Плотность энергии поля: 16.3. Объемная плотность энергии электростатического поля

Содержание

3.5. Энергия электрического поля

Энергия заряженного проводника. Поверхность проводника является эквипотенциальной. Поэтому потенциалы тех точек, в которых находятся точечные заряды dq, одинаковы и равны потенциалу проводника. Заряд q, находящийся на проводнике, можно рассматривать как систему точечных зарядов dq. Тогда энергия заряженного проводника

Приняв во внимание определение емкости, можно записать

Любое из этих выражений определяет энергию заряженного проводника.

Энергия заряженного конденсатора. Пусть потенциал обкладки конденсатора, на которой находится заряд +q, равен , а потенциал обкладки, на которой находится заряд —q, равен . Энергия такой системы

Энергию заряженного конденсатора можно представить в виде

Энергия электрического поля. Энергию заряженного конденсатора можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками. Сделаем это на примере плоского конденсатора. Подстановка выражения для емкости в формулу для энергии конденсатора дает

Частное U / d равно напряженности поля в зазоре; произведение S·d представляет собой объем V, занимаемый полем. Следовательно,

Если поле однородно (что имеет место в плоском конденсаторе при расстоянии d много меньшем, чем линейные размеры обкладок), то заключенная в нем энергия распределяется в пространстве с постоянной плотностью
w. Тогда объемная плотность энергии электрического поля равна

C учетом соотношения можно записать

В изотропном диэлектрике направления векторов D и E совпадают и
Подставим выражение , получим

Первое слагаемое в этом выражении совпадает с плотностью энергии поля в вакууме. Второе слагаемое представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика. Покажем это на примере неполярного диэлектрика. Поляризация неполярного диэлектрика заключается в том, что заряды, входящие в состав молекул, смещаются из своих положений под действием электрического поля Е. В расчете на единицу объема диэлектрика работа, затрачиваемая на смещение зарядов q_i на величину dr_i, составляет

Выражение в скобках есть дипольный момент единицы объема или поляризованность диэлектрика Р. Следовательно, .
Вектор P связан с вектором E соотношением . Подставив это выражение в формулу для работы, получим

Проведя интегрирование, определим работу, затрачиваемую на поляризацию единицы объема диэлектрика

Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенного в любом объеме V. Для этого нужно вычислить интеграл:

Вопросы

1) Напишите соотношения, выражающие энергию заряженного конденсатора. Опишите ситуации, в которых использование какого-либо из соотношений предпочтительно
2) Напишите соотношения (их 3), выражающие объемную плотность энергии электрического поля. Выразите эти же соотношения через плотность свободных и связанных зарядов.

Конденсаторы: плотность энергии поля

В этой статье представлены задачи на определение энергии конденсатора, плотности энергии поля, а также расчет выделившегося тепла.

Задача 1. Емкость плоского воздушного конденсатора пФ, расстояние между пластинами м, напряжение на пластинах В. Определить: а) напряженность поля между пластинами; б) силу взаимодействия пластин; в) энергию поля конденсатора; г) объемную плотность энергии.

Запишем нужные нам соотношения:

Заряд можем посчитать сразу:

Заряд равен 180 нКл.

Также можно определить энергию конденсатора:

Энергия равна 18 мкДж.

Определим площадь пластин:

Тогда напряженность поля равна:

Сила взаимодействия пластин:

Таким образом, сила взаимодействия пластин 0,45 мН. Объемная плотность энергии:

Ответ: напряженность поля В/м, сила взаимодействия пластин 0,45 мН, энергия поля 18 мкДж, объемная плотность энергии Дж/м.

Задача 2. Конденсатор, имеющий емкость мкФ, заряжен до разности потенциалов В. Какое количество теплоты выделится, если конденсатор замкнуть сопротивлением?

Если заряженный конденсатор замкнуть, то вся энергия, запасенная в нем, превратится в тепло на резисторе:

Ответ: энергия, а следовательно, и выделившееся тепло, равна 1 Дж.
Задача

3. В импульсной фотовспышке лампа питается от конденсатора емкостью мкФ, заряженного до напряжения В. Найти энергию вспышки, среднюю ее мощность, если продолжительность разрядки мс.

Запасенная энергия выделяется в течение времени , следовательно, мощность

Ответ: энергия 36 Дж, мощность 15 кВт.

Задача 4. Расстояние между пластинами плоского конденсатора с диэлектриком из парафинированной бумаги мм, а напряжение между пластинами В. Найти плотность энергии поля.

Ответ: 97 мДж/м.

Задача 5. Во сколько раз изменится энергия поля заряженного конденсатора, если пространство между пластинами конденсатора заполнить маслом? Рассмотрите случаи: а) конденсатор отключен от источника напряжения; б) конденсатор остается присоединенным к источнику напряжения.

Если конденсатор отключен от питания, то он сохраняет заряд.

Так как диэлектрическая проницаемость масла и в нашей формуле стоит в знаменателе, то энергия уменьшится в раз, то есть в 2,2 раза.

Если конденсатор подключен к источнику питания, то , и

Видим, что в этом случае, наоборот, энергия увеличится в раз.

Объемная плотность энергии электрического поля

Электрическую энергию плоского конденсатора можно выразить через напряженность поля между его обкладками:

где — объем пространства, занятого полем, S – площадь обкладок, d – расстояние между ними. Оказывается, через напряженность можно выразить электрическую энергию и произвольной системы заряженных проводников и диэлектриков:

, (5)

где

а интегрирование проводится по всему пространству, занятому полем (предполагается, что диэлектрик изотропный и ). Величина

w представляет собой электрическую энергию, приходящуюся на единицу объема. Вид формулы (5) дает основания предположить, что электрическая энергия заключена не во взаимодействующих зарядах, а в их электрическом поле, заполняющем пространство. В рамках электростатики это предположение проверить экспериментально или обосновать теоретически невозможно, однако рассмотрение переменных электрических и магнитных полей позволяет удостоверится в правильности такой полевой интерпретации формулы (5).

7. Энергия электрического поля (Примеры решения задач) Энергия взаимодействия зарядов

Пример 1.

Определите электрическую энергию взаимодействия точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со стороной a (см. рис.2).

Решение.

На рис.3 условно изображены двунаправленными стрелками все парные взаимодействия зарядов. Учитывая энергии всех этих взаимодействий, получим:


Рис.2	Рис.3	Рис.4

Пример 2.

Определите электрическую энергию взаимодействия заряженного кольца с диполем, расположенным на его оси, как показано на рис.4. Известны расстояния

a, l, заряды Q, q и радиус кольца R.

Решение.

При решении задачи следует учесть все энергии парных взаимодействий зарядов одного тела (кольца) с зарядами другого тела (диполя). Энергия взаимодействия точечного заряда qс зарядомQ, распределенным по кольцу, определяется суммой

где — заряд бесконечно малого фрагмента кольца, —расстояние от этого фрагмента до зарядаq. Поскольку всеодинаковы и равны, то

Аналогично найдем энергию взаимодействия точечного заряда –

qс заряженным кольцом:

Суммируя W₁иW₂, получим для энергии взаимодействия кольца с диполем:

Электрическая энергия заряженных проводников

Пример 3.

Определите работу электрических сил при уменьшении в 2 раза радиуса однородно заряженной сферы. Заряд сферы q, ее первоначальный радиус R.

Решение.

Электрическая энергия уединенного проводника определяется формулой , гдеq – заряд проводника,- его потенциал. Учитывая, что потенциал однородно заряженной сферы радиусаRравен, найдем ее электрическую энергию:

После уменьшения в два раза радиуса сферы ее энергия становится равной

Электрические силы при этом совершают работу

Пример 4.

Два металлических шара, радиусы которых r и 2r, а соответствующие заряды 2q и –q, расположены в вакууме на большом расстоянии друг от друга. Во сколько раз уменьшится электрическая энергия системы, если шары соединить тонкой проволокой?

Решение.

После соединения шаров тонкой проволокой их потенциалы становятся одинаковыми

а установившиеся заряды шаров Q₁ и Q₂ получаются в результате перетекания заряда с одного шара на другой. При этом суммарный заряд шаров остается постоянным:

Из этих уравнений найдем

Энергия шаров до соединения их проволокой равна

а после соединения

Подставляя в последнее выражение значения Q₁ и Q₂, получим после простых преобразований

Пример 5.

В один шар слились N = 8 одинаковых шариков ртути, заряд каждого из которых q. Считая, что в начальном состоянии ртутные шарики находились на большом расстоянии друг от друга, определите, во сколько раз увеличилась электрическая энергия системы.

Решение.

При слиянии ртутных шариков сохраняется их суммарный заряд и объем:

где Q – заряд шара, R – его радиус, r – радиус каждого маленького ртутного шарика. Суммарная электрическая энергия N уединенных шариков равна

Электрическая энергия полученного в результате слияния шара

После алгебраических преобразований получим

= 4.

Пример 6.

Металлический шарик радиуса R = 1 мм и заряда q = 0,1 нКл с большого расстояния медленно приближают к незаряженному проводнику и останавливают, когда потенциал шарика становится равным  = 450 В. Какую работу для этого следует совершить?

Решение.

Электрическая энергия системы из двух заряженных проводников определяется формулой

где q₁иq₂– заряды проводников,₁и₂– их потенциалы. Так как проводник по условию задачи не заряжен, то

где q₁и₁заряд и потенциал шара. Когда шар и незаряженный проводник находятся на большом расстоянии друг от друга,

и электрическая энергия системы

В конечном состоянии системы, когда потенциал шара стал равным , электрическая энергия системы:

Работа внешних сил равна приращению электрической энергии:

= –0,0225 мкДж .

Заметим, что электрическое поле в конечном состоянии системы создается зарядами, индуцированными на проводнике, а также зарядами, неоднородно распределенными по поверхности металлического шара. Рассчитать это поле при известной геометрии проводника и заданном положении металлического шара весьма непросто. Нам не потребовалось этого делать, поскольку в задаче задана не геометрическая конфигурация системы, а потенциал шара в конечном состоянии.

Пример 7.

Система состоит из двух концентрических тонких металлических оболочек с радиусами R₁ и R₂ (и соответствующими зарядамиq₁ и q₂. Найдите электрическую энергию W системы. Рассмотрите также специальный случай, когда .

Решение.

Электрическая энергия системы из двух заряженных проводников определяется формулой

Для решения задачи необходимо найти потенциалы внутренней (₁) и внешней (₂) сфер. Это нетрудно сделать (см. соответствующий раздел пособия):

Подставляя эти выражения в формулу для энергии, получим

При энергия равна

§ 12.13 Энергия электростатического поля. Объёмная плотность энергии электростатического поля

Пусть два заряда q₁ и q₂ находятся на расстоянии r друг от друга. Каждый из зарядов, находясь в поле другого заряда, обладает потенциальной энергией П. Используя П=qφ, определим

П₁=W₁=q₁φ₁₂П₂=W₂=q₂φ₂₁

(φ₁₂ и φ₂₁ – соответственно потенциалы поля заряда q₂ в точке нахождения заряда q₁ и заряда q₁ в точке нахождения заряда q₂).

Согласно определению потенциала точечного заряда

Следовательно.

или

Таким образом,

Энергия электростатического поля системы точечных зарядов равна

(12.59)

(φ_і— потенциал поля, создаваемого n -1 зарядами (за исключением q_i ) в точке, в которой находится заряд q_i).

Уединённый незаряженный проводник можно зарядить до потенциала φ, многократно перенося порции заряда dq из бесконечности на проводник. Элементарная работа, которая совершается против сил поля, в этом случае равна

δA= φdq

Перенос заряда dq из бесконечности на проводник изменяет его потенциал на

dφ, тогда

dq = C dφ

(С – электроёмкость проводника).

Следовательно,

δA= Cφdφ

т.е. при переносе заряда dq из бесконечности на проводник увеличиваем потенциальную энергию поля на

dП = dW =δA= Cφdφ

Проинтегрировав данное выражение, находим потенциальную энергию электростатического поля заряженного проводника при увеличении его потенциала от 0 до φ:

(12.60)

Применяя соотношение , получаем следующие выражения для потенциальной энергии:

(12.61)

(q — заряд проводника).

Если имеется система двух заряженных проводников (конденсатор), то полная энергия системы равна сумме собственных потенциальных энергий проводников и энергии их взаимодействия:

(12.62)

(q — заряд конденсатора, С – его электроёмкость.

Сучётом того, что Δφ=φ₁ –φ₂ = U — разность потенциалов (напряжение) между обкладками), получим формулу

(12.63)

Формулы справедливы при любой форме обкладок конденсатора.

Физическая величину, численно равную отношению потенциальной энергии поля, заключённой в элементе объёма, к этому объёму, называют объёмной плотностью энергии.

Для однородного поля объёмная плотность энергии

(12.64)

Для плоского конденсатора, объём которого V=Sd , где S — площадь пластины, d — расстояние между пластинами,

Но ,тогда

(12.65)

Или

(12.66)

( Е – напряжённость электростатического поля в среде с диэлектрической проницаемостью ε, D = ε ε ₀E — электрическое смещение поля).

Следовательно, объёмная плотность энергии однородного электростатического поля определяется напряжённостью Е или смещением D.

Следует отметить, что выражение исправедливы только для изотропного диэлектрика, для которого выполняется соотношениеp= ε ₀χE.

Выражение соответствует теории поля – теории близкодействия, согласно которой носителем энергии является поле.

Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии

Нужна помощь в написании работы?

Энергия электростатического поля — это энергия системы неподвижных точечных зарядов, энергия уединенного заряженного проводника и энергия заряженного конденсатора.

Энергия электростатического поля системы точечных зарядов равна:

Объемная плотность энергии электростатического поля — это физическая величина, численно равная отношению потенциальной энергии поля, заключенной в элементе объема, к этому объему. Для однородного поля объемная плотность энергии равна . Для плоского конденсатора, объем которого Sd, где S — площадь пластин, d — расстояние между пластинами, имеем

С учетом, что и

Внимание!

Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

или

Поможем написать любую работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Узнать стоимость Поделись с друзьями

Задача 2: найти плотность энергии электрического поля конденсатора

Две одинаковые круглые пластины площадью S = 400 см² каждая расположены параллельно друг другу. Заряд одной пластины Q₁ = 400 нКл, другой — Q₂ = 200 нКл. Определить плотность энергии электрического поля в точках, расположенных: а) между пластинами, б) вне пластин.

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 1 октября 2007 года.

Решение:

Плотность энергии поля численно равна энергии поля в единице объема:

w =	W	=	CU²	=	εε_oSU²	=	εε_oE²	.
	V		2V		2dSd		2

Рассмотрим поле пластин конденсатора. Напряженность поля вне пластин:

E = E₊ + E₊ =	δ₊	+	δ₊	=	1	(Q₁ + Q₂).
	2εε_o		2εε_o		2εε_oS

Напряженность поля между пластин равна:

E = E₊ − E₊ =	δ₊	−	δ₊	=	1	(Q₁ − Q₂).
	2εε_o		2εε_o		2εε_oS

Слева и справа модуль результирующей напряженности одинаков. Плотность энергии электрического поля в точках, расположенных вне пластин:

w =	1	(	Q₁ + Q₂	)² = 3.18 Дж/м³.
	8ε_o		S

между пластин:

w =	1	(	Q₁ − Q₂	)² = 0.353 Дж/м³.
	8ε_o		S

Примечание: плотность энергии пропорциональна квадрату напряженности электрического поля в области пространства, что справедливо для электрических полей любой конфигурации, а не только для однородных полей, в том случае, если среда, заполняющая пространство изотропная.{2}}{2I}=\frac{ФI}{2}\left( 4 \right)$.

Магнитный поток из своего определения равен:

$Ф=\int\limits_S {\vec{B}\bullet d\vec{S}\left( 5 \right),}$

где $S$ – площадь поверхности контура с током. Вектор индукции магнитного поля запишем через векторный потенциал магнитного поля ($\vec A$), который создается током $I$:

$\vec{B}=rot\, \vec{A}\left( 6 \right)$

Тогда выражение (5) приведем к виду:

$Ф=\int\limits_S {rot\, \vec{A}} d\vec{S}=\int\limits_L \vec{A} \bullet d\vec{l}\left( 7 \right)$.

где $L$ — контур тока.

В выражении (7) векторный потенциал поля $\vec{A}$ создан током, который течет в этом контуре, получается, что замкнутый ток взаимодействует с собственным магнитным полем.

Физическая сущность данного взаимодействия заключается в том, что всякий элемент тока $I\vec dl$ порождает в пространстве магнитное поле. С этим полем входят во взаимодействие все остальные элементы контура.

Подставим выражение для магнитного потока (7) в формулу для энергии (2), найдем:

$E_{m}=\frac{I}{2}\int\limits_L \vec{A} \bullet d\vec{l}=\frac{1}{2}\int\limits_V \vec{A} \vec{j}dV\left( 8 \right)$,

где сделан переход к объемным токам при помощи соотношения:

$\vec{j}dV\leftrightarrow Id\vec{l}\left( 9 \right)$,

$\vec j$ – вектор плотности тока.

Замечание 1

Стрелка в выражении (9) показывает, что данная замена дает возможность перейти от формул для объемных токов к формулам линейных токов и в обратную сторону.

Преобразуем выражение под интегралом так, чтобы в него входили только векторы поля и векторный потенциал. Используем формулы (6) и

$\vec{j}=rot\, \vec{H\, }\left( 10 \right).$

Вспомним известное соотношение для дивергенции векторного произведения:

$div(\vec{A}\times \, \vec{H})=\vec{H}rot\, \vec{A}-\vec{A}rot\vec{H\,}\left( 11 \right)$.

Получим в результате:

$\vec{A}\vec{j}=\vec{H}\vec{B}-div(\vec{A}\times \vec{H})\left( 12 \right)$.

тогда выражение для энергии примет вид:

$E_{m}=\frac{1}{2}\int {\vec{H}\vec{B}dV} -\int {div(\vec{A}\times \vec{H})}dV\left( 13 \right)$

Интеграл $\int {div(\vec{A}\times \vec{H})} dV$ в соответствии с теоремой Гаусса – Остроградского преобразуем в интеграл по поверхности, которая ограничивает объем интегрирования:

$\int\limits_V {div(\vec{A}\times \vec{H})dV} =\int\limits_S {(\vec{A}\times\vec{H})dS\, \left( 14 \right).{2}}$). Вывод: с ростом расстояния от места расположения токов интеграл (14) убывает пропорционально расстоянию ($\sim \frac{1}{r}$). Следовательно, для всего пространства, когда $r\to \infty$ интеграл (4) стремится к нулю. Полную энергию магнитного поля представим в виде:

$E_{m}=\frac{1}{2}\int {\vec{H}\vec{B}dV} \left( 15 \right)$.

Из выражения (15) следует, что объемная плотность распределения энергии магнитного поля равна:

$w=\frac{1}{2}\vec{H}\vec{B}\left( 16 \right)$.

Определение 1

Плотностью энергии магнитного поля называют его энергию, сосредоточенную в единице объема этого поля.

$w=\frac{E_{m}}{V}$

Представленное выражение справедливо для равномерного распределения энергии поля по объему.

Формула (16) говорит нам о том, что объемная плотность энергии магнитного поля в каждой его точке определяют значения векторов поля в этой точке, и не имеет значение каковы источники поля.

Для однородного изотропного магнетика мы имеем следующую связь между векторами поля:

$\vec{B}=\mu \mu_{0}\vec{H}\left( 17 \right)$.3$ ).

Энергия магнитного поля при наличии магнетиков

Допустим, что все пространство заполняет однородный магнетик. В этом случае создаваемая токами индукция будет изменяться в $\frac{\mu }{\mu_{0}}$ раз в сравнении с индукцией в вакууме. ($\mu$ – магнитная проницаемость вещества; $\mu_{0}$ – магнитная постоянная). Это означает, что во столько же раз изменятся потоки $Ф$ и $dФ$. Из формулы (2) заключим, что индуктивность контура и взаимные индуктивности увеличатся в $\frac{\mu }{\mu_{0}}$ раз. Формула (1) для энергии магнитного поля не изменится, но в ней индуктивность изменится в $\frac{\mu }{\mu_{0}}$ раз.

Можно сделать вывод о том, что энергия магнитного поля токов, которые текут в неограниченном однородном магнетике, изменится в $\frac{\mu }{\mu_{0}}$ раз в сравнении с энергией поля этих же самых токов в вакууме. Аналогичный вывод можно сделать относительно плотности энергии.

Ограниченность формул для вычисления плотности энергии

Допущения, сделанные нами, которые заставляют говорить об ограничениях применения формул, полученных нами для плотности энергии магнитного поля:

Мы предполагали, что вещество, в котором токи создают магнитные поля, является магнитоизотропным.{2}}{2\mu \mu_{0}}lS\, \left( 21 \right)$.
где присутствуют параметры самого соленоида и характеристика магнитного поля ($B$), что говорит о том, что энергия поля распределена по объему поля.
Для постоянных магнитных полей эта непонятность вызвана тем, что токи и поля существуют неразрывно, образуя систему.
При переходе к переменным магнитным полям приемлемой становится только полевая концепция магнитной энергии, так как переменные магнитные поля входят как компоненты электромагнитных полей и могут существовать самостоятельно от токов. Электромагнитные волны переносят энергию, значит, сделаем вывод о том, что энергия магнитного поля распределена в объеме поля.
Плотность электроэнергии
«Плотность энергии — это термин, используемый для обозначения количества энергии, хранящейся в данной системе или области пространства на единицу объема»
Плотность энергии — полезное измерение при работе с электрическими и магнитными полями. Эта идея также используется в исследованиях питания, хотя расчет в этой дисциплине известен как калорийность. Значение является полезным параметром, особенно при сравнении различных видов топлива. Например, водородное топливо имеет более низкую плотность энергии, чем бензин.Более высокая плотность энергии указывает на то, что при том же количестве массы можно хранить или транспортировать больше энергии.
Плотность энергии — это термин, используемый для обозначения количества энергии, хранящейся в данной системе или области пространства на единицу объема. Часто количественно оценивается только полезная или извлекаемая энергия, то есть химически недоступная энергия, такая как энергия массы покоя, игнорируется. Количественная энергия — это энергия, которая имеет некоторую, как следует из названия, количественную величину с соответствующими единицами измерения.
Энергия на единицу объема имеет те же физические единицы, что и давление, и во многих случаях является точным синонимом: например, плотность энергии магнитного поля может быть выражена как (и ведет себя как) физическое давление, а энергия, необходимая для Сжатие сжатого газа немного больше может быть определено умножением разницы между давлением газа и давлением снаружи на изменение объема.
Определение плотности электрической энергии
- Плотность электрической энергии — это количество энергии, запасенной в данной системе или области пространства на единицу объема или массы, хотя последняя более точно называется удельной энергией.
- Плотность энергии «D» задается как:
- D = E ÷ V, где
- «E» — полная энергия системы
- «V» — это объем системы, с которой вы работаете.
Пример задачи для плотности энергии
В определенной области пространства магнитное поле имеет значение 1,0 x 10-2T, а электрическое поле имеет значение 2,0 x 106 VM-1. Какова суммарная плотность энергии электрического и магнитного полей?
Ответ:
- Для электрического поля плотность энергии
- Для магнитного поля плотность энергии
- Чистая плотность энергии представляет собой сумму плотности энергии, обусловленной электрическим полем, и плотности энергии, обусловленной магнитным полем:
Что следует помнить
- Плотность электрической энергии — это количество энергии, запасенной в данной системе или области пространства на единицу объема или массы
- Плотность энергии «D» задается как:
- D = E ÷ V, где
- «E» — полная энергия системы
- «В» — это объем системы, с которой вы работаете.
- Для электрического поля плотность энергии WE = 0,5 ? 0 E2.
- Для магнитного поля плотность энергии WB = 0,5 * B 2 / µ0
Для электрического поля плотность энергии
Для магнитного поля плотность энергии
Электроэнергия прочие виды
Формула плотности энергии
Плотность энергии определяется как количество энергии, накопленной в системе на единицу объема.
В случае электроэнергии
Плотность электрической энергии = диэлектрическая проницаемость * квадрат электрического поля / 2
Уравнение записано
U _E = εE ²/2
В случае магнитной энергии
Плотность магнитной энергии = квадрат магнитного поля / 2 * магнитная проницаемость
Уравнение записано
U _B = B ²/2 * μ
Общая энергия:
U = U _E + U _B
У нас:
U = плотность энергии
U _E = удельная электрическая энергия
U _B = плотность магнитной энергии
ε = диэлектрическая проницаемость
E = электрическое поле
B = Магнитное поле
μ = магнитная проницаемость
Плотность энергии Вопросы:
1) В определенной области пространства магнитное поле имеет значение 5 * 10 ^-3 Тл, а электрическое поле имеет значение 3 * 10 ⁶ В / м.Какова совокупная плотность энергии электрического и магнитного полей?
Ответ: Сначала мы вычисляем плотность и энергию каждого поля, наконец, складываем плотности, чтобы получить общую плотность энергии, где B = 5 * 10 ^-3 Тл, E = 3 * 10 ⁶ В / м, ε = 8,85 * 10 ^-12 C ² / Н * м ² и μ = 4π * 10 ^-7 Н / Д ².
U _E = εE ²/2
U _E = 8,85 * 10 ^-12 C ² / Н · м ² * (3 * 10 ⁶ В / м) ²/2
U _E = 39.825 Дж / м ³
U _B = B ²/2 * μ
U _B = (5 * 10 ^-3 T) ²/2 * 4π * 10 ^-7 НЕТ ²
U _B = 9,95 Дж / м ³
U = U _E + U _B
U = 39,825 Дж / м ³ + 9,95 Дж / м ³
U = 49,775 Дж / м ³.
2) В определенной области пространства магнитное поле имеет значение 3 * 10 ^-2 Тл, а электрическое поле имеет значение 9 * 10 ⁷ В / м.Какова совокупная плотность энергии электрического и магнитного полей?
Ответ: Сначала мы вычисляем плотность и энергию каждого поля, наконец, складываем плотности, чтобы получить общую плотность энергии, где B = 3 * 10 ^-2 Тл, E = 9 * 10 ⁷ В / м, ε = 8,85 * 10 ^-12 C ² / Н * м ² и μ = 4π * 10 ^-7 Н / Д ².
U _E = εE ²/2
U _E = 8,85 * 10 ^-12 C ² / Н · м ² * (9 * 10 ⁷ В / м) ²/2
U _E = 35842.5 Дж / м ³
U _B = B ²/2 * μ
U _B = (3 * 10 ^-2 T) ²/2 * 4π * 10 ^-7 НЕТ ²
U _B = 358,1 Дж / м ³
U = U _E + U _B
U = 35 842,5 Дж / м ³ + 358,1 Дж / м ³
U = 36200,6 Дж / м ³
Магнитные поля и пересмотр Максвелла
Энергия, запасенная в магнитном поле
В индукторе энергия хранится в магнитном поле.
Цели обучения
Опишите поведение индуктора при изменении тока и выразите энергию, запасенную в магнитном поле, в форме уравнения
Основные выводы
Ключевые моменты
- Формула для энергии, запасенной в магнитном поле, E = 1/2 LI ².
- Энергия, запасенная в магнитном поле, равна работе, необходимой для создания тока через катушку индуктивности.
- Энергия хранится в магнитном поле.2} {2 \ mu} [/ латекс].
Ключевые термины
- индуктор : Устройство или компонент цепи, который демонстрирует значительную самоиндукцию; устройство, которое хранит энергию в магнитном поле.
Когда по проводнику проходит ток, создается магнитное поле, окружающее проводник. Результирующий магнитный поток пропорционален току. Если ток изменяется, изменение магнитного потока пропорционально скорости изменения тока во времени с помощью коэффициента, называемого индуктивностью (L).Поскольку природа не терпит быстрых изменений, создаваемое в проводнике напряжение (электродвижущая сила , , ЭДС ) противодействует изменению тока, которое также пропорционально изменению магнитного потока. Таким образом, индукторы противодействуют изменению тока, создавая напряжение, которое, в свою очередь, создает ток, противодействующий изменению магнитного потока; напряжение пропорционально изменению тока.
Энергия, накопленная в индукторе
Из-за энергосбережения энергия, необходимая для управления исходным током, должна иметь выход.2 [/ латекс]
(уравнение 1), где L — индуктивность в единицах Генри, а I — ток в единицах Ампера.
Энергия, запасенная в магнитном поле
Рассмотрим Рис. 1, пример соленоида (ℓ: длина, N: количество витков, I: ток, A: площадь поперечного сечения), который работает как индуктор. Из уравнения. 1, энергия, запасенная в магнитном поле, создаваемом соленоидом, составляет:
Магнитное поле, создаваемое соленоидом : Магнитное поле, создаваемое соленоидом (вид в разрезе), описываемое с помощью силовых линий.2} {2 \ mu} [/ латекс].
Предсказания Максвелла и подтверждение Герца
Предсказание Максвелла об электромагнитной силе было подтверждено Герцем, который генерировал и обнаруживал электромагнитные волны.
Цели обучения
Объясните, как Герц
подтвердил предсказание Максвелла об электромагнитной силе.
Основные выводы
Ключевые моменты
- Максвелл предсказал, что электрические и магнитные силы связаны.
- Максвелла предсказывают, что независимо от длины волны и частоты каждая световая волна имеет одинаковую структуру.
- Герц смог экспериментально подтвердить уравнение Максвелла, генерируя и обнаруживая определенные типы электромагнитных волн в лаборатории.
Ключевые термины
- электрическое поле : область пространства вокруг заряженной частицы или между двумя напряжениями; он воздействует на заряженные объекты поблизости.
- магнитное поле : Состояние в пространстве вокруг магнита или электрического тока, в котором существует обнаруживаемая магнитная сила и где присутствуют два магнитных полюса.
- электродвижущая сила : (ЭДС) — напряжение, генерируемое батареей или магнитной силой в соответствии с законом Фарадея. Она измеряется в вольтах, а не в ньютонах, и поэтому на самом деле не является силой.
Предсказания Максвелла и подтверждение Герца
Объединив работы физиков, включая Эрстеда, Кулона, Гаусса и Фарадея, и добавив свои собственные идеи, Джеймс Клерк Максвелл разработал полную и всеобъемлющую теорию, показывающую, что электрические и магнитные силы не разделены, а представляют собой разные формы одного и того же: электромагнитная сила.В 1865 году он сделал это в форме четырех уравнений, которые утверждали следующее:
1. Линии электрического поля берут начало на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных зарядах, а электрическое поле определяется как сила, приходящаяся на единицу заряда испытательного заряда. Сила силы связана с электрической постоянной ε ₀, также известной как диэлектрическая проницаемость свободного пространства.
2. Линии магнитного поля непрерывны, не имеют ни начала, ни конца. О существовании магнитных монополей не известно.
3. Изменяющееся магнитное поле индуцирует электродвижущую силу (ЭДС) и, следовательно, электрическое поле. Направление ЭДС противодействует изменению.
4. Магнитные поля создаются движущимися зарядами или изменяющимися электрическими полями.
Уравнения Максвелла предсказывают, что независимо от длины и частоты волны все световые волны имеют одинаковую структуру. Это означает, что уравнения Максвелла предсказывали существование радио- и рентгеновских волн, хотя на самом деле они еще не были обнаружены.
Доказательство уравнений Максвелла
Известные уравнения Максвелла, простые и гениальные по своей проницательности, по-прежнему трудно доказать. Поскольку изменяющиеся электрические поля создают относительно слабые магнитные поля, их было нелегко обнаружить во время гипотезы Максвелла.
Только в 1888 году предсказание Максвелла прошло серьезную проверку, когда Генрих Герц сгенерировал и обнаружил определенные типы электромагнитных волн в лаборатории. Он провел серию экспериментов, которые не только подтвердили существование электромагнитных волн, но и подтвердили, что они движутся со скоростью света.
Герц использовал цепь переменного тока RLC (резистор-индуктор-конденсатор), которая резонирует на известной частоте, и подключила ее к проволочной петле, как показано на рисунке. Высокое напряжение, индуцированное через зазор в петле, вызывало искры, которые были видимым свидетельством наличия тока в цепи, и это помогло генерировать электромагнитные волны. Через всю лабораторию Герц подключил еще один контур к другому контуру RLC, который можно было настроить (как циферблат на радио) на ту же резонансную частоту, что и первый, и, таким образом, можно было заставить принимать электромагнитные волны.В этой петле также был зазор, в котором возникали искры, что давало твердое свидетельство приема электромагнитных волн.
Аппарат, используемый Герцем : Аппарат, использованный Герцем в 1887 году для генерации и обнаружения электромагнитных волн. Схема RLC, подключенная к первому контуру, вызвала искры через разрыв в проводном контуре и генерировала электромагнитные волны. Искры в щели во второй петле, расположенной напротив лаборатории, свидетельствовали о том, что волны были приняты.2}}} {{{\ mu _0}}} \]
Ответ (c).
Возможный скалярный термин, описывающий плотность энергии в гравитационном поле
А Возможный скалярный термин, описывающий плотность энергии в гравитационном поле
Гравитационный поле точечной массы и электрическое поле точечного заряда структурно похожий. Каждый может быть представлен векторным полем, в котором векторы направлены по радиальным линиям, исходящим из точки, а вектор величины уменьшаются как обратный квадрат [радиального] расстояния с точки.Электрическое поле, E, при умножении на величину испытательного заряда q в поле дает сила f локально на испытательном заряде
Гравитационный поле, г, при умножении на величину испытательной массы m в поле дает сила f локально на испытательной массе
В каждом В этом случае сила имеет тот же векторный смысл, что и поле.Электрическое поле может быть направлен радиально к источнику заряда или от него, в зависимости от знак источника заряда. Гравитационное поле указывает на исходная масса во всех известных случаях. Электрическое поле имеет скалярную энергию поле плотности (или, следуя некоторым старым текстам, поле давления), связанное с с этим. Когда вектор поля в точке равен E, то плотность энергии в той же точке равна
u _E = ½ (₀ E ^. E знак равно ½ ₀ E ²
где ₀ ¹⁵ — диэлектрическая проницаемость свободного пространства. Плотность энергии является мерой энергия, запасенная в поле на единицу объема пространства. Единица измерения составляет Дж / м ³ (или нт / м ², если его рассматривать как давление).Хотя эк. 3 представляет плотность энергии для электрического поле, и аналогичное выражение представляет плотность энергии для магнитное поле, такой термин плотности энергии никогда не определялся для гравитационное поле. Но можно подозревать, что это могло быть и, возможно, даже должно быть.
Давайте использовать подобие между гравитационным и электрическим полями, чтобы построить член плотности гравитационной энергии.
Мы начинаем отмечая, как диэлектрическая проницаемость свободного пространства входит в выражение для E:
где k = 1 / (4p ₀)
4а.
— это универсальная постоянная, Q — заряд источника, r — радиальное расстояние от источник.
Гравитационный поле задано выражением
где G — универсальная постоянная, M — масса источника, r — радиальное расстояние. из первоисточника.
Электрический Плотность энергии поля может быть записана через k как
u _E = ½ (1 / 4k) E ²
= E ² / (8k)
6.
По аналогии, кандидатный член плотности гравитационной энергии теперь может быть построен и написано как
u _G = г ² / (8 г)
Рядом поверхность земли
г = 9.807 м / сек ².
Также G = 6,672 X 10 ^-11 (nt m ²) / кг ²
так что u _G = 5,736 X 10 ¹⁰ Дж / м ³.
Использование экв. 7, можно было бы построить классический аргумент в пользу вращения перигелия планеты вокруг своей центральной тело [солнце]. Напомним, что вращение перигелия Меркурия (43 угловых секунд в столетие) была успешно решена общей теорией относительности.Исторически сложилось так, что попытки изменить закон всемирного тяготения Ньютона для учета для наблюдаемого движения Меркурия оказались неудовлетворительными. Так сделал введение еще одной [гипотетической] планеты под названием Вулкан, с орбитой внутри Меркурия. Поэтому разумно, что Настоящее рассуждение будет не точным решением, а грубым приближением. Его полезность в качестве концептуального инструмента для студентов, знакомых с классическими динамики, которых только знакомят с концепциями Эйнштейна.Так и будет служат мостом между классической теорией орбиты и общей относительность. Оригинальная статья Эйнштейна об отклонении проходящего звездного света Можно сказать, что солнце выполняет аналогичную функцию. Расчет Эйнштейна в этой статье, до сих пор воспроизводится как проблема в текстах по специальной теории относительности. На протяжении всего этого расчета мы будем использовать закон всемирного тяготения Ньютона без модификации, и включать термин плотности энергии, описанный выше дать качественное описание вращения перигелия.
Первый, мы перепишем член u _G, заменив g в уравнении. 7 .:
g = ГМ / р ²
так что u _G = GM ² / (8r ⁴)
8.
Другой скалярное поле может быть получено из поля плотности энергии с помощью эквивалентность массы и энергии из специальной теории относительности; я.е., скалярная массовая плотность поле формы
u _G / c ² = GM ² / (8r ⁴ c ²)
Мы следующие Предположим, что масса из-за члена u _G / c ², интегрированная в подходящем объеме пространства ведет себя гравитационно, как обычные иметь значение.Для вытянутого тела, как солнце (а не идеальной точки масса), необходимо изучить последствия этого предположения
я. в внутренняя часть удлиненного кузова, поскольку внутреннее поле способствует к общей массе и, следовательно, к его гравитационному полю, и
ii. В «свободном от материи» пространстве, окружающем протяженное тело.Планеты и другие объекты, движущиеся в этой области, испытают комбинированный гравитационный эффекты массы, указанные в i. выше, а также массовый вклад внешнего поля.
Солнце может считаться сферой радиуса r ₀, и постоянной (средней) плотность . Тогда классическая масса Солнца равна
. П ₀ = 4r ₀ ³/3
Найти дополнительный массовый вклад из-за внутреннего поля, мы должны сначала переписать эк.9 для интерьера солнца. Устанавливаем
M = 4r ³/3
который является функцией радиального расстояния r. Далее подставляем этот результат в ур. 9, чтобы получить
u _G / c ² = 2Gr ² ² / (9c ²)
Соответствующий массовый вклад Mf тогда является объемным интегралом уравнения.10 по всей внутренней части солнца. Подынтегральное выражение
dM _f = [2Gr ² ² / (9c ²)] ^. 4к ² доктор
и пределы интегрирования от r = 0 до r = r ₀. Таким образом,
M _f = 8 ² G ² r ₀ ⁵ / (45c ²)
11.
Всего масса солнца теперь должна быть
Для солнце, мы знаем, что
П ₀ = 1,99 X 10 ³⁰ кг
= 1410 кг / м ³ (средн.)
r ₀ = 6,912 X 10 ⁸ м
Рассчитываем M _f = 4.08 X 10 ²³ кг
Как следует Как и следовало ожидать, M _f очень мала по сравнению с M ₀. В факт,
M _f = (2,05 Х 10 ^-7) ^. М ₀
и есть, следовательно, лишь немногим больше одной десятимиллионной классической солнечная масса.
снаружи Солнце, местное поле, которое испытывает вращающаяся планета, астероид, и Т. Д., имеет взносы от
я. В масса M = M ₀ + M _f (постоянная в этой области), и
ii. Масса из-за внешнего поля, которая будет меняться, если орбита не строго круговой.
Пусть планета находиться на расстоянии r от центра Солнца. Ассоциироваться с на этом расстоянии сфера, концентрическая с солнцем, на поверхности которой планету всегда можно найти.С увеличением r сфера расширяется. Поскольку r уменьшается, сфера сжимается. Движение планеты определяется общей массой внутри сферы. Эта общая масса состоит из масса, содержащаяся в Солнце, плюс масса из-за внешнего поля, содержащегося внутри сферы. Для внешнего поля
dM _{f ‘} = [GM ² / (8r ⁴ c ²)] ^. 4к ² доктор
Объем интеграл следует брать по всей области между поверхностью солнце и сфера радиуса r.Таким образом,
M _{f ‘} = GM ² (1 / r ₀ — 1 / r) / (2c ²)
Это полная масса M + M _{f ‘} (= M ₀ + M _f + M _f’) что притягивает планету и влияет на ее движение вокруг Солнца.В гравитационное поле g, действующее на планету, равно
= G (M + GM ² (1 / r ₀ — 1 / r) / (2c ²)) / r ²
Это поле представляет собой ускорение планеты на ее орбите вокруг солнце.Классический вклад солнца представлен
и результаты на стационарной эллиптической орбите, как и ожидалось. Дополнительный вклад Солнца, из-за его внешнего гравитационного поля, представлено
G ² M ² (1 / r ₀ — 1 / об) / (2c ² r ²)
16.
Это поле меняется с радиальным расстоянием r, тем более что чем меньше значение г. Следовательно, любая планета, находящаяся около Солнца и на некруговой орбите, испытает боковое возмущение со строгой классической орбиты. Если бы без этого возмущения планета двигалась бы по классическому эллипсу, возмущение должно быть таким, чтобы отклонять его на солнце от эллипса когда он перемещается от перигелия к афелию.Обратное должно быть верно для другая половина орбиты, в результате чего линия апсид должен [медленно] вращаться в том же направлении, что и орбитальный движение планеты (то есть по часовой стрелке или против часовой стрелки, если смотреть со стороны подходящую точку обзора) ¹⁶.
Это интересно вычислить приблизительную величину массового вклада в экв. 13 для планеты Меркурий.Соответственно нам нужно чтобы знать, что для Меркурия,
г = 5.75 X 10 ¹⁰ м
Также, для Солнца, M = 1,99 X 10 ³⁰ кг
г ₀ = 6.91 X 10 ⁸ м
и G = 6,67 X 10 ^-11 нт м ² / кг ².
Затем,
Это Интересно, что масса, вычисленная в ур.17 примерно эквивалентно массе Земли. Ранее отмечалось, что когда Вращение перигелия Меркурия было впервые замечено астрономами. объяснить это, постулируя другую планету под названием Вулкан, орбита которой находился внутри Меркурия и чье гравитационное влияние возмущало Орбита Меркурия. Эти наблюдения были сделаны в конце девятнадцатого века, до появления специальной теории относительности.Вулкан так и не был найден, так как мы теперь знаете, и возмущение на орбите Меркурия было наконец учтено для удовлетворительно по Эйнштейну.
¹⁵ ₀ = 8,8542 x 10 ^-12 Ф / м.
¹⁶ Можно показать, что движение по закону центрального притяжения общая форма
результатов в типе движения, которое мы здесь описывали; я.е., перигелий планеты, движущейся по такому закону притяжения, будет вращаться со скоростью пропорциональная константе, k ₁ (Леви-Чивита, стр. 396). В закон притяжения, указанный в ур. 14а, выше, только приблизительно экв. 18. Мы можем переписать ур. 14а. как
G (M + GM ² (1 / r ₀ -1 / r) / (2c ²)) / r ² = GM / r ² + [G ² M ² (r / r ₀ -1) / 2c ² r ³)] 14b.
В этом представление, сравнивая с ур. 18:
к = GM
k ₁ = G ² M ² (r / r ₀-1) / (2c ²)
Термин k ₁ не является константой, как ур. 18 требует, но является линейной функцией расстояния r. Таким образом, наше использование энергии член плотности дает, в лучшем случае, лишь грубое приближение к перигелию проблема.Тем не менее, все же кажется разумным, что описанный подход выше должно иметь учебное значение, обеспечивая концептуальный мост между миры классической физики / специальной теории относительности, с одной стороны, и общая теория относительности — с другой.
линия апсид: линия, соединяющая восходящие и нисходящие узлы орбита.
Физика для науки и техники II

5.10 Плотность энергии от Управления академических технологий на Vimeo.
5.10 Плотность энергии
Удобно определить величину, называемую плотностью энергии, и мы будем обозначать эту величину малым u. Он определяется как энергия, запасенная в электрических полях конденсатора на единицу объема. Он равен u sub E, деленному на объем области между пластинами конденсатора. Если мы рассмотрим конденсатор с параллельными пластинами, мы знаем, что такой конденсатор состоит из двух параллельных проводящих пластин, разделенных изолирующей средой.И предположим, что расстояние между пластинами равно A, d — это расстояние разделения, а допустим, A представляет собой площадь поверхности пластины.
Следовательно, для такого конденсатора мы можем выразить, скажем, что верхняя пластина заряжена положительно, нижняя пластина заряжена отрицательно, и электрическое поле заполняет область между пластинами, происходящую от положительно заряженной к отрицательно заряженной пластине. Плотность энергии, малая u, будет равна полной энергии, запасенной в электрическом поле этого конденсатора, деленной на объем области между пластинами.Поскольку площадь поверхности пластины равна A, а расстояние разделения равно d, это будет равно A, умноженному на d.
В явном виде мы можем выразить полную энергию, запасенную между пластинами этого конденсатора, как половину емкости пластины, умноженную на квадрат разности потенциалов между пластинами, деленную на A умноженное на d.
Что ж, если мы вспомним емкость конденсатора с параллельными пластинами, емкость была равна эпсилону, умноженному на площадь пластин, умноженную на нулевую площадь пластины, деленную на расстояние между пластинами конденсатора.Следовательно, если мы подставим это вместо емкости здесь, то выражение для плотности энергии станет равным половине A, умноженному на V в квадрате, деленном на A, умноженное на A — здесь мы имеем d из уравнения, а другой d будет получен путем замены, d в квадрате в знаменателе. Площади пластин сократятся в числителе и знаменателе, а также у нас будет ноль Эпсилона. Давайте не будем забывать об этом здесь. Тогда мы получим плотность энергии, равную половине эпсилона ноль V на d в квадрате.
Посмотрим, чему равно это соотношение.Если вспомнить разность потенциалов между обкладками конденсатора, V была равна интегралу от положительной к отрицательной пластине E dot dl. Таким образом, если выбрать прямую линию пути от положительной пластины к отрицательной, тогда dl будет вектором приращения смещения вдоль этого пути. Угол между ними, между вектором электрического поля и вектором приращения смещения в этом случае равен нулю, затем он стал равным косинусу Edl нуля. Косинус нуля равен 1.
Для конденсатора с параллельными пластинами мы видели, что электрическое поле было постоянным.Мы обнаружили это, применив закон Гаусса. Результат показал нам, что где бы мы ни проходили между пластинами конденсатора с параллельными пластинами, величина поля была одинаковой. Следовательно, мы можем вынести это за пределы интеграла, и, наконец, разность потенциалов между пластинами становится равной интегралу dl, интегрированного от положительной пластины к отрицательной.
Если мы сложим все эти векторы инкрементного смещения друг с другом на этом расстоянии, мы получим величину этого расстояния, которая равна разделительному расстоянию d.Таким образом, это выражение становится равным E умноженному на d. И, решая там электрическое поле, мы получим, что E равно V над d.
Следовательно, это соотношение есть не что иное, как величина электрического поля между пластинами этого конденсатора. Затем мы можем заменить это соотношение, выразив плотность энергии, маленький u, равной половине эпсилона, умноженной на нуль, величины электрического поля в квадрате. Конечно, единицей плотности энергии будет энергия на единицу объема, поэтому u будет равно — единица энергии в системе единиц СИ — Джоуль — а единица объема — кубический метр, поэтому Джоуль на кубический метр — единица плотности энергии в системе единиц СИ.
Мы увидим преимущества работы с плотностью энергии в следующем примере. Это позволит нам определить количество энергии, хранящейся в определенной области между пластинами конденсатора. Кроме того, хотя мы получили это выражение для конденсатора с параллельными пластинами, конечно, это будет справедливо как для сферических, так и для цилиндрических конденсаторов. Единственная разница, конечно же, будет в связанных с ними электрических полях.
Для конденсатора с параллельными пластинами электрическое поле между пластинами все время было постоянным, поэтому плотность энергии, энергия на единицу объема, также постоянна.Для сферических, а также цилиндрических конденсаторов электрическое поле является функцией радиального расстояния; поэтому он будет менять точку на точку по радиальному расстоянию. В результате этого плотность энергии также не будет постоянной для этих конденсаторов. Он будет меняться от пункта к пункту.
14.3 Энергия в магнитном поле — Университетская физика, Том 2
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
- Объясните, как можно накапливать энергию в магнитном поле
- Выведите уравнение для энергии, запасенной в коаксиальном кабеле, с учетом плотности магнитной энергии.
Энергия конденсатора хранится в электрическом поле между его пластинами.Точно так же индуктор может накапливать энергию, но в своем магнитном поле. Эту энергию можно найти, интегрировав плотность магнитной энергии,
больше соответствующего объема. Чтобы понять, откуда взялась эта формула, давайте рассмотрим длинный цилиндрический соленоид из предыдущего раздела. Опять же, используя приближение бесконечного соленоида, мы можем предположить, что магнитное поле практически постоянно и определяется как B = μ0nIB = μ0nI всюду внутри соленоида. Таким образом, энергия, запасенная в соленоиде, или плотность магнитной энергии, умноженная на объем, эквивалентна
U = um (V) = (μ0nI) 22μ0 (Al) = 12 (μ0n2Al) I2.U = um (V) = (μ0nI) 22μ0 (Al) = 12 (μ0n2Al) I2.
14,19
При замене уравнения 14.14 это становится
Хотя это уравнение получено для частного случая, оно дает энергию, запасенную в магнитном поле любой индуктивности . Мы можем убедиться в этом, рассмотрев произвольную катушку индуктивности, через которую проходит изменяющийся ток. В любой момент величина наведенной ЭДС равна ε = Ldi / dt, ε = Ldi / dt, где ii — индуцированный ток в этом случае. Следовательно, мощность, потребляемая индуктором, равна
P = εi = Ldidti.P = εi = Ldidti.
14,21
Полная энергия, запасенная в магнитном поле, когда ток увеличивается от 0 до 9 1047 I в интервале времени от 0 до 9 1047 t , может быть определена путем интегрирования этого выражения:
U = ∫0tPdt ′ = ∫0tLdidt′idt ′ = L∫0Iidi = 12LI2.U = ∫0tPdt ′ = ∫0tLdidt′idt ′ = L∫0Iidi = 12LI2.
14,22
Пример 14,3
Самоиндуктивность коаксиального кабеля
На рис. 14.11 показаны две длинные концентрические цилиндрические оболочки радиусами R1R1 и R2.R2. Как обсуждалось в разделе «Емкость по емкости», эта конфигурация представляет собой упрощенное представление коаксиального кабеля.Емкость на единицу длины кабеля уже рассчитана. Теперь (а) определите магнитную энергию, запасенную на единицу длины коаксиального кабеля, и (б) используйте этот результат, чтобы найти самоиндуктивность на единицу длины кабеля.
Рис. 14.11 (a) Коаксиальный кабель здесь представлен двумя полыми концентрическими цилиндрическими проводниками, по которым электрический ток течет в противоположных направлениях. (b) Магнитное поле между проводниками можно найти, применив закон Ампера к пунктирной траектории.(c) Цилиндрическая оболочка используется для определения магнитной энергии, запасенной на длине х кабеля.
Стратегия
Магнитное поле внутри и снаружи коаксиального кабеля определяется законом Ампера. Основываясь на этом магнитном поле, мы можем использовать уравнение 14.22 для вычисления плотности энергии магнитного поля. Магнитная энергия рассчитывается как интеграл плотности магнитной энергии, умноженный на дифференциальный объем по цилиндрической оболочке. После того, как интегрирование выполнено, у нас есть закрытое решение для части (а).Самостоятельная индуктивность на единицу длины определяется на основе этого результата и уравнения 14.22.
Решение
1. Мы определяем магнитное поле между проводниками, применяя закон Ампера к пунктирной круговой траектории, показанной на рисунке 14.11 (b). Из-за цилиндрической симметрии B → B → постоянно вдоль пути, и ∮B → · dl → = B (2πr) = μ0I.∮B → · dl → = B (2πr) = μ0I. Это дает нам В области за пределами кабеля аналогичное применение закона Ампера показывает, что B = 0B = 0, поскольку чистый ток не пересекает область, ограниченную круговым путем, где r> R2.г> R2. Этот аргумент также верен, когда r r , внешним радиусом r + dr, r + dr и длиной l (см. часть (c) рисунка), равна um = μ0I28π2r2.um = μ0I28π2r2. Таким образом, полная энергия магнитного поля на длине l кабеля составляет U = ∫R1R2dU = ∫R1R2μ0I28π2r2 (2πrl) dr = μ0I2l4πlnR2R1, U = ∫R1R2dU = ∫R1R2μ0I28π2r2 (2πrl) dr = μ0I2l4πlnR2R1, а энергия на единицу длины равна (μ0I2 / 4π) ln (R2 / R1) (μ0I2 / 4π) ln (R2 / R1).
2. Из уравнения 14.22, где L — самоиндукция длины l коаксиального кабеля. Приравнивая предыдущие два уравнения, мы находим, что самоиндукция на единицу длины кабеля равна Ll = μ02πlnR2R1.Ll = μ02πlnR2R1.
Значение
Индуктивность на единицу длины зависит только от внутреннего и внешнего радиусов, как видно из результата. Чтобы увеличить индуктивность, мы могли либо увеличить внешний радиус (R2) (R2), либо уменьшить внутренний радиус (R1) (R1).В пределе, когда два радиуса становятся равными, индуктивность стремится к нулю. В этом пределе нет коаксиального кабеля. Кроме того, магнитная энергия на единицу длины из части (а) пропорциональна квадрату тока.
Проверьте свое понимание 14,6
Сколько энергии сохраняется в катушке индуктивности из примера 14.2 после того, как ток достигает максимального значения?
.
No related posts.

Разное