+7 495 120-13-73 | 8 800 500-97-74

(для регионов бесплатно)

Содержание

Скорость резания от диаметра Таблица / Surface speed to RPM conversion

Перевод оборотов в минуту в линейную скорость Справочная таблица Скорости резания в зависимости от диаметра режущего инструмента

Перевод оборотов в минуту в линейную скорость Справочная таблица Скорости резания в зависимости от диаметра режущего инструмента _ Расчет частоты вращения vc Скорость резания (Vc, м/ ин) Диаметр 20 30 40 50 60 70 80 90 100 120 140 150 180 200 250 300 0.2 31,831 47,746 63,662 79,577 95,493 111,408 127,324 143,239 159,155 190,986 222,817 23,872 286,479 318,310 397,887 477,465 0.3 21,221 31,831 42,441 53,052 63,662 74,272 84,883 95,493 106,103 127,324 148,545 159,155 190,986 212,207 265,258 318,310 0.4 15,915 23,873 31,831 39,789 47,746 55,704 63,662 71,620 79,577 95,493 111,408 119,366 143,239 159,155 198,944 238,732 0.5 12,732 19,099 25,465 31,831 38,197 44,563 50,930 57,296 63,662 76,394 89,127 95,493 114,592 127,324 159,155 190,986 0.6 10,610 15,915 21,221 26,526 31,831 37,136 42,441 47,746 53,052 63,662 74,272 79,577 95,493 106,103 132,629 159,155 0. 7 9,095 13,642 18,189 22,736 27,284 31,831 36,378 40,926 45,473 54,567 63,662 68,209 81,851 90,946 113,682 136,419 0.8 7,958 11,937 15,915 19,894 23,873 27,852 31,831 35,810 39,789 47,746 55,704 59,683 71,620 79,577 99,472 119,366 0.9 7,074 10,610 14,147 17,684 21,221 24,757 28,294 31,831 35,368 42,441 49,515 53,052 63,662 70,736 88,419 106,103 6,366 9,549 12,732 15,915 19,009 22,282 25,465 28,648 31,831 38,197 44,563 47,746 57,296 63,662 79,577 95,793 1.5 4,244 6,366 8,488 10,610 12,732 14,854 16,977 19,099 21,221 25,465 29,709 31,831 38,197 42,441 53,052 63,662 2 3,183 4,775 6,366 7,958 9,549 11,141 12,732 14,324 15,915 19,099 22,282 23,873 28,648 31,831 39,789 47,746 2.5 2,546 3,820 5,093 6,366 7,639 8,913 10,186 11,459 12,732 15,279 17,825 19,099 22,918 25,465 31,831 38,197 3 2,122 3,183 4,244 5,305 6,366 7,427 8,488 9,549 10,610 12,732 14,854 15,915 19,099 21,221 26,526 31,831 3.5 1,819 2,728 3,638 4,547 5,457 6,366 7,276 8,185 9,095 10,913 12,732 13,642 16,370 18,189 22,736 27,284 4 1,592 2,387 3,183 3,979 4,775 5,570 6,366 7,162 7,958 9,549 11,141 11,937 14,324 15,915 19,894 23,873 4.

5 1,415 2,122 2,829 3,537 4,244 4,951 5,659 6,366 7,074 8,488 9,903 10,610 12,732 14,147 17,684 21,221 5 1,273 1,910 2,546 3,183 3,820 4,456 5,093 5,730 6,366 7,639 8,913 9,549 11,459 12,732 15,915 19,099 5.5 1,157 1,736 2,315 2,894 3,472 4,051 4,630 5,209 5,787 6,945 8,102 8,681 10,417 11,575 14,469 17,362 6 1,061 1,592 2,122 2,653 3,183 3,714 4,244 4,775 5,305 6,366 7,427 7,958 9,549 10,610 13,263 15,915 6.5 979 1,469 1,959 2,449 2,938 3,428 3,918 4,407 4,897 5,876 6,856 7,346 8,815 9,794 12,243 14,691 7 909 1,364 1,819 2,274 2,728 3,183 3,638 4,093 4,547 5,457 6,366 6,821 8,185 9,095 11,368 13,642 7.5 849 1,273 1,698 2,122 2,546 2,971 3,395 3,820 4,244 5,093 5,942 6,366 7,639 8,488 10,610 12,732 8 796 1,194 1,592 1,989 2,387 2,785 3,183 3,581 3,979 4,775 5,570 5,968 7,162 7,958 9,947 11,937 8.5 749 1,123 1,498 1,872 2,247 2,621 2,996 3,370 3,745 4,494 5,243 5,617 6,741 7,490 9,362 11,234 9 707 1,061 1,415 1,768 2,122 2,476 2,829 3,183 3,537 4,244 4,951 5,305 6,366 7,074 8,842 10,610 9.
5 670 1,005 1,340 1,675 2,010 2,345 2,681 3,016 3,351 4,021 4,691 5,026 6,031 6,701 9,377 10,052 10 637 955 1,273 1,592 1,910 2,228 2,546 2,865 3,183 3,820 4,456 4,775 5,730 6,366 7,958 9,549 11 579 868 1,157 1,447 1,736 2,026 2,315 2,604 2,894 3,472 4,051 4,341 5,209 5,787 7,234 8,681 12 531 796 1,061 1,326 1,592 1,857 2,122 2,387 2,653 3,183 3,714 3,979 4,775 5,305 6,631 7,958 13 490 735 979 1,224 1,469 1,714 1,959 2,204 2,449 2,938 3,428 3,673 4,407 4,897 6,121 7,346 14 455 682 909 1,137 1,364 1,592 1,819 2,046 2,274 2,728 3,183 3,410 4,093 4,547 5,684 6,821 15 424 637 849 1,061 1,273 1,485 1,698 1,910 2,122 2,546 2,971 3,183 3,820 4,244 5,305 6,366 16 398 597 796 995 1,194 1,393 1,592 1,790 1,989 2,387 2,785 2,984 3,581 3,979 4,974 5,968 17 374 562 749 969 1,123 1,311 1,498 1,685 1,872 2,247 2,621 2,809 3,370 3,745 4,681 5,617 18 354 531 707 884 1,061 1,238 1,415 1,592 1,768 2,122 2,476 2,653 3,183 3,537 4,421 5,305 19 335 503 670 838 1,005 1,173 1,340 1,508 1,675 2,010 2,345 2,513 3,016 3,351 4,188 5,026 20 318 477 637 796 955 1,114 1,273 1,432 1,592 1,910 2,228 2,387 2,865 3,183 3,979 4,775 21 303 455 606 758 909 1,061 1,213 1,364 1,516 1,819 2,122 2,274 2,728 3,032 9,789 4,547 22 289 434 579 723 868 1,013 1,157 1,302 1,447 1,736 2,026 2,170 2,604 2,894 3,617 4,341 23 277 415 554 692 830 969 1,107 1,246 1,384 1,661 1,938 2,076 2,491 2,768 3,460 4,152 24 265 398 531 663 796 928 1,061 1,194 1,326 1,592 1,857 1,989 2,387 2,653 3,316 3,979 25 255 382 509 637 764 891 1,019 1,146 1,273 1,528 1,783 1,910 2,292 2,546 3,183 3,820 гНННЬ 28 Влияние длины рабочей части (вылета фрезы) Концевые фрезы Влияние рабочей части на деформацию изгиба Относительная длина рабочей части фрезы Длину рабочей части фрезы принято измерять в количестве её диаметров I Id При мер) 3D, 15D, 22D Деформация изгиба определяется силой упругости.
которая пропорциональна прогибу стержня. Вел ичин а деформация изгиба определяется по закону Гука С ув еличением вылета фрезы увеличивается деформация изгиба. С увел ичением количества зубьев жесткость возрастает. Малый размер стружечной канавки обеспечивает более высокую жесткость. 5 = Относительная деформация I = Длина рабочей части P = Сила резания Е = Модуль Юнга I = Момент инерции ( 1 5 = ltd4 14 >218 >51 -> 51 =851 =52 3

Конвертер угловой скорости и частоты вращения • Механика • Компактный калькулятор • Онлайн-конвертеры единиц измерения

Конвертер длины и расстоянияКонвертер массыКонвертер мер объема сыпучих продуктов и продуктов питанияКонвертер площадиКонвертер объема и единиц измерения в кулинарных рецептахКонвертер температурыКонвертер давления, механического напряжения, модуля ЮнгаКонвертер энергии и работыКонвертер мощностиКонвертер силыКонвертер времениКонвертер линейной скоростиПлоский уголКонвертер тепловой эффективности и топливной экономичностиКонвертер чисел в различных системах счисления. Конвертер единиц измерения количества информацииКурсы валютРазмеры женской одежды и обувиРазмеры мужской одежды и обувиКонвертер угловой скорости и частоты вращенияКонвертер ускоренияКонвертер углового ускоренияКонвертер плотностиКонвертер удельного объемаКонвертер момента инерцииКонвертер момента силыКонвертер вращающего моментаКонвертер удельной теплоты сгорания (по массе)Конвертер плотности энергии и удельной теплоты сгорания топлива (по объему)Конвертер разности температурКонвертер коэффициента теплового расширенияКонвертер термического сопротивленияКонвертер удельной теплопроводностиКонвертер удельной теплоёмкостиКонвертер энергетической экспозиции и мощности теплового излученияКонвертер плотности теплового потокаКонвертер коэффициента теплоотдачиКонвертер объёмного расходаКонвертер массового расходаКонвертер молярного расходаКонвертер плотности потока массыКонвертер молярной концентрацииКонвертер массовой концентрации в раствореКонвертер динамической (абсолютной) вязкостиКонвертер кинематической вязкостиКонвертер поверхностного натяженияКонвертер паропроницаемостиКонвертер плотности потока водяного параКонвертер уровня звукаКонвертер чувствительности микрофоновКонвертер уровня звукового давления (SPL)Конвертер уровня звукового давления с возможностью выбора опорного давленияКонвертер яркостиКонвертер силы светаКонвертер освещённостиКонвертер разрешения в компьютерной графикеКонвертер частоты и длины волныОптическая сила в диоптриях и фокусное расстояниеОптическая сила в диоптриях и увеличение линзы (×)Конвертер электрического зарядаКонвертер линейной плотности зарядаКонвертер поверхностной плотности зарядаКонвертер объемной плотности зарядаКонвертер электрического токаКонвертер линейной плотности токаКонвертер поверхностной плотности токаКонвертер напряжённости электрического поляКонвертер электростатического потенциала и напряженияКонвертер электрического сопротивленияКонвертер удельного электрического сопротивленияКонвертер электрической проводимостиКонвертер удельной электрической проводимостиЭлектрическая емкостьКонвертер индуктивностиКонвертер реактивной мощностиКонвертер Американского калибра проводовУровни в dBm (дБм или дБмВт), dBV (дБВ), ваттах и др.

единицахКонвертер магнитодвижущей силыКонвертер напряженности магнитного поляКонвертер магнитного потокаКонвертер магнитной индукцииРадиация. Конвертер мощности поглощенной дозы ионизирующего излученияРадиоактивность. Конвертер радиоактивного распадаРадиация. Конвертер экспозиционной дозыРадиация. Конвертер поглощённой дозыКонвертер десятичных приставокПередача данныхКонвертер единиц типографики и обработки изображенийКонвертер единиц измерения объема лесоматериаловВычисление молярной массыПериодическая система химических элементов Д. И. Менделеева

Потолочный вентилятор, вращающийся со скоростью 250 оборотов в минуту

Общие сведения

Угловая скорость — это векторная величина, определяющая скорость вращения тела относительно оси вращения. Этот вектор направлен перпендикулярно плоскости вращения и определяется с помощью правила буравчика. Угловую скорость измеряют как отношение между углом, на который переместилось тело, то есть угловым смещением, и временем, на это потраченным. В системе СИ угловое ускорение измеряют в радианах в секунду.

Угловая скорость в спорте

Угловая скорость часто используется в спорте. Например, спортсмены уменьшают или увеличивают угловую скорость движения клюшки для гольфа, биты или ракетки, чтобы улучшить результаты. Угловая скорость связана с линейной скоростью так, что из всех точек на отрезке, вращающемся вокруг точки на этом отрезке, то есть вокруг центра вращения, самая отдаленная точка от этого центра движется с самой высокой линейной скоростью. Так, например, если клюшка для гольфа вращается, то конец этой клюшки, больше всего удаленный от центра вращения двигается с самой высокой линейной скоростью. В то же время все точки на этом отрезке движутся с одинаковой угловой скоростью. Поэтому удлиняя клюшку, биту, или ракетку, спортсмен также увеличивает линейную скорость, а соответственно скорость удара, передающуюся мячу, так что он может пролететь на большее расстояние. Укорачивая ракетку или клюшку, даже перехватив ее ниже, чем обычно, наоборот замедляют скорость удара.

При первобытнообщинном строе главными охотниками были мужчины

Спортсменам с более длинными руками и ногами удается добиться бо́льшей угловой скорости

У высоких людей с длинными конечностями есть преимущество в отношении линейной скорости. То есть, передвигая ноги с одинаковой угловой скоростью, они двигают ступни с более высокой линейной скоростью. То же происходит и с их руками. Такое преимущество может быть одной из причин того, что в первобытных обществах мужчины занимались охотой чаще, чем женщины. Вероятно, что из-за этого также в процессе эволюции выиграли более высокие люди. Длинные конечности помогали не только в беге, но и во время охоты — длинные руки бросали копья и камни с большей линейной скоростью. С другой стороны, длинные руки и ноги могут быть неудобством. Длинные конечности имеют больший вес и для их перемещения нужна дополнительная энергия. Кроме этого, когда человек быстро бежит, длинные ноги быстрее двигаются, а значит, при столкновении с препятствием удар будет сильнее, чем у людей с короткими ногами, которые двигаются с той же линейной скоростью.

В гимнастике, фигурном катании и нырянии также используют угловую скорость. Если спортсмен знает угловую скорость, то легко вычислить количество переворотов и других акробатических трюков во время прыжка. Во время кувырков спортсмены обычно прижимают ноги и руки как можно ближе к корпусу, чтобы уменьшить инерцию и увеличить ускорение, а значит и угловую скорость. С другой стороны, во время ныряния или приземления, судьи смотрят, как ровно спортсмен приземлился. На высокой скорости трудно регулировать направление полета, поэтому спортсмены специально замедляют угловую скорость, немного вытягивая от корпуса руки и ноги.

Спортсмены, которые занимаются метанием диска или молота, тоже контролируют линейную скорость с помощью угловой. Если просто бросить молот, не вращая его по кругу на длинной стальной проволоке, увеличивающей линейную скорость, то бросок будет не таким сильным, поэтому молот сначала раскручивают. Олимпийские спортсмены поворачиваются вокруг своей оси от трех до четырех раз, чтобы увеличить угловую скорость до максимально возможной.

Угловая скорость и хранение данных на оптических носителях

Диски в накопителе на жестких магнитных дисках («винчестере») вращаются со скоростями от 4&nbsp200 оборотов в минуту на портативных устройствах с низким энергопотреблением до 15&nbsp000 оборотов в минуту на высокоэффективных серверах

Во время записи данных на оптических носителях, например на компакт дисках (CD), для измерения скорости записи и считывания данных в приводе также используются угловая и линейная скорости. Существует несколько способов записи данных, во время которых используют переменную или постоянную линейную или угловую скорость. Так, например, режим постоянной линейной скорости (по-английски — Constant Linear Velocity или CVL) — один из основных методов записи дисков, при котором данные записывают с одинаковой скоростью по всей поверхности диска. Во время записи в режиме зональной постоянной линейной скорости (по-английски — Zone Constant Linear Velocity или ZCLV) постоянная скорость поддерживается во время записи на определенной части, то есть зоне диска. В этом случае диск замедляет вращение при записи на внешних зонах. Режим частично постоянной угловой скорости (Partial Constant Angular Velocity или PCAV) позволяет осуществлять запись с постепенным увеличением угловой скорости, пока она не достигнет определенного порога. После этого угловая скорость становится постоянной. Последний режим записи — режим постоянной угловой скорости (Constant Angular Velocity или CAV). В этом режиме во время записи по всей поверхности диска поддерживается одинаковая угловая скорость. При этом линейная скорость увеличивается по мере того, как записывающая головка перемещается все дальше и дальше к краю диска. Этот режим используется также при записи грампластинок и в компьютерных жестких дисках.

Угловая скорость в космосе

Геостационарная орбита

На расстоянии 35 786 километров (22 236 миль) от Земли находится орбита, на которой вращаются спутники. Это особенная орбита, потому что тела, вращающиеся на ней в одном направлении с Землей, проходят всю орбиту примерно за такое же время, которое требуется Земле, чтобы совершить полный круг вокруг своей оси. Это немного меньше 24 часов, то есть один сидерический день. Так как угловая скорость вращения тел на этой орбите равна угловой скорости вращения Земли, то наблюдателям с Земли кажется, что эти тела не движутся. Такая орбита называется геостационарной.

На эту орбиту обычно выводят спутники, которые отслеживают изменения погоды (метеорологические спутники), спутники, следящие за изменениями в океане и спутники связи, которые обеспечивают телевизионное и радиовещание, телефонную связь и спутниковый Интернет. Геостационарную орбиту часто используют для спутников потому, что антенны, один раз направленные на спутник, не нужно направлять вторично. С другой стороны, с их использованием связаны такие неудобства, как необходимость иметь прямое поле видимости между антенной и спутником. Кроме того, геостационарная орбита находится далеко от Земли и для передачи сигнала необходимо использовать более мощные передатчики, чем те, что используются для передачи с более низких орбит. Сигнал приходит с задержкой приблизительно в 0,25 секунды, что заметно для пользователей. Например, во время трансляции новостей корреспонденты в удаленных районах обычно связываются со студией по спутниковому каналу; при этом заметно, что когда телеведущий задает им вопрос, они отвечают с задержкой. Несмотря на это, спутники на геостационарной орбите широко используются. Например, до недавнего времени связь между континентами осуществлялась, главным образом, с помощью спутников. Сейчас ее в основном заменили межконтинентальные кабели, проложенные по океанскому дну; однако спутниковую связь до сих пор применяют в отдаленных районах. В последние двадцать лет спутники связи также обеспечивают доступ к интернету, особенно в отдаленных местах, где нет наземной инфраструктуры связи.

Спутниковые антенны

Срок службы спутника в основном определяется количеством топлива на борту, требуемым для периодической коррекции орбиты. Количество топлива в спутниках ограничено, поэтому когда оно заканчивается, спутники выводят из эксплуатации. Чаще всего их переводят на орбиту захоронения, то есть орбиту, намного выше геостационарной. Это — дорогостоящий процесс; однако если оставлять ненужные спутники на геостационарной орбите, это грозит вероятностью столкновений с другими спутниками. Место на геостационарной орбите ограничено, поэтому старые спутники, оставленные на орбите, будут занимать место, которое мог бы использовать новый спутник. В связи с этим во многих странах существуют нормы, требующие от владельцев спутников подписать договор о том, что в конце эксплуатации спутник будет выведен на орбиту захоронения.

Литература

Автор статьи: Kateryna Yuri

Unit Converter articles were edited and illustrated by Анатолий Золотков

Вы затрудняетесь в переводе единицы измерения с одного языка на другой? Коллеги готовы вам помочь. Опубликуйте вопрос в TCTerms и в течение нескольких минут вы получите ответ.

Расчеты для перевода единиц в конвертере «Конвертер угловой скорости и частоты вращения» выполняются с помощью функций unitconversion.org.

9.5: Проект зубчатой передачи

Зубчатая передача представляет собой элемент ходовой части, отвечающий за передачу мощность от электромотора к колесам.

Скорость колеса:

Первой концепцией, с которой необходимо познакомиться, это метод расчета скорости, с которой робот перемещается через поле, на базе скорости вращения колес. Каждый раз, когда колесо производит полный оборот, оно перемещается вперед на расстояние, равное длине своей окружности. Таким образом, расстояние, которое преодолевает робот за один оборот колеса, можно рассчитать, узнав длину окружности последнего.

Длина окружности колеса равна его диаметру, умноженному на Pi (математическая постоянная, равная приблизительно 3,14).

Как только стала известна длина окружности колеса, можно рассчитать скорость перемещения робота на базе частоты вращения колеса. Из примера, представленного выше, видно, что диаметр колеса составляет 101,6 мм (4 дюйма), при этом колесо вращается со скоростью 100 об/мин (оборотов в минуту). На основании этого можно рассчитать скорость перемещения робота в мм/сек:

Окружность = Диаметр х Pi
Окружность = 101,6 мм х 3,14
Окружность = 319,024 мм

За 1 оборот колеса робот перемещается на 319,024 мм. Колесо катится со скоростью 100 оборотов в минуту, или 100 оборотов за 60 секунд.

Исходя из этого, можно рассчитать линейную скорость робота:

Таким образом, робот движется со скоростью, приблизительно равной 532 мм/сек, или 0,532 м/сек.

Используя этот метод, а также зная технические характеристики электромоторов VEX, учащиеся могут определить передаточное отношение робота VEX, необходимое для достижения желаемой максимальной скорости.

ПРИМЕР расчета передаточного числа для получения желаемой максимальной скорости:

Предположим, диаметр колеса робота составляет 69,85 мм (2,75 дюйма), при этом электромотор вращается со скоростью 100 об/мин. Для данного случая проектировщик указал, что желаемая скорость робота должна составлять 900 мм/с. Каково при этом должно быть передаточное число? (Для выполнения расчетов необходимо применить знания о передаточном отношении, речь о котором велась в Блоке 8).

В первую очередь, необходимо рассчитать количество оборотов в минуту, необходимое для того, чтобы заставить колесо вращаться с желаемой скоростью, равной 900 мм/сек.

Окружность = Диаметр х Pi
Окружность = 69,85 мм х 3,14
Окружность = 219,329 мм

Таким образом, за 1 оборот колеса робот перемещается на 219,329 мм. Преобразование целевой скорость в обороты в минуту на базе длины окружности: 

 

Зная, что колесо должно вращаться со скоростью 246,18 об/мин, а электромотор вращается со скоростью 100 об/мин, можно рассчитать требуемое передаточное число с помощью уравнения из Блока 8:

Требуемое передаточное число = Входная скорость / Выходная скорость
Требуемое передаточное число = 100 об/мин / 246,18 об/мин
Требуемое передаточное число = 0,4062

Таким образом, для получения желаемой максимальной скорости свыше 900 мм/сек, проектировщик должен использовать в передаточное число, не превышающее значение 0,4062.

Нагружение и зубчатый механизм электромотора:

Второй концепцией, которую проектировщики должны учитывать при проектировании ходовых частей, это зависимость конструкции силовой передачи от нагружения электромотора. В частности, очень важно учесть максимальную нагрузку, прилагаемую ходовой частью к электромотору. Эта нагрузка может возникнуть в ситуациях, когда робот будет толкать неподвижный (не способный к движению) объект, влетев в него на полном ходу. В этой ситуации колеса начнут скользить по поверхности пола, при этом трение, возникшее между колесами и поверхностью пола, будет действовать на электромотор как тормоз.

Первый этап заключается в определении количества колес, выполняющих функцию тормоза для коробки передач. Только колеса, подключенные напрямую через привод или цепь, будут прикладывать нагрузку к коробке передач и электромотору.

Второй этап заключается в определении массы робота, размещенной на каждом из этих колес. Как уже обсуждалось ранее, тяга между колесами и поверхностью пола зависит от нормальной силы, прижимающей их друг к другу.

В качестве примера рассмотрим робота на следующем рисунке:

  

В данном случае, масса робота равномерно распределена между четырьмя колесами, при этом каждая пара (правая и левая стороны) колес подключена напрямую к электромотору через зубчатый механизм. Это означает, что каждый на каждый электромотор приходится 1/2 тягового усилия робота, выполняющего роль тормоза.

Как показано на рисунке выше, трение, создаваемое каждым колесом, принимает участие в создании крутящего момента, противодействующего движению электромотора. Каждый из двух крутящий моментов способствует увеличению нагрузки на электромотор.

Если в силовую передачу входят несколько соединенных электромоторов (например, два электромотора задействованы в управлении движением одного набора ведущих колес), крутящий момент равномерно распределяется между ними.

При проектировании важно, чтобы конструкция зубчатого механизма позволяла достичь нагрузки на каждый электромотор, не превышающей установленного для данного электромотора ограничения (как уже обсуждалось в Блоке 8). Чтобы обеспечить соблюдение установленных ограничений, проектировщики должны использовать знания о передаточных числах.

Используя две концепции, рассмотренные выше, а также информацию из блоков 7 и 8, проектировщики должны создать такой зубчатый механизм, который позволит роботу перемещаться с желаемой скоростью. Необходимо исключить возникновение чрезмерной нагрузки на электромоторы.

Формула угловой скорости в физике

Содержание:

Определение и формула угловой скорости

Определение

Круговым движением точки вокруг некоторой оси называют движение, при котором траекторией точки является окружность с центром, который лежит на оси вращения, при этом плоскость окружности перпендикулярна этой оси.

Вращением тела вокруг оси называют движение, при котором все точки тела совершают круговые движения около этой оси.

Перемещение при вращении характеризуют при помощи угла поворота $(\varphi)$ . Часто используют вектор элементарного поворота $\bar{d\varphi}$ , который равен по величине элементарному углу поворота тела $(d \varphi)$ за маленький отрезок времени dt и направлен по мгновенной оси вращения в сторону, откуда этот поворот виден реализующимся против часовой стрелки. Надо отметить, что только элементарные угловые перемещения являются векторами. Углы вращения на конечные величины векторами не являются.

Определение

Угловой скоростью называют скорость изменения угла поворота и обозначают ее обычно буквой $\omega$ . Математически определение угловой скорости записывают так:

$$\bar{\omega}=\frac{d \bar{\varphi}}{d t}=\dot{\bar{\varphi}}(1)$$

Угловая скорость — векторная величина (это аксиальный вектор). Она имеет направление вдоль мгновенной оси вращения совпадающее с направлением поступательного правого винта, если его вращать в сторону вращения тела (рис.1).

Вектор угловой скорости может претерпевать изменения как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (изменение модуля угловой скорости), так и за счет поворота оси вращения в пространстве ($\bar{\omega}$ при этом изменяет направление).

Равномерное вращение

Если тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол, то такое вращение называют равномерным. При этом модуль угловой скорости находят как:

$$\omega=\frac{\varphi}{t}(2)$$

где $(\varphi)$ – угол поворота, t – время, за которое этот поворот совершён.

Равномерное вращение часто характеризуют при помощи периода обращения (T), который является временем, за которое тело производит один оборот ($\Delta \varphi=2 \pi$). Угловая скорость связана с периодом обращения как:

$$\omega=\frac{2 \pi}{T}(3)$$

С числом оборотов в единицу времени ($\nu) угловая скорость связана формулой:

$$\omega=2 \pi \nu(4)$$

Понятия периода обращения и числа оборотов в единицу времени иногда используют и для описания неравномерного вращения, но понимают при этом под мгновенным значением T, время за которое тело делало бы один оборот, если бы оно вращалось равномерно с данной мгновенной величиной скорости.

Формула, связывающая линейную и угловую скорости

Линейная скорость $\bar{v}$ точки А (рис.1), которая расположена на расстоянии R от оси вращения связана с вектором угловой скорости следующим векторным произведением:

$$\bar{v}=[\bar{\omega} \bar{R}](5)$$

где $\bar{R}$ – перпендикулярная к оси вращения компонента радиус-вектора точки $A (\bar{r})$ (рис. {3} \approx 20(\mathrm{rad})$$

Ответ. $\varphi = 20$ рад.

Читать дальше: Формула удельного веса.

Центрифугирование: как определить ускорение (число g) в зависимости от скорости вращения и диаметра ротора

Центрифугирование – способ разделения неоднородных, дисперсных жидких систем на фракции по плотности под действием центробежных сил. Центрифугирование осуществляют в центрифугах, принцип работы которых основан на создании центробежной силы, увеличивающей скорость разделения компонентов смеси по сравнению со скоростью их разделения только под влиянием силы тяжести. Разделение веществ с помощью центрифугирования основано на разном поведении частиц в центробежном поле. В центробежном поле частицы, имеющие разную плотность, форму или размеры, осаждаются с разной скоростью.

Скорость осаждения, или седиментации, зависит от центробежного ускорения (g), прямо пропорционального угловой скорости ротора (w, рад/с) и расстоянию между частицей и осью вращения (r, см): g = v2x r. Поскольку один оборот ротора составляет радиан, то угловую скорость можно записать так: v = p x n/60, где n – скорость в оборотах в минуту, π — константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Угловая скорость – характеристика скорости вращения тела, измеряется обычно в радианах в секунду, полный оборот (360°) составляет радиан.

Центробежное ускорение тогда будет равно: g =p2x r x n2/900.

Центробежное ускорение обычно выражается в единицах g (ускорение свободного падения, равное 980 м/с2) и называется относительным центробежным ускорением (ОЦУ), т. е. ОЦУ=g/980 или ОЦУ = 1,11 x 10-5 x r x n2 .

Относительное ускорение центрифуги (rcf) задается, как кратное от ускорения свободного падения (g). Оно является безразмерной величиной и служит для сравнения производительности разделения и осаждения. Относительное ускорение центрифуги (rcf) зависит от частоты вращения и радиуса центрифугирования.

Существует номограмма, выражающая зависимость относительного ускорения центрифуги (rcf) от скорости вращения ротора (n) и радиуса (r) – среднего радиуса вращения столбика жидкости в центрифужной пробирке (т.е. расстояния от оси вращения до середины столбика жидкости). Радиус измеряется (см) от оси вращения ротора до середины столбика жидкости в пробирке, когда держатель находится в положении центрифугирования.

Номограмма для определения относительного ускорения центрифуги (rcf) в зависимости от скорости вращения и диаметра ротора

r – радиус ротора, см

n – скорость вращения ротора, оборотов в минуту

rcf (relative centrifuge force) – относительное ускорение центрифуги

Радиус центрифугирования rmax– это расстояние от оси вращения ротора до дна гнезда ротора.

Для определения ускорения с помощью линейки совмещаем значения радиуса и числа оборотов на и на шкале rcf определяем его величину.

Пример: на шкале А отмечаем значение rрадиуса для ротора – 7,2 см, на шкале С отмечаем значение скорости ротора –14,000 об/мин, соединяем эти две точки. Точка пересечения образованного отрезка со шкалой В показывает значение ускорения для данного ротора. В данном случае ускорение равно 15’000.

Глава 7. Вращательное движение. Кинематика и динамика

Как правило, в любом варианте задания ЕГЭ по физике представлены несколько задач на вращательное движение. Приведем основные определения и законы, необходимые для решения такого рода задач. Угловой скоростью тела, совершающего вращательное движение, называется отношение угла поворота к тому времени , за которое этот поворот произошел

(7.1)

В этом определении угол должен измеряться в радианах, поэтому размерность угловой скорости рад/с (или 1/с поскольку радиан — безразмерная величина). В принципе, определение (7.1) позволяет найти как среднюю (для больших интервалов времени ), так и мгновенную (при ) угловую скорость. Однако в школьном курсе физики рассматривается только движение с постоянной угловой скоростью, для которого определение (7.1) дает один и тот же результат для любых интервалов времени . Применяя определение (7.1) к полному обороту тела (угол поворота — радиан), получим связь угловой скорости и периода вращения

(7.2)

Угловую скорость можно ввести не только для точечного тела, но и для протяженного тела. Действительно, при вращении неточечного тела вокруг любой оси все его точки поворачиваются за одинаковое время на одинаковый угол. Поэтому можно говорить об угловой скорости всего тела.

Из формулы (7.2) легко получить связь угловой и обычной скорости вращающегося точечного тела (в этом контексте последнюю всегда называют линейной скоростью). Умножая правую и левую часть формулы (7.2) на радиус окружности и учитывая, что – это длина пути, пройденного за период, получим

(7.3)

Конечно, для неточечного вращающегося тела нельзя ввести понятие линейной скорости, поскольку у разных точек этого тела линейные скорости будут разными.

Очевидно, при вращательном движении тело всегда имеет ускорение. Действительно, согласно определению (2.1) ускорение тела равно нулю, если не меняется вектор скорости этого тела (т.е. как величина скорости, так и ее направление). При вращательном движении направление скорости обязательно меняется. Можно доказать, что при вращательном движении точечного тела с постоянной по величине линейной скоростью вектор его ускорения в любой момент направлен от тела к центру траектории тела, а его величина равна

(7.4)

Ускорение (7. 3) принято называть центростремительным. Если использовать связь линейной и угловой скорости тела при вращательном движении (7.3), то формулу для центростремительного ускорения можно записать и в таких формах

(7.5)

Согласно второму закону Ньютона ускорения сообщаются телам силами. Поэтому если тело совершает движение по окружности радиуса с постоянной по величине скоростью (и соответственно угловой скоростью ), на него должна действовать сила, направленная к центру окружности и равная по величине

(7.6)

Силу (7.6) принято называть центростремительной. Отметим, что термин «центростремительная» связан не с природой этой силы, а с тем, как она действует: в разных ситуациях центростремительной силой может быть и сила тяжести, и сила трения, и сила реакции, и другие силы или их комбинации.

Перечисленных законов и определений достаточно для решения любых задач ЕГЭ на вращательное движение. Рассмотрим их применение к решению задач, приведенных в первой части.

Если период вращения тела задан, то его угловая скорость может быть однозначно определена независимо от размеров тела или радиуса орбиты для точечного тела. В частности, секундная стрелка любых часов поворачивается на угол за одну минуту (конечно, при условии, что они идут «правильно»). Поэтому угловая скорость секундных стрелок любых часов равна рад/мин (задача 7.1.1 – ответ 2).

Для нахождения линейной скорости конца секундной стрелки часов (задача 7.1.2) используем связь угловой и линейной скоростей (7.5). Имеем

(правильный ответ – 2).

Применяя определение угловой скорости к колесу (задача 7.1.3), получаем

(правильный ответ 1).

Из формулы (7.2) имеем

(задача 7.1.4 – правильный ответ 4).

Используя известное расстояние от первой точки до оси вращения и ее центростремительное ускорение (задача 7.1.5), из формулы (7.5) находим квадрат угловой скорости диска

А теперь по формуле (7.5) для второй точки получаем

(ответ 2).

Поскольку скорость автомобиля в задаче 7.1.6 не меняется в процессе движения для сравнения центростремительных ускорений автомобиля в разных точках траектории следует использовать формулу (7.4), из которой находим, что ускорение тем больше, чем меньше радиус траектории (правильный ответ – 3).

Ускорение мальчика из задачи 7. 1.7 будет равно нулю, если его скорость относительно земли будет равна нулю. Поэтому при движении мальчика против движения карусели, его скорость относительно карусели равна скорости карусели относительно земли . Если мальчик пойдет в другую сторону с той же скоростью относительно карусели, его скорость относительно земли будет равна . Поэтому центростремительное ускорение мальчика будет равно

(ответ 4).

Тело, находящееся на поверхности вращающегося диска и вращающееся вместе с ним (задача 7.1.8), участвует в следующих взаимодействиях. Во-первых, тело притягивается к земле (сила тяжести), и на него действует поверхность диска (сила нормальной реакции и трения), причем сила трения в каждый момент времени направлена к оси вращения (см. рисунок). Действительно, в отсутствии силы трения тело либо будет оставаться на месте, а диск под ним будет вращаться, либо (если тело имеет скорость) слетит с поверхности диска. Именно сила трения «заставляет» тело вращаться вместе с диском. Поэтому сила трения служит в данной задаче цен-тростремительной силой. Остальные перечисления, данные в условии: «на тело действуют силы тяжести, трения, реакции опоры, центростремительная (или центробежная)» являются неправильными, поскольку в них смешиваются характеристики сил разных типов – первые три касаются природы взаимодействий, вторые – результат действия. Поэтому правильный ответ на вопрос задачи – 1. Кроме того, отметим, что центробежная сила возникает только в неинерциальных системах отсчета и в школьном курсе физики не рассматривается (поэтому лучше этим понятием вообще не пользоваться).

Поскольку тело в задаче 7.1.9 вращается с постоянной по величине скоростью по окружности, то его ускорение направлено к центру окружности, и, следовательно, согласно второму закону Ньютона, туда же направлена и результирующая сила, действующая на тело (ответ 2).

Применяя к данному в задаче 7.1.10 телу второй закон Ньютона и учитывая, что его ускорение равно м/с2, получим для равнодействующей =2 Н (ответ 2).

Используя формулу для центростремительного ускорения , находим отношение ускорений материальных точек из задачи 7.2.1

(ответ 1).

Для сравнения центростремительных ускорений материальных точек в задаче 7.2.2 удобно использовать формулу , поскольку в этой задаче одинаковы угловые скорости точек. Получаем

(ответ 3).

Для сравнения центростремительных ускорений тел в задаче 7.2.3 выразим ускорение через радиус окружности и период. Используя формулу (7.2) для периода и (7.5) для центростремительного ускорения, получим

(7.5)

Поэтому

(ответ 1).

Используя связь угловой и линейной скорости, находим скорости концов часовой и минутной стрелки (задача 7.2.4)

где и – угловые скорости часовой и минутной стрелки соответственно (в рад/час), и – длины часовой и минутной стрелок. Учитывая, что , получаем

(ответ 2).

Телу, вращающемуся вместе с диском на его горизонтальной поверхности (задача 7.2.5), центростремительное ускорение сообщается силой трения

Поэтому при увеличении угловой скорости вращения диска возрастает и сила трения между телом и диском. При некоторой угловой скорости сила трения достигнет максимально возможного для нее значения . Если еще увеличить угловую скорость диска, сила трения уже не сможет удержать тело на диске: тело начнет скользить по поверхности и слетит с поверхности диска. Поэтому значения угловой скорости, при которой тело может вращаться вместе с диском, находится из неравенства

(ответ 4).

В задаче 7.2.6 центростремительной силой является сила натяжения нити. Поэтому из второго закона Ньютона с учетом формулы (7.5) для центростремительного ускорения имеем

(ответ 3).

В задаче 7.2.7 нужно использовать второй закон Ньютона для каждого тела. Силы, действующие на тела, показаны на рисунке. Проекция второго закона Ньютона для дальнего тела на координатную ось, направленную к центру диска, дает

(1)

На ближнее тело действуют силы натяжения и двух нитей (см. рисунок). Поэтому для него из второго закона Ньютона имеем

Подставляя в эту формулу силу из формулы (1), находим (ответ 2).

В задаче 7.2.8 необходимо использовать то обстоятельство, что угловая скорость всех точек стержня одинакова. Обозначая расстояния от оси вращения до концов стержня как и , имеем

где = 1 м/с и = 2 м/с – линейные скорости концов стержня, м – его длина. Решая эту систему уравнений, найдем расстояния и , а затем и угловую скорость стержня . В результате получим

(ответ 3).

Среднее ускорение тела за некоторый интервал времени (не обязательно малый) определяется по формуле (2.1):

где и – скорости тела в конце и начале интервала времени . За половину периода вектор скорости поворачивается на 180°, поэтому величина разности равна . Поэтому среднее ускорение тела за половину периода равно

(задача 7.2.9 – ответ 1).

Очевидно, при зубчатой передаче совпадают линейные скорости точек на ободе шестерней. Действительно, если бы эти скорости были разными, между поверхностями шестерней было бы проскальзывание, которому препятствуют зубцы шестерней (задача 7.2.10 – ответ 2).

Угловая скорость и ускорение. Определения и формулы для расчета

Угловая скорость

Угловой скоростью называют скорость вращения тела, определяющаяся приращением угла поворота тела за промежуток времени.

Обозначение: ω (омега).

Формулы угловой скорости

Формула для расчета угловой скорости в зависимости от заданных параметров вращения может иметь вид:

  • если известно количество оборотов n за единицу времени t:
  • если задан угол поворота φ за единицу времени:

Размерности:

  • Количество оборотов за единицу времени [об/мин], [c-1].
  • Угол поворота за единицу времени [рад/с].

Быстрота изменения угла φ (перемещения из положения П1 в положение П2) – это и есть угловая скорость:

ω=dφ/dt=φ’, рад/с; с-1    (2.3)

Например, тело совершающее 1,5 оборота за одну секунду имеет угловую скорость

ω=1,5 с-1=9,42 рад/с.

Приняв k как единичный орт положительного направления оси, получим:

Вектор угловой скорости – скользящий вектор: он может быть приложен к любой точке оси вращения и всегда направлен вдоль оси, при положительном значении угловой скорости направления ω и k совпадают, при отрицательном – противоположны.

Угловое ускорение

Изменение угловой скорости характеризуется угловым ускорением:

Единицы измерения углового ускорения: [рад/с2], [с-2]

Вектор углового ускорения так же направлен по оси вращения. При ускоренном вращении их направления совпадают, при замедленном — противоположны.

Другими словами, при положительном ускорении угловая скорость нарастает, а при отрицательном вращение замедляется.

Для некоторых частных случаев вращательного движения твердого тела могут быть использованы формулы:

В технике угловая скорость часто задается в оборотах в минуту n [об/мин]. Один оборот – это  радиан:

ω=n2π/60=nπ/30 рад/с; с-1.

1.4: Скорость и угловая скорость

Длина дуги по окружности

В разделе 1.3 мы узнали, что радианная мера угла равна длине дуги на единичной окружности, связанной с этим углом. Таким образом, дуга длины 1 на единичной окружности образует угол в 1 радиан. Бывают случаи, когда также будет полезно знать длину дуг на других кругах, которые образуют тот же угол.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Дуги, заключенные под углом в 1 радиан.

На рисунке \ (\ PageIndex {1} \) внутренний круг имеет радиус 1, внешний круг имеет радиус \ (r \), а показанный угол имеет меру \ (\ theta \) радиан. . Таким образом, длина дуги на единичной окружности, образуемой углом, равна \ (\ theta \), и мы использовали s для обозначения длины дуги на окружности радиуса \ (r \), образуемой этим углом.

Напомним, что длина окружности радиуса \ (r \) равна \ (2 \ pi r \), а окружность окружности радиуса 1 равна \ (2 \ pi \).Следовательно, отношение длины дуги \ (s \) на окружности радиуса \ (r \), которая образует угол в \ (\ theta \) радиан к соответствующей дуге единичной окружности, равно \ (\ dfrac {2 \ pi r} {2 \ pi} = r \). Отсюда следует, что

\ [\ dfrac {s} {\ theta} = \ dfrac {2 \ pi r} {\ pi} \]

\ [s = r \ theta \]

Определение

На окружности радиуса \ (r \) длина s дуги, пересекаемая центральным углом с радианами, равна

.

\ [s = r \ theta \]

Примечание

Важно помнить, что для расчета длины дуги необходимо измерить центральный угол в радианах.

(Непонятно, почему буква \ (s \) обычно используется для обозначения длины дуги. Одно из объяснений состоит в том, что дуга «расширяет» угол.)

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Использование кружков в начале действия для этого раздела:

  1. Используйте формулу для длины дуги, чтобы определить длину дуги на окружности радиусом 10 футов, которая образует центральный угол в \ (\ dfrac {\ pi} {2} \) радиан. Результат равен одной четверти длины окружности?
  2. Используйте формулу для длины дуги, чтобы определить длину дуги на окружности радиусом 20 футов, которая образует центральный угол в \ (\ dfrac {\ pi} {2} \) радиан.\ circ}) = \ dfrac {11 \ pi} {90} \) и \ [s = r \ theta = (3ft) \ dfrac {11 \ pi} {90} \] \ [s = \ dfrac {11 \ pi} {30} \] Длина дуги составляет \ (\ dfrac {11 \ pi} {30} \) футов или около \ (1.1519 \) футов.

Почему радианы?

Градус знаком и удобен, так почему же мы вводим единицу радиан? Это хороший вопрос, но на него есть тонкий ответ. Как мы только что видели, длина \ (s \) дуги на окружности радиуса \ (r \), образуемой углом в \ (\ theta \) радиан, равна \ (s = r \ theta \), поэтому \ (\ theta = \ dfrac {s} {r} \).В результате радиан представляет собой отношение двух длин (отношение длины дуги к радиусу окружности), что делает радиан безразмерной величиной. Таким образом, измерение в радианах можно рассматривать как действительное число. Это удобно для работы с длиной дуги (и угловой скоростью, как мы скоро увидим), и это также будет полезно при изучении периодических явлений в главе 2. По этой причине радианная мера повсеместно используется в математике, физике и технике как в отличие от степеней, потому что, когда мы используем градусную меру, мы всегда должны учитывать градусное измерение в вычислениях.Это означает, что радианы на самом деле более естественны с математической точки зрения, чем градусы.

Линейная и угловая скорость

Связь между дугой на окружности и углом, который она образует, измеряемым в радианах, позволяет нам определять величины, относящиеся к движению по окружности. Объекты, движущиеся по круговой траектории, обладают двумя типами скорости: линейной и угловой скоростью . Представьте себе вращение на карусели. Если вы уроните камешек с края движущейся карусели, камешек не упадет прямо вниз.Вместо этого он продолжит двигаться вперед со скоростью, которую имела карусель в тот момент, когда камешек был выпущен. Это линейная скорость гальки. Линейная скорость измеряет, как длина дуги изменяется с течением времени.

Рассмотрим точку \ (P \), движущуюся с постоянной скоростью по окружности радиуса \ (r \). Это называется равномерным круговым движением . Предположим, что P перемещается на расстояние s единиц за время \ (t \). Линейная скорость v точки \ (P \) — это расстояние, которое она проехала, деленная на прошедшее время.То есть \ (v = \ dfrac {s} {t} \). Расстояние s — это длина дуги, и мы знаем, что \ (s = r \ theta \).

Определение: линейная скорость

Рассмотрим точку \ (P \), движущуюся с постоянной скоростью по окружности радиуса \ (r \). Линейная скорость \ (v \) точки \ (P \) равна

\ [v = \ dfrac {s} {t} = \ dfrac {r \ theta} {t} \]

где \ (\ theta \), измеренный в радианах, — это центральный угол, образованный дугой длиной \ (s \).

Другой способ измерить, насколько быстро объект движется с постоянной скоростью по круговой траектории, называется угловой скоростью. В то время как линейная скорость измеряет, как длина дуги изменяется с течением времени, угловая скорость является мерой того, насколько быстро изменяется центральный угол с течением времени.

Определение: угловая скорость

Рассмотрим точку P, движущуюся с постоянной скоростью по окружности радиуса r по дуге, соответствующей центральному углу измерения \ (\ theta \) (в радианах).Угловая скорость \ (\ omega \) точки — это радианная мера угла \ (\ theta \), деленная на время t, необходимое для того, чтобы охватить этот угол. То есть

\ [\ omega = \ dfrac {\ theta} {t}. \]

Примечание

Символ \ (\ omega \) — это строчная греческая буква «омега». Также обратите внимание, что угловая скорость не зависит от радиуса r.

Это несколько специализированное определение угловой скорости, которое немного отличается от общепринятого термина, используемого для описания скорости вращения точки по окружности.Этот срок составляет оборотов в минуту или оборотов в минуту . Иногда используется единица измерения оборотов в секунду . Лучший способ представить количество оборотов в минуту — использовать «дробь единицы» \ (\ dfrac {rev} {min} \). Поскольку 1 оборот равен \ (2 \ pi \) радианам, мы видим, что если объект min движется со скоростью x оборотов в минуту, то

\ [\ omega = x \ dfrac {rev} {min} \ cdot \ dfrac {2 \ pi rad} {rev} = x (2 \ pi) \ dfrac {rad} {min}. \]

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Предположим, круглый диск вращается со скоростью 40 оборотов в минуту.Мы хотим определить линейную скорость v (в футах в секунду) точки, находящейся на расстоянии 3 футов от центра диска.

  1. Определите угловую скорость \ (\ omega \) точки в радианах в минуту. Подсказка : Используйте формулу \ [\ omega = x \ dfrac {rev} {min} \ cdot \ dfrac {2 \ pi rad} {rev}. \]
  2. Теперь мы знаем \ (\ omega = \ dfrac {\ theta} {t} \). Поэтому используйте формулу \ (v = \ dfrac {r \ theta} {t} \), чтобы определить \ (v \) в футах в минуту.
  3. Наконец, преобразуйте линейную скорость v из футов в минуту в футы в секунду.
Ответ

1. Мы видим, что

\ [\ omega = 40 \ dfrac {rev} {min} \ times \ dfrac {2 \ pi \ space rad} {rev} \]
\ [\ omega = 80 \ pi \ dfrac {rad} {min} \ ]

2. Результат части (а) дает

\ [v = r (\ dfrac {\ theta} {r}) = r \ omega \]
\ [v = (3ft) \ times 80 \ pi \ dfrac {rad} {min} \]
\ [v = 240 \ pi \ dfrac {ft} {min} \]

3. Теперь мы переводим футы в минуту в футы в секунду.

\ [v = 240 \ pi \ dfrac {ft} {min} \ times \ dfrac {1 \ space min} {60 \ space sec} \]
\ [v = 4 \ pi \ dfrac {ft} {sec} \ около 12.566 \ dfrac {ft} {sec} \]

Обратите внимание, что в упражнении 1.18, как только мы определили угловую скорость, мы смогли определить линейную скорость. То, что мы сделали в этом конкретном случае, мы можем сделать в целом. Существует простая формула, которая напрямую связывает линейную скорость с угловой скоростью. Наша формула для линейной скорости: \ (v = \ dfrac {s} {t} \ dfrac {r \ theta} {t} \). Обратите внимание, что мы можем записать это как \ (v = r \ dfrac {\ theta} {t} \). То есть \ (v = r \ omega \)

Примечание

Рассмотрим точку \ (P \), движущуюся с постоянной (линейной) скоростью \ (v \) по окружности радиуса \ (r \).Если угловая скорость равна \ (\ omega \), то

\ [v = r \ omega \]

Итак, в упражнении 1.18, когда мы определили, что \ (\ omega = 80 \ pi \ dfrac {rad} {min} \), мы могли бы определить v следующим образом:

\ [v = r \ omega = (3 \ space ft) (80 \ pi \ dfrac {rad} {min} = 240 \ pi \ dfrac {ft} {min}). \]

Обратите внимание, что, поскольку радианы «без единиц измерения», мы можем отбросить их при работе с уравнениями, такими как предыдущее.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): линейная и угловая скорость

LP (долгоиграющая) или виниловая пластинка со скоростью 331 об / мин — это аналоговый носитель для хранения звука, который долгое время использовался для прослушивания музыки.LP обычно имеет диаметр 12 или 10 дюймов. Чтобы работать с нашими формулами для линейной и угловой скорости, нам нужно знать угловую скорость в радианах в единицу времени. Для этого мы преобразуем \ (33 \ dfrac {1} {3} \) оборотов в минуту в радианы в минуту. Мы будем использовать тот факт, что \ (33 \ dfrac {1} {3} = \ dfrac {100} {3} \)

\ [\ omega = \ dfrac {100} {3} \ dfrac {rev} {min} \ times \ dfrac {2 \ pi \ space rad} {1 \ space rev} = \ dfrac {200 \ pi} {3 } \ dfrac {rad} {min} \]

Теперь мы можем использовать формулу v D r! для определения линейной скорости точки на краю 12-дюймовой пластинки.Радиус 6 дюймов и так

\ [v = r \ omega = (6 \ космических дюймов) (\ dfrac {200 \ pi} {3} \ dfrac {rad} {min}) = 400 \ pi \ dfrac {дюймы} {min} \]

Может быть удобнее выразить это десятичным числом в дюймах в секунду. Получаем

\ [v = 400 \ pi \ dfrac {дюймы} {мин} \ times \ dfrac {1 \ space min} {60 \ space sec} \ приблизительно 20. 944 \ dfrac {дюймы} {sec} \]

Линейная скорость составляет приблизительно 20,944 дюйма в секунду.

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Для этих задач мы предположим, что Земля представляет собой сферу с радиусом 3959 миль.Когда Земля вращается вокруг своей оси, человек, стоящий на Земле, будет путешествовать по кругу, перпендикулярному оси.

  1. Земля вращается вокруг своей оси каждые \ (24 \) часа. Определите угловую скорость Земли в радианах в час. (Оставьте свой ответ в виде числа �� \ (\ pi \).)
  2. Когда Земля вращается, человек, стоящий на экваторе, будет путешествовать по кругу с радиусом 3959 миль. Определите линейную скорость этого человека в милях в час.\ circ \) север будет двигаться по кругу радиусом 2800 миль. Определите линейную скорость этого человека в милях в час и футах в секунду.
Ответ
  1. Один оборот соответствует \ (2 \ pi \) радианам. Итак, \ [\ omega = \ dfrac {2 \ pi \ space rad} {24 \ space hr} = \ dfrac {\ pi \ space rad} {12 \ space hr}. \]
  2. Чтобы определить линейную скорость, мы используем формулу \ (v = r \ omega \) \ [v = r \ omega = (3959mi) (\ dfrac {\ pi} {12} \ dfrac {rad} {hr}) = \ dfrac {3959 \ pi} {12} \ dfrac {mi} {hr} \] Линейная скорость приблизительно равна 1036.5 миль в час.
  3. Чтобы определить линейную скорость, мы используем формулу \ (v = r \ omega \) \ [v = r \ omega = (2800mi) (\ dfrac {\ pi} {12} \ dfrac {rad} {hr}) = \ dfrac {2800 \ pi} {12} \ dfrac {mi} {hr} \] Линейная скорость составляет примерно 733,04 мили в час. Чтобы преобразовать это в футы в секунду, мы используем тот факт, что в одной миле 5280 футов, в часе 60 минут и в минуте 60 секунд. Итак,

\ [v = (\ dfrac {2800 \ pi} {12} \ dfrac {mi} {hr}) (\ dfrac {5280 \ space ft} {1 \ space mi}) (\ dfrac {1 \ space hr } {60 \ space min}) (\ dfrac {1 \ space min} {60 \ space sec}) = \ dfrac {(2800 \ pi) (5280)} {12 \ cdot 60 \ cdot 60} \ dfrac {ft } {сек} \]

Таким образом, линейная скорость приблизительно равна \ (1075.1 \) футов в секунду.

Сводка

В этом разделе мы изучили следующие важные концепции и идеи:

  • На окружности радиуса \ (r \) длина дуги \ (s \), пересеченная центральным углом с радианной мерой, равна \ [s = r \ theta \]
  • Равномерное круговое движение — это когда точка движется с постоянной скоростью по окружности круга. Линейная скорость — это длина дуги, пройденная точкой, деленная на прошедшее время.В то время как линейная скорость измеряет, как длина дуги изменяется во времени, угловая скорость является мерой того, насколько быстро изменяется центральный угол во времени. Угловая скорость точки — это радианная мера угла, деленная на время, необходимое для того, чтобы подметать этот угол.
  • Для точки \ (P \), движущейся с постоянной (линейной) скоростью v по окружности окружности радиуса \ (r \), имеем \ [v = r \ omega \], где \ (\ omega \) — угловая скорость точки.

Как преобразовать обороты в минуту в линейную скорость

Обновлено 14 февраля 2020 г.

Ли Джонсон

Проверено: Lana Bandoim, B.S.

Вращательное движение — одна из самых важных вещей, которую нужно понимать при изучении классической физики, а преобразование скорости вращения в линейную скорость является ключевой задачей во многих задачах.

Сам расчет довольно прост, но сложен, если угловая скорость (т.е.е. изменение углового положения в единицу времени) выражается в нестандартной форме, например в оборотах в минуту (об / мин). Однако преобразовать число оборотов в минуту в скорость все еще достаточно просто после того, как вы преобразуете число оборотов в минуту в более стандартную меру угловой скорости.

Формула и объяснение об / мин

Об / мин — это количество полных оборотов в минуту . Например, если колесо вращается так, что оно совершает один полный оборот в секунду, за 60 секунд оно совершит 60 оборотов, и поэтому оно будет вращаться со скоростью 60 об / мин.Формула RPM, которую вы можете использовать для определения скорости вращения в любой ситуации:

\ text {RPM} = \ frac {\ text {Число оборотов}} {\ text {время в минутах}}

Из этой формулы, вы можете рассчитать обороты в любой ситуации, даже если вы записывали количество оборотов меньше (или больше) минуты. Например, если колесо совершает 30 оборотов за 45 секунд (т.е. 0,75 минуты), результат будет: 30 ÷ 0,75 = 40 об / мин.

об / мин до угловой скорости

В большинстве ситуаций в физике вместо об / мин используется угловая скорость ( ω ), которая, по сути, представляет собой угловое изменение положения объекта в секунду, измеряемое в радианах в секунду.

Это гораздо более полезный формат при преобразовании оборотов в минуту в линейную скорость, потому что существует простая связь между угловой скоростью и линейной скоростью, которая не существует в явной форме для оборотов в минуту. Учитывая, что полный оборот составляет 2π радиан, RPM действительно говорит вам «количество 2π радиан оборотов в минуту».

Используя это, легко увидеть, как преобразовать число оборотов в минуту в угловую скорость: сначала преобразовать из одной минуты в секунду, а затем преобразовать количество оборотов в значение в радианах.Вам нужна формула:

ω = \ frac {\ text {RPM}} {60 \ text {секунда / минута}} × 2π \ text {rad / rev}

Проще говоря, вы делите на 60, чтобы преобразовать в оборотов в секунду, затем вы умножаете это на 2π, чтобы превратить это в значение в радианах в секунду, которое является искомой угловой скоростью . Например, если колесо в предыдущем разделе движется со скоростью 40 об / мин, вы преобразуете его в угловую скорость следующим образом:

\ begin {align} ω & = \ frac {40 \ text {RPM}} {60 \ text {second / минута}} × 2π \ text {рад / оборот} \\ & = 4.19 \ text {rad / s} \ end {align}

Угловая скорость в скорость

С этого момента преобразование из об / мин в линейную скорость выполняется просто. Вам нужна формула:

v = ωr

Где ω — угловая скорость, вычисленная на предыдущем шаге, а r — радиус круговой траектории движения, и вы умножаете их вместе, чтобы найти линейная скорость. Например, колесо вращается со скоростью 40 об / мин, т.е. 4,19 рад / с, если принять радиус 15 см = 0.15 м, скорость:

\ begin {выравнивается} v & = 4,19 \ text {рад / с} × 0,15 \ text {m} \\ & = 0,63 \ text {м / с} \ end {выравнивается}

Есть несколько дополнительных моментов, которые следует учитывать при выполнении этих расчетов. Во-первых, направление вычисляемой линейной скорости всегда по касательной к точке на окружности, для которой вы рассчитываете.

Например, если вы раскачиваете йо-йо по гигантскому кругу, но струна порвалась, йо-йо улетел бы в любом направлении, в котором оно двигалось, в момент , когда порвалась струна.Во-вторых, очень важно думать о единицах измерения при расчете оборотов. Единицы расстояния, которые вы используете для радиуса, будут такими же, как единицы расстояния в вашей конечной скорости, поэтому лучше придерживаться метров или футов, даже если число для радиуса оказывается очень маленьким.

Как рассчитать задержку вращения

Обновлено 27 сентября 2019 г.

Автор С. Хуссейн Атер

Точно так же, как ваш автомобиль рассчитывает, насколько быстро вы едете, вы можете определить, насколько быстро объект вращается, используя его угловую скорость.Это измерение скорости вращения или вращения объекта важно для скорости автомобиля, а также для использования жесткого диска.

Задержка вращения

Задержка вращения измеряет, как долго объект с угловой скоростью проходит полный оборот или оборот. Вы можете представить автомобиль, совершающий поворот, как часть круга, включающего этот поворот. Или вы можете представить себе шины автомобиля, вращающиеся вокруг собственной оси при движении автомобиля. Угловая скорость измеряет эту скорость вращения или вращения.

Спидометр на вашем автомобиле является одним из примеров задержки вращения, и эта концепция также используется для хранения данных на жестких дисках компьютеров. Вы можете узнать больше о задержке вращения и времени доступа к диску, чтобы выяснить, как эти устройства используют задержку вращения. Когда жесткие диски считывают информацию с диска, диск вращается с угловой скоростью. В контексте жестких дисков вы измеряете задержку вращения жесткого диска.

Задержка вращения жесткого диска

В жестких дисках пластины, двусторонние магнитные диски, на которых хранятся данные, расположены как запись с каждым диском в одном центре.Вы можете сгруппировать эти дорожки или каждый диск, сложенный друг над другом, в секторы, единицы передачи данных. В этой установке поверхность имеет головку, которая выполняет чтение и запись.

Для жестких дисков время поиска сообщает вам время задержки, задержка вращения , — это время, необходимое для перехода к нужному сектору, время передачи — сколько времени занимает процесс чтения данных, а накладные расходы это дисковое пространство, используемое для размещения и синхронизации самой информации.Вы можете рассчитать время передачи , разделив размер байтового сектора на скорость передачи.

Расчет задержки вращения

Чтобы вычислить задержку вращения , или задержку вращения в контексте жестких дисков, сначала вам нужно знать угловую скорость объекта в единицу времени. Это может быть скорость жесткого диска 7200 оборотов в минуту. Преобразуйте единицы времени в секунды. Для 7200 оборотов в минуту вы разделите число на 60 секунд, чтобы получить 120 оборотов в секунду.

Задержка обратна этому значению или числу 1, деленному на значение, которое составило бы 1/120 секунды или около 0,0083 секунды. Убедитесь, что вы измеряете задержку вращения в тех же единицах времени, что и время доступа к диску.

Пример времени доступа к диску

Вы также можете получить среднее время доступа к диску как сумму среднего времени поиска, средней задержки вращения, времени передачи, накладных расходов и задержки в очереди. Время ожидания в очереди — это время, необходимое для освобождения диска.Если у вас был жесткий диск с размером передаваемых данных 8 Кбайт (килобайт), средним временем поиска 12 мс, скоростью вращения 8 200 об / мин (оборотов в минуту), скоростью передачи 4 Мб / с и накладными расходами контроллера 0,02 секунды, вы можете рассчитать среднее значение. время доступа к диску.

Сначала преобразуйте скорость вращения в секунды и среднее время поиска в секунды, чтобы получить 136,67 оборота в секунду и 0,01 секунды соответственно. Разделите 0,5 оборота на 136,67 оборота в секунду, чтобы получить 0,0037 секунды для среднего вращения.Используйте 0,5 оборота, потому что вы хотите покрыть половину оборота при вычислении среднего времени вращения. Вы можете сделать это, предположив, что при произвольном чтении и записи диск в среднем вращается наполовину.

Преобразуйте размер передачи 8 КБ в МБ, умножив его на 0,001, чтобы получить 0,008 МБ, и разделив на скорость передачи 4 МБ / с, чтобы получить 0,002 секунды. Сложите эти числа в секундах как 0,002 + 0,002 + 0,012 + 0,0042, чтобы получить общее среднее время доступа к диску 0,0202 секунды.

Все это происходит в процессе чтения с диска, и вы можете рассчитать время отклика, сложив время поиска, задержку вращения, время передачи и накладные расходы.

Формула линейной скорости (вращающийся объект)

Линейная скорость точки на вращающемся объекте зависит от ее расстояния от центра вращения. Угловая скорость — это угол, под которым объект движется за определенный промежуток времени. Угловая скорость измеряется в радианах в секунду (рад / с). В полном круге 2π радиана. На расстоянии r от центра вращения точка на объекте имеет линейную скорость, равную угловой скорости, умноженной на расстояние r.Единицы измерения линейной скорости — метры в секунду, м / с.

линейная скорость = угловая скорость x радиус вращения

v = ωr

v = линейная скорость (м / с)

ω = угловая скорость (радиан / с)

r = радиус вращения (м)

Формула линейной скорости (вращающийся объект) Вопросы:

1) Электродрель включена и вращается со скоростью 10,0 оборотов в секунду (об / с). Диаметр сверла 4,00 мм. Какова линейная скорость точки на поверхности сверла в метрах в секунду?

Ответ: Первый шаг — найти угловую скорость сверла.Число оборотов в секунду необходимо перевести в радианы в секунду. В полном круге 2π радиана.

ω = 10,0 об / с

Расстояние между центром вращения и точкой на поверхности сверла равно радиусу. Диаметр сверла указан в миллиметрах. Радиус в метрах:

∴r = 0,002 м

Используя формулу v = ωr, линейная скорость точки на поверхности бурового долота равна

v = ωr

∴v = (62.8 радиан / с) (0,002 м)

Линейная скорость точки на поверхности сверла составляет приблизительно 0,126 м / с. Радианы — это единица измерения «заполнитель», поэтому они не включаются при записи решенного значения для линейной скорости.

2) Еще вопрос.

Датчик, подключенный к автомобильному колесу, измеряет линейную скорость. Датчик находится на 0,080 м от центра вращения. В этом положении датчик показывает, что линейная скорость колеса равна 8.00 м / с. Если радиус колеса 0,220 м, какова линейная скорость на внешней кромке колеса?

Ответ: Линейная скорость различается на разных расстояниях от центра вращения, но угловая скорость одинакова везде на колесе. Чтобы решить эту проблему, сначала найдите угловую скорость, используя линейную скорость в положении датчика, 0,080 м. Формулу v = ωr можно переписать, чтобы найти угловую скорость ω:

Это также угловая скорость на внешней кромке колеса, где радиус r = 0.220 м. Формулу v = ωr можно снова использовать для определения линейной скорости на этом радиусе:

v = ωr

v = (100 рад / с) (0,220 м)

∴v = 22,0 м / с

Линейная скорость автомобильного колеса по внешнему краю 22,0 м / с.

Угловая и линейная скорость и

об / мин

Purplemath

По некоторым причинам учебники часто обращаются к вопросам угловой скорости, линейной скорости и оборотов в минуту (об / мин) вскоре после объяснения секторов круга, их площади и длины дуги.

Длина дуги — это расстояние до части окружности; и линейное расстояние, которое преодолевает, скажем, велосипед, связано с радиусом шин велосипеда. Если вы отметите одну точку на передней шине велосипеда (скажем, точку напротив клапана шины) и посчитаете количество оборотов колеса, вы сможете найти количество окружностей окружности, на которые переместилась отмеченная точка.

MathHelp.com

Если вы «раскрутите» эти окружности, чтобы получить прямую линию, то вы найдете расстояние, которое проехал велосипед. Я думаю, что именно такая взаимосвязь между различными показателями и является причиной того, что эта тема часто возникает на данном этапе исследования.

Во-первых, нам нужна техническая терминология и определения.

«Угловая скорость» — это показатель поворота в единицу времени. Он сообщает вам размер угла, под которым что-то вращается за определенный промежуток времени. Например, если колесо вращается шестьдесят раз за одну минуту, то его угловая скорость составляет 120π радиан в минуту. Затем угловая скорость измеряется в радианах в секунду, греческая строчная омега (ω) часто используется в качестве ее названия.

«Линейная скорость» — это мера расстояния в единицу времени. Например, если колесо в предыдущем примере имеет радиус 47 сантиметров, то каждый проход по окружности составляет 94π см, или около 295 см. Поскольку колесо совершает шестьдесят таких оборотов за одну минуту, общая пройденная длина составляет 60 × 94 & pi = 5640π см, или около 177 метров, за одну минуту. (Это примерно 10,6 км / ч или около 6,7 миль / ч)

«Число оборотов в минуту», обычно сокращенно обозначаемое как «об / мин», является мерой вращения за единицу времени, но единица времени — всегда одна минута.И вместо того, чтобы указывать угол поворота, он просто дает количество поворотов. Когда вы смотрите на тахометр на приборной панели автомобиля, вы смотрите на текущие обороты двигателя автомобиля. В приведенном выше примере частота вращения будет просто «60».

«Частота» f — это мера вращения (или вибрации) за единицу времени, но единицей времени всегда является одна секунда. Единицей измерения частот является «герц», который обозначается как Гц.

Соотношение между частотой f (в Гц), об / мин и угловой скоростью ω (в радианах) показано ниже (все элементы в любой строке эквивалентны):

Однако вы можете обнаружить, что «угловая скорость» используется как взаимозаменяемые (но только неофициально; не учеными) с оборотами в минуту или частотой.Кроме того, некоторые (например, физики) считают, что «угловая скорость» является векторной величиной, а ω — скалярной величиной, называемой «угловой частотой».

Пожалуйста, не запоминайте эти потенциальные слияния и не беспокойтесь о том, какими могут быть «векторы» или «скаляры». Я говорю вам об этом, чтобы предупредить вас, что вы должны уделять очень пристальное внимание тому, как ваш конкретный учебник и ваш конкретный преподаватель определяют различные термины для этого конкретного класса.И знайте, что на следующем уроке термины и определения могут быть другими.


  • Колесо имеет диаметр 100 сантиметров. Если колесо поддерживает тележку, движущуюся со скоростью 45 километров в час, то какова частота вращения колеса с точностью до целого числа оборотов в минуту?

«Об / мин» — это количество оборотов колеса в минуту.Чтобы выяснить, сколько раз это колесо вращается за одну минуту, мне нужно найти (линейное или прямое) расстояние, пройденное (за минуту) при движении со скоростью 45 км / ч. Затем мне нужно будет найти длину окружности колеса и разделить общее поминутное (линейное) расстояние на это «разовое» расстояние. Количество окружностей, которые умещаются в пределах общего расстояния, — это количество оборотов колеса за этот период времени.

Сначала я конвертирую (линейную) скорость тележки из км / ч в «сантиметры в минуту», используя то, что я узнал о преобразовании единиц.(Почему «сантиметры в минуту»? Потому что я ищу «обороты в минуту», поэтому минуты — лучшая единица времени, чем часы. Кроме того, диаметр дан в сантиметрах, так что это лучшая единица длины, чем километры. )

Итак, расстояние, пройденное за одну минуту, составляет 75 000 сантиметров. Диаметр колеса — 100 см, поэтому радиус — 50 см, а длина окружности — 100π см. Сколько из этих окружностей (или оборотов колеса) умещается внутри 75 000 см? Другими словами, если бы я снял протектор этого колеса с тележки и разложил его ровно, то получилось бы расстояние 100π см.Сколько из этих длин укладывается на все расстояние, пройденное за одну минуту? Чтобы узнать, сколько из (этого) помещается в такое количество (этого), я должен разделить (это) на (это), так что:

Затем, округляя до ближайшего целого числа оборотов (то есть округляя ответ до целого числа), мой ответ:

Примечание. Эта скорость не такая высокая, как может показаться: чуть меньше четырех оборотов в секунду. Вы можете сделать это на своем велосипеде, не вспотев.Вот еще одно примечание: источник, из которого я получил свою схему для вышеупомянутого упражнения, использовал «угловую скорость» и «ω» для «числа оборотов в минуту». Да, в учебнике алгебры использовались неправильные единицы измерения.


Предыдущее упражнение давало информацию о скорости автомобиля и колесе. Отсюда мы нашли количество оборотов в минуту. Мы можем пойти и другим путем; мы можем начать с числа оборотов в минуту (плюс информацию о колесе) и найти скорость транспортного средства.

  • Велосипедное колесо имеет диаметр 78 см. Если колесо вращается со скоростью 120 оборотов в минуту, какова линейная скорость велосипеда в километрах в час? Ответ округлите до одного десятичного знака.

Линейная скорость — это расстояние по прямой, которое велосипед проходит за определенный период времени.Они дали мне количество оборотов колеса в минуту. Фиксированная точка на шине (скажем, камешек на протекторе шины) перемещает длину окружности за каждый оборот. Раскручивая это расстояние по земле, велосипед будет двигаться по земле на одинаковое расстояние, по одной окружности за раз, за ​​каждый оборот. Итак, в этом вопросе меня просят найти длину окружности, а затем использовать ее, чтобы найти общее расстояние, пройденное за минуту.

Так как диаметр равен 78 см, то окружность равна C = 78π см.Разматывая путь шины до прямой линии на земле, это означает, что велосипед перемещается на 78π см вперед за каждый оборот шины. Таких оборотов в минуту 120, итого:

(78π см / об) × (120 об / мин) = 9,360π см / мин

Теперь мне нужно преобразовать это из сантиметров в минуту в километры в час:

Велосипед движется со скоростью около 17,6 км / ч.

… или около одиннадцати миль в час.


  • Предположим, что орбита Земли круглая с радиусом 93 000 000 миль, и пусть «один год» равен 365,25 дням. В этих условиях найдите линейную скорость Земли в милях в секунду. Ответ округлите до одного десятичного знака.

Скорость — это (линейное или эквивалентное прямолинейное) расстояние, пройденное за одну секунду, деленное на одну секунду.Они дали мне информацию за год, так что я начну с этого. Окружность круга с r = 93000000 миль будет линейным расстоянием, которое Земля преодолеет за один год.

C = 2π (93000000 миль) / год = 186000000π миль / год

Это количество миль, пройденных за один год, но мне нужно количество миль, пройденных за одну секунду. В сутках двадцать четыре часа, в часе шестьдесят минут и в минуте шестьдесят секунд, поэтому общее количество секунд в этом году составляет:

Тогда линейная скорость, представляющая собой общее линейное расстояние, деленное на общее время и выраженное в единицах скорости, равна:

Тогда, округленная до одного десятичного знака, линейная скорость Земли равна:


«Эй!» Я слышу, как ты плачешь.»Когда мы собираемся использовать угловые меры для чего-нибудь?» Хотя многие («большинство»?) Упражнений в вашей книге, вероятно, будут похожи на приведенные выше, иногда вы можете столкнуться с фактическими радианами и градусами.

  • Поезд движется со скоростью 10 миль в час по кривой радиусом 3000 футов. На какой угол повернется поезд за одну минуту? Округлить до ближайшего целого числа градусов.

«Кривая радиуса 3000 футов» означает, что, если бы я попытался плотно подогнать круг внутри кривой, наилучшим образом подошел бы круг с радиусом r = 3000 футов.Другими словами, я могу использовать факты круга, чтобы ответить на этот вопрос.

Поскольку радиус кривой выражен в футах и ​​мне нужно найти угол, пройденный за одну минуту, я начну с преобразования скорости миль в час в футы в секунду:

(10 миль / час) (5280 фут / миль) (1 час / 60 мин) = 880 фут / мин

Длина изогнутого пути, который проходит поезд, также является частью окружности круга.Итак, эти 880 футов и есть длина дуги, и теперь мне нужно найти дополнительный угол (подразумеваемого) сектора круга:

Но это значение в радианах (потому что это то, что использует формула длины дуги), и мне нужно, чтобы мой ответ был в градусах, поэтому мне нужно преобразовать:

Поезд поворачивает на угол примерно:

Представьте, что вы стоите в центре этого воображаемого круга (то есть на расстоянии трех тысяч футов от поворота, более чем в полумиле) и наблюдаете, как поезд движется по повороту.Если вы протянете руку на расстоянии вытянутой руки, сожмете кулак и, крепко прижимая средние пальцы большим пальцем вниз, поднимите мизинец и указательный пальцы, расстояние между ними составит около пятнадцати градусов. Поезд вряд ли продвинется дальше. Если бы вы держали кулак на расстоянии вытянутой руки и вытянули мизинец и большой палец, расстояние было бы около двадцати пяти градусов. Поезд не выйдет из ваших пальцев в отведенное время.

(Иногда я узнаю самые крутые вещи, когда исследую проблемы со словами.Опять же, мое определение «крутого» может быть немного грустным ….)


URL: https://www.purplemath.com/modules/sectors3.htm

линейных и угловых скоростей, площади секторов и длины дуг — она ​​любит математику

В этом разделе рассматриваются:

Примерно в то время, когда вы изучаете радиан и меры , вам, возможно, придется работать с линейными и Угловые скорости , а также Площадь секторов и Длина дуг .

Примечание : Для целей этого раздела мы будем говорить о линейной скорости и угловой скорости ( скалярных величин ), в отличие от линейной скорости и угловой скорости ( векторных величин). ).

Мы обсудили радиан и то, как они соотносятся с градусами центральных углов здесь, в разделах «Углы » и «Единичная окружность ». Прежде чем мы поговорим о линейной и угловой скоростях, давайте рассмотрим, как радианы связаны с длиной окружности, а также с оборотами окружности.

Обратите внимание, что \ (\ theta \) — это центральный угол поворота в радиан, , \ (r \) — радиус окружности, \ (s \) — длина дуги, или пересеченная дуга (часть длины окружности) круга, а оборот на (или оборот на ) — это когда объект прошел весь путь по кругу (или круг вернется туда, откуда он начался). Все эти единицы могут относиться к окружности круга: \ (2 \ pi r \), где \ (r \) — радиус.(Помните, что в единичном круге длина окружности равна просто \ (2 \ pi \), поскольку \ (r = 1 \)).

Обратите внимание, что слова «радиан» и «радиус» связаны между собой, поскольку в одном обороте \ (2 \ pi r \) (радиан), а \ (2 \ pi r \) (радиус) длина окружности.

Одна из наиболее важных концепций состоит в том, что длина перехваченной дуги равна радиусу , умноженному на радиан центрального угла этой дуги. Чтобы увидеть это, установите пропорцию, сравнивая эту дугу со всей окружностью:

\ (\ displaystyle \ require {cancel} \ frac {{\ text {Длина дуги}}} {{\ text {Circumference}}} = \ frac {{\ text {Arc} \! \! ‘\! \! \ text {s Angle}}} {{\ text {Измерение общего угла в круге}}}: \, \, \, \, \ frac {s} {{\ cancel {{2 \ pi}} r}} = \ frac {\ theta} {{\ cancel {{2 \ pi}}}} \)

Отсюда видно, что \ (s = г \ тета \).

Я даю вам несколько основных формул, но, честно говоря, когда я решаю большинство этих задач, я просто использую множители единиц (размерный анализ), чтобы найти единицы, необходимые для решения задачи !!

<

Формулы линейной и угловой скорости:

Мы будем использовать эти формулы в некоторых задачах линейной / угловой скорости ниже.

Помните, что вы обычно используете радиус с линейной скоростью и радиан с угловой скоростью дюймов \ (2 \ pi r \).

Линейная скорость — это скорость, с которой точка на внешней стороне объекта движется по круговой траектории вокруг центра этого объекта. Это могут быть любые обычные единицы скорости, такие как мили в час, метры в секунду и так далее.

Мы помним, что \ (\ text {Distance} = \ text {Rate} \ times \ text {Time} \) или \ (\ displaystyle \ text {Rate (Speed)} = \ frac {{\ text {Distance }}} {{\ text {Time}}} \). Сначала мы поговорим о том, как быстро изменяется объект по окружности круга.

Представьте себе автомобиль, который едет по кругу по рельсовому пути с длиной дуги (фактическая длина изогнутой части — часть окружности ) \ (s \). Формула для скорости по кругу или линейной скорости : \ (\ displaystyle v = \ frac {s} {t} \), где \ (s \) — длина дуги, а \ (t \) — время.

Обратите внимание, что линейная скорость должна иметь в задаче длину окружности (или радиус )!

Вот тип проблемы, которая может у вас возникнуть.Обратите внимание, что мы должны использовать Множители единиц (размерный анализ), когда единицы не совпадают.

Задача линейной скорости Решение
Автомобиль движется с постоянной скоростью по круговой трассе с окружностью 4 миль.

Если автомобиль проходит 8 кругов за 10 минут, какова линейная скорость автомобиля в милях в час?

Давайте сначала посчитаем расстояние, которое преодолеет автомобиль.Если окружность круга составляет 4 миль, а автомобиль проехал 8 кругов, автомобиль пройдет в общей сложности 32 миль:

\ (\ require {cancel} \ displaystyle 8 \ cancel {{\ text {laps }}} \ cdot \ frac {{4 \, \, \ text {miles}}} {{\ text {1} \ cancel {{\ text {lap}}}}} = 32 \, \, \ text { миль} \)

Теперь давайте получим линейную скорость , используя формулу \ (\ displaystyle v = \ frac {s} {t} \). Мы знаем \ (s = 32 \) миль и \ (t = 10 \) минут. Но мы должны добавить несколько единичных множителей, поскольку наше время составляет минут , и мы хотим получить миль в час :

\ (\ displaystyle v = \ frac {s} {t} = \ frac {{32 \, \, \ text {miles}}} {{10 \, \, \ cancel {{\ text {minutes}}}}} \ cdot \ frac {{60 \, \, \ cancel { {\ text {minutes}}}}} {{1 \, \, \ text {hour}}} = 192 \, \, \ text {miles / hour} \)

Линейная скорость автомобиля 192 миль в час .Видите, как мы могли бы это выяснить без формулы, а просто с использованием единичных множителей?

Колесо диаметром 10 дюймов вращается с постоянной скоростью 2 оборотов в секунду.

Найдите линейную скорость колеса в милях в час ( 1 миля составляет приблизительно 5280 футов).

Мы хотим закончить со скоростью миль в час , поэтому давайте поместим это в конец нашего уравнения множителя единиц ; мы знаем, что нам нужны мили наверху и часы где-то внизу):

\ (\ displaystyle… \, \, \ frac {?} {\ text {?}} \ cdot \ frac {?} {?} \ cdot \ frac {?} {{\ text {?} \, \, \ text {hours}}} \ cdot \ frac {{? \, \, \, \ text {miles}}} {?} \, \,… =? \, \, \ Text {миль в час} \)

Давайте создадим соотношения всего остального, что мы знаем, убедившись, что мы можем вычеркнуть все, что нам не нужно.Нам нужно знать, что один оборот круга эквивалентен \ (\ pi d \) дюйму. Вы можете начать с более короткого уравнения и медленно добавлять множители:

\ (\ displaystyle… \, \, \ frac {{2 \, \, \ cancel {{\ text {Revolutions}}}} } {{\ text {1} \, \, \ text {second} \,}} \ cdot \ frac {{\ pi d}} {{1 \, \, \ cancel {{\ text {Revolution}}} }} \ cdot \ frac {?} {{\ text {?} \, \, \ text {hours}}} \ cdot \ frac {{? \, \, \, \ text {miles}}} {?} \, \,… =? \, \, \ Text {миль в час} \)

\ (\ displaystyle \ frac {{2 \, \, \ cancel {{\ text {Revolutions}}}}} {{ \ text {1} \, \, \ cancel {{\ text {second}}} \,}} \ cdot \ frac {{\ pi \ left ({10} \ right) \, \, \ cancel {{\ текст {дюймы}}}}} {{1 \, \, \ cancel {{\ text {Revolution}}}}} \ cdot \ frac {{60 \, \, \ cancel {{\ text {min}}} }} {{\ text {1} \, \, \, \ text {hour}}} \ cdot \ frac {{60 \, \, \ cancel {{\ text {seconds}}}}} {{1 \ , \, \ cancel {{\ min}}}} \ cdot \ frac {{1 \, \, \, \ text {mile}}} {{5280 \, \, \ cancel {{\ text {ft}} }}} \ cdot \ frac {{1 \, \, \ cancel {{\ text {ft}}}}} {{12 \, \, \ cancel {{\ text {дюймы}}}}} \)

\ (\ Displaystyle \, = \ frac {{2 \ cdot \ pi \ left ({10} \ right) \ cdot 60 \ cdot 60}} {{5280 \ cdot 12}} \, \, \ tex t {миль в час} \ приблизительно 3.57 \, \, \ text {миль в час} \)

Линейная скорость колеса составляет 3,57 миль в час .

Угловая скорость — это скорость, с которой объект поворачивается, описываемая в таких единицах, как обороты в минуту, градусы в секунду, радианы в час и т. Д.

Угловая скорость связана с тем, насколько быстро изменяется центральный угол окружности, а не длина окружности.

Снова представьте себе машину, которая движется по кругу по рельсовому пути с центральным углом \ (\ theta \).Формула для скорости вращения по окружности через этот угол, или угловая скорость , равна \ (\ displaystyle \ omega = \ frac {\ theta} {t} \), где \ (\ theta \) выражается в радианах. , а \ (t \) — время.

Обратите внимание, что угловая скорость НЕ требует в задаче окружности (или радиуса )!

Вот тип проблемы, которая может у вас возникнуть. Обратите внимание, что мы должны снова использовать Множители единиц (размерный анализ), когда единицы не совпадают.

Проблема угловой скорости Решение
Хизер мигает фонариком и вращается по кругу с постоянной скоростью.

Если фонарик Хизер совершает один оборот (оборот) каждые 15 секунд, какова угловая скорость света, исходящего от фонарика, в радианах в минуту?

Поскольку задача включает информацию о времени, которое требуется на один оборот (оборот), нам нужно использовать тот факт, что на один оборот приходится \ (2 \ pi \) радиан.

Теперь давайте воспользуемся нашим уравнением для угловой скорости \ (\ displaystyle \ omega = \ frac {{\ theta \ text {(радианы)}}} {t} \) с некоторыми множителями единиц .

Начните с того, что мы знаем, и закончите тем, что нам нужно знать (нам нужны радианы в ответе):

\ (\ require {cancel} \ displaystyle \ omega = \ frac {\ theta} {t} = \ frac {{\ cancel {{1 \ text {вращение}}}}} {{15 \, \, \ cancel {{\ text {секунды}}}}} \ cdot \ frac {{2 \ pi \ text {радианы}}} {{\ cancel {{1 \ text {вращение}}}}} \ cdot \ frac {{60 \, \, \ cancel {{\ text {секунды}}}}} {{1 \, \, \ text {minute}}} = \, 8 \ pi \, \, \ text {радиан / минута} \)

Угловая скорость света составляет \ (8 \ pi \) радиан в минуту. . Опять же, посмотрите, как мы могли бы вычислить это без формулы, но просто используя единичные множители?

Вот пример, который показывает разницу между определением угловой и линейной скоростей. Обратите внимание, что с угловой скоростью мы игнорируем радиус , поскольку мы имеем дело только с поворотом на угол. Также обратите внимание, что:

\ (\ text {Linear Speed} = \ text {Radius} \ times \ text {Angular Speed} \) или \ (\ displaystyle \ text {Radius} = \ frac {{\ text {Linear Скорость}}} {{\ text {Угловая скорость}}} \)

Задачи линейной и угловой скорости Решение
Джени сидит на карусели, и ей 6 футов от центра.

Найдите ее угловых и линейных скоростей, если карусель движется со скоростью 5 оборотов в минуту.

Обратите внимание, что:

\ (\ displaystyle \ text {radius} = \ frac {{\ text {linear speed}}} {{\ text {angular speed}}} \)

Уравнение для Угловая скорость равна \ (\ displaystyle \ omega = \ frac {{\ theta \ text {(в радианах)}}} {t} \), но нам уже дана скорость в оборотах в минуту. Преобразуйте эту скорость в угловую, используя множители единиц (зная, что за один оборот приходится \ (2 \ pi \) радиан):

\ (\ require {cancel} \ displaystyle \ frac {{5 \ text {} \ cancel {{\ text {Revolutions}}}}} {{\ text {minute}}} \ cdot \ frac {{2 \ pi \ text {радианы}}} {{1 \ text {} \ cancel {{\ text { Revolution}}}}} = 10 \ pi \, \, \ text {радиан в минуту} \).

Обратите внимание, что мы не используем радиус, поскольку нас интересует только угловая скорость.

Чтобы получить линейную скорость , давайте снова воспользуемся единичными множителями, но теперь мы должны взглянуть на радиус (поскольку нам нужно расстояние по окружности круга с этим радиусом). Вы также можете помнить, что \ (s \) (длина дуги или часть окружности) равна \ (2 \ pi r \) за один оборот:

\ (\ displaystyle \ begin {align} \ frac {{5 \ text {} \ cancel {{\ text {Revolutions}}}}} {{\ text {minute}}} \ cdot \ frac {{2 \ pi r \ text {feet}}} {{1 \ text {} \ cancel {{\ text {Revolution}}}}} & = \ frac {{5 \ text {} \ cancel {{\ text {Revolutions}}}}} {{\ text {minute}}} \ cdot \ frac { {2 \ pi \ left (6 \ right) \ text {feet}}} {{1 \ text {} \ cancel {{\ text {Revolution}}}}} \\ & = 60 \ pi \, \ text { футов в минуту} \ end {align} \)

(Мы также можем использовать формулу \ (\ text {Linear Speed} = \ text {Radius} \ times \ text {Angular Speed} \), чтобы получить \ ( 60 \ пи \).)

Вот еще проблемы с линейной и угловой скоростями и оборотов / оборотов :

Проблемы линейной и угловой скорости Решение 1 9067
Бри хочет запрыгнуть на движущуюся карусель диаметром 50 футов и двигаться со скоростью 3 оборотов в минуту.

Насколько быстро должна бежать Бри, чтобы соответствовать скорости карусели, чтобы прыгнуть (в футах в секунду)?

Поскольку мы хотим знать, с какой скоростью должна бежать Бри, мы ищем линейную скорость .Но нам дана скорость 3 оборотов в минуту, поэтому давайте просто свяжем скорости друг с другом.

Мы можем начать с того, что мы знаем, и, используя множители единиц, начать заполнять единицы, помещать единицы в числитель или знаменатель, в зависимости от того, хотим ли мы, чтобы они оставались или вычеркнуты. Помните, что для каждого поворота или поворота линейное расстояние или длина дуги \ (s = 2 \ pi r \), где \ (\ displaystyle r = \ frac {{\ text {Diameter}}} {2} \):

\ (\ require {cancel} \ displaystyle \ begin {align} \ frac {{3 \ text {Revolutions}}} {{1 \ text {minute}}} \ cdot \ frac {?} {?} \ Cdot \ frac {{2 \ pi \ left ({25} \ right) \, \, \ text {feet}}} {{1 \ text {Revolution}}} & = \ frac {{\ text {feet}}} { {\ text {second}}} \\\ frac {{3 \, \, \ cancel {{\ text {Revolutions}}}}} {{1 \, \, \ cancel {{\ text {minute}}} }} \ cdot \ frac {{1 \, \, \ cancel {{\ text {minute}}}}} {{60 \, \, \ text {секунды}}} \ cdot \ frac {{50 \ pi \ , \ text {feet}}} {{1 \, \, \, \ cancel {{\ text {Revolution}}}}} & = \ frac {{3 \ cdot 50 \ pi \ text {}}} {{ \ text {60}}} \ frac {{\ text {футов}}} {{\ text {second}}} \\ & = 5 \ pi \, \, \ text {футов в секунду} \\ & \ приблизительно \ text {14 футов / сек} \ end {align} \)

Бри нужно бегать со скоростью 14 футов в секунду , чтобы запрыгнуть на карусель . Это быстро!

Что такое вращение в оборотах в минуту при угловой скорости , равной 50 радиан в час? У нас есть угловая скорость 50 радиан в час, но нам нужна скорость вращения в оборотах в минуту.

Мы можем начать с того, что мы знаем, и, используя множители единиц, начать заполнять единицы, помещать единицы в числитель или знаменатель, в зависимости от того, хотим ли мы, чтобы они оставались или вычеркнуты:

\ (\ begin { align} \ frac {{50 \ text {радианы}}} {{1 \ text {hour}}} \ cdot \ frac {?} {?} \ cdot \ frac {?} {?} & = \ frac {{ \ text {Revolutions}}} {{\ text {minute}}} \\\ frac {{50 \ text {} \ cancel {{\ text {radians}}}}} {{\ cancel {{1 \ text { час}}}}} \ cdot \ frac {{\ text {1 революция}}} {{2 \ pi \, \, \, \ cancel {{\ text {радианы}}}}} \ cdot \ frac {{ \ cancel {{1 \, \, \ text {hour}}}}} {{\ text {60 минут}}} & = \ frac {{50}} {{2 \ pi \ cdot 60}} \ frac { {\ text {революций}}} {{\ text {minute}}} \\ & = \ frac {5} {{12 \ pi}} \, \, \, \ text {оборотов в минуту} \ end {align } \)

Вращение равно \ (\ displaystyle \ frac {5} {{12 \ pi}} \) или .133 оборотов в минуту .

Каков радиус окружности с линейной скоростью 100 дюймов в час и ,1 оборотов в минуту? Давайте воспользуемся формулой, которая связывает радиус с линейной и угловой скоростью : \ (\ displaystyle \ text {radius} = \ frac {{\ text {linear speed}}} {{\ текст {угловая скорость}}} = \ frac {v} {\ omega} \). Мы также должны использовать множители единиц для изменения единиц, так как у них есть часы и минуты.Мы также знаем, что один оборот равен \ (2 \ pi \) (и радианы могут быть без единиц измерения). У нас есть:

\ (\ displaystyle \ begin {align} \ text {radius} & = \ frac {v} {\ omega} = \ frac {{\ frac {{100 \, \, \ text {дюймы}}} {{1 \, \, \ text {час}}}}} {{\ frac {{. 1 \, \, \ text {Revolution}}} {{1 \, \, \ text {minute}}}} } \\ & = \ frac {{100 \, \, \ text {дюймы}}} {{1 \, \, \ cancel {{\ text {hour}}}}}} \ cdot \ frac {{1 \, \, \ cancel {{\ text {minute}}}}} {{. 1 \, \, \ cancel {{\ text {Revolution}}}}} \ cdot \ frac {{1 \, \, \ cancel { {\ text {hour}}}}} {{60 \, \, \ cancel {{\ text {minutes}}}}} \ cdot \ frac {{1 \, \, \ cancel {{\ text {Revolution}) }}}} {{2 \ pi}} \\ & = \ frac {{100}} {{.1 \ cdot 60 \ cdot 2 \ pi}} \ end {align} \)

Радиус равен \ (\ displaystyle \ frac {{25}} {{3 \ pi}} \), или примерно 2,65 размеры в дюймах .

Примечание : Мы могли бы сделать это и без формулы, используя единичные множители. Начните с того, что мы знаем, и закончите с тем, что нам нужно знать (нам нужны дюймы в ответ, поэтому нам нужны дюймы сверху):

\ (\ displaystyle \ frac {{100 \, \, \ text {дюймы}}} {{1 \, \, \ cancel {{\ text {hour}}}}}} \ cdot \ frac {{\ cancel {{1 \ text {Revolution}}}}} {{2 \ pi \ text {радианы}}} \ cdot \ frac {{1 \ text {} \ cancel {{\ text {minute}}}}} {{.1 \ text {} \ cancel {{\ text {Revolution}}}}} \ cdot \ frac {{1 \, \, \ cancel {{\ text {hour}}}}} {{60 \, \, \ cancel {{\ text {minutes}}}}} = \, \ frac {{25}} {{3 \ pi}} \, \, \ text {дюймы} \)

Давайте получим площадь сектора окружности на основе радиуса и центрального угла в радианах. {2}} \ theta = \ frac {1} {2} {{\ left ({3.{2}} \ left ({\ frac {{13 \ pi}} {9}} \ right) = 510,51 \, \, \ text {ft} \)

Уравнение площади сектора: \ (\ displaystyle s = \, r \ theta \), но мы должны преобразовать наши градусы в радианы (в 180 ° есть \ (\ pi \) радианы).

У нас есть:

\ (\ displaystyle 260 \, \, \ cancel {{\ text {градусов}}} \ cdot \ frac {{\ pi \, \, \ text {radians}}} {{180 \, \, \ cancel {{\ text {градусов}}}}} = \ frac {{13 \ pi}} {9} \, \ text {radians} \).

Теперь мы можем использовать уравнение:

\ (\ displaystyle s = r \ theta = \ left ({15} \ right) \ left ({\ frac {{13 \ pi}} {9}} \ справа) = 68.1 \, \, \ text {ft} \)

Поймите эти проблемы и практикуйтесь, практикуйтесь, практикуйтесь!

Теперь о графиках триггерных функций — готово!

Количества кинематики вращения | Безграничная физика

Угловое положение, Тета

Угол поворота — это величина (угол) поворота фигуры относительно фиксированной точки — часто центра круга.

Цели обучения

Оценить взаимосвязь между радианами на обороте CD

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Длина дуги Δs — это расстояние, пройденное по круговой траектории. r — радиус кривизны круговой траектории.
  • Угол поворота — это величина поворота, аналогичная линейному расстоянию. Мы определяем угол поворота [latex] \ Delta \ theta [/ latex] как отношение длины дуги к радиусу кривизны: [latex] \ Delta \ theta [/ latex] = Δs / r.
  • За один полный оборот угол поворота составляет 2π.
Ключевые термины
  • Угловое положение : угол в радианах (градусах, оборотах), на который точка или линия были повернуты в указанном направлении вокруг указанной оси.

Когда объекты вращаются вокруг некоторой оси, например, когда компакт-диск (компакт-диск) вращается вокруг своего центра, каждая точка в объекте движется по дуге окружности. Рассмотрим линию от центра компакт-диска до его края.Каждая яма, используемая для записи звука вдоль этой линии, перемещается под одним и тем же углом за одно и то же время. Угол поворота — это величина поворота, аналогичная линейному расстоянию. Мы определяем угол поворота [latex] \ Delta \ theta [/ latex] как отношение длины дуги к радиусу кривизны:

[латекс] \ Delta \ theta = \ Delta \ text {s} / \ text {r} [/ latex] (показано на).

Угол поворота : Все точки на компакт-диске перемещаются по дугам окружности. Ямки вдоль линии от центра к краю все перемещаются на один и тот же угол Δ за время Δt.

В математике угол поворота (или угловое положение) — это величина (т.е. угол), на которую фигура поворачивается относительно фиксированной точки (часто центра круга, как показано на).

Угол θ и длина дуги s : Радиус круга поворачивается на угол Δ. Длина дуги Δs указана на окружности.

Длина дуги Δs — это расстояние, пройденное по круговой траектории. r — радиус кривизны круговой траектории.Мы знаем, что за один полный оборот длина дуги равна длине окружности радиуса r. Окружность круга равна 2πr. Таким образом, за один полный оборот угол поворота составляет:

[латекс] \ Delta \ theta = (2 \ pi \ text {r}) / \ text {r} = 2 \ pi [/ latex].

Этот результат является основой для определения единиц, используемых для измерения углов поворота, как радиан (рад), определенных так:

2π рад = 1 оборот.

Если [latex] \ Delta \ theta [/ latex] = 2π rad, то компакт-диск сделал один полный оборот, и каждая точка на компакт-диске вернулась в исходное положение.Поскольку в круге 360º или один оборот, отношение между радианами и градусами, таким образом, составляет 2π рад = 360º, так что:

1рад = 360º / 2π = 57,3º.

Угловая скорость, Омега

Угловая скорость ω — это скорость изменения угла, математически определяемая как ω = [latex] \ Delta \ theta [/ latex] [latex] / \ Delta \ text {t} [/ latex].

Цели обучения

Проверить, насколько быстро объект вращается на основе угловой скорости

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Чем больше угол поворота за заданный промежуток времени, тем больше угловая скорость.
  • Угловая скорость ω аналогична линейной скорости v.
  • Мы можем записать взаимосвязь между линейной скоростью и угловой скоростью двумя разными способами: v = rω или ω = v / r.
Ключевые термины
  • угловая скорость : векторная величина, описывающая объект в круговом движении; его величина равна скорости частицы, а направление перпендикулярно плоскости ее кругового движения.

Чтобы проверить, насколько быстро объект вращается, мы определяем угловую скорость ω как скорость изменения угла.В символах это

.

[латекс] \ omega = \ Delta \ theta / \ Delta \ text {t} [/ latex],

, где угловой поворот Δ происходит за время Δt. Чем больше угол поворота за заданный промежуток времени, тем больше угловая скорость. Единицы измерения угловой скорости — радианы в секунду (рад / с).

Угловая скорость ω аналогична линейной скорости v. Чтобы найти точное соотношение между угловой и линейной скоростью, мы снова рассмотрим ямку на вращающемся CD. Эта яма перемещается на длину дуги Δs за время Δt, поэтому она имеет линейную скорость v = Δs / Δt.

Из [latex] \ Delta \ theta = (\ Delta \ text {s}) / \ text {r} [/ latex] мы видим, что [latex] \ Delta \ text {s} = \ text {r} \ cdot \ Дельта \ тета [/ латекс]. Подстановка этого в выражение для v дает [latex] \ text {v} = (\ text {r} \ cdot \ Delta \ theta) / (\ Delta \ text {t}) = \ text {r} (\ Delta \ theta / \ Delta \ text {t}) = \ text {r} \ omega [/ latex].

Мы можем записать это соотношение двумя разными способами: v = rω или ω = v / r.

Первое соотношение утверждает, что линейная скорость v пропорциональна расстоянию от центра вращения, таким образом, она является наибольшей для точки на ободе (наибольшее значение r), как и следовало ожидать.Мы также можем назвать эту линейную скорость v точки на ободе тангенциальной скоростью. Вторую взаимосвязь можно проиллюстрировать, рассмотрев шину движущегося автомобиля, как показано на рисунке ниже. Обратите внимание, что скорость точки в центре шины такая же, как скорость v автомобиля. Чем быстрее движется автомобиль, тем быстрее вращается шина — большой v означает большой ω, потому что v = rω. Точно так же шина большего радиуса, вращающаяся с той же угловой скоростью (ω), будет создавать для автомобиля большую линейную скорость (v).

Угловая скорость : Автомобиль, движущийся со скоростью v вправо, имеет шину, вращающуюся с угловой скоростью ω. Скорость протектора шины относительно оси равна v, как если бы автомобиль был поднят домкратом. Таким образом, автомобиль движется вперед с линейной скоростью v = rω, где r — радиус шины. Чем больше угловая скорость шины, тем больше скорость автомобиля.

Угловое ускорение, Alpha

Угловое ускорение — это скорость изменения угловой скорости, математически выражаемая как [latex] \ alpha = \ Delta \ omega / \ Delta \ text {t} [/ latex].

Цели обучения

Объясните взаимосвязь между угловым ускорением и угловой скоростью

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Чем быстрее происходит изменение угловой скорости, тем больше угловое ускорение.
  • При круговом движении линейное ускорение касается окружности в интересующей точке и называется касательным ускорением.
  • При круговом движении центростремительное ускорение относится к изменению направления скорости, но не ее величины.Объект, совершающий круговое движение, испытывает центростремительное ускорение.
Ключевые термины
  • угловое ускорение : Скорость изменения угловой скорости, часто обозначаемая α.
  • тангенциальное ускорение : ускорение в направлении, касательном к окружности в интересующей точке при круговом движении.

Угловое ускорение — это скорость изменения угловой скорости. В единицах СИ он измеряется в радианах на секунду в квадрате (рад / с 2 ) и обычно обозначается греческой буквой альфа ([латекс] \ альфа [/ латекс]).

Рассмотрим следующие ситуации, в которых угловая скорость непостоянна: когда фигурист тянет за руки, когда ребенок запускает карусель из состояния покоя или когда жесткий диск компьютера останавливается, когда он выключен. Во всех этих случаях существует угловое ускорение, при котором изменяется [латекс] \ омега [/ латекс]. Чем быстрее происходит изменение, тем больше угловое ускорение. Угловое ускорение определяется как скорость изменения угловой скорости. В форме уравнения угловое ускорение выражается следующим образом:

[латекс] \ alpha = \ Delta \ omega / \ Delta \ text {t} [/ latex]

где [latex] \ Delta \ omega [/ latex] — это изменение угловой скорости, а [latex] \ Delta \ text {t} [/ latex] — это изменение во времени.Единицы углового ускорения: (рад / с) / с или рад / с 2 . Если [latex] \ omega [/ latex] увеличивается, то [latex] \ alpha [/ latex] положительно. Если [latex] \ omega [/ latex] уменьшается, тогда [latex] \ alpha [/ latex] отрицательно.

Полезно знать, как связаны линейное и угловое ускорение. При круговом движении ускорение составляет по касательной к окружности в интересующей точке (как показано на диаграмме ниже). Это ускорение называется тангенциальным ускорением, t .

Тангенциальное ускорение : При круговом движении ускорение может происходить из-за изменения величины скорости: a касается движения. Это ускорение называется тангенциальным ускорением.

Касательное ускорение относится к изменениям величины скорости, но не ее направления. При круговом движении центростремительное ускорение, a c , относится к изменениям направления скорости, но не ее величины. Объект, совершающий круговое движение, испытывает центростремительное ускорение (как показано на диаграмме ниже.) Таким образом, t и c перпендикулярны и независимы друг от друга. Касательное ускорение a t напрямую связано с угловым ускорением и связано с увеличением или уменьшением скорости (но не с ее направлением).

Центростремительное ускорение : Центростремительное ускорение возникает при изменении направления скорости; он перпендикулярен круговому движению. Таким образом, центростремительное и тангенциальное ускорения перпендикулярны друг другу.

Разное

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *