+7 495 120-13-73 | 8 800 500-97-74

(для регионов бесплатно)

Содержание

Резонансная частота — это… Что такое Резонансная частота?

Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. При помощи явления резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания. Резонанс — явление, заключающееся в том, что при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы.

Но это далеко не полное определение явления резонанса. Для более детального восприятия этой категории необходимы некоторые факты из теории дифференциальных уравнений и математического анализа. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений известна проблема собственных векторов и собственных значений. Резонанс в динамической системе, описываемой дифференциальными уравнениями (и не только ими), формально наступает, когда проблема собственных значений приводит к кратным собственным числам. При этом в математическом аспекте не очень существенно, являются ли собственные числа комплексными или действительными. В физическом аспекте явление резонанса обычно связывают только с колебательными динамическими системами. Наиболее ярко понятие явления резонанса развито в современной теории динамических систем. Примером является известная теория Колмогорова-Арнольда-Мозера. Центральная проблема этой теории — вопрос сохранения квазипериодического или условно-периодического движения на торе (теорема КАМ). Эта теорема дала мощный толчок к развитию современной теории нелинейных колебаний и волн. В частности, стало ясно, что резонанс может и не наступить, хоть собственные числа совпадают или близки. Напротив, резонанс может проявиться в системе, где никакие собственные числа не совпадают, а удовлетворяют лишь определенным резонансным соотношениям или условиям синхронизма.

Увеличение амплитуды — это лишь следствие резонанса, а причина — совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы

Механика

Наиболее известная большинству людей механическая резонансная система — это обычные качели. Если вы будете подталкивать качели в соответствии с их резонансной частотой, размах движения будет увеличиваться, в противном случае движения будут затухать. Резонансную частоту такого маятника с достаточной точностью в диапазоне малых смещений от равновесного состояния, можно найти по формуле:

f = {1 \over 2 \pi} \sqrt {g \over L} ,

где g это ускорение свободного падения (9,8 м/с² для поверхности Земли), а L — длина от точки подвешивания маятника до центра его масс. (Более точная формула довольно сложна, и включает эллиптический интеграл). Важно, что резонансная частота не зависит от массы маятника. Также важно, что раскачивать маятник нельзя на кратных частотах (

высших гармониках), зато это можно делать на частотах, равных долям от основной (низших гармониках).

Резонансные явления могут вызвать необратимые разрушения в различных механических системах, например, неправильно спроектированных мостах. Так, в 1905 году рухнул Египетский мост в Санкт-Петербурге, когда по нему проходил конный эскадрон, а в 1940 — разрушился Такомский мост в США. Чтобы предотвратить такие повреждения существует правило, заставляющее строй солдат сбивать шаг при прохождении мостов.

В основе работы механических резонаторов лежит преобразование кинетической энергии в потенциальную и обратно. В случае простого маятника, вся его энергия содержится в потенциальной форме, когда он неподвижен и находится в верхних точках траектории, а при прохождении нижней точки на максимальной скорости, она преобразуется в кинетическую. Потенциальная энергия пропорциональна массе маятника и высоте подъёма относительно нижней точки, кинетическая — массе и квадрату скорости в точке измерения.

Другие механические системы могут использовать запас потенциальной энергии в различных формах. Например, пружина запасает энергию сжатия, которая, фактически, является энергией связи её атомов.

Электроника

В электронных устройствах резонанс возникает на определённой частоте, когда индуктивная и ёмкостная составляющие реакции системы уравновешены, что позволяет энергии циркулировать между магнитным полем индуктивного элемента и электрическим полем конденсатора.

Механизм резонанса заключается в том, что магнитное поле индуктивности генерирует электрический ток, заряжающий конденсатор, а разрядка конденсатора создаёт магнитное поле в индуктивности — процесс, который повторяется многократно, по аналогии с механическим маятником.

Электрическое устройство, состоящее из ёмкости и индуктивности, называется колебательным контуром. Элементы колебательного контура могут быть включены как последовательно, так и параллельно. При достижении резонанса, импеданс последовательно соединённых индуктивности и ёмкости минимален, а при параллельном включении — максимален. Резонансные процессы в колебательных контурах используются в элементах настройки, электрических фильтрах. Частота, на которой происходит резонанс, определяется величинами (номиналами) используемых элементов. В то же время, резонанс может быть и вреден, если он возникает в неожиданном месте по причине повреждения, недостаточно качественного проектирования или производства электронного устройства. Такой резонанс может вызывать паразитный шум, искажения сигнала, и даже повреждение компонентов.

Приняв, что в момент резонанса индуктивная и ёмкостная составляющие импеданса равны, резонансную частоту можно найти из выражения ωL = 1/ωC, где ω = 2πf; f — резонансная частота в герцах; L — индуктивность в генри; C — ёмкость в фарадах. Важно, что в реальных системах понятие резонансной частоты неразрывно связано с

полосой пропускания, то есть диапазоном частот, в котором реакция системы мало отличается от реакции на резонансной частоте. Ширина полосы пропускания определяется добротностью системы.

Акустика

Резонанс — один из важнейших физических процессов, используемых при проектировании звуковых устройств, большинство из которых содержат резонаторы, например, струны и корпус скрипки, трубка у флейты, мембрана у барабанов.

Струна

Струны таких инструментов, как лютня, гитара, скрипка или пианино, имеют основную резонансную частоту, напрямую зависящую от длины и силы натяжения струны. Длина волны первого резонанса струны равна её удвоенной длине. При этом, его частота зависит от скорости

v, с которой волна распространяется по струне:

f = {v \over 2L}

где L — длина струны (в случае, если она закреплена с обоих концов). Скорость распространения волны по струне зависит от её натяжения T и массы на единицу длины ρ:

v = \sqrt {T \over \rho}

Таким образом, частота главного резонанса зависит от свойств струны и выражается следующим отношением:

f = {\sqrt {T \over \rho} \over 2 L} = {\sqrt {T \over m / L} \over 2 L} = {\sqrt {T \over 4mL}}
,

где T — сила натяжения, ρ — масса единицы длины струны, а m — полная масса струны.

Увеличение натяжения струны и уменьшение её длины увеличивает её резонансную частоту. Помимо основного резонанса, струны также имеют резонансы на высших гармониках основной частоты f, например, 2f, 3f, 4f, и т. д. Если струне придать колебание коротким воздействием (щипком пальцев или ударом молоточка), струна начнёт колебания на всех частотах, присутствующих в воздействующем импульсе (теоретически, короткий импульс содержит все частоты). Однако частоты, не совпадающие с резонансными, быстро затухнут, и мы услышим только гармонические колебания, которые и воспринимаются как музыкальные ноты.

Примечания

См. также

Ссылки

Richardson LF (1922), Weather prediction by numerical process

, Cambridge.

Bretherton FP (1964), Resonant interactions between waves. J. Fluid Mech., 20, 457-472.

Бломберген Н. (1965), Нелинейная оптика, М.: Мир — 424 с.

Захаров В.Е. (1974), Гамильтонов формализм для волн в нелинейных средах с дисперсией, Изв. вузов СССР. Радиофизика, 17(4), 431-453.

Арнольд В.И. (1979), Потеря устойчивости автоколебаний вблизи резонансов, Нелинейные волны, ред. А.В. Гапонов-Грехов, М.: Наука, 116-131.

Kaup PJ, Reiman A and Bers A (1979), Space-time evolution of nonlinear three-wave interactions. Interactions in a homogeneous medium, Rev. of Modern Phys, 51(2), 275-309.

Haken H (1983), Advanced Synergetics. Instability Hierarchies of Self-Organizing Systems and devices, Berlin, Springer-Verlag.

Филлипс O.М. (1984), Взаимодействие волн. Эволюция идей, Современная гидродинамика. Успехи и проблемы

. М.: Мир, 297-314.

Журавлёв В.Ф., Климов Д.М. (1988), Прикладные методы в теории колебаний, М.:Наука

Сухоруков А.П. (1988), Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике, М.: Наука — 232 с.

Брюно А.Д. (1990), Ограниченная задача трех тел, М.:Наука

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Формулы расчета резонансной частоты колебательного контура: амплитуда резонанса

Галилео Галилей, исследуя маятники и музыкальные струны, описал явление, которое впоследствии стали называть резонансом. Оно проявляется не только в акустике, но и в механике, электронике, оптике и астрофизике. Резонансный эффект имеет как положительные, так и отрицательные воздействия на колебательные системы.

Резонанс

Резонанс

Эффект резонанса

Ярким примером механического класса резонаторов является пружинный маятник. Профессор из технологического Массачусетского института (в Америке), В. Левин, акцентирует внимание своих студентов на то, что резонанс (resonance) – это эффект, сопряжённый с увеличением амплитуды. Для демонстрации явления используется установка. Она состоит из следующих компонентов:

  • электродвигатель;
  • механизм, превращающий вращение в возвратно-поступательное движение;
  • ЛАТР – лабораторный автотрансформатор;
  • медная пружина из проволоки с набором грузиков;
  • направляющая для пружины.

Направление колебания пружины – вертикальное. Вращение вала мотора заставляет пружину совершать колебания. С помощью автотрансформатора присутствует возможность регулировать напряжение. Регулировка позволяет варьировать частоту вращения вала и колебаний маятника. При изменении частоты вращения вала амплитуда возвратно-поступательного движения остаётся неизменной.

Перед опытом замеряется удлинение медной пружины под действием грузиков (для оценки резонансной частоты пружины). Изменение скорости вращения вала заставляет амплитуду колебания конца пружины с грузом изменяться. Амплитуда увеличивается и на 1-м герце частоты становится максимальной (~30 см).

Важно! При дальнейшем увеличении скорости вращения вала амплитуда конца пружины начинает уменьшаться. Это означает, что resonance пройден. Если уменьшать напряжение, а с ним и частоту вращения двигателя, снова можно наблюдать эффект resonance колебания пружины.

Пружинный маятник

Пружинный маятник

Добротность пружины Q определяется как отношение амплитуды колебания пружины Aпр к амплитуде колебания вынуждающей силы Aвс. В этом случае Q = Aпр/Aвс = 30/5 = 6, где Aвс = 5.

Определение колебательного контура

Резонансные явления, отмеченные в электротехнике, ярко выражены в схемах колебательных контуров (КК). Подобные конструкции представляют собой элементарные системы, способные осуществлять свободные колебания электромагнитной природы. Сам КК в цепи состоит из следующих элементов:

  • конденсатора;
  • катушки индуктивности;
  • источника тока.

Внимание! Выводы элементов схемы могут соединяться друг с другом параллельно или последовательно. Все зависит от того, какого результата нужно добиться от резонанса в КК.

Подключение к цепи индуктивной катушки

Включение в ёмкостную цепь катушки индуктивности сразу превращает её в КК. В зависимости от схемы подключения, различают два вида КК 1 класса: параллельный и последовательный.

Параллельный КК

В данной схеме конденсатор С соединён с катушкой L параллельно. Если заряженный конденсатор присоединить к катушке, то энергия, запасённая в нём, передастся ей. Через индуктивную катушку L потечёт ток, вызывая электродвижущую силу (ЭДС).

ЭДС самоиндукции L будет направлена на снижение тока в параллельной цепи. Ток, созданный этой ЭДС, и ток разряда ёмкости сначала одинаковы, а их суммарное значение равно нулю. Конденсатор передаст свою энергию Ec в катушку и полностью разрядится. Индуктивность, получив максимальную магнитную энергию EL, начнёт заряжать ёмкость напряжением уже другой полярности. Когда вся энергия из индуктивности перейдёт в ёмкость, конденсатор будет полностью заряжен. В цепи появляются колебания, такой контур называется колебательным.

Параллельный КК

Параллельный КК

К сведению. Если бы в такой цепи отсутствовали потери, то такие колебания никогда не стали затухать. На практике, продолжительность процесса зависит от потери энергии. Чем больше потери, тем меньше длительность колебаний.

Параллельное соединение C и L вызывает резонанс токов. Это значит, что токи, проходящие через C и L, выше по значению, чем ток через сам контур, в конкретное число раз. Это число носит название добротности Q. Оба тока (емкостной и индуктивный) остаются внутри цепи, потому что они находятся в противофазе, и происходит их обоюдная компенсация.

Стоит отметить! На fрез величина R КК устремляется к бесконечности.

Последовательный КК

В этой схеме соединены последовательно друг с другом катушка и конденсатор.

Последовательный КК

Последовательный КК

В такой схеме происходит resonance напряжений, R контура устремляется к нулю в случае образования резонансной частоты (fрез). Это позволяет использовать подобную систему резонанса в качестве фильтра.

Резонансная частота

При подаче на два КК (параллельного и последовательного) переменного напряжения с изменяющейся частотой их реактивные сопротивления C и L будут меняться. Изменения происходят следующим образом:

  • с увеличением f – ёмкостное сопротивление уменьшается, а индуктивное увеличивается;
  • с уменьшением f – ёмкостное сопротивление увеличивается, а индуктивное уменьшается.

Частота, при которой реактивные сопротивления обоих элементов контура равны, называется резонансной.

Важно! При fрез сопротивление параллельного КК будет максимальным, а последовательного КК – минимальным.

Резонансная частота формула, которой имеет вид:

fрез = 1/2π*√L*C,

где:

  • L – индуктивность, Гн;
  • C – ёмкость, Ф.

Подставляя известные значения ёмкости и индуктивности в формулу резонансной частоты колебательного контура любой конфигурации, можно рассчитать этот параметр.

Для определения периода колебаний КК и частоты резонанса можно воспользоваться онлайн калькулятором на соответствующем портале в сети. Профессиональная программа имеет несложный интерфейс.

Пример интерфейса онлайн калькулятора LC-контура

Пример интерфейса онлайн калькулятора LC-контура

Применение колебательных контуров

Подробный расчет колебательного контура позволяет точно подбирать величину необходимых элементов КК. Это позволяет использовать их в схемах электроники в виде:

  • частотных фильтров – в радиоприёмниках, генераторах сигналов, преобразователях и выпрямителях;
  • колебательных контуров – для выделения и настройки на определённую частоту станции вещания;
  • силовых resonance-фильтров – для формирования напряжения синусоидальной формы.

На самолётах гражданской авиации КК применяется в блоках регулировки частоты генераторов.

Условие отсутствия резонанса

Для того чтобы возник резонанс формула которого для тока равна ω0*C = 1/ ω0*L, необходимо выполнения этого равенства. Существуют условия для невозможности появления этого эффекта, а именно:

  • отсутствие у системы собственных колебаний;
  • невозможность совпадения частоты внешнего воздействия с собственной частотой системы.

Амплитуда резонанса

В КК при подаче переменного напряжения от внешнего источника наблюдаются два вида резонанса и резкое увеличение двух видов амплитуды: амплитуды тока и амплитуды напряжения.

Амплитуда тока

Амплитуда тока резко возрастает при резонансе напряжений в последовательном контуре (последовательный резонанс). Источник переменной ЭДС включён в цепь, где нагрузкой служат последовательно включённые элементы L и С.

В этом случае в цепь входят сопротивления: активное r и реактивное x, равное:

x = xL – xC.

Так как для внутренних колебаний xL и xC равны, то для тока, поступающего от генератора, при резонансе (когда частоты совпадают) эти значения тоже одинаковы. Поэтому x = 0. В итоге полное сопротивление цепи будет состоять только из небольшого активного сопротивления. Ток при этом получается максимальным.

Схема (а) и резонансные кривые (б) для резонанса напряжений

Схема (а) и резонансные кривые (б) для резонанса напряжений

Амплитуда напряжения

Резонанс токов (параллельный резонанс) является условием резкого возрастания амплитуды напряжения. Источник ЭДС подключается вне контура и нагружен параллельно соединёнными элементами L и С. В этом случае на эффект резонанса влияет внутреннее сопротивление генератора. Амплитуда напряжения на контуре максимальна при малом отличии напряжения контура от напряжения генератора. Это возможно при малом Ri.

Внимание! Изменение частоты генератора меняет ток, а амплитуда напряжения на контуре не отстаёт по величине от напряжения на генераторе. Если, U = Е – I*Ri, где Е – ЭДС, I – ток, то при малом Ri U = Е.

Схема (а) и резонансные кривые (б) для резонанса токов

Схема (а) и резонансные кривые (б) для резонанса токов

Формула для определения расчётной резонансной частоты для разных колебательных систем различается по входящим в неё параметрам. Несмотря на все различия, суть остаётся неизменной: эффект резонанса наступает тогда, когда частота внутренних колебаний системы и внешних воздействий становятся равны друг другу.

Видео

amperof.ru

Резонансная частота Википедия

Эффект резонанса для разных частот внешнего воздействия и коэффициентов затухания Раскачивание человека на качелях — типичный пример резонанса. Нагруженное колебание, маятник, имеет собственную частоту колебаний, свою резонансную частоту и сопротивляется давлению с большей или меньшей скоростью.

Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono «откликаюсь») — частотно-избирательный отклик колебательной системы на периодическое внешнее воздействие, который проявляется в резком увеличении амплитуды стационарных колебаний при совпадении частоты внешнего воздействия с определёнными значениями, характерными для данной системы[1]. Для линейных колебательных систем значения частот резонанса совпадает с частотами собственных колебаний, а их число соответствует числу степеней свободы[1].

Под действием резонанса, колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие внешней силы. Степень отзывчивости в теории колебаний описывается величиной, называемой добротностью. При помощи резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания.

Явление резонанса впервые было описано Галилео Галилеем в 1602 г. в работах, посвященных исследованию маятников и музыкальных струн.[2][3]

Механика[ | ]

Школьный резонансный массовый эксперимент

Наиболее известная

ru-wiki.ru

Электротехника: Резонансная частота.

 Параллельный колебательный контур (рисунок 1) или последовательный колебательный контур (рисунок 2) могут использоваться в генераторах синусоидальных колебаний. Если в одной из этих схем зарядить конденсатор то он будет разряжаться заряжая катушку индуктивности, катушка разряжаясь будет заряжать конденсатор, этот процесс будет повторяться с определённым периодом T. Период это время одного колебания. Частота колебаний это величина обратная периоду. Разделив единицу на численное значение периода получим  численное значение частоты. Рисунок 1 —  Параллельный колебательный контур

Рисунок 2 —  Последовательный колебательный контур  

 Частота возникших колебаний называется собственной частотой колебаний контура для контуров изображённых на рисунках выше эта частота равна резонансной частоте этих контуров. Резонансная частота контура зависит от индуктивности L и ёмкости C её элементов, для колебательного контура (последовательного или параллельного) её можно найти по формуле:
Где L-индуктивность катушки контура, C-ёмкость конденсатора контура.
Если на параллельный или последовательный колебательный контур подавать переменное синусоидальное напряжение и изменять его частоту то будут меняться реактивные сопротивления элементов контура, если частота увеличивается то сопротивление конденсатора уменьшается а сопротивление катушки увеличивается и наоборот: если частота уменьшается то сопротивление конденсатора увеличивается а сопротивление катушки уменьшается, очевидно что есть такая частота при которой сопротивление катушки и конденсатора равны эта частота и есть резонансная. Сопротивление параллельного колебательного контура при этой частоте будет наибольшим (по сравнению с сопротивлениями этого контура при других частотах) а сопротивление последовательного колебательного контура при такой частоте будет наименьшим. Эти свойства контуров используют для построения фильтров например в полосно-пропускающем фильтре последовательно с нагрузкой ставиться последовательный контур и при подаче на это соединение (нагрузки и контура) переменного напряжения с резонансной частотой ток в нагрузке будет максимальным при других частотах ток будет меньше. Резонанс в параллельном контуре называют — резонансом токов, резонанс в последовательном контуре — резонансом напряжений. Можно простым способом определить каким будет сопротивление контура при резонансной частоте: например допустим что на параллельный колебательный контур подаётся постоянный ток, постоянный ток можно считать частным случаем переменного короче говоря постоянный ток это переменный с наименьшей возможной частотой, известно что при постоянном токе катушка действует как перемычка следовательно сопротивление контура будет равно нулю если резонансная частота не бесконечно мала (т.е. не постоянный ток) и сопротивление есть то оно больше нуля (т.е. сопротивления при постоянном токе) следовательно сопротивление параллельного колебательного контура на резонансной частоте максимальное а у последовательного контура наоборот. Зная то что конденсатор постоянный ток не пропускает, можно аналогично определить каким д.б. сопротивление последовательного контура на резонансной частоте. Выведем формулу для расчёта резонансной частоты зная то что при резонансе реактивные сопротивления элементов (катушки и конденсатора) контура равны:

Для расчёта резонансной частоты и периода колебаний колебательного контура с катушкой и конденсатором можно воспользоваться программой:

electe.blogspot.com

34.Условие и способы получения резонанса. Резонансная частота

Явление резонанса. Электрическая цепь, содержащая индуктивность и емкость, может служить колебательным контуром, где возникает процесс колебаний электрической энергии, переходящей из индуктивности в емкость и обратно. В идеальном колебательном контуре эти колебания будут незатухающими. При подсоединении колебательного контура к источнику переменного тока угловая частота источника ? может оказаться равной угловой частоте ?0, с которой происходят колебания электрической энергии в контуре. В этом случае имеет место явление резонанса, т. е. совпадения частоты свободных колебаний ?0, возникающих в какой-либо физической системе, с частотой вынужденных колебаний ?, сообщаемых этой системе внешними силами.

Резонанс в электрической цепи можно получить тремя способами: изменяя угловую частоту ? источника переменного тока, индуктивность L или емкость С. Различают резонанс при последовательном соединении L и С — резонанс напряжений и при параллельном их соединении — резонанс токов. Угловая частота ?0, при которой наступает резонанс, называется резонансной, или собственной частотой колебаний резонансного контура.

35. Резонанс в последовательном колебательном контуре. Добротность, векторная диаграмма. Характеристическое сопротивление, затухание контура.

Резонанс напряжений – явление, при котором цепь содержащая активные и реактивные сопротивления, будет только активное сопротивление (XL — XC = 0). При этом ток в цепи совпадает по фазе с напряжением. Условие возникновение резонанса напряжений – равенство нулю реактивного сопротивления.

характеристическое сопротивление контура.

Таким образом:

резонансная частота

-резонансная для парралельного

При резонансе напряжений ток максимален, так как сопротивление минимально, а

и таким образом

Добротностью контура называется отношение модуля реактивной составляющей напряжения в цепи к модулю входного напряжения в момент резонанса.

Полосу частот вблизи резонанса, на границах которой ток снижается до величины принято называтьполосой пропускания резонансного тока.

Чем больше добротность, тем острее кривая и уже полоса пропускания

36. Резонанс (определение). Последовательный и параллельный колебательные контуры. Резонансные кривые в относительных единицах для последовательного колебательного контура.

резонанс напряжений в цепях переменного тока это такой процесс, при котором на отдельных элементах цепи возникает напряжение больше чем питающее. Такой процесс возникает в цепях, состоящих из последовательно соединённых емкости и индуктивности. В так называемом последовательном колебательном контуре.

Для наступления резонанса в цепи переменного тока необходимо чтобы выполнялись условия. Во-первых, реактивное сопротивление индуктивности должно быть равно реактивному сопротивления емкости. При этом активное сопротивление такого контура должно быть минимальным.

Рисунок 1 — последовательный колебательный контур

Во вторых собственная частота последовательного колебательного контура состоящего из индуктивности и емкости должна совпадать с частотой питающего напряжения. Тогда в цепи наступает резонанс напряжений. Энергия, накопленная в магнитном поле, полностью переходит в энергию электрического поля в конденсаторе и наоборот.

А для источника переменного напряжения такая цепь становится практически закороткой и в ней протекает максимально возможный ток. Ограниченный только активным сопротивлением контура. Поскольку реактивные сопротивления индуктивности и емкости на резонансной частоте становятся равные нулю и энергия в них не рассеивается. В отличии от активного сопротивления в котором по закону джоуля ленца выделяется тепло.

Рисунок 2 — Зависимость тока и полного реактивного сопротивления от частоты источника напряжения

При изменении частоты питающего напряжения или параметров контура резонанс исчезает. Напряжение на элементах цепи распределяется в соответствии с законом Ома. То есть падение напряжения на емкости и индуктивности будет равно току, умноженному на их реактивные сопротивления.

В случае резонанса напряжение на емкости или индуктивности будет в Q раз больше чем напряжение источника. Q это добротность контура величина обратная коэффициенту затухания колебаний в контуре. Таким образом, чем выше добротность контура, тем выше будет увеличение напряжения.

Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы

studfile.net

Резонанс | Формулы и расчеты онлайн

При заданных возмущающей силе Fmax.возм и коэффициенте трения β амплитуда Ym является функцией только угловой частоты возмущающей силы.

Резонанс

На рисунке показана зависимость Ym от ω (резонансная кривая). Параметром служит коэффициент затухания δ.

При ωω0 она достигает особенно большого значения (резонанс).

При самых малых значениях δ величина Ym резко возрастает.

Если δ > 0, то в случае резонанса ω < ω0; величина Ymax.ст представляет собой статическое отклонение системы под действием постоянной силы Ymax.возм (ω = 0).

Для определения резонансной частоты необходимо найти максимум функции Ym = Ym(ω) и приравнять первую производную нулю; тогда, если

ωрезрезонансная частота, при которой амплитуда максимальна,радиан/сек
ω0частота собственных незатухающих колебаний системы,радиан/сек
mмасса колебательной системы,кг
βкоэффициентом вязкого трения,кг/сек
δкоэффициентом затухания,радиан/сек

Частота резонанса

\[ ω_{рез} = \sqrt[-1.2]{ω_{0}^2 — \frac[-1.2]{β^2}{2m^2}} = \sqrt[-0.5]{ω_{0}^2 — 2δ^2} \]

Условие отсутствия резонанса

\[ δ ≥   \frac{ω_{0}}{\sqrt{2}} \]

Амплитуда резонанса

Чтобы найти величину амплитуды в резонансном случае, нужно подставить формулу (1) в формулу отклонения при вынужденных колебаниях.

Если

Ymax.резрезонансная амплитуда колебаний системы,метр
Fmax.возммаксимальное значение возмущающей силы,Ньютон
mмасса колебательной системы,кг
ωрезрезонансная частота, при которой амплитуда максимальна,радиан/сек
ω0частота собственных незатухающих колебаний системы,радиан/сек
ωчастота колебаний системы с затуханием,радиан/сек
βкоэффициентом вязкого трения,кг/сек
δкоэффициентом затухания,радиан/сек

то имеем

\[ Y_m = \frac[-2.65] { F_{max.возм} } { β \sqrt[-1.25]{ ω_{0}^2 — \frac[-1.2]{β^2}{4m^2} } } \]

\[ Y_m = \frac{F_{max.возм}}{βω} \]

\[ Y_m = \frac{F_{max.возм}}{2δmω} \]

Согласно формуле, разность фаз α также зависит от частоты возмущающей силы. Параметром служит коэффициент δ.

Резонанс

На рисунке представлена зависимость α от частоты.

Независимо от величины затухания при ω = ω0 разность фаз составляет

\[ α = 90° \]

Резонанс играет большую роль в технике и в повседневной жизни. В большинстве механических устройств под действием внешних периодических сил могут возникать колебания. При резонансе происходит нарастание амплитуды колебаний, и это может привести к разрушениям («резонансная катастрофа»). В случае вращательного движения резонансную частоту называют критическим числом оборотов.

В помощь студенту

Резонанс
стр. 556

www.fxyz.ru

Coil32 — Собственный резонанс однослойной катушки

контурНа заре развития радиотехники было обнаружено, что катушка не идеальная индуктивность. На определенной частоте она входит в режим резонанса даже при отсутствии внешней емкости, а выше этой частоты импеданс катушки носит уже емкостный характер. Для объяснения этого явления предположили, что кроме индуктивности реальная катушка обладает еще собственной емкостью (предположительно между соседними витками) и реальную катушку стали представлять в виде модели из сосредоточенных RLC элементов, в которой L —  индуктивность, C — собственная емкость, названная паразитной, а с помощью активного R учитываются различные потери в катушке. Такая модель катушки имеет одну резонансную частоту, которую назвали частотой собственного резонанса. Долгое время эта модель всех устраивала и стала классической моделью реальной катушки во всех учебниках.

 

Ведь катушки в подавляющем большинстве практических применений работают на частотах намного ниже частоты собственного резонанса и задачей конструктора является, по сути, обеспечение этого условия. При этом большинство инженеров с этой целью пытались уменьшить эту самую «межвитковую» паразитную емкость. В случае же, если катушка работает на частотах близких к собственному резонансу, как например в спиральных резонаторах или катушках Теслы, RLC-модель дает неверные результаты, но для таких случаев были разработаны альтернативные алгоритмы расчета и все остались довольны не особо задумываясь о причинах таких нестыковок. В нашу цифровую эпоху появились программы, которые дали возможность моделировать поведение любых высокочастотных устройств с высокой степени точности — так называемые электромагнитные симуляторы. Это мощные пакеты типа CST Studio, HFSS и многие другие. Давайте проведем исследование однослойной спиральной катушки в программе HFSS. В первой модели мы поместим катушку над идеальной проводящей поверхностью и запитаем от точечного источника с внутренним сопротивлением 50 МОм. Второй конец катушки заземлен. Расчет будем вести в режиме HFSS Design, использующий метод конечных элементов.HFSS модель катушки инндуктивностиВторую катушку рассчитаем методом HFSS Design-IE, использующий метод моментов. В отличии от популярных у радиолюбителей симуляторов на основе ядра NEC, например MMANA, здесь сегментация идет не на отрезки провода, а по его поверхности на элементарные треугольные площадки. При такой сегментации для успешного расчета требуется не менее 8-16 Гб оперативной памяти компьютера. Запитаем катушку через короткие выводы от такого же источника. Поскольку катушка не заземлена, в этой модели первый резонанс — полуволновой.собственный резонанс катушкиВ результате исследования мы получили графики импеданса на зажимах источника относительно частоты. Из графиков видно, что у катушки не один, а множество резонансов. Из этого следует вывод, что наша катушка — это совсем не одиночный LC-контур с собственной индуктивностью и паразитной емкостью в виде сосредоточенных элементов, как принято считать, а длинная линия с распределенными параметрами. Такая линия состоит из одного провода, но это не должно никого смущать. То, что в даже одиночном проводе наблюдаются волновые резонансные явления, хорошо иллюстрирует пример полуволнового вибратора Герца. Ведь волновые явления как в длинных линиях, так и в вибраторе отображают тот факт, что электромагнитное взаимодействие распространяется с конечной скоростью. На то чтобы электромагнитное взаимодействие «добралось» от одного конца провода до другого затрачивается определенное время, и когда это время сравнимо с периодом колебаний рабочей частоты возникают явления резонанса. И катушка в этом плане недалеко ушла от вибратора, поскольку несмотря на малые ее габариты, длина провода, которым она намотана, может иметь величину сравнимую с длиной волны. Частоту собственного резонанса вибратора мы можем довольно легко определить зная его длину, учтя коэффициент укорочения. В катушке, кроме того, необходимо учесть связь между витками.


В учебниках по электродинамике [1] можно найти описание работы спиральных волноводов с поверхностными электромагнитными (ЭМ) волнами, распространяющимися вдоль провода спирали. Такие волноводы применяются как замедляющие структуры в спиральных антеннах и лампах бегущей волны. Длина одного витка и шаг намотки у них сравним с длиной волны. В частности, у спиральной антенны длина витка L равна длине волны, а шаг намотки p равен четверти длины волны.srfФазовая скорость волны вдоль оси спирального волновода значительно ниже скорости света, на чем и основано его применение как замедляющей структуры.

формула фазовой скорости волны в спиральной антенне [1]

где:

 

  • vax — скорость волны вдоль оси спирали
  • с — скорость света

Относительная фазовая скорость волны вдоль оси такого волновода зависит только от геометрии спирали и не зависит от частоты, поскольку влияние витков друг на друга минимально и ЭМ-волна распространяется вдоль провода такой спирали, так же как и у вибратора. Отметим, что фазовая скорость ЭМ волны относительно провода спирали в таком волноводе близка к скорости света.


В нашей же катушке, и длина отдельного витка, и даже длина всей намотки, и тем более шаг намотки намного меньше длины волны. В этом случае, кроме основной моды в таком спиральном волноводе существуют высшие моды колебаний, распространяющиеся непосредственно вдоль ее оси. Другими словами, ЭМ волна распространяется не только вдоль длины провода, но часть ее «перепрыгивает от витка к витку». Относительная фазовая скорость вдоль оси катушки определяется следующим приближенным выражением:

формула фазовой скорости волны в спиральной антенне [2]

где:

 

  • λ0 — длина волны рабочей частоты в свободном пространстве

Как видно из формулы, скорость зависит от диаметра катушки, шага намотки и длины волны. По сути, катушка — тот же спиральный волновод с медленными волнами, но работающий в другом режиме колебаний. Во избежании различных спекуляций отметим то обстоятельство, что благодаря наличию высших мод, волна «добирается» до другого конца катушки быстрее чем непосредственно вдоль провода. Поэтому фазовая скорость волны относительно провода выше скорости света, причем в разы. Это не противоречит теории относительности. Достаточно упомянуть, что в полых волноводах фазовая скорость волны тоже выше скорости света. Для понимания этого кажущегося парадокса следует различать фазовую и групповую скорости электромагнитной волны. Для чего отсылаю к учебникам…

Катушка с одним заземленным концом резонирует на частотах 0/4, где n – целое число, λ0 — длина волны рабочей частоты и fsrf = vax0. Поэтому увеличение частоты собственного резонанса сводится к увеличению значения vax. Из-за наличия высших мод ЭМ-волны, частота первого резонанса катушки всегда выше частоты, рассчитанной исходя из длины провода. По этой же причине высшие по частоте резонансы не кратны первому и друг другу. При изменении шага намотки vax имеет максимум при шаге спирали примерно равном радиусу намотки (радиус a = D / 2). Однако катушки с большим шагом намотки (p ≈ a) не представляют практического интереса, поскольку имеют малую индуктивность. При увеличении шага намотки частота собственного резонанса катушки растет (при p < a), но рост этот идет за счет снижения величины индуктивности. При фиксированной индуктивности, если увеличивать шаг намотки, нам приходится добавлять витки и выигрыша мы практически не получаем.

У коротких катушек на каркасах большого диаметра последующие резонансы отстоят от первого далеко выше по частоте, что можно видеть по результатам HFSS моделирования:hfss модель катушкиНа частотах много ниже частоты первого резонанса пространственные задержки намного меньше периода колебаний, ЭМ-поле вокруг катушки представляет собой поле соленоида и скорость распространения волны вдоль ее оси можно не учитывать. В таком случае RLC-модель из сосредоточенных элементов будет вполне рабочей и достаточно точно отображает поведение катушки. Стоит только помнить, что паразитная собственная емкость — это вовсе не статическая емкость между витками. В таком режиме работают катушки из всех наших трех моделей в КВ диапазоне и ниже. Однако уже на частоте первого резонанса начинают проявляться волновые эффекты, связанные с ограниченной скоростью передачи электромагнитных взаимодействий и катушку следует рассматривать только как спиральный волновод. В этом случае RLC модель не только не годится для расчетов, но и приводит к неверному пониманию самого механизма возникновения резонансных явлений в катушке. В этой связи хочется отметить наличие в Сети ложной идеи о том, что в катушке одновременно происходят как волновой резонанс, так и LC-резонанс на сосредоточенных индуктивности и пресловутой «межвитковой емкости». Такое утверждение равносильно тому, что в катушке имеются два механизма распространения электромагнитных взаимодействий. Один происходит, как обычно, со скоростью света и определяет волновой резонанс. Второй осуществляется мгновенно с бесконечной скоростью в виртуальных сосредоточенных элементах катушки. Ведь фазовый сдвиг между током и напряжением в реактивных элементах — это совсем не то пространственное запаздывание, о котором идет речь. На самом деле катушка, как набор сосредоточенных RLC элементов, и катушка, как цепь с распределенными параметрами  — это две разные математические модели одной и той же реальной катушки. Первая модель не учитывает ограниченную скорость передачи взаимодействий, основана на предположении, что плотность тока во всех витках всегда одинакова, что не имеет место при собственном резонансе спирали. Поэтому эта модель ограничена и применима только на низких частотах. Вторая модель — более полная, учитывает то, что не учла первая и применима на любой частоте. В этом нет ничего необычного. Любая цепь, физические размеры которой сравнимы с длиной волны, не может рассматриваться как цепь из сосредоточенных элементов, в которой не учитывается ограниченная скорость передачи электромагнитных взаимодействий. Именно по этой причине О.Хевисайд и предложил в 1885 г. свою теорию длинных линий, а заодно кстати и само абстрактное математическое понятие «индуктивность». Как положительную реактивность.

Особо хотелось бы отметить следующий момент. На низких частотах, где, как мы выяснили, RLC модель справедлива, можно считать, что как индуктивность так и собственная емкость катушки не зависят от частоты, а определяются только геометрией намотки. Это общеизвестный факт, который зафиксирован например в формуле Нагаока. Однако реально параметры спиральной длинной линии зависят от частоты. Не только vax, но и погонная емкость и погонная индуктивность и, как следствие — величины собственной индуктивности и собственной емкости катушки в целом. Только на низких частотах эта зависимость пренебрежимо мала, а вот уже на частотах близких к первому резонансу значения индуктивности и собственной емкости катушки начинают заметно «плыть» по частоте. В итоге, мы сталкиваемся с ситуацией, что эти значения, измеренные или рассчитанные на низкой частоте, не пригодны для расчета частоты собственного резонанса катушки как LC резонанса по формуле Томсона. Расчет даст неверный результат! Неверный, Карл! Таким образом, мы приходим к выводу, что расчеты, основанные на понятии о LC-резонансе в катушке, полностью теряют смысл, что еще раз доказывает несостоятельность RLC-модели катушки не только для объяснения физических явлений при собственном резонансе, но и для расчетов в этой частотной области. Поэтому приходится прибегать к более сложному численному методу из работы [5], включающему в себя функции Бесселя и прочий суровый матан, что и делает Coil32.

Как видно из HFSS-моделей, у катушки как первый резонанс так и все последующие связаны исключительно с волновыми явлениями в катушке. Возможны практические случаи, когда катушка работает в диапазоне частот, в который попадает не только ее первый резонанс, но и более высокие. Очень хорошо такой случай описан в статье И.Гончаренко об анодном дросселе коротковолнового передатчика [2]. На этом примере хорошо видно, что для правильного понимания механизма резонансных явлений в катушке необходимо пользоваться теорией длинных линий.

 

Кроме фазовой скорости волны в катушке на частоту собственного резонанса оказывает влияние так называемый торцевой эффект, подобный хорошо известному аналогичному понятию из теории антенн, от которого зависит коэффициент укорочения вибратора. Этот эффект проявляется от того, что ЭМ-поле вокруг катушки занимает пространство большее, чем сама катушка. Наличие торцевого эффекта понижает резонансную частоту и этот эффект более выражен у коротких катушек с большим диаметром, что еще раз подтверждает родственную связь резонансных явлений в катушке и в вибраторе. Учитывая фазовую скорость вдоль оси катушки и явление торцевого эффекта мы можем рассчитать частоту собственного резонанса катушки по следующей весьма приближенной формуле от G3RBJ:

формула фазовой скорости волны в спиральной антенне [3]

где:

 

  • fsrf — частота собственного резонанса [МГц]
  • ĺw — длина провода катушки с учетом торцевого эффекта [м]
  • lw — реальная длина провода катушки [м]
  • D, p, l — диаметр, шаг и длина намотки, соответственно [м]
  • 0,25 — коэффициент, определяющий четвертьволновый резонанс (для полуволнового — 0,5)

Если конструктору необходимо создать катушку, имеющую минимальные габариты и максимальную частоту собственного резонанса при заданной индуктивности, то наиболее оптимальна будет намотка с расстоянием между витками, равном диаметру провода,  при отношении l/D ≈ 1..1,5. Хотелось бы обратить внимание конструкторов, что здесь идет речь о вычислении собственной резонансной частоты «голой катушки в вакууме», т.е. одной проволочной спирали без учета влияния каркаса, сердечника, экрана, изоляции провода и т.п. Все эти, трудно поддаваемые учету факторы, приводят к уменьшению этой частоты. Причем влияние оказывает все — любой проводник, печатная плата, корпус конструкции. В наших HFSS-моделях влияющие факторы — это выводы спирали и, особенно, сплошная земля в 1-ой и 3-ей моделях. Даже если вы соберетесь измерить частоту собственного резонанса экспериментально, это будет непростой задачей, так как щупы измерительного оборудования также оказывают влияние, даже если катушка где то висит в воздухе!


Необходимо отметить, что строгого аналитического решения уравнений Максвелла для цилиндрической проволочной спирали не существует, поэтому в теории спиральный волновод представляют в виде эквивалентной модели из тонкостенного сплошного цилиндра с анизотропной проводимостью. Однако численные методы решения уравнений Максвелла (чем в принципе и занимается HFSS) приводят нас к вполне однозначным результатам. В итоге, следует иметь ввиду, что вышеприведенная простая аналитическая формула [3] является весьма приблизительной и не может быть применима к любой катушке с произвольной геометрией намотки. Поэтому в Coil32 расчет частоты собственного резонанса основан не на аналитическом, а на численном методе из работы [5], который проверен практическими измерениями. При этом не учитывается влияние экрана, каркаса и других факторов. Расчет имеет точность около 10% при 0,04 < l/D < 40. Для некоторых катушек, например для очень длинных соленоидов с большим числом витков, этот метод может давать неверный результат. На практике же следует придерживаться следующего простого условия: если длина провода, которым намотана катушка, меньше четверти длины волны на наивысшей рабочей частоте, то катушка будет работать ниже своего первого резонанса.


P.S: В заключении хотелось бы добавить несколько слов о концепции «Двух независимых резонансов в катушке — волновом и LC-резонансе». Эта концепция зиждется на трех ложных в своей основе предпосылках и поэтому в корне неверна:

  1. Любую линейную замкнутую электрическую цепь можно представить как набор из сосредоточенных RLC-элементов. Основными законами этой цепи являются законы Ома и Кирхгофа. Любое изменение топологии цепи или добавление элементов в нее полностью меняет распределение токов и напряжений во всей цепи. Однако в концепции «двойного резонанса» длинная линия считается этаким себе «черным ящиком», равноценным какому-то особому четвертому сосредоточенному элементу, волновые процессы внутри которого существуют сами по себе. Но не стоит забывать, что другое название длинной линии — линия с распределенными параметрами, когда она представляется как цепь из бесконечного числа RLC-элементов. В ней также справедливы те же самые законы Ома и Кирхгофа, только представленные уже в дифференциальной форме. Мы просто перешли на более высокий уровень математической абстракции, при котором учитываются пространственно-временные задержки сигнала, но сути дела это не меняет. Поэтому, если мы подключим параллельно такой линии сосредоточенную емкость и будем считать, что характер распределения токов и напряжений внутри самой линии не изменится, мы просто отрицаем сами законы Ома и Кирхгофа. При этом не надо забывать, что характер распространения ЭМ-волны в линии и характер распределения токов и напряжений в ней — вещи жестко взаимосвязанные. Вывод — волновые процессы в линии не являются каким то особым ее свойством, которое существует само по себе, независимо от общих законов электрических цепей. Эти законы настолько фундаментальны, что в определенной мере отображены на еще более высоком уровне математической абстракции в уравнениях Максвелла, которые описывают свойства самой электромагнитной волны.
  2. «При сворачивании линии в спираль мало что меняется». Это утверждение неверно. По крайней мере индуктивность значительно увеличивается, иначе зачем сворачивать? Кроме того, погонная емкость и погонная индуктивность такой линии уже становятся зависимыми от частоты. В результате, как отмечалось выше, формула Томсона для расчета частоты собственного резонанса в спиральной линии перестает работать.
  3. В итоге, на основе этих неверных предпосылок, утверждается наличие двух независимых резонансов и нам выкатывают две формулы. Формулу Томсона, которая на самом деле в этом случае не работает, и формулу от Alane Payne (G3RBJ), которая, как мы отметили выше, является сильно приближенной. И по этим двум формулам уже идет развитие «теории двух независимых резонансов», которых в реальности не существует, что подтверждают и расчеты в HFSS и точные измерения. Повторюсь еще раз — все дело в разных математических моделях одной реальной катушки и разных уровнях математических абстракций в зависимости от конкретных условий расчета. Смешивать все это в одну кучу и подгонять под выдуманную теорию нельзя.

Ссылки по теме:

  1. Техническая электродинамика, Семенов Н.А., Изд. «Связь» Москва, 1973, стр.318-323.
  2. Моделирование анодного дросселя как распределенной структуры — И.Гончаренко 2007-2012
  3. Паразитные резонансы в катушке П-контура — И.Гончаренко
  4. Высокочастотные катушки, спиральные резонаторы и увеличение напряжения из-за когерентных пространственных мод 2001г. (Оригинал статьи здесь)
  5. THE SELF-RESONANCE AND SELF-CAPACITANCE OF SOLENOID COILS — applicable theory, models and calculation methods. By David W Knight (G3YNH)
  6. The self-resonance and self-capacitance of solenoid coils by David W Knight — основная статья с массой полезных ссылок по теме, в том числе на экспериментальные исследования с наглядными фото (G3YNH)
  7. SELF-RESONANCE IN COILS and the self-capacitance myth. By Alane Payne (G3RBJ)
  8. О собственной емкости катушки.

coil32.ru

Разное

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *