+7 495 120-13-73 | 8 800 500-97-74

(для регионов бесплатно)

Содержание

Ротор (вектор) — это… Что такое Ротор (вектор)?

Ро́тор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Ротор поля F обозначается символом rot F (в русскоязычной литературе) или curl F (в англоязычной литературе), а также где — векторный дифференциальный оператор набла.

Математическое определение

Ротор векторного поля — вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской площадки ΔS, перпендикулярной к этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

.

Нормаль к площадке направлена так, чтобы при вычислении циркуляции обход по контуру L совершался против часовой стрелки.

В трёхмерной декартовой системе координат вычисляется следующим образом:

Для удобства запоминания можно условно представлять ротор как векторное произведение:

где i, j и k — единичные орты для осей x

, y и z соответственно.

Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным (безвихревым).

Физическая интерпретация

По теореме Коши-Гельмгольца распределение скоростей сплошной среды вблизи точки О задаётся уравнением

где — вектор углового вращения элемента среды в точке О, а — квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.

Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки О складывается из поступательного движения (вектор ), вращательного движения (вектор ) и потенциального движения — деформации (вектор ). Применяя к формуле Коши—Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке О справедливо равенство и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

Например, если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то в северном полушарии для антициклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона, вращающегося против часовой стрелки — вверх. В тех местах, где ветры дуют прямолинейно и с одинаковой скоростью, ротор будет равен нулю (у неоднородного прямолинейного течения ротор ненулевой).

Основные свойства

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

для любых векторных полей F и G и для всех вещественных чисел a и b.

  • Если — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

или

или

При этом верно и обратное: если поле F бездивергентно, оно есть поле вихря некоторого поля

G:

  • Если поле F потенциально, его ротор равен нулю (поле F — безвихревое):

Верно и обратное: если поле безвихревое, то оно потенциально:

для некоторого скалярного поля

Ротор в ортогональных криволинейных координатах

где Hi — коэффициенты Ламе.

Примеры

Простое векторное поле

Рассмотрим векторное поле, линейно зависящее от координат x и y:

.

Очевидно, что поле закручено. Если мы поместим колесо с лопастями в любой области поля, мы увидим, что оно начнет вращаться по направлению часовой стрелки. Используя правило правой руки, можно ожидать ввинчивание поля в страницу. Для правой системы координат направление в страницу будет означать отрицательное направление по оси z.

Вычислим ротор:

Как и предположили, направление совпало с отрицательным направлением оси z. В данном случае ротор является константой, так как он независим от координаты. Количество вращения в приведенном выше векторном поле одно и то же в любой точке (x,y). График ротора F не слишком интересен:

Более сложный пример

Теперь рассмотрим несколько более сложное векторное поле:

.

Его график:

Мы можем не увидеть никакого вращения, но, посмотрев повнимательнее направо, мы видим большее поле в, например, точке x=4, чем в точке x=3. Если бы мы установили маленькое колесо с лопастями там, больший поток на правой стороне заставил бы колесо вращаться по часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении —z. Если бы мы расположили колесо в левой части поля, больший поток на его левой стороне заставил бы колесо вращаться против часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении +

z. Проверим нашу догадку с помощью вычисления:

Действительно, ввинчивание происходит в направлении +z для отрицательных x и —z для положительных x, как и ожидалось. Так как этот ротор не одинаков в каждой точке, его график выглядит немного интереснее:

Ротор F с плоскостью x=0, выделенной темно-синим цветом

Можно заметить, что график этого ротора не зависит от y или z (как и должно быть) и направлен по —z для положительных x и в направлении +z для отрицательных x.

Три общих примера

Рассмотрим пример ∇ × [ v × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что

Если v и поменять местами:

что является фейнмановской записью с нижним индексом F, что значит, что градиент с индексом F относится только к F.

Другой пример ∇ × [ × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что:

что можно считать частным случаем первого примера с подстановкой v.

Поясняющие примеры

  • В смерче ветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имеет ненулевой ротор везде. (см. Вихревое движение).
  • В векторном поле, описывающем линейные скорости движения каждой точки вращающегося диска ротор был бы постоянным во всех частях диска.
  • Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем, и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, ротор на границе между полосами был бы ненулевым.
  • Закон электромагнитной индукции Фарадея, одно из уравнений Максвелла, может быть выражен очень просто через понятие ротора. Он говорит, что ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля, взятой с обратным знаком, а ротор напряжённости магнитного поля равен сумме плотностей тока обычного и тока смещения.

[1]

Примечания

  1. Математический словарь высшей школы. В. Т. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

Физический смысл ротора. — StuDocu

1.4.4. Физический смысл ротора.

Preview text

Лекция 7 1.4.4. Физический смысл ротора. Физический смысл ротора можно пояснить следующим образом. Будем снова рассматривать векторное поле А как поле скоростей движущейся жидкости. Поместим в таком потоке, в определенной его точке, бесконечно малое колесико с лопастями, расположенными по окружности L этого колесика (рис. 9). Под воздействием потока жидкости такое колесико будет вращаться с некоторой скоростью, зависящей, вообще говоря, от направления оси колесика. Естественно считать, что линейная скорость каждой точки окружности L по величине будет равна среднему произведений проекций вектора А на направление касательной к L, т. е. будет выражаться формулой υ 1 2R A dl . (28) L По формуле Стокса (25) криволинейный интеграл (28) можно преобразовать в поверхностный интеграл 1 2R  rot A  n d ,  (29)  взятый по площади  рассматриваемого колесика. Считая это колесико бесконечно  rot A  n d малым, мы можем записать интеграл   в виде произведения площади колесика на значение (rot А)п в его центре, т. е. в виде R2 (rot А)п В результате равенство (28) принимает вид υ R  rot A  n 2 Максимально возможное значение проекции вектора на какое-либо направление есть модуль этого вектора. Поэтому, если направление оси колесика выбрать так, чтобы его скорость v была максимальной (это направление, очевидно, совпадает с направлением rot А), то мы получим υ max  R rot A n 2 или rot A  Но 2 υ max R υ — это величина угловой скорости  колесика. Итак, мы получили следующий R результат: если колесико с лопастями ориентировано так, что скорость его вращения максимальна, то его угловая скорость равна половине rot А, а направление оси совпадает с направлением вектора rot А. Таким образом, rot А характеризует «вращательную компоненту» поля скоростей; он равен удвоенной угловой скорости вращения бесконечно малой частицы жидкости. Примеры. 1. Рассмотрим векторное поле с компонентами P = — y, Q = x, R = 0. Это поле можно рассматривать как поле скоростей, отвечающее вращению всего пространства вокруг оси z с угловой скоростью . Ротор этого векторного поля равен, как легко проверить, 2k, т. е. он направлен по оси вращения, а по величине равен удвоенной угловой скорости (рис. 10). Физический смысл этого результата заключается в следующем. Всякая частица жидкости при вращении вокруг оси z участвует в двух движениях: в мгновенном переносном движении со скоростью V = (-y, x, 0) и в мгновенном вращательном движении. Легко видеть, что мгновенная угловая скорость вращения любой частицы совпадает с угловой скоростью  всего макроскопического движения жидкости. Поэтому поле мгновенных угловых скоростей частиц оказывается постоянным и равным . Значит, и поле ротора также постоянно и равно 2. Вся жидкость как бы заполнена бесконечно малыми вихрями. 2. Рассмотрим жидкость, текущую в постоянном направлении с постоянной скоростью, т. е, предположим, что Р, Q и R постоянны. В этом случае rot A  0. 3. Пусть Р = у, Q = 0, R = 0. В этом случае rot А = — k. В последнем примере ротор в каждой точке отличен от нуля, хотя все векторные линии — прямые, параллельные плоскости yz. Это может показаться противоречащим утверждению, что rot А характеризует «вращательную компоненту» поля А. Но на самом деле это не так. Здесь «вращательная компонента» обусловлена не искривлением векторных линий, а изменением скорости движения при изменении расстояния от плоскости yz. Легко сообразить, что колесико с лопастями, поставленное в поток жидкости, движущейся в каждой точке (х, у, z) со скоростью (у, 0, 0), не будет находиться в покое, если только его ось вращения не перпендикулярна оси z. 4. Пусть векторное поле А имеет компоненты: P Q x x2  y2 -y 2 x  y2 , (30) , Это поле можно рассматривать как поле скоростей жидкости, R 0 движущейся в плоскости ху по гиперболам ху = С (рис. 12) так, что величина скорости в каждой точке равна 1. Найдем дивергенцию и ротор этого поля. Имеем: div A    x x  x 2  y 2      y  y2  x2    3  y  x 2  y 2     x2  y2 2     y    x rot A      x  x 2  y 2  y  x 2  y 2          k   2 xy   x2  y2   3 2 k Здесь дивергенция. положительна, когда у>х, и отрицательна при у<х. Физически это означает, что движение несжимаемой жидкости, описываемое полем (30), возможно лишь тогда, когда в тех областях, где у>х, имеются источники, а там, где у<х имеют место стоки. Ротор поля (30), как и всякого плоскопараллельного поля, направлен в каждой точке по оси z, именно его направление совпадает с положительным направлением оси z во второй и четвертой четвертях и с отрицательным направлением оси z в первой и третьей. И дивергенция, и ротор поля (30) стремятся к нулю, когда х2 + y2 →, т. е. по мере удаления от начала координат. 1.4.5. Еще раз о потенциальных и соленоидальных полях. Рассматриваемое понятие ротора, непосредственно связано с определениями потенциального и соленоидального полей, введенными ранее. Мы назвали потенциальным векторное поле, представимое в виде градиента некоторого скалярного поля, и показали, что векторное поле А = (Р, Q, R) потенциально в том и только том случае, если его компоненты удовлетворяют условиям

Ротор, физический смысл ротора

В исследовании движения, например, жидкости, воронки и водовороты на поверхности воды всегда привлекают внимание исследователя. Математическая формулировка вращения жидкости приводит к понятию циркуляции, описанной выше. Продемонстрировать роль циркуляции во вращении жидкости можно следующим образом. Представим себе небольшое колесико с лопастями наподобие колеса водяной мельницы, но очень малых размеров. Предположим, что это колесо подвешено на подшипниках и может вращаться вокруг своей оси. Если мы поместим его в течение ручья, то оно либо будет в покое, либо будет вращаться. При этом пусть колесико целиком погружается в воду во всех случаях. Его вращение будет иметь место тогда, когда скорость течения воды в ручье в том месте, где погружено колесико, меняется от точки к точке пространства. Тогда на лопатки колеса с одной стороны вода набегает с несколько меньшей скоростью, чем с другой, и, под воздействием разности сил, действующих на лопатки с разных сторон, колесико придет во вращение, причем тем быстрее, чем больше неравномерность скорости в месте его погружения.

  1. − Ротор

Колесико является лишь своеобразным индикатором вращения частей жидкости. Чтобы математически записать величину, определяющую тенденцию жидкости вращаться, проведем мысленно окружность через центры лопаток колеса и для этого контура, который собой представляет проведенная окружность, запишем циркуляцию скорости жидкости :

.

Если циркуляция равна нулю, то колесико останется неподвижным, если же циркуляция будет положительна, колесико начнет вращаться в положительном направлении, и наоборот. Вектор угловой скорости колесика будет направлен вдоль его оси в правовинтовой системе координат.

Чтобы сделать определение состояния жидкости независимым от размеров колесика, надо рассмотреть предел отношения циркуляции к площади поверхности круга, ограниченного контуром . Это выражение даст проекцию некоторого вектора на направление оси колесика:

Направление нормали связано с направлением положительного обхода по контуру с правилом правого винта.

Данный вектор называется ротором. Чтобы определить его полностью, нужно найти все три его проекции на взаимно перпендикулярные направления по аналогичным формулам, затем умножить их на соответствующие орты и сложить. Тогда, используя оператор Гамильтона, получим

и

      1. Теорема Стокса

Из определения проекции ротора на направление нормали вытекает теорема Стокса, имеющая важное значение при выводе уравнений Максвелла. Теорема Стокса относится к контуру произвольных размеров и опирающейся на него поверхности. Для вывода выражения, представляющего собой теорему Стокса, разобьем поверхность, опирающуюся на контур, на большое число малых поверхностей, каждая из которых ограничена малым контуром(рисунок Рисунок 16 ). Для каждой из малых поверхностей, составляющих вместе большую, будет приближенно справедливо выражение для проекции ротора на нормаль к поверхности, которое можно переписать в виде

,

где − малая величина более высокого порядка малости, чем. Здесь− номер контура и соответствующего элемента поверхности, так что равенства подобного вида будут записаны для всех элементов.

  1. −Теорема Стокса

Сложим теперь эти равенства для всех элементов, в результате чего получим:

.

Рассмотрим сумму циркуляций в правой части этого уравнения. Все контуры должны иметь одинаковое направление обхода, так как нормали к элементам поверхности направлены в одну сторону, а направление нормали и обхода связаны между собой правилом правого винта. Поэтому соседние линии двух контуров, соприкасающихся между собой, будут направлены в противоположные стороны, и так будет для любой пары соседних линий. Следовательно, циркуляции по всем этим соседним участкам будут иметь одинаковую величину и противоположные знаки, и при сложении всех циркуляций останется только циркуляция по внешнему контуру, так как для внешнего контура не будет парных ему участков контура, направленных в противоположную сторону. Вследствие этого, для любого разбиения поверхности на участки, получится равенство

.

Это равенство будет справедливо и тогда, когда поверхность разбита на небольшое количество участков, так как оно основано на взаимном уничтожении циркуляций на линиях раздела соседних участков, в результате чего остается только циркуляция по внешнему контуру.

Будем увеличивать число площадок на поверхности до бесконечности при одновременном уменьшении их размеров. В пределе сумма в левой части перейдет в интеграл, а последнее слагаемое в правой части исчезнет и все равенство примет следующий вид:

.

Это равенство дает содержание теоремы Стокса: поверхностный интеграл ротора вектора равен циркуляции этого вектора по контуру, ограничивающему поверхность.

Ротор и его основные свойства — Студопедия

Определение ротора векторного поля:

Ротором или вихрем векторного поля называется вектор с проекциями

Основные свойства ротора:

— это векторная величина, которая является дифференциальной (т.е. точечной) характеристикой векторного поля .

— свойство линейности.

Ротор произведения скалярной и векторной ункции вычисляется по формуле:

Физический смысл ротора

Некоторое физическое истолкование понятия ротора можно получить, если рассматривать векторное поле линейных скоростей твердого тела (материальной точки M), вращающегося вокруг оси с постоянной угловой скоростью .

Из физики известно, что , где — это угловая скорость вращения, — это радиус вектор точки М.

Поэтому

то есть поле линейных скоростей тела, вращающегося вокруг неподвижной оси есть плоское векторное поле.

Вычислим его ротор равен:

то есть

Следовательно, ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения. Таким образом, характеризует вращательную способность поля , наличие у этого поля “закрученных” векторных линий или “вихрей”.

В технической литературе ротор векторного поля часто называют вихрем этого поля.


Примеры 2 (вычисление ротора векторного поля)

Вычислить ротор радиус-вектора точки

Решение

Составляем формулу (4) для и делаем вычисления:

, ,

векторное поле не обладает вращательной способностью.

Вычислить , если

Решение

Записываем проекции данного векторного поля:

,

и по формуле (4) получаем, что

Из рассмотренного примера следует, что любое векторное поле сопровождается другим векторным полем его ротора.

Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учетом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:

Дивергенция — это дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность, малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.

Оператор дивергенции, применённый к полю, обозначают как

F или

Определение:

Определение дивергенции выглядит так:

где — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объём V. Ещё более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объёмом V допускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю (то есть чтобы вся поверхность находилась в бесконечно малой окрестности данной точки, что нужно, чтобы дивергенция была локальной операцией и для чего очевидно недостаточно стремления к нулю площади поверхности и объема ее внутренности).


В обоих случаях подразумевается, что:

Это определение не привязано к определённым координатам, например к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определённых случаях.

Формулы Грина

Пусть C — положительно ориентированная кусочно-гладкая замкнутая кривая на плоскости, а D — область, ограниченная кривой C. Если функции P = P(x,y), Q = Q(x,y) определены в области D и имеют непрерывные частные производные

На символе интеграла часто рисуют окружность, чтобы подчеркнуть, что кривая C замкнута.

Доказательство:

Пусть область D — криволинейная трапеция (область, цилиндрическая в направлении OY):

Для кривой C, ограничивающей область D зададим направление обхода по часовой стрелке. Тогда

Заметим, что оба полученных интеграла можно заменить криволинейными интегралами:

Интеграл по берётся со знаком «минус», так как согласно ориентации контура C направление обхода данной части — от b до a.

Криволинейные интегралы по и будут равны нулю, так как

Заменим в (1) интегралы согласно (2) и (3), а также прибавим (4) и (5), равные нулю и поэтому не влияющие на значение выражения:


Так как обход по часовой стрелке при правой ориентации плоскости является отрицательным направлением, то сумма интегралов в правой части является криволинейным интегралом по замкнутой кривой C в отрицательном направлении:

Аналогично доказывается формула:

если в качестве области D взять область, правильную в направлении OX.

Складывая (6) и (7), получим:

Если бы в электростатических задачах мы всегда имели дело с дискретным или непрерывным распределением заряда без всяких граничных поверхностей, то общее решение для скалярного потенциала

было бы самой удобной и непосредственной формой решения таких задач и не нужны были бы ни уравнение Лапласа, ни уравнение Пуассона. Однако в действительности в целом ряде, если не в большинстве, задач электростатики мы имеем дело с конечными областями пространства (содержащими или не содержащими заряд), на граничных поверхностях которых заданы определенные граничные («краевые») условия.

Эти граничные условия могут быть заменены некоторым соответственно подобранным распределением зарядов вне рассматриваемой области (в частности, в бесконечности), однако приведенное выше соотношение в этом случае уже непригодно для расчета потенциала, за исключением некоторых частных случаев (например, в методе изображений).

Для рассмотрения задач с граничными условиями необходимо расширить используемый нами математический аппарат, а именно вывести так называемые формулы, или теоремы Грина (1824 г.). Они получаются непосредственно из теоремы о дивергенции

которая справедлива для любого векторного поля А, определенного в объёме V, ограниченном замкнутой поверхностью S. Пусть где и — произвольные дважды непрерывнодифференцируемые скалярные функции.

Тогда

И

Где нормальная производная на поверхности S (по направлению внешней нормали по отношению к объёму V). Подставляя (1) и (2) в теорему о дивергенции, мы придем к первой формуле Грина

Напишем такую же формулу, поменяв в ней местами и и вычтем её из (3). Тогда члены с произведением обратятся и мы получим вторую формулу Грина, называемую иначе теоремой Грина:

В физике и математике теорема Грина дает соотношение между линейным интегралом простой ограниченной кривой С и двойным интегралом по плоской поверхности D ограниченной кривой С. И в общем виде записывается следующим образом.

Третье уравнение Грина получается из второго уравнения путем замены и замечания о том, что

в R ³.

Если дважды дифференцируема на U.

если x ∈ Int U, если x ∈ ∂U и плоскость касания только в x.

Формулы Стокса

Формула Стокса устанавливает связь между поверхностным и криволинейным интегралами, а также обобщает формулу Грина а пространственный случай. Т: Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны вместе со своими частными производными на гладкой ориентированной поверхности G, ограниченной гладкой замкнутой кривой L. Тогда

Эта формула называется формулой Стокса.

Если сторона поверхности выбрана, то направление обхода контура L берется положительным, т.е. таким, что при обходе контура по выбранной стороне поверхности:

Из формулы Стокса следует, что если

то криволинейный интеграл по любой пространственной замкнутой кривой L равен нулю:

Как и в случае плоской кривой условия являются необходимыми и достаточными для независимости криволинейного от пути интегрирования. При их выполнении подынтегральное выражение — полный дифференциал некоторой функции

u(x,y,z): Pdx + Qdy + Rdz = du,

 

Заключение

Для того что бы сделать вывод о проделанной работе обратимся к задачам, которые были поставлены в введении.

Итак, примерами векторных полей служат силовое поле (поле тяготения, электрическое и электромагнитное поля) и поле скоростей текущей жидкости. Векторное поле задано, если в каждой точке Р поля указан соответствующий этой точке вектор А(Р).

Дивергенцией, или расходимостью, векторного поля А(Р) в точке Р называется предел отношения потока вектора через поверхность, окружающую точку Р, к объему, ограниченному этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку Р.

Циркуляцией вектора А(Р) вдоль замкнутого контура L называется криволинейный интеграл по этому контуру от скалярного произведения вектора А(Р) на вектор dS касательной к контуру.

По результатам курсовой работы можно сделать вывод, что с помощью векторного анализа можно описать поведение любого поля, в любой точке пространства пользуясь рядом характеристик, таких как, дивергенция, циркуляция , поток , ротор.

Литература

1. М.А. Красносельский, А.И. Перов, А.И. Поволоцкий, П.П. Зайбеко, «Векторные поля на плоскости» М.,Государственное издательство физико-математической литературы 1963 г.

2. Мышкис «Лекции по высшей математике».

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я., «Высшая математика в упражнениях и задачах» М., Выс.школа 1980 г.

4. Красносельский М.А. «Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений.», М.: Гостехиздат, 1956 г.

Об одном классе векторных полей Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2015. T. 19, № 4. С. 680—696 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1382

УДК 517.958:[535+537.812]

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ* Г. Г. Исламов

Удмуртский государственный университет, Россия, 426034, Ижевск, Университетская, l.

Аннотация

Показано, что простой постулат «Поле смещений вакуума есть нормированное электрическое поле» эквивалентен трёхпараметрическому представлению поля смещения вакуума:

u(x; t) = P(x) cos k(x)t + Q(x) sin k(x)t.

Здесь t — время; k(x) — частота колебаний в точке x трёхмерного евклидова пространства; P (x), Q(x) — ортонормированная пара стационарных векторных полей; (k, P, Q) — список параметров смещения. При этом нормировочный коэффициент k2(x) имеет размерность T-2. Он обеспечивает единичную норму смещения u(x; t) при любом t. Скорость поля смещений

du (x ; t )

v(x; t) =-—-— = k(x)(Q(x) cos k(x)t — P (x) sin k(x)t).

dt

Напряжённость электрического поля, отвечающего указанному распределению поля смещения вакуума, даётся формулой

E (x; t) = — t) = k2(x)u(x; t).

При этом магнитная индукция

B(x; t) = rot v(x; t).

Эти конструкции применяются при отыскании локальных и глобальных решений системы уравнений Максвелла, описывающих динамику электромагнитных полей.

Ключевые слова: локальные и глобальные решения системы уравнений Максвелла, спектральная задача для ротора, малые течения поля смещения.

doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1382

© 2015 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования

Исламов Г. Г. Об одном классе векторных полей // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки,, 2015. T. 1Q, № 4. С. 680-696. doi: 10.14498/vsgtu1382. Сведения об авторе

Галимзян Газизович Исламов (д.ф.-м.н., проф.; [email protected]), заведующий кафедрой, каф. высокопроизводительных вычислений и параллельного программирования.

* Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного автором на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа — 1 сентября 2014).

Введение. Аналогия между уравнениями гидродинамики Гельмгольца и уравнениями электродинамики Максвелла отмечалась в разных работах (см., например, [2-4]). Этот важный факт находит явное подтверждение в кинематической таблице физических величин — LT-таблице Брауна [5] и Барти-ни [6]. Эта таблица использовалась рядом авторов (П. Г. Кузнецов, О. Л. Кузнецов, Б. Е. Большаков, А. Е. Петров) при анализе и поиске общих законов природы.

Аналогия разных физических величин, попадающих в одну клетку LmTra кинематической таблицы, где L и T есть соответственно размерности длины и времени, заключается в том, что они имеют одинаковую качественную определённость. При заполнении этой таблицы можно исходить из разных физических формул. Однако во всех LT-таблицах для размерности электрического заряда и массы принята формула Максвелла [q] = [m] = L3T-2. Кроме того, общей оказывается и формула для размерности силы [F] = L4T-4. Из выражения для лоренцевой силы F = q(E+v х B), где E и B есть соответственно напряжённость и индукция электромагнитного поля, а v — скорость движения заряда ([v] = LT-1), находим выражения для размерностей [E] = = LT-2, [B] = T-1.

Длина и время — это две физические величины, для измерения которых созданы наиболее совершенные приборы: лазерный радар и атомные часы. Поэтому можно предположить, что значение кинематической таблицы будет возрастать в процессе дальнейшего научного исследования природы и общества.

1. Поле смещений вакуума. Основу математического исследования составляет трёхпараметрическое поле (смещений вакуума):

«(ж; t) = P(ж) cos k(x)t + Q(x) sin k(x)t.;t)), описывается известными уравнениями Максвелла (1861). Математической

теории этих уравнений посвящено огромное число работ. Мы упомянем лишь одну работу [7]. Исторический аспект возникновения уравнений Максвелла рассматривался разными авторами (см., например, [8-10]). Известные виды симметрии уравнений Максвелла подробно рассмотрены в [11]. Независимость и полнота уравнений Максвелла, а также теоремы единственности в теории электромагнетизма, изучались в работе [12].

Непосредственным применением аппарата векторного исчисления [13] проверяется справедливость следующего утверждения.

Теорема 1. Пусть H есть векторная проекция индукции B(ж; t) на векторное произведение P(ж) xQ(x). В каждой точке ж евклидова пространства тройка векторов (E, H, v) ортогональная. Вектор E вращается в плоскости векторов P(ж) и Q(x) от первого вектора ко второму с частотой k(x).(ж; t) + -ш(ж; t),

вакууме.

div E = 0, div B = 0, rot E = ——, rot B

dt

1 dE

C2 «dP

div P = 0, div Q = 0, rot rot P

Типичная схема решения спектральной задачи для квадрата ротора основана на векторном тождестве

rot rot F = grad div F — AF,

содержащем векторный оператор Лапласа A. В евклидовой системе координат он распадается на тройку скалярных операторов Лапласа, что не имеет места в криволинейных системах координат [18].

Внимательный анализ выписанных выше уравнений показывает, что достаточно решить спектральную задачу для ротора rot F = AF, где в нашем случае A = w/c.

Это известная задача, которой посвящён ряд работ (см. цитирования ниже и приведённую там литературу). Как правило, эту задачу рассматривают в классическом гильбертовом пространстве квадратично-суммируемых в некоторой области Q гладких вектор-функций с определёнными граничными условиями (см., например, [19,20]).

В приложениях обычно область Q ограничена (случай локальных решений уравнений Максвелла). При этом требуют, чтобы векторное поле F(ж) было «приглажено» на границе области Q (см. [21,22]).

В частности, для шара радиуса R с центром в начале координат ненулевое собственное значение спектральной задачи для ротора с условием перпендикулярности поля к нормали границы шара даётся формулой

\ _ pm,n

A =

где pm,n — любой нуль функции Бесселя дробного порядка Jn+i/2(z), m, n ^ 1 (случай n = 0 функции Бесселя, как будет показано ниже, приводит к решениям, сингулярным на полюсах сферы). — pm,n R .

При n = 1 имеем

sin z — z cos z

mz) =-2-.

z2

Нас интересует минимальный положительный нуль этой функции pi,i. Вычисления в системе Mathematica показывают, что pi,i ~ 4.49341.

Применим полученную формулу для частоты электромагнитного поля к шару радиуса протона. Из физического справочника берём радиус протона

R = 8.79 ■ 10-16 м. Скорость света в вакууме c = 299792458 м/с. Отсюда получаем круговую частоту ш = 1.53253 ■ 1024.

Произведём сравнение энергий, вычисленных по двум разным формулам: де Бройля (Йш) и Эйнштейна (mc2).

Произведение приведённой постоянной Планка

h

h = — = 1.o(z) = sin z/z равна единице, тем не менее соответствующая спектральная задача для ротора имеет два линейно независимых решения, правда, сингулярных. Если ограничиться только положительными нулями, то наименьшее значение равно п. Поэтому нас будет интересовать следующая спектральная задача:

п

rot F = — F R

в шаре радиуса R.

Вычислим частоту ш = nc/R электрического поля в шаре R радиуса электрона. Относительно значения последней величины есть множество мнений. Мы же рассчитаем значение R исходя из равенства Йш = mc2, которое мы уже использовали выше. Но в этой формуле теперь возьмём массу покоя электрона m = 9.10938215 ■ 10-31 кг.

Имеем ш = mc2/h. Отсюда находим радиус шара R = nh/(mc) = 1.21316 х х 10-12 м. Видим, что найденное значение на три порядка больше классического радиуса электрона, равного 2.8179402894 ■ 10-15 м. При этом частота колебаний ш = nc/R = 7.76344 ■ 1020, т.е. на четыре порядка ниже частоты колебаний электрического поля для шара радиуса протона.

2. Задача для ротора в криволинейных координатах. Так как трёхмерная область Q, отличная от шара, может иметь свою симметрию, рассмотрим спектральную задачу

rot F = AF

в общей криволинейной системе координат.

Если в области Q введены криволинейные координаты (£1, £2, £з), то радиус-вектор A текущей точки (ж1,ж2,жз) евклидовой системы координат является функцией от криволинейных координат (£ь£2,£з). Через произвольно

взятую точку криволинейной системы координат проходят три координатные поверхности и три координатные линии. В общем случае координатные поверхности и линии будут криволинейными [13].

Предполагается, что система векторов |, §А, НА} линейно независима,

за исключением конечного числа особых точек области О. В этом случае система называется подвижным репером криволинейной системы координат.

Смешанное произведение векторов подвижного репера отлично от нуля. Отсюда следует линейная независимость попарных векторных произведений векторов этой системы. Поэтому подвижному реперу отвечает сопутствующий базис, составленный из попарных векторных произведений векторов этого репера. По каждому такому базису криволинейной системы координат можно разложить произвольно взятый вектор. Иногда бывает удобно разложить скалярное поле или векторное поле не по векторам подвижного репера, а по векторам сопутствующего базиса.

В [13] для градиента скалярного поля Ф(£ъ£2,£3) в терминах скалярного а ■ Ь, векторного а х Ь и смешанного (а, Ь, с) произведений векторов даётся вывод следующих разложений:

grad Ф=

дА дА дА

дФ дА дА дФ дА дА дФ дА дА

дб д^2 д£з д^2 д£з д£з д£1 д£2

Выражение для дивергенции векторного поля ^(£1 , £2,£з) в криволинейных координатах получено в следующей удобной форме:

div ^ =

1

дА дА ЭЛ\

д §£, §£)_ + д м, м) + ^

д£1

д£2

дА дА

д£з

Для ротации этого поля получена формула в виде следующего символического определителя:

гЫ ^ =

1

дА дА ЭА\

дА

Ч1

Щ.А, §А, дА/ образуют ортогональную систему, то обычно её нормируют. Получаемый таким способом новый репер {в0,е0,ез} будет ортонормированным. Предположим, что векторы этого репера образуют правую систему. Тогда будут иметь место следующие соотношения:

в2 х в3 = в0, в0 х в1 = в2, в1 х в2 = в0, (в0, в0, в0) = 1-

Обозначив

¿1 =

дА

¿2 =

дА

, ¿3 =

дА

д£3

1

(эти скалярные величины называются коэффициентами Ламе ортогональной криволинейной системы координат), получим следующее представление подвижного репера через ортонормированный:

дА ,с дА о дА 0 тт—= Ь^, — = Л^, — = дб д^2 д£з

Дифференциальные операции в ортогональной криволинейной системе координат в терминах ортонормированного репера е10, е20, е0 и коэффициентов Ламе принимают компактный вид:

^ 1 дФ 0 1 дФ 0 1 дФ 0

УФ = grad Ф = ——е0 + ——е2 + ——е0,

V-F = div F = 1

hih3h4

д(h3h4F ■ el) + д(h4hiF ■ e?) + d(hih3F ■ e?)

V x F = rot F = 1

дб д^2 д£з

‘ hie? h3e0 h4e3 ‘

д д д

д?2 д?з

hiF ■ el h3F ■ e? h4F ■ e3

Решение F спектральной задачи AF = rot F разложим по ортонормиро-ванному базису:

F = Fie? + F2e? + F3 e?.:

1 / 1 . / пг \ п / пг \ _ п . / пг \ Л

р = ( Г2 я), гё ссЧ я) CCt — гё 8ш1 я) CCt в) ,

п2 I „ 1 / пг \ Л 1 . / пг \

F = — r coH rJ csc sinl ~r) csc 7.

Эти сингулярные решения указаны и в статье [24], при этом автор отмечает, что он находил их в работах 1966 года. Возможно, они приводятся в более ранних публикациях по электромагнетизму.

Для устранения сингулярности введём скалярное произведение с весом (r sin 0)2:

гR гп

(F1, F2) = / F1 ■ F2(rsin6>)2drd6>. Jo Jo

Найденные решения ортогональны относительно этого скалярного произведения и после нормировки дают нам стационарные поля

P = F W(F 1,F1), Q = F 2/7(F 2,F2)

изменяющегося с частотой w = nc/fí = 7.) х ф(ж) = 0. Все условия на функцию частоты к(ж) приводят к простому равенству

V- (ж) = 0,

что в случае отсутствия источников электромагнитного поля означает независимость частоты колебаний электрического поля от рассматриваемой точки ж.

Однако, если применить трёхпараметрическую форму с переменной частотой — (ж) к системе уравнений Максвелла с источниками, то обнаружим линейный по времени рост плотности электрического заряда и плотности тока.

4. Малые течения физического вакуума. Течение физического вакуума описывается уравнением с нестационарным полем скоростей:

dy . .

dt = v(y;t), y(0) =ж.

Характер течения зависит от величины времени наблюдения за процессом.idt0- t + O(h3 + t2).

Введём обозначения для тензоров:

A = Vv(x;Q), D = -(A + AT), S = 2(A — AT)

и векторов:

b = B(x;Q) = rot v(x;Q), f (x) = v(x;Q) + t = v(x;Q) — E(x;Q)t.

Заметим, что D — симметрический тензор скоростей деформаций в точке x, S — кососимметрический тензор с аксиальным вектором индукции магнитного поля в точке x : Sh = |b x h. Так как dy = dh, линеаризованное уравнение относительно приращения h запишется в виде

dh 1

— = Ah + f = Dh + -b x h + f, h(Q) = Q. dt 2

Классическая формула Коши решения этого неоднородного уравнения

h(t) = Г eA(t-s)f (s) ds, J0

где используется матричная экспонента eA(t-s), не позволяет увидеть физический смысл результата.

Поступим следующим образом. Так как тензоры D и S есть функции тензора A, они коммутируют. Значит, матричная экспонента интегрального представления решения расщепляется в произведение матричных экспонент

eA(t-s) = eD(t-s)eS(t-s) = eS(t-s)eD(t-s) _

Имеем

h(t) = Г eS(t-s)g(t, s) ds, g(t, s) = eD(t-s)f (s) = eD(t-s)(v(x; Q) — E(x; Q)s), Jo

где E(x; Q) —вектор электрической напряжённости в точке x в начальный момент времени t = Q.

Пусть D = T(x)diag (vi(x), v2(x), v3(x)}T*(x) — спектральное разложение симметрического тензора. Тогда

g(t, s) = T(x)diag{evi(x)(t-s), eV2(x)(t-s), eV3(x)(t-s)}T*(x)(v(x; Q) — E(x; Q)s).

Отсюда видно влияние тензора скоростей деформаций на процесс интегрирования линеаризованного уравнения, определяющего малые приращения при формировании течения эфира.-з)д = а(Ь, з)Ь х д + в(Ь з)Ь х (Ь х д),

где скалярные функции а(Ь, з) и в(Ь, з) могут быть явно выписаны. Теперь остаётся воспользоваться теоремой о среднем для интеграла

h(t) = Г eS(t-s)g(t,s) ds, Jo

согласно которой для некоторой точки s* = s(t) можем написать выражение для зависимости от времени приращения в выражении для функции y(t) = = ж + h(t), описывающей течение физического вакуума:

h(t) = g(t, s*) + a(t, s*)b x g(t, s*) + в(t, s*)b x (b x g(t, s*)).

5. Нестандартное решение системы уравнений Максвелла. Примеры решений уравнений Максвелла без источников, отличные от найденных Максвеллом плоских волн, широко известны [24-26].

Здесь мы дополним этот список. Для этого рассмотрим «вырожденную форму» трёхпараметрического представления, когда Q(x) = iP(ж).

вещественна, чего не скажешь относительно компонент постоянного вектора G.

Таким образом, существует электрическое поле, которое удовлетворяет системе уравнений Максвелла без источников и «заряжается» и «разряжается» по экспоненциальному закону с любой скоростью

Заключение. Система уравнений Максвелла без источников нуждается в дальнейшем изучении. Новые локальные и глобальные решения этой системы открывают путь к изучению электромагнитного строения физического вакуума и элементарных частиц.

ORCID

Галимзян Газизович Исламов: http://orcid.org/0000-0002-7004-0177

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Исламов Г. Г. Об одном классе векторных полей / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович; д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2014. С. 187.

2. Poincaré H. Théorie des tourbillons. Leçons professés pendant le 2e semestre 1891-92, rédigés par Lamotte: [Réproduction en fac-similé, 1893]. Sceaux: J. Gabay, 1990. 221 pp. (на французском), NUMM-29068.

3. Жилин П. А. Реальность и механика/ Актуальные проблемы механики. Т. 1. СПб.: ИПМаш РАН, 2006. С. 54-90, http://teormeh.spbstu.ru/Zhilin_New/pdf/Zhilin_ Reality_rus.pdf; Труды XXIII летней школы «Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем». СПб., 1996. С. 6-49.

4. Козлов В. В. Общая теория вихрей. М., Ижевск: Инст. комп. иссл., 2013. 324 с.

5. Brown G. B. A new treatment of thé theory of dimensions // Proc. Phys. Soc., 1941. vol. 53, no. 4. pp. 418-432. doi: 10.1088/0959-5309/53/4/307.

6. ди Бартини Р. О. Некоторые соотношения между физическими константами // ДАН СССР, 1965. Т. 163, №4. С. 861-864.

7. Kirsch A., Hettlich F. The Mathematical Theory of Time-Harmonic Maxwell’s Equations/ Applied Mathematical Sciences. vol. 190. New York: Springer, 2015, xiii+337 pp. doi: 10. 1007/978-3-319-11086-8.

8. Шапиро И. С. К истории открытия уравнений Максвелла // Успехи физических наук, 1972. Т. 108, №2. С. 319-333. doi: 10.3367/UFNr.0108.197210f.0319.

9. Левин М. Л., Миллер М. А. Максвелловский «Трактат об электричестве и магнетизме» // УФН, 1981. Т. 135, №3. С. 425-440. doi: 10.3367/UFNr.0135.198111d.0425.

10. Capria M. M., Manini M.-G. On the relativistiç unification of electricity and magnetism, 2011. 47 pp., arXiv: : 1111.7126 [physics.hist-ph]

11. Фущич В. И., Никитин А. Г. О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака// Физика элементарных частиц и атомного ядра, 1983. Т. 14, №1. С. 5-57, http://www1.jinr.ru/Archive/Pepan/1983-v14/v-14-1/1.htm.

12. Zhou X. L. On independence, completeness of Maxwell’s equations and uniqueness theorems in electromagnetics// PIER, 2006. vol.64. pp. 117-134. doi: 10.2528/pier06061302.

13. Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука, 1975. 336 с.

14. Chorin A. J., Marsden J. E. A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics/ Universitext. New York: Springer-Verlag, 1979. vii+205 pp.. doi: 10.1007/978-1-4684-0082-3.

15. Боголюбов А. Н., Левашова Н. Т.,Могилевский И. Е., Мухартова Ю. В., Шапкина Н. Е. Функция Грина оператора Лапласа. М.: МГУ, Физический факультет, 2012. 130 с., http://math.phys.msu.ru/data/51/10_Func_Grina_WEB.pdf.

16. Мешков И. Н., Чириков Б. В. Электромагнитное поле. Ч. 1. Электричество и магнетизм. М., Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2013. 544 с.

17. Tomilin A. K. The potential-vortex theory of electromagnetic waves // JEMAA, 2013. vol. 5, no. 9. pp. 347-353. doi: 10.4236/jemaa.2013.59055.

18. Matute E. A. On the vector solutions of Maxwell equations in spherical coordinate systems // Rev. Mex. Fis. E, 2005. vol.51, no. 1. pp. 31-36, arXiv: physics/0512261 [physics.class-ph].

19. Филонов Н. Спектральный анализ самосопряженного оператора rot в области конечной меры // Алгебра и анализ, 1999. Т. 11, №6. С. 178-190.

20. Сакс Р. С. Решение спектральной задачи для оператора ротор и оператора Стокса с периодическими краевыми условиями / Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 36/ Зап. научн. сем. ПОМИ, Т. 318. СПб.: ПОМИ, 2004. С. 246-276.

21. Cantarella J., DeTurck D., Gluck H., Teytel M. The spectrum of the curl operator on spherically symmetric domains// Phys. plasmas, 2000. vol. 7, no. 7. pp. 2766-2775. doi: 10. 1063/1.874127.

22. Ghrist R., Komendarczyk R. Overtwisted energy-minimizing curl eigenfields // Nonlinearity, 2006. vol.19, no. 1. pp. 41-51, arXiv: math/0411319 [math.SG]. doi: 10.1088/0951-7715/ 19/1/003.

23. Сакс Р. С. Собственные функции операторов ротора, градиента дивергенции и Стокса. Приложения// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. №2(31). С. 131-146. doi: 10.14498/vsgtu1166.

24. McDonald K. T. Force-Free Magnetic Fields aka Eigenfunctions of the Curl Operator, 2011. 11 pp., http://www.hep.princeton.edu/~mcdonald/examples/forcefree.pdf

25. Chubykalo A. E. Espinoza A. Unusual formations of the free electromagnetic field in vacuum// J. Pys. A: Math. Gen., 2002. vol.35, no. 38. pp. 8043-8053, arXiv: physics/0503193 [physics.gen-ph]. doi: 10.1088/0305-4470/35/38/307.

26. Arrayas M., Trueba J. L. A class of non-null toroidal electromagnetic fields and its relation to the model of electromagnetic knots// J. Phys. A: Math. Theor., 2015. vol.48, no. 2, 025203, arXiv: 1106.1122 [hep-th]. doi: 10.1088/1751-8113/48/2/025203.

Поступила в редакцию 19/XII/2014; в окончательном варианте — 19/II/2015; принята в печать — 08/IV/2015.

Vestn. Samar. Gos. Techn. Un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki

[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 4, pp. 680-696

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) MSC: 78A25, 83C50

ON A CLASS OF VECTOR FIELDS* G. G. Islamov

doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1382

Udmurt State University,

1, Universitetskaya str., Izhevsk, 426034, Russian Federation.

Abstract

It is shown that a simple postulate «The displacement field of the vacuum is a normalized electric field», is equivalent to three parametric representation of the displacement field of the vacuum:

u(x; t) = P(x) cos k(x)t + Q(x) sin k(x)t.

Here t — time; k(x) — frequency vibrations at the point of three-dimensional Euclidean space; P(x), Q(x) — a pair of stationary orthonormal vector fields; (k, P, Q) — parameter list of the displacement field. In this case, the normalization factor has dimension T-2. The speed of the displacement field

du(x’t)

v(x; t) =-—-— = k(x)(Q(x) cosk(x)t — P(x) sink(x)t).

dt

The electric field corresponding to this distribution of the displacement field of vacuum, is given by the formula

E (x; t) = — dv(x; t) = k2(x)u(x; t).

© 2015 Samara State Technical University. Please cite this article in press as:

Islamov G. G. On a class of vector fields, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 4, pp. 680-696. doi: 10.14498/vsgtu1382. (In Russian) Author Details:

Galimzian G. Islamov (Dr. Phis. & Math. Sci.; [email protected]), Head of Department, Dept. of HPC & Parallel programming.

*This paper is an extended version of the paper [1], presented at the Mathematical Physics and Its Applications 2014 Conference.

Moreover, the magnetic induction

B(x; t) = rot v(x; t).

These constructions are used in the determination of local and global solutions of Maxwell’s equations describing the dynamics of electromagnetic fields.

Keywords: local and global solutions of Maxwell’s equations, spectral problem for rotor operator, the small flow of the displacement field. doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1382

ORCID

Galimzian G. Islamov: http://orcid.org/0000-0002-7004-0177

REFERENCES

1. Islamov G. G. On a class of vector fields, The 4nd International Conference «Mathematical Physics and its Applications», Book of Abstracts and Conference Materials; eds. I. V. Volovich; V. P. Radchenko. Samara, Samara State Technical Univ., 2014, pp. 187 (In Russian).

2. Poincare H. Théorie des tourbillons. Leçons professés pendant le 2e semestre 1891-92, rédigés par Lamotte, [Reproduction en fac-simile, 1893]. Sceaux, J. Gabay, 1990, 221 pp. (In French), NUMM-29068.

3. Zhilin P. A. Reality and Mechanics, Analysis and Synthesis of Nonlinear Mechanical Systems, Proc. of XXIII school-seminar. St. Petersburg, 1996, pp. 6-49 (In Russian).

4. Kozlov V. V. Dynamical Systems X. General Theory of Vortices, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 67. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 2003, viii+184 pp. doi:10.1007/978-3-662-06800-7.

5. Brown G. B. A new treatment of the theory of dimensions, Proc. Phys. Soc., 1941, vol. 53, no. 4, pp. 418-432. doi: 10.1088/0959-5309/53/4/307.

6. di Bartini R. O. Some relations between physical constants, Doklady Acad. Nauk USSR, 1965, vol. 163, no. 4, pp. 861-864 (In Russian).

7. Kirsch A., Hettlich F. The Mathematical Theory of Time-Harmonic Maxwell’s Equations, Applied Mathematical Sciences, vol. 190. New York, Springer, 2015, xiii+337 pp. doi: 10. 1007/978-3-319-11086-8.

8. Shapiro I. S. On the history of the discovery of the Maxwell equations, Sov. Phys. Usp., 1973, vol.15, no. 5, pp. 651-659. doi: 10.1070/PU1973v015n05ABEH005038.

9. Levin M. L., Miller M. A. Maxwell’s ‘Treatise on Electricity and Magnetism’, Sov. Phys. Usp., 1981, vol.24, no. 12, pp. 904-913. doi: 10.1070/PU1981v024n11ABEH004793.

10. Capria M. M., Manini M.-G. On the relativistic unification of electricity and magnetism, 2011, 47 pp., arXiv: : 1111.7126 [physics.hist-ph]

11. Fushchich V. I., Nikitin A. G. On new and old symmetries of the Maxwell and Dirac equations, Phys. Part. Nuclei, 1983, vol. 14, no. 1, pp. 1-22.

12. Zhou X. L. On independence, completness of Maxwell’s equations and uniqueness theorems in electromagnetics, PIER, 2006, vol.64, pp. 117-134. doi: 10.2528/pier06061302.

13. Laptev G. F. Elementy vektornogo ischisleniia [Elements of vector calculus]. Moscow, Nauka, 1975, 336 pp. (In Russian)

14. Chorin A. J., Marsden J. E. A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics, Universitext. New York, Springer-Verlag, 1979, vii+205 pp.. doi: 10.1007/978-1-4684-0082-3.

15. Bogolyubov A. N., Levashova N. T.,Mogilevskiy I. E., Mukhartova Iu. V., Shapkina N. E. Funktsiia Grina operatora Laplasa [The Green function of the Laplace operator]. Moscow, Moscow State Univ., Phys. Faculty, 2012, 130 http://math.phys.msu.ru/data/51/10_ Func_Grina_WEB.pdf pp. (In Russian)

16. Meshkov I. N., Chirikov B. V. Elektromagnitnoe pole. Ch. 1. Elektrichestvo i magnetizm [Electromagnetic field. Part 1. Electricity and Magnetism]. Moscow, Izhevsk, Reguliarnaia i khaoticheskaia dinamika, 2013, 544 pp. (In Russian)

17. Tomilin A. K. The potential-vortex theory of electromagnetic waves, JEMAA, 2013, vol. 5, no. 9, pp. 347-353. doi: 10.4236/jemaa.2013.59055.

18. Matute E. A. On the vector solutions of Maxwell equations in spherical coordinate systems, Rev. Mex. Fis. E, 2005, vol.51, no. 1, pp. 31-36, arXiv: physics/0512261 [physics.class-ph].

19. Filonov N. Spectral analysis of the selfadjoint operator rot in a domain of finite measure, St. Petersburg Math. J., 2000, vol.11, no. 6, pp. 1085-1095.

20. Saks R. S. Solution of the spectral problem for the curl and Stokes operators with periodic boundary conditions, J. Math. Sci. (N. Y.), 2006, vol.136, no. 2, pp. 3794-3811. doi: 10. 1007/s10958-006-0201-z.

21. Cantarella J., DeTurck D., Gluck H., Teytel M. The spectrum of the curl operator on spherically symmetric domains, Phys. plasmas, 2000, vol.7, no. 7, pp. 2766-2775. doi: 10. 1063/1.874127.

22. Ghrist R., Komendarczyk R. Overtwisted energy-minimizing curl eigenfields, Nonlinearity, 2006, vol.19, no. 1, pp. 41-51, arXiv: math/0411319 [math.SG]. doi: 10.1088/0951-7715/ 19/1/003.

23. Saks R. S. The eigenfunctions of curl, gradient of divergence and Stokes operators. Applications, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2013, vol. 2(31), pp. 131-146 (In Russian). doi: 10.14498/ vsgtu1166.

24. McDonald K. T. Force-Free Magnetic Fields aka Eigenfunctions of the Curl Operator, 2011, 11 pp., http://www.hep.princeton.edu/~mcdonald/examples/forcefree.pdf

25. Chubykalo A. E. Espinoza A. Unusual formations of the free electromagnetic field in vacuum, J. Pys. A: Math. Gen., 2002, vol. 35, no. 38, pp. 8043-8053, arXiv: physics/0503193 [physics.gen-ph]. doi: 10.1088/0305-4470/35/38/307.

26. Arrayas M., Trueba J. L. A class of non-null toroidal electromagnetic fields and its relation to the model of electromagnetic knots, J. Phys. A: Math. Theor., 2015, vol. 48, no. 2, 025203, arXiv: 1106.1122 [hep-th]. doi: 10.1088/1751-8113/48/2/025203.

Received 19/XII/2014;

received in revised form 19/II/2015;

accepted 08/IV/2015.

Задачи по физике и математике с решениями и ответами

Задача по физике — 8112

В центрифуге с ротором радиусом $a$, равным 0,5 м, при температуре $T = 300 К$ находится в газообразном состоянии вещество с относительной молекулярной массой $M_{г} = 10^{3}$.{3}$. Определить число $N$ молекул в этом объеме, обладающих скоростями, меньшими некоторого значения $v_{max} = 1 м/с$. Подробнее

Задача по физике — 8123

Считая функцию распределения молекул по энергиям известной, вывести формулу, определяющую долю $w$ молекул, энергия $E$ которых много больше энергии теплового движения молекул. Подробнее

Задача по физике — 8124

Определить относительное число $w$ молекул идеального газа, кинетические энергии которых заключены в пределах от нуля до значения, равного $0,01 E_{в}$ ($E_{в}$ — наиболее вероятное значение кинетической энергии молекул). Подробнее

Задача по физике — 8125

Найти число $N$ всех соударений, которые происходят в течение $t = 1 с$ между всеми молекулами водорода, занимающего при нормальных условиях объем $V = 1 мм^{3}$.{2}$. Подробнее

Из ДНК собрали наноразмерный вращающийся ротор

Треугольные структуры ДНК–оригами под сканирующим зондовым микроскопом.

Ilko Bald / University Potsdam

Немецкие биохимики создали пассивно вращающийся ротор из самособирающихся фрагментов ДНК. В будущем такой механизм может стать деталью сложных и функциональных наномашин. Рассказ о работе публикует журнал Science Advances.

Современные технологии синтеза молекул ДНК и манипуляции ими – область, которую иногда называют «ДНК–оригами» – позволяет ученым делать первые шаги по конструированию молекулярных «машин». Физики Мюнхенского технического университета собрали и продемонстрировали в действии один из компонентов таких систем – «наноротор». Устройство вдохновлено строением белковых роторов живых клеток – бактериального жгутика и АТФ-синтетазы, которые также вращаются во время работы.

Вращающееся тело – собственно, ротор – этого механизма состоит из 54 двойных спиралей ДНК длиной 94 нуклеотидных основания (около 32 нм), уложенных в полую шестигранную структуру. Статор, внутри которого происходит вращение, представляет собой полую структуру большего диаметра (22 нм), состоящую из 62 спиралей длиной 115 нуклеотидов.

Ketterer P., et al., 2016

Отдельные спирали ДНК на внутренней поверхности статора и на внешней поверхности ротора заканчиваются одноцепочечными «липкими концами». Они несут комплементарные друг другу основания (15 нуклеотидов) и легко сцепляются друг с другом, фиксируя положение ротора после каждого шага вращения. Из неподвижного цилиндра ротор выходит изогнутым коленчатым рычагом, по его бокам к торцу цилиндра присоединена пара двойных шестигранных цилиндров длиной около 38 нанометров. Они служат своего рода «защелками», блокирующими ротор внутри цилиндра при самосборке.

Успешность сборки своего механизма авторы подтвердили с помощью туннельной электронной микроскопии. В отличие от белковой АТФазы, этот ротор оказался способен к устойчивому пассивному вращению под действием броуновских сил, при этом отклонение его оси по вертикали не превысило 7°, по горизонтали – 14°.

«Биологические макромолекулярные машины могут выполнять сложнейшие задачи, включая транспорт и катализ, – пишут авторы. – Сегодня трудно представить, что человечество когда–нибудь получит синтетические наномашины, способные демонстрировать такую функциональность». Это трудно, но уже не невозможно – и появление «наноротора» из ДНК делает такую перспективу чуть ближе к реальности.

Роман Фишман

Гравитрон

В парке развлечений есть аттракцион «Гравитрон» или «Ротор», который по сути представляет собой большой цилиндр. Вы садитесь, прислоняетесь к стене, и она начинает вращаться. Когда он вращается достаточно быстро, пол отваливается. Вы не падаете, потому что вас приковывает к стене какая-то загадочная сила. Как это работает?

Как обычно, построить диаграмму свободного тела. Интерфейс вертикальный, поэтому нормальная сила горизонтальна, перпендикулярна границе раздела.Сила, удерживающая вас от скольжения по стене, — это статическая сила трения. Он должен указывать вверх, уравновешивая силу тяжести, направленную вниз.

Моделирование показывает, что происходит при постепенном замедлении угловой скорости системы. Красная линия на графике представляет максимальное значение силы трения. Черная линия — это значение в мг. Обратите внимание, что когда объект упал на пол, направленная вверх сила является нормальной силой, а не силой трения.

Соответствующая система координат имеет + y вверх и + x к центру.Суммирование сил в направлении оси y, где нет ускорения, дает:

f s = мг

Единственная сила в направлении x — нормаль. Применение второго закона Ньютона говорит нам:

S F x = мА x =
м v 2
r
N =
м v 2
r
= мВт 2 r

Трение должно уравновешивать силу тяжести.Однако максимально возможное значение силы статического трения составляет:

f с макс = м с Н

В этой ситуации имеем:

f с макс. = м с мВт 2 r

Если скорость вращения высокая, беспокоиться не о чем. Однако, если скорость уменьшается, максимальная сила статического трения уменьшается. Если она упадет ниже мг, человек на стене начнет скатываться вниз.

Это происходит при угловой скорости, определяемой по формуле:

Вт 2 =
г
м с г

И последнее замечание: симуляция показывает восходящую силу трения, действующую на массу после того, как она соскользнула по стене и остановилась внизу.Есть восходящая сила, но это нормальная сила.

ньютоновских механиков — Coaxial Rotor Helicopters

Вместо вида сбоку, представленного на ваших фотографиях, подумайте о методе работы лопастей в полном цикле, сверху вертолета. Для подъемной части круга вращения, продвигающейся половины, роторы смещены на 180 градусов, так что, когда, скажем, верхний ротор выталкивает воздух вниз, нижняя лопасть находится в фазе возврата.При правильной настройке шага автомобиль будет двигаться как по горизонтали, так и по вертикали. Затем, когда верхняя лопасть поворачивается в фазу отхода, производя меньшую подъемную силу, нижняя лопасть берет на себя подъемную силу. Таким образом, не совпадая по фазе, подъем, шаг и коллективный контроль могут производиться на постоянной основе.

Коаксиальные роторы, очевидно, устраняют необходимость в рулевом винте. Вращательные изменения, также называемые рысканием, достигаются путем создания противоположно направленных шагов с небольшой разницей по величине между каждым ротором, таким образом достигается общее изменение крутящего момента, позволяя транспортному средству вращаться в желаемом направлении.

Источник изображения: Майк Леманн, Майк Швейцария 22:11, 20 июля 2006 г. (UTC) — собственная работа, CC BY-SA 3.0, Коаксиальная передача KamowK32A и лезвия

Но цена, заплаченная за сложность, вес и надежность, особенно за двигатели (что всегда является проблемой даже для обычных вертолетов с одним несущим винтом) и коробки передач, может намного превзойти преимущества. Просто посмотрите на сложность переключения передач на картинке выше.

Суть всей этой сложности .

Сегодняшним пилотам военных вертолетов часто требуется летать как можно ниже (прижимаясь к земле), среди деревьев и силовых кабелей, как для визуального прикрытия, так и для уклонения от радаров. Достижение максимальной маневренности за счет удаления потенциально смертоносного хвостового винта (что также улучшает характеристики пилота, поскольку ему не нужно постоянно отслеживать, где именно расположен хвостовой винт), дает реальное преимущество в войне.

В целом, такая установка обеспечивает повышенную маневренность, но эти вертолеты никогда не вызывали такого военного энтузиазма, как более дешевые, более надежные «обычные» вертолеты, которые производятся в больших количествах.

Ту-142 Медведь со сдвоенными винтами на каждой турбине.

Вычислительный анализ и физика обтекания ротора на ребре полета

В этом исследовании изучаются характеристики ротора в воздуховоде в условиях зависания и полета на ребро. Поток над Трехмерная модель проточного ротора была смоделирована с использованием RANS-модели Спаларта-Аллмараса, реализованной в стабилизированный метод конечных элементов. Скользящая сетка использовалась для удобного учета крупномасштабного движения. связанные с оборотами ротора.Результаты моделирования были проанализированы для понимания физики потока и количественной оценки вклад ротора и различных участков внутренних поверхностей воздуховода в общие аэродинамические силы (тяга, сопротивление и боковая сила) и моменты (качка и качение). В полете по бокам набегающий поток отделяется от передней части вход канала, вызывающий область рециркуляции потока и восходящую промывку в плоскости ротора. Область восходящей струи смещает ротор тяга производства к передней части диска. Скорость закрутки дополнительно смещает область отрыва потока над входом. и промойте вверх перед ротором по направлению к отступающей стороне диска.Сдвиг выработки тяги на роторе и канал, направленный вперед, создает сильный момент тангажа носовой части на канальном роторе. Задняя часть диффузора значительный вклад в общее сопротивление, эта сила включает момент тангажа вниз, который частично сводит на нет момент от входа в воздуховод. Ротор является основным источником вертикальных вибрационных сил, а также качки. и моменты качения. Небольшой зазор между вершиной ротора вызывает локальное взаимодействие между вершиной лопасти и каналом, которое является основным фактором, влияющим на плоскостные вибрационные силы, действующие на ротор в обтекателе.

Номер ссылки

Мизоровски, Ганди, Ф., и Обераи, А., «Вычислительный анализ и физика потока в канальном роторе в полете на ребро». , «

Труды 73-го ежегодного форума Американского вертолетного общества, Форт-Уэрт, Техас, 9–11 мая 2017 г.

Физика полета дронов

У меня есть дрон. Может быть, ты тоже. Я использую свой, чтобы снимать простые видео и раздражать свою собаку. В наши дни дроны довольно популярны, и вы можете получить хороший, не тратя слишком много денег.О, я говорю о дистанционно управляемых летательных аппаратах с четырьмя роторами, а не о более крупных дронах, которые ученые используют для изучения изменения климата и прочего. Это стоит больших денег.

Маленькими дронами, такими как мой, легко летать — опытный пилот может парить и летать практически в любом направлении, что делает их идеальными для записи видео. Но как на самом деле летает дрон? Ах, это отличная возможность взглянуть на физику.

Vertical Motion

Дроны используют роторы для движения и управления.Вы можете представить ротор как вентилятор, потому что они работают примерно так же. Вращающиеся лезвия выталкивают воздух вниз. Конечно, все силы действуют парами, что означает, что когда ротор толкает воздух вниз, воздух толкает ротор вверх. Это основная идея подъемной силы, которая сводится к контролю восходящей и нисходящей силы. Чем быстрее вращаются роторы, тем больше подъемная сила, и наоборот.

Теперь дрон может делать три вещи в вертикальной плоскости: зависать, подниматься и опускаться. Для зависания чистая тяга четырех роторов, толкающих дрон вверх, должна быть равна силе гравитации, тянущей его вниз.Легкий. Так что насчет подъема, который пилоты называют восхождением? Просто увеличьте тягу (скорость) четырех роторов так, чтобы была ненулевая восходящая сила, превышающая вес. После этого вы можете немного уменьшить тягу, но теперь на дрон действуют три силы: вес, тяга и сопротивление воздуха. Таким образом, вам все равно нужно, чтобы двигатели были больше, чем просто для зависания.

Для спуска необходимо сделать прямо противоположное: просто уменьшите тягу (скорость) ротора, чтобы результирующая сила была направлена ​​вниз.

Поворот (вращение)

Допустим, у вас есть парящий дрон, направленный на север, и вы хотите повернуть его лицом на восток. Как этого добиться, изменив мощность четырех роторов? Прежде чем ответить, я нарисую схему роторов (вид сверху), помеченных с 1 по 4.

В этой конфигурации красные роторы вращаются против часовой стрелки, а зеленые вращаются по часовой стрелке. Когда два набора роторов вращаются в противоположных направлениях, общий угловой момент равен нулю.Угловой момент очень похож на линейный момент, и вы вычисляете его, умножая угловую скорость на момент инерции. Ждать. Какой момент инерции? Он похож на массу, за исключением того, что имеет дело с вращением. Да, это довольно сложно, но все, что вам нужно знать, это то, что угловой момент зависит от того, насколько быстро вращаются роторы.

Если в системе нет крутящего момента (система здесь — дрон), то общий угловой момент должен оставаться постоянным (в данном случае равным нулю).Чтобы упростить понимание, я скажу, что красные роторы против часовой стрелки имеют положительный угловой момент, а зеленые роторы, вращающиеся по часовой стрелке, имеют отрицательный угловой момент. Я присвою каждому ротору значение +2, +2, -2, -2, что в сумме дает ноль (я остановил единицы измерения).

Допустим, вы хотите повернуть дрон вправо. Предположим, я уменьшил угловую скорость ротора 1 так, чтобы теперь он имел угловой момент -1 вместо -2. Если бы ничего другого не произошло, полный угловой момент дрона был бы +1.Конечно, этого не может быть. Таким образом, дрон вращается по часовой стрелке, так что его тело имеет угловой момент -1. Бум. Вращение.

Как работают коаксиальные вертолеты?

Коаксиальный ротор устраняет необходимость в хвостовом винте и создает более безопасную и стабильную машину.

Чтобы понять, насколько конструкция с двумя соосными несущими винтами намного превосходит другие вертолеты, мы должны изучить физику в действии.

Физика вертолетов

Для одновинтовых вертолетов отрыв осуществляется за счет вращения несущего винта.Это вращение создает крутящий момент вокруг основного вертолета, который заставляет основной фюзеляж вращаться в противоположном направлении. Ранние инженеры проектировали хвостовой винт, чтобы противодействовать этому крутящему моменту и поддерживать устойчивость вертолета. Хвостовые роторы обычно представляют собой роторы гораздо меньшего размера, установленные на оси, перпендикулярной основному ротору. Управляя скоростью рулевого винта, пилот может стабилизировать аппарат, а также управлять направлением вертолета.

Замедление хвостового винта может вызвать вращение корпуса вертолета в направлении, противоположном главному винту, из-за избыточного крутящего момента в этом направлении.Ускорение хвостового винта приведет к обратному. Помимо направления, пилоты вертолетов могут управлять рысканием аппарата, регулируя угол поворота рулевого винта. Слегка наклоняя хвостовой винт вверх или вниз, пилот создает через вертолет плечо момента, которое, в свою очередь, регулирует рыскание аппарата.

Почему коаксиальная конструкция намного лучше

Теперь, когда мы понимаем основную механику одновинтовых вертолетов, мы можем начать понимать, почему соосные роторы могут иметь некоторые преимущества.Поместив два винта на одну ось и вращая их в противоположных направлениях, вокруг основного корпуса вертолета создается нулевой крутящий момент, что делает его очень устойчивым. С помощью как механических, так и электронных средств каждый ротор точно синхронизируется и управляется для компенсации чистого крутящего момента другого ротора в реальном времени. Это позволяет коаксиальным кораблям достигать довольно значительных возможностей зависания по сравнению с их однороторными собратьями.

Когда вы думаете о вертолетах, вы думаете о вертикальном взлете и способности зависать.Уберите эти аспекты, и вертолет будет работать как самолет. Кстати, вертикальный взлет не является эксклюзивным для винтокрылых машин. Однако самолеты, которые используют возможности без роторов — в основном реактивные самолеты Harrier — выполняют задачу с гораздо меньшей эффективностью и стабильностью.

Способность вертолета зависать и оставаться стабильной является синонимом его качества вертолета. В соосных конструкциях улучшенная способность зависать и поддерживать стабильный полет в конечном итоге делает вертолеты более совершенными.Лучшие вертолеты означают, что ими легче управлять и они намного безопаснее для пассажиров. Теоретически, если в коаксиальной системе сломается один несущий винт, корабль все равно можно будет безопасно приземлить.

Наконец, применение коаксиальных роторов означает, что для корабля нет необходимости иметь гироскоп для обеспечения устойчивости. Вращательные эффекты обоих роторов обеспечивают почти идеальный гироскоп, еще раз улучшая устойчивость корабля.

Так почему же мы не видим больше коаксиальных вертолетов? У них есть свои недостатки.

Проблемы с соосными вертолетами

Первая основная ошибка заключается в том, что синхронизация двух лопастей несущего винта должна быть почти идеальной. Изменения скорости и направления необходимо достигать вместе. Даже малейшая ошибка калибровки существенно снижает устойчивость самолета и делает невозможным его полет. Ошибка калибровки хуже, чем вы думаете, для способности летательного аппарата. Если время выбрано вовремя, соосные вертолеты не смогут создать достаточную подъемную силу, чтобы даже оторваться от земли, и в конечном итоге просто начнут вращаться на асфальте.

СВЯЗАННЫЙ: ПОСЛЕДНИЙ ВОЕННЫЙ ВЕРТОЛЕТ BOEING ПРИНИМАЕТ ПОЛЕТ

Помимо необходимости точной настройки роторов, эти роторы, как правило, не так отзывчивы, как одновинтовые. Когда вы делаете самолет более устойчивым, вам обычно труднее добиться точных движений — это постоянный компромисс в аэрокосмической технике. Хотя соосные вертолеты безопасны и эффективны, они не очень подходят для приложений, где пилотам требуется высокая маневренность.Однако они идеально подходят для приложений, где требуется точное наведение.

Конструкция соосного несущего винта — одна из самых известных на сегодняшний день конструкций вертолетов. Хотя в нем есть свои недостатки; это не уйдет в ближайшее время. Стабильность конструкции популярна среди любителей и даже у многих военных и спасательных вертолетов на сегодняшний день. Если бы вы проектировали вертолет, какую конструкцию вы бы выбрали?

Это самый быстрый ротор, который когда-либо строили люди, и он меняет наши представления о физике

Ученые создали крошечный ротор, который вращается со скоростью до 60 миллиардов оборотов в минуту — самый быстро вращающийся ротор, созданный руками человека в истории, и в 100 000 раз быстрее, чем обычная стоматологическая бормашина.

Рекордное изобретение не только раздвигает границы физики, но также может быть использовано для изучения некоторых загадок квантовой механики и того, как объекты работают в вакууме.

На самом деле мы здесь имеем дело с некоторыми фундаментальными науками, например, с тем, как гравитация и трение работают в вакууме. По словам группы исследователей, теперь, когда наноротор запущен и работает, можно приступить к детальным исследованиям.

«Это исследование имеет множество применений, в том числе материаловедение», — говорит старший научный сотрудник Тонгкан Ли из Университета Пердью в Индиане.«Мы можем изучить экстремальные условия, в которых могут выжить различные материалы».

Суперспиннер состоит из наночастиц диоксида кремния в форме гантели, которые левитируют в вакууме с помощью лазера. Лазер может быть поляризован по прямой или по кругу, и его круговой режим производит вращение.

Когда лазер направлен прямо, гантель вибрирует, а не вращается — это означает, что, следовательно, ее можно использовать для измерения очень слабых сил. Оба режима работы будут полезны для будущих исследований.

Сама наночастица размером примерно с бактериальную частицу, около 170 нанометров в ширину и 320 нанометров в длину, поэтому вы не можете увидеть ее невооруженным глазом. Но вот как выглядит установка:

(фото из Университета Пердью / Винсент Уолтер)

«Люди говорят, что в вакууме нет ничего, но в физике мы знаем, что он не совсем пустой», — говорит Ли.

«Есть много виртуальных частиц, которые могут оставаться на короткое время, а затем исчезать. Мы хотим выяснить, что же там на самом деле происходит, и поэтому мы хотим сделать самые чувствительные торсионные весы.»

Режимы вибрации и вращения. (Фотография Университета Пердью / Tongcang Li)

Одним из преимуществ подвешивания и вращения наночастиц в вакууме, подобного этому, является то, что можно проводить очень точные измерения, не зависящие от стандартных колебаний воздуха. поток и температура.

И эта команда не единственная, кто работает над тем, чтобы наночастицы вращались в вакууме: потенциальные открытия в дальнейшем значительны.

Что касается квантовой механики, она помогает ученым объяснить поведение Вселенной в очень малых и очень больших масштабах — областях, где классическая физическая модель, как мы ее знаем, начинает разрушаться.

Наличие такого крошечного объекта для экспериментов должно дать лучшее понимание того, как строительные блоки материи работают в мельчайших масштабах.

Другими словами, вы, возможно, услышите гораздо больше об этом наноразмерном роторе в будущем.

Исследование было опубликовано в Physical Review Letters .

Обзор физики и моделирования следа ротора: Ingenta Connect

В данной статье представлен обзор разработок в области моделирования следа винтокрылых летательных аппаратов, особенно за последнее десятилетие, с экспериментальной, теоретической и вычислительной точек зрения.Текущее понимание физики следа и ограничений в моделировании следа обобщено и сопоставлено с тенденциями. экспериментальные и численные исследования. Достижения в области визуализации потока и велосиметрии предоставили доказательства, подтверждающие упрощенные модели поведения следа ротора. Стойкость концевых вихрей до долгого возраста, детерминированный феномен сворачивания, приводящий к переходу в дальний след, и увлечение Часть зарождающейся завихренности кончика (TV) во встречно вращающемся внутреннем следе была показана в ходе экспериментов.Достижения в области вычислительной гидродинамики улучшили возможности моделирования ближнего и среднего следа. Гибридные методы, использующие вихревой элемент, перенос завихренности, или методы удержания завихренности потребуются для моделирования долгого возраста (дальнего следа) в ближайшем будущем. Новый эксперимент по зависанию с высокоточными измерениями, которые связывают нагрузку на лопасти, характеристики ротора и характеристики спутного следа, является одним из предложений для упрощения численных корреляция и развитие модели.

Нет доступной справочной информации — войдите в систему для доступа.

Информация о цитировании недоступна — войдите в систему, чтобы получить доступ.

Нет дополнительных данных.

Нет статей СМИ

Без показателей

Тип документа: Исследовательская статья

Филиал: Школа аэрокосмической инженерии Даниэля Гуггенхайма, Технологический институт Джорджии, Атланта, Джорджия

Дата публикации: 1 апреля 2011 г.

Подробнее об этой публикации?
  • The Journal of the AHS — единственный в мире научный журнал, посвященный технологии вертикального полета.Это рецензируемый технический журнал, ежеквартально публикуемый Обществом вертикального полета, в котором представлены инновационные статьи, охватывающие современные достижения во всех дисциплинах проектирования, исследований и разработок вертикального взлета и посадки. (Обратите внимание, что члены VFS получают значительные скидки на статьи и подписки.)

    Подписчики журнала, которые являются членами VFS, входят здесь, если вы еще не вошли в систему.

    Авторы могут найти правила подачи и соответствующую информацию на веб-сайте VFS.

.
Разное

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *