущего по однородному участку проводника, прямо пропорциональна падению напряжения на проводнике:

(3.47)

где R – электрическое сопротивление проводника.

(3.47) – закон Ома в интегральной форме.

Размерность сопротивления в СИ: [R] = В/А = Ом.

Ом – сопротивление такого проводника, в котором при напряжении в 1 В течет ток 1А.

Сопротивление зависит от геометрических размеров и формы проводников, материала и температуры проводников. Для цилиндрического проводника

(3.48)

где r — удельное сопротивление проводника.

Удельное сопротивление численно равно сопротивлению проводника длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м2. Размерность удельного сопротивления в СИ: [r] = Ом×м.

Величина, обратная сопротивлению, называется проводимостью.

Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью:

(3.49)

Единица, обратная Ом, называется Сименсом [См].

Учитывая (3.46) — (3.49), а также , получим:

(3.50)

(3.50) – закон Ома в дифференциальной форме.

Обобщенный закон Ома в интегральной и дифференциальной формах.

Обобщенный закон Ома в интегральной и дифференциальной
 формах.

Немецкий физик Г. Ом (1787-1854) экспериментально установил, что сила тока в однородном проводнике пропорциональна разности потенциалов на его концах и обратно пропорциональна сопротивлению проводника (закон Ома для участка цепи): 

 где R – электрическое сопротивление проводника, определяющее упорядоченность перемещения свободных носителей тока.

 Электрическое сопротивление металлического проводника обусловлено тем, что свободные электроны при своем движении взаимодействуют (соударяются) с положительными ионами кристаллической решетки. Поэтому сопротивление проводников зависит прежде всего от материала проводника, т.е. строения его кристаллической решетки. Для однородного цилиндрического проводника длиной l и площадью поперечного сечения S сопротивление определяется по формуле 

Удельное электрическое сопротивление проводника зависит не только от рода вещества, но и от температуры (по Цельсию):

  У чистых металлов α = 1/273  1/K

Для полной цепи, содержащей ЭДС, справедлив обобщенный закон Ома в интегральной форме

Для участка с источником тока и для участка с внешним сопротивлением будем иметь

Сложив, получим     закон Ома для полной цепи

  I(r+R)=ε

Разности потенциалов сократились, потому что работа электростатических сил по замкнутому контуру равна нулю. В случае многих источников направление тока заранее неизвестно; выбираем его произвольно и проходим контур в этом направлении. Записав соответствующие уравнения, получим


 I∑Ri=∑±εi
Если сила тока окажется отрицательной, то направление тока надо изменить на противоположное.


Закон Ома в дифференциальной форме

Закон Ома в интегральной форме для однородного участка цепи (не содержащего ЭДС)

  (7.6.1) 

Для однородного линейного проводника выразим R через ρ:

  , (7.6.2) 

ρ – удельное объемное сопротивление; [ρ] = [Ом·м].

      Найдем связь между  и  в бесконечно малом объеме проводника – закон Ома в дифференциальной форме.

      В изотропном проводнике (в данном случае с постоянным сопротивлением) носители зарядов движутся в направлении действия силы, т.е. вектор плотности тока  и вектор напряженности поля  коллинеарны (рис. 7.6).

Рис. 7.6

      Исходя из закона Ома (7.6.1), имеем:

      А мы знаем, что  или . Отсюда можно записать

  , (7.6.3) 

      это запись закона Ома в дифференциальной форме.

Здесь  – удельная электропроводность.

Размерность σ – [].

      Плотность тока можно выразить через заряд электрона е, количество зарядов n и дрейфовую скорость :

.

      Обозначим , тогда ;

  (7.6.4) 

Теперь, если удельную электропроводность σ выразить через е, n и b:  то вновь получим выражение закона Ома в дифференциальной форме:

.


Закон Ома для неоднородного участка цепи     Работа и мощность тока. Закон Джоуля – Ленца

Закон Ома для однородного участка цепи в интегральной и дифференциальной форме. Сопротивление проводников

Ом экспериментально установил закон, согласно которому сила тока, текущего по однородному металлическому проводнику, пропорциональна падению напряжения U на проводнике:

(Интегральная форма закона) (20.10)

Однородным называется проводник, в котором не действуют сторонние силы, т.е. отсутствуют источники ЭДС. В этом случае, как мы видели, напряжение U совпадает с разностью потенциалов j1 — j2, поддерживаемой на концах проводника. Величина Rназывается электрическим сопротивлением проводника. Единицей сопротивления служит Oм, равный сопротивлению такого проводника, в котором при напряжении в 1 В течет ток силой в 1 А.

Величина сопротивления зависит от формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которого он сделан. Для однородного цилиндрического проводника

(20.11)

где l — длина проводника, S — площадь его поперечного сечения, r — зависящий от свойств материала коэффициент, называемый удельным электрическим сопротивлением вещества. В СИ r измеряется в омо-метрах (Ом×м). На практике часто характеризуют материал сопротивлением при l = 1 м и S == 1 мм2, т. е. выражают r в

Закон Ома можно записать в дифференциальной форме.

Это уравнение устанавливает связь между дифференциальными характеристиками поля и тока, т.е. между j и Ев одной и той же точке проводника.

Преобразуем выражение (20.10) применительно к цилиндрическому проводнику, являющемуся однородным участком электрической цепи

Если поле однородно, то U = E×l, и тогда


Обозначим и назовем удельной проводимостью, а — плотность тока.

В результате получаем j = E . Вполне справедлива и векторная форма записи

(20.12)

В анизотропных телах направления векторов j и Е могут не совпадать.

Закон Ома в интегральной и дифференциальной форме


Пусть по проводнику длиной l и сечением S течет ток I. В проводнике создается электрическое поле напряженности E, а j1 и j2 – потенциалы на концах проводника. В случае однородного проводника величину j1 — j2 = U можно назвать падением напряжения на участке проводника.

Закон Ома: сила тока, текущего по однородному участку проводника, прямо пропорциональна падению напряжения на проводнике:

— закон Ома в интегральной форме

где R – электрическое сопротивление проводника.

Размерность сопротивления в СИ: [R] = В/А = Ом.

Ом – сопротивление такого проводника, в котором при напряжении в 1 В течет ток 1А.

Сопротивление зависит от геометрических размеров и формы проводников, материала и температуры проводников. Для цилиндрического проводника

где r — удельное сопротивление проводника.

Удельное сопротивление численно равно сопротивлению проводника длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м2. Размерность удельного сопротивления в СИ: [r] = Ом×м.

Величина, обратная сопротивлению, называется проводимостью.

Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью:

Единица, обратная Ом, называется Сименсом[См].

Учитывая выше написанные уравнения, а также , получим:

– закон Ома в дифференциальной форме.

При прохождении электрического тока в замкнутой цепи на свободные заряды действуют силы со стороны стационарного электрического поля и сторонние силы. При этом на отдельных участках этой цепи ток создается только стационарным электрическим полем. Такие участки цепи называются однородными. На некоторых участках этой цепи, кроме сил стационарного электрического поля, действуют и сторонние силы. Участок цепи, на котором действуют сторонние силы, называют неоднородным участком цепи.

Для того чтобы выяснить, от чего зависит сила тока на этих участках, необходимо уточнить понятие напряжения.

Рис. 1

Рассмотрим вначале однородный участок цепи (рис. 1, а). В этом случае работу по перемещению заряда совершают только силы стационарного электрического поля, и этот участок характеризуют разностью потенциалов Δφ. Разность потенциалов на концах участка , где AK — работа сил стационарного электрического поля. Неоднородный участок цепи (рис. 1, б) содержит в отличие от однородного участка источник ЭДС, и к работе сил электростатического поля на этом участке добавляется работа сторонних сил. По определению, , где q — положительный заряд, который перемещается между любыми двумя точками цепи; — разность потенциалов точек в начале и конце рассматриваемого участка; . Тогда говорят о напряжении для напряженности: Eстац. э. п. = Eэ/стат. п. + Eстор. Напряжение U на участке цепи представляет собой физическую скалярную величину, равную суммарной работе сторонних сил и сил электростатического поля по перемещению единичного положительного заряда на этом участке:

Из этой формулы видно, что в общем случае напряжение на данном участке цепи равно алгебраической сумме разности потенциалов и ЭДС на этом участке. Если же на участке действуют только электрические силы (ε = 0), то . Таким образом, только для однородного участка цепи понятия напряжения и разности потенциалов совпадают.

Закон Ома для неоднородного участка цепи имеет вид:

где R — общее сопротивление неоднородного участка.

ЭДС ε может быть как положительной, так и отрицательной. Это связано с полярностью включения ЭДС в участок: если направление, создаваемое источником тока, совпадает с направлением тока, проходящего в участке (направление тока на участке совпадает внутри источника с направлением от отрицательного полюса к положительному), т.е. ЭДС способствует движению положительных зарядов в данном направлении, то ε > 0, в противном случае, если ЭДС препятствует движению положительных зарядов в данном направлении, то ε < 0.


Читайте также:


Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

Закон Ома в интегральной и дифференциальной форме — Студопедия

Закон Ома в интегральной форме

Закон Ома для участка электрической цепи имеет вид:
U = RI

где:
U — напряжение или разность потенциалов,
I — сила тока,
R — сопротивление.

Закон Ома также применяется ко всей цепи, но в несколько изменённой форме:
I=E/(R+r),

где:
e — ЭДС цепи,
I — сила тока в цепи,
R — сопротивление всех элементов цепи,
r — внутреннее сопротивление источника питания.

Закон Ома в дифференциальной форме

Сопротивление R зависит как от материала, по которому течёт ток, так и от геометрических размеров проводника. Полезно переписать закон Ома в так называемой дифференциальной форме, в которой зависимость от геометрических размеров исчезает, и тогда закон Ома описывает исключительно электропроводящие свойства материала. Для изотропных материалов имеем:
j=σ*E

где
j- вектор плотности тока,
σ — удельная проводимость,
E — вектор напряжённости электрического поля.

Все величины, входящие в это уравнение, являются функциями координат и, в общем случае, времени. Если материал анизотропен, то направления векторов плотности тока и напряжённости могут не совпадать. В этом случае удельная проводимость является тензором ранга (1, 1).

Раздел физики, изучающий течение электрического тока в различных средах, называется электродинамикой сплошных сред.

Исто́чник то́ка

Исто́чник то́ка (также генератор тока) — двухполюсник, который создаёт ток , не зависящий от сопротивления нагрузки, к которой он присоединён. В быту «источником тока» часто неточно называют любой источник электрического напряжения (батарею, генератор, розетку), но в строго физическом смысле это не так, более того, обычно используемые в быту источники напряжения по своим характеристикам гораздо ближе к источнику ЭДС, чем к источнику тока.


Идеальный источник тока[править]

Напряжение на клеммах идеального источника тока зависит только от сопротивления внешней цепи:

Мощность, отдаваемая источником тока в сеть, равна:

Так как для источника тока , напряжение и мощность, выделяемая им, неограниченно растут при росте сопротивления.

Реальный источник тока[править]

Реальный источник тока, так же как и источник ЭДС, в линейном приближении может быть описан таким параметром, как внутреннее сопротивление . Отличие состоит в том, что чем больше внутреннее сопротивление, тем ближе источник тока к идеальному (источник ЭДС, наоборот, чем ближе к идеальному, тем меньше его внутреннее сопротивление). Реальный источник тока с внутренним сопротивлением эквивалентен реальному источнику ЭДС, имеющему внутреннее сопротивление и ЭДС .


Напряжение на клеммах реального источника тока равно:

Сила тока в цепи равна:

Мощность, отдаваемая реальным источником тока в сеть, равна:

ЭДС.

Электродвижущая сила (ЭДС) — скалярная физическая величина, характеризующая работу сторонних (непотенциальных) сил висточниках постоянного или переменного тока. В замкнутом проводящем контуре ЭДС равна работе этих сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль контура.

ЭДС можно выразить через напряжённость электрического поля сторонних сил ( ). В замкнутом контуре ( ) тогда ЭДС будет равна:

, где — элемент длины контура.

ЭДС так же, как и напряжение, измеряется в вольтах. Можно говорить об электродвижущей силе на любом участке цепи. Это удельная работа сторонних сил не во всем контуре, а только на данном участке. ЭДС гальванического элемента есть работа сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда внутри элемента от одного полюса к другому. Работа сторонних сил не может быть выражена через разность потенциалов, так как сторонние силы непотенциальны и их работа зависит от формы траектории. Так, например, работа сторонних сил при перемещении заряда между клеммами тока вне самого источника равна нулю.

закон Ома | Статья о законе Ома в The Free Dictionary

закон, который гласит, что постоянная плотность тока I в проводнике прямо пропорциональна разности потенциалов (напряжению) U между двумя фиксированными точками или поперечными сечениями проводника:

(1) RI = U

Константа пропорциональности R , которая зависит от геометрических и электрических свойств проводника и от температуры, называется омическим сопротивлением, или просто сопротивлением данного участка проводника. проводник.Закон Ома был открыт в 1826 году немецким физиком Г. С. Омом.

В общем случае связь между I и U нелинейна; однако на практике всегда можно предположить, что он линейный для определенного диапазона напряжений, и применить закон Ома для этого диапазона. Для металлов и их сплавов диапазон практически неограничен.

Закон Ома по форме (1) действителен для тех участков цепи, которые не содержат никаких источников электродвижущей силы (ЭДС).Если такие источники (аккумуляторные батареи, термопары или динамо) присутствуют, закон Ома принимает вид

(2) RI = U + E

, где E — ЭДС всех источников, подключенных в секции схемы, которая рассматривается. Для замкнутого контура закон Ома принимает следующий вид:

(3) R t I = E

, где R t = R + R i — это полное сопротивление всей цепи, равное сумме внешнего сопротивления R цепи и внутреннего сопротивления R и источника ЭДС.Законы Кирхгофа обобщают закон Ома на случай разветвленных цепей.

Закон Ома также может быть записан в дифференциальной форме, который связывает плотность тока j и общую напряженность электрического поля для каждой точки проводника. Потенциальное электрическое поле напряженности E, создаваемое в проводниках микроскопическими зарядами — электронами и ионами — самих проводников, не может поддерживать установившееся движение свободных зарядов (ток), поскольку работа, совершаемая полем в замкнутом контуре, равна нулю. ,Ток поддерживается неэлектростатическими силами различного происхождения (индукционные, химические, термические и т. Д.), Которые действуют в источниках ЭДС и могут быть представлены в виде некоторого эквивалентного непотенциального поля с напряженностью E ext , называемого внешним полем. В общем случае полная напряженность поля, действующего на заряды в проводнике, составляет E + E ext . Соответственно, дифференциальный закон Ома принимает вид

(4) ρj = E + E ext или j = σ (E + E ext )

, где ρ — удельное электрическое сопротивление материала проводника, а σ = 1 / ρ — удельная электропроводность.

Закон Ома в сложной форме справедлив и для синусоидальных квазистационарных токов:

(5) ZI = E

, где Z — полное комплексное сопротивление, равное R + iX и R и iX — это сопротивление и реактивное сопротивление цепи соответственно. Если индуктивность L и емкость C присутствуют в цепи, несущей квазистационарный ток с частотой ω, то X = ω L — 1 / ω C.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Курсфизики , т. 2. Под редакцией Н. Д. Папалекси. Москва-Ленинград, 1948.
Калашников, С.Г. Электричество. Москва, 1964. ( Общий курс физики , т. 2.)
Физические основы электротехники. Главный редактор Поливанов К.М. Москва-Ленинград, 1950.

.

Закон цепи тока в дифференциальной форме

Что такое закон Ампера?

Согласно закону Ампера «Линейный интеграл магнитного поля B вдоль замкнутого пути из-за тока равен произведению проницаемости свободного пространства и тока, заключенного в замкнутом пути».

Математически это выражается как:

ampere

Где

μ 0 = проницаемость свободного пространства

i = ток, текущий через проводник.

Проба: ampere

Рассмотрим прямой проводник, по которому протекает ток i. Ток создает магнитное поле B вокруг проводника. Силовые линии магнитного поля имеют форму концентрических кругов.

Ампера показал, что плотность потока B в любой точке вблизи проводника прямо пропорциональна току i и обратно пропорциональна расстоянию r от проводника, поэтому: ampere amp

Где — длина пути, называемого окружность круга?

Разделите круг, представляющий силовую линию магнитного поля, на большое количество маленьких элементов, каждый длиной dl.Величина B.dl рассчитывается для каждого элемента по следующей формуле:

B.dl = Bdlcos = Bdlcos0 = Bdl

Для полного круга:

amp

Интегральная форма закона цепи тока

integral form of ampere law

Дифференциальная форма закона силы тока

Поскольку интегральная форма закона Ампера имеет вид:

Ampere

Вышеупомянутое соотношение известно как дифференциальная форма закона оборота Ампера.

Применение закона цепи тока

Рассмотрим соленоид, имеющий n витков на единицу длины.Когда ток проходит через соленоид, внутри соленоида создается магнитное поле, направленное вдоль оси соленоида. Магнитное поле в космосе снаружи настолько слабое, что считается нулевым.
application of ampere
Чтобы вычислить значение магнитного поля B внутри соленоида по закону Ампера, мы рассмотрим замкнутый путь abcda в форме прямоугольника. Этот замкнутый путь известен как амперовский путь, как показано на рисунке.
Пусть этот путь разделен на четыре элемента длины как:

ab = L1

bc = L2

cd = L3

da = L4

Таким образом, что сумма точек Произведение магнитного поля на длину элемента составляет:

∑ B.ΔL = BL1 Cos θ1 + BL2 Cos θ2 + BL3 Cos θ3 + BL4 Cos θ4 ………. (1)

Поскольку L1 параллельно силовым линиям магнитного поля внутри соленоида, θ = 0 °

BL1 Cos θ1 = BL1

L2 и L4 перпендикулярны магнитному полю, т.е. θ2 = 90 ° и θ4 = 90 °

BL2 Cos θ2 = 0

BL4 Cos θ4 = 0

Линии и L3 вне соленоида, где поле слабее, то есть B = 0

или BL3 Cos θ3 = 0

Подставив все эти значения в уравнение (1), мы получим:

∑ B.ΔL = BL1 + 0 + 0 + 0

∑ B.ΔL = BL1 ………… .. (2)

По закону Ампера

∑ B.ΔL = μ0I ……… (3)

Если N — количество витков катушки, тогда

Ток = NI

И если «n» — количество витков на единицу длины, то

n = N / L1

N = nL1

Ток = n L1I

∑ B.ΔL = μ0n L1I ………… (4)

Сравнивая уравнения (2) и (4), мы получаем

μ0n L1I = BL1

B = μ0nI


Связанные темы на нашем сайте:

.

5.7: Закон Гаусса — Дифференциальная форма

Интегральная форма закона Гаусса — это вычисление вложенного заряда \ (Q_ {encl} \) с использованием окружающей плотности электрического потока:

\ [\ oint _ {\ mathcal S} {\ bf D} \ cdot d {\ bf s} = Q_ {encl} \ label {m0045_eGLIF} \]

, где \ ({\ bf D} \) — плотность электрического потока, а \ ({\ mathcal S} \) — охватывающая поверхность. Также иногда необходимо выполнить обратный расчет (т.е. определить электрическое поле, связанное с распределением заряда).Иногда это возможно с помощью уравнения \ ref {m0045_eGLIF}, если позволяет симметрия проблемы; см. примеры в разделах 5.5 и 5.6. Если проблема не демонстрирует необходимой симметрии, то кажется, что следует вернуться к семейству методов, представленных в разделе 5.4, требующих прямого интегрирования по заряду, что выводится из закона Кулона.

Однако даже подход закона Кулона / прямого интегрирования имеет ограничение, которое очень важно осознавать: он не учитывает наличие структур, которые могут влиять на электрическое поле.Например, электрическое поле из-за заряда в свободном пространстве отличается от электрического поля из-за того же заряда, расположенного рядом с идеально проводящей поверхностью. Фактически, эти подходы не учитывают возможность любого пространственного изменения состава материала, что исключает их использование во многих инженерных приложениях.

Чтобы решить этот более широкий круг проблем, нам нужна альтернативная форма закона Гаусса, которая применяется в отдельных точках пространства. То есть нам нужен закон Гаусса, выраженный в форме дифференциального уравнения, а не интегрального уравнения.Это облегчает использование закона Гаусса даже в задачах, которые не демонстрируют достаточной симметрии и которые связаны с границами материалов и пространственными вариациями основных параметров материала. Учитывая это дифференциальное уравнение и граничные условия, налагаемые конструкцией и материалами, мы можем затем решить для электрического поля в этих более сложных сценариях. В этом разделе мы выводим желаемую дифференциальную форму закона Гаусса. В другом месте (в частности, в разделе 5.15) мы используем это уравнение как инструмент для нахождения электрических полей в задачах, связанных с границами материалов.3 \)) в точке, в которой мы сходимся после того, как позволили объему обратиться к нулю. Левая часть — это, по определению, расхождение \ ({\ bf D} \), обозначенное в математической записи как «\ (\ nabla \ cdot {\ bf D} \)» (раздел 4.6). Таким образом, мы имеем закон Гаусса в дифференциальной форме :

\ [\ в коробке {\ nabla \ cdot {\ bf D} = \ rho_v} \ label {m0045_eGLDF} \]

Чтобы интерпретировать это уравнение, вспомните, что дивергенция — это просто поток (в данном случае электрического потока ) на единицу объема.

Закон Гаусса в дифференциальной форме (уравнение \ ref {m0045_eGLDF}) гласит, что электрический поток на единицу объема, исходящий из точки в пространстве, равен объемной плотности заряда в этой точке.

Вывод с помощью теоремы о расходимости

Уравнение \ ref {m0045_eGLDF} также может быть получено из уравнения \ ref {m0045_eGLIF} с использованием теоремы о расходимости, которая в данном случае может быть записана:

\ [\ int _ {\ mathcal V} \ left (\ nabla \ cdot {\ bf D} \ right) dv = \ oint _ {\ mathcal S} {\ bf D} \ cdot d {\ bf s} \]

Из уравнения \ ref {m0045_eGLIF} мы видим, что правая часть уравнения может быть заменена вложенным зарядом:

\ [\ int _ {\ mathcal V} \ left (\ nabla \ cdot {\ bf D} \ right) dv = Q_ {encl} \]

Кроме того, заключенный заряд может быть выражен как интегрирование объемной плотности заряда \ (\ rho_v \) по \ ({\ mathcal V} \): \ [\ int _ {\ mathcal V} \ left (\ nabla \ cdot {\ bf D} \ right) dv = \ int _ {\ mathcal V} \ rho_v dv \] Вышеупомянутая связь должна сохраняться независимо от конкретного расположения или формы \ ({\ mathcal V} \).4 \). Какова плотность заряда при \ ({\ bf r} = \ hat {\ bf x} 2 — \ hat {\ bf y} 2 \) м?

Решение

Сначала мы используем \ ({\ bf D} = \ epsilon {\ bf E} \), чтобы получить \ ({\ bf D} \). Поскольку проблема находится в свободном пространстве, \ (\ epsilon = \ epsilon_0 \). Таким образом, объемная плотность заряда равна

\ [\ begin {align} \ rho _ {v} & = \ nabla \ cdot \ mathbf {D} \\ & = \ nabla \ cdot \ left (\ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \ right) = \ epsilon _ {0} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} \\ & = \ epsilon _ {0} \ left [\ frac {\ partial} {\ partial x} \ left (A x ^ {2} \ справа) + \ frac {\ partial} {\ partial y} (B z) + \ frac {\ partial} {\ partial z} \ left (C x ^ {2} z \ right) \ right] \\ & = \ epsilon _ {0} \ left [2 A x + 0 + C x ^ {2} \ right] \ end {align} \]

Теперь вычисляем плотность заряда в указанном месте \ ({\ bf r} \):

\ [\ begin {array} {l} {\ epsilon _ {0} \ left [2 \ left (3 \: \ mathrm {V} / \ mathrm {m} ^ {3} \ right) (2 \: \ mathrm {m}) + 0 + \ left (1 \: \ mathrm {V} / \ mathrm {m} ^ {4} \ right) (2 \: \ mathrm {m}) ^ {2} \ right] } \\ {= \ epsilon _ {0} (16 \: \ mathrm {V} / \ mathrm {m})} \\ {= 142 \: \ mathrm {pC} / \ mathrm {m} ^ {3} } \ end {array} \]

Чтобы получить электрическое поле из распределения заряда при наличии граничных условий, налагаемых материалами и конструкцией, мы должны обеспечить соблюдение соответствующих граничных условий.Эти граничные условия представлены в разделах 5.17 и 5.18. Часто возможен более простой подход, требующий только граничных условий для электрического потенциала (\ (V (\ bf {r}) \)); это представлено в Разделе 5.15.

Кроме того, читатель должен отметить следующее. Закон Гаусса не всегда полностью ограничивает возможные решения для электрического поля. Для этого нам может также понадобиться закон напряжения Кирхгофа; см. Раздел 5.11.

Прежде чем двигаться дальше, стоит отметить, что уравнение \ ref {m0045_eGLDF} может быть решено в частном случае, когда нет граничных условий, которым нужно удовлетворять; я.3} ~ \ rho_v ({\ bf r} ‘) ~ dv} \]

, который мы признаем одним из результатов, полученных в Разделах 5.4 (после разделения обеих частей на \ (\ epsilon \), чтобы получить \ ({\ bf E} \)). Разумно заключить, что закон Гаусса (в интегральной или дифференциальной форме) является фундаментальным, тогда как закон Кулона является просто следствием закона Гаусса.

Авторы и авторство

,

Закон Гаусса: определение, уравнение, приложения и проблемы

Закон Гаусса гласит, что: «Полный электрический поток через любую замкнутую поверхность равен 1 / ε0, умноженному на полный заряд, заключенный на поверхности». Применение закона Гаусса приведены ниже.

Это дано Карлом Фридрихом Гауссом, названным в его честь, который дал связь между электрическим потоком через замкнутую поверхность и чистым зарядом, заключенным на поверхности. Он применяется для расчета электрической напряженности из-за различных конфигураций заряда.Во всех таких случаях рассматривается воображаемая замкнутая поверхность, электрическая напряженность которой должна оцениваться. Эта замкнутая поверхность называется гауссовой поверхностью. Его выбор таков, что поток через него можно легко оценить. Она задается формулой

Φ = q / ∈0

где ∈0 — относительная диэлектрическая проницаемость вакуума в свободном пространстве.

Вывод уравнения закона Гаусса

Gauss

Предположим, точечные заряды q 1, q 2, q 3 , ……., q n произвольно распределены на замкнутой поверхности произвольной формы, показанной на рисунке. Используя идею о том, что электрический поток, проходящий через замкнутую поверхность, равен:

gauss

Это математическое выражение закона Гаусса, которое можно сформулировать следующим образом: «Поток через любую замкнутую поверхность в 1 / ∈ 0 раз больше полный заряд, заключенный в нем ».

Где Q = q 1 + q 2 + q 3 + ……. + Q n, — общий заряд, заключенный на замкнутой поверхности.

интегральная форма закона Гаусса

Поскольку объемная плотность заряда определяется как:

integral form of gauss

Уравнение (4) является интегральной формой закона Гаусса.

дифференциальная форма закона Гаусса

Если заряд распределен в объеме, имеющем однородную объемную плотность заряда ‘ρ’, то в соответствии с дифференциальной формой закона Гаусса:

i form of gauss

Мы знаем по теореме дивергенции:

DIFFERENTIAL FORM OF GAUSS

Это дифференциальная форма закона Гаусса.

применения закона Гаусса в электростатике

Закон Гаусса применяется для расчета электрической напряженности, обусловленной различными конфигурациями заряда. Во всех таких случаях рассматривается воображаемая замкнутая поверхность, проходящая через точку, в которой должна быть оценена электрическая напряженность. Эта замкнутая поверхность называется гауссовой поверхностью. Его выбор таков, что поток через него можно легко оценить. Затем рассчитывается заряд, заключенный в гауссовой поверхности, и, наконец, вычисляется электрическая напряженность с применением закона Гаусса.

поле внутри полых заряженных сфер

gausian surface
Предположим, что полая проводящая сфера радиуса R получает положительный заряд + Q. Мы хотим сначала вычислить напряженность поля в точке внутри сферы.
Теперь представьте сферу радиуса R gaussian law

Поскольку Φ e = E . A = 0

as A ≠ 0

Следовательно:

E = 0

Таким образом, внутренняя часть полой заряженной металлической сферы представляет собой область, свободную от поля. Как следствие, любой аппарат, помещенный в металлический корпус, «от электрических полей».

  • Закон Гаусса из-за бесконечного слоя заряда

infinite sheet of charges
Предположим, у нас есть плоский лист бесконечной длины, на котором равномерно распределены положительные заряды.Равномерная поверхностная плотность заряда равна, скажем, σ. Конечная часть этого листа показана на рисунке выше. Чтобы вычислить электрическую напряженность E в точке P, близкой к листу, представьте замкнутую гауссовскую поверхность в форме цилиндра, проходящего через лист, одна плоская грань которого содержит точку P. Из симметрии можно заключить, что E указывает под прямым углом к ​​торцу и от плоскости. Поскольку E параллельно криволинейной поверхности цилиндра, поэтому нет вклада в поток от криволинейной стенки цилиндра.Пока будет, EA + EA = 2 EA, Через два плоских торца замкнутой цилиндрической поверхности, где A — площадь поверхности плоских граней. Поскольку заряд, заключенный в замкнутой поверхности, равен σA, следовательно, согласно закону Гаусса:

Φ e = 1 / ∈ 0 × заряженный, заключенный в замкнутую поверхность

Φ e = 1 / ∈ 0 × σA

Следовательно:

2EA = 1 / ∈ 0 × σA

OR

E = σ / 2∈ 0

В векторной форме:

E = σ / 2∈ 0

где rˆ — единичный вектор нормали к листу, направленный от него.

Смотрите также видео.

Посетите нашу страницу, чтобы узнать о связанных темах: Электричество и магнетизм

.

Разное

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *