+7 495 120-13-73 | 8 800 500-97-74

(для регионов бесплатно)

Содержание

Тепло раскачивает колебания | Наука и жизнь

Обычно для раскачивания колебаний механической системы необходимо на неё подействовать внешней периодической силой. При совпадении частоты колебаний этой силы с собственной частотой колебаний системы наступает резонанс — увеличение амплитуды колебаний. Так, для того чтобы раскачать качели, надо их периодически в такт подталкивать. Существующие внутри всех тел тепловые колебания молекул на раскачку колебаний не влияют. Наоборот, преобразование механической энергии в тепловую служит причиной затухания колебаний, прекращения механического движения.

Изменение со временем колебаний, вызванных баллистическим резонансом.

Однако на микро- и наноуровнях обычные макроскопические представления могут быть неприменимы. Исследователи Высшей школы теоретической механики Института прикладной математики и механики Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого (СПбПУ) под руководством члена-корреспондента РАН Антона Мирославовича Кривцова теоретически показали, что механические колебания могут возбуждаться благодаря наличию распространяющегося теплового возмущения. Это новое физическое явление они назвали баллистическим резонансом. Теория была подкреплена численным (компьютерным) моделированием.

Основанием для работы стали теоретические и экспериментальные исследования последнего времени, в которых выяснилось, что законы теплопроводности на микроуровне отличаются от классического закона, открытого Ж.-Б. Фурье ещё в 1807 году. Оказалось, что в кристаллах тепло может распространяться с необычно высокой скоростью. Такую теплопроводность исследователи назвали баллистической.

А. М. Кривцов и его коллеги показали, что, если в кристалле создать периодический начальный профиль температуры (например, синусоидальный), то он не будет просто расплываться, переходя к тепловому равновесию, как это ожидается в классическом случае. В кристалле возникает волновой перенос тепла, называемый баллистическим. Волна температуры приводит к переменному тепловому расширению, которое играет роль периодической силы, возбуждающей макроскопические механические колебания. Причём частота этой «силы» совпадает с собственной частотой механических колебаний, что приводит к резонансу и увеличению амплитуды колебаний. Этот резонанс и получил название баллистического. Заметим, что в этом случае раскачка колебаний в замкнутой системе происходит без какого-либо внешнего механического воздействия. Амплитуда колебаний при баллистическом резонансе после достижения максимума постепенно полностью затухает, и температура в кристалле, как и положено, выравнивается, наступает тепловое равновесие.

На основании данного подхода авторы работы предложили решение парадокса, или проблемы Ферми—Паста—Улама—Цингу. Летом 1953 года Энрико Ферми, Джон Паста, Станислав Улам и Мэри Цингу провели компьютерное моделирование колеблющейся струны, представленной цепочкой шариков, соединённых пружинами. Исследователи предполагали, что начальное колебание струны постепенно превратится в хаотические случайные колебания шариков, соответствующие тепловым колебаниям молекул в телах (этот процесс называют термализацией). Но оказалось, что превращение механической энергии в тепловую не так уж и просто. Неожиданно возникло сложное периодическое колебание с возвращением к исходному состоянию — термализация не наступила. Такое поведение цепочки поставило фундаментальный вопрос о возможности применения законов статистической механики к описанию подобных нелинейных систем. А статистическая физика — важнейший инструмент описания систем из большого числа частиц. Потому уже на протяжении нескольких десятилетий эта проблема служит предметом научных исследований.

Физики СПбПУ показали, что если наряду с механическими колебаниями учесть ещё и тепловое движение при конечной температуре, энергия которого намного больше, чем у колебаний, то механические колебания перестают быть периодическими и монотонно затухают — термализация наступает.

Результаты исследования опубликованы в журнале «Physical Review E» (doi.org/10.1103/PhysRevE.101.042209).

Вынужденные колебания. Резонанс — Класс!ная физика

Вынужденные колебания. Резонанс

Подробности
Просмотров: 599

«Физика — 11 класс»

Как получить незатухающие колебания, — те, которые могут длиться неограниченно долго?

Для этого на колебателььную систему должна действовать внешняя периодическая сила.
Такие колебания называются вынужденными

.

Работа внешней силы над системой обеспечивает приток энергии к системе извне, который не дает колебаниям затухнуть, несмотря на действие сил трения.

Например, раскачивание ребенка на качелях.
Качели — это маятник, т. е. колебательная система с определенной собственной частотой.
Если начать в правильном ритме подталкивать качели, то можно без большого напряжения раскачать их очень сильно.
При этом произойдет накопление результатов действия отдельных толчков, и амплитуда колебаний качелей станет большой.

В этом случае возникает возможность увеличения амплитуды колебаний системы, способной совершать почти свободные колебания, при совпадении частоты внешней периодической силы с собственной частотой колебательной системы.

Спустя некоторое время колебания качелей приобретут установившийся характер: их амплитуда перестанет изменяться со временем.

При установившихся вынужденных колебаниях частота колебаний всегда равна частоте внешней периодически действующей силы.

Резонанс

Как амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты внешней силы?
При увеличении частоты внешней силы амплитуда колебаний постепенно возрастает.
Она достигает максимума, когда частота вынужденных колебаний становится равной частоте внешней периодически действующей силы.
При дальнейшем увеличении частоты амплитуда установившихся колебаний уменьшается.

Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему, с частотой ее свободных колебаний называется резонансом.

Почему возникает резонанс?

При резонансе внешняя сила действует в такт со свободными колебаниями.
Ее направление совпадает с направлением скорости мммаятника, поэтому эта сила совершает только положительную работу.
При установившихся колебаниях положительная работа внешней силы равна по модулю отрицательной работе силы сопротивления.

Большое влияние на резонанс оказывает трение в системе.

Чем меньше коэффициент трения, тем больше амплитуда установившихся колебаний.

Изменение амплитуды вынужденных колебаний в зависимости от трения:

кривая 1 — минимальное трение,
кривая 3 — максимальное трение.
Возрастание амплитуды вынужденных колебаний при резонансе выражено тем отчетливее, чем меньше трение в системе.
При малом трении резонанс «острый», а при большом «тупой».

Согласно закону сохранения энергии вызвать в системе колебания с большой амплитудой при небольшой внешней силе можно только за продолжительное время.
Если трение велико, то амплитуда колебаний будет небольшой, и для установления колебаний не потребуется много времени.

Воздействие резонанса и борьба с ним

Если колебательная система находится под действием внешней периодической силы, и если частота этих периодических усилий совпадает с частотой свободных колебаний системы, то может наступить резонанс и резкое увеличение амплитуды колебаний.

Любое упругое тело, будь то мост, вал двигателя, корпус корабля, представляет собой колебательную систему и характеризуется собственными частотами колебаний.
В то же время железо, сталь и другие материалы при переменных нагрузках со временем теряют прочность, после чего внезапно разрушаются.
Обычно принимаются специальные меры, чтобы не допустить наступления резонанса или ослабить его действие.

Для этого увеличивают трение или же добиваются, чтобы собственные частоты колебаний не совпадали с частотой внешней силы.
Известны случаи, когда приходилось перестраивать океанские лайнеры, чтобы уменьшить вибрацию.
Или при переходе через мост воинским частям запрещается идти в ногу, т.к. строевой шаг приводит к периодическому воздействию на мост.

Источник: «Физика — 11 класс», учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин



Механические колебания. Физика, учебник для 11 класса — Класс!ная физика

Свободные, затухающие и вынужденные колебания — Условия возникновения свободных колебаний. Математический маятник — Динамика колебательного движения. Уравнение движения маятника — Гармонические колебания — Фаза колебаний — Превращение энергии при гармонических колебаниях — Вынужденные колебания. Резонанс — Примеры решения задач — Краткие итоги главы

Механические колебания — Лекция

Лекция № 27

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

План

  1. Колебания. Характеристики гармонических колебаний.

  2. Свободные (собственные) колебания. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение. Гармонический осциллятор.

  3. Энергия гармонических колебаний.

  4. Сложение одинаково направленных гармонических колебаний. Биение. Метод векторной диаграммы.

  5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.

  6. Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Частота затухающих колебаний. Изохронность колебаний. Коэффициент, декремент, логарифмический декремент затухания. Добротность колебательной системы.

  7. Вынужденные механические колебания. Амплитуда и фаза вынужденных механических колебаний.

  8. Механический резонанс. Соотношение между фазами вынуждающей силы и скорости при механическом резонансе.

  9. понятие об автоколебаниях.

1. Колебания. Характеристики гармонических колебаний.

Колебания – движение или процессы, обладающие той или иной степенью повторности во времени.

Гармонические (или синусоидальные) колебания – разновидность периодических колебаний, которые могут быть заменены в виде

(1)

где a – амплитуда, — фаза, — начальная фаза, — циклическая частота, t – время (т.е. применяются со временем по закону синуса или косинуса).

Амплитуда (а) – наибольшее отклонение от среднего значения величины, совершающей колебания.

Фаза колебаний ( ) – изменяющийся аргумент функции, описывающей колебательный процесс (величина t+, стоящая под знаком синуса в выражении (1) ).

Фаза характеризует значение изменяющейся величины в данный момент времени. Значение в момент времени t=0 называется начальной фазой ().

В качестве примера на рисунке 27.1 представлены математические маятники в крайних положениях с разностью фаз колебаний =0 (27.1.а) и = (27.1б)



Рис.27.1а

Разность фаз колебаний маятников проявляется отличием в положении колеблющихся маятников.

Циклической или круговой частотой называется количество колебаний, совершаемое за 2 секунд.

Частотой колебаний (или линейной частотой) называется число колебаний в единицу времени. За единицу частоты принимается частота таких колебаний, период которых равен 1с. Эту единицу называют Герц (Гц).

Промежуток времени, за который совершается одно полное колебание, а фаза колебания получает приращение, равное 2, называется периодом колебания (рис. 27.2).


T

Частота связана с пе-

риодом Т соотношении-

T

ем

t

Связь циклической частоты с линейной

рис. 27.2

2. Свободные колебания. Свободными или собственными называются такие колебания, которые происходят в системе, выведенной из положения равновесия и предоставленной самой себе.

Рассмотрим колебания груза на пружине, совершаемые на гладкой горизонтальной поверхности (рис. 27.3). Если растянуть пружину на некоторое расстояние х, и затем отпустить, то на груз будет действовать упругая

сила = — кх, где к — коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью пружины. Знак «-» указывает на то, что сила направлена в сторону, противоположную направлению оси Х (направлению растяжения). В проекции на ось Х второй закон Ньютона на уравнение движения запишется


X

X

.

Поделив обе части уравнений на m

и перенеся в левую часть

.

Обозначив , получим линейное дифференциальное однородное уравнение второго порядка

(2)

(линейное – т.е. и сама величина х, и ее производная в первой степени; однородное – т.к. нет свободного члена, не содержащего х ; второго порядка – т.к. вторая производная х).

Уравнение (2) решается (*) подстановкой х = . Подставляя в (2) и проводя дифференцирование

.

Получаем характеристическое уравнение

.

Это уравнение имеет мнимые корни: ( -мнимая единица).

Общее решение имеет вид

где и — комплексные постоянные.

Подставляя корни, получим

(3)

(Замечание: комплексным числом z называется число вида z = x + iy, где x,y – вещественные числа, i – мнимая единица (= -1). Число х называется вещественной частью комплексного числа z.. Число у называется мнимой частью z).

(*) В сокращенном варианте решение можно опустить

Выражение вида можно представить в виде комплексного числа с помощью формулы Эйлера

аналогично

(т.к. .

Положим и в виде комплексных постоянных = А, а = А, где А и произвольные постоянные. Из (3) получим

Обозначив получим

Используя формулу Эйлера

Т.е. получим решение дифференциального уравнения для свободных колебаний

(4)

где — собственная круговая частота колебаний, А – амплитуда.

Смещение х применяется со временем по закону косинуса, т.е. движение системы под действием упругой силы f = -кх представляет собой гармоническое колебание.

Если величины, описывающие колебания некоторой системы периодически изменяются со временем, то для такой системы пользуются термином «осциллятор».

Линейным гармоническим осциллятором называется такой, движение которого описывается линейным уравнением .

3. Энергия гармонических колебаний. Полная механическая энергия системы, изображенной на рис. 27.2 равна сумме механической и потенциальной энергий.

Продифференцируем по времени выражение (, получим

= = -asin(t + ).

Кинетическая энергия груза (массой пружины пренебрегаем) равна

E = .

Потенциальная энергия выражается известной формулой подставляя х из (4), получим

т.к. .

Полная энергия

величина постоянная. В процессе колебаний потенциальная энергия переходит в кинетическую и наоборот, но каждая энергия остается неизменной.

4. Сложение одинаково направленных колебаний.. Обычно одно и то же тело участвует в нескольких колебаниях. Так, например, звуковые колебания, воспринимаемые нами при слушании оркестра представляют собой сумму колебаний воздуха, вызываемых каждым из музыкальных инструментов в отдельности.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления. Смещение х колеблющегося тела будет суммой смещений и . Положим равными, для простоты, амплитуды и начальные фазы Тогда

.

Воспользовавшись формулой суммы косинусов, получим

(5)

Биения. Пусть два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. Обозначим частоту одного из колебаний , частоту второго . При этом Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и равными а. Начальные фазы для упрощения задачи положим равными нулю. Тогда

Сложим эти колебания, воспользовавшись формулой (5), получим

(6)

Во втором сомножителе (6) пренебрегли по сравнению с . Множитель меняется гораздо медленнее, чем (т.к. ). Результирующее колебание х можно рассматривать как гармоническое с частотой , амплитуда которого меняется по закону от -2а до +2а (амплитуда – величина положительная). Такие колебания называются биениями. Они представлены на рис.27.4.

t

-2a

Рис. 27.4

Частота пульсаций амплитуды называется частотой биений. Промежуток времени между соседними моментами времени, когда амплитуда максимальна, называется периодом биений Тб. За это время разность фаз изменяется на , т.е.

Таким образом период биений

Метод векторной диаграммы.

Колебания изображаются графически в виде векторов на плоскости (рис.27.5). Вектор-амплитуда вращается с угловой скоростью против часовой стрелки. Если в момент t = 0 вектор образует с осью Х угол , то проекцию вектора на ось Х можно записать в виде гармонического закона .

С

кие колебания с амплитудой, равной длине вектора, круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и начальной фазой, равной углу образуемому вектором с осью в начальный момент времени.

при сложении колебаний одного направления. Рассмотрим случай, когда частоты складываемых колебаний одинаковы.

ледовательно, проекция вектора на ось Х будет совершать гармоничес-

t + 

Х

Такой способ удобно использовать

О

Рис. 27.5

Каждое из складываемых колебаний можно представить с помощью векто

ров и , сумма проекций которых на ось Х равна проекции суммы

векторов

Так как векторы и вращаются с одной и той же угловой скоростью , с той же угловой скоростью вращается и вектор . Значит, результирующее колебание тоже является гармоническим и имеет вид

,

Рис.27.6

Х

где и находим на рис. 27.6

  1. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.

Фигуры Лиссажу – это замкнутые траектории точки, совершающей два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Впервые изучены французским ученым Ж.Лиссажу.

Вид фигур Лиссажу зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. Рассмотрим случай, когда частоты складываемых колебаний одинаковы, а координаты точки х и у изменяются по законам

(7)

где — разность фаз обоих колебаний. Уравнения (7) представляют уравнение траектории в параметрической форме, где параметр t – время. Решая совместно оба уравнения с целью исключения параметра t, получим (без вывода) уравнение

(8)

Рассмотрим некоторые частные случаи.

  1. При = 0 уравнение (8) принимает вид

откуда получается уравнение прямой

.

Колеблющаяся точка перемещается по этой прямой (рис.27.7).

Х

Х

Х

У

У

У

b

a

Рис.27.7

Рис.27.8

Рис.27.9

  1. Разность фаз . Уравнение (8) имеет вид

.

Результирующее движение вдоль прямой (рис.27.8)

3) При уравнение (8) переходит в

т.е.уравнение эллипса, полуоси которого равны а и b (рис.27.9). При равенстве

а = b эллипс вырождается в окружность.

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид достаточно сложных кривых.

6. Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение.

В любой реальный колебательной системе есть силы сопротивления (трения), действия которых приводит к уменьшению амплитуды и энергии колебаний. Такие колебания называют затухающими.

В этом случае, уравнение движения для системы на рис.27.3 будет иметь вид

.

Учитывая, что а силу сопротивления, которая обычно пропорциональна скорости, можно записать как где r – коэффициент сопротивления, т.е. коэффициент пропорциональности между скоростью и силой сопротивления, уравнение движения приобретает вид

.

Перенося члены из правой части в левую, поделив уравнение на m и обозначив, получим уравнение в виде

(9)

где — частота, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствии сопротивления среды (собственная частота системы).

Коэффициент , характеризующий скорость затухания

колебаний, называется коэффициентом затухания.

Решение уравнения (9) имеет вид

(10)

где и — постоянные, определяемые начальными условиями — частота затухающих колебаний

График функции (10) показан на рис.27.10.

x

Множитель в уравнении (10) называют амплитудой затухающих колебаний. Такие колебания можно рассматривать как гармонические с частотой и уменьшающейся со временем амплитудой . Заметим, что независимость частоты (периода) собственных колебаний от амплитуды называется

изохронностью. Изохронность характерна для линейных систем.

t

В линейных системах изохронность практически соблюдается только в области достаточно малых амплитуд.

нию равновесия.

Кроме коэффициента затухание характеризуют и другими величинами. Найдем отношение амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период

.

Другое замечание. Если то процесс называется апериодическим (непериодическим). Выведенная из положения равновесия система, возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний (рис.27.11, кривая 1). Кривая 2 получается в том случае, если выведенной из положения равновесия системе сообщить достаточно сильный толчок к положе-

t

1

Это отношение называется декрементом затухания, а его натуральный логарифм – логарифмическим декрементом затухания

(11)

где Т – период затухающих колебаний. Для выяснения физического смысла возьмем некоторое время за которое амплитуда уменьшается в е раз (время релаксации). Тогда т.к. (из (11) ), то . Обозначим количество колебаний за время , тогда и , т.е. логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Кроме того, для характеристики колебательной системы часто употребляется такая величина

(12)

называемая добротностью колебательной системы (добротностью осциллятора). Добротность пропорциональна числу колебаний , совершаемых системой за то время , за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

7. Вынужденные механические колебания. Свободные колебания реальной колебательной системы являются затухающими. Чтобы колебания были незатухающими, необходимо компенсировать потери энергии, обусловленные силами сопротивления. Это можно сделать, воздействуя на систему (рис.27.3) внешней силой, изменяющейся по гармоническому закону где — частота вынуждающей силы. Уравнение движения запишется с учетом всех сил () запишется в виде

Поделив обе части на m и перенося первые два члена из правой части в левую, получим

Обозначив, как и в п.6 , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

(13)

Уравнение является неоднородным. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения

.

Общее решение однородного уравнения (правая часть (13) равна нулю) нам уже известно

.

роль уменьшается и по прошествии некоторого времени им можно пренебречь и остается только частные решения неоднород-

Слагаемое играет заметную роль только в начальной стадии процесса (рис.27.12). С течением времени из-за экспоненциального множителя

х

t

ного уравнения (без вывода)

(14)

Функция (14) описывает установившиеся вынужденные гармонические колебания с частотой, равной частоте вынужденной силы.

Амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Для данной колебательной системы (определенных и) амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания также зависит от частоты вынуждающей силы.

8. Механический резонанс. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой.

Чтобы найти резонансную частоту , нужно найти максимум амплитуды функции (14), т.е. максимум функции

(15)

Или, что-то же самое, найти минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе (15). Продифференцировав выражение

по и приравняв к нулю, получим

.

Проведя дальнейшие простые преобразования, получим

,

а т.к. частота по своему смыслу не может быть отрицательной, то выбираем решение со знаком «+». Итак, резонансная частота


(16)

График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты изменения вынуждающей силы в соответствии с выражением (15) представлен на рис.27.13. При →0 все кривые приходят к одному и тому же значению , . При , . Чем меньше , тем острее максимум.

Рис.27.13

Происхождение резонансного усиления колебаний можно уяснить себе, обратив внимание на соотношение между фазами вынуждающей силы и скорости. Если , то между вынуждающей силой и скоростью существует определенная разность фаз, поэтому в течение некоторой доли каждого периода сила направлена противоположно , т.е.

стремится замедлить движение. При резонансе же фазы силы и скорости совпадают, так что сила «подталкивает» движение.

9. Понятие об автоколебаниях. Автоколебания – незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, не обладающего колебательными свойствами. Свойства колебаний определяются самой системой.

Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциями в такт с ее колебаниями.

Форма, амплитуда и частота колебаний задаются самой системой.

Примером автоколебательной системы могут служить часы. Энергия берется либо за счет раскручивающейся пружины, либо за счет опускающегося груза, но ни пружина, ни груз не являются вынуждающей силой, формулирующей колебания(внешняя сила не обладает колебательными свойствами). Колебания воздуха в духовых инструментах и органных трубах также возникают вследствие автоколебаний, поддерживаемых воздушной струей. Другие примеры – электрический звонок, скрипка и т.п.

Вопросы для самоконтроля.

  1. Какие колебания называются гармоническими? Приведите примеры гармонических колебаний.

  2. Дайте определение следующих характеристик гармонического колебания: амплитуды, фазы, начальной фазы, периода, частоты, циклической частоты.

  3. Выведите дифференциальное уравнение гармонических колебаний и напишите его решение.

  4. Как изменяются со временем кинетическая и потенциальная энергии гармонического колебания? Почему полная энергия гармонического колебания остается постоянной?

  5. Выведите дифференциальное уравнение, описывающее затухающие колебания и напишите его решение.

  6. Что такое логарифмический декремент затухания и добротность колебательной системы?

  7. Выведите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и проанализируйте решение.

  8. Что такое резонанс? Нарисуйте график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы, когда эта сила является простой гармонической функцией времени.

  9. Что такое автоколебания? Приведите примеры автоколебаний.

Владимирский государственный университет

А.Ф. ГАЛКИН, О.Я. БУТКОВСКИЙ

ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ

Часть 4

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Владимир 2007

Амплитуда и фаза вынужденных колебаний, резонанс

| на главную | доп. материалы | физика как наука и предмет | колебания и волны |

Организационные, контрольно-распорядительные и инженерно-технические услуги
в сфере жилой, коммерческой и иной недвижимости. Московский регион. Официально.

Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты w. Механические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, называя колеблющуюся величину либо смещением (х) колеблющегося тела из положения равновесия, либо зарядом (Q) конденсатора.

Из формулы (147.8) следует, что амплитуда А смещения (заряда) имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту wрез, — частоту, при которой амплитуда А сме­щения (заряда) достигает максимума, — нужно найти максимум функции (147.8), или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкорен­ное выражение по w и приравняв его нулю, получим условие, определяющее wрез :

Это равенство выполняется при w=0, ±, у которых только лишь положи­тельное значение имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота

                                                      (148.1)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к ча­стоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом (соответственно механическим или электрическим). При  значение wрез практически совпадает с собственной частотой w0 колебательной системы. Подставляя (148.1) в формулу (147.8), получим

                                                                  (148.2)

На рис. 210 приведены зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты при различных значениях d. Из (148.1) и (148.2) вытекает, что чем меньше d, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если w® 0, то все кривые (см. также (147.8)) достигают одного в того же, отличного от нуля, предельного значения , которое называют статическим отклонением. В случае механических колебаний , в случае электромагнитных – Um/(L). Если w®¥, то вое кривые асимптотически стремятся к нулю. Приведенная совокупность кривых называется резонансными кривыми.

Из формулы (148.2) вытекает, что при малом затухании () резонансная амплитуда смещения (заряда)

где Q — добротность колебательной системы (см. (146.8)), рассмотренное выше статическое отклонение. Отсюда следует, что добротность Q характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше Арез.

На рис. 211 представлены резонансные кривые для амплитуды скорости (тока). Амплитуда скорости (тока)

максимальна при wрез=w0 и равна , т. е. чем больше коэффициент затухания d, тем ниже максимум резонансной кривой. Используя формулы (142.2), (146.10) и (143.4), (146.11), получим, что амплитуда скорости при механическом резонансе равна

а амплитуда тока при электрическом резонансе

Из выражения tgj =  (см. (147.9)) следует, что если затухание в системе отсутствует (d=0), то только в этом случае колебания и вынуждающая сила (прило­женное переменное напряжение) имеют одинаковые фазы; во всех других случаях j ¹0.

Зависимость j от w при разных коэффициентах d графически представлена на рис. 212, из которого следует, что при изменении w изменяется и сдвиг фаз j. Из формулы (147.9) вытекает, что при w=0 j=0, а при w=w0 независимо от значения коэффициента затухания j = p/2, т. е. сила (напряжение) опережает по фазе колебания на p/2. При дальнейшем увеличении w сдвиг фаз возрастает и при w>>w0j ® p, т. е. фаза колебаний почти противоположна фазе внешней силы (переменного напряжения). Семейство кривых, изображенных на рис. 212, называется фазовыми резонансными кривыми.

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы собственная частота колебаний их не совпадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний прибора. Так, радиотехника, прикладная акустика, электротехника используют явление резонанса.


Резонанс — механический, электрический и звуковой: сообщение

Резонанс является одним из интереснейших физических явлений. И чем глубже становятся наши познания об окружающем нас мире, тем явственнее прослеживается роль этого явления, в различных сферах нашей жизни — в музыке, медицине, радиотехнике и даже на детской площадке.

Каков же смысл этого понятия, условия его возникновения и проявление?

Собственные и вынужденные колебания. Резонанс

Вспомним простое и приятное развлечение — раскачивание на подвесных качелях.

Прикладывая в нужный момент совсем незначительное усилие, ребёнок может раскачивать взрослого. Но для этого частота воздействия внешней силы должна совпасть с собственной частотой раскачивания качелей. Только в этом случае амплитуда их колебаний заметно вырастет.

Итак, резонанс это явление резкого возрастания амплитуды колебаний тела, когда частота его собственных колебаний совпадет с частотой действия внешней силы.

Прежде всего, разберемся в понятиях — собственные и вынужденные колебания. Собственные — присущи всем телам — звёздам, струнам, пружинам, ядрам, газам, жидкостям… Обычно они зависят от коэффициента упругости, массы тела и других его параметров. Такие колебания возникают под воздействием первичного толчка, осуществляемой внешней силой. Так, чтобы привести в колебания груз, подвешенный на пружине, достаточно оттянуть его на некоторое расстояние. Возникшие при этом собственные колебания будут затухающими, поскольку энергия колебаний затрачивается на преодоление сопротивления самой колебательной системы и окружающей среды.

Вынужденные колебания возникают при воздействии на тело сторонней (внешней) силы с определенной частотой. Эту стороннюю силу ещё называют вынуждающей силой. Очень важно, чтобы эта внешняя сила действовала на тело в нужный момент и в нужном месте. Именно она восполняет потери энергии и увеличивает её при собственных колебаниях тела.

Механический резонанс

Очень ярким примером проявления резонанса является несколько случаев обрушения мостов, когда по ним строевым шагом проходила рота солдат.

Чеканный шаг солдатских сапог совпал с собственной частотой колебаний моста. Он стал колебаться с такой амплитудой, на которую его прочность не была рассчитана и… развалился. Тогда и родилась новая воинская команда «…не в ногу». Она звучит, когда пешая или конная рота солдат проходит по мосту.

Если вам случалось путешествовать на поезде, то самые внимательные из вас обратили внимание на заметные покачивания вагонов, когда его колеса попадают на стыки рельс. Это так вагон откликается, т. е. резонирует с колебаниями, возникающими при преодолении этих зазоров.

Корабельные приборы снабжают массивными подставками или подвешивают на мягких пружинах, чтобы избежать резонанса этих корабельных деталей с колебаниями корабельного корпуса. При запуске корабельных двигателей судно так может войти в резонанс с их работой, что это грозит его прочности.

Приведенных примеров достаточно, чтобы убедиться в необходимости учитывать резонанс. Но мы иногда и используем механический резонанс, не замечая этого. Выталкивая машину, застрявшую в дорожной грязи, водитель и его добровольные помощники вначале раскачивают её, а затем дружно толкают вперёд по направлению движения.

Раскачивая тяжелый колокол, звонари тоже неосознанно используют это явление.

Они ритмично в такт с собственными колебаниями языка колокола, дергают за прикрепленный к нему шнур, всё увеличивая амплитуду колебаний.

Существуют приборы, измеряющие частоту электрического тока. Их действие основано на использовании резонанса.

Акустический резонанс

На страницах нашего сайта мы познакомили вас с важнейшими сведениями о звуке. Продолжим наш разговор, дополнив его примерами проявления акустического или звукового резонанса.

Для чего у музыкальных инструментов, особенно у гитары и скрипки такой красивый корпус? Неужели лишь для того, чтобы красиво выглядеть? Оказывается, нет. Он нужен для правильного звучания, всей издаваемой инструментом звуковой палитры. Звук, издаваемый самой гитарной струной достаточно тихий. Чтобы его усилить струны, располагают поверх корпуса, имеющего определенную форму и размеры. Звук, попадая внутрь гитары, резонирует с различными частями корпуса и усиливается.

Сила и чистота звука зависит от качества дерева, и даже от лака, которым покрыт инструмент.

Имеются резонаторы и в нашем голосовом аппарате. Их роль выполняют самые различные воздушные полости, окружающие голосовые связки. Они-то усиливают звук, формируют его тембр, усиливая именно те колебания, частота которых близка к их собственной. Умение использовать резонаторы своего голосового аппарата — это одна из сторон таланта певца. Им в совершенстве владел Ф.И. Шаляпин.

Рассказывают, что когда этот великий артист пел во всю мощь, гасли свечи, тряслись люстры и трескались гранёные стаканы.

Т.е. явление звукового резонанса играет громадную роль в восхитительном мире звуков.

Электрический резонанс

Не миновало это явление и электрические цепи. Если частота изменения внешнего напряжения совпадет с частой собственных колебаний цепи, то может возникнуть электрический резонанс. Как всегда он проявляется в резком возрастании и силы тока и напряжения в цепи. Это чревато коротким замыкание и выходом из строя приборов, включённых в цепь.

Однако именно резонанс позволяет нам настроиться на частоту определенной радиостанции. Обычно на антенну поступает множество частот от различных радиостанций. Вращая ручку настройки, мы меняем частоту приёмного контура радиоприёмника.

Когда одна из пришедших на антенну частот совпадет с этой частотой, тогда мы и услышим эту радиостанцию.

Волны Шумана

Между поверхностью Земли и ее ионосферой существует слой, в котором очень хорошо распространяются электромагнитные волны. Этот небесный коридор называют волноводом. Рождающиеся здесь волны могут несколько раз огибать Землю. Но откуда они берутся? Оказалось, что они возникают при разрядах молний.

Профессор Мюнхенского технического университета Шуман рассчитал их частоту. Выяснилось, что она равна 10 Гц. Но именно с таким ритмом происходят колебания человеческого мозга! Этот удивительный факт не мог быть простым совпадением. Мы живём внутри гигантского волновода, который своим ритмом управляет нашим организмом. Дальнейшие исследования подтвердили это предположение. Оказалось, что искажение волн Шумана, например, при магнитных бурях ухудшает состояние здоровья людей.

Т.е. для нормального самочувствия человека ритм важнейших колебаний человеческого организма должен резонировать с частотой волн Шумана.

Электромагнитный смог от работы бытовых и промышленных электроприборов искажают природные волны Земли, и разрушает наши тонкие взаимосвязи со своей планетой.

Законам резонанса подчинены все объекты Вселенной. Этим законам подчиняются даже взаимоотношения людей. Так, выбирая себе друзей, мы ищем себе подобных, с которыми нам интересно, с которыми находимся «на одной волне».

Автор: Драчёва Светлана Семёновна


Если это сообщение тебе пригодилось, буда рада видеть тебя в группе ВКонтакте. А ещё — спасибо, если ты нажмёшь на одну из кнопочек «лайков»:

Вы можете оставить комментарий к докладу.

Явление резонанса в природе и технике

В индивидуальной исследовательской работе по физике на тему «Явление резонанса в природе и технике» автор изучает литературу, связанную с темой резонанса, углубляет и расширяет знания по теме, определяет значение резонанса в разных отрослях.

Подробнее о работе:


В рамках исследовательского проекта по физике о явлении резонанса в природе и технике дается справочная информация о резонансе, выясняется взаимосвязь резонанса и колебаний, описываются виды колебаний и условия для возникновения резонанса, изучается характер проявления резонанса, поясняется, в чем заключается польза и вред резонанса в природе и технике.

В ходе учебного исследовательского проекта по физике «Явление резонанса в природе и технике» учащийся провел эксперимент с обычным маятником и установил принцип действия резонанса в созданных условиях. Ученический проект также содержит описание наглядных примеров того, как проявляется резонанс и каким образом это явление применяется в различных отрослях.

Оглавление

Введение
1. Виды колебаний.
2. Вред и польза резонанса.
3. Примеры резонанса и применения.
4. Опыт.
Заключение
Литература

Введение


Мы часто слышим слово резонанс: «общественный резонанс», «событие, вызвавшее резонанс», «резонансная частота». Вполне привычные и обыденные фразы. Но можем ли мы точно сказать, что такое резонанс? Для этого я и провел исследовательскую работу, чтобы точно знать, что такое резонанс.

Прежде чем начать разговор о резонансе, нужно разобраться, что такое колебания и их частота.

Простейший пример колебаний — катание на качелях. Мы приводим его не зря, этот пример еще пригодится нам для понимания сути явления резонанса в дальнейшем.

Резонанс может наступить только там, где есть колебания. И не важно, какие это колебания – колебания электрического напряжения, звуковые колебания, или просто механические колебания на систему с собственной частотой системы.

Актуальность: Резонанс имеет большое влияние в различных отрослях.

Цель работы: Углубление и расширение знаний по теме «Резонанс в природе и технике».

Задачи работы:

  1. Изучение литературы связанной с резонансом
  2. Провести исследование
  3. Сделать вывод по проделанной работе

Предмет исследования: Резонанс.

Объект исследования: Резонанс в природе и технике.

Методы исследования: Теоретический и эксперементальный.

Виды колебаний


Свободные — колебания, происходящие под воздействием одной возвращающей силы (первоначально сообщенной энергии).

Вынужденные — колебания, происходящие под воздействием внешней периодически меняющейся силы (вынуждающей силы).

Автоколебания- колебания, происходящие при периодическом поступлении энергии от источника внутри колебательной системы.

Колебания характеризуются амплитудой и частотой. Для уже упомянутых выше качелей амплитуда колебаний — это максимальная высота, на которую взлетают качели. Также мы можем раскачивать качели медленно или быстро. В зависимости от этого будет меняться частота колебаний.

Частота колебаний (измеряется в Герцах) — это количество колебаний в единицу времени. 1 Герц — это одно колебание за одну секунду.

Когда мы раскачиваем качели, периодически раскачивая систему с определенной силой (в данном случае качели – это колебательная система), она совершает вынужденные колебания. Увеличения амплитуды колебаний можно добиться, если воздействовать на эту систему определенным образом.

Толкая качели в определенный момент и с определенной периодичностью можно довольно сильно раскачать их, прилагая совсем немного усилий. Это и будет резонанс: частота наших воздействий совпадает с частотой колебаний качелей и амплитуда колебаний увеличивается.

Таким образом суть явления резонанса в физике состоит в том, что амплитуда колебаний резко возрастает при совпадении частоты воздействия.

Вред и польза резонанса

Использование:

  • Растворение порошкового молока в воде.
  • Резонаторы в музыкальных инструментах.
  • Магнитно-резонансное обследование организма.
  • Раскачивание качелей.
  • Раскачивание языка колокола.
  • Резонансные замки и ключи.

Вред:

  • Разрушение сооружений.
  • Обрыв проводов.
  • Расплескивание воды из ведра.
  • Раскачивание вагона на стыках рельсов.
  • Вибрации в трубопроводах.
  • Раскачивание груза на подъёмном кране.

К примеру, польза резонаторов в музыкальных инструментах.

Звуковые колебания, переносимые звуковой волной, могут служить вынуждающей, периодически изменяющейся силой для колебательных систем и вызывать в этих системах явление резонанса, т.е. заставить их звучать. Такой резонанс называют акустическим.

Например, устройство для получения чистого тона, т.е. звука одной частоты, камертон сам по себе дает очень слабый звук, потому что площадь поверхности колеблющихся ветвей камертона, соприкасающейся с воздухом, мала и в колебательное движение приходит слишком мало частиц воздуха.

Поэтому камертон обычно укрепляют на деревянном ящике, подобранном так, чтобы частота его собственных колебаний была равна частоте звука, создаваемого камертоном. Благодаря резонансу стенки ящика тоже начинают колебаться с частотой камертона, поэтому звук оказывается значительно более громким.

Резонанс – один из важнейших физических процессов, используемых при проектировании звуковых устройств, большинство из которых содержат резонаторы, например, струны и корпус скрипки, трубка у флейты, корпус у барабанов. Благодаря резонансу звучность музыкальных инструментов усиливается, и обогащается их тембровая окраска.

Возьмём гитару. Само по себе звучание струн гитары будет тихим и почти неслышным. Однако струны неспроста устанавливают над корпусом – резонатором. Попав внутрь корпуса, звук от колебаний струны усиливается, а тот, кто держит гитару, может почувствовать, как она начинает слегка «трястись», вибрировать от ударов по струнам. Иными словами, резонировать.

Великий композитор Бетховен, например, вообще был глухим. Он приставлял к роялю конец своей трости, а другой ее конец прижимал к зубам. И звук доходил до его внутреннего уха, которое было здоровым. Если взять в зубы тикающие наручные часы и заткнуть себе уши, то тиканье превратится в сильные, тяжелые удары — настолько оно усилится.

Удивительные факты — почти глухие люди разговаривают по телефону, прижимая трубку к височной кости. Глухие часто танцуют под музыку, ведь звук проникает в их внутреннее ухо через пол и кости скелета. Вот какими удивительными путями доходят звуки до слухового нерва человека, но «музыкальный слух» при этом остается.

Примеры резонанса и применения


Применение явления электрического резонанса в технике.

Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω0, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом. Зависимость амплитуды xm вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой.

При резонансе амплитуда xm колебания груза может во много раз превосходить амплитуду ym колебаний свободного (левого) конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать.

В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.

У колебательных систем с не очень высокой добротностью

Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.

Электрический резонанс

Явление возрастания амплитуды колебаний тока при совпадении частоты внешнего источника с собственной частотой электрической цепи называется электрическим резонансом.

Явление электрического резонанса играет полезную роль при настройке радиоприемника на нужную радиостанцию, изменяя величины индуктивности и ёмкости, можно добиться того, что собственная частота колебательного контура совпадёт с частотой электромагнитных волн, излучаемых какой-либо радиостанцией. В результате этого в контуре возникнут резонансные малы. Это приводит к настройке радиоприёмника на нужную станцию.

Еще одной из особенностей электрического резонанса является возможность использование его в двигателях с активными постоянными магнитами. Поскольку управляющий электромагнит периодически меняет полярность, т.е. питается переменным током, электромагниты можно включить в состав колебательного контура с емкостью.

Соединение электромагнитов может быть последовательное, параллельное или комбинированное, а емкость подбирается по резонансу на рабочей частоте двигателя, при этом среднее значение тока через электромагниты будет большим, а внешняя подпитка по току будет компенсировать в основном активные потери. По всей видимости, данный режим работы будет наиболее привлекательным с точки зрения экономичности, а двигатель в этом случае будет называться магнитно- резонансный шаговый.

Механика

Наиболее известная большинству людей механическая резонансная система — это обычные качели. Если вы будете подталкивать качели в соответствии с их резонансной частотой, размах движения будет увеличиваться, в противном случае движения будут затухать.

Резонансные явления могут вызвать необратимые разрушения в различных механических системах. В основе работы механических резонаторов лежит преобразование потенциальной энергии в кинетическую.

Струна


Струны таких инструментов, как лютня, гитара, скрипка или пианино, имеют основную резонансную частоту, напрямую зависящую от длины, массы и силы натяжения струны. Увеличение натяжения струны и уменьшение её массы (толщины) и длины увеличивает её резонансную частоту. Однако частоты, не гармонические колебания, которые и воспринимаются как музыкальные ноты.

Электроника

В электронных устройствах резонанс возникает на определённой частоте, когда индуктивная и ёмкостная составляющие реакции системы уравновешены, что позволяет энергии циркулировать между магнитным полем индуктивного элемента и электрическим полем конденсатора.

Механизм резонанса заключается в том, что магнитное поле индуктивности генерирует электрический ток, заряжающий конденсатор, а разрядка конденсатора создаёт магнитное поле в повторяется многократно, по аналогии с механическим маятником.

Общественный резонанс

Общественный резонанс — это реакция множества людей (возмущение, волнение, отклики и т.д.) на определенные действия (информация, поведение, высказывание и т.п.) кого-либо или чего-либо. Общественный резонанс может быть вызван искусственно путем привлечения средствами массовой информации общественного внимания к тому или иному социальному или политическому событию.

Кроме того, общественный резонанс используется теми или иными группами для давления на судебные органы, исполнительную и законодательную власть, правительство, общественные организации и политические партии.

Опыт

Проведем опыт на примере обычного маятника.

Подвесим грузик на нити и зададим ему движение путем отодвинув на небольшое расстояние от нулевой точки (точки покоя тела). После чего, тело (грузик) будет колебаться из стороны в сторону, демонстрируя нам обычный механический резонанс.

В таком положение грузик будет всегда двигаться с одной и той же частотой в независимости от того какую кинетическую силу мы ему зададим, его частота может измениться только при изменение веса грузика или же длины нити. К примеру, если этот грузик поднять повыше на нить, то частота его колебаний увеличиться, а если мы его опустим ниже то частота будет уменьшаться.

Сделаем вывод из проведенного опыта. Вывод таков, что резонанс присутствует всегда и везде и всегда имеет свою определенную частоту

Заключение

Мой вывод из проделанной работы таков, что резонанс неотъемлемая часть нашей жизни и присутствует везде, как в электричестве, оптике, механике и тому подобное. Резонанс иногда бывает полезен как в музыке, или вреден как допустим при подъеме грузов (раскачивание груза).

Список литературы

  1. М. Прикладные методы в теории колебаний. — М.: Наука, 1988.Универсальный справочник, С.Ю. Курганов, Н.А. Гырдымова — М.:Эксмо, 2011.
  2. Интернет-ресурсы.

Если страница Вам понравилась, поделитесь в социальных сетях:

Вынужденные механические колебания. Резонанс

Механика Вынужденные механические колебания. Резонанс

просмотров — 269

Вынужденные механические колебания происходят, когда на систему, кроме упругой силы и силы сопротивления, действует сила, величина которой меняется с течением времени по гармоническому закону. Эта внешняя сила периодически пополняет энергию системы, расходуемую на работу против силы сопротивления. По этой причине в системе с течением времени устанавливаются вынужденные колебания с постоянной амплитудой.

Запишем II закон Ньютона для этого случая:

, (5.71)

где , — частота внешней силы. (5.72)

В проекции на направление движения (ось ) это уравнение имеет вид:

Введем обозначения: ; ; .

(5.73)

— это дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний. Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения неднородного уравнения:

 
 
. (5.74)

С течением времени первое слагаемое в этом выражении быстро уменьшается, в связи с этим установившиеся вынужденные колебания описываются вторым слагаемым. График зависимости x(t) в этом случае изображен на рис. 5.18.

Частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте внешней силы , амплитуда и начальная фаза определяются соотношениями:

, (5.75)

. (5.76)

Начальная фаза в данном случае определяет сдвиг по фазе между установившимися вынужденными колебаниями и внешней силой.

Проанализируем зависимость амплитуды установившихся колебаний от частоты внешней силы :

1) , ;

2) , ; (5.77)

3) в системе, совершающей вынужденные колебания, возможно явление резонанса.

Резонанс — ϶ᴛᴏ резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при определœенной частоте внешней силы. Найдем резонансную частоту. Для этого производную по от приравняем к нулю:

; ,

; .

Два корня этого уравнения (при и ) соответствуют минимумам . При

(5.78)

амплитуда установившихся вынужденных колебаний достигает максимального значения. Это и есть резонансная частота.

Рис.5.19

Найдем амплитуду колебаний при резонансе:

. (5.79)

Зависимости от называются резонансными кривыми. Резонансные кривые в случае острого резонанса (затухание мало, ) и тупого резонанса (сильное затухание, ) представлены на рис. 5.19. Острота резонанса, ᴛ.ᴇ. высота и ширина резонансного пика, зависят от коэффициента затухания .

Механическая резонансная частота и как ее анализировать

В какой-то момент своей карьеры системные инженеры, вероятно, столкнутся с ситуацией, когда резонансная реакция системы вызывает проблемы с движением и / или слышимое раздражение. Этот резонанс или вибрация нежелательны и могут привести к значительному снижению производительности. Например, фрезерный станок с ЧПУ (который обычно имеет высокую резонансную частоту из-за высокой жесткости) [1] будет дрожать вокруг желаемой траектории фрезерования при возбуждении резонансной частоты.Другой пример — фармацевтический инструмент для работы с жидкостью, в котором возникают неожиданные вибрации, вызывающие перемешивание транспортируемого жидкого раствора. В этой статье будет рассмотрено, почему присутствуют резонансы и какие инструменты можно использовать для их анализа.

Почему механические системы демонстрируют резонансную частоту?

Первым шагом в ответе на этот вопрос является создание модели механической системы. Для определения положения массы с учетом трения и податливости требуется, чтобы модель была системой одного или нескольких дифференциальных уравнений 2-го порядка (или выше).Чтобы найти решение, а также упростить анализ поведения, нерешенные уравнения временной области преобразуются в s-область с помощью преобразования Лапласа . Это облегчает создание передаточной функции системного уровня, которую также называют «характеристическим уравнением».

Знаменатель передаточной функции содержит переменные состояния порядка n. Значения s (действительные и / или мнимые), где знаменатель равен нулю, называются корнями знаменателя, которые называются «полюсами».Числитель может быть константой или содержать переменные состояния порядка n, аналогичные знаменателю. Значения s (действительные и / или мнимые), где числитель равен нулю, называются корнями числителя, которые называются «нулями». Если числитель постоянный, то нулей нет. Эта информация может быть использована для формулирования решения модели во временной области. Однако используемый здесь частотный анализ будет ограничен s-областью для простоты вычислений.

Полюса и нули очень полезны для определения поведения и стабильности.Например, критерии устойчивости диктуют, что порядок знаменателя (количества полюсов) не должен быть меньше порядка числителя (количества нулей). Кроме того, действительная часть доминирующих полюсов должна быть отрицательной (левая часть s-плоскости), чтобы система считалась стабильной. Полюса будут использоваться здесь для объяснения существования резонансной частоты.

Инерциальные системы имеют резонансную частоту, которая существует из-за внутренних свойств. Однако система должна быть более сложной, чем инерция чисто твердого тела, иначе ее характеристическое уравнение будет иметь только полюсы в нуле.Другие члены в характеристическом уравнении, которые могут быть такими же простыми, как член податливости (пружина), будут вводить ненулевые частотные составляющие (корни с мнимыми частями) в характеристическое уравнение. Чисто инерциальные системы будут иметь полюса на нуле и, следовательно, не будут иметь резонансной частоты.

«Твердое тело» — это просто академическая конструкция, которой не существует в реальном мире, поэтому даже простые инерционные системы могут демонстрировать механическую резонансную частоту, когда к ним добавляются пружинные элементы (податливость) и / или демпфирующие компоненты (вязкое трение). модель.Некоторые системы достаточно демпфированы, чтобы подавить резонансную частоту. В этом случае резонансная частота все еще существует (мнимая часть корней), но она едва заметна, так как действительные части корней доминируют в отклике.

Демонстрационная установка

Система, используемая в этой демонстрации (рис. 1), представляет собой массу в верхней части металлической линейки, которая действует как пружина. Нижняя часть пружины прикреплена к ступени линейного двигателя. Для простоты будет анализироваться только движение в направлении линейного двигателя.Движение м 2 будет рассматриваться как линейное, что является допустимым приближением для малых углов. Это упрощение все еще актуально в контексте описания источника резонансной частоты. Кроме того, измеряется только положение двигателя, м 1 .

Модель содержит коэффициент демпфирования системы, b s , который передает силу, пропорциональную скорости и противоположную направлению движения. Это свойство обычно называется «вязким трением» и представляет собой любые фрикционные свойства, пропорциональные скорости.Сила, прикладываемая к системе магнитным полем двигателя, регулируется путем изменения тока в обмотках двигателя.


Рисунок 1 — Демонстрационная система

Реакция положения м 1 на силу, действующую на эту систему, выражается следующим образом:

(Уравнение 1) — Получено из реакции на скорость кручения в Справочном документе 1

Обратите внимание, что член слева от правой части уравнения — это «несвязанный» отклик.Если пружина имеет бесконечную жесткость, крайний правый член равен единице, а две массы жестко прикреплены и действуют как одна масса. В этом случае есть только полюса на нуле и, следовательно, нет резонансной частоты.

Член справа вводит корни с мнимыми компонентами, тем самым создавая потенциал для частотной характеристики. Для случая, когда b s равно нулю, корни этого члена становятся:


(ур. 2)

Введение умеренного демпфирующего срока ( 0.1K s s <0,6K s / w n ) [2], вводит реальную составляющую в корни и перемещает их так, чтобы резонансная частота была немного меньше незатухающей собственной частоты. . Более сильный демпфирующий член ( b s <0,6K s / w n ) [2] еще больше уменьшит резонансную частоту, но отклик на частоте будет ослаблен и окажет небольшое влияние. В этом случае преобладают настоящие части корней.

Из-за нуля в числителе эта модель также будет показывать «антирезонансную» частоту. Это можно наблюдать как уменьшение отклика при заданном антирезонансе. Системы со связанными массами, подобные анализируемой здесь, будут содержать антирезонансную частоту чуть ниже резонансной частоты.

За пределами резонансной частоты отклик больше, чем у системы, в которой массы жестко связаны. В последнем случае вибрация создает больше всего проблем [1].

Экспериментальное определение резонансной частоты

Использование в качестве определения резонансной частоты «частота, на которой система будет демонстрировать локализованный максимальный отклик» означает, что эксперимент может быть проведен в системе, где отклик как функция частоты измеряется.

Один инструмент, называемый частотной разверткой, вводит в систему сигнал переменной частоты. Частотный ввод начинается с предварительно определенного значения и непрерывно изменяется до тех пор, пока не будет достигнуто определенное максимальное значение.Большинство механических систем имеют резонансные частоты в сотни герц или ниже. Если резонансная частота значительна, она обычно производит слышимый звук, который может воспринимать слушатель.

Аналогичный, но более точный инструмент, график Боде, анализирует усиление и фазу отклика и генерирует график в частотной области. Чтобы упростить вычисления на цифровом процессоре, дискретизируется набор дискретных частот, а результаты обрабатываются с помощью БПФ (быстрого преобразования Фурье).

Это видео на YouTube демонстрирует использование различных инструментов в Pro-Motion® для определения резонансной частоты системы на Рисунке 1:

Метод № 1: Расчет на основе трассировки фактического положения реакции на возмущение.

В систему введено нарушение. Функция Pro-Motion SCOPE используется для отслеживания реакции положения м 1 . Резонансная частота — это величина, обратная периоду времени между одним пиком и другим.Из видео видно, что период довольно близок к 100 мс. Это соответствует резонансной частоте 10 Гц.

Метод № 2: Развертка по частоте используется для перехода от низкой к высокой частоте.

На систему действует синусоидальная сила (через магнитное поле двигателя). Колебания системы наблюдаются визуально (или на слух). Отмечается частота локального максимума отклика. Из метода №1 уже известна приблизительная резонансная частота.Однако, если система быстро установится в ответ на введенный «импульс» метода № 1, то данных может не хватить для определения резонансной частоты. Непрерывное возмущение, вводимое методом № 2, предоставит больше данных в этом отношении, поскольку система никогда не успокаивается.

Как видно на видео, амплитуда колебаний фактического положения начинает увеличиваться около отметки 5,2 секунды (11 Гц). Частота продолжает увеличиваться до 14 Гц, и отклик гаснет после прохождения резонансной частоты.Затем развертка меняет направление и перемещается с 14 Гц на 10,5 Гц и остается там. Как и ожидалось, амплитуда отклика увеличивается по мере приближения к резонансной частоте.

Метод № 3: Создается диаграмма Боде системы, охватывающая тот же диапазон частот.

И снова на систему действует синусоидальная сила. На этот раз реакция положения по отношению к приложенной силе используется для расчета усиления и фазы отклика.В этом случае пользователю не нужно полагаться на визуальные или звуковые подсказки. Пользователь может анализировать данные усиления, чтобы найти локальный максимум и частоту, связанную с этим максимумом. Для более детального анализа числовые данные могут быть перенесены в электронную таблицу и проанализированы.


Рис. 2: Данные об усилении Боде в виде электронной таблицы.

Рисунок 2 демонстрирует более точное определение резонансной частоты (10,6 Гц). Антирезонансная частота также может наблюдаться на Рисунке 2 около 10.1 Гц.

В конце дня…

Поскольку никакая инерциальная система не содержит истинных масс «твердого тела», все механические системы имеют ненулевую резонансную частоту. Возбуждение резонансной частоты ухудшит работу системы как с точки зрения кратковременной точности, так и с точки зрения долгосрочного технического обслуживания.

Продемонстрированы три метода экспериментального определения резонансной частоты. Метод №1 обеспечил результат в пределах 10%, но этот метод был ограничен системами, которые имеют недостаточно затухающий отклик на импульс.Метод № 2, который полагается на визуальные и звуковые подсказки, дал эквивалентную точность и работает как в системах с избыточным, так и с недостаточным демпфированием. Метод № 3 предоставил наиболее подробную информацию о частотной характеристике системы. Значительно улучшена точность оценки резонансной частоты. Кроме того, этот метод также позволил идентифицировать антирезонансную частоту.

Ссылки:

1 Дж. Эллис, Средства от механического резонанса в промышленных сервосистемах
2 Дж.Д’Аццо и К. Хупис, Анализ и проектирование линейных систем управления: традиционные и современные, McGraw-Hill, Inc., 1995, стр. 292-293.

Продукты PMD, поддерживающие серводвигатели

PMD производит ИС, которые обеспечивают расширенное управление движением щеточных и бесщеточных двигателей постоянного тока более двадцати пяти лет. С тех пор мы также встраивали эти ИС в модули plug and play и платы управления движением. Несмотря на разную упаковку, все эти продукты управляются C-Motion, простым в использовании языком управления движением PMD и идеально подходят для использования в медицинских, лабораторных, полупроводниковых, роботизированных и промышленных приложениях управления движением.

Программное обеспечение анализа движения Pro-Motion

Pro-Motion — это простая в использовании программа для упражнений и анализа движения PMD на базе Windows. Он предлагает готовые возможности, которыми сможет поделиться вся ваша команда разработчиков. Пошаговый мастер настройки осей позволяет разработчикам быстро и легко настраивать контур положения, токовый контур и параметры управляющего двигателя с ориентацией на поле. Опытные пользователи могут получить доступ к полному пакету анализа движения с генерацией графиков Боде и автоматической настройкой.

Подробнее >>

ИС серии MC58113

ИС серии MC58113 являются частью популярного семейства микросхем Magellan Motion Control от PMD и обеспечивают расширенное управление положением для шаговых двигателей, BLDC и щеточных двигателей постоянного тока.Стандартные функции включают автонастройку, профилирование s-образной кривой, FOC (полевое управление), управление сигналом переключения высокого / низкого уровня, прямой энкодер, ввод импульсов и направления и многое другое. ИС семейства MC58113, используемые для автоматизации лабораторий, управления насосами, систем наведения или универсальной автоматизации, являются идеальным решением для вашей следующей конструкции машины.

Подробнее >>

Цифровые приводы ION

Цифровые приводы ION объединяют одноосную микросхему Magellan и сверхэффективный цифровой усилитель в компактном прочном корпусе.В дополнение к расширенному управлению серводвигателем, ION обеспечивают перемещение от точки к точке с S-образной кривой, управление питанием i2T, загружаемый код пользователя и ряд функций безопасности, включая обнаружение перегрузки по току, перенапряжения и перегрева. ION — это простые в использовании устройства plug and play, которые мгновенно запускают ваше приложение.

Подробнее >>

Платы управления движением Prodigy

Prodigy® / CME Machine-Controller Платы обеспечивают высокопроизводительное управление движением для медицинских, научных, автоматических, промышленных и роботизированных приложений.Доступные в конфигурациях с 1, 2, 3 и 4 осями, эти платы поддерживают щеточные двигатели постоянного тока, бесщеточные двигатели постоянного тока и шаговые двигатели и позволяют загружать и запускать написанный пользователем код на языке C непосредственно на плате. Машинный контроллер Prodigy / CME имеет встроенные усилители Atlas , которые устраняют необходимость во внешних усилителях. Для построения полностью функционирующей системы требуется только один высоковольтный источник питания, двигатели и кабели. Опции хост-интерфейса включают Ethernet UDP и TCP, CANbus, RS-232 и RS-485.

Подробнее >>

Вас также может заинтересовать:

Уравнение резонансной частоты: механическое, электрическое и акустическое

Резонансная частота может применяться во многих областях физических или технических наук. Таким образом, существует более одного уравнения резонансной частоты, в зависимости от области, которую вы изучаете — например, электротехники, акустики или машиностроения.

В этой статье мы начнем с того, что посмотрим, что такое резонансная частота на самом деле, прежде чем изучать, как она применяется в различных областях и как она рассчитывается.

Определение резонансной частоты

Резонанс — это физическая реакция в колеблющейся системе, при которой определенные частоты вызывают колебания с большей амплитудой, чем обычно.

Частота или частоты, которые достигают максимальной амплитуды, называются резонансными частотами. На этих частотах силы с относительно низким периодом могут вызывать значительные колебания.

Резонансная частота возникает при передаче энергии разных типов, например, в случае маятника, где потенциальная энергия циклически передается в кинетическую энергию и наоборот.Однако каждый цикл маятника вызывает потерю энергии, известную как демпфирование. Если демпфирование очень мало, то резонансная частота близка к собственной частоте системы.

В простейшем случае для одиночной непрерывной волны резонансная частота f определяется уравнением:

f = v / λ

где v — скорость волны, а λ — длина волны.

Когда упоминается резонанс, большинство людей думают об обрушении моста Tacoma Narrows, хотя это в некоторой степени заблуждение.Было показано, что на самом деле отказ был вызван отдельным явлением, называемым аэростатическим флаттером.

Виды резонансной частоты

Как правило, резонанс возникает всякий раз, когда присутствует какой-либо тип вибрации или волны. Следовательно, существуют различные типы резонанса и резонансной частоты, включая механический, акустический, электрический, оптический, орбитальный и атомный резонанс.

В этой статье мы сосредоточимся на уравнениях резонансной частоты механического, акустического и электрического резонанса.

Уравнение механической резонансной частоты

Механическая резонансная частота — это собственная частота вибрации в механических системах. Когда частота колебаний, вызванных внешними силами, такими как ветер, совпадает с резонансной частотой, амплитуда колебаний увеличивается, что может вызвать чрезмерное раскачивание таких конструкций, как здания или мосты. Поэтому большинство конструкций, подверженных этому явлению, оснащены амортизаторами, чтобы снизить риск катастрофы.

Наиболее распространенное уравнение, используемое для расчета механической резонансной частоты, использует модель простой механической системы пружины, удерживающей груз.

Резонансная частота f системы определяется выражением:

f = 1 / 2π √ (к / м)

м — масса подвешенного груза, k — жесткость пружины.

Уравнение электрической резонансной частоты

Во многих схемах частота электрического резонанса является результатом того, что полное сопротивление между входом и выходом схемы равно нулю, а передаточная функция близка к единице.

В LC-цепи, то есть в цепи, включающей катушки индуктивности и конденсаторы, энергия передается от тока конденсатора в магнитное поле катушки индуктивности и наоборот, аналогично передаче энергии в механическом маятнике. Он часто используется при настройке беспроводных радиопередач из-за используемых уникальных частот.

Уравнение, используемое для расчета электрической резонансной частоты f в LC-цепи:

f = 1 / (2π√LC)

, где L — индуктивность, а C — емкость.

Уравнение акустической резонансной частоты

Акустически-резонансные объекты обычно имеют несколько резонансных частот. Гармонические диапазоны будут иметь наибольший резонанс для любого данного инструмента. Струнный инструмент будет сильно вибрировать на резонансных частотах и ​​в меньшей степени на других частотах. Производители музыкальных инструментов часто изучают и измеряют акустический резонанс, поскольку это полезно при проектировании и создании инструмента.

Акустический резонанс может создавать большие разрушительные колебания, когда высота звука совпадает с резонансной частотой, например, бокала для вина.

В случае струнных инструментов, если мы рассмотрим волну, бегущую по струне со скоростью v, резонансная частота f будет равна:

f = nv / 2L

, где n — порядок гармоник, а L — длина струны, закрепленной на каждом конце.

Заключение

Резонансная частота — это физическое явление, которое возникает всякий раз, когда речь идет о волнах или вибрациях. В механических системах это очень важный фактор, особенно в крупных строительных проектах, поскольку при правильных условиях высока вероятность механического отказа.Поэтому инженеры-конструкторы часто используют уравнение резонансной частоты, чтобы определить наилучшее демпфирование, которое можно использовать для уменьшения колебаний.

Подробнее о мостах:

Резонанс и его влияние на механические конструкции — Библиотека ресурсов — EASA

Джин Фогель
Специалист по насосам и вибрации EASA

Резонанс — свойство всех механических конструкций. Его можно охарактеризовать как чувствительность к определенной частоте вибрации.Для такого оборудования, как электродвигатели, насосы, турбины и т. Д., Возникает проблема, когда небольшие вибрационные силы, возникающие при работе машины, усиливаются механическим резонансом. Результатом могут быть очень высокие уровни вибрации, даже когда возбуждающие силы невелики. Часто резонанс возникает при изменении скорости, например, при модернизации частотно-регулируемого привода или при работе двигателя с частотой 50 Гц от сети с частотой 60 Гц.

Наиболее распространенный пример резонанса — это когда конструкция, поддерживающая машину, резонирует на скорости вращения машины или около нее.Даже незначительные вибрационные силы из-за остаточного дисбаланса и несоосности будут возбуждать резонансную структуру основания, что приводит к сильной вибрации. Компоненты машины также могут быть резонансными. Существует множество примеров двухполюсных электродвигателей, у которых резонансный концевой кронштейн вызывал очень высокую осевую вибрацию при 1 или 2 об / мин.

Вторая категория резонансных условий возникает, когда резонансный компонент является вращающимся элементом машины. Это характерно для газовых и паровых турбин, центробежных насосов и 2-полюсных электродвигателей.Хотя результат похож (высокая вибрация при достижении определенной рабочей скорости), это более сложное явление. Когда рабочая скорость достигает резонансной частоты вращающегося элемента, вращающийся элемент фактически деформируется, и силы вибрации значительно возрастают.

Необходимо различать эти два типа резонанса. Первый, когда несущая конструкция или невращающийся компонент машины является резонансным, обычно называется «структурным резонансом».Второй, когда вращающийся элемент является резонансным, известен как «критическая скорость ротора». Это оставляет термин «критическая скорость» (без слова «ротор») где-то в подвешенном состоянии.

Технически критическая скорость может быть либо структурным резонансом, либо критической скоростью ротора. Для ясности лучше избегать использования этого термина. Во избежание путаницы к обоим условиям можно применить простой термин «резонанс».

ВОЙТИ ЧТОБЫ ПРОСМОТРЕТЬ И СКАЧАТЬ СТАТЬЮ

Справочные и учебные материалы по теме

Распечатать

Теория вибрации | Сигнализ

Роберт Э.Coleman
Signalysis, Inc.
Цинциннати, Огайо

Обсуждение теории вибрации обычно начинается с анализа простой системы массы, пружины и демпфера. Это потому, что, проанализировав процесс вибрации для этой системы, вы можете применить результаты к самой сложной вибрирующей конструкции. Позже будет показано, как сложные структуры вибрируют в суперпозиции уникального набора различных структур деформации (называемых формами колебаний).Каждая форма колебаний имеет свою собственную резонансную частоту и реагирует на вибрационные силы способом, описываемым теми же дифференциальными уравнениями, которые используются для описания вибрационного отклика отдельной массы, пружины и демпфера.

На рис. 3 показан груз m1, поддерживаемый пружиной жесткости k1 и демпфером, имеющим значение вязкого демпфирования c1. Рассмотрим вибрационную силу f1, приложенную к массе, как показано на диаграмме свободного тела. Пружина и демпфер взаимодействуют с силами, f k и f c , и алгебраические выражения для этих сил даются в виде закона Гука для пружины и формулы вязкой силы для демпфера.Движение, возникающее в результате приложенной силы и сил реакции, определяется вторым законом Ньютона, как показано на рисунке.

Рис. 3. Вибрационное движение массы, поддерживаемой пружиной и демпфером и реагирующей на приложенную вибрационную силу, анализируется с использованием Второго закона Ньютона.

Расширение уравнения закона Ньютона на рисунке 1 и преобразование дает

(1)

Поскольку нас интересует, как система вибрирует на различных частотах по всему спектру, удобно выполнить преобразование Фурье по уравнению 1), выражая все переменные как функцию частоты ω (радиан / сек), а не времени. .

(2)

Обратите внимание, что частота в Гц, ν, равна (1 / 2π) ω.

Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами может быть выражено в виде алгебраического уравнения, если мы заметим, что на любой частоте спектра существуют простые алгебраические соотношения между смещением, скоростью и ускорением:

(3)

(4)

, где мы использовали мнимое число I, чтобы представить сдвиг фазы на 90 градусов между функциями косинуса и синуса.

(5)

Поскольку эти уравнения применяются на всех частотах по всему спектру, мы видим, что они предоставляют нам преобразования Фурье, так что уравнение 2) теперь может быть записано как алгебраическое уравнение (без производных), используя смещения вместо скорости и ускорения.

(6)

Теперь мы можем вычесть смещение:

(7)

На этом этапе мы не будем сосредотачиваться на решении уравнения смещения, а скорее мы хотим найти отношение смещения, деленного на силу.Это известно как функция частотной характеристики (FRF), h (ω):

.

(8)

FRF может быть представлен в более удобной форме после рационализации знаменателя и введения пары новых определений для β и ζ.

(9)

β = ω / ωr (отношение частоты к резонансной частоте)

ζ = c / c c (отношение демпфирования к критическому)

При значении демпфирования c, равном нулю, система демпфирования масса-пружина, если ее высвободить из смещенного положения, будет бесконечно вибрировать.Считается, что демпфирование недостаточно демпфировано, если при выходе из смещенного положения система демпфирования масса-пружина колеблется в резонансе, но со временем затухает. если значение демпфирования имеет значение, известное как критическое значение демпфирования, c c , демпфирования будет едва достаточно, чтобы избежать колебаний.

Рассмотрим процесс, в котором система, показанная на рисунке 3, приводится в состояние свободной вибрации с помощью ударной силы, приложенной с помощью молотка. Ударная сила (в течение короткого времени, когда молот находится в контакте с массой) имеет форму полусинусоидального импульса, который очень короткий по сравнению с одним циклом вибрации.

Рис. 4. Импульс сила-время, возникающий в результате удара молота, приложенного к массе, показанной на рис. 3.

В момент времени, очень близкий к нулевому времени (импульс силы закончился), смещение массы приблизительно равно нулю, скорость имеет некоторое значение, v 0 , и ускорение равно нулю. Теперь система колеблется на своей резонансной частоте, затухая в соответствии с решением дифференциального уравнения 1):

10)

Где V 0 — начальная скорость, ν — резонансная частота системы, а ζ — коэффициент демпфирования.Это решение изображено на Рисунке 4.

Рис. 5. Затухающие колебания из решения дифференциального уравнения системы масса-пружина-демпфер. Пунктирная кривая огибает положительные пики.

Теперь, возвращаясь к решению уравнения 9) в частотной области, мы рассмотрим это решение с другой точки зрения. Выведя FRF из дифференциального уравнения, мы теперь рассмотрим способ, которым мы можем разработать FRF экспериментально.Теперь представьте, что мы получили зависимость силы от времени, показанную на рисунке 4, путем измерения силы. Молоток, используемый для измерения силы удара, включает датчик силы в наконечнике молотка, и сигнал «сила-время» записывается в наш компьютер. Преобразование Фурье выполняется для этих данных, что дает зависимость силы от частотного спектра, F (ω). Одновременно с захватом сигнала силы мы также фиксируем данные затухающего смещения от времени, представленные на рисунке 5, и выполняем преобразование Фурье для этих данных.Формирование отношения этих двух преобразований Фурье, X (ω) / F (ω), возвращает данные, имеющие точно такую ​​же функциональную форму, что и наша FRF уравнения 9).

Величина FRF показана в зависимости от частоты, как показано на рисунке 6. Обратите внимание, как и следовало ожидать, пик на кривой происходит на резонансной частоте.

Рисунок 6. FRF, вычисленный на основе измерений силы и вибрации смещения на массе, показанной на рисунке 3. FRF формируется из отношения преобразования Фурье смещения к преобразованию Фурье силы.

Помните, что уравнение FRF 9) включает действительную и мнимую части. Эти две функции показаны на рисунке 7. Важной особенностью этих двух функций является то, что мнимая часть имеет отрицательный пик (отрицательная впадина) на резонансной частоте, а действительная часть пересекает ноль при резонансе.

Рис. 7. Графики для мнимой части FRF (слева) и действительной части (справа).

Теперь рассмотрим характеристики общей вибрирующей конструкции, состоящей из множества масс и пружин или протяженных материалов, объединенных в произвольные конфигурации.Конструкция могла быть полностью литой, состоять из сварных деталей или собираться на болтовых соединениях. Можно показать, что мнимая часть, измеренная в различных местах такой конструкции, как эти, может использоваться для определения формы моды, связанной с данной резонансной частотой. При вибрации под действием вибрационной силы существует фазовый угол между смещением и силой для любой заданной частоты в спектре. В резонансе фазовый угол между смещением и приложенной силой составляет + 90 градусов или -90 градусов.Мнимое число, либо + I, либо -I, конечно, представляет сдвиг фазы на плюс или минус 90 градусов.

Рисунок 8 иллюстрирует концепцию множественных резонансных частот и форм колебаний. Здесь нарисуйте схемы деформации (формы колебаний) консольной балки, каждая из которых связана с разной резонансной частотой. Если бы вы каким-то образом смогли деформировать консольную балку в одной определенной форме моды, а затем отпустить ее, балка бы естественным образом вибрировала с резонансной частотой.

Рисунок 8.Первые четыре формы колебаний консольной балки. Каждая форма колебаний ведет себя как единая система масса-пружина-демпфер. Луч может свободно колебаться в любом из режимов на резонансной частоте, связанной с этим режимом.

Когда измерение FRF выполняется в системе с несколькими степенями свободы, такой как консольная балка, удар молотка возбуждает все режимы одновременно. Каждый режим ведет себя так же, как одиночный демпфер с пружиной массы и имеет свою собственную FRF, которая выглядит точно так же, как FRF на Рисунке 6.Результатом измеренной FRF является линейная суперпозиция всех модальных FRF. Соответственно, фактическая деформация в данный момент во время вибрации может выглядеть так, как показано в левой части рисунка 8. Здесь мы видим, что все уникальные формы колебаний конструкции колеблются индивидуально (ведут себя как отдельные одиночные системы масса-пружина-демпфер), но все они суммируются, чтобы произвести измеряемую деформацию.

Рисунок 9 подчеркивает, в каком смысле каждая форма колебаний ведет себя как единая масса-пружина-демпфер.Одномодовые FRF показаны с каждой соответствующей формой моды с ее моделью с единственной массой-пружиной-демпфером.

Рис. 9. Одна модальная FRF масса-пружина-демпфер связана с каждой отдельной формой колебаний консольной балки.

Мы думаем, что каждая форма колебаний имеет модальную массу, модальную пружину и модальный демпфер. Совокупность сил поперек балки, необходимых для создания только одной формы моды, может быть представлена ​​как одна модальная сила. Значение модального смещения может быть получено, которое представляет амплитуду модальной деформации с одним значением модального смещения.

FRF, измеренная на конструкции, может быть проанализирована как суперпозиция отдельных модальных FRF, как показано на рисунке 10. Три модальных FRF суммируются, чтобы получить общую FRF (жирная кривая), которая может быть измерена экспериментально. Символы плюс и минус указывают положительную или отрицательную фазу в заданном частотном диапазоне. Модальные FRF отменяются в области, где они находятся в противофазе. Коэффициенты режима, показанные с помощью пси-символов Greed, обеспечивают весовой коэффициент для каждой модальной FRF в суммировании.Дальнейшее обсуждение этих деталей выходит за рамки данного обсуждения.

Рис. 10. Суперпозиция трех модальных FRF. Положительные и отрицательные символы указывают фазовое соотношение между ответными движениями для данных режимов по сравнению с силой в качестве эталона.

Космический шаттл НАСА используется ниже (рис. 11), чтобы проиллюстрировать формы колебаний довольно сложной конструкции. Во время фазы всплытия одной миссии шаттла высокоскоростные видеоролики с использованием специальной телескопической линзы высокого разрешения фиксируют неожиданную сильную вибрацию подсистемы орбитального аппарата, известной как Body Flap.Позже был проведен экспериментальный модальный анализ закрылка кузова для определения его резонансных частот и форм колебаний и использования этой информации в рамках попытки оценить усталостную долговечность конструкции.

Первые три формы колебаний Body Flap показаны на рисунках 12, 13 и 14. Эти режимы были проанализированы как экспериментально, так и математически с использованием метода конечных элементов (FEM).

Эти инструменты могут быть применены для анализа алюминиевых отливок.Тем не менее, перед тем, как переходить к конкретному методу, следует провести тщательный анализ применимости к конкретной конечной цели.

Рис. 11. Космический шаттл НАСА во время всплытия. Было обнаружено, что лоскут тела чрезмерно вибрирует.

Рис. 12. Форма режима откидной створки корпуса 1. Вращение относительно системы крепления привода заднего фюзеляжа. Частота резонанса в полете: 8 Гц. Исходная резонансная частота перед любыми полетами: 12 Гц.

Рис. 13. Форма колебаний корпуса закрылка 2. Первая мода кручения. Частота резонанса: 14 Гц.

Рис. 14. Форма корпуса откидной створки 3. Двухузловая гибка по задней кромке.

Вибрации резонируют с отказом насоса и оборудования

Автор: Роберт А. Лейшир

Почему все трескается? Одним словом: вибрации. Вибрация плюс усталость равны отказу, когда циклическая усталостная нагрузка изгибает детали или оборудование вперед и назад, пока они не треснут.Здесь представлен крупный прорыв в теории вибрации, а также представлены сведения о вибрации и примеры повреждений насоса.

Лорд Рэлей описал вибрации в своей «Теории звука», опубликованной в конце 1800-х годов, но резонанс был полностью описан только недавно. Для этого автор решил дифференциальные уравнения движения Ньютона, чтобы обосновать новую теорию в документе конференции по сосудам и трубопроводам 2017 года (Ударные волны, колебания и резонанс в линейно-упругих балках).Короче говоря, каждая конструкция или машина, а также каждый ее компонент вибрирует на нескольких частотах, известных как собственные частоты более высоких мод. Теперь эти частоты можно визуализировать графически. В частности, когда скорость двигателя машины почти равна любой собственной частоте, вибрации умножаются на этой частоте, что приводит к повреждению оборудования.

Теория вибрации

Самый простой пример вибрации — это пружина с прикрепленным к ней грузом, где пружина имеет некоторое демпфирование.Эта система пружина-масса-демпфер определяет систему с единственной степенью свободы, где эта единственная вибрация обеспечивает простое описание реальных систем. Вибрирующая пружина имеет период, равный времени, необходимому для завершения одного цикла вибрации; частота, обратная периоду; амплитуда или величина вибрации; и коэффициент демпфирования, который контролирует уменьшение величины вибрации для достижения постоянного равновесного или статического значения, которое может равняться нулю, а может и не быть.

Вибрационная модель груза, падающего с неподвижной пружины

Экспериментальные динамические напряжения из-за бегущей волны давления в трубе

Чтобы лучше понять вибрации, рассмотрим случай, когда к пружине внезапно прикладывается постоянная сила, т.е.е., вес упал с пружины в состоянии покоя. Подводя итог этим характеристикам вибрации, коэффициент динамической нагрузки или DLF равен максимальной амплитуде (или напряжению) вибрации, деленной на амплитуду (или напряжение) вибрации в равновесном или статическом состоянии. DLF уменьшается за счет демпфирования, при этом общие значения демпфирования в конструкциях обычно находятся в диапазоне от 1% до 2%, но могут достигать 10% или более. Для внезапно приложенных нагрузок в отсутствие демпфирования максимальный DLF равен 2. DLF может быть дополнительно уменьшен из-за скорости или продолжительности нагрузки.Такое применение DLF дает разумные приближения к вибрации, когда нагрузка прикладывается перпендикулярно поверхности компонента. Однако, если та же самая нагрузка перемещается внутри трубы, DLF равно четырем (Leishear, 2013, Fluid Mechanics, Water Hammer, Dynamic Stress, and Piping Design , учебник ASME Press). Теория DLF объясняет сотни тысяч отказов трубопроводов (отказы водопроводных сетей — проблема на миллиард долларов в год, Empowering Pumps). Это очень краткое введение в вибрацию приводит к обсуждению резонанса.

Теория резонанса

Когда к насосу прикладываются вибрации двигателя, насос реагирует иначе, чем при постоянной нагрузке. Если скорость двигателя равна собственной частоте этого компонента, вибрация значительно превзойдет ожидания. Фактически, колебания увеличиваются до бесконечности в отсутствие демпфирования, где демпфирование уменьшает резонансные эффекты, чтобы соответствовать наблюдениям. Короче говоря, максимальный резонанс возникает, когда скорость двигателя равна любой из собственных частот компонентов, и это явление было наконец описано после сотен лет развития теории вибрации.

В качестве примеров: 1) структурные колебания прикрепленных трубопроводов и опор оборудования могут колебаться на любой из своих собственных частот, что приводит к растрескиванию этого трубопровода. 2) Вибрация — частая причина выхода из строя торцевых уплотнений в насосах. 3) Поврежденные компоненты, такие как шарикоподшипники, вибрируют со своими собственными частотами, так что дорожки, сепараторы и шарики этого подшипника колеблются с собственной частотой — очень сложный процесс.

Новая теория: резонанс или критические скорости двигателя, вращающего вал насоса или балку

Критерии приемлемости скорости вибрации

Критерии приемлемости вибрации и резонанса

Для вращающегося оборудования простой подход к оценке повреждений от вибрации был представлен в статье журнала ASME Magazine 1950-х годов, и этот подход все еще используется многими сегодня.Измеренные вибрации сравниваются с допустимыми пределами для установленного вращающегося оборудования, такого как вентиляторы, насосы или компрессоры. Для устранения проблем с вибрацией необходимо определить и устранить вибрацию неисправного компонента. Поиск и устранение неисправностей может показаться простым, но глубокое знание конструкции оборудования, принципов вибрации и работы оборудования имеет важное значение для решения проблем, связанных с отказом от вибрации. Прогнозирование конкретных проблем с вибрацией вращающегося оборудования в лучшем случае проблематично.

A Пример отказа двигателя насоса

Например, рассмотрим отказ шарикоподшипникового узла в двигателе мощностью 150 лошадиных сил, который приводил в действие подключенный насос. Сообщалось, что двигатель шумнее обычного, и его можно было услышать на расстоянии пятидесяти футов от двигателя. Шариковые подшипники в двигателе состоят из внутренней и внешней дорожек, между которыми катятся шарики, и сепараторов, разделяющих шарики. Каждый мяч, клетка и гонка имеют определенную частоту, и частота вращения мяча отображалась в частотном спектре, так как они были повреждены.Один из подшипников, упорный, был полностью разрушен, а одна из обойм и несколько обойм были сломаны. Другой подшипник вибрировал с частотой вращения шарика, и подшипник не был разрушен. Вибрации превышали 0,1 дюйма в секунду, и подшипники действительно были повреждены. В упорном подшипнике вибрации в месте разрушения подшипника были ниже 0,1 дюйма в секунду. Поскольку упорный подшипник больше не контактировал с валом, не было связанных вибраций.То есть измеренные вибрации были вызваны не разрушенным подшипниковым узлом, а подшипниковым узлом, который оставался в эксплуатации и испытывал собственные вибрационные повреждения подшипника. А как насчет уровней шума? Вибрации подшипника были недостаточными, чтобы вызвать низкочастотные грохочущие звуки, которые были слышны, при этом вибрация происходила на частотах решетки на стальной монтажной платформе. Другими словами, вибрация опоры заставила платформу сотрясать решетки настолько, что их было слышно в пятидесяти футах.Эта проблема резонанса была далеко не очевидна в начале поиска неисправностей, как и во многих сложных вибрационных отказах. Обсуждаемое здесь изобретение новой теории предоставляет практикующим инженерам новый инструмент для лучшего понимания отказов из-за вибрации.

Частоты вибрации для поврежденного шарикоподшипника в сборе

ROBERT A. LEISHEAR , научный сотрудник ASME, инженер-консультант в Leishear Engineering, LLC, имеет докторскую степень в области машиностроения и почти завершенную докторскую степень.D. в ядерной инженерии. Доктор Лейшир опубликовал около 70 публикаций по гидравлическим ударам, вибрациям, механике жидкости, насосам и взрывам.

Дифференциальные уравнения — механические колебания

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-11: Механические колебания

Пришло время взглянуть на приложение дифференциальных уравнений второго порядка.Мы собираемся взглянуть на механические колебания. В частности, мы рассмотрим массу, которая свисает с пружины.

Вибрации могут возникать практически во всех отраслях техники, поэтому то, что мы собираемся делать здесь, можно легко адаптировать к другим ситуациям, обычно с помощью простого изменения обозначений.

Давайте установим ситуацию. Мы собираемся начать с пружины длины \ (l \), называемой естественной длиной, и мы собираемся зацепить за нее объект с массой \ (m \).Когда объект прикреплен к пружине, пружина растянется на \ (L \). Мы будем называть положением равновесия положение центра тяжести объекта, когда он висит на пружине без движения.

Ниже представлен эскиз пружины с прикрепленным к ней предметом и без него.

Как обозначено на рисунке, мы предполагаем, что все силы, скорости и смещения в направлении вниз будут положительными. Все силы, скорости и смещения в направлении вверх будут отрицательными.

Также, как показано на скетче выше, мы будем измерять все смещения массы из ее положения равновесия. Следовательно, положение \ (u = 0 \) будет соответствовать центру тяжести массы, когда она висит на пружине и находится в состоянии покоя (, то есть без движения).

Теперь нам нужно разработать дифференциальное уравнение, которое даст смещение объекта в любой момент \ (t \). Во-первых, вспомните второй закон движения Ньютона.

\ [ma = F \]

В этом случае мы будем использовать вторую производную смещения, \ (u \), для ускорения, и поэтому Ньютон \ [mu » = F \ left ({t, u, u ‘} \ right) \]

Теперь нам нужно определить все силы, которые будут действовать на объект.Мы предположим, что на объект действуют четыре силы. Два, которые всегда будут воздействовать на объект, и два, которые могут или не могут воздействовать на объект.

Вот список сил, которые будут действовать на объект.

  1. Гравитация, \ (F_ {g} \)

    Конечно, сила тяжести всегда действует на объект. Это сила

    \ [{F_g} = мг \]
  2. Пружина, \ (F_ {s} \)

    Мы собираемся предположить, что закон Гука будет определять силу, которую пружина оказывает на объект.Эта сила всегда будет присутствовать и составляет

    . \ [{F_s} = — k \ left ({L + u} \ right) \]

    Закон Гука гласит, что сила, прикладываемая пружиной, будет равняться жесткости пружины \ (k> 0 \), умноженной на смещение пружины от ее естественной длины. Для нашей установки смещение от естественной длины пружины составляет \ (L + u \), а знак минус стоит там, чтобы гарантировать, что сила всегда имеет правильное направление.

    Давайте удостоверимся, что эта сила делает то, что мы от нее ожидаем.Если объект покоится в своем положении равновесия, смещение равно \ (L \), а сила просто \ (F_ {s} = –kL \), которая будет действовать в восходящем положении, как и должно быть, поскольку пружина была растянута. от его естественной длины.

    Если пружина была растянута дальше вниз от положения равновесия, то \ (L + u \) будет положительным, а \ (F_ {s} \) будет отрицательным, действуя, чтобы подтянуть объект обратно вверх, как это должно быть.

    Затем, если объект был перемещен выше точки равновесия, но еще не достиг своей естественной длины, то \ (u \) будет отрицательным, но все же меньше, чем \ (L \), и поэтому \ (L + u \) будет положительным, и снова \ (F_ {s} \) будет отрицательным, действуя, чтобы подтянуть объект вверх.

    Наконец, если объект был перемещен вверх так, что пружина теперь сжата, то \ (u \) будет отрицательным и будет больше \ (L \). Следовательно, \ (L + u \) будет отрицательным, и теперь \ (F_ {s} \) будет действовать положительно, чтобы толкнуть объект вниз.

    Итак, похоже, что эта сила будет действовать так, как мы ожидали.

  3. Демпфирование, \ (F_ {d} \)

    Следующая сила, которую нам нужно учитывать, — это демпфирование.Эта сила может присутствовать, а может и не присутствовать для любой данной проблемы.

    Амортизаторы противодействуют любому движению. Есть несколько способов определить демпфирующую силу. Мы воспользуемся следующим.

    \ [{F_d} = — \ gamma \, u ‘\]

    где \ (\ gamma> 0 \) — коэффициент демпфирования. Давайте задумаемся на минутку, как будет действовать эта сила. Если объект движется вниз, то скорость (\ (u ‘\)) будет положительной, а \ (F_ {d} \) будет отрицательной и будет подтягивать объект обратно вверх.Аналогично, если объект движется вверх, скорость (\ (u ‘\)) будет отрицательной, и поэтому \ (F_ {d} \) будет положительным и будет толкать объект обратно вниз.

    Другими словами, демпфирующая сила, как мы ее определили, всегда будет действовать, чтобы противодействовать текущему движению объекта, и поэтому будет действовать, чтобы гасить любое движение в объекте.

  4. Внешние силы, \ (F (t) \)

    Это ловушка всей силы. Если есть какие-то другие силы, которые мы решаем воздействовать на наш объект, мы объединяем их здесь и называем хорошими.Обычно мы называем \ (F (t) \) функцией принуждения.

Объединение всего этого дает нам следующее для Второго закона Ньютона.

\ [mu » = mg — k \ left ({L + u} \ right) — \ gamma u ‘+ F \ left (t \ right) \]

Или, переписав, получим

\ [mu » + \ gamma u ‘+ ku = mg — kL + F \ left (t \ right) \]

Теперь, когда объект находится в состоянии покоя в своем положении равновесия, на него действуют ровно две силы: сила тяжести и сила пружины.Кроме того, поскольку объект находится в состоянии покоя (, т.е. не движется), эти две силы должны нейтрализовать друг друга. Это означает, что у нас должно быть,

\ [\ begin {уравнение} мг = kL \ label {уравнение: уравнение1} \ end {уравнение} \]

Использование этого во втором законе Ньютона дает нам окончательную версию дифференциального уравнения, с которым мы будем работать.

\ [\ begin {уравнение} mu » + \ gamma u ‘+ ku = F \ left (t \ right) \ label {eq: eq2} \ end {уравнение} \]

Наряду с этим дифференциальным уравнением мы будем иметь следующие начальные условия.

\ [\ begin {уравнение} \ begin {выровнено} u \ left (0 \ right) & = {u_0} \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {Начальное смещение от положения равновесия}} {\ mbox {.}} \\ u ‘\ left (0 \ right) & = {{u’} _ 0} \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {Начальная скорость}} {\ mbox {.}} \ end {align} \ label {eq : eq3} \ end {уравнение} \]

Обратите внимание, что мы также будем использовать \ (\ eqref {eq: eq1} \) для определения жесткости пружины \ (k \).

Хорошо. Давайте начнем с некоторых конкретных случаев.

Свободные, незатухающие колебания

Это простейший случай, который мы можем рассмотреть. Свободные или ненасильственные колебания означают, что \ (F (t) = 0 \), а незатухающие колебания означают, что \ (\ gamma = 0 \). В этом случае дифференциальное уравнение принимает вид

\ [mu » + ku = 0 \]

В целом это достаточно просто решить. Характеристическое уравнение имеет корни

\ [г = \ pm \, \, i \, \ sqrt {\ frac {k} {m}} \]

Обычно это сокращается до

. \ [r = \ pm \, {\ omega _0} \, i \]

где,

\ [\ omega {_0} = \ sqrt {\ frac {k} {m}} \]

и \ ({\ omega _0} \) называется собственной частотой.Напомним также, что \ (m> 0 \) и \ (k> 0 \), поэтому мы можем гарантировать, что эта величина не будет комплексной. Тогда решение в этом случае будет

. \ [\ begin {уравнение} u \ left (t \ right) = {c_1} \ cos \ left ({{\ omega _0} \, t} \ right) + {c_2} \ sin \ left ({{\ omega _0} \, t} \ right) \ label {eq: eq4} \ end {Equation} \]

Мы можем записать \ (\ eqref {eq: eq4} \) в следующей форме:

\ [\ begin {уравнение} u \ left (t \ right) = R \ cos \ left ({{\ omega _0} t — \ delta} \ right) \ label {eq: eq5} \ end {уравнение} \]

, где \ (R \) — амплитуда смещения, а \ (\ delta \) — фазовый сдвиг или фазовый угол смещения.

Когда смещение имеет форму \ (\ eqref {eq: eq5} \), обычно легче работать. Однако проще найти константы в \ (\ eqref {eq: eq4} \) из начальных условий, чем найти амплитуду и фазовый сдвиг в \ (\ eqref {eq: eq5} \) из начальных условий. . Итак, чтобы привести уравнение в форму в \ (\ eqref {eq: eq5} \), мы сначала поместим уравнение в форму в \ (\ eqref {eq: eq4} \), найдем константы, \ (c_ {1} \) и \ (c_ {2} \), а затем преобразуйте это в форму в \ (\ eqref {eq: eq5} \).

Итак, если у нас есть \ (c_ {1} \) и \ (c_ {2} \), как определить \ (R \) и \ (\ delta \)? Начнем с \ (\ eqref {eq: eq5} \) и воспользуемся идентификатором триггера, чтобы записать его как

. \ [\ begin {уравнение} u \ left (t \ right) = R \ cos \ left (\ delta \ right) \ cos \ left ({{\ omega _0} t} \ right) + R \ sin \ left ( \ delta \ right) \ sin \ left ({{\ omega _0} t} \ right) \ label {eq: eq6} \ end {уравнение} \]

Итак, \ (R \) и \ (\ delta \) являются константами, поэтому, если мы сравним \ (\ eqref {eq: eq6} \) с \ (\ eqref {eq: eq4} \), мы увидим, что

\ [{c_1} = R \ cos \ delta \ hspace {0. 2} \\ & {\ mbox {Metric:}} g = 9.2} \ end {align *} \]

Это не стандартные 32,2 фута / с 2 или 9,81 м / с 2 , но их использование сделает некоторые цифры немного лучше.

В метрической системе масса предметов дана в килограммах ( кг, ) и нам нечего делать. Однако в британской системе нам обычно дают вес объекта в фунтах (да, фунты — это единицы веса, а не массы…), и поэтому нам нужно будет вычислить массу для этих задач.

На этом этапе мы, вероятно, должны проработать пример всего этого, чтобы увидеть, как это работает.

Пример 1 Объект весом 16 фунтов растягивает пружину на \ (\ frac {8} {9} \) ft самостоятельно. Нет демпфирования и внешних сил, действующих на систему. Пружина первоначально смещается на 6 дюймов вверх от положения равновесия и получает начальную скорость вниз 1 фут / сек. Найдите смещение в любой момент времени \ (t \), \ (u (t) \). Показать решение

Сначала нам нужно настроить IVP для проблемы. {8} / {} _ {9}}} = 18 \]

Теперь мы можем настроить IVP.

\ [\ frac {1} {2} u » + 18u = 0 \ hspace {0,25 дюйма} u \ left (0 \ right) = — \ frac {1} {2} \ hspace {0,25 дюйма} u ‘\ слева (0 \ справа) = 1 \]

Для начальных условий вспомните, что смещение / движение вверх отрицательно, а смещение / движение вниз положительно. Кроме того, поскольку мы решили делать все в футах, нам пришлось преобразовать начальное смещение в футы.

Теперь, чтобы решить эту проблему, мы можем либо пройти через характеристическое уравнение, либо просто перейти к формуле, полученной нами выше.{1} / {} _ {2}}}} = \ sqrt {36} = 6 \]

Общее решение, вместе с его производной, тогда

\ [\ begin {align *} u \ left (t \ right) & = {c_1} \ cos \ left ({6t} \ right) + {c_2} \ sin \ left ({6t} \ right) \\ u ‘\ left (t \ right) & = — 6 {c_1} \ sin \ left ({6t} \ right) + 6 {c_2} \ cos \ left ({6t} \ right) \ end {align *} \]

Применение начальных условий дает

\ [\ begin {align *} — \ frac {1} {2} = u \ left (0 \ right) & = {c_1} \ hspace {0. 2}} = \ frac {{\ sqrt {10}}} {6} = 0.{1} / {} _ {2}}}} \ right) = — 0,32175 \]

Мы должны быть осторожны с этой частью. Фазовый угол, указанный выше, находится в квадранте IV, но есть также угол в квадранте II, который также будет работать. Мы получаем этот второй угол, добавляя \ (\ pi \) к первому углу. Итак, на самом деле у нас есть два угла. Их

\ [\ begin {align *} {\ delta _1} & = — 0,32175 \\ {\ delta _2} & = {\ delta _1} + \ pi = 2,81984 \ end {align *} \]

Нам нужно решить, какой из этих фазовых сдвигов правильный, потому что только один будет правильным.Для этого напомним, что

\ [\ begin {align *} {c_1} & = R \ cos \ delta \\ {c_2} & = R \ sin \ delta \ end {align *} \]

Теперь, поскольку мы предполагаем, что \ (R \) положительно, это означает, что знак \ (\ cos \ delta \) будет таким же, как знак \ (c_ {1} \) и знак \ (\ sin \ delta \) будет таким же, как знак \ (c_ {2} \). Итак, для этого конкретного случая мы должны иметь \ (\ cos \ delta <0 \) и \ (\ sin \ delta> 0 \). Это означает, что фазовый сдвиг должен быть в квадранте II, поэтому второй угол — это тот, который нам нужен.

Итак, после всего этого смещение в любой момент времени \ (t \) равно.

\ [u \ left (t \ right) = 0,52705 \ cos \ left ({6t — 2,81984} \ right) \]

Вот набросок смещения за первые 5 секунд.

А теперь давайте посмотрим на немного более реалистичную ситуацию. Никакая вибрация не будет длиться вечно. Итак, давайте добавим демпфер и посмотрим, что теперь будет.

Свободные демпфированные колебания

Мы по-прежнему будем предполагать, что на систему не будет действовать никаких внешних сил, за исключением, конечно, демпфирования. В этом случае будет дифференциальное уравнение.

\ [mu » + \ gamma u ‘+ ku = 0 \]

, где \ (m \), \ (\ gamma \) и \ (k \) — все положительные константы. 2} — 4mk}}} {{2m}} \]

У нас будет три кейса.2} & <4mk \\ \ gamma & <2 \ sqrt {mk} \\ \ gamma & <{\ gamma _ {CR}} \ end {align *} \]

и называется при демпфировании.

Давайте рассмотрим здесь несколько примеров с демпфированием.

Пример 2 Возьмите систему пружины и массы из первого примера и прикрепите к ней демпфер, который будет оказывать усилие в 12 фунтов при скорости 2 фута / с. Найдите смещение в любой момент времени \ (t \), \ (u (t) \). Показать решение

Масса и жесткость пружины уже были найдены в первом примере, поэтому мы не будем выполнять здесь работу.Однако нам нужно найти коэффициент демпфирования. Для этого мы будем использовать приведенную выше формулу демпфирующей силы с одной модификацией. Исходная формула демпфирующей силы:

\ [{F_d} = — \ gamma u ‘\]

Однако помните, что сила и скорость всегда действуют в противоположных направлениях. Таким образом, если скорость направлена ​​вверх (, т.е. отрицательная), сила будет направлена ​​вниз (, то есть положительная), и, таким образом, минус в формуле компенсируется минусом в скорости.Точно так же, если скорость направлена ​​вниз (, т.е. положительная), сила будет направлена ​​вверх (, то есть отрицательная), и в этом случае знак минус в формуле будет сокращаться по сравнению с минусом в силе. Другими словами, мы можем отбросить знак минус в формуле и использовать

\ [{F_d} = \ gamma u ‘\]

, а затем просто игнорируйте любые знаки силы и скорости.

Это дает нам следующий коэффициент демпфирования

\ [12 = \ gamma \ left (2 \ right) \ hspace {0.25 дюймов} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ gamma = 6 \]

Тогда IVP для этого примера будет

. \ [\ frac {1} {2} u » + 6u ‘+ 18u = 0 \ hspace {0,25 дюйма} u \ left (0 \ right) = — \ frac {1} {2} \ hspace {0,25 дюйма} и ‘\ влево (0 \ вправо) = 1 \]

Перед тем как решать, давайте посмотрим, какое у нас демпфирование. Для этого нам нужен только критический коэффициент демпфирования.

\ [{\ gamma _ {CR}} = 2 \ sqrt {km} = 2 \ sqrt {\ left ({18} \ right) \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)} = 2 \ sqrt 9 = 6 \]

Итак, похоже, у нас критическое демпфирование.{- 6т}} \]

Вот набросок смещения за первые 3 секунды.

Обратите внимание, что «вибрация» в системе на самом деле не настоящая вибрация, как мы склонны думать о них. В случае критического затухания не будет реальных колебаний около точки равновесия, которые мы склонны связывать с колебаниями. Демпфирование в этой системе достаточно сильное, чтобы заставить «вибрацию» утихнуть, прежде чем она когда-либо действительно получит шанс сделать что-нибудь в плане колебаний.

Пример 3 Возьмите систему пружины и массы из первого примера, и на этот раз давайте прикрепим к ней демпфер, который будет оказывать усилие в 17 фунтов при скорости 2 фута / с. Найдите смещение в любой момент времени \ (t \), \ (u (t) \). Показать решение

Итак, единственная разница между этим примером и предыдущим — это демпфирующая сила. Итак, найдем коэффициент демпфирования

\ [17 = \ gamma \ left (2 \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0.25 дюймов} \ gamma = \ frac {{17}} {2} = 8.5> {\ gamma _ {CR}} \]

Итак, похоже, что на этот раз мы преодолели демпфирование, поэтому мы должны ожидать получения двух реальных различных корней из характеристического уравнения, и оба они должны быть отрицательными. IVP для этого примера:

. \ [\ frac {1} {2} u » + \ frac {{17}} {2} u ‘+ 18u = 0 \ hspace {0,25 дюйма} u \ left (0 \ right) = — \ frac {1 } {2} \ hspace {0,25 дюйма} u ‘\ left (0 \ right) = 1 \]

Этот пример немного сложнее, чем предыдущий, поэтому мы проделаем пару шагов, а вам оставим заполнить пробелы.{- 14.5208 \, \, t}} \ end {align *} \]

Вот набросок смещения для этого примера.

Обратите внимание на интересную вещь о смещении здесь. Несмотря на то, что в этом случае мы «чрезмерно» демпфированы, на самом деле для затухания вибрации требуется больше времени, чем в случае критического демпфирования. Иногда это происходит, хотя не всегда избыточное демпфирование позволяет вибрации продолжаться дольше, чем критический случай демпфирования.

Также обратите внимание, что, как и в случае критического демпфирования, мы не получаем вибрации в том смысле, в котором мы обычно о них думаем. Опять же, демпфирование достаточно сильное, чтобы заставить вибрацию затухать достаточно быстро, так что мы не видим много, если вообще видим колебания, которые мы обычно связываем с вибрациями.

Давайте рассмотрим еще один пример, прежде чем переходить к следующему типу вибраций.

Пример 4 Возьмите систему пружины и массы из первого примера, и для этого примера давайте прикрепим к ней демпфер, который будет оказывать силу 5 фунтов при скорости 2 фута / с.Найдите смещение в любой момент времени \ (t \), \ (u (t) \). Показать решение

Итак, получим коэффициент демпфирования.

\ [5 = \ gamma \ left (2 \ right) \ hspace {0.25in} \ Rightarrow \ hspace {0.25in} \ gamma = \ frac {5} {2} = 2.5

Итак, на этот раз демпфирование. Учитывая первые два примера, это не должно вызывать удивления. IVP для этого примера:

. \ [\ frac {1} {2} u » + \ frac {5} {2} u ‘+ 18u = 0 \ hspace {0,25 дюйма} u \ left (0 \ right) = — \ frac {1} { 2} \ hspace {0.{- 1}} \ left ({\ frac {{- 0,04583}} {{- 0,5}}} \ right) = 0,09051 \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {OR}} \ hspace {0,25 дюйма} {\ delta _2} = {\ delta _1} + \ pi = 3.2321 \ end {align *} \]

Как и в случае без демпфирования, мы можем использовать коэффициенты косинуса и синуса, чтобы определить, какой фазовый сдвиг мы должны использовать. Коэффициент косинуса (\ (c_ {1} \)) отрицательный, поэтому \ (\ cos \ delta \) также должен быть отрицательным. Точно так же коэффициент синуса (\ (c_ {2} \)) также отрицательный, и поэтому \ (\ sin \ delta \) также должен быть отрицательным.{- \ frac {{5t}} {2}}} \ cos \ left ({\ frac {{\ sqrt {119}}} {2} t — 3.2321} \ right) \]

Вот набросок этого смещения.

В этом случае мы наконец получили то, что мы обычно считаем настоящей вибрацией. Фактически, это точка критического демпфирования. По мере увеличения коэффициента демпфирования критический коэффициент демпфирования будет первым, при котором истинные колебания смещения не возникнут. Для всех значений коэффициента демпфирования больше этого ( i.е. чрезмерное демпфирование), мы также не увидим истинных колебаний смещения.

С физической точки зрения критическое (и избыточное) демпфирование обычно предпочтительнее недостаточного. Подумайте об амортизаторах в вашей машине. Когда вы ударяетесь о неровность, вы не хотите тратить следующие несколько минут, подпрыгивая вверх и вниз, пока гаснет вибрация, создаваемая неровностью. Вы хотите, чтобы движение было как можно меньше. Другими словами, вы захотите установить амортизаторы в своем автомобиле так, чтобы демпфирование было хотя бы критическим, чтобы избежать колебаний, которые возникают из-за недостаточного демпфирования корпуса.

Пришло время взглянуть на системы, в которых мы позволяем другим внешним силам воздействовать на объект в системе.

Незатухающие вынужденные колебания

Сначала рассмотрим незатухающий корпус. Дифференциальное уравнение в этом случае

\ [му » + ку = F \ влево (т \ вправо) \]

Это просто неоднородное дифференциальное уравнение, и мы знаем, как его решать. Общее решение —

. \ [u \ left (t \ right) = {u_c} \ left (t \ right) + {U_P} \ left (t \ right) \]

, где дополнительным решением является решение проблемы свободной и незатухающей вибрации.Чтобы получить конкретное решение, мы можем использовать либо неопределенные коэффициенты, либо вариацию параметров, в зависимости от того, что нам проще для данной функции принуждения.

Есть особый тип форсирующей функции, на которую мы должны обратить внимание, поскольку она приводит к некоторым интересным результатам. Предположим, что вынуждающая функция — это простая периодическая функция вида

\ [F \ left (t \ right) = {F_0} \ cos \ left ({\ omega \, t} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {OR}} \ hspace {0.25 дюймов} F \ left (t \ right) = {F_0} \ sin \ left ({\ omega \, t} \ right) \]

Для целей этого обсуждения мы будем использовать первый. Используя это, IVP становится,

\ [mu » + ku = {F_0} \ cos \ left ({\ omega \, t} \ right) \]

Дополнительное решение, как указано выше, составляет всего

\ [{u_c} \ left (t \ right) = {c_1} \ cos \ left ({{\ omega _0} t} \ right) + {c_2} \ sin \ left ({{\ omega _0} t} \ Правильно)\]

, где \ ({\ omega _0} \) — собственная частота.

Мы должны быть осторожны при поиске конкретного решения. Причина этого станет ясна, если мы воспользуемся неопределенными коэффициентами. С неопределенными коэффициентами наше предположение о форме конкретного решения будет:

\ [{U_P} \ left (t \ right) = A \ cos \ left ({\ omega \, t} \ right) + B \ sin \ left ({\ omega \, t} \ right) \]

Теперь это предположение будет проблемой, если \ ({\ omega _0} = \ omega \). Если бы это произошло, предположение для конкретного решения было в точности дополнительным решением, поэтому нам нужно было бы добавить \ (t \).2}} \ right)}} \ cos \ left ({\ omega t} \ right) \ end {align *} \]

Если бы мы использовали синусоидальную форму функции принуждения, мы могли бы получить аналогичную формулу.

  • \ ({\ omega _0} = \ omega \)

    В этом случае нам нужно будет добавить \ (t \) к предположению для конкретного решения.

    \ [{U_P} \ left (t \ right) = At ​​\ cos \ left ({{\ omega _0} t} \ right) + Bt \ sin \ left ({{\ omega _0} t} \ right) \]

    Обратите внимание, что мы пошли дальше и признали, что \ ({\ omega _0} = \ omega \) в нашем предположении.2} + k = — m \ left ({\ frac {k} {m}} \ right) + k = 0 \]

    Итак, первые два члена фактически выпадают (что очень хорошо…), и это дает нам

    \ [2m {\ omega _0} B \ cos \ left ({\ omega t} \ right) — 2m {\ omega _0} A \ sin \ left ({\ omega t} \ right) = {F_0} \ cos \ влево ({\ omega t} \ right) \]

    Теперь установим коэффициент равным.

    \ [\ begin {align *} & \ cos \ left ({\ omega t} \ right) \ ,: & 2m {\ omega _0} B & = {F_0} & \ Rightarrow \ hspace {0.25 дюймов} B & = \ frac {{{F_0}}} {{2m {\ omega _0}}} \\ & \ sin \ left ({\ omega t} \ right) \ ,: & 2m {\ omega _0} A & = 0 & \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} A & = 0 \ end {align *} \]

    В данном случае конкретным будет,

    \ [{U_P} \ left (t \ right) = \ frac {{{F_0}}} {{2m {\ omega _0}}} t \ sin \ left ({{\ omega _0} t} \ right) \ ]

    Смещение для этого случая составляет

    \ [\ begin {align *} u \ left (t \ right) & = {c_1} \ cos \ left ({{\ omega _0} t} \ right) + {c_2} \ sin \ left ({{\ omega _0} t} \ right) + \ frac {{{F_0}}} {{2m {\ omega _0}}} t \ sin \ left ({{\ omega _0} t} \ right) \\ u \ left ( t \ right) & = R \ cos \ left ({{\ omega _0} t — \ delta} \ right) + \ frac {{{F_0}}} {{2m {\ omega _0}}} t \ sin \ слева ({{\ omega _0} t} \ right) \ end {align *} \]

    в зависимости от формы, которую вы предпочитаете для смещения.

  • Итак, в чем смысл этих двух случаев? Что ж, в первом случае \ ({\ omega _0} \ ne \ omega \) наша функция смещения состоит из двух косинусов и всегда хороша и хорошо себя ведет.

    Напротив, второй случай, \ ({\ omega _0} = \ omega \) будет иметь некоторые серьезные проблемы при увеличении \ (t \). Добавление \ (t \) в частное решение будет означать, что мы увидим колебание, амплитуда которого нарастает с увеличением \ (t \).Этот случай называется резонансным , и мы, как правило, хотели бы избежать его любой ценой.

    В этом случае резонанс возник, если предположить, что вынуждающая функция равна

    \ [F \ left (t \ right) = {F_0} \ cos \ left ({{\ omega _0} \, t} \ right) \]

    У нас также была бы возможность резонанса, если бы мы предположили вынуждающую функцию формы.

    \ [F \ left (t \ right) = {F_0} \ sin \ left ({{\ omega _0} \, t} \ right) \]

    Мы также должны позаботиться о том, чтобы не предполагать, что функция принуждения будет в одной из этих двух форм.Функции принуждения могут иметь самые разные формы. Если мы столкнемся с функцией принуждения, отличной от той, которая используется здесь, вам придется пройти через неопределенные коэффициенты или изменение параметров, чтобы определить конкретное решение.

    Пример 5 К пружине прикреплен предмет весом 3 кг, который сам растянет пружину на 392 мм. В системе отсутствует демпфирование и форсирующая функция вида \ [F \ left (t \ right) = 10 \ cos \ left ({\ omega \, t} \ right) \]

    прикреплен к объекту, и система будет испытывать резонанс.Если объект изначально смещен на 20 см вниз от его положения равновесия и задана скорость 10 см / сек вверх, найдите смещение в любой момент времени \ (t \).

    Показать решение

    Поскольку мы находимся в метрической системе, нам не нужно находить массу в том виде, в каком она нам дана. Кроме того, для всех расчетов мы будем переводить все значения длины в метры.

    Первое, что нам нужно сделать, это найти \ (k \).

    \ [k = \ frac {{mg}} {L} = \ frac {{\ left (3 \ right) \ left ({9.8} \ right)}} {{0.392}} = 75 \]

    Теперь нам говорят, что система испытывает резонанс, поэтому давайте продолжим и получим собственную частоту, чтобы мы могли полностью настроить IVP.

    \ [{\ omega _0} = \ sqrt {\ frac {k} {m}} = \ sqrt {\ frac {{75}} {3}} = 5 \]

    Тогда IVP для этого будет

    \ [3u » + 75u = 10 \ cos \ left ({5t} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} u \ left (0 \ right) = 0,2 \ hspace {0,25 дюйма} u ‘\ left (0 \ right ) = — 0.1 \]

    С точки зрения решения здесь особо нечего делать. Дополнительным решением является свободное незатухающее решение, которое легко получить, и для конкретного решения мы можем просто использовать формулу, которую мы вывели выше.

    Тогда общее решение:

    \ [\ begin {align *} u \ left (t \ right) & = {c_1} \ cos \ left ({5t} \ right) + {c_2} \ sin \ left ({5t} \ right) + \ frac {{10}} {{2 \ left (3 \ right) \ left (5 \ right)}} t \ sin \ left ({5t} \ right) \\ u \ left (t \ right) & = {c_1 } \ cos \ left ({5t} \ right) + {c_2} \ sin \ left ({5t} \ right) + \ frac {1} {3} t \ sin \ left ({5t} \ right) \ end {выровнять*}\]

    Применение начальных условий дает смещение в любой момент \ (t \).{1} / {} _ {5}}}} \ right) = — 0,099669 \ hspace {0,25 дюйма} {\ delta _2} = {\ delta _1} + \ pi = 3,041924 \ end {align *} \]

    В этом случае коэффициент при косинусе положительный, а коэффициент при синусоидальном — отрицательный. Это заставляет \ (\ cos \ delta \) быть положительным, а \ (\ sin \ delta \) — отрицательным. Это означает, что фазовый сдвиг должен быть в квадранте IV, и поэтому на этот раз правильный фазовый сдвиг будет первым.

    Смещение становится равным

    . \ [и \ влево (т \ вправо) = 0.200998 \ cos \ left ({5t + 0,099669} \ right) + \ frac {1} {3} t \ sin \ left ({5t} \ right) \]

    Вот эскиз смещения для этого примера.

    Пришло время взглянуть на последний случай вибрации.

    Принудительные демпфированные колебания

    Это полномасштабный случай, в котором мы рассматриваем все возможные силы, которые могут воздействовать на систему. Дифференциальное уравнение для этого случая:

    \ [mu » + \ gamma u ‘+ ku = F \ left (t \ right) \]

    Функция смещения на этот раз будет

    . \ [u \ left (t \ right) = {u_c} \ left (t \ right) + {U_P} \ left (t \ right) \]

    , где дополнительным решением будет решение для случая со свободным демпфированием, а конкретное решение будет найдено с использованием неопределенных коэффициентов или вариации параметра, в зависимости от того, что наиболее удобно для использования.

    В связи с этим случаем следует отметить несколько моментов. Во-первых, из нашей работы в случае свободного затухания мы знаем, что дополнительное решение будет приближаться к нулю при увеличении \ (t \). Из-за этого дополнительное решение в данном случае часто называют переходным решением .

    Кроме того, из-за такого поведения смещение будет все больше и больше походить на конкретное решение по мере увеличения \ (t \), и поэтому конкретное решение часто называют стационарным решением или принудительной реакцией .

    Прежде чем покинуть этот раздел, давайте поработаем еще один пример. Как и в предыдущих примерах, мы оставим большую часть деталей, чтобы вы могли их проверить.

    Пример 6 Возьмите систему из последнего примера и добавьте демпфер, который будет оказывать силу 45 Ньютонов при скорости 50 см / сек. Показать решение

    Итак, все, что нам нужно сделать, это вычислить коэффициент демпфирования для этой задачи, а затем извлечь все остальное из предыдущей задачи.Коэффициент демпфирования

    \ [\ begin {align *} {F_d} & = \ gamma u ‘\\ 45 & = \ gamma \ left ({0.5} \ right) \\ \ gamma & = 90 \ end {align *} \]

    IVP для этой проблемы есть.

    \ [3u » + 90u ‘+ 75u = 10 \ cos \ left ({5t} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} u \ left (0 \ right) = 0,2 \ hspace {0,25in} u’ \ left ( 0 \ right) = — 0,1 \]

    Дополнительным решением для этого примера является

    \ [\ begin {align *} {u_c} \ left (t \ right) & = {c_1} {{\ bf {e}} ^ {\ left ({- 15 + 10 \ sqrt 2} \ right) t} » } + {c_2} {{\ bf {e}} ^ {\ left ({- 15-10 \ sqrt 2} \ right) t}} \\ {u_c} \ left (t \ right) & = {c_1} {{\ bf {e}} ^ {- 0. {- 0.{- 29.1421t}} + \ frac {1} {{45}} \ sin \ left ({5t} \ right) \]

    Вот эскиз смещения для этого примера.

    Как лучше всего остановить механические звуковые колебания?

    Механический звук

    • Механические колебания, которые попадают в диапазон частот, который мы можем слышать, называются звуками или звуковыми волнами.
    • Механическая вибрация — это форма колебательной энергии, состоящая из сил определенной частоты, повторяющихся циклически.
    • Когда эта колеблющаяся энергия ударяется о тело (любого вида), она передается в точке удара, вызывая возвратно-поступательное или восходящее движение, известное как вибрация.
    • Поскольку волны энергии вызывают вибрацию, они обладают как амплитудой (силой волны), так и частотой (количеством колебаний волны в секунду). Обе эти характеристики необходимо контролировать.
    • Механическая вибрация под высоким давлением возникает, когда энергия вибрации имеет большую амплитуду (высокая прочность).В результате каждое вибрационное воздействие создает силу высокого уровня. При рассмотрении звуковых колебаний — это означает более высокий уровень (громкость) звука.
    • Также важно учитывать частоту. Это связано с тем, что разные частоты по-разному взаимодействуют с веществами. Все материалы и системы имеют естественную или резонансную частоту. Когда частота вибрации, воздействующей на систему, соответствует ее резонансной частоте, эта система начинает резонировать. Это относится к ситуации, в которой волны вибрационной энергии начинают нарастать друг на друга.Таким образом, амплитуда вибрации постоянно увеличивается. Следовательно, вибрация более низкой амплитуды может увеличиваться в силе, просто питаясь более низким уровнем подаваемой энергии. Что касается звуковых колебаний, резонанс может привести к появлению опасно громких звуков на потенциально вредных частотах.

    Механические звуковые колебания — проблемы и решения

    • Нежелательная механическая звуковая вибрация, известная как шум.
    • На рабочем месте пневматические инструменты, тяжелая техника и промышленное оборудование могут быть источниками высокого уровня шума.Этот шум может привести к потере слуха, при этом одни частоты более опасны, чем другие.
    • Вне рабочего места приложения для контроля шума включают студии звукозаписи и продукты, такие как динамики и DVD / CD-плееры.
    • Необходимо устранить нежелательный звук. Как лучше всего остановить механические звуковые колебания? Sorbothane® — это наиболее эффективный продукт для гашения механической звуковой вибрации.

    Что такое сорботан и как он устраняет механические звуковые колебания?

    • Сорботан, вязкоупругое полимерное вещество, обладает свойствами, присущими жидкостям, а также твердыми телами.
    • Когда Sorbothane испытывает нагрузку (механическую звуковую вибрацию), он течет как жидкость.
    • Он возвращается к своей первоначальной форме после снятия силы удара, имитируя упругое твердое тело.
    • Поглощенная энергия механической звуковой вибрации безопасно рассеивается Sorbothane — наружу от источника удара.
    • Как лучше всего остановить механические звуковые колебания? Используйте сорботан — самый эффективный из доступных гасителей колебаний.

    Стандартные продукты Sorbothane и индивидуализация

    Линия Sorbothane включает продукты, разработанные для эффективного гашения механических звуковых колебаний. В комплект входят: втулки и шайбы, монтажные полусферы и бесшумные ножки, бамперы и упоры, а также сорботановые полосы и листовой материал для включения шумоподавления в дизайн продукта (аудиооборудование) и окружающую среду (студии звукозаписи).

    Свяжитесь с Sorbothane, чтобы узнать, как наши инженеры могут разработать для вас уникальное решение.

    .
    Разное

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.