Резонанс в последовательном и параллельном LC контуре. » Хабстаб

Чтобы понять причину возникновения резонанса необходимо разобраться как течёт ток через конденсатор и катушку индуктивности.
При протекании тока через катушку индуктивности напряжение опережает ток. Давайте рассмотрим этот процесс подробнее, когда напряжение на концах катушки максимально, ток через катушку не течет, по мере уменьшения напряжения, ток увеличивается и когда напряжение на концах катушки равно нулю, ток через катушку максимален. Далее, напряжение уменьшается и достигает минимума, ток при этом равен нулю. Из этого можно сделать вывод, что ток через катушку максимален, когда напряжение на её концах равно нулю и ток равен нулю, когда напряжение на её концах максимально. Таким образом, если сопоставить графики изменения напряжения и тока , создаётся впечатление, что напряжение опережает ток на 90 градусов. Это можно увидеть на рисунке ниже.

Совсем противоположно катушке индуктивности ведет себя конденсатор. Когда напряжение на концах конденсатора равно нулю, ток через него максимален, по мере зарядки конденсатора ток через него уменьшается, это связано с тем, что разность потенциалов между конденсатором и источником напряжения уменьшается, а чем меньше разность потенциалов, тем меньше ток. Когда конденсатор полностью заряжен ток через него не течет так, как нет разности потенциалов. Напряжение начинает уменьшаться и становится равно нулю, при этом ток максимален только течет в другом направлении, далее напряжение достигает минимума и ток через конденсатор снова не течет. Делаем вывод, что ток через конденсатор максимальный когда напряжение на его обкладках равно нулю и ток равен нулю когда напряжение на конденсаторе минимально. Если сопоставить графики изменения тока и напряжение, создается впечатление, что ток опережает напряжение на 90 градусов. Это можно увидеть на рисунке ниже.

На резонансной частоте для контура, состоящего из конденсатора и катушки индуктивности, неважно параллельный он или последовательный, их сопротивления равны и сдвиг фаз между напряжением и током равен нулю. Ведь действительно если подумать, то в конденсаторе ток опережает напряжение на 90 градусов, то есть +90 градусов, а в катушке индуктивности ток отстает от напряжения на 90 градусов, то есть -90 градусов и если сложить их получится нуль. Для пары, конденсатор и катушка индуктивности параллельный и последовательный резонанс возникают на одной и той же частоте.

Давайте рассмотрим резонанс в последовательном колебательном контуре.

На верхнем графике изображена зависимость тока от времени, протекающего через контур, ниже два графика это напряжения, на конденсаторе и катушке, самый нижний это сумма напряжений на катушке и конденсаторе. Видно, что суммарное напряжение на конденсаторе и катушке индуктивности равно нулю, также говорят, что сопротивление последовательного колебательного контура на резонансной частоте стремится к нулю.
Давайте соберем простую схему, изображенную на рисунке.

Сопротивление резистора должно быть больше выходного сопротивления генератора, то есть больше 50 Ohm, я взял первый попавшийся.
Расчетная резонансная частота такого контура 270 KHz, но так как номиналы имеют определенный допуск, который обычно указывается в процентах, придется ее подобрать. Подбирать будем исходя из того, что сопротивления катушки индуктивности и конденсатора на резонансной частоте равны, а так как они соединены последовательно, то равны и падения напряжений. Первый канал показывает напряжение на контуре, второй канал напряжение на катушке, канал Math показывает разность между первым и вторым каналом, а по сути напряжение на конденсаторе. Причина по которой, я не подключил щуп осциллографа параллельно конденсатору, будет подробно описана в следующей статье. Если кратко, то есть правило подключать земляной крокодил только к земле, если осциллограф и исследуемая схема питаются от бытовой сети и имеют заземление. Делается это, для того чтобы не спалить исследуемую схему и осциллограф.


На осциллограммах видно, что на резонансной частоте падение напряжения на катушке и конденсаторе равны и противоположны по знаку, а суммарное падение напряжения на контуре стремится к нулю. В последовательном колебательном контуре на резонансной частоте напряжение на катушке и конденсаторе выше чем на генераторе. Давайте увеличим частоту и посмотри что изменится.

Видим, что напряжение на катушке увеличилось потому, что увеличилось её сопротивление, так как оно прямо пропорционально зависит от частоты. Напряжение на конденсаторе уменьшилось потому, что его сопротивление с ростом частоты уменьшается. Теперь уменьшим частоту.

Видим, что напряжение на конденсаторе увеличилось, а на катушке уменьшилось, также надо отметить, что разность фаз между сигналами равна 180 градусам.

Давайте теперь рассмотрим резонанс в параллельном контуре, ситуация аналогичная с последовательным контуром, только в последовательном мы рассматривали напряжения, а в параллельном будем рассматривать токи.

Видим, что токи сдвинуты относительно друг друга на 180 градусов, а их сумма равна нулю, то есть ток через контур не течет, а его сопротивление стремится к бесконечности. Параллельный колебательный контур используют как полосно-заграждающий фильтр, радиолюбители называют его фильтр- пробка. Он не пропускает напряжение частота которого равна его резонансной частоте. Давайте соберем простую схему, изображенную на картинке ниже и посмотрим как будет изменяться напряжение на концах контура в зависимости от частоты.

Так как конденсатор и индуктивность те же, что и в прошлом эксперименте резонансная частота контура та же.

На резонансной частоте сопротивление контура стремится к бесконечности, следовательно и напряжение будет максимально. Давайте уменьшим частоту.

Видим, что напряжение на контуре уменьшилось, произошло это потому, что сопротивление катушки уменьшилось и она зашунтировала конденсатор.
Теперь давайте увеличим частоту.

С ростом частоты сопротивление конденсатора уменьшилось и он зашунтировал катушку.
Пожалуй, это всё, что хотелось рассказать про резонанс.

LC-цепь — LC circuit — qaz.wiki

Электрический «резонаторный» контур, состоящий из индуктивных и емкостных элементов без сопротивления.

Принципиальная схема LC LC-цепь (слева), состоящая из ферритовой катушки и конденсатора, используемая в качестве настроенной цепи в приемнике для радиочасов.

LC — контур , также называемый резонансный контур , контур или колебательный контур , представляет собой электрическую цепь , состоящую из катушки индуктивности , представлено буквой L, а конденсатор , представленный буквой C, соединены вместе. Схема может действовать как электрический резонатор , электрический аналог камертона , накапливая энергию, колеблющуюся на резонансной частоте схемы .

LC-схемы используются либо для генерации сигналов с определенной частотой, либо для выделения сигнала с определенной частотой из более сложного сигнала; эта функция называется полосовым фильтром . Они являются ключевыми компонентами многих электронных устройств, особенно радиооборудования, используемого в таких схемах, как генераторы , фильтры , тюнеры и смесители частот .

LC-схема является идеальной моделью, поскольку предполагает, что не происходит рассеивания энергии из-за сопротивления . Любая практическая реализация LC-цепи всегда будет включать потери из-за небольшого, но ненулевого сопротивления внутри компонентов и соединительных проводов. Целью LC-контура обычно является колебание с минимальным демпфированием , поэтому сопротивление должно быть как можно более низким. Хотя ни одна практическая схема не обходится без потерь, тем не менее поучительно изучить эту идеальную форму схемы, чтобы получить понимание и физическую интуицию. Для модели схемы, включающей сопротивление, см. Схему RLC .

Терминология

Описанная выше двухэлементная LC-цепь представляет собой простейший тип индукционно-конденсаторной сети (или LC -цепи ). Его также называют LC-цепью второго порядка, чтобы отличить ее от более сложных (более высокого порядка) LC- цепей с большим количеством катушек индуктивности и конденсаторов.

Такие LC-сети с более чем двумя реактивными сопротивлениями могут иметь более одной резонансной частоты .

Порядок сети — это порядок рациональной функции, описывающей сеть, в переменной комплексной частоты s . Как правило, порядок равен количеству элементов L и C в схеме и в любом случае не может превышать это количество.

Операция

Анимированная диаграмма, показывающая работу настроенной цепи (LC-цепи). Конденсатор C накапливает энергию в своем электрическом поле E, а индуктор L накапливает энергию в своем магнитном поле B ( зеленый ) . Анимация показывает схему в прогрессивных точках колебания. Колебания замедляются; в реальной настроенной схеме заряд может колебаться от тысячи до миллиардов раз в секунду.

LC-контур, колеблющийся на своей собственной резонансной частоте , может накапливать электрическую энергию . Смотрите анимацию. Конденсатор накапливает энергию в электрическом поле ( E ) между пластинами, в зависимости от напряжения на нем, а индуктор накапливает энергию в своем магнитном поле ( B ) в зависимости от протекающего через него тока .

Если катушка индуктивности подключена к заряженному конденсатору, напряжение на конденсаторе будет пропускать ток через катушку индуктивности, создавая вокруг нее магнитное поле. Напряжение на конденсаторе падает до нуля, поскольку заряд расходуется текущим током. В этот момент энергия, запасенная в магнитном поле катушки, индуцирует напряжение на катушке, потому что индукторы противодействуют изменениям тока. Это индуцированное напряжение заставляет ток начать перезаряжать конденсатор с напряжением, противоположным полярности его первоначального заряда. В связи с законом Фарадея , то ЭДС , который приводит в действие тока обусловлено уменьшением в магнитном поле, таким образом , энергия , необходимая для зарядки конденсатора извлекается из магнитного поля. Когда магнитное поле полностью рассеивается, ток прекращается, и заряд снова сохраняется в конденсаторе с противоположной полярностью, как и раньше. Затем цикл начнется снова, и ток будет течь в обратном направлении через индуктор.

Заряд течет вперед и назад между пластинами конденсатора через катушку индуктивности. Энергия колеблется между конденсатором и катушкой индуктивности до тех пор, пока (если не пополняется из внешней цепи) внутреннее сопротивление не заставит колебания затухнуть. Действие настроенной схемы, математически известной как гармонический осциллятор , похоже на маятник, раскачивающийся взад и вперед, или плеск воды в баке; по этой причине контур также называют

контуром резервуара . Собственная частота (то есть частота, с которой он будет колебаться, когда он изолирован от любой другой системы, как описано выше) определяется значениями емкости и индуктивности. В большинстве приложений настроенная схема является частью более крупной схемы, которая передает в нее переменный ток , вызывая непрерывные колебания. Если частота приложенного тока является собственной резонансной частотой схемы ( собственная частота ниже), произойдет резонанс , и небольшой управляющий ток может возбудить колебательные напряжения и токи большой амплитуды. В типичных настроенных схемах электронного оборудования колебания происходят очень быстро, от тысяч до миллиардов раз в секунду. ж 0 {\ displaystyle f_ {0} \,}

Резонансный эффект

Резонанс возникает, когда LC-цепь возбуждается от внешнего источника с угловой частотой ω _0, при которой индуктивное и емкостное сопротивления равны по величине. Частота, при которой это равенство выполняется для конкретной цепи, называется резонансной частотой. Резонансная частота контура LC является

ω 0 знак равно 1 L C , {\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}},}

где L — индуктивность в генри , а C — емкость в фарадах . Угловая частота ω ₀ имеет единицы радиан в секунду.

Эквивалентная частота в герцах равна

ж 0 знак равно ω 0 2 π знак равно 1 2 π L C . {\ displaystyle f_ {0} = {\ frac {\ omega _ {0}} {2 \ pi}} = {\ frac {1} {2 \ pi {\ sqrt {LC}}}}. }

Приложения

Резонансный эффект LC-контура имеет множество важных применений в системах обработки сигналов и связи.

• Наиболее распространенное применение танковых схем — настройка радиопередатчиков и приемников. Например, при настройке радио на определенную станцию ​​LC-контуры устанавливаются в резонанс для этой конкретной несущей частоты .
• Последовательный резонансный контур обеспечивает увеличение напряжения .
• Параллельный резонансный контур обеспечивает увеличение тока .
• Параллельный резонансный контур может использоваться в качестве сопротивления нагрузки в выходных цепях ВЧ усилителей. Из-за высокого импеданса коэффициент усиления усилителя максимален на резонансной частоте.
• В индукционном нагреве используются как параллельные, так и последовательные резонансные контуры .

LC-схемы действуют как электронные резонаторы , которые являются ключевым компонентом во многих приложениях:

Решение во временной области

Законы Кирхгофа

По закону Кирхгофа напряжение V _C на конденсаторе плюс напряжение V _L на катушке индуктивности должно равняться нулю:

V C + V L знак равно 0. {- j \ phi}.}

Затем мы можем использовать формулу Эйлера для получения действительной синусоиды с амплитудой I ₀ , угловой частотой

ω ₀ = 1 / √ LC , и фазовый угол . ϕ {\ displaystyle \ phi}

Таким образом, полученное решение становится

я ( т ) знак равно я 0 потому что ⁡ ( ω 0 т + ϕ ) , {\ Displaystyle I (T) = I_ {0} \ cos \ left (\ omega _ {0} t + \ phi \ right),}

V ( т ) знак равно L d я d т знак равно — ω 0 L я 0 грех ⁡ ( ω 0 т + ϕ ) . {\ displaystyle V (t) = L {\ frac {\ mathrm {d} I} {\ mathrm {d} t}} = — \ omega _ {0} LI_ {0} \ sin \ left (\ omega _ { 0} t + \ phi \ right).}

Первоначальные условия

Начальные условия, которые удовлетворяют этому результату, следующие:

я ( 0 ) знак равно я 0 потому что ⁡ ϕ , {\ Displaystyle I (0) = I_ {0} \ cos \ phi,}

V ( 0 ) знак равно L d я d т | т знак равно 0 знак равно — ω 0 L я 0 грех ⁡ ϕ . {\ Displaystyle V (0) = L {\ frac {\ mathrm {d} I} {\ mathrm {d} t}} {\ Bigg |} _ {t = 0} = — \ omega _ {0} LI_ { 0} \ sin \ phi.}

Последовательная схема

Последовательная цепь LC

В последовательной конфигурации LC-цепи катушка индуктивности (L) и конденсатор (C) соединены последовательно, как показано здесь. Общее напряжение V на открытых клеммах — это просто сумма напряжения на катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе. Ток I, подаваемый на положительный вывод схемы, равен току через конденсатор и катушку индуктивности.

V знак равно V L + V C , я знак равно я L знак равно я C . {\ displaystyle {\ begin {align} V & = V_ {L} + V_ {C}, \\ I & = I_ {L} = I_ {C}. \ end {align}}}

Резонанс

Величина X _L индуктивного сопротивления увеличивается с увеличением частоты, а величина X _C емкостного реактивного сопротивления уменьшается с увеличением частоты. На одной конкретной частоте эти два реактивных сопротивления равны по величине, но противоположны по знаку; эта частота называется резонансной частотой f ₀ для данной цепи.

Следовательно, при резонансе

Икс L знак равно Икс C , ω L знак равно 1 ω C . {\ displaystyle {\ begin {align} X_ {L} & = X_ {C}, \\\ omega L & = {\ frac {1} {\ omega C}}. \ end {выравнивается}}}

Решая относительно ω , имеем

ω знак равно ω 0 знак равно 1 L C , {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}},}

которая определяется как резонансная угловая частота контура. Преобразуя угловую частоту (в радианах в секунду) в частоту (в герцах), мы получаем

ж 0 знак равно ω 0 2 π знак равно 1 2 π L C . {\ displaystyle f_ {0} = {\ frac {\ omega _ {0}} {2 \ pi}} = {\ frac {1} {2 \ pi {\ sqrt {LC}}}}.}

В последовательной конфигурации X _C и X _L компенсируют друг друга. В реальных, а не идеализированных компонентах току противодействует, в основном, сопротивление обмоток катушки. Таким образом, ток, подаваемый в последовательный резонансный контур, максимален при резонансе.

• В пределе f → f ₀ ток максимален. Сопротивление цепи минимальное. В этом состоянии цепь называется приемной цепью.
• Для е < е ₀ , X _L «- X _C . Следовательно, цепь емкостная.
• Для е > е ₀ , X _L »- X _C . Следовательно, цепь индуктивна.

Импеданс

В последовательной конфигурации резонанс возникает, когда комплексный электрический импеданс цепи приближается к нулю.

Сначала рассмотрим импеданс последовательной LC-цепи. Полный импеданс определяется суммой индуктивного и емкостного сопротивлений:

Z знак равно Z L + Z C . {2}} {\ omega}} \ right).}

Числитель означает, что в пределе ω → ± ω ₀ полный импеданс Z будет равен нулю, а в противном случае отличен от нуля. Следовательно, последовательный LC-контур при последовательном включении с нагрузкой будет действовать как полосовой фильтр, имеющий нулевой импеданс на резонансной частоте LC-контура.

Параллельная схема

Параллельная LC-цепь

Когда катушка индуктивности (L) и конденсатор (C) подключены параллельно, как показано здесь, напряжение V на открытых клеммах равно как напряжению на катушке индуктивности, так и напряжению на конденсаторе. Полный ток I, протекающий через положительный вывод схемы, равен сумме тока, протекающего через катушку индуктивности, и тока, протекающего через конденсатор:

V знак равно V L знак равно V C , я знак равно я L + я C . {\ displaystyle {\ begin {align} V & = V_ {L} = V_ {C}, \\ I & = I_ {L} + I_ {C}. \ end {align}}}

Резонанс

Когда X _L равно X _C , два тока ответвления равны и противоположны. Они компенсируют друг друга, чтобы обеспечить минимальный ток в основной линии (в принципе, нулевой ток). Однако между конденсатором и катушкой индуктивности циркулирует большой ток. В принципе, этот циркулирующий ток бесконечен, но на самом деле он ограничен сопротивлением в цепи, особенно сопротивлением обмоток индуктора. Так как общий ток минимален, в этом состоянии полное сопротивление будет максимальным.

Резонансная частота определяется выражением

ж 0 знак равно ω 0 2 π знак равно 1 2 π L C . {\ displaystyle f_ {0} = {\ frac {\ omega _ {0}} {2 \ pi}} = {\ frac {1} {2 \ pi {\ sqrt {LC}}}}.}

Обратите внимание, что любой ток ответвления не является минимальным при резонансе, но каждый определяется отдельно путем деления напряжения источника ( V ) на реактивное сопротивление ( Z ). {2}}} \ right).}

Обратите внимание, что

Lim ω → ω 0 Z ( ω ) знак равно ∞ , {\ displaystyle \ lim _ {\ omega \ to \ omega _ {0}} Z (\ omega) = \ infty,}

но для всех остальных значений ω полное сопротивление конечно. Параллельный LC-контур, включенный последовательно с нагрузкой, будет действовать как полосовой фильтр, имеющий бесконечный импеданс на резонансной частоте LC-контура. Параллельная LC-цепь, подключенная параллельно нагрузке, будет действовать как полосовой фильтр .

Решение Лапласа

LC-цепь может быть решена с помощью преобразования Лапласа .

Пусть общее уравнение будет:

v C ( т ) знак равно v ( т ) {\ Displaystyle v_ {C} (т) = v (т)}

я ( т ) знак равно C d v C d т {\ Displaystyle я (т) = С {\ гидроразрыва {\ mathrm {d} v_ {C}} {\ mathrm {d} t}}}

v L ( т ) знак равно L d я d т {\ displaystyle v_ {L} (t) = L {\ frac {\ mathrm {d} i} {\ mathrm {d} t}}}

Пусть дифференциальное уравнение серии LC имеет вид:

v я п ( т ) знак равно v L ( т ) + v C ( т ) знак равно L d я d т + v знак равно L C d 2 v d т 2 + v {\ displaystyle v_ {in} (t) = v_ {L} (t) + v_ {C} (t) = L {\ frac {\ mathrm {d} i} {\ mathrm {d} t}} + v = LC {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} v} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + v}

С начальным состоянием:

{ v ( 0 ) знак равно v 0 я ( 0 ) знак равно я 0 знак равно C ⋅ v ′ ( 0 ) знак равно C ⋅ v 0 ′ {\ Displaystyle {\ begin {case} v (0) = v_ {0} \\ i (0) = i_ {0} = C \ cdot v ‘(0) = C \ cdot v’ _ {0} \ end {case}}}

Определим:

ω 0 знак равно 1 L C {\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}}

ж ( т ) знак равно ω 0 2 v я п ( т ) {\ displaystyle f (t) = \ omega _ {0} ^ {2} v_ {in} (t)}

Дает:

ж ( т ) знак равно d 2 v d т 2 + ω 0 2 v {\ displaystyle f (t) = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} v} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + \ omega _ {0} ^ {2} v}

Преобразование с помощью Лапласа:

L [ ж ( т ) ] знак равно L [ d 2 v d т 2 + ω 0 2 v ] {\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left [f (t) \ right] = {\ mathcal {L}} \ left [{\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} v} {\ mathrm { d} t ^ {2}}} + \ omega _ {0} ^ {2} v \ right]}

F ( s ) знак равно s 2 V ( s ) — s v 0 — v 0 ′ + ω 0 2 V ( s ) {\ Displaystyle F (s) = s ^ {2} V (s) -sv_ {0} -v ‘_ {0} + \ omega _ {0} ^ {2} V (s)}

V ( s ) знак равно s v 0 + v 0 ′ + F ( s ) s 2 + ω 0 2 {\ displaystyle V (s) = {\ frac {sv_ {0} + v ‘_ {0} + F (s)} {s ^ {2} + \ omega _ {0} ^ {2}}}}

Тогда антитрансформация:

v ( т ) знак равно v 0 потому что ⁡ ( ω 0 т ) + v 0 ′ ω 0 грех ⁡ ( ω 0 т ) + L — 1 [ F ( s ) s 2 + ω 0 2 ] {\ displaystyle v (t) = v_ {0} \ cos (\ omega _ {0} t) + {\ frac {v ‘_ {0}} {\ omega _ {0}}} \ sin (\ omega _ {0} t) + {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left [{\ frac {F (s)} {s ^ {2} + \ omega _ {0} ^ {2}}} \ правильно]}

Если входное напряжение является ступенчатой ​​функцией Хевисайда :

v я п ( т ) знак равно M ты ( т ) {\ displaystyle v_ {in} (t) = Mu (t)}

L — 1 [ ω 0 2 V я п ( s ) s 2 + ω 0 2 ] знак равно L — 1 [ ω 0 2 M 1 s ( s 2 + ω 0 2 ) ] знак равно M ( 1 — потому что ⁡ ( ω 0 т ) ) {\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left [\ omega _ {0} ^ {2} {\ frac {V_ {in} (s)} {s ^ {2} + \ omega _ {0} ^ {2}}} \ right] = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left [\ omega _ {0} ^ {2} M {\ frac {1} {s (s ^ {2} + \ omega _ {0} ^ {2})}} \ right] = M (1- \ cos (\ omega _ {0} t))}

v ( т ) знак равно v 0 потому что ⁡ ( ω 0 т ) + v 0 ′ ω 0 грех ⁡ ( ω 0 т ) + M ( 1 — потому что ⁡ ( ω 0 т ) ) {\ displaystyle v (t) = v_ {0} \ cos (\ omega _ {0} t) + {\ frac {v ‘_ {0}} {\ omega _ {0}}} \ sin (\ omega _ {0} t) + M (1- \ cos (\ omega _ {0} t))}

Если входное напряжение является синусоидальной функцией:

v я п ( т ) знак равно U грех ⁡ ( ω ж т ) ⇒ V я п ( s ) знак равно U ω ж s 2 + ω ж 2 {\ displaystyle v_ {in} (t) = U \ sin (\ omega _ {f} t) \ Rightarrow V_ {in} (s) = {\ frac {U \ omega _ {f}} {s ^ {2 } + \ omega _ {f} ^ {2}}}}

L — 1 [ ω 0 2 1 s 2 + ω 0 2 U ω ж s 2 + ω ж 2 ] знак равно L — 1 [ ω 0 2 U ω ж ω ж 2 — ω 0 2 ( 1 s 2 + ω 0 2 — 1 s 2 + ω ж 2 ) ] знак равно ω 0 2 U ω ж ω ж 2 — ω 0 2 ( 1 ω 0 грех ⁡ ( ω 0 т ) — 1 ω ж грех ⁡ ( ω ж т ) ) {\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left [\ omega _ {0} ^ {2} {\ frac {1} {s ^ {2} + \ omega _ {0} ^ {2 }}} {\ frac {U \ omega _ {f}} {s ^ {2} + \ omega _ {f} ^ {2}}} \ right] = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left [{\ frac {\ omega _ {0} ^ {2} U \ omega _ {f}} {\ omega _ {f} ^ {2} — \ omega _ {0} ^ {2}}} \ слева ({\ frac {1} {s ^ {2} + \ omega _ {0} ^ {2}}} — {\ frac {1} {s ^ {2} + \ omega _ {f} ^ {2 }}} \ right) \ right] = {\ frac {\ omega _ {0} ^ {2} U \ omega _ {f}} {\ omega _ {f} ^ {2} — \ omega _ {0} ^ {2}}} \ left ({\ frac {1} {\ omega _ {0}}} \ sin (\ omega _ {0} t) — {\ frac {1} {\ omega _ {f}} } \ sin (\ omega _ {f} t) \ right)}

v ( т ) знак равно v 0 потому что ⁡ ( ω 0 т ) + v 0 ′ ω 0 грех ⁡ ( ω 0 т ) + ω 0 2 U ω ж ω ж 2 — ω 0 2 ( 1 ω 0 грех ⁡ ( ω 0 т ) — 1 ω ж грех ⁡ ( ω ж т ) ) {\ displaystyle v (t) = v_ {0} \ cos (\ omega _ {0} t) + {\ frac {v ‘_ {0}} {\ omega _ {0}}} \ sin (\ omega _ {0} t) + {\ frac {\ omega _ {0} ^ {2} U \ omega _ {f}} {\ omega _ {f} ^ {2} — \ omega _ {0} ^ {2} }} \ left ({\ frac {1} {\ omega _ {0}}} \ sin (\ omega _ {0} t) — {\ frac {1} {\ omega _ {f}}} \ sin ( \ omega _ {f} t) \ right)}

История

Первое свидетельство того, что конденсатор и индуктор могут вызывать электрические колебания, было обнаружено в 1826 году французским ученым Феликсом Савари . Он обнаружил, что когда лейденская банка разряжалась через проволоку, намотанную вокруг железной иглы, иногда игла оставалась намагниченной в одном направлении, а иногда в противоположном. Он правильно предположил, что это было вызвано затухающим колеблющимся током разряда в проводе, который менял намагниченность иглы назад и вперед до тех пор, пока она не становилась слишком маленькой, чтобы оказывать влияние, оставляя иглу намагниченной в случайном направлении. Американский физик Джозеф Генри повторил эксперимент Савари в 1842 году и пришел к такому же выводу, очевидно независимо. Ирландский ученый Уильям Томсон (лорд Кельвин) в 1853 году математически показал, что разряд лейденской банки через индуктивность должен быть колебательным, и определил его резонансную частоту. Британский радио-исследователь Оливер Лодж , разрядив большую батарею лейденских банок через длинный провод, создал настроенный контур с его резонансной частотой в звуковом диапазоне, который создавал музыкальный тон из искры при ее разряде. В 1857 году немецкий физик Беренд Вильгельм Феддерсен сфотографировал искру, создаваемую резонансным контуром лейденской банки во вращающемся зеркале, предоставив видимые доказательства колебаний. В 1868 году шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл рассчитал эффект приложения переменного тока к цепи с индуктивностью и емкостью, показав, что отклик максимален на резонансной частоте. Первый пример кривой электрического резонанса был опубликован в 1887 году немецким физиком Генрихом Герцем в его новаторской статье об открытии радиоволн, в которой показана зависимость длины искры, получаемой от его детекторов LC-резонатора с искровым разрядником, от частоты.

Одной из первых демонстраций резонанса между настроенными контурами был эксперимент Лоджа с «синтонными сосудами» около 1889 года. Он поместил два резонансных контура рядом друг с другом, каждый из которых состоял из лейденского сосуда, подключенного к регулируемой однооборотной катушке с искровым разрядником. Когда высокое напряжение от индукционной катушки прикладывалось к одному настроенному контуру, создавая искры и, следовательно, колеблющиеся токи, искры возбуждались в другом настроенном контуре только тогда, когда контуры были настроены на резонанс. Лодж и некоторые английские ученые предпочли термин « синтония » для этого эффекта, но термин « резонанс » в конце концов прижился. Первое практическое применение LC-цепей было в 1890-х годах в радиопередатчиках с искровым разрядником, что позволило настроить приемник и передатчик на одну и ту же частоту. Первый патент на радиосистему, позволяющую настройку, был подан Лоджем в 1897 году, хотя первые практические системы были изобретены в 1900 году итальянским пионером радио Гульельмо Маркони .

Смотрите также

Рекомендации

внешние ссылки

Простая настройка сложных LC-фильтров — RadioRadar

Высокочастотные LC-фильтры обычно настраивают, наблюдая его АЧХ на экране характериографа или осциллографа, снабженного специальной приставкой — генератором качающейся частоты, и добиваясь совпадения ее формы с требуемой Но что делать, если в лаборатории радиолюбителя нет упомянутых приборов?

Как известно, LC-фильтры, даже самые сложные, представляют собой комбинации обыкновенных последовательных и параллельных колебательных контуров. Если значения резонансной частоты каждого контура известны из описания фильтра или найдены расчетным путем, то для настройки фильтра в целом следует настроить каждый контур в резонанс по отдельности. А для этого достаточно иметь генератор сигналов, перестраиваемый в нужном частотном диапазоне, и высокочастотный вольтметр.

 

Рис. 1

Для настройки каждый контур временно отделяют от других элементов фильтра. Например, ячейку фильтра, показанную на рис. 1, можно разделить на два последовательных (L1C1 и L3C3) и один параллельный (L2C2) контуры. Резонансную частоту контура можно вычислить по известной формуле

 

 

 

где f0 — резонансная частота, Гц; L — индуктивность, Гн; С — емкость, Ф.

Учитывая, что на своей резонансной частоте параллельный колебательный контур имеет максимальное сопротивление, а последовательный — минимальное, в первом случае его соединяют с измерительными приборами — генератором G1 и вольтметром PV1 — по схеме, изображенной на рис. 2, а во втором — на рис. 3. L1 и С1 — элементы настраиваемого контура.

Рис. 2

 

Рис. 3

 

Номинал резистора R1 выбирают в десять и более раз превышающим реактивное сопротивление контурного конденсатора или катушки на резонансной частоте, равное

 

 

иначе минимум показаний вольтметра, по которому производится настройка, будет недостаточно острым. Я чаще всего применял резистор номиналом 2 кОм.

Генератор необходим с малым выходным сопротивлением (этому требованию удовлетворяют почти все измерительные генераторы сигналов) а вольтметр — с большим входным сопротивлением. При отсутствии достаточно высокочастотного вольтметра его можно заменить осциллографом. Входная емкость прибора, с учетом соединительного кабеля, должна быть во много раз меньше емкости контурного конденсатора, иначе она заметно изменит резонансную частоту контура.

Для уменьшения входной емкости можно воспользоваться выносным пробником или делителем напряжения 1:10, входящим в комплект многих высокочастотных вольтметров и осциллографов Если чувствительность измерителя достаточно высока, его влияние на резонансную частоту контура можно уменьшить, подключая к резистору R1 через конденсатор небольшой емкости и даже через еще один резистор большого сопротивления.

Настроив генератор на частоту, заведомо отличающуюся от ожидаемой резонансной частоты контура изменением амплитуды сигнала генератора выбором предела измерения вольтметра добиваются как можно больших показаний последнего, не превышающих, однако, нескольких сотен милливольт. Затем, изменяя частоту генератора, находят ту, при которой показания прибора PV1 минимальны. Это и есть резонансная частота контура.

Первоначально она, конечно, отличается от требуемой. Если в большую сторону, придется увеличивать емкость конденсатора или индуктивность катушки (или значения обоих величин одновременно), если в меньшую — уменьшать их В тех случаях, когда имеется возможность плавно изменять емкость или индуктивность (например, катушка имеет подстроечник), удобнее установить на генераторе частоту, равную требуемой резонансной, и добиться минимума показаний вольтметра, вращая подстроечник отверткой из изоляционного материала.

В диапазоне от звуковых частот до нескольких мегагерц описанным способом можно настраивать LC-фильтры любой сложности, причем точность их настройки будет не хуже, чем с помощью характериографа или осциллографа с приставкой На более высокой частоте начинают сильно сказываться паразитные емкость и индуктивность как соединительных проводов, так и измерительных приборов. Здесь, настраивая контуры по отдельности, можно выполнить лишь предварительную настройку фильтра, которую впоследствии придется уточнить.

 

Автор: С. Ильенко, г. Мариуполь, Украина

Формулы расчета резонансной частоты колебательного контура

Для генерации высокочастотных волн часто применяются схемы на основе колебательного контура. Подобрав параметры элементов цепи, можно производить частоты свыше 500 МГц. Схемы используются в ВЧ-генераторах, высокочастотном нагреве, телевизионных и радиоприемниках.

Колебательный контур

Колебательный контур

Колебательный контур – это последовательное или параллельное соединение индуктивных и конденсаторных элементов, генерирующих электромагнитные колебания любой заданной частоты. Оба компонента схемы способны хранить энергию.

Когда существует разность потенциалов на конденсаторных пластинах, он сохраняет энергию электрического поля. Аналогично энергия сохраняется в магнитном поле индуктивной катушки.

Работа колебательного контура

Когда первоначально конденсатор подключается к источнику постоянного тока, на нем возникает разность потенциалов. Одна пластина имеет избыток электронов и заряжена отрицательно, другая – недостаток электронов и заряжена положительно.

Что будет, если в цепь включить индуктивную катушку:

1. При замыкании контакта, соединяющего электроцепь, конденсатор начинает разряжаться через катушку индуктивности. Накопленная им энергия электрического поля снижается;
2. Ток, протекающий через катушку L, индуцирует ЭДС, противостоящую потоку электронов. Из-за этого скорость нарастания тока медленная. В катушке создается магнитное поле, которое начинает накапливать свою энергию. После полного разряда конденсатора поток электронов через катушку уменьшается до нуля. Электростатическая энергия, накопленная в конденсаторе, преобразуется в энергию магнитного поля катушки;
3. Когда конденсатор разряжен, магнитное поле начинает постепенно разрушаться, но, согласно закону Ленца, индукционный ток катушки способствует заряду конденсатора с противоположной полярностью. Энергия, связанная с магнитным полем, снова превращается в электростатическую;

Важно! В идеальном случае, когда нет потерь на L и С, конденсатор зарядился бы до первоначального значения с противоположным знаком.

4. После того, как уменьшающееся магнитное поле перезарядило конденсатор, он снова начинает разряжаться с потоком тока обратной направленности, а МП опять нарастает.

Последовательность зарядки и разрядки продолжается, то есть процесс преобразования электростатической энергии в магнитную и наоборот периодически повторяется, подобно маятнику, у которого потенциальная энергия циклически превращается в кинетическую и обратно.

Непрерывный процесс зарядки и разрядки приводит к меняющему направление движению электронов или к колебательному току.

Обмен энергией между L и С будет продолжаться бесконечно, если отсутствуют потери. Часть энергии теряется, рассеиваясь в виде тепла на проводах катушки, соединительных проводниках, из-за тока утечки конденсатора, электромагнитного излучения. Поэтому колебания будут затухающими.

Затухающие колебания

Резонанс

Если схема с конденсатором, катушкой и резистором возбуждается напряжением, постоянно меняющимся во времени с определенной частотой, то также изменяются реактивные сопротивления: индуктивное и емкостное. Амплитуда и частота выходного сигнала будет изменяться по сравнению с входным.

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте:

X(L) = 2π x f x L,

а емкостное сопротивление обратно пропорционально этому показателю:

X(C) = 1/(2π x f x C).

Важно! На более низких частотах индуктивное сопротивление незначительное, а емкостное будет высоким и сможет создавать практически разомкнутый контур. На высоких частотах картина обратная.

При конкретной комбинации конденсатора и катушки схема становится резонансной, или настроенной, имеющей частоту колебаний, при которой индуктивное сопротивление идентично емкостному. И они компенсируют друг друга.

Следовательно, в цепи остается исключительно активное сопротивление, противостоящее протекающему току. Созданные условия получили наименование резонанса колебательного контура. Фазовый сдвиг между током и напряжением отсутствует.

Резонанс LC-цепи

Для расчета резонансной частоты колебательного контура учитывается следующее условие:

X(L) = X(C).

Следовательно, 2π x f x L = 1/(2πx f x C).

Отсюда получается формула резонансной частоты:

f = 1/(2π x √(L x C)).

Расчет резонансной частоты, индуктивности и емкости можно сделать на онлайн калькуляторе, подставив конкретные значения.

Скорость, с которой рассеивается энергия от LC-схемы, должна быть такой же, как энергия, подаваемая на схему. Устойчивые, или незатухающие, колебания производятся электронными схемами генераторов.

LC-цепи используются либо для генерации сигналов на определенной частоте, либо для выделения частотного сигнала из более сложного. Они являются ключевыми компонентами многих электронных устройств, в частности радиооборудования, используемого в генераторах, фильтрах, тюнерах и частотных микшерах.

Видео

Оцените статью:

Калькулятор

Программа «Калькулятор» представляет собой электротехнический калькулятор, позволяющий рассчитывать параметры колебательных контуров, определять индуктивности обособленных проводников и катушек различных типов, а также производить вычисления активных и реактивных сопротивлений. Помимо этого, в программу интегрирован поиск аналогов отечественных и зарубежных транзисторов и микросхем, а также модуль, содержащий справочные данные по SMD транзисторам и дающий возможность определять по цветовой маркировке номинал и класс точности резисторов и дросселей.

В меню «Расчёты» содержится три подпункта: «Колебательный контур», «Индуктивность» и «Сопротивление». В каждом из них, в свою очередь, можно выбрать необходимый шаблон для вычислений.

Шаблон для расчёта последовательного и параллельного колебательных контуров позволяет при задании резонансной частоты и ёмкости либо индуктивности определить недостающий параметр. При выборе расширенного режима расчёта контура дополнительно появляется возможность задать параметры волны, а также рассчитать физические параметры катушки индуктивности.

В подпункте «Индуктивность» можно выбрать шаблоны для расчёта габаритных параметров цилиндрических однослойных и многослойных катушек, дросселей на ферритовых кольцах и сердечниках, а также индуктивностей обособленных проводников. К примеру, в последнем случае задаются два из трёх параметров – длина проводника, диаметр его сечения и индуктивность, а третий рассчитывается автоматически. В остальных случаях расчёты производятся аналогичным образом.

В подпункте «Сопротивления» присутствуют два раздела: «Активное» и «Реактивное». В первом содержатся шаблоны для вычислений электрических параметров участка цепи по закону Ома, определения общего сопротивления двух параллельных резисторов, расчёта параметров добавочного сопротивления, делителя напряжения, шунтов, амперметров и вольтметров. Также есть возможность двустороннего пересчёта сопротивлений при соединении резисторов «звездой» и «треугольником». Во втором разделе присутствуют два шаблона: для расчёта реактивного сопротивления катушки индуктивности и конденсатора. Порядок и схема вычислений полностью идентичны описанным ранее.

В пункте меню «Маркировка» присутствует три раздела: «Сопротивления», «Дроссели» и «SMD транзисторы». В первых двух можно задать цвет и количество (для резисторов) маркировочных полос для определения номинала и класса точности элемента. Также доступна и обратная операция – при заданных параметрах программа изобразит цветовую маркировку на модели. Во вкладке «SMD транзисторы» открывается поисковик, осуществляющий выборку из базы данных всех элементов, соответствующих заданным критериям поиска.

Пункт «Аналоги» по-сути также представляет собой поисковики по базам данных микросхем и транзисторов. При этом производится выборка соответствий между компонентами отечественного и зарубежного производства.

Калькулятор совместим с Windows XP, Windows 7 x32/x64.

Распространение программы: Freeware (бесплатная)

Официальный сайт программы «Калькулятор»: http://calculator2006.narod.ru
Разработчик: Ivan219

Скачать Калькулятор

Обсуждение программы на форуме

Калькулятор импеданса параллельной LC-цепи • Электротехнические и радиотехнические калькуляторы • Онлайн-конвертеры единиц измерения

Калькулятор определяет импеданс и фазовый сдвиг для соединенных параллельно идеальных катушки индуктивности и конденсатора для заданной частоты синусоидального сигнала. Определяется также угловая частота.

Пример. Рассчитать импеданс, катушки индуктивности 250 мкГн и конденсатора 100 пФ на частоте 1 МГц. В этом примере показана цепь с очень высоким импедансом, приблизительно равным 120 кОм. То есть, почти резонанс. Для проверки поведения цепи практически при резонансе, введите емкость 101,32 пФ вместо 100 пФ. При этом цепь все еще имеет индуктивный характер и ее индуктивное реактивное сопротивление меньше емкостного, что видно по фазовому сдвигу +90°. Если же ввести чуть большее значение емкости 101,33 пФ, импеданс изменится и цепь будет иметь емкостной характер (индуктивное реактивное сопротивление выше емкостного), при этом фазовый угол изменится с +90° на –90°.

Входные данные

Индуктивность, L

генри (Гн)миллигенри (мГн)микрогенри (мкГн)наногенри (нГн)пикогенри (пГн)

Емкость, С

фарад (Ф)микрофарад (мкФ)нанофарад (нФ)пикофарад (пФ)

Частота, f

герц (Гц)миллигерц (мГц)килогерц (кГц)мегагерц (МГц)гигагерц (ГГц)

Выходные данные

Угловая частота ω= рад/с

Емкостное реактивное сопротивление X_C= Ом

Емкостное реактивное сопротивление X_L= Ом

Полный импеданс LC |Z_LC|= Ом

Фазовый сдвигφ = ° = рад

Резонансная частота

f₀=   Гц   ω₀=   рад/с

Введите значения емкости, индуктивности и частоты, выберите единицы измерения и нажмите кнопку Рассчитать. Попробуйте ввести нулевые или бесконечно большие значения величин, чтобы посмотреть как будет себя вести эта цепь. Бесконечная частота не поддерживается. Для ввода значения бесконечность наберите inf.

Для расчетов используются указанные ниже формулы:

φ = 90° если 1/(2πfL) > 2πfC

φ = –90° если 1/(2πfL) < 2πfC

φ = 0° если 1/(2πfL) = 2πfC

Здесь

Z_LC — импеданс цепи LC в омах (Ом),

ω = 2πf — угловая частота в рад/с,

f — частота в герцах (Гц),

L — индуктивность в генри (Гн),

C — емкость в фарадах (Ф),

ω₀ — резонансная угловая частота в радианах в секунду (рад/с),

f₀ — резонансная частота в герцах (Гц),

φ — фазовый сдвиг между полным напряжением V_T и полным током I_T в градусах (°) и радианах,

j — мнимая единица.

График зависимости импеданса Z_LC параллельной LC-цепи от частоты f для заданных пар индуктивностей и емкостей показывает бесконечно большой импеданс на резонансных частотах

Для расчета введите индуктивность, емкость, частоту и выберите единицы измерения. Импеданс LC -цепи будет показан в омах, сдвиг фаз в градусах и радианах. Также будут рассчитаны индуктивное и емкостное реактивные сопротивления и резонансная частота. С помощью ссылки Вычислить на резонансной частоте можно рассчитать величины при резонансе.

График зависимости импеданса Z_LC нескольких идеальных параллельных LC-цепей от частоты f для заданных пар индуктивностей и емкостей; величины L и С подобраны так, что резонансная частота 3,559 кГц одинаковая для всех цепей

В параллельной LC-цепи напряжение на конденсаторе и катушке индуктивности одно и то же, однако токи в ветвях цепи различны. На векторной диаграмме показано напряжение V_T идеального источника напряжения. В связи с отсутствием сопротивления, на схеме не показан горизонтальный вектор тока в фазе с приложенным напряжением. Вектор тока в индуктивности I_L отстает от вектора напряжения на 90°, поэтому он направлен вниз (–90°). Вектор тока в емкости опережает вектор напряжения на 90°, поэтому он направлен вверх (+90°). Векторная сумма двух векторов, направленных в противоположные стороны, может быть направлена вниз и вверх в зависимости от того, где больше ток: в индуктивности или в емкости. Величина тока, в свою очередь, по закону Ома зависит от реактивного сопротивления — чем оно больше, тем ток меньше.

На частоте резонанса емкостное и индуктивное реактивные сопротивления равны, и если мы посмотрим на приведенное выше уравнение для |Z|, мы увидим, что эффективный импеданс будет определяться только величиной сопротивления и будет максимальным. Токи, текущие через катушку индуктивности и конденсатор, равны, так как их реактивные сопротивления тоже равны. Поэтому на резонансной частоте ток от источника не потребляется. Можно сказать, что для источника напряжения параллельная LC-цепь при резонансе представляет собой обрыв цепи, то есть полное отсутствие нагрузки.

Векторная диаграмма теоретически идеальной параллельной LC-цепи. 1 — емкостное реактивное сопротивление больше индуктивного, через катушку течет больший ток и цепь имеет емкостной характер, то есть представляет собой емкостную нагрузку; 2 — индуктивное реактивное сопротивление выше емкостного, цепь имеет емкостной характер, то есть цепь представляет собой емкостную нагрузку; 3 — при резонансе импеданс бесконечно большой и для источника напряжения цепь фактически представляет собой обрыв, то есть отсутствие нагрузки и потребляемый от источника ток равен нулю.

В то же время, видно, что при резонансе ток течет между катушкой индуктивности и конденсатором, периодически изменяя направление. Это явление можно сравнить с идеальным маятником, который при отсутствии трения качается с неизменной амплитудой без приложения внешних сил. Конечно, это может происходить только в идеальной цепи без резистора в каждой из ветвей цепи. В то же время, это поведение очень близко к тому, что реально происходит во многих практических цепях, в которых катушки индуктивности имеют очень малое сопротивление.

Интересно отметить, что в английском языке параллельная RLC цепь часто называется «tank circuit», что в переводе буквально означает «цепь, сохраняющая энергию так же, как сохраняется жидкость в баке» (англ. tank — цистерна, бак). Название объясняется тем, что LC-цепь хранит энергию в форме электрического и магнитного полей и циркулирующего тока точно так же, как бак хранит жидкость. Возможно, название также связано с тем, что катушки чаще всего имеют цилиндрическую форму. Амплитуда этого циркулирующего тока зависит от импеданса конденсатора и катушки индуктивности. Если индуктивность большая, а емкость маленькая, их реактивные сопротивления будут большими, а ток, соответственно, маленьким. Если же индуктивность невысокая, а емкость высокая, то реактивные сопротивления небольшие и ток будет большим.

Катушки индуктивности в высокочастотном модуле

Режимы отказа элементов

А что если в этой схеме отказал один из элементов? Нажмите на соответствующую ссылку, чтобы посмотреть соответствующие режимы отказа:

Особые режимы работы цепи

Нажмите на соответствующую ссылку, чтобы посмотреть как работает калькулятор в особых режимах:

Различные режимы работы на постоянном токе

Короткое замыкание

Обрыв цепи

Чисто емкостная цепь

Цепь при резонансе

Чисто индуктивная цепь

Индуктивная цепь

Примечания

• Нулевая частота в объяснениях поведения этой цепи означает постоянный ток. Если f = 0, предполагается, что цепь подключена к идеальному источнику напряжения.
• При нулевой частоте реактивное сопротивление конденсатора считается нулевым, если его емкость бесконечно большая. Если же емкость конденсатора конечная или нулевая, его реактивное сопротивление бесконечно большое и для источника постоянного напряжения он представляет собой обрыв цепи, иными словами отсутствующий конденсатор.
• При нулевой частоте реактивное сопротивление идеальной катушки индуктивности считается бесконечно большим, если ее индуктивность бесконечно большая. Если же индуктивность катушки конечная или нулевая, ее реактивное сопротивление при нулевой частоте равно нулю и для источника постоянного напряжения она представляет собой короткое замыкание.

Каталог радиолюбительских схем. Измерение параметров магнитопроводов резонансным методом.

Каталог радиолюбительских схем. Измерение параметров магнитопроводов резонансным методом.

Измерение параметров магнитопроводов резонансным методом.

Резонансный метод измерений может быть рекомендован к использованию в домашней лаборатории наряду с методом вольтметра-амперметра. Его отличает точность и простота реализации. Этим методом могут быть получены индуктивность, емкости обмоток, а также индуктивность рассеяния. Для измерений требуется генератор низкой частоты и индикатор резонанса: милливольтметр или осциллограф. Также может быть использован компьютер со звуковой платой.

Измерение индуктивности первичной (или пробной) обмотки.

Рис. 4.39. Схема для измерений резонансным методом.

Принцип измерения иллюстрируется рис. 4.39. Ключ S при измерении индуктивности должен быть разомкнут. Конденсатор С образует с индуктивностью обмотки L последовательный колебательный контур с резонансной частотой

(4.81)

и характеристическим (волновым) сопротивлением

Определив резонансную частоту контура F, можно рассчитать индуктивность катушки:

(4.82)

Попутно с регистрацией частоты необходимо фиксировать напряжение на катушке, оно понадобится для расчета магнитной индукции. Формулы расчета магнитной индукции по напряжению на катушке приводились ранее (4.66). Низкочастотный генератор достаточной мощности создает в контуре вынужденные колебания. Когда частота генератора ниже резонансной, напряжение на катушке намного меньше напряжения генератора. При совпадении частоты вынужденных колебаний с собственной резонансной частотой LC-контура напряжение на обмотке резко возрастает. Возникает резонанс напряжений. Ток, потребляемый от генератора, при этом минимален, а напряжения на конденсаторе и индуктивности максимальны и противофазны. Напряжение может возрастать во много раз и достигать десятков и даже сотен вольт. На частотах выше резонансной емкостное сопротивление стремится к нулю и напряжение на катушке практически равно напряжению генератора. Эквивалентная схема контура (рис. 4.40) включает в себя, кроме емкости и индуктивности, еще и выходное сопротивление генератора RL активное сопротивление обмотки R_Г. Опыт показывает, что шунтирующим действием измерительного прибора можно пренебречь практически всегда, поскольку его входное сопротивление достаточно велико даже в случае применения простейших стрелочных тестеров.

Рис. 4.40. Эквивалентная схема к рис. 4.39.

Величина сопротивлений R_Г и RL оказывает сильное влияние на добротность контура и является фактором, ограничивающим область применения метода. Обозначим сумму всех сопротивлений, включенных в контур R = R_Г+RL. Добротностью электрического колебательного контура называется величина

(4.83)

обратно пропорциональная степени затухания в контуре. Чем выше добротность, тем сильнее резонансное увеличение напряжения на катушке. Типичные значения индуктивности и сопротивления первичной обмотки готового трансформатора L=10…100 Гн, R_L=50…200 Ом. Примем выходное сопротивление генератора равным 600 Ом. Волновое сопротивление

контура составит

то есть десятки килоом. Сопротивление измерительного прибора обычно составляет не менее 50 кОм, то есть он не шунтирует контур. Добротность контура составит

это означает, что при

напряжении генератора 1 В резонансное напряжение на катушке составит 15. ..35 В. Зафиксировать резонанс при этом очень легко. Дополнительным удобством является возможность применения генераторов с низким выходным напряжением. Если добротность мала, то есть активное сопротивление сравнимо с волновым, то резонансный подъем практически отсутствует, а с увеличением частоты напряжение на катушке плавно увеличивается с нуля до U. При Q<2 определить частоту резонанса становится трудно. Такая ситуация возникает при измерении малых индуктивностей пробных катушек. Для них характерны индуктивность менее 10 мГн и сопротивление около 1 Ом. С емкостью контура 0,01 мкФ получим волновое сопротивление 1 кОм, что сравнимо с внутренним сопротивлением генератора. Резонансный подъем при этом незначителен и точность определения частоты резонанса очень низка. Для одиночных измерений можно уменьшить емкость до 1000 пф, резонанс будет выражен лучше, но резонансная частота может достигнуть 50 кГц и выше. На этой частоте точность измерения снижается из-за влияния паразитных емкостей, потерь в сердечнике и т. д.

Индуктивность рассеяния.

Методом последовательного колебательного контура можно измерять индуктивность рассеяния трансформаторов. Для этого ключ S, рис. 4.39 замыкается. Далее производятся те же действия, что и при измерении индуктивности, то есть ищется первый (нижний по частоте) резонанс, и по его частоте рассчитывается индуктивность контура, являющаяся в этом случае индуктивностью рассеяния трансформатора. При измерениях могут возникнуть трудности, вызванные малой добротностью контура. На низкой частоте (десятки Герц) напряжение на катушке близко к нулю. Для поиска резонанса нужно плавно перестраивать частоту генератора до начала повышения напряжения. При указанных на схеме номиналах элементов резонанс обычно наступает на частотах от 5 до 15 кГц. Вполне возможно, что резонансного пика не будет. В этом случае частотой настройки можно считать частоту, на которой напряжение на катушке составит половину напряжения на более высоких частотах, см. рис. 4.41. Конечно, точность измерения при этом будет очень низка. Можно увеличить добротость

контура, выбрав меньшую емкость конденсатора, однако уменьшать емкость измерительного конденсатора ниже 0,01 мкФ не стоит. Типичная емкость первичной обмотки выходного трансформатора 1000…2000 пФ. Измерительный конденсатор должен иметь значительно большую емкость, чтобы исключить влияние емкости обмотки.

Рис. 4.41. Определение частоты настройки при малой добротности.

В большинстве случаев индуктивность рассеяния все же удается измерить резонансным методом, попутно с измерением индуктивности. В противном случае следует воспользоваться методом вольтметра-амперметра. Наиболее интересное применение резонансного метода -измерение индуктивности обмоток и магнитной проницаемости сердечников в присутствии тока подмагничивания при различных амплитудах переменной индукции. Схема установки приведена на рис. 4.42.

Рис. 4.42. Схема для измерений с подмагничиванием постоянным током. L — измеряемая индуктивность (дроссель или обмотка трансформатора) L_ДОП~ — вспомогательный дроссель

С — конденсатор 0,1 мкФ, 250 вольт

R — переменный резистор для регулировки тока подмагничивания. Напряжение источника питания, которое потребуется для проверки трансформатора во всем диапазоне токов подмагничивания U > 1_МАХ1 • R_L, где R_L — суммарное сопротивление всех обмоток, включенных

последовательно.

Для стенда требуется генератор низкой частоты с диапазоном 20Гц…1кГц с напряжением на выходе в пределах 0,1… 10 В. Вольтметр может быть любым, достаточно высокоомным, с внутренним сопротивлением порядка 50… 100 кОм. Лучше всего использовать осциллограф, так как при измерениях с подмагничиванием постоянная составляющая будет маскировать резонанс на малых амплитудах переменного напряжения. Отметим роль вспомогательного дросселя L_ДОП. Он применяется при измерениях с подмагничиванием для предотвращения шунтирования колебательного контура L с малым выходным сопротивлением источника питания. Естественно, он должен иметь величину индуктивности значительно больше измеряемой, чтобы не влиять на резонансную частоту контура, либо должен иметь известную зависимость индуктивности от тока. Поскольку такое возможно не всегда, хорошим решением будет использование второго экземпляра дросселя или трансформатора, полностью идентичного измеряемому. Обмотки по переменному току включены параллельно и их

суммарная индуктивность в этом случае уменьшится вдвое. По постоянному току они включены последовательно, поэтому при изменении подмагничивания их параметры изменяются одинаково. Для измерение индуктивности без подмагничивания следует:

1. Отключить источник питания от схемы.

2. Установить напряжение на выходе генератора около 1 В.

3. Изменяя частоту настройки генератора F, найти резонансный максимум напряжения.

4. Вычислить индуктивность обмотки по формуле (4.82).

Измерение индуктивности с подмагничиванием производится после подключения источника питания и выставления требуемого тока подмагничивания. Рассчитанная по формуле (4.81) величина соответствует параллельно соединенным индуктивностям :

(4.84)

Если в качестве L_ДОП использовалась калиброванная индуктивность, то требуемая величина индуктивности

(4. 85)

а если были использованы одинаковые изделия, то

(4.86)

Наиболее естественным применением этой методики является проверка трансформаторов, предназначенных для работы в однотактных каскадах и дросселей на соответствие требованиям, заложенных при расчете, а также подбор величины зазора. Однако трансформаторы для двухтактных каскадов желательно также испытывать на этом стенде при токе подмагничивания не менее 10% от величины анодного тока в схеме. Индуктивность при этом может падать весьма значительно. То же самое относится к входным и согласующим трансформаторам. Формально, постоянная составляющая не должна попадать в их обмотки, тем не менее, в схемах всегда присутствуют токи утечек и разбалансов плеч. При подборе толщины немагнитной прокладки необходимо отключать подмагничивание (а часто и сигнал генератора) перед размыканием магнитопровода. При работе стенда нельзя прикасаться к элементам схемы, так как на них присутствует довольно высокое напряжение, а при отключении подмагничивания возникает сильный бросок напряжения самоиндукции. Критерием подбора является максимальная индуктивность (или минимальная частота резонанса) при рабочем токе подмагничивания. Зазор в магнитопроводах измеряемого и дополнительного дросселей (трансформаторов) должен изменяться одновременно. Для этого можно использовать полоски тонкой бумаги известной толщины.

Рис. 4.43. Измерение с помощью параллельного контура.

Разновидность схемы измерения приведена на рис. 4.43. Здесь конденсатор и катушка соединены параллельно, а выходное сопротивление генератора не входит в колебательный контур. Поэтому добротность контура оказывается выше, чем в предыдущих схемах. Это может оказаться важным при измерениях параметров пробных обмоток с малой индуктивностью. В таком контуре наблюдается резонанс токов, то есть токи в конденсаторе и индуктивности равны по величине и противоположны по фазе. При этом сопротивление

контура сильно возрастает, а ток через контур практически прекращается. Напряжение, регистрируемое вольтметром, снижается. В этой схеме измерительный прибор фактически работает в режиме миллиамперметра, поэтому больше подойдут низкоомные (около 2…5 кОм/В) стрелочные тестеры. Фактором, ограничивающим точность, также является активное сопротивление обмотки. Катушки, содержащие много витков и намотанные тонким проводом имеют меньшую добротность и резонанс выражен хуже.

Схемы, приведенные выше, целесообразно использовать для исследования свойств неизвестных магнитопроводов, либо изготовлении нескольких разнотипных трансформаторов. Однако для подавляющего большинства самоделыциков удобнее измерять параметры и настраивать уже готовые трансформаторы непосредственно в схеме. Рассмотрим немного видоизмененный ламповый однотактный каскад, рис. 4.44. Конденсатор С превращает обычный трансформаторный каскад в резонансный с частотой настройки (4.81).

Рис. 4.44. Настройка трансформатора в схеме.

Ток подмагничивания, то есть ток покоя каскада, устанавливается подбором номинала R2. На вход каскада подается напряжение сигнала от генератора или звуковой платы компьютера. Также как и в предыдущих схемах, частота его обычно находится в пределах 50…300 Гц. Перестройкой частоты нужно добиться максимального напряжения на обмотке трансформатора. Вольтметр должен иметь сопротивление не менее 50кОм, чтобы не шунтировать высокоомную цепь, которой является параллельный колебательный контур. Есть еще две точки, в которых можно контролировать наступление резонанса. Размах переменного напряжения на катоде лампы при резонансе минимален, так как ток сигнала через лампу почти прекращается. Это можно увидеть с помощью осциллографа или вольтметра переменного тока (через переходной конденсатор). Еще удобнее наблюдать резонанс с помощью звуковой платы компьютера — на вторичной обмотке трансформатора. Если она может работать в дуплексном режиме, задача экспериментатора заметно облегчается. Один из каналов платы служит для вывода напряжения изменяющейся частоты, которое подается на вход схемы. Напряжение со вторичной обмотки подается на второй канал платы. Программа Spectralab запускается в режиме измерения АЧХ. Частота резонанса определяется маркером. Если звуковая плата не имеет дуплексных возможностей, можно записать сигнал качающейся частоты на магнитофон или CD-R.

Целью настройки трансформатора является получение минимальной частоты резонанса, то есть максимальной индуктивности при заданном токе подмагничивания. Регулировать величину зазора следует при выключенном питании. Стягивать сердечник при регулировке штатными стяжками не обязательно, это сделает магнитное поле подмагничивания. Всегда следует проверять поведение трансформатора при токе покоя, большем номинального на 10.. .20 %. Индуктивность при этом не должна сильно уменьшаться.

© Е.Васильченко. 2003г.

© Издательство Солон-Пресс. 2003г.

Простая последовательная и параллельная работа LC-цепи в резонансе

Цепи, которые имеют элементы L, C, имеют особые характеристики из-за их частотных характеристик, таких как частота Vs тока, напряжение и импеданс. Эти характеристики могут иметь резкий минимум или максимум на определенных частотах. Эти схемы используются в основном в передатчиках, радиоприемниках и телевизионных приемниках. Рассмотрим LC-цепь, в которой конденсатор и катушка индуктивности соединены последовательно через источник напряжения.Соединение этой цепи имеет уникальное свойство резонировать на точной частоте, называемой резонансной частотой. В этой статье обсуждается, что такое LC-цепь, резонансная работа простой последовательной и параллельной LC-цепи.

Что такое контур LC?

LC-контур также называется резервуарным контуром, настроенный контур или резонансный контур — это электрическая цепь, построенная с конденсатором, обозначенным буквой «C», и индуктором, обозначенным буквой «L», соединенными вместе. Эти схемы используются для создания сигналов с определенной частотой или приема сигнала от более сложного сигнала с определенной частотой.LC-схемы являются основными электронными компонентами в различных электронных устройствах, особенно в радиооборудовании, используемом в таких схемах, как тюнеры, фильтры, смесители частоты и генераторы. Основная функция LC-контура — это колебания с минимальным демпфированием.

Цепь LC

Резонанс цепи LC

В конфигурации последовательной LC-цепи конденсатор «C» и катушка индуктивности «L» соединены последовательно, как показано на следующей схеме. Сумма напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности — это просто сумма всего напряжения на открытых клеммах.Протекание тока на клемме + Ve LC-цепи равно току через катушку индуктивности (L) и конденсатор (C)
v = v _L + v _C

i = i _L = i _C

Когда величина индуктивного реактивного сопротивления «X _L » увеличивается, частота также увеличивается. Таким же образом, когда величина емкостного реактивного сопротивления ‘X _C ’ уменьшается, тогда частота уменьшается.Резонанс цепи LC серии

На одной определенной частоте два реактивных сопротивления X _L и X _C одинаковы по величине, но имеют обратный знак. Таким образом, эта частота называется резонансной частотой, которая обозначается для LC-контура.

Следовательно, при резонансе

X _L = -X _C

ωL = 1 / ωC

ω = ω0 = 1 / √LC

Что называется резонансным угловым частота цепи? Для преобразования угловой частоты в частоту используется следующая формула:

f0 = ω0 / 2π √LC

В конфигурации последовательного резонансного контура LC два резонанса X _C и X _L компенсируют друг друга.В реальных, а не в идеальных компонентах протеканию тока препятствует, как правило, сопротивление обмоток катушки. Следовательно, ток, подаваемый в цепь, является максимальным при резонансе.

Приемная цепь определяется как когда In the Lt f f0 является максимальным, а полное сопротивление цепи минимизировано.

Для f L << (-X _C ). Таким образом, схема емкостная

Для f L >> (-X _C ). Таким образом, цепь является индуктивной.

Резонанс параллельной LC-цепи

В конфигурации параллельной LC-цепи конденсатор «C» и катушка индуктивности «L» подключены параллельно, как показано на следующей схеме. Сумма напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности — это просто сумма всего напряжения на открытых клеммах. Протекание тока на клемме + Ve LC-цепи равно току через катушку индуктивности (L) и конденсатор (C)

v = v _L = v _C

i = i _L + i _C

Пусть внутреннее сопротивление ‘R’ катушки.При двух резонансах X _{, C} и XL реактивные токи ответвления одинаковы и противоположны. Следовательно, они компенсируют друг друга, чтобы дать наименьшее количество тока в ключевой линии. Когда полный ток в этом состоянии минимален, полное сопротивление будет максимальным. Резонансная частота задается формулой

f0 = ω0 / 2π = 1 / 2π √LC

Обратите внимание, что ток любой реактивной ветви не является минимальным при резонансе, но каждая задается индивидуально путем разделения напряжения источника V на реактивное сопротивление «Z».

Резонанс параллельной LC-цепи

Следовательно, согласно закону Ома I = V / Z

Схема отражателя может быть определена следующим образом: при минимальном линейном токе и максимальном полном импедансе при f0 цепь является индуктивной, когда ниже f0. и схема является емкостной, когда выше f0

Применение LC-цепи

• Применение резонанса последовательной и параллельной LC-цепей в основном связано с системами связи и обработкой сигналов
• Общее применение LC-цепи — настройка радио TX и RX.Например, когда мы настраиваем радио на конкретную станцию, тогда схема будет настроена на резонанс для этой конкретной несущей частоты.
• Последовательный резонансный LC-контур используется для увеличения напряжения.
• Параллельный резонансный LC-контур используется для увеличения тока, а также используется в схемах РЧ-усилителя в качестве импеданса нагрузки, усиление усилителя достигает максимальной резонансной частоты.
• В индукционном нагреве используются как последовательные, так и параллельные резонансные LC-контуры.
• Эти контуры работают как электронные резонаторы, которые являются важным компонентом в различных приложениях, таких как усилители, генераторы, фильтры, тюнеры, микшеры, графические планшеты, бесконтактные карты и защитные бирки. X _L и X _C

Таким образом, речь идет о контуре LC, работе последовательных и параллельных резонансных контуров и их применениях.Мы надеемся, что вы лучше понимаете эту концепцию. Кроме того, любые вопросы относительно этой концепции или проектов в области электрики и электроники, пожалуйста, дайте свои ценные предложения в разделе комментариев ниже. Вот вам вопрос, в чем разница между последовательными резонансными и параллельными резонансными LC-схемами?

Авторы фото:

Простой параллельный резонанс (контур резервуара) | Резонанс

Резонанс в контуре резервуара

Состояние резонанса будет возникать в цепи резервуара, когда реактивные сопротивления конденсатора и катушки индуктивности равны друг другу. Поскольку индуктивное реактивное сопротивление увеличивается с увеличением частоты, а емкостное реактивное сопротивление уменьшается с увеличением частоты, будет только одна частота, на которой эти два реактивных сопротивления будут равны. Пример:

Простой параллельный резонансный контур (контур резервуара).

В приведенной выше схеме у нас есть конденсатор 10 мкФ и катушка индуктивности 100 мГн. Поскольку мы знаем уравнения для определения реактивного сопротивления каждого из них на заданной частоте, и мы ищем ту точку, где два реактивных сопротивления равны друг другу, мы можем установить две формулы реактивного сопротивления равными друг другу и решить для частоты алгебраически :

Итак, у нас есть это: формула, которая сообщает нам резонансную частоту контура резервуара, учитывая значения индуктивности (L) в Генри и емкости (C) в Фарадах.Подставляя значения L и C в схему нашего примера, мы получаем резонансную частоту 159,155 Гц.

Расчет индивидуальных импедансов

Интересно, что происходит при резонансе. Когда емкостное и индуктивное реактивные сопротивления равны друг другу, полное сопротивление увеличивается до бесконечности, а это означает, что цепь резервуара не потребляет ток от источника переменного тока!

Мы можем рассчитать отдельные импедансы конденсатора 10 мкФ и индуктора 100 мГн и использовать формулу параллельного импеданса, чтобы продемонстрировать это математически:

Как вы могли догадаться, я выбрал эти значения компонентов, чтобы получить резонансные импедансы, с которыми было легко работать (даже 100 Ом).

Формула параллельного импеданса

Теперь мы используем формулу параллельного импеданса, чтобы увидеть, что происходит с общим Z:

Участок моделирования SPICE

Мы не можем разделить любое число на ноль и прийти к значимому результату, но мы можем сказать, что результат приближается к значению бесконечность , когда два параллельных импеданса становятся ближе друг к другу.

На практике это означает, что полный импеданс цепи резервуара бесконечен (ведет себя как разомкнутая цепь ) в резонансе.Мы можем изобразить последствия этого в широком диапазоне частот источника питания с помощью короткого моделирования SPICE.

Резонансная схема, подходящая для моделирования SPICE.

Резистор 1 пикоом (1 пОм) помещен в этот анализ SPICE, чтобы преодолеть ограничение SPICE, а именно то, что он не может анализировать цепь, содержащую прямой контур источника напряжения индуктивности. (Рисунок ниже) Было выбрано очень низкое значение сопротивления, чтобы минимизировать влияние на поведение цепи.

Это моделирование SPICE отображает ток цепи в диапазоне частот от 100 до 200 Гц с двадцатью четными шагами (100 и 200 Гц включительно). Текущая величина на графике увеличивается слева направо, а частота — сверху вниз.

Ток в этой цепи резко падает вокруг точки анализа 157,9 Гц, которая является ближайшей точкой анализа к нашей предсказанной резонансной частоте 159,155 Гц. Именно в этот момент общий ток от источника питания падает до нуля.

Графический постпроцессор «Мускатный орех»

Приведенный выше график создается из указанного выше файла схемы spice (* .cir), команда (.plot) в последней строке создает текстовый график на любом принтере или терминале. Более красивый сюжет создается графическим постпроцессором «мускатный орех», входящим в состав пакета специй.

Указанная выше специя (* .cir) не требует команды plot (.plot), но не причиняет вреда. Следующие команды создают график ниже:

spice -b -r резонансный.необработанный резонансный.cir
 (-b пакетный режим, -r необработанный файл, ввод - резонансный.cir)
 мускатный орех резонансный. сырье
 

Из подсказки о мускатном орехе:

> setplot ac1 (setplot {ввод} для списка графиков)
 > дисплей (для списка сигналов)
 > сюжетный журнал (v1 # ветка)
 (величина комплексного вектора тока v1 # ветвь)
 

Мускатный орех создает график тока I (v1) для параллельного резонансного контура.

Участки Боде

Между прочим, график, полученный в результате компьютерного анализа SPICE, более известен как график Боде .Такие графики отображают амплитуду или фазовый сдвиг по одной оси и частоту по другой. Крутизна кривой графика Боде характеризует «частотную характеристику» схемы или ее чувствительность к изменениям частоты.

ОБЗОР:

• Резонанс возникает, когда емкостное и индуктивное реактивные сопротивления равны друг другу.
• Для контура резервуара без сопротивления (R) резонансная частота может быть рассчитана по следующей формуле

• Общий импеданс параллельной LC-цепи приближается к бесконечности, когда частота источника питания приближается к резонансу.
• График Боде — это график, отображающий амплитуду или фазу сигнала на одной оси и частоту на другой.

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:

LC Circuits — The Physics Hypertextbook

Обсуждение

LC-схема

Начнем с правила Кирхгофа.

V = L	dI	+	кв
	дт		С

Возьмите производную каждого члена.

dV	= л	d 2 I	+	1		дк
дт		дт 2		С		дт

Напряжение аккумулятора постоянно, так что производная обращается в ноль.Производная заряда — это ток, что дает нам дифференциальное уравнение второго порядка.

0 = L	d 2 I	+	1	я
	дт 2		С

Переставить немного…

д 2	Я = —	1	я
дт 2		LC

, а затем сделайте паузу, чтобы рассмотреть решение.

Нам нужна функция, у которой вторая производная стоит со знаком минус. У нас есть два варианта: синус и косинус. Любой из них подходит, поскольку они в основном идентичны по функциям с фазовым сдвигом между ними на 90 °. Без ограничения общности, я выберу синус и произвольный фазовый угол (φ), который может равняться 90 °, если мы позволим. Или это может быть другой угол. Другими параметрами общей синусоидальной функции являются амплитуда ( I ₀ ) и угловая частота (ω).

Основной метод, который я начал, называется « угадать и проверить ». Мое предположение состоит в том, что функция выглядит как обычная синусоидальная функция…

I = I ₀ sin (ω t + φ)

и проверка — это вставить его обратно в дифференциальное уравнение и посмотреть, что произойдет.

д 2	I 0 sin (ω t + φ)	= —	1	I 0 sin (ω t + φ)
дт 2			LC
— ω 2 I 0 sin (ω t + φ)		= —	1	I 0 sin (ω t + φ)
			LC

В основном отменяется все, кроме одного параметра — угловой частоты.

Таким образом, LC-контур представляет собой колебательный контур. Частота такой цепи (в отличие от ее угловой частоты) равна…

f =	ω	=	1
	2π		2π√ ( ЛК )

И что? Чем это полезно?

Схема кроссовера аудио, состоящая из трех контуров LC, каждая из которых настроена на свою собственную частоту, показана справа.Катушки индуктивности ( L, ) находятся наверху схемы, а конденсаторы ( C ) — внизу. Слева схема «вуфера», настроенная на низкую звуковую частоту, справа схема «высокочастотного динамика», настроенная на высокую звуковую частоту, и между схемой «среднего диапазона», настроенной на частоту в середине звукового спектра.

Цепи

RC — это в основном фильтры.

rcl circuit

Мне нужно написать эту часть.

Анализ цепи LC: последовательная, параллельная, уравнения и передаточная функция

Что такое цепь LC?

LC-цепь (также известная как LC-фильтр или LC-сеть) определяется как электрическая цепь, состоящая из пассивных элементов цепи, индуктора (L) и конденсатора (C), соединенных вместе. Его также называют резонансным контуром, контуром резервуара или настроенным контуром.

LC — схема

Из-за отсутствия резистора в идеальной форме схемы LC-схема не потребляет энергии. Это не похоже на идеальные формы RC-цепей, RL-цепей или RLC-цепей, которые потребляют энергию из-за наличия резистора.

Тем не менее, на практике схема LC всегда будет потреблять некоторую энергию из-за ненулевого сопротивления компонентов и соединительных проводов.

Почему контур LC называется настроенным контуром или контуром резервуара?

Заряд течет вперед и назад между пластинами конденсатора и через катушку индуктивности.Энергия колеблется между конденсатором и катушкой индуктивности, пока внутреннее сопротивление компонентов и соединительных проводов не заставит колебания затухать.

Действие этой схемы похоже на настроенное действие, математически известное как гармонический осциллятор, которое похоже на маятник, раскачивающийся назад и вперед, или воду, текущую назад и вперед в резервуаре; по этой причине схема называется настроенной схемой или емкостной схемой.

Схема может действовать как электрический резонатор и накапливать энергию, колеблющуюся на частоте, называемой резонансной частотой.

Последовательная LC-цепь

В последовательной LC-цепи катушка индуктивности и конденсатор соединены последовательно, как показано на рисунке. Цепь LC серии

Поскольку в последовательной цепи ток одинаков во всех частях цепи, следовательно, ток равен току через катушку индуктивности и конденсатор.

Теперь полное напряжение на клеммах равно сумме напряжения на конденсаторе и напряжения на катушке индуктивности.

Резонанс в последовательной LC-цепи

Когда частота увеличивается, величина индуктивного реактивного сопротивления также увеличивается

и величина емкостного реактивного сопротивления уменьшается.

Теперь в условиях резонанса величина индуктивного и емкостного сопротивления становится равной.

Где — резонансная угловая частота (радиан в секунду).

— резонансная частота (Герцы).

Теперь импеданс последовательного LC-контура равен

Теперь угловая резонансная частота равна, тогда импеданс становится

(1)

Таким образом, в условиях резонанса, когда _{полное электрическое сопротивление Z будет равно нулю, означает X L и X C компенсируют друг друга. следовательно, ток, подаваемый в последовательную LC-цепь, является максимальным ().}

Следовательно, последовательный LC-контур при последовательном включении с нагрузкой будет действовать как полосовой фильтр, имеющий нулевой импеданс на резонансной частоте.

Параллельная цепь LC

В параллельной цепи LC индуктор и конденсатор подключены параллельно, как показано на рисунке.

Параллельная цепь LC

Напряжение на каждой клемме различных элементов в параллельной цепи одинаково. Следовательно, напряжение на клеммах равно напряжению на катушке индуктивности и напряжению на конденсаторе.

Теперь полный ток, протекающий через параллельную LC-цепь, равен сумме тока, протекающего через катушку индуктивности, и тока, протекающего через конденсатор.

Резонанс в параллельной LC-цепи

В условиях резонанса, когда индуктивное реактивное сопротивление () равно емкостному реактивному сопротивлению (), реактивный ток ветви равен и противоположен. Следовательно, они компенсируют друг друга, чтобы обеспечить минимальный ток в цепи. В этом состоянии полное сопротивление максимально.

Резонансная частота равна

Теперь импеданс параллельной LC-цепи равен

Теперь угловая резонансная частота равна, тогда полное сопротивление становится

(2)

Таким образом, в условиях резонанса, когда общее электрический импеданс Z будет бесконечным, а ток, подаваемый в параллельную LC-цепь, будет минимальным ().

Следовательно, параллельный LC-контур при последовательном включении с нагрузкой будет действовать как полосовой фильтр, имеющий бесконечный импеданс на резонансной частоте. Параллельная LC-цепь, подключенная параллельно нагрузке, будет действовать как полосовой фильтр.

• На частоте ниже резонансной, т.е. f 0 , X _L >> X _C . Следовательно, цепь индуктивна.
• На частоте выше резонансной, т.е. f> f ₀ , X _C >> X _L .Следовательно, цепь емкостная.
• На резонансной частоте, т. Е. F = f ₀ , X _L = X _C , ток минимален, а полное сопротивление максимальное. В этом состоянии схема может действовать как схема отражателя.

Уравнения цепи LC

Уравнение тока и напряжения

Дифференциальное уравнение цепи LC

Импеданс последовательной цепи LC

Параллельный

Время установки

LC-контур может действовать как электрический резонатор, и накопление энергии колеблется между электрическим полем и магнитным полем на частоте, называемой резонансной частотой. Поскольку любая колебательная система в какой-то момент достигает установившегося состояния, известного как время схватывания.

Время, необходимое для реакции на уменьшение и стабилизации на своем установившемся значении, а затем остается в пределах + — 2% от его окончательного значения, называется временем установления.

LC Circuit Current

Предположим, это мгновенный ток, протекающий по цепи. Падение напряжения на катушке индуктивности выражается через ток, а падение напряжения на конденсаторе равно, где Q — это заряд, накопленный на положительной пластине конденсатора.

LC-схема

Теперь, согласно закону Кирхгофа, сумма падений потенциала на различных компонентах замкнутого контура равна нулю.

(3)

Разделив приведенное выше уравнение на L и продифференцируя его по t, мы получим

(4)

Теперь ток в форме простых гармонических колебаний определяется как:

(5)

Где и — константы.

Подставив значение уравнения (5) в (4), мы получим:

(6)

Таким образом, из приведенного выше уравнения мы можем сказать, что LC-контур является колеблющимся. цепи, и он колеблется на частоте, называемой резонансной частотой.

Напряжение цепи LC

Теперь, согласно уравнению (3), индуцированное напряжение на катушке индуктивности минус напряжение на конденсаторе.

Выведем уравнение тока из уравнения (5), мы получим

Другими словами, напряжение достигает максимума, когда ток достигает нуля, и наоборот. Амплитуда колебаний напряжения — это амплитуда колебаний тока, умноженная на.

Передаточная функция LC-контура

Передаточная функция от входного напряжения к напряжению на конденсаторе

Аналогичным образом передаточная функция от входного напряжения к напряжению на катушке индуктивности равна

Естественный отклик LC-контура

Предположим, что конденсатор изначально полностью разряжен, а переключатель (K) остается открытым в течение очень долгого времени, а при t = 0 он замкнут.

• При t = 0 ^— переключатель K разомкнут

Это начальное условие, поэтому мы можем написать:

Потому что ток через катушку индуктивности и напряжение на конденсаторе не могут изменяться мгновенно.

• Для всех t> = 0 ⁺ переключатель К замкнут

Теперь в цепь включен источник напряжения. Следовательно, применив KVL к схеме, мы получим,

Здесь напряжение на конденсаторе выражается через ток.

Приведенное выше уравнение называется интегро-дифференциальным уравнением. Дифференцируя обе части вышеприведенного уравнения относительно t, получаем,

(7)

Уравнение (7) указывает дифференциальное уравнение второго порядка LC-цепи.

Заменим на s ² , мы получим,

(8)

Теперь корни приведенного выше уравнения равны

Здесь собственная частота колебаний.

Частотная характеристика цепи LC

Использование метода импеданса: Общее уравнение для системы с частотной характеристикой:

• Предположим, что выходное напряжение возникает на клеммах конденсатора, примените правило делителя потенциала к указанной выше схеме

(9)

Где, Импеданс конденсатора

Импеданс катушки индуктивности

Подставив его в уравнение (9), мы получим

(10)

• Предположим, что выходное напряжение возникает на катушке индуктивности, примените правило делителя потенциала, чтобы приведенная выше схема

(11)

Подставив значение и в приведенном выше уравнении, мы получаем

(12)

Уравнение (10) и (12) указывает частотную характеристику LC-цепи в сложной форме .

Дифференциальное уравнение цепи LC

Приведенное выше уравнение называется интегро-дифференциальным уравнением. Здесь напряжение на конденсаторе выражается через ток.

Теперь, продифференцируя вышеуказанное уравнение с обеих сторон по t, мы получим,

(13)

Приведенное выше уравнение указывает на дифференциальное уравнение второго порядка LC-цепи.

Замените на s ² , мы получим,

(14)

Теперь, таким образом, поместив это в уравнение выше, мы получаем:

Зарядка и разрядка контура LC

В контуре LC индуктор и конденсатор оба хранят элементы i.е. индуктор накапливает энергию в своем магнитном поле (B) в зависимости от проходящего через него тока, а конденсатор накапливает энергию в электрическом поле (E) между своими проводящими пластинами в зависимости от напряжения на нем.

Предположим, что изначально конденсатор содержит заряд q, а затем вся энергия схемы изначально хранится в электрическом поле конденсатора. Энергия, запасенная в конденсаторе, составляет

Зарядка и разрядка LC-цепи

Теперь, если индуктор подключен к заряженному конденсатору, напряжение на конденсаторе вызовет протекание тока через индуктор, что создает магнитное поле вокруг индуктора. , конденсатор начинает разряжаться, и напряжение на конденсаторе уменьшается до нуля по мере того, как заряд расходуется током ().

Теперь конденсатор полностью разряжен, и вся энергия хранится в магнитном поле индуктора. В этот момент ток достигает максимального значения, а энергия, запасенная в катушке индуктивности, равна (.

Из-за отсутствия резистора энергия не рассеивается в цепи. Таким образом, максимальная энергия, запасенная в цепи конденсатора равна максимальной энергии, запасенной в катушке индуктивности.

В этот момент накопленная энергия в магнитном поле вокруг индуктора индуцирует напряжение на катушке в соответствии с законом электромагнитной индукции Фарадея ().Это индуцированное напряжение вызывает прохождение тока через конденсатор, и конденсатор начинает перезаряжаться напряжением противоположной полярности.

Этот процесс зарядки и разрядки начнется снова, при этом ток будет течь в обратном направлении через индуктор, как и раньше.

Таким образом, зарядка и разрядка LC-контура могут происходить циклически, и энергия колеблется между конденсатором и катушкой индуктивности, пока внутреннее сопротивление не заставит колебания затухать.

На рисунке показаны кривые напряжения и тока при зарядке и разрядке. Форма кривой напряжения и тока при зарядке и разрядке

LC Circuit Applications

Приложения LC Circuits включают: , особенно радиооборудование, такое как передатчики, радиоприемники и телевизионные приемники, усилители, генераторы, фильтры, тюнеры и смесители частот.

LC-цепи также используются для генерации сигналов с определенной частотой или приема сигнала из более сложного сигнала с определенной частотой.

Основное назначение LC-цепи обычно — колебания с минимальным демпфированием, поэтому сопротивление должно быть как можно более низким.

Последовательный резонансный контур обеспечивает увеличение напряжения.

Параллельный резонансный контур обеспечивает увеличение тока.

Что такое демпфирование?

Демпфирование — это уменьшение амплитуды колебания или волнового движения со временем. Резонанс — это увеличение амплитуды по мере уменьшения затухания.

Резонансные цепи RLC

Резонансные цепи используются для избирательного реагирования на сигналы заданной частоты при одновременном различении сигналов разных частот.Если характеристика схемы имеет более узкий пик около выбранной частоты, мы говорим, что схема имеет более высокую «избирательность». «Фактор качества» Q, как описано ниже, является мерой этой избирательности, и мы говорим о схеме, имеющей «высокую добротность», если она является более узкоселективной. Примером применения резонансных схем является выбор радиостанций AM радиоприемником. Избирательность настройки должна быть достаточно высокой, чтобы четко различать станции выше и ниже по несущей частоте, но не настолько высокой, чтобы различать «боковые полосы», создаваемые наложением сигнала амплитудной модуляцией. Селективность цепи зависит от величины сопротивления в цепи. Варианты последовательного резонансного контура справа следуют примеру Serway & Beichner. Чем меньше сопротивление, тем выше Q для заданных значений L и C. Параллельный резонансный контур чаще используется в электронике, но алгебра, необходимая для характеристики резонанса, гораздо сложнее. Используя те же параметры схемы, на рисунке слева показана мощность, рассеиваемая в цепи, как функция частоты.Поскольку эта мощность зависит от квадрата тока, эти резонансные кривые кажутся круче и уже, чем резонансные пики для тока, указанные выше. Добротность Q определяется как , где Δω — ширина резонансной кривой мощности на половине высоты. Поскольку эта ширина оказывается равной Δω = R / L, значение Q также можно выразить как Q — это обычно используемый параметр в электронике, значения которого обычно находятся в диапазоне от Q = 10 до 100 для схемных приложений.

Index AC Circuits Reference Serway & Beichner Ch 33

6.5: Резонанс в последовательно-параллельных цепях

В простых реактивных цепях с небольшим сопротивлением или без него эффекты радикально измененного импеданса проявляются в резонансе. частота предсказывается уравнением, приведенным ранее. В параллельном (резервуарном) LC-контуре это означает бесконечный импеданс при резонансе. В последовательном LC-контуре это означает нулевой импеданс при резонансе:

\ [f_ {резонансный} = \ dfrac {1} {2 \ pi \ sqrt {LC}} \]

Однако, как только в большинство контуров LC вводятся значительные уровни сопротивления, этот простой расчет резонанса становится недействительным.

На этой странице мы рассмотрим несколько LC-цепей с добавленным сопротивлением, используя те же значения емкости и индуктивности, что и раньше: 10 мкФ и 100 мГн соответственно.

Расчет резонансной частоты цепи с высоким сопротивлением

Согласно нашему простому уравнению, приведенному выше, резонансная частота должна быть 159,155 Гц. Однако посмотрите, где ток достигает максимума или минимума в следующих анализах SPICE:

Параллельная LC-цепь с сопротивлением последовательно с L.

резонансный контур v1 1 0 ac 1 sin c1 1 0 10u r1 1 2100 l1 2 0 100m .ac lin 20100200 .plot ac i (v1) .end

Сопротивление, включенное последовательно с L, дает минимальный ток при 136,8 Гц вместо расчетных 159,2 Гц

Минимальный ток при 136,8 Гц вместо 159,2 Гц!

Параллельный LC с сопротивлением в серии с C.

Здесь требуется дополнительный резистор (R _{фиктивный} ) (см. Рисунок ниже), чтобы предотвратить возникновение проблем при анализе в SPICE.SPICE не может работать с индуктором, подключенным напрямую параллельно любому источнику напряжения или любому другому индуктору, поэтому добавление последовательного резистора необходимо для «разрыва» цепи источника напряжения / индуктора, которая в противном случае образовалась бы. Этот резистор выбирается равным очень низкому значению для минимального влияния на поведение схемы.

Минимальный ток примерно при 180 Гц вместо 159,2 Гц! Сопротивление, включенное последовательно с C, сдвигает минимальный ток с расчетных 159,2 Гц до примерно 180 Гц. Цепи LC серии

Обращая внимание на последовательные LC-цепи (см. Рисунок ниже), мы экспериментируем с размещением значительных сопротивлений параллельно либо L, либо C. В следующих примерах последовательной цепи резистор 1 Ом (R ₁ ) включен последовательно. с катушкой индуктивности и конденсатором для ограничения полного тока при резонансе. «Дополнительным» сопротивлением, вводимым для воздействия на эффекты резонансной частоты, является резистор 100 Ом, R ₂ . Результаты показаны на рисунке ниже.

Резонансный контур LC серии с сопротивлением параллельно L. Максимальный ток примерно при 178,9 Гц вместо 159,2 Гц! Последовательный резонансный контур с сопротивлением, параллельным L, сдвигает максимальный ток с 159,2 Гц до примерно 180 Гц. И, наконец, последовательная LC-цепь со значительным сопротивлением, включенная параллельно конденсатору (рисунок ниже). Сдвинутый резонанс показан на (Рисунок ниже)

Резонансный контур серии LC с сопротивлением, параллельным C.

Сопротивление параллельно с C в последовательном резонансном контуре смещает максимум тока с расчетных 159,2 Гц примерно до 136,8 Гц.

Антирезонанс в LC-цепях

Тенденция увеличения сопротивления к перекосу точки, в которой полное сопротивление достигает максимума или минимума в цепи LC, называется антирезонансом . Проницательный наблюдатель заметит закономерность между четырьмя приведенными выше примерами SPICE с точки зрения того, как сопротивление влияет на резонансный пик цепи:

Параллельный («бак») LC-контур:

• R последовательно с L: резонансная частота смещена на вниз
• R последовательно с C: резонансная частота смещена вверх

Последовательный контур LC:

• R параллельно с L: резонансная частота смещена вверх
• R параллельно с C: резонансная частота смещена на вниз

Опять же, это иллюстрирует взаимодополняющий характер конденсаторов и катушек индуктивности: как сопротивление, включенное последовательно с одним, создает антирезонансный эффект, эквивалентный сопротивлению, подключенному параллельно с другим. Если вы посмотрите еще ближе к четырем приведенным примерам SPICE, вы увидите, что частоты сдвинуты на , на ту же величину , и что форма дополнительных графиков является зеркальным отображением друг друга!

Антирезонанс — это эффект, о котором должны знать разработчики резонансных схем. Уравнения для определения «сдвига» антирезонанса сложны и не будут рассматриваться в этом кратком уроке. Начинающему электронике должно быть достаточно понять, что эффект существует, и каковы его общие тенденции.

Кожный эффект

Добавленное сопротивление в цепи LC не имеет академического значения. Хотя можно производить конденсаторы с незначительным нежелательным сопротивлением, индукторы обычно имеют значительное сопротивление из-за большой длины проводов, используемых в их конструкции. Более того, сопротивление провода имеет тенденцию увеличиваться с увеличением частоты из-за странного явления, известного как скин-эффект , когда переменный ток имеет тенденцию исключаться из прохождения через самый центр провода, тем самым уменьшая эффективную эффективность провода. площадь поперечного сечения.Таким образом, индукторы имеют не только сопротивление, но и изменяющееся, частотно-зависимое сопротивление .

Добавленное сопротивление в цепях

Как будто сопротивления провода индуктора недостаточно, чтобы вызвать проблемы, мы также должны бороться с «потерями в сердечнике» индукторов с железным сердечником, которые проявляются как дополнительное сопротивление в цепи. Поскольку железо является проводником электричества, а также проводником магнитного потока, изменение потока, создаваемого переменным током, проходящим через катушку, будет иметь тенденцию индуцировать электрические токи в самом сердечнике ( вихревых токов, ).Этот эффект можно представить, как если бы железный сердечник трансформатора был чем-то вроде вторичной обмотки трансформатора, питающей резистивную нагрузку: неидеальная проводимость металлического железа. Эти эффекты можно свести к минимуму с помощью ламинированных сердечников, хорошей конструкции сердечников и высококачественных материалов, но никогда полностью не устранить.

Цепи RLC

Одним заметным исключением из правила сопротивления цепи, вызывающего сдвиг резонансной частоты, является случай цепей последовательно резистор-индуктор-конденсатор («RLC»).Пока все компоненты соединены последовательно друг с другом, сопротивление не влияет на резонансную частоту цепи. (Рисунок ниже) Полученный график показан на (Рисунок ниже).

Серия LC с последовательным сопротивлением.

Еще раз максимальный ток при 159,2 Гц!

Сопротивление в последовательном резонансном контуре оставляет максимальный ток при расчетной 159,2 Гц, расширяя кривую.

Обратите внимание, что пик на графике тока (рисунок ниже) не изменился по сравнению с более ранней последовательной LC-схемой (той, в которой было сопротивление токена 1 Ом), хотя сопротивление теперь в 100 раз больше. Единственное, что изменилось, — это «резкость» кривой. Очевидно, что эта схема не резонирует так сильно, как схема с меньшим последовательным сопротивлением (она называется «менее избирательной»), но, по крайней мере, она имеет такую ​​же собственную частоту!

Антирезонансный эффект демпфирования

Следует отметить, что антирезонанс имеет эффект гашения колебаний автономных LC-контуров, таких как контуры резервуара. В начале этой главы мы видели, как конденсатор и индуктор, соединенные напрямую вместе, будут действовать как маятник, обмениваясь пиками напряжения и тока, точно так же, как маятник обменивается кинетической и потенциальной энергией. В идеальном контуре резервуара (без сопротивления) это колебание будет продолжаться вечно, так же как маятник без трения будет продолжать качаться на своей резонансной частоте вечно. Но машины без трения трудно найти в реальном мире, как и схемы танков без потерь.Энергия, потерянная из-за сопротивления (или потери в сердечнике индуктора, или излучаемые электромагнитные волны, или…) в контуре резервуара, вызовет затухание колебаний по амплитуде, пока они не исчезнут. Если в контуре резервуара присутствует достаточно потерь энергии, он вообще не сможет резонировать.

Демпфирующий эффект

Антирезонанса — это больше, чем просто любопытство: его можно довольно эффективно использовать для устранения нежелательных колебаний в цепях, содержащих паразитные индуктивности и / или емкости, как это делают почти все цепи. Обратите внимание на следующую схему задержки времени L / R: (Рисунок ниже)

Контур задержки времени L / R

Идея этой схемы проста: «заряжать» дроссель при замкнутом переключателе. Скорость зарядки индуктора будет установлена ​​отношением L / R, которое представляет собой постоянную времени цепи в секундах. Однако, если вы построите такую ​​схему, вы можете обнаружить неожиданные колебания (переменного тока) напряжения на катушке индуктивности, когда переключатель замкнут.(Рисунок ниже) Почему это? В цепи нет конденсатора, так как же мы можем получить резонансные колебания с помощью только катушки индуктивности, резистора и батареи?

Звон индуктора из-за резонанса паразитной емкости.

Все катушки индуктивности содержат определенную паразитную емкость из-за зазоров между витками и между витками изоляции. Кроме того, размещение проводников схемы может создать паразитную емкость. Хотя чистая компоновка схемы важна для устранения большей части этой паразитной емкости, всегда будут такие, которые вы не сможете устранить. Если это вызывает резонансные проблемы (нежелательные колебания переменного тока), дополнительное сопротивление может быть способом борьбы с ними. Если резистор R достаточно велик, это вызовет состояние антирезонанса, рассеивая достаточно энергии, чтобы индуктивность и паразитная емкость не могли поддерживать колебания в течение очень длительного времени.

Интересно, что принцип использования сопротивления для устранения нежелательного резонанса часто используется при проектировании механических систем, где любой движущийся объект с массой является потенциальным резонатором.Очень распространенное применение этого — использование амортизаторов в автомобилях. Без амортизаторов автомобили будут сильно подпрыгивать на своей резонансной частоте после столкновения с любой неровностью на дороге. Работа амортизатора заключается в создании сильного антирезонансного эффекта за счет гидравлического рассеивания энергии (таким же образом, как резистор рассеивает энергию электрически).

Обзор

• Дополнительное сопротивление LC-цепи может вызвать состояние, известное как антирезонанс , когда эффекты пикового импеданса возникают на частотах, отличных от тех, которые дают равные емкостные и индуктивные реактивные сопротивления.
• Сопротивление, присущее реальным катушкам индуктивности, может в значительной степени способствовать возникновению антирезонанса. Одним из источников такого сопротивления является скин-эффект , вызванный исключением переменного тока из центра проводников. Другой источник — потерь в сердечнике в индукторах с железным сердечником.
• В простой последовательной LC-цепи, содержащей сопротивление (цепь «RLC»), сопротивление , а не создает антирезонанс. Резонанс все еще возникает, когда емкостное и индуктивное сопротивление равны.

Резонансная цепь

генерирует высокочастотное магнитное поле

Создание высокочастотного магнитного поля может быть довольно сложной задачей из-за целого ряда технических проблем. На высоких частотах сопротивление магнитной катушки велико. Для выработки достаточного тока через магнитную катушку требуется генератор высокого напряжения и высокой частоты. Однако при использовании обычных усилителей и драйверов трудно одновременно генерировать высокую частоту и большой ток. Для генерации высокочастотного магнитного поля использовались классические последовательные резонансные методы. ¹ Резонансный контур, предлагаемый в этой статье, дополнительно увеличивает ток катушки в 2 раза.

Классические резонансные резервуары

На рисунке 1 показаны последовательные и параллельные резервуары LC. Резонансный бак серии LC отличается низким сопротивлением при резонансе. Импеданс катушки компенсирует сопротивление конденсатора; таким образом, достижение низкого импеданса позволяет пропускать большой ток через цепь LCR.До сих пор наиболее практичным и эффективным способом пропуска сильного тока через магнитную катушку было использование последовательного резонансного контура. ¹ Нет сомнения, что метод последовательного резонанса часто используется для генератора высокочастотного магнитного поля.

1. Показаны последовательный резонансный контур (а) и параллельный резонансный контур (б).

С другой стороны, полное сопротивление параллельного резонансного резервуара LC максимизируется при резонансе. При резонансе ток резонирует между катушкой и конденсатором.Ток, проходящий через магнитную катушку, очень велик, в то время как ток источника очень мал; следовательно, высокий импеданс. Следовательно, параллельный резонансный контур усиливает ток источника в резонансе. В параллельном резонансе ток катушки обычно невелик, даже с учетом эффекта усиления тока.

Резонанс с усилением тока

Новый резонансный контур с усилением тока отличается низким резонансным сопротивлением и усилением тока в магнитной катушке (рис.2) . Этот резонансный резервуар представляет собой мощный высокочастотный генератор магнитного поля. Как будет рассмотрено позже, усиление тока в два раза превышает ток источника или генератора. Кроме того, резонансный контур с усилением тока представляет собой трансформатор импеданса — при резонансе он преобразует сопротивление в четыре раза. Следовательно, это увеличивает сопротивление катушки на 4.

2. Новый резонансный контур с усилением тока представляет собой мощный высокочастотный генератор магнитного поля.

Резонансные условия

Условие резонанса — это когда мнимая часть импеданса Z равна нулю.

(1)

(2)

Сопротивление на Рисунке 2 носит паразитный характер и обычно невелико. На резонансную частоту он оказывает незначительное влияние. Для расчета резонансной частоты R игнорируется. Как мы обсудим позже, меньшее сопротивление лучше для сильного и высокочастотного магнитного поля. Два конденсатора имеют одинаковую стоимость (C _S = C _P = C).Из приложения, уравнение A3, мнимая часть параллельного резонансного импеданса Z _P дана в уравнении. 3. Мнимая часть Z _S представляет собой простое реактивное сопротивление конденсатора:

(3)

(4)

Подставьте уравнения 3 и 4 в уравнение 2, и оно станет:

(5)

Решение для ω, которая представляет собой резонансную частоту усиленного тока ω _O :

(6)

(7)

Напомним, ω _O = 1 / √LC — это классический параллельный или последовательный резонанс. Согласно уравнениям 6 и 7, новая резонансная частота с усилением тока в 1 / √2 раза больше классической резонансной частоты резервуара LC. Это связано с тем, что в новом резонансном контуре есть два конденсатора.

Ток усиления

3. Закон Кирхгофа по напряжению (KVL) и закон Кирхгофа по току (KCL) используются для расчета тока магнитной катушки (индуктора).

Самая интересная особенность нового резонансного контура с усилением тока состоит в том, что он усиливает ток магнитной катушки в два раза при резонансе.То есть ток электромагнита в два раза больше тока источника-генератора. Обратитесь к Рисунку 3, используя закон напряжения Кирхгофа (KVL) вокруг контура в параллельном резервуаре. И снова маленький паразитный R игнорируется.

(8)

Вспомните из уравнения 6, что в резонансе ω = 1 / √2LC. Вставьте уравнение 6 в уравнение 8.

(9)

Ток магнитной катушки в два раза больше тока конденсатора C _P или C _S (рис. 3) . Фактически, сумма тока C _P и C _S равна току магнитной катушки.

Теперь используйте текущий закон Кирхгофа (KCL) для расчета тока в узле, где выполняются все три тока (I _S , I _C , I _L ):

(10)

Так как I _C составляет половину от I _L :

(11)

Таким образом, ток катушки в два раза больше, чем ток генератора источника сигнала.Для данного генератора сигналов ток катушки в два раза больше максимального доступного тока! Это важная особенность для научных приборов, которым требуется сильное высокочастотное магнитное поле. На рисунке 4 показан ток и то, как резонансный контур усиливает ток.

4. Ток, протекающий через катушку, увеличивается вдвое по сравнению с током источника при резонансе.

Резонансное сопротивление

Как обсуждалось выше, в резонансе реактивный импеданс (мнимая часть) равен нулю. Импеданс реальный (резистивный) при резонансе. Поскольку Z _S является только реактивным, реальная составляющая Z исходит от Z _P . В Приложении А2 действительная часть Z определяется как:

(12)

Напомним, что ω = 1 / √2LC в резонансе, и подставив его в уравнение 12 и упростив, получаем:

(13)

L / 2C намного больше, чем R ² ; поэтому R ² не учитывается.Таким образом, уравнение 13 сокращается до:

(14)

Резонансный контур с усилением тока действует как трансформатор импеданса. Это увеличивает сопротивление высокочастотной катушки в 4 раза. Этот новый резонансный контур наиболее выгоден для сильноточных и маломощных магнитных катушек. Это позволяет генерировать высокочастотное магнитное поле с низким напряжением источника.

Фактор качества Q

Наиболее важной особенностью этого нового резонансного контура с усилением тока является его способность бесплатно увеличивать ток в 2 раза для создания высокочастотного магнитного поля. Следовательно, добротность Q не влияет на усиление тока; вместо этого он влияет на сопротивление. Для полноты здесь обсуждается Q.

5. Модель сигнала резонансного контура с усилением тока сводится к простому параллельному резонансу с удвоенной емкостью.

Источник переменного напряжения V _S эквивалентен короткому замыканию с точки зрения модели сигнала переменного тока. Резонансный резервуар с усилением тока на рисунке 2 перерисован на рисунке 5 с точки зрения модели сигнала (или энергии).Как видно, два конденсатора включены параллельно и образуют один параллельный резонансный резервуар. Вспомните из классического параллельного танка, что Q равно:

.

(15)

Таким образом, добротность резонансного резервуара с усилением тока такая же, как и у классического параллельного резонансного резервуара.

В качестве подтверждения ранее обсуждавшейся резонансной частоты, резонансная частота на Рисунке 5 может быть легко найдена с помощью классического уравнения параллельного резервуара после учета C _P = C _S = C:

(16)

Результаты моделирования

6. Ток магнитной катушки в два раза превышает ток источника.

Для подтверждения новой математической модели резонансного контура, обсуждаемой выше, инструмент моделирования Spice был использован для моделирования резонансного резервуара с усилением тока, показанного на рисунке 2. В резонансе ток источника составляет пиковое значение 5 А, а ток катушки — 10 А пик (Рис.6) . Это подтверждает усиливающий ток эффект нового резонансного резервуара. При использовании конденсатора емкостью 10 мкГн и двух конденсаторов емкостью 1,26 нФ расчетный резонанс составляет 1,0026 МГц. Смоделированный резонанс равен 1.025 МГц (рис.7) .

7. Показана нормализованная зависимость тока катушки от частоты.

В моделировании сопротивление катушки составляет 125 мА, напряжение источника составляет 2,5 В, а ток источника составляет 5 А. Это также подтверждает, что эквивалентный импеданс резервуара составляет 500 мА, как рассчитано в уравнении 14: 4 × 125 м² = 500 м². Используя инструмент моделирования, увеличение сопротивления до 10 не изменяет коэффициент усиления тока. На рис. 8 показан график зависимости тока источника-генератора от частоты резонансного контура с усилением тока.Он обнаруживает два резонанса — новый резонансный и классический параллельный резонанс. Резонансная частота с усилением тока ниже классической резонансной частоты в 1 / √2 раз.

8. Здесь приведены два резонанса при сравнении нормированного тока источника в зависимости от частоты.

Эксперимент с высокочастотным магнитным полем

Для проверки эффекта усиления тока магнитной катушки использовалась настоящая катушка (индуктор). Источником генератора тока является сильноточный функциональный генератор-усилитель TS250 ² от Accel Instruments.Как показано на рисунке 9, катушка представляет собой сильноточную катушку индуктивности 100 мкГн. Два конденсатора емкостью 10 нФ рассчитаны на 1 кВ.

9. В этой установке для экспериментов с высокочастотным магнитным полем используется усилитель сигналов TS250.

Для контроля тока катушки вставлен резистор серии 1-™ (R1). Другой резистор измерения тока (R2) используется для контроля тока источника. Для измерения тока необходимо измерить падение напряжения на R1 и R2. В ходе эксперимента для R1 использовались как 10 мкм, так и 100 мкм.При низком сопротивлении напряжение на измерительном резисторе настолько мало, что высокочастотное магнитное поле, создаваемое катушкой, мешает измерению напряжения. Увеличение R1 до 1 ™ не показало никаких признаков помех.

10. Ток источник-генератор (3 AP-P) измеряется на резисторе R2 (1 В = 1 А).

Начальное напряжение источника от усилителя сигнала TS250 было установлено на 10 В _P-P , а начальная частота установлена ​​на расчетную резонансную частоту 112,5 кГц. Затем частоту медленно изменяли до тех пор, пока не наблюдался максимальный ток.Это резонансная частота с усилением тока 116,5 кГц. Впоследствии амплитуда напряжения медленно увеличивалась, чтобы получить более высокий ток. При примерно 30 В _P-P ток источника составляет примерно 3 A _P-P (Рис. 10) . Как показано на рисунке 11, ток магнитной катушки составлял 6 А _P-P . Как и предполагалось, ток в катушке увеличивается в 2 раза.

11. Ток магнитной катушки (6 AP-P) измеряется через R1 (1 В = 1 А).

Теоретический импеданс резонансного контура с усилением по току составляет 4 (не включая R2), который рассчитывается с использованием уравнения 14.Сопротивление R1 усиливается в 4 раза. Добавление R2 дало общее теоретическое сопротивление ~ 5 Ом. Однако данные показывают, что напряжение 30 В _P-P дало 3 A _P-P , что означает, что общий импеданс равен 10 Ом. Сопротивление магнитной катушки постоянному току указано на уровне 25 м². Поэтому предполагается, что сопротивление катушки переменному току 116 кГц намного выше из-за скин-эффекта на высокой частоте. Кроме того, конденсаторы добавляют паразитное сопротивление. При разработке высокочастотных магнитных катушек для резонансной техники с усилением тока важно поддерживать как можно более низкое сопротивление переменному току.

Заключение

Представленный здесь новый резонансный контур с усилением тока предлагает мощный метод генерации высокочастотных магнитных полей в научной и исследовательской аппаратуре. Математическая модель предсказала эффект усиления тока в высокочастотном электромагните. Как моделирование, так и лабораторные эксперименты подтвердили, что ток катушки увеличивается в 2 раза.

Артикул:

1. «Сильноточные и высокочастотные электромагниты с использованием резонансной техники», Accel Instruments.

2. «Усилитель формы сигнала для функционального генератора», Accel Instruments.

Приложение — Расчет параллельного резонансного импеданса

Классический параллельный резонансный контур состоит из RLC для расчета импеданса и реактивного сопротивления.

Рисунок A. Классический параллельный резонансный контур состоит из RLC для расчета импеданса и реактивного сопротивления.

(A1)

(A2)

(А3)

.