+7 495 120-13-73 | 8 800 500-97-74

(для регионов бесплатно)

Содержание

📌 Ротор (вектор) — это… 🎓 Что такое Ротор (вектор)?

Ро́тор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Ротор поля F обозначается символом rot F (в русскоязычной литературе) или curl F (в англоязычной литературе), а также где — векторный дифференциальный оператор набла.

Математическое определение

Ротор векторного поля — вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской площадки ΔS, перпендикулярной к этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

.

Нормаль к площадке направлена так, чтобы при вычислении циркуляции обход по контуру L совершался против часовой стрелки.

В трёхмерной декартовой системе координат вычисляется следующим образом:

Для удобства запоминания можно условно представлять ротор как векторное произведение:

где i, j и k — единичные орты для осей x

, y и z соответственно.

Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным (безвихревым).

Физическая интерпретация

По теореме Коши-Гельмгольца распределение скоростей сплошной среды вблизи точки О задаётся уравнением

где — вектор углового вращения элемента среды в точке О, а — квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.

Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки О складывается из поступательного движения (вектор ), вращательного движения (вектор ) и потенциального движения — деформации (вектор ). Применяя к формуле Коши—Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке О справедливо равенство и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

Например, если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то в северном полушарии для антициклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона, вращающегося против часовой стрелки — вверх. В тех местах, где ветры дуют прямолинейно и с одинаковой скоростью, ротор будет равен нулю (у неоднородного прямолинейного течения ротор ненулевой).

Основные свойства

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

для любых векторных полей F и G и для всех вещественных чисел a и b.

  • Если — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

или

или

При этом верно и обратное: если поле F бездивергентно, оно есть поле вихря некоторого поля

G:

  • Если поле F потенциально, его ротор равен нулю (поле F — безвихревое):

Верно и обратное: если поле безвихревое, то оно потенциально:

для некоторого скалярного поля

Ротор в ортогональных криволинейных координатах

где Hi — коэффициенты Ламе.

Примеры

Простое векторное поле

Рассмотрим векторное поле, линейно зависящее от координат x и y:

.

Очевидно, что поле закручено. Если мы поместим колесо с лопастями в любой области поля, мы увидим, что оно начнет вращаться по направлению часовой стрелки. Используя правило правой руки, можно ожидать ввинчивание поля в страницу. Для правой системы координат направление в страницу будет означать отрицательное направление по оси z.

Вычислим ротор:

Как и предположили, направление совпало с отрицательным направлением оси z. В данном случае ротор является константой, так как он независим от координаты. Количество вращения в приведенном выше векторном поле одно и то же в любой точке (x,y). График ротора F не слишком интересен:

Более сложный пример

Теперь рассмотрим несколько более сложное векторное поле:

.

Его график:

Мы можем не увидеть никакого вращения, но, посмотрев повнимательнее направо, мы видим большее поле в, например, точке x=4, чем в точке x=3. Если бы мы установили маленькое колесо с лопастями там, больший поток на правой стороне заставил бы колесо вращаться по часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении —

z. Если бы мы расположили колесо в левой части поля, больший поток на его левой стороне заставил бы колесо вращаться против часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении +z. Проверим нашу догадку с помощью вычисления:

Действительно, ввинчивание происходит в направлении +z для отрицательных x и —z для положительных x, как и ожидалось. Так как этот ротор не одинаков в каждой точке, его график выглядит немного интереснее:

Ротор F с плоскостью x=0, выделенной темно-синим цветом

Можно заметить, что график этого ротора не зависит от y или z (как и должно быть) и направлен по —z для положительных x и в направлении +z для отрицательных x.

Три общих примера

Рассмотрим пример

∇ × [ v × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что

Если v и поменять местами:

что является фейнмановской записью с нижним индексом F, что значит, что градиент с индексом F относится только к F.

Другой пример ∇ × [ × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что:

что можно считать частным случаем первого примера с подстановкой v.

Поясняющие примеры

  • В смерче ветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имеет ненулевой ротор везде. (см. Вихревое движение).
  • В векторном поле, описывающем линейные скорости движения каждой точки вращающегося диска ротор был бы постоянным во всех частях диска.
  • Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем, и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, ротор на границе между полосами был бы ненулевым.
  • Закон электромагнитной индукции Фарадея, одно из уравнений Максвелла, может быть выражен очень просто через понятие ротора. Он говорит, что ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля, взятой с обратным знаком, а ротор напряжённости магнитного поля равен сумме плотностей тока обычного и тока смещения.

[1]

Примечания

  1. Математический словарь высшей школы. В. Т. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Ротор, физический смысл ротора

В исследовании движения, например, жидкости, воронки и водовороты на поверхности воды всегда привлекают внимание исследователя. Математическая формулировка вращения жидкости приводит к понятию циркуляции, описанной выше. Продемонстрировать роль циркуляции во вращении жидкости можно следующим образом. Представим себе небольшое колесико с лопастями наподобие колеса водяной мельницы, но очень малых размеров. Предположим, что это колесо подвешено на подшипниках и может вращаться вокруг своей оси. Если мы поместим его в течение ручья, то оно либо будет в покое, либо будет вращаться. При этом пусть колесико целиком погружается в воду во всех случаях. Его вращение будет иметь место тогда, когда скорость течения воды в ручье в том месте, где погружено колесико, меняется от точки к точке пространства. Тогда на лопатки колеса с одной стороны вода набегает с несколько меньшей скоростью, чем с другой, и, под воздействием разности сил, действующих на лопатки с разных сторон, колесико придет во вращение, причем тем быстрее, чем больше неравномерность скорости в месте его погружения.

  1. − Ротор

Колесико является лишь своеобразным индикатором вращения частей жидкости. Чтобы математически записать величину, определяющую тенденцию жидкости вращаться, проведем мысленно окружность через центры лопаток колеса и для этого контура, который собой представляет проведенная окружность, запишем циркуляцию скорости жидкости :

.

Если циркуляция равна нулю, то колесико останется неподвижным, если же циркуляция будет положительна, колесико начнет вращаться в положительном направлении, и наоборот. Вектор угловой скорости колесика будет направлен вдоль его оси в правовинтовой системе координат.

Чтобы сделать определение состояния жидкости независимым от размеров колесика, надо рассмотреть предел отношения циркуляции к площади поверхности круга, ограниченного контуром . Это выражение даст проекцию некоторого вектора на направление оси колесика:

Направление нормали связано с направлением положительного обхода по контуру с правилом правого винта.

Данный вектор называется ротором. Чтобы определить его полностью, нужно найти все три его проекции на взаимно перпендикулярные направления по аналогичным формулам, затем умножить их на соответствующие орты и сложить. Тогда, используя оператор Гамильтона, получим

и

      1. Теорема Стокса

Из определения проекции ротора на направление нормали вытекает теорема Стокса, имеющая важное значение при выводе уравнений Максвелла. Теорема Стокса относится к контуру произвольных размеров и опирающейся на него поверхности. Для вывода выражения, представляющего собой теорему Стокса, разобьем поверхность, опирающуюся на контур, на большое число малых поверхностей

, каждая из которых ограничена малым контуром(рисунок Рисунок 16 ). Для каждой из малых поверхностей, составляющих вместе большую, будет приближенно справедливо выражение для проекции ротора на нормаль к поверхности, которое можно переписать в виде

,

где − малая величина более высокого порядка малости, чем. Здесь− номер контура и соответствующего элемента поверхности, так что равенства подобного вида будут записаны для всех элементов.

  1. −Теорема Стокса

Сложим теперь эти равенства для всех элементов, в результате чего получим:

.

Рассмотрим сумму циркуляций в правой части этого уравнения. Все контуры

должны иметь одинаковое направление обхода, так как нормали к элементам поверхности направлены в одну сторону, а направление нормали и обхода связаны между собой правилом правого винта. Поэтому соседние линии двух контуров, соприкасающихся между собой, будут направлены в противоположные стороны, и так будет для любой пары соседних линий. Следовательно, циркуляции по всем этим соседним участкам будут иметь одинаковую величину и противоположные знаки, и при сложении всех циркуляций останется только циркуляция по внешнему контуру, так как для внешнего контура не будет парных ему участков контура, направленных в противоположную сторону. Вследствие этого, для любого разбиения поверхности на участки, получится равенство

.

Это равенство будет справедливо и тогда, когда поверхность разбита на небольшое количество участков, так как оно основано на взаимном уничтожении циркуляций на линиях раздела соседних участков, в результате чего остается только циркуляция по внешнему контуру.

Будем увеличивать число площадок на поверхности до бесконечности при одновременном уменьшении их размеров. В пределе сумма в левой части перейдет в интеграл, а последнее слагаемое в правой части исчезнет и все равенство примет следующий вид:

.

Это равенство дает содержание теоремы Стокса: поверхностный интеграл ротора вектора равен циркуляции этого вектора по контуру, ограничивающему поверхность.

studfiles.net

Ротор, физический смысл ротора

В исследовании движения, например, жидкости, воронки и водовороты на поверхности воды всегда привлекают внимание исследователя. Математическая формулировка вращения жидкости приводит к понятию циркуляции, описанной выше. Продемонстрировать роль циркуляции во вращении жидкости можно следующим образом. Представим себе небольшое колесико с лопастями наподобие колеса водяной мельницы, но очень малых размеров. Предположим, что это колесо подвешено на подшипниках и может вращаться вокруг своей оси. Если мы поместим его в течение ручья, то оно либо будет в покое, либо будет вращаться. При этом пусть колесико целиком погружается в воду во всех случаях. Его вращение будет иметь место тогда, когда скорость течения воды в ручье в том месте, где погружено колесико, меняется от точки к точке пространства. Тогда на лопатки колеса с одной стороны вода набегает с несколько меньшей скоростью, чем с другой, и, под воздействием разности сил, действующих на лопатки с разных сторон, колесико придет во вращение, причем тем быстрее, чем больше неравномерность скорости в месте его погружения.

  1. − Ротор

Колесико является лишь своеобразным индикатором вращения частей жидкости. Чтобы математически записать величину, определяющую тенденцию жидкости вращаться, проведем мысленно окружность через центры лопаток колеса и для этого контура, который собой представляет проведенная окружность, запишем циркуляцию скорости жидкости :

.

Если циркуляция равна нулю, то колесико останется неподвижным, если же циркуляция будет положительна, колесико начнет вращаться в положительном направлении, и наоборот. Вектор угловой скорости колесика будет направлен вдоль его оси в правовинтовой системе координат.

Чтобы сделать определение состояния жидкости независимым от размеров колесика, надо рассмотреть предел отношения циркуляции к площади поверхности круга, ограниченного контуром . Это выражение даст проекцию некоторого вектора на направление оси колесика:

Направление нормали связано с направлением положительного обхода по контуру с правилом правого винта.

Данный вектор называется ротором. Чтобы определить его полностью, нужно найти все три его проекции на взаимно перпендикулярные направления по аналогичным формулам, затем умножить их на соответствующие орты и сложить. Тогда, используя оператор Гамильтона, получим

и

      1. Теорема Стокса

Из определения проекции ротора на направление нормали вытекает теорема Стокса, имеющая важное значение при выводе уравнений Максвелла. Теорема Стокса относится к контуру произвольных размеров и опирающейся на него поверхности. Для вывода выражения, представляющего собой теорему Стокса, разобьем поверхность, опирающуюся на контур, на большое число малых поверхностей, каждая из которых ограничена малым контуром(рисунок Рисунок 16 ). Для каждой из малых поверхностей, составляющих вместе большую, будет приближенно справедливо выражение для проекции ротора на нормаль к поверхности, которое можно переписать в виде

,

где − малая величина более высокого порядка малости, чем. Здесь− номер контура и соответствующего элемента поверхности, так что равенства подобного вида будут записаны для всех элементов.

  1. −Теорема Стокса

Сложим теперь эти равенства для всех элементов, в результате чего получим:

.

Рассмотрим сумму циркуляций в правой части этого уравнения. Все контуры должны иметь одинаковое направление обхода, так как нормали к элементам поверхности направлены в одну сторону, а направление нормали и обхода связаны между собой правилом правого винта. Поэтому соседние линии двух контуров, соприкасающихся между собой, будут направлены в противоположные стороны, и так будет для любой пары соседних линий. Следовательно, циркуляции по всем этим соседним участкам будут иметь одинаковую величину и противоположные знаки, и при сложении всех циркуляций останется только циркуляция по внешнему контуру, так как для внешнего контура не будет парных ему участков контура, направленных в противоположную сторону. Вследствие этого, для любого разбиения поверхности на участки, получится равенство

.

Это равенство будет справедливо и тогда, когда поверхность разбита на небольшое количество участков, так как оно основано на взаимном уничтожении циркуляций на линиях раздела соседних участков, в результате чего остается только циркуляция по внешнему контуру.

Будем увеличивать число площадок на поверхности до бесконечности при одновременном уменьшении их размеров. В пределе сумма в левой части перейдет в интеграл, а последнее слагаемое в правой части исчезнет и все равенство примет следующий вид:

.

Это равенство дает содержание теоремы Стокса: поверхностный интеграл ротора вектора равен циркуляции этого вектора по контуру, ограничивающему поверхность.

studfiles.net

📌 Ротор векторного поля — это… 🎓 Что такое Ротор векторного поля?

Ро́тор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Ротор поля F обозначается символом rot F (в русскоязычной литературе) или curl F (в англоязычной литературе), а также где — векторный дифференциальный оператор набла.

Математическое определение

Ротор векторного поля — вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской площадки ΔS, перпендикулярной к этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

.

Нормаль к площадке направлена так, чтобы при вычислении циркуляции обход по контуру L совершался против часовой стрелки.

В трёхмерной декартовой системе координат вычисляется следующим образом:

Для удобства запоминания можно условно представлять ротор как векторное произведение:

где i, j и k — единичные орты для осей x, y и z соответственно.

Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным (безвихревым).

Физическая интерпретация

По теореме Коши-Гельмгольца распределение скоростей сплошной среды вблизи точки О задаётся уравнением

где — вектор углового вращения элемента среды в точке О, а — квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.

Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки О складывается из поступательного движения (вектор ), вращательного движения (вектор ) и потенциального движения — деформации (вектор ). Применяя к формуле Коши—Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке О справедливо равенство и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

Например, если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то в северном полушарии для антициклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона, вращающегося против часовой стрелки — вверх. В тех местах, где ветры дуют прямолинейно и с одинаковой скоростью, ротор будет равен нулю (у неоднородного прямолинейного течения ротор ненулевой).

Основные свойства

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

для любых векторных полей F и G и для всех вещественных чисел a и b.

  • Если — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

или

или

При этом верно и обратное: если поле F бездивергентно, оно есть поле вихря некоторого поля G:

  • Если поле F потенциально, его ротор равен нулю (поле F — безвихревое):

Верно и обратное: если поле безвихревое, то оно потенциально:

для некоторого скалярного поля

Ротор в ортогональных криволинейных координатах

где Hi — коэффициенты Ламе.

Примеры

Простое векторное поле

Рассмотрим векторное поле, линейно зависящее от координат x и y:

.

Очевидно, что поле закручено. Если мы поместим колесо с лопастями в любой области поля, мы увидим, что оно начнет вращаться по направлению часовой стрелки. Используя правило правой руки, можно ожидать ввинчивание поля в страницу. Для правой системы координат направление в страницу будет означать отрицательное направление по оси z.

Вычислим ротор:

Как и предположили, направление совпало с отрицательным направлением оси z. В данном случае ротор является константой, так как он независим от координаты. Количество вращения в приведенном выше векторном поле одно и то же в любой точке (x,y). График ротора F не слишком интересен:

Более сложный пример

Теперь рассмотрим несколько более сложное векторное поле:

.

Его график:

Мы можем не увидеть никакого вращения, но, посмотрев повнимательнее направо, мы видим большее поле в, например, точке x=4, чем в точке x=3. Если бы мы установили маленькое колесо с лопастями там, больший поток на правой стороне заставил бы колесо вращаться по часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении —z. Если бы мы расположили колесо в левой части поля, больший поток на его левой стороне заставил бы колесо вращаться против часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении +z. Проверим нашу догадку с помощью вычисления:

Действительно, ввинчивание происходит в направлении +z для отрицательных x и —z для положительных x, как и ожидалось. Так как этот ротор не одинаков в каждой точке, его график выглядит немного интереснее:

Ротор F с плоскостью x=0, выделенной темно-синим цветом

Можно заметить, что график этого ротора не зависит от y или z (как и должно быть) и направлен по —z для положительных x и в направлении +z для отрицательных x.

Три общих примера

Рассмотрим пример ∇ × [ v × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что

Если v и поменять местами:

что является фейнмановской записью с нижним индексом F, что значит, что градиент с индексом F относится только к F.

Другой пример ∇ × [ × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что:

что можно считать частным случаем первого примера с подстановкой v.

Поясняющие примеры

  • В смерче ветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имеет ненулевой ротор везде. (см. Вихревое движение).
  • В векторном поле, описывающем линейные скорости движения каждой точки вращающегося диска ротор был бы постоянным во всех частях диска.
  • Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем, и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, ротор на границе между полосами был бы ненулевым.
  • Закон электромагнитной индукции Фарадея, одно из уравнений Максвелла, может быть выражен очень просто через понятие ротора. Он говорит, что ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля, взятой с обратным знаком, а ротор напряжённости магнитного поля равен сумме плотностей тока обычного и тока смещения.

[1]

Примечания

  1. Математический словарь высшей школы. В. Т. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

📌 Ротор (математика) — это… 🎓 Что такое Ротор (математика)?

У этого термина существуют и другие значения, см. Ротор.

Ро́тор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Обозначается

(в русскоязычной[1] литературе) или
(в англоязычной литературе),
а также — как векторное умножение дифференциального оператора набла на векторное поле:

Результат действия этого оператора на конкретное векторное поле F называется ротором поля F или, короче, просто ротором F и представляет собой новое векторное[2] поле:

Поле rot F (длина и направление вектора rot F в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле[3] вращательную составляющую поля F соответственно в каждой точке.

Интуитивный образ

Если v(x,y,z) — поле скорости движения газа (или течения жидкости), то rot v — вектор, пропорциональный вектору угловой скорости очень маленькой и лёгкой пылинки (или шарика), находящегося в потоке (и увлекаемого движением газа или жидкости; хотя центр шарика можно при желании закрепить, лишь бы он мог вокруг него свободно вращаться).

Конкретно rot v = 2 ω, где ω — эта угловая скорость.

  • Простую иллюстрацию этого факта — см. ниже.

Эта аналогия может быть сформулирована вполне строго (см. ниже). Основное определение через циркуляцию (данное в следующем параграфе) можно считать эквивалентным полученному таким образом.

Математическое определение

Ротор векторного поля  — есть вектор, проекция которого на каждое направление n есть предел отношения циркуляции векторного поля по контуру L, являющемуся краем плоской площадки ΔS, перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

.

Направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в направлении , контур L обходился по часовой стрелке[4].

В трёхмерной декартовой системе координат ротор (в соответствии с определением выше) вычисляется следующим образом (здесь F — обозначено некое векторное поле с декартовыми компонентами , а — орты декартовых координат):

или

(что можно считать альтернативным определением, по сути совпадающим с определением в начале параграфа, по крайней мере при условии дифференцируемости компонент поля).

Для удобства можно формально представлять ротор как векторное произведение оператора набла (слева) и векторного поля:

(Последнее равенство формально представляет векторное произведение как определитель).

Связанные определения

Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется безвихревым и является потенциальным. Поскольку эти условия являются друг для друга необходимыми и достаточными, оба термина являются практическими синонимами. (Впрочем, это верно только для случая полей, определённых на односвязной области).

Чуть подробнее о взаимной обусловленности потенциальности и безвихревого характера поля — см. ниже (Основные свойства).

Напротив, поле, ротор которого не равен нулю, называется обычно вихревым, такое поле не может быть потенциальным.

Обобщение

Наиболее прямое обобщение ротора применительно к векторным (и псевдовекторным) полям, определённым на пространствах произвольной размерности (при условии совпадения размерности пространства с размерностью вектора поля) такое

или

при индексах m и n от 1 до размерности пространства.

Это же может быть записано как внешнее произведение:

  • При этом ротор есть антисимметричное[5]тензорное поле валентности два.
  • В случае размерности 3 свертка этого тензора с символом Леви-Чивиты даёт обычное определение трехмерного ротора, приведённое в статье выше.
  • Для двумерного пространства может быть вдобавок при желании использована аналогичная формула с псевдоскалярным произведением (такой ротор будет псевдоскаляром, совпадающим с проекцией традиционного векторного произведения на ось, ортогональную данному двумерному пространству — если считать при этом двумерное пространство вложенным в некое трехмерное, чтобы традиционное векторное произведение имело смысл).

Физическая интерпретация

По теореме Коши-Гельмгольца распределение скоростей сплошной среды вблизи точки О задаётся уравнением

где  — вектор углового вращения элемента среды в точке О, а  — квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.

Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки О складывается из поступательного движения (вектор ), вращательного движения (вектор ) и потенциального движения — деформации (вектор ). Применяя к формуле Коши—Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке О справедливо равенство и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

В качестве интуитивного образа, как это описано выше, здесь можно использовать представление о вращении брошенной в поток маленькой пылинки (увлекаемой потоком с собой, без его заметного возмущения) или о вращении помещённого в поток с закреплённой осью маленького (без инерции, вращаемого потоком, заметно не искажая его) колеса с прямыми (не винтовыми) лопастями. Если то или другое при взгляде на него вращается против часовой стрелки, то это означает, что вектор ротора поля скорости потока в данной точке имеет положительную проекцию в направлении на нас.

Основные свойства

Свойства, непосредственно получаемые из обычных правил дифференцирования

для любых векторных полей F и G и для любых постоянных чисел a и b.

  • Если  — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

или

или

При этом верно и обратное: если поле F бездивергентно, оно вихрь некоторого поля G (векторного потенциала):

  • Если поле F потенциально, его ротор равен нулю (поле F — безвихревое):

Верно и обратное: если поле безвихревое, то оно потенциально:

для некоторого скалярного поля (то есть найдется такое , что F будет его градиентом).

  • (Следствие из свойств выше): два (и сколько угодно) различных векторных поля могут иметь одинаковый ротор. При этом различаться они будут обязательно на безвихревое поле, то есть на градиент некоторого скалярного поля.
  • Ротор ротора равен градиенту дивергенции минус лапласиан:

Теорема Стокса

Циркуляция вектора по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна потоку ротора этого вектора через эту поверхность:

Частный случай теоремы Стокса для плоской поверхности — содержание теоремы Грина.

Альтернативные определения

Все определения ротора, о которых будет говориться в данном параграфе полностью эквивалентны (по крайней мере для случая дифференцируемого векторного поля), и в качестве основного, в принципе, можно выбрать любое из них. Остальные тогда оказываются формулами, которые могут быть более удобны в том или ином случае.

Прежде всего, перечислим явно те варианты, которые уже упоминались в статье выше и могут при желании каждое играть роль определения ротора.

Кроме них полезно упомянуть:

  • Выражение через символ Леви-Чивиты, дающее наиболее компактную координатную запись, а во втором варианте — общую формулу для любых криволинейных координат (ограничиваясь[6], правда, только размерностью 3):
    • В варианте для ортонормированного базиса (обычных декартовых координат):
    • В тензорной записи для произвольных (в том числе косоугольных и криволинейных координат; используя верхние и нижние индексы и правило суммирования Эйнштейна):
где — метрический тензор в представлении с верхними индексами. В последнем случае (общем) важно упомянуть, что под значком имеется в виду именно тензор, включая множитель
  • Интересную и довольно красивую форму определения, иногда используемую в литературе:

Ротор в криволинейных координатах

Общий случай

Удобным общим выражение ротора, пригодным для произвольных криволинейных координат в трехмерном[6] пространстве является выражение с использованием тензора Леви-Чивиты:

Используя верхние и нижние индексы и правило суммирования Эйнштейна:

где — координатная запись тензора Леви-Чивиты, включая множитель — метрический тензор в представлении с верхними индексами,

Это выражение при желании может быть также переписано, например, в виде:

итд.

В ортогональных криволинейных координатах

где Hi — коэффициенты Ламе.

Примеры

  • В этой главе будем использовать для единичных векторов по осям (прямоугольных) декартовых координат использовать обозначение

Простой пример

Рассмотрим векторное поле F, зависящее от координат x и y так:

.
  • В отношении этого примера нетрудно заметить, что , где r — радиус-вектор, а , то есть поле F можно рассматривать как поле скоростей точек твёрдого тела, вращающегося с единичной по величине угловой скоростью, направленной в отрицательном направлении оси z (то есть по часовой стрелке, если смотреть «сверху» — против оси z). Интуитивно более или менее очевидно, что поле закручено по часовой стрелке. Если мы поместим колесо с лопастями в жидкость, текущую с такими скоростями (то есть вращающуюся как целое по часовой стрелке), в любое место, мы увидим, что оно начнет вращаться по направлению часовой стрелки. (Для определения направлений используем, как обычно, правило правой руки или правого винта).
  • z-компоненту поля F будем считать равной нулю. Однако если она ненулевая, но постоянная (или даже зависящая только от z) — результат для ротора, получаемый ниже, будет тем же.

Вычислим ротор:

Как и предположили, направление совпало с отрицательным направлением оси z. В данном случае ротор оказался константой, то есть поле оказалось однородным, не зависящим от координат (что естественно для вращения твёрдого тела). Что замечательно,

  • угловая скорость вращения жидкости, вычисленная из ротора и оказавшаяся равной точно , точно совпала с тем, что указано в параграфе Физическая интерпретация, то есть этот пример является хорошей иллюстрацией приведённого там факта. (Конечно же, вычисления, полностью повторяющие приведённые выше, но только для неединичной угловой скорости, дают тот же результат ).

Угловая скорость вращения в данном примере одна и та же в любой точке пространства (угол поворота пылинки, приклеенной к твердому телу не зависит от того места, где именно приклеить пылинку). График ротора F поэтому не слишком интересен:

Более сложный пример

Теперь рассмотрим несколько более сложное векторное поле[7]:

.

Его график:

Мы можем не увидеть никакого вращения, но, посмотрев повнимательнее направо, мы видим большее поле в, например, точке x=4, чем в точке x=3. Если бы мы установили маленькое колесо с лопастями там, больший поток на правой стороне заставил бы колесо вращаться по часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении —z. Если бы мы расположили колесо в левой части поля, больший поток на его левой стороне заставил бы колесо вращаться против часовой стрелки, что соответствует ввинчиванию в направлении +z. Проверим нашу догадку с помощью вычисления:

Действительно, ввинчивание происходит в направлении +z для отрицательных x и —z для положительных x, как и ожидалось. Так как этот ротор не одинаков в каждой точке, его график выглядит немного интереснее:

Ротор F с плоскостью x=0, выделенной тёмно-синим цветом

Можно заметить, что график этого ротора не зависит от y или z (как и должно быть) и направлен по —z для положительных x и в направлении +z для отрицательных x.

Три общих примера

Рассмотрим пример ∇ × [ v × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что

Если v и поменять местами:

что является фейнмановской записью с нижним индексом F, что значит, что градиент с индексом F относится только к F.

Другой пример ∇ × [ × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что:

что можно считать частным случаем первого примера с подстановкой v.

Поясняющие примеры

  • В смерче ветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имеет ненулевой ротор (где-то) в центральной области. (см. Вихревое движение).
  • Для векторного поля v скоростей движения точек вращающегося твёрдого (абсолютно твёрдого) тела, rot v одинаков всюду по объёму этого тела и равен (вектору) удвоенной угловой скорости вращения (подробнее — см. выше).
  • Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем, и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, ротор на границе между полосами был бы ненулевым.
  • Закон электромагнитной индукции Фарадея, одно из уравнений Максвелла, просто записывается (в дифференциальной форме) через ротор: ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля (со временем), взятой с обратным знаком.
  • Четвёртое уравнение Максвелла — закон Ампера — Максвелла также записывается в дифференциальной форме с использованием ротора: ротор напряжённости магнитного поля равен сумме плотностей тока обычного и тока смещения.[8]

Важный контринтуитивный пример

Довольно важно иметь в виду, что в принципе (хотя и далеко не всегда) направление ротора может не соответствовать направлению вращения поля (будем говорить для конкретности о поле скоростей жидкости), которое кажется очевидным по направлению искривления линий тока. Он может даже иметь противоположное направление (а в частном случае ротор может оказаться равным нулю, хотя линии тока загибаются или даже представляют собой точные окружности).

Дело в том, что ротор может быть представлен как сумма двух слагаемых, одно из которых завивит от кривизны линий тока, а второе от завивимости скорости течения от перпендикулярной (в данной точке) скорости течения координаты.

Рассмотрим частный, но хорошо иллюстрирующий сказанное пример. Пусть поле скорости течения жидкости v таково, что на любом фиксированном расстоянии r от некоторого фиксированного центра (поместим туда для удобства и начало координат) — жидкость течет точно по окружности с центром в начале координат и радиусом r (будем для краткости говорить в двумерных терминах; для перехода к трехмерной формулировке этого примера надо заменить слово «центр» на слово «ось»).

Пусть скорость движения по каждой такой окружности (равная абсолютной величине вектора v) зависит только от r :

Пусть направление вращения — против часовой стрелки (угловая скорость — вдоль оси z).

Нам будет досаточно вычислить ротор только вдоль оси x. Для этого выразим v (его компоненты) через координаты вблизи оси x.

(Учитывая то, что вблизи оси x можем считать, что координата y << x, а при дифференцировании нам нужен будет только первый порядок, мы отбросили всё, меньшее y/x, и воспользовались тем, что вследствии этого x≈r).

Вычислим теперь прямо компоненту ротора на ось z:

что даст, если подставить сюда приведённые выше,

Отсюда видно, что

  • Если v(r) ~ 1/r, то rot v = 0.
  • Eсли v(r) убывает с r быстрее, чем 1/r, то проекция ротора на ось z отрицательна! (это и есть контринтуитивный пример).

Таким образом, мы видим, что в принципе просто из того, куда закручены линии тока не очевидно, куда направлен ротор такого течения. То есть не очевидно, в какую сторону будут вращаться пылинки в таком потоке. Зато достаточно ясно, что если где-то есть очень резкое убывание v(r), то направление ротора в этом месте будет направоено против того, которое соответствует направлению закручивания линий тока.

Этот частный пример означает, что и в общем случае однозначной связи между направлением закручивания линий поля и направлением вектора его ротора — нет.

Необходимо однако сделать две оговорки:

  1. всё сказанное не означает, что однозначной связи между направлением закручивания линий поля и направлением вектора ротора этого поля не может быть для каких-то конкретных полей (подчиняющихся определённым уравнениям) и даже, быть может, для большинства практически важных полей в простых ситуациях. Однако если такая связь для каких-то (и даже для многих) полей имеет место, то
    1. во-первых, это есть следствие не определения ротора, а других уравнений (которые могут быть справедливы для какого-то конкретного поля и какой-то конкретной ситуации, а могут — для других полей ситуаций — и не быть),
    2. во-вторых, даже если эти другие уравнения в простейшем случае дадут такую связь, то при усложнении ситуации она может пропасть. Например, при переходе от случая однородной среды к неоднородной; так, даже если для однородной жидкости в бесконечном свободном пространстве такая связь имела бы место, то для вращения жидкости в неподвижном сосуде, скажем круглом стакане, очевидно вблизи стенок ротор будет противоположен направлению вращения жидкости в целом.
  2. исходя из теоремы Стокса можно утверждать, что если (например) жидкость вращается по окружности, то где-то внутри этой окружности есть точки, в которых ротор имеет знак (направление), совпадающий с направлением циркуляции жидкости. В нашем примере быстроубывающего v(r), рассмотренном выше в этой главе, такая область находится вблизи центра (в предельном случае — в самом центре ротор даже становится бесконечным). Однако мы утверждаем (как это и видно из примера), что это совпадение не обязано существовать ни вблизи данной точки, ни даже везде внутри окружности данного радиуса (а лишь где-то внутри неё, хотя интеграл по всей её внутренности и даст таки это совпадение, то есть «в среднем» — направление совпадает; однако в большинстве точек — может быть и противоположным).

Примечания

  1. Также в немецкой, откуда, по-видимому, это обозначение и попало в русскую, а также почти везде в Европе, кроме Англии, где такое обозначение считается «альтернативным».
  2. Точнее — если F — псевдовекторное поле, то rot F — обычное векторное поле (вектор rot F — полярный), и наоборот, если поле F — поле обычного (полярного) вектора, то rot F — псевдовекторное поле.
  3. См. далее.
  4. Обычное соглашение, согласованное с определением через векторное произведение с оператором набла.
  5. То, что тензор антисимметричен, очевидно непосредственно из определения.
  6. 1 2 Для произвольной размерности — см. параграф «Обобщение».
  7. Простейшая физическая реализация такого поля (с точностью до аддитивной константы, которая не влияет на вычисление ротора, поскольку rot const = 0; кроме того, при желании эта константа может быть обнулена переходом в систему отсчета, связанной с максимально быстро текущей водой в центре струи) — ламинарное течение (вязкой) жидкости между двумя параллельными твердыми плоскостями, перпендикулярными оси х, под действием однородного силового поля (тяжести) или разности давлений. Течение жидкости в трубе круглого сечения даёт такую же зависимости , поэтому приведённое дальше вычисление ротора применимо и к этому случаю (проще всего взять ось y совпадающей с осью трубы, и хотя зависимость не будет уже константой, однако будет нулем при z = 0, как и в основном примере, т.е. вычисление и ответ для любой плоскости, проходящей через ось трубы такой же, а это решает задачу).
  8. Математический словарь высшей школы. В. Т. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович

См. также

dic.academic.ru

Ротор вектора скорости и его физический смысл в вихревом сечении, теорема Стокса. Правила действий с оператором Гамильтона.

Ротор вектора скорости и его физический смысл в вихревом сечении, теорема Стокса. Правила действий с оператором Гамильтона.

 

Ротор представляет собой угловую скорость вращения твердого тела с точностью до числового множителя. Направление ротора – направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение, по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке S. Связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между производной по направлению и градиентом.

Циркуляция – это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль кривой . Вдоль замкнутых векторных линий циркуляция не равна нулю, так как в каждой точке векторной линии скалярное произведение сохраняет знак, положительный при совпадении вектора с направлением обхода векторной линии и отрицательной в обратном случае.

Свойства ротора:

1) , если постоянный вектор;

2) , ;

3)

4)

Формулу Стокса можно записать в векторной форме:

Эта формула показывает, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого вектора через поверхность , лежащую в поле вектора и ограниченного контуром . Используя формулу Стокса, можно дать другое определение ротора вектора – это вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора по контуру плоской площадки , перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки. Это векторная величина, образующая собственное векторное поле.

Оператор Гамильтона служит для удобства записи основных операций над скалярным ( ) или векторным ( ) полем – , , (векторные дифференциальные операции первого порядка). Он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями.

Символическое умножение вектора на скаляр или вектор производится по обычным правилам векторной алгебры, а умножение символов на величины как взятие соответствующей частной производной от этих величин.

Кризис течения в сжимаемых жидкостях. Запирание по расходу.

Кризис течения – третье общее свойство сплошных сред, наряду с продольным расширением и поперечным сжатием частиц среды при ускорении. При кризисе течения межмолекулярные силы не способны удержать среду от резкого расширения.

В капельных жидкостях кризис течения приводит к кавитации, а в газах разрушение межмолекулярных связей приводит не только к еще большему продольному расширению, но и к поперечному. Поэтому сверхкритическое ускорение газов требует расширяющегося канала.

Статическое давление, при котором возникает кризис течения, зависит от рода газа, определяемого показателем адиабаты:

При достижении этого давление расстояние между молекулами становится критическим, а скорость становится равной местной скорости звука в данном сечении. При дальнейшем ускорении межмолекулярные силы начинают убывать обратно пропорционально квадрату расстояния между ними.

Запирание канала по расходу – достижение предельного значения расхода для данного канала. При постоянном давлении перед сечением, попытка увеличить расход путем уменьшения давления за сечением приводит к увеличению интенсивности кавитации в капельных жидкостях. Для газов см. вопрос 28.

 

Работа, тепло и ускорение, вызванные силами вязкости. Примеры проявления составляющих вязкости, вихревой эффект.

Вязкость – свойство сплошных сред оказывать сопротивление сдвигу двух слоев среды относительно друг друга. Сдвиг сопровождается только изменением формы, но не объема.

Секундная работа сил вязкости, совершаемая массой газа внутри объема равна сумме произведений нормальных и касательных компонент вязкостных сил на скорость, в направлении которой действует та или иная компонента:

Пренебрегая величинами второго порядка малости, окончательно работа вязкостных сил равна:

Для всех координатных осей:

Частные решения уравнения Навье-Стокса для ламинарного режима: течение Паузейля-Гагена, закон неквадратичного трения и коэффициент гидравлического трения для ламинарного режима течения. Участок гидродинамической стабилизации (начальный и разгонный). Коэффициент Кориолиса.

Уравнение Навье-Стокса в общем виде: показывает, что вектор полного ускорения жидкой частицы равен векторной сумме ускорений, вызванных отдельными силами так, как будто бы каждая из этих сил действует на частицу в отдельности:

37. Уравнение количеств движения (первое уравнение Эйлера) в общем виде. Тензор импульса и его компоненты. Неконсервативная форма для расчета силового взаимодействия потока и обтекаемых тел.

Используется для расчета взаимодействия потока с обтекаемым телом. Выделим экспериментальную струйку тока: для неизменной массы: , если масса меняется: . Прирост количества движения должен быть равен разности количеств движения для масс 2-2’ и 1-1’, которые в установившемся течении одинаковы.

элементарная масса, секундное количество движения.

После подстановки и интегрирования: уравнение Эйлера, силовая форма записи уравнения движения, сила реакции жидкости на обтекаемое тело.

Равнодействующая внешних сил, действующих в данный момент на жидкость равна изменению во времени суммарного количества движения и разности потоков количества движения жидкости на входе и выходе.

Кинематика движения жидкой частицы. Виды движения. Вихревое и потенциальное движение, условия незавихренности, потенциал скорости. Основные понятия. Уравнения, описывающие вихревое течение.

Потенциальное течение – движение, при котором отсутствует движение частиц среды относительно собственных осей ( ).

Вихревое течение – если ротор скорости или циркуляция скорости по любому замкнутому контуру отлична от нуля, то частицы вращаются вокруг собственных осей.

Потенциал скорости – функция, частные производные которой соответствуют компонентам скорости: и т.д.

Ротор вектора скорости и его физический смысл в вихревом сечении, теорема Стокса. Правила действий с оператором Гамильтона.

 

Ротор представляет собой угловую скорость вращения твердого тела с точностью до числового множителя. Направление ротора – направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение, по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке S. Связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между производной по направлению и градиентом.

Циркуляция – это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль кривой . Вдоль замкнутых векторных линий циркуляция не равна нулю, так как в каждой точке векторной линии скалярное произведение сохраняет знак, положительный при совпадении вектора с направлением обхода векторной линии и отрицательной в обратном случае.

Свойства ротора:

1) , если постоянный вектор;

2) , ;

3)

4)

Формулу Стокса можно записать в векторной форме:

Эта формула показывает, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого вектора через поверхность , лежащую в поле вектора и ограниченного контуром . Используя формулу Стокса, можно дать другое определение ротора вектора – это вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора по контуру плоской площадки , перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки. Это векторная величина, образующая собственное векторное поле.

Оператор Гамильтона служит для удобства записи основных операций над скалярным ( ) или векторным ( ) полем – , , (векторные дифференциальные операции первого порядка). Он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями.

Символическое умножение вектора на скаляр или вектор производится по обычным правилам векторной алгебры, а умножение символов на величины как взятие соответствующей частной производной от этих величин.




infopedia.su

Интуитивный образ

Ротор (математика)

Ро́тор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Обозначается

 (в русскоязычной[1] литературе) или

 (в англоязычной литературе),

а также — как векторное умножение дифференциального оператора набла на векторное поле:

Результат действия этого оператора на конкретное векторное поле F называется ротором поля Fили, короче, просто ротором F и представляет собой новое векторное[2] поле:

Поле rot F (длина и направление вектора rot F в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле[3] вращательную составляющую поля F соответственно в каждой точке.

Если v(x,y,z) — поле скорости движения газа (или течения жидкости), то rot v — вектор, пропорциональный вектору угловой скорости очень маленькой и лёгкой пылинки (или шарика), находящегося в потоке (и увлекаемого движением газа или жидкости; хотя центр шарика можно при желании закрепить, лишь бы он мог вокруг него свободно вращаться).

Конкретно rot v = 2 ω, где ω — эта угловая скорость.

Эта аналогия может быть сформулирована вполне строго (см. ниже). Основное определение через циркуляцию (данное в следующем параграфе) можно считать эквивалентным полученному таким образом.

Математическое определение

Ротор векторного поля  — есть вектор, проекция которого на каждое направлениеn есть предел отношения циркуляции векторного поля по контуру L, являющемуся краем плоской площадки ΔS, перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

.

Направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в направлении , контур Lобходился по часовой стрелке[4].

В трёхмерной декартовой системе координат ротор (в соответствии с определением выше) вычисляется следующим образом (здесь F — обозначено некое векторное поле с декартовыми компонентами , а — орты декартовых координат):

или

(что можно считать альтернативным определением, по сути совпадающим с определением в начале параграфа, по крайней мере при условии дифференцируемости компонент поля).

Для удобства можно формально представлять ротор как векторное произведение оператора набла(слева) и векторного поля:

(Последнее равенство формально представляет векторное произведение как определитель).

Связанные определения

Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется безвихревым и является потенциальным. Поскольку эти условия являются друг для друга необходимыми и достаточными, оба термина являются практическими синонимами. (Впрочем, это верно только для случая полей, определённых на односвязной области).

Чуть подробнее о взаимной обусловленности потенциальности и безвихревого характера поля — см. ниже (Основные свойства).

Напротив, поле, ротор которого не равен нулю, называется обычно вихревым, такое поле не может быть потенциальным.

Обобщение

Наиболее прямое обобщение ротора применительно к векторным (и псевдовекторным) полям, определённым на пространствах произвольной размерности (при условии совпадения размерности пространства с размерностью вектора поля) такое

или

при индексах m и n от 1 до размерности пространства.

Это же может быть записано как внешнее произведение:

  • В случае размерности 3 свертка этого тензора с символом Леви-Чивиты даёт обычное определение трехмерного ротора, приведённое в статье выше.

  • Для двумерного пространства может быть вдобавок при желании использована аналогичная формула с псевдоскалярным произведением (такой ротор будет псевдоскаляром, совпадающим с проекцией традиционного векторного произведения на ось, ортогональную данному двумерному пространству — если считать при этом двумерное пространство вложенным в некое трехмерное, чтобы традиционное векторное произведение имело смысл).

studfiles.net

Разное

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о