+7 495 120-13-73 | 8 800 500-97-74

(для регионов бесплатно)

Содержание

Индукция магнитного поля, теория и примеры

Индукция магнитного поля (магнитная индукция, вектор магнитной индукции) () – это одна из основных физических векторных величины, которые характеризуют магнитное поле. Это силовая характеристика данного поля, отображающая действие поля на заряженную частицу в рассматриваемой точке пространства.

Определения индукции магнитного поля

Индукцию магнитного поля можно определить разными способами: понятие вращающего момента рамки с магнитным моментом, используя закон Ампера, силу Лоренца.

1) Модуль вектора индукции магнитного поля в конкретной точке однородного магнитного поля определен максимальным вращающим моментом (), который действует на рамку, обладающую магнитным моментом (), равным единице,, если нормаль к рамке ориентирована перпендикулярно направлению поля:

   

2) Величина индукции магнитного поля равна пределу отношения силы (dF), с которой действует магнитное поле на элементарный проводник с током, к силе тока (I) умноженной на длину этого проводника (dl), при длине проводника стремящейся к нулю. При этом проводник имеет такое расположение в магнитном поле, что данный предел имеет максимальное значение:

   

направлен перпендикулярно элементу dl, и направлению силы Ампера. Если смотреть из конца , то вращение по кратчайшему расстоянию от направления силы Ампера к направлению силы тока в проводнике должно происходить против часовой стрелки.

3) Исходя из определения силы Лоренца (), величину вектора магнитной индукции найдем как:

   

где q – заряд частицы, движущейся в магнитном поле; v – скорость движения частицы; – угол между направлением скорости частицы и вектором поля. Направления силы Лоренца, векторов скорости и магнитной индукции связаны между собой правилом левой руки. Если левую руку расположить так, что в нее входит , четыре вытянутых пальца направить по то отогнутый на 90o большой палец укажет направление силы, с которой магнитное поле действует на положительно заряженную частицу.

Для однородного изотропного магнетика, заполняющего пространство, вектор магнитной в веществе () и вектор индукции в вакууме(, при одинаковых условиях, связаны формулой:

   

где – относительная магнитная проницаемость вещества.

Суперпозиция магнитных полей

Для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции: если присутствует магнитных, то индукция результирующего поля равна векторной сумме отдельных индукций:

   

Примеры решения задач

связь магнитного потока и ВМИ

Один из параметров магнитного поля – его силовая характеристика. Она обозначает, с какой силой поле влияет на движущиеся в нём заряженные частицы. Это значение из разряда векторных величин, носит название магнитная индукция B→.

Индукция B→ проводника с током и соленоида

Физический смысл магнитной индукции (МИ)

Возможность действовать на предмет магнитным полем (МП) определяет сущность настоящей индукции. Она появляется в момент перемещения в катушке индуктивности магнита постоянной природы. Результатом такого движения является появление тока, с одновременным увеличением магнитного потока. Поскольку обмотка у катушки металлическая, а структура металла – кристаллическая решётка, то можно объяснить физические свойства этого явления.

Электроны, находящиеся в этой решётке, при отсутствии магнитного воздействия находятся в покое. Движения никакого нет. Оно начинается в тот момент, когда электроны попадают под воздействие переменного МП (поле изменяется при перемещении постоянного магнита).

Значение возникающего в катушке тока зависит от диаметра жилы и количества витков, физических характеристик магнита и скорости его движения.

Единица размерности в системе Си рассматриваемой характеристики – тесла. Она обозначается буквами Тл.

Важно! Электроны в решётке, после попадания катушки в МП, разворачиваются под некоторым углом и выстраиваются вдоль силовых линий МП. Количество ориентированных частиц и однородность их размещения зависимы от величины поля.

Вектор  – это вектор индукции магнитного поля (градиентный параметр МП).

Вектор магнитной индукции

Направление вектора МИ

Направление магнитных полей может указать стрелка магнита, помещаемая в эти поля. Она будет крутиться до тех пор, пока не остановится. Северный конец стрелки покажет, куда ориентирован B→ орт того или иного поля.

Таким же образом ведёт себя рамка с током, имеющая возможность без помех ориентироваться в МП. Направленность вектора индукции указывает ориентацию нормали к такому замкнутому электромагнитному контуру.

Внимание! Здесь используют правило буравчика (правого винта). Если винт вращать так, как направлен ток в рамке, то поступательное продвижение винта совпадёт с направлением положительной нормали.

В некоторых случаях, чтобы найти направление, применяют правило правой руки.

Определение направления B→

Наглядное отображение линий МИ

Линию, к которой можно провести касательную, совпадающую с B→, называют линией магнитной индукции (МИ). С помощью таких линий можно визуально отобразить магнитное поле. Это сомкнутые контурные чёрточки, которые охватывают токи. Их густота всегда пропорциональна величине B→ в конкретной точке МП.

Информация. Когда имеют дело с МП прямого движения заряженных частиц, то эти линии изображаются в виде концентрических окружностей. Они имеют свой центр, расположенный на прямой линии с током, и находятся в плоскостях, расположенных под прямым углом к нему.

С направлением магнитных линий также можно определиться, пользуясь правилом буравчика.

Графическое обозначение линий МИ

Модуль вектора магнитной индукции

Чтобы определить величину вектора МИ, нужно узнать его модуль. Как определяется модуль вектора магнитной индукции (градиент)? Это можно понять на примере небольшой модели. Если поместить в поле подковообразного магнита горизонтально подвешенный проводник, то МП магнита будет действовать только на участок, расположенный в междуполюсном промежутке. Сила F→, действующая на этот участок, будет направлена под прямым углом к линиям индукции и самому проводнику. Она достигает своего максимума, когда орт МИ располагается перпендикулярно проводнику.

Значение модуля B→ будет равно отношению максимального значения этой силы F к произведению длины отрезка ∆L на силу движения зарядов (

I), а именно:

B = Fm/I*∆L.

Электрическая модель для определения модуля B→

Основные формулы для вычисления вектора МИ

Вектор магнитной индукции, формула которого B = Fm/I*∆L, можно находить, применяя другие математические вычисления.

Закон Био-Савара-Лапласа

Описывает правила нахождения B→ магнитного поля, которое создаёт постоянный электроток. Это экспериментально установленная закономерность. Био и Савар в 1820 году выявили её на практике, Лапласу удалось сформулировать. Этот закон является основополагающим в магнитостатике. При практическом опыте рассматривался неподвижный провод с малым сечением, через который пропускали электроток. Для изучения выбирался малый участок провода, который характеризовался вектором dl. Его модуль соответствовал длине рассматриваемого участка, а направление совпадало с направлением тока.

Интересно. Лаплас Пьер Симон предложил считать током даже движение одного электрона и на этом утверждении, с помощью данного закона, доказал возможность определения МП продвигающегося точечного заряда.

Согласно этому физическому правилу, каждый сегмент dl проводника, по которому протекает электрический ток I, образовывает в пространстве вокруг себя на промежутке r и под углом α магнитное поле dB:

dB = µ0 *I*dl*sin α /4*π*r2,

где:

  • dB – магнитная индукция, Тл;
  • µ0 = 4 π*10-7 – магнитная постоянная, Гн/м;
  • I – сила тока, А;
  • dl – отрезок проводника, м;
  • r – расстояние до точки нахождения магнитной индукции, м;
  • α – угол, образованный r и вектором dl.

Важно! Согласно закону Био-Савара-Лапласа, суммируя векторы магнитных полей отдельных секторов, можно определить МП нужного тока. Оно будет равно векторной сумме.

Закон Био-Савара-Лапласа

Существуют формулы, описывающие этот закон для отдельных случаев МП:

  • поля прямого перемещения электронов;
  • поля кругового движения заряженных частиц.

Формула для МП первого типа имеет вид:

В = µ* µ0*2*I/4*π*r.

Для кругового движения она выглядит так:

В = µ*µ0*I/4*π*r.

В этих формулах µ – это магнитная проницаемость среды (относительная).

Рассматриваемый закон вытекает из уравнений Максвелла. Максвелл вывел два уравнения для МП, случай, где электрическое поле постоянно, как раз рассматривают Био и Савар.

Принцип суперпозиции

Для МП существует принцип, согласно которому общий вектор магнитной индукции в определённой точке равен векторной сумме всех векторов МИ, созданных разными токами в данной точке:

B→= B1→+ B2→+ B3→… + Bn→

Принцип суперпозиции

Теорема о циркуляции

Изначально в 1826 году Андре Ампер сформулировал данную теорему. Он разобрал случай с постоянными электрическими полями, его теорема применима к магнитостатике. Теорема гласит: циркуляция МП постоянного электричества по любому контуру соразмерна сумме сил всех токов, которые пронизывают этот контур.

Стоит знать! Тридцать пять лет спустя Д. Максвелл обобщил это утверждение, проведя параллели с гидродинамикой.

Другое название теоремы – закон Ампера, описывающий циркуляцию МП.

Математически теорема записывается следующим образом.

Математическая формула теоремы о циркуляции

где:

  • B→– вектор магнитной индукции;
  • j→ – плотность движения электронов.

Это интегральная форма записи теоремы. Здесь в левой части интегрируют по некоторому замкнутому контуру, в правой части – по натянутой поверхности на полученный контур.

Магнитный поток

Одна из физических величин, характеризующих уровень МП, пересекающего любую поверхность, – магнитный поток. Обозначается буквой φ и имеет единицу измерения вебер (Вб). Эта единица характерна для системы СИ. В  СГС магнитный поток измеряется в максвеллах (Мкс):

108 Мкс = 1 Вб.

Магнитный поток φ определяет величину МП, пронизывающую определённую поверхность. Поток φ зависит от угла, под которым поле пронизывает поверхность, и силы поля.

Формула для расчёта имеет вид:

φ = |B*S| = B*S*cosα,

где:

  • В – скалярная величина градиента магнитной индукции;
  • S – площадь пересекаемой поверхности;
  • α – угол, образованный потоком Ф и перпендикуляром к поверхности (нормалью).

Внимание! Поток Ф будет наибольшим, когда B→ совпадёт с нормалью по направлению (угол α = 00). Аналогично Ф = 0, когда он проходит параллельно нормали (угол α = 900).

Магнитный поток

Вектор магнитной индукции, или магнитная индукция, указывает направление поля. Применяя простые методы: правило буравчика, свободно ориентирующуюся магнитную стрелку или контур с током в магнитном поле, можно определить направление действия этого поля.

Видео

Электричество и магнетизм

Посмотрим, как обстоит дело с аналогичной величиной для магнитного поля. Возьмем замкнутый контур, охватывающий прямой ток, и вычислим для него циркуляцию вектора В, то есть

 

Как было получено выше, магнитная индукция, создаваемая прямолинейным проводником с током на расстоянии R от проводника, равна

Рассмотрим случай, когда контур, охватывающий прямой ток, лежит в плоскости, перпендикулярной току, и представляет собой окружность радиусом R с центром на проводнике. В этом случае циркуляция вектора В  по этой окружности равна

                   

(6.29)

откуда

                

(6.30)

Можно показать, что результат для циркуляции вектора магнитной индукции не меняется при непрерывной деформации контура, если при этой деформации контур не пересекает линий тока. Тогда в силу принципа суперпозиции циркуляция вектора магнитной индукции по пути, охватывающем несколько токов, пропорциональна их алгебраической сумме (рис. 6.30)

                        

(6.31)

Рис. 6.30. Замкнутый контур (L) с заданным направлением обхода.
Изображены токи I1, I2 и I3, создающие магнитное поле.
Вклад в циркуляцию магнитного поля вдоль контура (L) дают только токи  I2 и I3

Если выбранный контур не охватывает токов, то циркуляция  по нему равна нулю. 

При вычислении алгебраической суммы токов следует учитывать знак тока: положительным будем считать ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта. Например, вклад тока I2 в циркуляцию — отрицательный, а вклад тока I3 — положительный (рис. 6.18). Воспользовавшись соотношением

между силой тока I через любую замкнутую поверхность S и плотностью тока , для циркуляции вектора В можно записать

                           

(6.32)

где S — любая замкнутая поверхность, опирающаяся на данный контур L

Итак,  

 Циркуляция магнитной индукции отлична от нуля, если контур, по которому она берется, охватывает ток. 

 

Такие поля называются вихревыми. Поэтому для магнитного поля нельзя ввести потенциал, как это было сделано для электрического поля точечных зарядов. Наиболее наглядно разницу потенциального и вихревого полей можно представить по картине силовых линий. Силовые линии электростатического поля похожи на ежей: они начинаются и кончаются на зарядах (либо уходят в бесконечность). Силовые линии магнитного поля никогда не напоминают «ежей»: они всегда замкнуты и охватывают текущие токи. 

Для иллюстрации применения теоремы о циркуляции найдем другим методом уже известное нам магнитное поле бесконечного соленоида. Возьмем прямоугольный контур 1-2-3-4 (рис. 6.31) и вычислим циркуляцию вектора В по этому контуру

(6.33)

Рис. 6.31. Применение теоремы о циркуляции В к определению магнитного поля соленоида 

Второй и четвертый интегралы равны нулю в силу перпендикулярности векторов  и . Третий интеграл можно положить равным нулю, ввиду малости магнитного поля вне соленоида. Поэтому

             

(6.34)

Рассмотренный контур охватывает суммарный ток nlI, где n — число витков соленоида, приходящееся на единицу длины, I — сила тока в соленоиде. Следовательно,

или

 

                

(6.35)

Мы воспроизвели результат (6.20) без интегрирования магнитных полей от отдельных витков. 

Полученный результат (6.35) можно использовать для нахождения магнитного поля тонкого тороидального соленоида (рис.6.32).  

 

Рис. 6.32. Тороидальная катушка: линии магнитной индукции замыкаются внутри катушки и представляют собой концентрические окружности. Они направлены так, что глядя вдоль них, мы увидели бы ток в витках, циркулирующим по часовой стрелке. Одна из линий индукции некоторого радиуса r1 ≤ r < r2 изображена на рисунке

 

Дополнительная информация 

http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/pioneers/weber.html — Вильгельм Вебер (1804–1891).

Магнитная индукция — Основы электроники

Магнитная индукция это способность влиять магнитным полем  на объект.

При помещении в катушку железного стержня (сердеч­ника) ее магнитный поток увеличивается во много раз. Объ­ясняется это следующим. Железо имеет кристаллическое строе­ние. Отдельные кристаллы железа, вследствие того, что внутри их происходит круговое движение электронов, т. е. существуют электрические токи, обладают свойствами маленьких магни­тиков. В обычном состоянии эти молекулярные магнитики рас­положены в беспорядке. Магнитные поля их взаимно нейтра­лизуются, и поэтому кусок железа в целом не проявляет маг­нитных свойств. Схематически это изображено на рисунке 1. Отдельные молекулярные кристаллики изображены в виде ма­леньких магнитиков.

Рисунок 1. Беспорядочное расположение малекулярных кристалликов в обыном состоянии железа.

При помещении железа в магнитное поле молекулярные магнитики подобно магнитной стрелке компаса поворачиваются на некоторый угол и устанавливаются вдоль силовых линий магнитного поля. Чем сильное магнитное поле, тем большее число молекулярных магнитиков поворачивается и тем одно­роднее становится их расположение. Поля одинаково ориен­тированных магнитов не нейтрализуют уже друг друга, а на­оборот, складываются, создавая дополнительные силовые линии.

Магнитный поток, создаваемый элементарными магнити­ками железа, во много раз больше основного магнитного по­тока, создаваемого катушкой; именно поэтому магнитный поток катушки при помещении в нее железного сердечника увеличивается во много раз.

Если постепенно увеличивать ток, протекающий по виткам катушки, то магнитный поток в железном сердечнике будет увеличиваться до тех пор, пока все молекулярные магнитики не повернутся точно по направлению силовых линий магнит­ного поля (рисунок 2). После этого возрастание магнитного по­тока за счет железа прекратится. Это состояние железного сердечника называется магнитным насыщением.

Рисунок 2. В магнитном поле кристаллики направлены вдоль магнитных силовых линий.

Способностью увеличивать магнитный поток катушки об­ладают кроме железа и другие металлы (кобальт и никель), но у них эта способность выражена значительно слабее, чем у железа.

Очень сильными магнитными свойствами обладают также некоторые специальные сплавы. В радиотехнике эти сплавы применяются для изготовления постоянных магнитов для ди­намиков и магнетронов.

Число, показывающее, во сколько раз увеличивается маг­нитный поток соленоида при введении в него сердечника из какого-нибудь материала, называется магнитной проницае­мостью данного материала и обозначается буквой µ

Магнитная проницаемость некоторых сортов железа и спе­циальных сплавов достигает нескольких сотен тысяч. Для боль­шинства же материалов она близка к единице.

Произведение из напряженности магнитного поля Н на проницаемость материала µ называется магнитной индук­цией В.

Таким образом

B = µ *H.

Магнитная индукция определяет количество силовых линий в данном материале, проходящих через 1 см2 поперечного се­чения материала.

После прекращения тока в катушке сердечник, если он сделан из мягкого железа, теряет свои магнитные свойства, потому что молекулярные магнитики снова располагаются бес­порядочно. Если же сердечник стальной, то он сохраняет при­обретенные магнитные свойства и после прекращения действия на него магнитного поля катушки. Объясняется это тем, что в стали молекулярные магнитики сохраняют свое упорядочен­ное расположение и после прекращения тока в катушке.

Катушка с железным сердечником называется электромаг­нитом, так как ее магнитные свойства обусловлены электриче­ским током.

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Похожие материалы:

Добавить комментарий

Магнитная индукция и магнитные поток

Напряженность магнитного поля не является основной величиной, характеризующей магнитное поле, хотя определение напряжённости действительно для расчёта катушек без магнитопровода.

Для катушки с магнитопроводом основной величиной характеризующей магнитное поле, является магнитная индукция В. Это векторная величина, т.е. она (как и напряженность) задаётся численным значением и направлением в пространстве. Магнитная индукция определяется по силе, действующей на движущуюся заряженную частицу. При изображении картины магнитного поля при помощи магнитных линий, их рисуют гуще в той части поля, где больше индукция.

Единицей измерения магнитной индукции является тесла (Тл). Ранее применялась другая единица измерения магнитной индукции – гаусс (Гс).

Эти единицы связаны соотношением: 1Тл = 10000Гс.

Произведение магнитной индукции В на площадь S, перпендикулярную вектору магнитной индукции (магнитным линиям), называется магнитным потоком Ф. Таким образом магнитный поток:

Ф = B*S

Единицей измерения магнитного потока является вебер (Вб). При одной и той же напряжённости магнитного поля Н, в разных материалах получаются различные магнитные индукции В. Отношение В/Н называется абсолютной магнитной проницаемостью материала μа, т.е.

Абсолютная магнитная проницаемость материала μа равна произведению магнитной постоянной (магнитной проницаемости вакуума) μ0 и относительной магнитной проницаемости μr:

раоорропор

Магнитная постоянная

Гн/м (генри на метр, генри единица измерения индуктивности).

Величина μrпоказывает, во сколько раз μа материала больше, чем магнитная постоянная μ0.

В материале, магнитная проницаемость которого равна μr,

а в вакууме (практически и в воздухе)

где В выражается в теслах, а Н в А/м.

При измерении магнитной индукции в гауссах, а напряжённости магнитного поля в А/см, для магнитной индукции в воздухе получим:

У ферромагнитных материалов относительная магнитная проницаемость μr во много раз больше 1, она изменяется с изменением индукции В. Зависимость между В и Н для ферромагнитных материалов чаще изображается графиком в виде кривых намагничивания.

В практических задачах (магнитные цепи электрических машин и аппаратов) для расчёта силы тяги, ЭДС, силы притяжения и т.д. требуется определить магнитный поток Ф или индукцию В. Значение этих величин определяют по кривым намагничивания, если известна напряженность магнитного поля Н, которая, в свою очередь, задаётся магнитным напряжением или МДС.

Величина

Обозначение

Единица величины

Обозначение единицы

Расчётная формула

Напряженность магнитного поля

а. в магнитном материале

Н

Ампер на метр

А/м

Н=Iw/l

б. в вакууме (воздухе)

Магнитная сила

F

Ампер

F=wI

Магнитная индукция

В

Тесла

(Вебер на 1 м2)

Тл

(Вб/м2)

Магнитный поток

Ф

Вебер

Вб

Ф = ВS

Абсолютная магнитная проницаемость

Генри на метр

Гн/м

Задача 1.

Напряжённость магнитного поля катушки

H = 500 А/м. Какова будет магнитная индукция, если в катушку вставить магнитопровод из трансформаторной стали (на рис.), относительная магнитная проницаемость которой μr= 2400.

Решение

B = μа*Н = μоr*Н = 4*π*10-7*2400*500 = 1.5 Тл

Задача 2.

Для трансформаторной стали, содержащей 4% Si, магнитная индукция В при напряжённости магнитного поля катушки 500 А/м равна 1.19 Тл (см. кривые намагничивания на рис.). Определить абсолютную магнитную проницаемость трансформаторной стали в рабочей точке μа и относительную магнитную проницаемость μr. Напомним, что величина μr показывает во сколько раз μа материала больше, чем магнитная проницаемость

μо = 4*π*10-7.

Решение

Абсолютная магнитная проницаемость

μа = В/Н = 1.19/500

μа = μrо = 4*π*10-7r.

Отсюда

μr = μао = В/Н =1.19/(500*4*π*10-7) = 1893.9

Задача 3.

По заданным экспериментальным зависимостям В и Н для различных материалов определить коэффициенты полиномов второго порядка, наилучшим способом (по минимуму суммы квадратов ошибок) обеспечивающих аналитическое их описание (математическую модель).

Листовая сталь

Н (А/м)

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

В (Тл)

0.60

0.75

0.86

0.96

1.05

1.12

1.19

1.23

1.30

1.36

Трансформаторная сталь (4% Si)

Н (А/м)

100

200

300

400

500

600

В (Тл)

0.48

0.78

0.96

1.08

1.19

1.27

Литая сталь

Н (А/м)

100

200

300

400

500

600

В (Тл)

0.35

0.60

0.85

1.00

1.10

1.16

Решение

Для оценки коэффициентов полинома

В = a*Н2 + b*Н + С

Запишем вектор

Н = [100 150 200 250 300 350 400 450 500 550]’.2 Н ones(V(1),1)]

И образуем вектор В:

B = [0.6 0.75 0.86 0.96 1.05 1.12 1.19 1.23 1.3 1.36]’.

Выполним оценку коэффициентов

а х = А\В

С помощью файла sah575.m. В нём выполнены оценки коэффициентов квадратного полинома для листовой стали

а1 = [-0.0206 0.2952 0.3429],

для трансформаторной стали

а2 = [-0.0246 0.3239 0.2000]

и для листовой стали

а3 = [-0.0277 0.2566 0.0150].

Необходимо выполнить расчёты для каждого вида материала в режиме прямых вычислений.

/здесь приводится файл sah 375.m/

Задача 4.

Каков будет магнитный поток Ф в магнитопроводе (см. задачу 1.), если сечение магнитопровода S = 4 см²?

Решение

Магнитный поток, измеряемый в веберах (Вб), равен

Ф = В*S = 1.5*4*10-4 = 0.0006 Вб

(Тл = Вб/м²)

Задача 5.

Число витков катушки w=500. В магнитопроводе из трансформаторной стали длиной l=25 см необходимо обеспечить магнитную индукцию В=1.19 Тл. Какая м.д.с. и ток необходим для этого?

Решение

По кривой намагничивания трансформаторной стали (см. рис.) находим, что для создания В = 1.19 Тл требуется создать напряжённость магнитного поля Н = 500 А/м. При длине магнитопровода (с катушкой) l = 25 см = 0.25 м необходимая м.д.с. вычисляется по формуле

I*w = H*l = 500 А/м * 0.25 м = 125 А,

Отсюда I = I*w/w = 125/500 = 0.25 А

Задача 6.

Каковы напряжённость, индукция и магнитный поток внутри цилиндрической катушки (рис.) которая имеет длину 20 см, диаметр 3см, число витков 1600 и ток 3 А?

Решение

Напряжённость магнитного поля

Н = I*w/l = 3*1600/0.2 = 24000 А/м

Поскольку катушка без сердечника, то магнитную индукцию следует вычислять по формуле:

В = μо*Н = 4*π*10-7*2.4*104 = 3.02*10-2 Тл

Сечение катушки

S = π*d2/4 = 3.14*0.032/4 = 7.06*10-4 м².

Следовательно, магнитный поток

Ф = В*S = 3.02*10-2*7.06*10-4 = 21.3*10-6 Вб

Дополнение

Задача 1

Какое количество электричества пройдёт через лампу за 3 часа при токе 0,18А?

Решение:

Задача 2

Свинцовый аккумулятор ёмкостью 14А*ч заряжается током I зар = 1.4А. Как долго он должен заряжаться и через сколько времени он разрядится через лампы током Iраз = 0.3А?

Решение:

Зарядка: t = Q/Iзар = 14А*ч/1.4А = 10ч,

т.е. аккумулятор должен заряжаться 10ч

Разрядка: t = Q/Iраз = 14А*ч/0.3А = 47ч,

т.е. лампы горели 47ч. Через лампы прошёл ток 14А*ч, пока аккумулятор не разрядился.

Задача 3

Заряженный аккумулятор имеет ёмкость 28А*ч. 1) Какое количество электричества в кулонах содержит аккумулятор? 2) Какой ток необходим для зарядки аккумулятора за 10ч. Каким током разрядится он за 140ч.?

Решение.

  1. 1А*ч = 360 А*с = 3600Кл

28А*ч = 28*3600Кл = 100800 Кл.

  1. Iзар = Q/t = 28А*ч/10ч = 2.8А, т.е. аккумулятор зарядится за 10часов током 2.8А

  2. Iраз = Q/t = 28А*ч/140ч = 0.2А.

Задача 4

Сколько ампер-часов содержтся в 96480 кулонах (заряд Фарадея)?

1А*ч = 3600А*с = 3600Кл;

96480/3600 = 26.8 А*ч, т.е. 96489 Кл. эквивалентен 26,8 А*ч

Задачи для самостоятельного решения:

  1. Какой электрический заряд нужен от гальванического элемента, если он разряжается током 0,05А в течении 12ч.? (0,6 А*ч)

  2. Через электродвигатель при токе I проходит количество электричества Q = 7500А*с за время t = 5мин/ Чему равен ток? (30мА)

  3. Какой ток протекал по проводнику, если через его поперечное сечение за 30мин прошел заряд 54А*с? (30мА)

  4. Через аппарат проходит ток I = 20мА в течение 9мин. Определить количество электричества, которое прошло через аппарат?

  5. Аккумулятор ёмкостью 10А*ч заряжается током 4А. Как долго должен заряжаться? (10ч)

Задача 1.

Через медный проводник с площадью поперечного сечения S = 4 мм²

протекает ток I=10А. Какова плотность тока?

Решение:

Плотность тока

J = I/S = 10A/4мм² = 2.5 A/мм²

По площади 1 мм² поперечного сечения протекает ток I = 2.5A;

По всему поперечному сечению S проходит общий ток I = 10А.

По таблице проверить, допустима ли плотность тока 2.5 А/мм²?

Задача 2.

По шине разделительного устройства площадью прямоугольного поперечного сечения (20х80)мм проходит ток I = 1000A. Какова плотность тока в шине?

Решение

Площадь поперечного сечения шины S = 20х80 = 1600 мм². Плотность тока

J = I/S = 1000A/1600 мм² = 0.625A/мм²

Задача 3.

У катушки провод имеет круглое сечение диаметром 0,8мм и допускает плотность тока 2,5А/мм². Какой допустимый ток может проходить по проводу (нагрев не должен превышать допустимый)?

Решение:

Площадь поперечного сечения провода:

Допустимый ток:

Задача 4.

Допустимая плотность тока для обмотки трансформатора J = 2.5 А/мм²

Через обмотку проходит ток I = 4A. Каким должно быть поперечное сечение круглого проводника, чтобы обмотка не перегревалась?

Решение:

Площадь поперечного сечения

S=I/J=

Этому сечению соответствует диаметр провода 1.42мм.

Задача 5.

По изолированному медному проводу сечением 4 мм² проходит максимально допустимый ток 38А (см таблицу). Какая допустимая плотность тока? Чему равны допустимые плотности токов для медных проводов с площадями поперечного сечения 1, 10, 16 мм²?

Решение.

  1. Допустимая плотность тока

  1. Для сечения 1 мм² допустимая плотность тока (см табл)

  1. Для сечения 10 мм² допустимая плотность тока

  1. Для сечения 16 мм² допустимая плотность тока

Допустимая плотность тока с увеличением сечения кабеля тоже действительна для проводов с изоляцией класса В.

Задачи для самостоятельного решения.

  1. Через обмотку трансформатора должен протекать ток I = 4A. Каким должно быть сечение обмоточного провода при допустимой плотности тока J = 2.5 А/мм² (S = 1.6 мм²)

  1. По проводу диаметром 0,3 мм проходит ток 100А. Какова плотность тока (J = 1.415 А/мм²)

  1. По обмотке электромагнита из медного изолированного провода диаметром d = 2.26мм (без учёта изоляции) проходит ток 10А. Какова плотность тока? (J= 2.5 А/мм²)

Магнитная индукция. Определение и описание явления.

     Магнитная индукция (обозначается символом В) – главная характеристика магнитного поля; которая определяется силой, воздействующей на перемещающийся электрический заряд (ток) в магнитном поле, направленной в перпендикулярном направлении скорости движения. 

     Магнитная индукция определяется способностью влиять на объект с помощью магнитного поля. Эта способность проявляется при помещении металлического стержня в катушке, по которой течет электрический ток, при этом ее магнитный поток увеличивается в несколько раз. Физически это явление объясняется следующим образом. Металл имеет кристаллическую структуру. Отдельные его кристаллы, ввиду того, что внутри них происходит перемещение электронов, т. е. имеются электрические токи, характеризующиеся качеством магнитов. В обычном состоянии данные магниты расположены хаотично. Их поля под взаимным воздействием друг на друга нейтрализуются, и металл без воздействия не имеет магнитных качеств.

     При помещении металла в магнитное поле частицы оборачиваются на определенный угол и размещаются по силовым линиям магнитного поля. Чем выше сила магнитного поля, тем большее количество магнитов оборачивается, и тем более однородным будет являться их расположение. Поля магнитов, ориентированных в одном направлении, не нейтрализуют друг друга, а складываются, формируя дополнительные силовые линии.

 

     Магнитный поток, формируемый элементарными частицами металла, во много раз превосходит значение основного магнитного потока, созданного катушкой; поэтому магнитный поток катушки при помещении железного сердечника увеличивается в несколько раз.

     При постепенном увеличении электрического тока, протекающего по виткам катушки, магнитный поток в сердечнике будет также увеличиваться, пока все частицы не обернуться в направлении силовых линий магнитного поля. При этом нарастание магнитного потока прекратится. Данное состояние металлического сердечника принято называть насыщением. Качеством увеличивать магнитный поток за счет поля катушки могут многие металлы – железо, кобальт, никель, но у железа – имеет наибольшую величину. Сильными магнитными свойствами обладают также некоторые сплавы. 

     Магнитная индукция определяет числом силовых линий, проходящих через 1 см2 сечения металла. Единицей измерения магнитной индукции в системе СИ является Тесла (Тл). Магнитометры, используемые для ее измерения, называют тесламетрами.

     После прекращения движение электронов в катушке сердечник, если он выполнен из мягкого железа, теряет магнитные качества. Если он изготовлен из стали, то он имеет способность некоторое время сохранять свои магнитные свойства.

Источник

Магнитная индукция: определение простыми словами и формулы вычисления

Магнитная индукция — это силовая характеристика магнитного поля в выбранной точке пространства. Она определяет силу, с которой магнитное поле воздействует на заряженную частицу, что движется внутри него. Магнитная индукция считается фундаментальной характеристикой магнитного поля (как напряжённость для электрического поля).

Магнитная индукция описывает магнитную силу (вектор) на тестовом объекте (например, на куске железа) в каждой точке пространства. Простыми словами: если естественный магнит поднести к магнитным веществам (таким, как железо, никель, кобальт и т. д.), это вызовет в них магнитные свойства, которые называются «магнитной индукцией». Магнитная индукция используется для создания искусственных магнитов.

Магнитная индукция также называется плотностью магнитного потока.

Магнитная индукция измеряется:

  • в системе СИ единицей тесла (Тл),
  • в системе СГС единицей гаусс (Гс).

Соотношение между Тл и Гс: 1 Тл = 10 000 Гс.

Магнитная индукция — это векторная величина и обозначается буквой B со стрелочкой:

Индукция (от лат. inducere — вводить, наведение) — производство токов в цепи под действием магнита или другого тока.

Формулы вычисления магнитной индукции

Формула магнитной индукции:

Формула магнитной индукции: B = Mmax/IS

Где:

  • B — индукция магнитного поля (в Тл)
  • Mmax — максимальный крутящий момент магнитных сил, приложенных к рамке (в Нм)
  • l — длина проводника (в м)
  • S — площадь рамки (в м²)

Другие формулы, где встречается B

Эти формулы также можно использовать для её расчёта.

Сила Ампера:
Сила Ампера: Fa=IBL sinα

Где:

  • Fa — сила Ампера (в Н — ньютон)
  • I — сила тока (в А — ампер)
  • B — индукция магнитного поля (в Тл)
  • L — длина проводника (в м)
  • α — угол между вектором В и одним из направлений (силы тока, скорости или др.; измеряется в рад. или град.)
Сила Лоренца:
Сила Лоренца: Fл = qvB sinα

Где:

  • Fл — сила Лоренца (в Н — ньютон)
  • q — заряд частицы (в Кл — кулон)
  • v — скорость (в м/с)
  • B — индукция (в Тл)
  • α — угол между вектором В и одним из направлений (силы тока, скорости, или др.; измеряется в рад. или град.))
Магнитный поток:
Магнитный поток: Ф = BS cosα

Где:

  • Ф — магнитный поток (в Вб — вебер)
  • B — индукция (в Тл)
  • S — площадь рамки (в м²)
  • α — угол между вектором В и одним из направлений (силы тока, скорости, или др.; измеряется в рад. или град.))

Электромагнитная индукция и магнитная индукция: какая между ними разница?

Электромагнитная индукция — это производство электродвижущей силы, создаваемой в результате относительного движения между магнитным полем и проводником.

Магнитная индукция может производить постоянный магнит, но может и не производить.

Электромагнитная индукция создаёт ток, но таким образом, что этот созданный ток противодействует изменению магнитного поля.

В электромагнитной индукции используются магниты и электрические цепи, а в магнитной индукции используются только магниты и магнитные материалы.

Узнайте также про:

Дата обновления 01/06/2021.



Другие значения и понятия, которые могут вас заинтересовать

Измерения магнитной индукции и идентификация проницаемости магнитореологических эластомеров с использованием моделирования методом конечных элементов

Основные моменты

Подход обратного моделирования для определения проницаемости MRE.

Сравнение измерений магнитного потока с моделированием методом конечных элементов.

Определена проницаемость изотропных и анизотропных MRE с различным содержанием железа.

Результаты выгодно отличаются от теоретических прогнозов.

Простая экспериментальная установка.

Недорогой метод, который можно использовать в большинстве лабораторий механических испытаний.

Abstract

Изотропная и анизотропная магнитная проницаемость магнитореологических эластомеров (MRE) определяется с помощью простого подхода обратного моделирования. Это включает измерение плотности магнитного потока и силы притяжения, возникающей между магнитами, когда образцы MRE помещаются между магнитами.Испытания проводились с использованием изотропных MRE с концентрацией 10–40% и анизотропных MRE с объемной концентрацией частиц 10–30%. Затем были определены магнитные проницаемости с помощью обратного моделирования путем моделирования системы с использованием коммерчески доступного мультифизического программного обеспечения для конечных элементов. Как и ожидалось, эффективная проницаемость изотропных MREs оказалась скалярной; увеличивается с увеличением объемной концентрации частиц (от примерно 1,6 при 10% до 3,7 при 30% объемной концентрации).Магнитная проницаемость трансверсально-изотропного MRE сама по себе оказалась трансверсально изотропной с проницаемостями в направлении выстраивания цепочки частиц от 1,6 при 10% до 4,45 при 30%, что в 1,07–1,25 раза выше, чем в поперечных направлениях. Результаты этого исследования демонстрируют хорошее согласие с данными, опубликованными в литературе.

Ключевые слова

Магнитореологические эластомеры

Магнитная проницаемость

Композиты

Измерения с помощью гауссметра

Моделирование конечных элементов

Comsol

Рекомендуемые статьи Цитирующие статьи (0)

Авторские права © 2015 Авторы.Опубликовано Elsevier B.V.

Рекомендуемые статьи

Цитирующие статьи

Как определить направление магнитного поля

Как определить направление магнитного поля

Магнитное поле токоведущего провода

1. Прямой провод:
Это означает, что когда ток течет по прямому проводу, создаваемое магнитное поле имеет круговые силовые линии, окружающие провод, с центрами на проводе, как показано на рис.Плоскость круговых линий перпендикулярна длине проволоки. Их направление отмечено стрелками.
Рис. (А) Прямой ток, круговое магнитное поле

Люди тоже спрашивают

2. Круглая катушка:
fig, (b) Круговой ток, прямое магнитное поле
Это означает, что когда ток течет по круглому проводу (катушке), создаваемое магнитное поле имеет прямые силовые линии около центра катушки, как показано на рисунке.Параллельные линии лежат в плоскости, перпендикулярной плоскости катушки. Их направление отмечено стрелками.
Правило : Направление магнитных силовых линий связано с направлением тока правилом для большого пальца правой руки.
Правило гласит:
Согните четыре пальца правой руки на ладони, держа большой палец вытянутым под прямым углом. Большой палец прямой, а пальцы круглые.
В случае 1. большой палец представляет направление тока в прямом проводе, а скручивание пальцев представляет направление круговых магнитных силовых линий.
В случае 2. скрученные пальцы представляют направление тока в круглом проводе, а большой палец представляет направление прямых магнитных силовых линий.

Правило для большого пальца правой руки для определения направления магнитного поля.

3. Соленоид:
Определение: Соленоид — это прямой цилиндрический сердечник, на который намотано большое количество витков изолированного медного провода. Это показано на рис.
Электромагнит, по которому проходит ток, и полярность его стороны.

Формула магнитного поля

Когда электрический ток проходит по проводу, вокруг него образуется магнитное поле. Силовые линии магнитного поля образуют концентрические круги вокруг провода. Направление магнитного поля зависит от направления тока. Его можно определить с помощью «правила правой руки», указав большим пальцем правой руки в направлении тока. Направление линий магнитного поля — это направление ваших согнутых пальцев. Величина магнитного поля зависит от силы тока и расстояния от провода, несущего заряд.В формулу входит константа. Это называется проницаемостью свободного пространства и имеет значение. Единица магнитного поля — тесла, т.

.

B = величина магнитного поля (Тесла, Тл)

= проницаемость свободного пространства ()

I = величина электрического тока (Амперы, А)

r = расстояние (м)

Формула магнитного поля Вопросы:

1) Какова величина магнитного поля на расстоянии 0,10 м от провода, несущего 3.00 ток? Если у тока есть векторное направление вне страницы (или экрана), каково направление магнитного поля?

Ответ: Величину магнитного поля можно рассчитать по формуле:

Величина магнитного поля составляет 6,00 x 10 -6 Тл, что также можно записать как (микротесла).

Направление магнитного поля можно определить с помощью «правила правой руки», указав большим пальцем правой руки в направлении тока. Направление линий магнитного поля — это направление ваших согнутых пальцев. У тока есть векторное направление за пределы страницы, поэтому ваши пальцы будут сгибаться против часовой стрелки. Поэтому силовые линии магнитного поля направлены против часовой стрелки, образуя круги вокруг провода.

2) Если величина магнитного поля 2.00 м от провода составляет 10,0 нТл (нано-Тесла), какова величина электрического тока, переносимого по проводу? Если силовые линии магнитного поля образуют круги по часовой стрелке в плоскости страницы (или экрана), каково направление вектора электрического тока?

Ответ: Величину электрического тока можно рассчитать, переставив формулу магнитного поля:

Величина магнитного поля указывается в нано-Тесла. Приставка «нано» означает 10 -9 и т. Д.Таким образом, величина магнитного поля на указанном расстоянии составляет:

.

B = 10,0 нТл

Величина тока в проводе:

Величина электрического тока в проводе 0,100А.

Направление электрического тока можно определить с помощью «правила правой руки».Линии магнитного поля образуют круги по часовой стрелке в плоскости страницы, поэтому представьте, что вы сгибаете правую руку так, чтобы пальцы указывали по часовой стрелке. Для этого ваш большой палец должен указывать на страницу (или экран). Следовательно, электрический ток направлен внутрь страницы (или экрана).

Анализ магнитного потока в магнитореологическом демпфере

Магнитореологические материалы — это класс интеллектуальных веществ, реологические свойства которых можно быстро изменять с помощью магнитного поля.Предлагаемый демпфер состоит из электромагнита и поршня, погруженного в жидкость MR. Когда ток подается на электромагнит, жидкость MR затвердевает, поскольку ее предел текучести изменяется в зависимости от приложенного магнитного поля. Следовательно, создание магнитного поля является важным явлением в глушителе MR. В этом исследовании магнитное поле, создаваемое в демпфере, было проанализировано с применением метода конечных элементов в COMSOL Multiphysics и подтверждено с помощью теории магнитной цепи. Квазистатическая двумерная осесимметричная модель была разработана с использованием параметрического исследования путем изменения тока от 0 до 3 А, и было оценено изменение плотности магнитного потока, возникающее в зазоре потока жидкости MR из-за внешнего приложенного тока.Согласно аналитическим расчетам, плотность магнитного потока, генерируемая в жидкостном зазоре MR, составляла 0,64 Тесла, а при расчетах с использованием FEA генерируемая плотность магнитного потока составляла 0,61 Тесла для тока 1А. Разница в результатах моделирования и аналитических расчетах автомобильного амортизатора MR составляет 4,8% из-за учета нелинейной кривой BH в анализе методом конечных элементов по сравнению с линейным учетом зависимости BH в теории магнитной цепи.

Эта статья была обновлена ​​7 июня 2021 года, чтобы добавить к рисункам строки разрешений.

Номенклатура

Зазор 9022 Lp 9022 9022 9022 9022 9022 9022 9022 9022 9022 9022 9022 9022 6 Rc
A Векторное потенциальное поле
Ai Площадь колец
B Плотность магнитного потока
Интенсивность магнитного потока
I Ток, приложенный к катушке
Je Плотность тока
Li Длина звеньев
Lp Длина полюса Длина поршня
MR Магнитореологическая жидкость
MRF Магнитореологическая жидкость
Mt Магнитное сопротивление
Наружный радиус поршня
Внутренний радиус поршня
т Толщина стенки цилиндра
Wc Ширина змеевика
Скорость деформации сдвига
Относительная проницаемость вакуума
Кажущаяся вязкость жидкости
τ Напряжение сдвига жидкости
Предел текучести жидкости
σ Электропроводность
ϕ Магнитный поток

Одной из самых последних и многообещающих технологий в конструкции глушителей транспортных средств является использование магнитореологических (MR) жидкостей.Эти интеллектуальные жидкости обладают способностью непрерывно и быстро изменять свое реологическое поведение (вязкость) под действием приложенного магнитного поля [1, 2]. Благодаря этим уникальным характеристикам амортизаторы на основе MR могут полуактивно обеспечивать переменную демпфирующую силу за счет изменения приложенного магнитного поля (переменного тока), таким образом, они могут контролировать вибрацию в широком диапазоне дорожных условий. Магнитореологическая жидкость (MRF) состоит из суспензии микроскопических намагничивающихся частиц в немагнитной несущей среде, жидкость ведет себя ньютоновским образом (рисунок 1 (a)) [3].Приложение магнитного поля приводит к тому, что микроскопические частицы, взвешенные в жидкости, становятся однородно ориентированными и образуют цепочки вдоль линий магнитного потока (рисунок 1 (b)) [3]. Эта временная внутренняя структура изменяет реологическое поведение флюидов [4]. Когда поток происходит перпендикулярно линиям магнитного потока, сопротивление цепочек микрочастиц заставляет жидкость проявлять неравномерный предел текучести. Таким образом, когда магнитное поле прикладывается к MRF в жидкостном зазоре, который имеет силовые линии из-за электромагнитного контура, жидкость ведет себя аналогично пластику Бингема [5].

Увеличить Уменьшить Сбросить размер изображения

Рисунок 1. Пример ориентации частиц при отсутствии (а) и наличии (б) магнитного поля в пространстве жидкости [3].

Загрузить рисунок:

Стандартный образ Изображение высокого разрешения

В последнее время некоторые исследования были сосредоточены на анализе методом конечных элементов демпфера MR для расчета плотности магнитного потока и геометрической оптимизации.Parlak и др. [6] предложили параметры конструкции на основе метода оптимизации и использовали магнитостатику и CFD в инструменте анализа конечных элементов ANSYS для получения оптимального значения параметров конструкции. Чжан и др. [7] предложили использовать конечные элементы для улучшения магнитной конструкции глушителя MR. Фердаус и др. [8] создали двухмерную осесимметричную и трехмерную модели амортизатора MR, в которых учитывалась не только форма поршня, жидкостный зазор MR, воздушный зазор, но и толщина корпуса амортизатора.Метод конечных элементов (МКЭ) также использовался при моделировании и проектировании клапанов MR и демпферов [9]. Guo и др. [10] провели анализ методом конечных элементов клапана MR с помощью ANSYS и создали магнитную цепь с помощью С-образного электромагнита. Хан и др. [11] и Валид [9] проанализировали плотность магнитного потока в 2D-осесимметричной модели с использованием ANSYS и получили результаты для четырех различных конструкций поршней, прежде чем определить лучшую конструкцию поршня для максимальной плотности потока.Case и др. [12] провели мультифизический анализ магнитно-резонансного демпфера для медицинских ортезов, а затем сгенерировали плотность магнитного потока в магнитно-резонансном демпфере с приложенным током от 0 мА до 500 мА с помощью COMSOL Multiphysics.

Ранее для моделирования амортизатора MR использовалось программное обеспечение ANSYS, но свойства жидкости MR не могут быть точно смоделированы с помощью ANSYS. Поэтому для моделирования MR Fluid с точным учетом кривых BH и изменения предела текучести в зависимости от магнитного поля в этом исследовании использовалось программное обеспечение COMSOL multiphysics.В отличие от существующего магнитостатического анализа, в данном исследовании представлены новые методы магнитостатики демпфера MR и их валидация с использованием теории магнитной цепи.

Рассеяние энергии за счет изменения объема является основным принципом действия заслонок. В обычных амортизаторах рассеяние энергии из-за дорожных волнений является функцией изменения объемного расхода, вызванного конструкцией отверстия поршня амортизатора и вязкостью жидкости. Этот принцип работы означает, что обычный демпфер является демпфером постоянного рассеяния энергии.Магнитореологические демпферы обладают способностью изменять вязкость жидкости из-за магнитного возбуждения, обеспечиваемого рабочей жидкости [13, 14]. Увеличение возбуждения приводит как к увеличению магнитного потока через жидкость, так и к увеличению сопротивления потоку жидкости, что в конечном итоге приводит к увеличению рассеивания энергии за цикл.

Хотя все амортизаторы MR работают по одному и тому же принципу, их изготовление может быть разным. По принципу конструкции используемые амортизаторы MR подразделяются на двухтрубные, однотрубные или двухсторонние.У каждого типа есть свои преимущества и недостатки. Двухсторонний амортизатор MR состоит из двух поршневых штоков, выступающих через оба конца амортизаторов, что в основном подходит для ударных нагрузок. Не требует аккумулятора. Эти демпферы использовались в приложениях для отдачи оружия [15], в приложениях для велосипедов [16]. Двухтрубные демпферы наиболее просты в изготовлении и работают при самых низких давлениях, что снижает общие производственные и эксплуатационные расходы, но может вызвать кавитацию, поскольку масляные и газовые камеры не разделены, что снижает производительность.С другой стороны, однотрубные демпферы работают при самых высоких давлениях, что приводит к наименьшей кавитации и наиболее эффективной работе демпфера. Хотя эти демпферы дороги в производстве, их легко установить и они меньше по размеру. Следовательно, лучшим выбором для автомобильного демпфера с точки зрения конструкции является однотрубный глушитель MR, который использовался в этом исследовании [17]. Базовая конструкция однотрубного MR показана на рисунке 2.

Увеличить Уменьшить Сбросить размер изображения

Рисунок 2. Конструкция однотрубного демпфера MR [18].

Загрузить рисунок:

Стандартный образ Изображение высокого разрешения

Демпфер MR состоит из корпуса основного демпфера, поршня и поршневого штока в сборе и аккумулятора. Поршень намотан многовитковой катушкой, которая является основным источником магнитного потока. Шток поршня, поршень и цилиндр анализируются с использованием магнитного материала, через который ток проходит в катушку, замыкая электромагнитную цепь в демпфере и создавая магнитный поток [19].Основной резервуар содержит поршень и узел штока поршня, погруженные в жидкость MR, а резервуар-накопитель содержит сжатый неокисляющий газ (обычно азот). Когда шток поршня перемещается в корпус демпфера, объем жидкости, эквивалентный объему вторгающегося шток поршня, перемещается через кольцевой зазор жидкости. Затем поршень гидроаккумулятора перемещается к нижней части демпфера, сжимая заряд азота, чтобы учесть изменение объема. Когда шток поршня втягивается, поршень гидроаккумулятора поднимает демпферную трубку, чтобы противодействовать потере объема.Трехмерная геометрия демпфера MR создается с помощью программного обеспечения CREO, показанного на рисунке 3.

Увеличить Уменьшить Сбросить размер изображения

Рисунок 3. 3D-дизайн глушителя MR, созданный в программе CREO.

Загрузить рисунок:

Стандартный образ Изображение высокого разрешения

Хорошо известно, что моделирование систем на основе MRF — это задача мультифизического анализа: основанная как на электромагнитном анализе, так и на анализе жидкостных систем.Чтобы облегчить глубину этого исследования, единственным фокусом был электромагнитный анализ. Целью такого моделирования было найти связь между приложенной электрической мощностью (обычно током, подаваемым на катушки) и выходной плотностью магнитного потока и интенсивностью, которая изменяет предел текучести жидкости. Чтобы точно и эффективно смоделировать глушитель MR, сначала была рассчитана магнитная цепь этого глушителя с использованием закона Ампера, указанного в уравнении (1) [20]

Уравнение (1) переписывается, как указано в уравнении (2)

Головка клапана поршня показана на рисунке 4.Магнитный поток создается из-за тока и количества витков катушки. Магнитное поле заставляет магнитный поток следовать по пути наименьшего магнитного сопротивления, как показано на рисунке 5. На нем показана магнитная цепь в головке поршня амортизатора MR, где магнитный поток генерируется в головке поршня и жидкости MR. Магнитное сопротивление возникает последовательно и представлено следующим уравнением (3)

Увеличить Уменьшить Сбросить размер изображения

Рисунок 4. Магнитопровод поршневой головки демпфера MR.

Загрузить рисунок:

Стандартный образ Изображение высокого разрешения

Увеличить Уменьшить Сбросить размер изображения

Рисунок 5. Магнитное сопротивление звеньев магнитопровода.

Загрузить рисунок:

Стандартный образ Изображение высокого разрешения

L i — длина звеньев, показанная на рисунке 4, мкм i — относительная проницаемость материала, мкм 2,6 — 5.5, μ 1,3,5,7,8 [21] — 1600 из MR Fluid и низкоуглеродистой стали соответственно.

Сопротивление цепи зависит от длины, проницаемости и площади звена. Магнитное сопротивление и цепь показаны на рисунке 5. Таким образом, чем больше площадь и проницаемость звена и меньше сопротивление, тем больший магнитный поток генерировался в цепи, приведенной в уравнении (4)

, где ϕ — магнитное поле. Flux

Длина звеньев для расчета магнитного потока дана в уравнениях (5) — (8) [22], которые показаны на рисунке 4.

А площади поперечного сечения звеньев указаны в уравнениях (9) — (13)

Параметры, используемые для расчета магнитного потока с использованием FEA и теории магнитных цепей, приведены в таблице 1.Используя приведенные выше уравнения, было рассчитано полное магнитное сопротивление в цепи, и плотность магнитного потока в жидкостном зазоре MR приведена в уравнении (14)

Таблица 1. Параметры, используемые для расчета магнитного потока.

9022 9022 мм 9022 Длина полюса c 9022 10 мм
Параметр Выражение Значение
Радиус поршня R 21 мм
Lp 8 мм
Наружная толщина поршня t 8 мм
Длина головки поршня L 50 мм
Гидравлический кольцевой зазор г 1.3 мм

Где μ 0 — относительная проницаемость вакуума —

В ферромагнитном материале плотность магнитного потока B представляет собой величину напряженности внутреннего поля в веществе, которое подвергается воздействию H-поля [23], заданное в уравнении (15)

Таким образом, интенсивность магнитного потока также может быть рассчитана с использованием приведенное выше соотношение, приведенное в уравнении (15) для жидкостного зазора MR. Для аналитических расчетов использовалась эта линейная зависимость намагниченности.

Конструкция магнитной цепи, которая вызывает изменение предела текучести жидкости MR, является одним из наиболее важных явлений, поскольку реология (вязкость) жидкости MR зависит от предела текучести жидкости. Путем применения метода аппроксимации кривой наименьших квадратов [24] к характеристикам свойств жидкости MRF 132DG предел текучести был определен по уравнению (16)

Это соотношение предела текучести и вязкости было объяснено с использованием пластической модели Бингама. которое задано в уравнениях (17) и (18)

Когда τ > τ y и

Когда τ < τ y

Приведенные выше уравнения утверждают, что жидкость действует как твердое тело, когда магнитное поле применяется в зазоре жидкости ниже динамического предела текучести, который отвечает за демпфирование.

В текущем исследовании использовался коммерческий инструмент FEM COMSOL Multiphysics путем добавления модуля CFD и модуля AC / DC для анализа магнитной цепи, создаваемой в демпфере MR [25], поскольку нелинейные свойства жидкости MR можно моделировать. точно в COMSOL multiphysics. Поскольку геометрия конструкции демпфера была осесимметричной, для снижения вычислительных затрат была использована двухмерная осесимметричная модель, показанная на рисунках 6 (а) и (b), для разработки конечно-элементного моделирования демпфера с целью электромагнитного анализа.Плотность магнитного потока (B) в жидкости MR при приложенном переменном токе 0–3 A определялась с использованием закона Ампера.

Увеличить Уменьшить Сбросить размер изображения

Рисунок 6. Двухмерная осесимметричная FE-модель амортизатора MR (a), увеличенный вид (b), нанесенная сетка амортизатора (c).

Загрузить рисунок:

Стандартный образ Изображение высокого разрешения

Прямоугольное тело было создано вокруг демпфера, который представляет воздух, который действует как магнитный изолятор.Двухмерная осесимметричная геометрия, созданная в COMSOL, показана на рисунках 6 (a) и (b). Картированная сетка была создана, как показано на рисунке 6 (c). Эта модель была протестирована для определения плотности магнитного потока, генерируемого в жидкостном зазоре из-за изменения тока в электромагнитной катушке. В данном исследовании использовалась жидкость MRF 132DG из-за более широкого диапазона рабочих температур жидкости. Свойства жидкости MR приведены в таблице 2 [26]. Нелинейные магнитные свойства жидкости MR — кривая BH, показанная на рисунке 7, и предел текучести в зависимости от напряженности магнитного поля этой жидкости предоставлены Lord Corporation, показанными на рисунке 8.Низкоуглеродистая сталь AISI 1018 предназначена для поршня, цилиндра и штока [27]. Нелинейные магнитные свойства низкоуглеродистой стали доступны в библиотеке материалов COMSOL. Медный материал использовался для моделирования многооборотной катушки с числом витков 350. Он был реализован как индуктор напряженности магнитного поля и для упрощения был представлен в виде сосредоточенной модели.

Увеличить Уменьшить Сбросить размер изображения

Рисунок 7. Типичные магнитные свойства MRF 132DG фирмы Lord. Воспроизведено с разрешения из [28]. © 2011 LORD Corporation.

Загрузить рисунок:

Стандартный образ Изображение высокого разрешения

Увеличить Уменьшить Сбросить размер изображения

Рис. 8. Типичные магнитные свойства MRF 132DG от Lord Corporation. Воспроизведено с разрешения из [28]. © 2011 LORD Corporation.

Загрузить рисунок:

Стандартный образ Изображение высокого разрешения

Таблица 2. Свойства MRF 132 DG.

Свойство Значение
Вязкость Па · с при 40 ° C (104 ° F) 0,112 ± 0,02
Плотность 3

2,95–3,15

Температура вспышки, ° C (° F) > 150 (> 302)
Напряженность магнитного поля (H) 150–250 [кА / м]
Рабочая температура ° C (° F) от −40 до +130 (от −40 до +266)

Закон Ампера использовался для создания магнитного поля в модели и определяющем соотношении, используемом в жидкости MR. Низкоуглеродистая сталь была нелинейной Кривая HB.Определяющее соотношение, как в уравнении (15), использовалось в законе Ампера катушки и воздушного тела.

В модуль MF добавлено граничное условие осевой симметрии. Для изоляции модели использовалась воздушная граница. В качестве соленоида использовалась многооборотная катушка. Переменный ток (I) был определен так, чтобы давать переменный входной ток, который затем будет генерировать ток в катушке. Моделирование проводилось со стационарным исследованием и параметрической разверткой с использованием переменного тока от 0 А, 0,5 А, 1 А, 1,5 А, 2 А, 2,5 А для магнитостатических расчетов.Следовательно, создавалось магнитное поле, перпендикулярное катушке.

Уравнения магнитостатики являются уравнениями Максвелла, и они приведены в уравнениях (19) и (20)

Дж — плотность тока, которая задается в уравнении (21)

, в котором говорится, что магнитное поле было индуцировано из-за приложенной плотности тока J.

Для квазистатического состояния использовалось уравнение (21)

Это было получено из закона Гаусса, который был эквивалентен утверждению, что силовые линии не имеют ни начала, ни конца: каждая из них либо образует замкнутую петлю, либо вращается без конца. вполне присоединяется к себе точно или простирается до бесконечности.

Определяющее соотношение для закона Ампера между B и H для жидкости MR и низкоуглеродистой стали было определено как функция друг друга с кривой интерполяции, указанной в уравнении (23).

Je — внешняя плотность тока, подаваемая на катушку и приведенная в уравнении (24)

Магнитная изоляция была обеспечена в модели FEA с использованием уравнения (25)

Магнитостатический анализ был выполнен с использованием модели FEA в COMSOL.

Анализ магнитной цепи был выполнен с использованием МКЭ, и плотность магнитного потока, интенсивность магнитного потока и соответствующий предел текучести были получены в зазоре потока жидкости в демпфере MR.Результаты моделирования плотности и интенсивности магнитного потока для тока 1 А приведены на рисунках 9 (а) и (b), а график плотности магнитного потока относительно изменения входного тока от 0 до 3 А показан на рисунке 10. Было замечено, что как входной ток увеличивается, плотность магнитного потока и, следовательно, интенсивность пропорционально возрастают. С помощью FEM-анализа в жидкостном зазоре была создана плотность магнитного потока 0,61 Тл и плотность магнитного потока 122 кА / м. Таблица 3 включает изменение входного тока, плотности магнитного потока и интенсивности магнитного потока в зазоре для потока жидкости.Таким образом, из рисунка 8 следует, что в жидкости создается предел текучести 34 кПа. Принимая во внимание, что с использованием теории магнитной цепи была создана плотность магнитного потока 0,64 Тл, а с использованием уравнения (16) предел текучести был рассчитан как 34 кПа. Разница в 4,8 процента между двумя результатами объясняется рассмотрением нелинейной кривой BH в конечно-элементном анализе по сравнению с линейным учетом зависимости BH в теории магнитной цепи. Сделан вывод, что напряжение текучести, создаваемое в жидкости, ниже динамического напряжения текучести 50 кПа для MRF 132 DG, следовательно, вязкость жидкости увеличивается, как указано в уравнениях (17) и (18).

Увеличить Уменьшить Сбросить размер изображения

Рисунок 9. Плотность и интенсивность магнитного потока в демпфере MR.

Загрузить рисунок:

Стандартный образ Изображение высокого разрешения

Увеличить Уменьшить Сбросить размер изображения

Рис. 10. Плотность магнитного потока в зависимости от входного тока.

Загрузить рисунок:

Стандартный образ Изображение высокого разрешения

Таблица 3. Изменение плотности и интенсивности магнитного потока при изменении тока.

Норма магнитного потока (Тл) Норма магнитного поля (А / м)
0,0000 0,00000 0,00000
0,5000 0,50642 0,50642 1,0027550 1,0000 0,61757 1.2286E + 05
1.5000 0.71743 1.4273E + 05
2.0000 0.81493 1.6212E + 05
2.5000
2.5000 1.00470 1.9988E + 05

В данном исследовании было предложено сравнение результатов моделирования электромагнитной цепи и теории магнитной цепи однотрубного MR демпфера.Пакет программного обеспечения FEA COMSOL помогает реалистично отображать материалы, тип рулона, поворот рулона и граничные условия для получения точных результатов. Исследование, использованное в этом FEA, утверждает, что плотность магнитного потока линейно увеличивается с увеличением приложенного тока. Проницаемость низкоуглеродистой стали выше, чем у жидкости MR; следовательно, магнитный поток, наблюдаемый в материале поршня, больше, чем у жидкости MR. Сделан вывод, что плотность магнитного потока, интенсивность и предел текучести в жидкости MR демпфера MR, проанализированные с помощью FEA, подтверждены с использованием теории магнитной цепи.

Закон Ленца — Университетская физика, том 2

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Используйте закон Ленца для определения направления наведенной ЭДС при изменении магнитного потока
  • Используйте закон Фарадея с законом Ленца, чтобы определить наведенную ЭДС в катушке и соленоиде

Направление, в котором наведенная ЭДС движет ток по проволочной петле, можно определить через отрицательный знак.Однако обычно это направление легче определить с помощью закона Ленца, названного в честь его первооткрывателя Генриха Ленца (1804–1865). (Фарадей также открыл этот закон, независимо от Ленца.) Мы формулируем закон Ленца следующим образом:

Закон Ленца

Направление индуцированной ЭДС движет ток по проволочной петле, чтобы всегда противодействовать изменению магнитного потока, вызывающему ЭДС.

Закон Ленца также можно рассматривать с точки зрения сохранения энергии. Если толкание магнита в катушку вызывает ток, энергия в этом токе должна исходить откуда-то.Если индуцированный ток вызывает магнитное поле, противодействующее увеличению поля магнита, который мы втолкнули, тогда ситуация ясна. Мы приложили магнит к полю и поработали с системой, и это проявилось как ток. Если бы индуцированное поле не препятствовало изменению магнитного потока, магнит был бы втянут, создавая ток без каких-либо действий. Была бы создана электрическая потенциальная энергия, нарушив закон сохранения энергии.

Чтобы определить наведенную ЭДС, вы сначала вычисляете магнитный поток, а затем получаете Величину, заданную по формуле. Наконец, вы можете применить закон Ленца для определения значения.Это будет развиваться на примерах, которые иллюстрируют следующую стратегию решения проблем.

Стратегия решения проблем: закон Ленца

Чтобы использовать закон Ленца для определения направлений индуцированных магнитных полей, токов и ЭДС:

  1. Сделайте набросок ситуации для использования при визуализации и записи направлений.
  2. Определите направление приложенного магнитного поля
  3. Определите, увеличивается или уменьшается его магнитный поток.
  4. Теперь определите направление индуцированного магнитного поля. Индуцированное магнитное поле пытается усилить магнитный поток, который уменьшается, или противодействует магнитному потоку, который увеличивается. Следовательно, индуцированное магнитное поле добавляет или вычитает приложенное магнитное поле в зависимости от изменения магнитного потока.
  5. Используйте правило правой руки 2 (RHR-2; см. Магнитные силы и поля), чтобы определить направление индуцированного тока I , ответственного за индуцированное магнитное поле
  6. Направление (или полярность) наведенной ЭДС теперь может управлять обычным током в этом направлении.

Применим закон Ленца к системе (Рисунок) (а). Мы обозначаем «перед» замкнутой проводящей петли как область, содержащую приближающийся стержневой магнит, а «заднюю часть» петли как другую область. По мере того, как северный полюс магнита движется к петле, поток через петлю из-за поля магнита увеличивается, потому что напряженность силовых линий, направленных от передней части петли к задней, увеличивается. Поэтому в контуре индуцируется ток. По закону Ленца направление индуцированного тока должно быть таким, чтобы его собственное магнитное поле было направлено таким образом, чтобы противодействовать изменяющемуся потоку, вызванному полем приближающегося магнита.Следовательно, индуцированный ток циркулирует так, что силовые линии его магнитного поля через петлю направлены от задней части петли к передней. При использовании RHR-2 поместите большой палец напротив силовых линий магнитного поля, то есть к стержневому магниту. Ваши пальцы сгибаются против часовой стрелки, если смотреть со стороны стержневого магнита. В качестве альтернативы, мы можем определить направление индуцированного тока, рассматривая токовую петлю как электромагнит, который противодействует приближению северного полюса стержневого магнита.Это происходит, когда индуцированный ток течет, как показано, поскольку тогда поверхность петли ближе к приближающемуся магниту также является северным полюсом.

Изменение магнитного потока, вызванное приближением магнита, индуцирует ток в контуре. (а) Приближающийся северный полюс индуцирует ток против часовой стрелки по отношению к стержневому магниту. (b) Приближающийся южный полюс индуцирует ток по часовой стрелке относительно стержневого магнита.

На части (b) рисунка показан южный полюс магнита, движущийся к проводящей петле.В этом случае поток через петлю из-за поля магнита увеличивается, потому что количество силовых линий, направленных от задней части петли к передней, увеличивается. Чтобы противодействовать этому изменению, в петле индуцируется ток, силовые линии которого через петлю направлены спереди назад. Эквивалентно, мы можем сказать, что ток течет в направлении, так что поверхность петли ближе к приближающемуся магниту является южным полюсом, который затем отталкивает приближающийся южный полюс магнита.При использовании RHR-2 ваш большой палец направлен в сторону от стержневого магнита. Ваши пальцы сгибаются по часовой стрелке, что соответствует направлению индуцированного тока.

Другой пример, иллюстрирующий использование закона Ленца, показан на (Рисунок). Когда переключатель разомкнут, уменьшение тока через соленоид вызывает уменьшение магнитного потока через его катушки, что вызывает ЭДС в соленоиде. Эта ЭДС должна противодействовать вызывающему его изменению (прекращению тока). Следовательно, наведенная ЭДС имеет указанную полярность и движется в направлении исходного тока.Это может вызвать дугу на выводах переключателя при его размыкании.

(а) Соленоид, подключенный к источнику ЭДС. (b) Размыкающий переключатель S прекращает подачу тока, что, в свою очередь, вызывает ЭДС в соленоиде. (c) Разность потенциалов между концами заостренных стержней создается за счет индукции ЭДС в катушке. Эта разность потенциалов достаточно велика, чтобы образовалась дуга между острыми точками.

Проверьте свое понимание Найдите направление индуцированного тока в проводной петле, показанной ниже, когда магнит входит, проходит и покидает петлю.

Для показанного наблюдателя ток течет по часовой стрелке по мере приближения магнита, уменьшается до нуля, когда магнит центрируется в плоскости катушки, а затем течет против часовой стрелки, когда магнит покидает катушку.

Проверьте свое понимание Проверьте направления наведенных токов на (рисунок).

Сводка

  • Мы можем использовать закон Ленца для определения направлений индуцированных магнитных полей, токов и ЭДС.
  • Направление наведенной ЭДС всегда противодействует изменению магнитного потока, вызывающему ЭДС, результат, известный как закон Ленца.

Концептуальные вопросы

Круглые токопроводящие петли, показанные на прилагаемом рисунке, параллельны, перпендикулярны плоскости страницы и соосны. (a) Когда переключатель S замкнут, в каком направлении индуцируется ток в D ? (b) Когда переключатель разомкнут, какое направление тока индуцируется в контуре D ?

а.CW со стороны схемы; б. Против часовой стрелки, если смотреть со стороны схемы

Северный полюс магнита перемещается к медной петле, как показано ниже. Если вы смотрите на петлю сверху магнита, скажете ли вы, что индуцированный ток циркулирует по или против часовой стрелки?

На прилагаемом рисунке показано проводящее кольцо в различных положениях при его движении в магнитном поле. В чем смысл индуцированной ЭДС для каждой из этих позиций?

При входе в контур наведенная ЭДС создает ток против часовой стрелки, а при выходе из контура индуцированная ЭДС создает постоянный ток.В то время как петля полностью находится внутри магнитного поля, нет изменения потока и, следовательно, нет индуцированного тока.

Покажите, что и у вас такие же единицы.

Укажите направление индуцированного тока для каждого случая, показанного ниже, наблюдая со стороны магнита.

а. Против часовой стрелки, если смотреть со стороны магнита; б. CW, если смотреть со стороны магнита; c. CW, если смотреть со стороны магнита; d. Против часовой стрелки, если смотреть со стороны магнита; е. CW, если смотреть со стороны магнита; f. нет тока

Проблемы

Одновитковая круглая петля из проволоки радиусом 50 мм лежит в плоскости, перпендикулярной пространственно однородному магнитному полю.За интервал времени 0,10 с величина поля равномерно увеличивается от 200 до 300 мТл. (а) Определите ЭДС, наведенную в петле. (б) Если магнитное поле направлено за пределы страницы, каково направление тока, индуцируемого в петле?

а. ; б. Против часовой стрелки с той же точки зрения, что и магнитное поле

При первом включении магнитного поля поток через 20-витковую петлю изменяется со временем в зависимости от того, где он находится в милливеберах, t в секундах, а петля находится в плоскости страницы с нормальным направлением устройства наружу.(а) Какая ЭДС индуцируется в контуре как функция времени? Каково направление индуцированного тока при (b) t = 0, (c) 0,10, (d) 1,0 и (e) 2,0 с?

а. 150 А вниз через резистор; б. 46 А вверх через резистор; c. 0,019 А вниз через резистор

Используйте закон Ленца для определения направления индуцированного тока в каждом случае.

Глоссарий

Закон Ленца
направление наведенной ЭДС противодействует изменению магнитного потока, создавшего ее; это отрицательный знак в законе Фарадея

Определение магнитного поля в пограничной зоне ядро ​​– мантия негармоническим продолжением вниз | Международный геофизический журнал

Сводка

Продолжительность дня и геомагнитное поле четко коррелируют по десятилетним периодам (10–100 лет).При условии, что электропроводность нижней мантии достаточно высока, значительная часть этой корреляции может быть объяснена электромагнитной связью ядро-мантия. Изучение связанного крутящего момента взаимодействия ядра и мантии и полей скорости жидкости у поверхности ядра, а также интерпретация наблюдаемого временного лага между продолжительностью дня и вариациями геомагнитного поля требует расчета изменяющегося во времени магнитного поля вблизи и на границу ядро ​​– мантия путем решения уравнения магнитной индукции.Такое решение представляет собой продолжение поля вниз, которое имеет негармонический характер, если учесть электрическую проводимость.

В данной статье предполагается, что мантия Земли представляет собой двухслойную сферическую оболочку, внутренний слой которой является электропроводным. Мы рассматриваем только полоидальную часть магнитного поля с граничными значениями, которые обычно задаются разложением по сферической гармонике наблюдаемого поля геомагнитного потенциала на поверхности Земли. Таким образом, нас интересует односторонняя задача с поддержкой данных, аналогичная обратной задаче теплопроводности (или задаче уравнения боковой теплопроводности), хорошо известной как некорректная обратная краевая задача для параболического уравнения в частных производных (диффузия уравнение).

Мы разрабатываем процедуру решения этой обратной задачи в интегральной форме, состоящую из нескольких этапов, и используем специальный метод регуляризации для окончательного решения. Возможности этого метода продолжения вниз (который включает изменение модели мантийной проводимости, качество аппроксимации данных в регуляризации и две разные глубины) представлены и обсуждаются в сравнении с методом возмущений и обычным гармоническим продолжением вниз. Используемые ряды данных представляют собой компоненты одиночного магнитного поля (коэффициенты Гаусса) разложения сферического гармонического поля (Bloxham & Jackson 1992, J.геофизики. Res. , 97 , 19 537–19 563) с 1840 по 1990 год. Кроме того, для исследования спектральных эффектов (изменение амплитуд, фазовый сдвиг) используется искусственный ряд данных.

Основным результатом является продолжение вниз радиальной компоненты глобального (8,8) поля на границу ядро ​​– мантия, полученное разными методами и для двух эпох, 1910 и 1960 годов. Сравнение результатов с возмущением Решение выявляет переменные во времени и локально разности порядка 5000 нТл, а разница до гармонического продолжения вниз составляет 15000 нТл.

1 Введение

Для различных геофизических задач, таких как связь ядро-мантия, моделирование динамо и электромагнитная (ЭМ) индукция мантии, требуется знание геомагнитного поля внутри мантии и на границе ядро-мантия (CMB). Частной проблемой, поведение магнитного поля которой изучается в данной статье, является возбуждение декадных вариаций длины дня (ΔLOD) за счет взаимодействия электромагнитного ядра и мантии. Соответствующие крутящие моменты электромагнитной связи обычно выводятся из геомагнитного поля в электропроводящей мантии (например,грамм. Рочестер 1960 г.). Если известна проводимость мантии σ M , магнитное поле в мантии можно определить, решив уравнение индукции.

Полоидальная часть магнитного поля выводится из его значений на поверхности Земли путем обратных решений этого уравнения. С другой стороны, тороидальная часть геомагнитного поля, которая определяет важную часть электромагнитных моментов, не может наблюдаться на поверхности Земли. Однако граничные значения тороидального поля из-за адвекции поля могут быть выведены из поля скоростей жидкого внешнего ядра и полоидального геомагнитного поля в CMB (например.грамм. Стикс и Робертс 1984). Следовательно, полоидальное геомагнитное поле на CMB должно быть известно как можно точнее.

Помимо геофизических последствий рассматриваемых здесь проблем, интерес представляют математические вопросы. Определение полоидального магнитного поля в мантии требует решения параболического уравнения в частных производных, которое выводится из уравнения векторной индукции. Необходимые граничные условия связаны с магнитными наблюдениями на поверхности Земли.Если необходимо изучать поля с неограниченным временным поведением, то необходимо решать полную начально-краевую задачу. Однако определение полоидального магнитного поля не является стандартной задачей с начально-краевыми значениями, поскольку есть данные только с одной границы (поверхности Земли), а не с какой-либо внутренней поверхности, такой как CMB. Поэтому эта задача классифицируется как обратная краевая задача для параболического уравнения в частных производных. В отличие от этой проблемы, термин «прямая задача» используется, когда задается стандартная краевая задача, т.е.е. данные на обеих границах доступны.

Для расчета непотенциального поля на CMB до сих пор в основном применялись методы возмущений. Они заменяют неизвестную производную по времени заданной функцией времени. Тогда невозмущенное поле представляет собой изменяющееся во времени геомагнитное потенциальное поле, продолженное к реликтовому фону, в то время как возмущенное поле должно быть получено из уравнения индукции мантии в соответствии с заданными временными вариациями невозмущенного поля. Метод возмущений описан Брагинским и Фишманом (1977), Бентоном и Уэйлером (1983) и Стиксом и Робертсом (1984) и был применен к электромагнитному взаимодействию ядро-мантия Стиксом и Робертсом (1984), Грейнер-Май (1993) и Холм (1998).В этом методе магнитное поле преобразуется в серию полей, сходимость которых зависит от некоторых масштабных аргументов. Решение о возмущениях является полезным приближением геомагнитного поля, если оно плавно изменяется (например, в десятилетнем масштабе времени) в слабопроводящей мантии (т.е. σ M настолько низкое, что ядро ​​может быть аппроксимировано идеальным проводником) . Он еще не был протестирован на быстрые изменения поля, субдекадные периоды и пространственно мелкомасштабные магнитные поля.Здесь мы разрабатываем другой алгоритм решения, в котором геомагнитное поле не аппроксимируется рядом, и решение не зависит a priori от масштабных аргументов.

Поскольку обратная краевая задача крайне некорректна, следует учитывать теоретические и численные нестабильности. Следовательно, учитывая шум данных и их спектральную структуру, необходим выбор стратегии регуляризации, которая формирует основу для стабильной процедуры решения.На этом этапе полезна близкая аналогия этой задачи с обратной задачей теплопроводности (часто называемой уравнением боковой теплопроводности или нехарактерной задачей Коши). Бентон и Уэйлер (1983) очень подробно описали аналогию между магнитной диффузией и теплопроводностью. Для геомагнитного продолжения вниз Bloxham (1989) использовал подход стохастической инверсии. Некоторые основные подходы к этим обратным задачам (теплопроводности) и многочисленные ссылки представлены в работах Динь Нхо Хао и Горенфло (1991) и Рейнхардта и Зейффарта (1993).

В этой статье негармоническое нисходящее продолжение полоидального магнитного поля к реликтовому фону решается численно с использованием процедуры, описанной в Ballani (1995). Это решение основано на инверсионном подходе, используемом в геотермии (Stromeyer, 1983, 1984), и включает некоторые теоретические элементы, представленные в Eldén (1983). После введения основных физико-математических задач (пп. 2.1 и 2.2) сформулируем обратную краевую задачу для продолжения вниз.Обсуждаются некоторые основные свойства инверсии (подраздел 3.1), за которыми следует математически обоснованное описание отдельных шагов метода решения (подраздел 3.2). В подразделе 3.3 содержится краткое описание метода возмущений для продолжения вниз, разработанного Бентоном и Уэйлером (1983). Затем негармонический метод продолжения вниз проходит численную проверку и вместе с подходом теории возмущений тестируется с использованием двух моделей мантийной проводимости, связанных с предполагаемым расслоением вблизи границы ядро-мантия.Результаты представляют собой единичные временные функции (сферические гармонические моды) и радиальную составляющую глобального (8,8) полоидального поля (показаны для двух эпох), рассчитанные для границы ядро-мантия и пассивного внешнего слоя ядра в 50 км под реликтовым излучением ( Подразделы 4.1 и 4.2). Исследование завершается обсуждением свойств используемых процедур и полученных результатов (подразделы 5.1 и 5.2), включая сравнение различных возможностей продолжения вниз единичных функций времени и глобального поля (подраздел 5.3). Включены некоторые предложения по будущей работе (подраздел 5.4).

2 Основные допущения и уравнения

2.1 Основные допущения

Мантия Земли представлена ​​жесткой оболочкой (рис.1) с внешним радиусом R E (средний радиус Земли) и внутренним радиусом R c (радиус ядра).

Проводимость мантии σ M ( r ) предполагается как функция радиального расстояния r с σ M ≠ 0 для и σ M = 0 для .Две аналитические формулы, описывающие зависимость σ M ( r ) от r , рассматриваемую для R c r R σ , задаются формулой полупроводника и его первый член Тейлора, 12, где σ 0 — проводимость мантии на CMB ( r = R c ), а α — коэффициент масштабирования, определяющий уменьшение проводимости с увеличением расстояния от CMB, с отношением σ 0 / α, определяющим величину электромагнитных моментов.Оценки этих параметров могут быть получены из исследований геомагнитной индукции. Ротанова (1985) использовала 30-летний и 60-летний периоды вековой вариации для определения α и σ 0 в (1) и получила значения α прибл. 6–8 и σ 0 между 1500 и 4000 Sm −1 .

Рисунок 1

Геометрические допущения в сферически-симметричной проводящей модели Земли. σ ( r ) — электрическая проводимость, R E = 6370 км, R σ = 5480 км, R c = 3480 км.

Рисунок 1

Геометрические допущения в сферически-симметричной проводящей модели Земли. σ ( r ) — электрическая проводимость, R E = 6370 км, R σ = 5480 км, R c = 3480 км.

Stix & Roberts (1984) и Greiner-Mai (1987, 1993) обнаружили, что величины электромагнитных моментов согласуются с вариациями LOD, если σ 0 = 3000 Sm −1 и α = 30, т.е.е. σ 0 / α = 100. Для этой модели результирующая проводимость составляет 3,6 × 10 8 S, значение, которое создает электромагнитную связь, соответствующую оценке ΔLOD (Holme 1998). Однако значение σ M в нижней мантии все еще обсуждается (см. Подраздел 4.1), и необходимая проводимость также может быть получена с помощью других пространственных распределений проводящего материала (например, тонкого слоя на дне мантии). ).

Решения уравнения мантийной индукции получены для полоидального магнитного поля, B p , части магнитного поля, которая может наблюдаться вне проводника.Как упоминалось во введении, тороидальное поле, которое невозможно наблюдать, в этой статье не рассматривается. Однако уравнения для полоидальной и тороидальной частей разделены для радиально распределенной проводимости мантии, и поэтому мы можем изучать поведение полоидального поля независимо от предположений, сделанных относительно тороидального поля. Мы представляем поле полоидальными и тороидальными скалярами, полоидальное скалярное поле, S , представлено разложением сферических гармоник, соответствующие коэффициенты которого называются (полоидальными) гармоническими модами.

2.2 Основные уравнения

Скалярная функция S описывается сферическими гармониками ( P нм — ассоциированные функции Лежандра) следующей единицей, которая соответствует разделению по парам переменных ( r , t ) и (ϑ, ϕ). Используя ортогональность сферических гармоник, мы получаем из уравнений (10) и (11) полностью разделенные одномерные уравнения индукции для гармонических мод S нм c , s ( r , t ): 11 с приводом D n определяется как 1 Одномерный параболический частный дифференциал уравн.(13) описывают внешнюю диффузию гармонических мод S нм c , s ( r , t ) S ( r , t ) через электрически проводящую сферическую оболочку, которая является нижней частью мантии Земли. Граничные условия при r = R σ равны 1 экв. (14) выполняется с обычным потенциальным решением для поля вне проводника, регулярного на бесконечности.Из этого решения связанные моды C нм c , s ( t ) определяются как 1 Геомагнитный потенциал V и его вековые вариации на поверхности Земли r = R E связаны со скаляром S на 1. Однако V обычно описывается его разложением на сферические гармоники, коэффициенты которых известны как коэффициенты Гаусса g nm и h нм (Mauersberger 1959).Следовательно, на поверхности Земли мы имеем следующие соотношения 1, где λ нм — коэффициенты нормализации Шмидта, определяемые единицей с δ ik символом Кронекера (δ ik = 0, если i k и δ ik = 1, если i = k ). Уравнение (17) вместе с (19) затем дает полоидальные гармонические моды 1 вне проводящей части мантии, зависящие от коэффициентов Гаусса, в дальнейшем иногда называемые «данными».Обычное гармоническое нисходящее продолжение радиальной составляющей поля B r ( r , t ) полоидального поля B p затем получается заменой уравнения. (21) в ур. (47) ниже (подраздел 4.2).

Также из ур. (14) видно, что поле вековой вариации может быть получено через производные по времени, то есть с помощью вычисленных с использованием коэффициентов вековой вариации и вместо коэффициентов Гаусса.Следовательно, граничные значения гармонических мод и их производные по времени при r = R σ могут быть получены из решения (17) в зависимости от коэффициентов Гаусса и их производных по времени (например, Mauersberger 1959; Barraclough 1978) .

3 Решение обратной краевой задачи

3.1 Основные свойства инверсии

Определение функции CMB в ур. (13) можно сформулировать как обратную краевую задачу, если учесть условия, описываемые уравнениями (16).Для упрощения записи заменим S nm c , s на u в (13). Следовательно, обратная краевая задача для определения u ( R c , t ) задается как 1 с граничными условиями 1 и начальным условием 1

Первое граничное условие в (22) прямо связаны с геомагнитными данными на поверхности Земли, как описано уравнением.(21). Второе условие, являющееся граничным условием третьего рода, касается перехода между непроводящей и проводящей оболочкой мантии и выводится из второго условия непрерывности в соотношении (16). Оба граничных условия в (22) даны для R σ , т.е. только на одной стороне радиального интервала ( R σ , R c ) в отличие от обычно исследуемой стабильной двусторонние краевые задачи в области параболических дифференциальных уравнений.

Предыдущие теоретические результаты (например, Tsutsumi 1965; Knabner & Vessella 1987; Dinh Nho Hào 1995) означают, что можно предположить существование и единственность решений (22). Однако существует нестабильность, при которой более высокие колебательные части сигнала экспоненциально усиливаются (по крайней мере) в растворе с увеличением частоты и глубины (Engl 1996). Более того, неизвестная функция u ( R c , t ) не может быть надежно восстановлена ​​для времен, близких к концу рассматриваемой эпохи.Третий эффект заключается в том, что нестабильность растет с увеличением коэффициента электропроводности (Элден, 1983).

Таким образом, из-за временной фильтрации, накладываемой проводящей мантией на сигнал, исходящий от ядра, очевидно, что любой высокочастотный шум, вносимый в наблюдаемые данные с поверхности Земли, будет иметь тенденцию вызывать сильную нестабильность в восстановленном поле при CMB. Решение этой проблемы требует либо тонкой математической обработки (см. E.грамм. Knabner & Vessella 1988; Engl & Manselli 1989), или просто ввести некоторую регуляризацию в обратный подход, который мы здесь используем.

Для решения обратной краевой задачи (22) ее эквивалентно записывают в виде операторного уравнения с использованием линейного (интегрального) оператора A , так что 1, где f = u ( R c , t ) — неизвестная функция, а φ = φ ( t ) — функция ввода (данных). Здесь будет использоваться метод решения регуляризации , который является частным случаем регуляризации Тихонова ( см. Engl 1996), состоит в построении решения f путем минимизации 1 с помощью уточняемых норм (Hansen 1998). Это означает, что функция f с оптимальной гладкостью, соответствующая ∥ · ∥ β , на границе ядро-мантия, должна быть найдена путем аппроксимации данных φ в пределах фиксированного диапазона ошибок ε при R σ . Нормы, используемые в процедуре (24), определяются как 1 и 1

. Начальное условие, входящее в обратную задачу (22), вносит некоторую степень произвола в решение.Этот эффект (см. Также разделы 4.2 и 5.2) наиболее силен в начале временного интервала реконструкции, но исчезает через некоторое время, так что впоследствии решение управляется только граничными значениями и базовой моделью (геометрией и проводимостью).

3.2 Построение решающего алгоритма

Недавно были разработаны и применены несколько процедур регуляризации для решения проблем, связанных с нестабильной обратной теплопроводностью (например, Dinh Nho Hào & Gorenflo 1991; Reinhardt & Seiffarth 1993).В данной работе разработан метод решения обратной задачи для дифференциального уравнения (22) в эквивалентной интегральной форме интегрального уравнения Вольтерра первого рода. Конечномерная аппроксимация неизвестной граничной функции с некоторой гладкостью ищется с помощью алгоритма регуляризации (24). Величина (где ∥ t α означает любую норму) является мерой соответствия решения u граничным данным φ ( t ) на R σ , которое зафиксировано на предопределенный уровень ошибки.Выбранный метод обратной аппроксимации является универсальным, то есть он не зависит от каких-либо аналитических возможностей и допускает произвольные функции коэффициентов в дифференциальном уравнении (22), такие как радиально изменяемая электрическая проводимость σ M ( r ).

3.2.1 Этап подготовки

Алгоритм начинается с подготовительного этапа: разбиение исходной задачи (22) для u на две задачи с анзацем декомпозиции u ( r , t ) = v ( r , т ) + ш ( т , т ).Этот шаг направлен на устранение («сдвиг») начального условия ψ ( r ), чтобы более важная и сложная задача, связанная с w ( r , t ) могла работать с однородным начальное состояние.

Решение этой второй проблемы описано ниже. Для простоты мы сохраняем для (28) старые символы (22): т.е. u вместо w , φ ( t ) для граничных данных и f ( t ) = u ( R c , t ) для неизвестной функции соответственно.

Из-за однородного начального условия в (28) существующая линейная зависимость ( см. 23) между f и φ может быть получена из (28) с помощью метода интегрального (например, преобразования Лапласа), применяемого к двойному точечная краевая задача. Оно имеет структуру интегрального уравнения Вольтерра первого рода (Smylie 1965; Eldén 1983; Poularikas 1996) 1. Однако ядро ​​свертки k ( t ) может быть явно определено только для очень простых случаев.Например. σ M ( r ) постоянная, дает аналитическое описание для k ( t ) бесконечным рядом (Eldén 1983).

Для общего случая σ M ( r ) ≠ постоянная ситуация более сложная и требует метода без предварительного знания интегрального ядра k ( t ) для инвертирования (29) . Следовательно, чтобы преодолеть эту трудность, наш алгоритм инверсии выполняется в два этапа:

  • (1)

    идентификация аппроксимирующей матрицы ( a ik ) для оператора A в (29)

  • (2)

    обращение (29) с помощью регуляризации, соответствующей (24).

3.2.2 Идентификация аппроксимирующей матрицы
Мы представляем (неизвестную) функцию времени f ( t ), 0 ≤ t T на абстрактной основе (численно указываемой в подразделе 4.2.) 1 Используя первую часть соотношения (29), это приводит по линейности A к 1 Теперь важно определить функции A ( e k ( t )), которые будут производить k -й столбец (аппроксимации) матрица ( a ik ).Определение φ k ( t ) с помощью 1 этого отношения означает обращение (23) или (28) по отношению к расположению первого граничного условия. Для данного e k ( t ) при R c проблема устойчивого продолжения вверх должна быть решена для u k ( r , t ) 1 с граничными условиями, предписанными для R c и при R σ 1 и начальное условие 1 Важным результатом является то, что φ k ( t ) является верхним граничным значением φ k ( t ) = u k ( R σ , t ), которая является искомой функцией в (32), ведущей к k -му столбцу в матрице для A .(Для численного решения таких устойчивых начально-краевых задач см., Например, Ciarlet & Lions 1992.) С дискретностью по времени t = t i , 0 ≤ t i T , i = 1,…, N в соответствии с предложенными данными и адаптированное ограничение количества аппроксимирующих базовых функций { e k ( t ), k = 1,…, N }, ур.(31) читается как 1 Это соотношение показывает приближенную структуру интегрального уравнения Вольтерра (29), которое также можно записать как 1, если вычисленная матрица ( a ik ) помечена 1 Следовательно, коэффициенты f k , k = 1,…, N остаются настоящими неизвестными в нашей проблеме.

Из-за ядра свертки в интегральном уравнении (29) матрица ( a ik ) имеет особую структуру: каждая диагональ (вверху слева направо внизу) содержит одинаковые элементы (матрица Теплица) и для k > i содержит a ik = 0.Это означает, что необходимо вычислить только первый столбец матрицы ( k = 1). Остальные (т.е. k = 2,…, N) затем генерируются путем итеративного сдвига их элементов вниз. Следовательно, реализация этого шага (3.2.2) требует только численного решения одной стабильной задачи, которая является уравнением. (33).

3.2.3 Шаг инверсии
Имея теперь матрицу ( a ik ), определенную на шаге (3.2.2), приближенное решение обратной краевой задачи (22) может быть определено с помощью регуляризации.Для наших целей это правильная процедура инверсии с некоторыми оставленными степенями свободы, которая может использоваться для учета геомагнитных и численных аспектов проблемы: выбор нормы · ∥ α , ∥ · ∥ β (гладкость ), данных и погрешности аппроксимации ε. Он решает матричное уравнение (35) стабильным образом, используя алгоритм оптимизации для дискретного эквивалента уравнения. (24): 1 где данные (φ ( t i )) на R σ и ( f k ) — вектор неизвестных, представляющий функцию времени u ( R c , t ) (CMB).

Ур. (37) представляет собой дискретную задачу наименьших квадратов с квадратичными ограничениями. Мы решаем эту проблему, используя алгоритм DISCREP из хорошо зарекомендовавшего себя инструментария регуляризации общественного достояния Хансена (1998). Он сводит задачу (37) к последовательности классических шагов тихоновской регуляризации, которые нелинейно связаны с ошибкой аппроксимации ε.

Последний шаг, который обращает разбиение исходной задачи на (27) и (28), не является необходимым, поскольку в (27) v ( R c , t ) = 0 имеет были выбраны, и поэтому функции u ( R c , t ) и w ( R c , t ) согласуются с R , г.е. с w ( R c , t ) реальное решение u ( R c , t ) уже было достигнуто.

3.3 Продолжение вниз методом возмущений

Метод решения возмущений для расчета магнитного поля в мантии Земли применялся с некоторыми модификациями разными авторами (Braginsky & Fishman 1977; Benton & Whaler 1983; Stix & Roberts 1984).Без потери общности будет представлен подход Бентона и Уэйлера (1983), поскольку он ближе всего к данной статье в отношении темы и формализма.

Поле с k = 0 соответствует продолжению поля через изолирующую мантию (потенциальное решение), тогда как члены возмущения k ≥ 1 описывают влияние проводимости мантии.

4 Результаты

4.1 Используемые модели магнитных данных и электропроводности

Входными данными, описывающими геомагнитное поле на поверхности Земли, являются коэффициенты Гаусса g нм ( t ), h нм ( t ) (см. Ур.19). С геомагнитным потенциалом V , заданным на поверхности Земли по ур. (18) связь с нашим параболическим дифференциальным уравнением дается через ур. (17). Благодаря этому соотношению первое граничное условие φ ( t ) в (22) может быть просто вычислено с помощью коэффициентов Гаусса, представленных в формуле. (21) в то время как второе граничное условие в качестве внутреннего требует только порядка n в качестве входных данных.

Сравнение коэффициентов Гаусса для временного интервала, начинающегося в 1550 году, как определено разными авторами, дано Мауэрсбергером (1952).Однако для задачи продолжения вниз мы используем только временные ряды, начиная с середины XIX века из-за противоречий с более ранними данными, точностью и плотностью данных. Из-за нерегулярных и больших интервалов невозможно получить значимые спектральные оценки (см., Например, Barraclough 1978).

Другой аспект данных, который следует здесь рассмотреть, касается связанных с этим неопределенностей, которые трудно оценить. Сравнивая различные ссылки, разумно предположить, что существует уменьшение неопределенности, вероятно, на порядок, со 100 нТл до 10 нТл для эпохи между 1900 и 1990 годами.Это уменьшение на порядок величины в 10 раз было также обнаружено в коэффициенте Гаусса g 01 (Bloxham & Jackson 1992). Неполностью известная ошибка данных на поверхности Земли является важной причиной для использования методов регуляризации при продолжении вниз, то есть подгонки данных только между определенными границами.

Интервал данных в 150 лет (1840–1990), который рассматривается в этой статье, совместим со спектральным диапазоном декадных вариаций.Для этого мы используем данные Bloxham & Jackson (1992), которые могут быть сгенерированы с помощью заданных узлов с использованием кубических B-сплайнов с автоматически выбранной дискретностью по времени в два года. Таким же образом доступны производные по времени, которые необходимы для метода возмущений. Поскольку данные относительно гладкие, для наших сравнительных исследований подходят только коэффициенты Гаусса самого низкого порядка. Поэтому методы, обсуждаемые в этой работе, были дополнительно протестированы с искусственным рядом данных g 5 syn с диапазоном, соответствующим реальным данным (коэффициент Гаусса для n = 5), содержащим в качестве спектральных частей периоды 100, 60 , 35, 15 и 6 лет.

Электропроводность мантии, одна из входных величин в нашем алгоритме, не решена хорошо, особенно для нижней мантии (Achache 1981; Constable 1993; McLeod 1994; Honkura & Matsushima 1998). В Honkura & Matsushima (1998) дается сравнительное резюме, в котором перечислены две группы производных проводимостей глубокой мантии: 1–3 Sm −1 и> 10 Sm −1 . Традиционные аналитические формы (формулы степенного или экспоненциального закона, см. (1) и (2), подраздел 2.1) в значительной степени согласуются с исследованиями материала глубоких недр Земли (полупроводниковые свойства материала, эксперименты при высоком давлении). В течение последнего десятилетия такие экспериментальные исследования привели к появлению кривых, монотонно возрастающих с глубиной в мантии и заканчивающихся значениями лишь некоторых Sm −1 на границе ядро-мантия (например, Poirier & Le Mouël 1992; Shankland 1993).

Но с этими значениями моменты электромагнитной связи недостаточно высоки, чтобы объяснить наблюдаемые изменения ΔLOD (например,грамм. Холм 1998). Однако слой D ″ на дне мантии, предположительно состоящий из пропитанного ядром материала с толщиной от 100 км до 200 км и проводимостью до 4000 Sm -1 , мог создать недостающий крутящий момент.

Модели σ M , использованные для этих расчетов, приведены в таблице 1. Помимо случая нулевой проводимости (модель 3, продолжение гармоники вниз), мы исследуем результаты двух других моделей: Для модели проводимости 1 параметры (проводимость и толщина) для слоя D ″ были выбраны таким образом, чтобы соответствующая проводимость (являющаяся здесь просто произведением проводимости и толщины) имела значение 6 × 10 8 S, соответствующее требуемой величине соответствующей связи крутящие моменты.Модель проводимости 2 имеет мантию с низкой проводимостью (8 Sm −1 на 2000 км), которая совместима с наблюдением рывков (Alexandrescu 1999), возникающих в результате анализа рывков, как оптимума. Эту модель проводимости также можно рассматривать как компромисс между двумя группами моделей (см. Выше), оцененными Honkura & Matsushima (1998).

Был также проведен эксперимент для проверки эффективности алгоритмов продолжения вниз, когда в жидкий внешний керн включен пассивный верхний слой сердцевины («PUL»).Предполагается, что этот слой привязан к мантии с проводимостью порядка 10 5 Sm −1 (таблица 1). Такой слой рассматривается также в различных вариантах (подвижный и неподвижный) (например, Braginsky 1999; Lister & Buffett 1998).

4.2 Нисходящее продолжение компонент магнитного поля

В этом разделе мы представляем результаты нашего негармонического алгоритма продолжения вниз, какие модификации и критерии возможны, а также какие математические или числовые характеристики получены.Последовательность метода проверяется численно путем объединения нисходящего и восходящего продолжения. Подход возмущений для продолжения вниз, а также чисто гармоническое продолжение поля показаны как альтернативные методы с параллельными примерами. Особый интерес представляют влияние электропроводности, геометрии (глубины), а также некоторые аппроксимации и спектральные свойства методов.

Одномерный компонент модели и граничные функции φ ( t ) в (22) — это функция данных g 32 ( t ) (коэффициент Гаусса) из разложения по сферическим гармоникам геомагнитного поля. потенциал V у поверхности Земли (18).Он был выбран из-за его достаточно модулированного временного поведения. Кроме того, мы используем серию искусственных данных g 5 syn ( t ), содержащую более высокие спектральные части, чтобы показать специальные эффекты. Для расчетов глобального поля используются все коэффициенты Гаусса g нм ( t ), h нм ( t ) со степенью и порядком до 8.

Чтобы представить наши результаты продолжения вниз, мы определяем функции времени g nm CMB ( t ) и g nm PUL ( t ) (см. Также eq .21) как 1 и 1

соответственно, и h нм CMB ( t ), h нм PUL ( t ) аналогично3 S нм с .

Первым основным шагом в процедуре решения (подраздел 3.2.2) является численное интегрирование устойчивых двусторонних краевых задач, описываемых уравнением. (33) для определения матрицы ( a ik ) в (35), как определено в (36).Мы принимаем здесь символ Кронекера (определение см. В разделе 2.2) как простейший выбор для базовых функций e k ( t ) для неизвестной граничной функции (30): 1 и аппроксимируем эту схему треугольником- как пик-функции в моменты времени t i . В качестве начального условия (ψ ( r ) в (22) и (27)) решение гармонического продолжения вниз, описываемое уравнениями (21 ) здесь не предполагается, как это делалось бы обычно.Вместо этого мы используем для сравнения начальное условие теории возмущений. Решение возмущения начинается с начального значения вида (см. Уравнения 42 и 43) 1, которое отличается от гармонического начального условия ψ ( r ) на член возмущения (второй элемент), т. Е. (46) не представляет гармонического функция в целом.

Таблица 1

Модели проводимости σM (r), используемые для продолжения поля вниз и вверх. Модель проводимости 3 связана с продолжением гармонического поля.Радиусы: R σ = 5480 км и R c = 3480 км (см. Рис. 1).

Таблица 1

Модели проводимости σM (r), используемые для продолжения поля вниз и вверх. Модель проводимости 3 связана с продолжением гармонического поля. Радиусы: R σ = 5480 км и R c = 3480 км (см. Рис. 1).

Само численное интегрирование осуществляется с помощью обычного алгоритма Кранка – Николсона с радиальной дискретизацией 1 км и временными шагами около 0.01 г.

Для регуляризации в соответствии с процедурами (24) и (37) (подраздел 3.2.3) используемые нормы определены уравнениями (25) ( L 2 norm) и (26) ( W 2 1 норма). Следует отметить, что производная, рассматриваемая здесь при регуляризации с помощью нормы W 2 1 , относится к временной переменной, а не к пространственной переменной, поскольку обсуждаемый здесь подход инверсии применяется только к временным функциям.

Для аппроксимации данных при R E в норме L 2 в соответствии с первым членом в функционале регуляризации (37) обычно граница соответствия ε должна быть зафиксирована a priori с учетом реальные неопределенности прошлых наборов данных (лишь слабо известные, зависящие от времени). Чтобы стать независимым от отдельных рядов данных, нормализованная граница соответствия ε * вводится как ε * = ε / ∥ S нм c , s ( R E , t ) ∥ 2 , S нм c , s ( R E , t ) полоидальный режим (см. Eq) ).Для сравнения негармонического продолжения вниз с подходом возмущения сначала решение возмущения, продолжающееся вниз, является устойчивым продолжением вверх. Разница нормы L 2 между результирующей функцией и исходными данными затем дает ε *, который выбирается в качестве границы соответствия для сравнительного негармонического решения с продолжением вниз.

Численная проверка построенного метода негармонического продолжения вниз может быть продемонстрирована путем объединения его результатов с дополнительной процедурой продолжения вверх для определения соответствующего коэффициента Гаусса на поверхности Земли для ряда данных, заданного на глубине реликтового излучения, например .(Эта процедура означает решение краевой задачи того же типа, что и описываемая уравнением (33), и может выполняться таким же образом, как и стабильные прямые задачи, решенные в подразделе 3.2.2. Ввод данных осуществляется через нижний граничное условие первого рода.) Также существует возможность оценить решения возмущений и их свойства. Примеры комбинации (негармонического) расчета нисходящего реликтового излучения и восходящего продолжения до поверхности Земли, которые воспроизводят исходные данные на поверхности Земли, показаны на рисунках 2 (а) и 3 (а).Там же приведены сравнения с теорией возмущений. Результаты нисходящего продолжения показаны на рисунках 2 (b) и 3 (b), в то время как более точное сравнение реликтового излучения дано на рисунках 2 (c) и 3 (c), показывающих различия обоих методов относительно гармонического нисходящего продолжения.

Значение решения во всем временном интервале должно быть изучено в связи с влиянием (искусственного) начального условия. На рис. 5 показано уменьшение важности начального условия, особенно его влияние на функцию верхней границы при R σ по отношению к разным степеням n и двум моделям проводимости σ M 1 , σ M 2 .Представленная величина является решением устойчивой краевой задачи u ( R σ , t ) с нижним нулевым граничным условием (при R c ), верхним граничным условием третий вид (см. 27) и нормализованное гармоническое начальное условие (с u ( R σ , 0) = 1, начальное время t = 0).

Рисунок 2

Нисходящее продолжение коэффициента Гаусса g 32 на CMB ( r = R c ) и последующее продолжение вверх.(a) ( R E ): Продолжение вверх различных функций продолжения вниз, представленных ниже: Использование негармонического продолжения вниз (черная сплошная линия), использование метода возмущений (пунктирная линия). Нормированная ошибка аппроксимации ε * = 4,32 · 10 −4 . (b) ( R c ): Нисходящее продолжение g 32 с использованием метода негармонического продолжения вниз (черная полная линия), подхода возмущений (пунктирная линия) и гармонического продолжения вниз (серая линия).(c) ( R c ): продолжение вниз g 32 с использованием метода негармонического продолжения вниз (черная полная линия) и метода возмущений (пунктирная линия) после вычитания гармоники вниз продолжение.

Рисунок 2

Нисходящее продолжение коэффициента Гаусса g 32 на CMB ( r = R c ) и последующее восходящее продолжение.(a) ( R E ): Продолжение вверх различных функций продолжения вниз, представленных ниже: Использование негармонического продолжения вниз (черная сплошная линия), использование метода возмущений (пунктирная линия). Нормированная ошибка аппроксимации ε * = 4,32 · 10 −4 . (b) ( R c ): Нисходящее продолжение g 32 с использованием метода негармонического продолжения вниз (черная полная линия), подхода возмущений (пунктирная линия) и гармонического продолжения вниз (серая линия).(c) ( R c ): продолжение вниз g 32 с использованием метода негармонического продолжения вниз (черная полная линия) и метода возмущений (пунктирная линия) после вычитания гармоники вниз продолжение.

Рисунок 3

Нисходящее продолжение синтетического коэффициента Гаусса g 5 syn на CMB ( r = R c ) и последующее восходящее продолжение.(a) ( R E ): Продолжение вверх различных функций продолжения вниз, представленных ниже: с использованием негармонического продолжения вниз (черная сплошная линия), с использованием метода возмущений (пунктирная линия). Нормированная ошибка аппроксимации ε * = 5,51 · 10 −3 . (b) ( R c ): Нисходящее продолжение g 5 syn с использованием метода негармонического продолжения вниз (черная полная линия), метода возмущений (пунктирная линия) и гармонического вниз продолжение (серая линия).(c) ( R c ): продолжение вниз g 5 syn с использованием метода негармонического продолжения вниз (черная сплошная линия) и метода возмущений (пунктирная линия) после вычитания гармоники. продолжение вниз.

Рисунок 3

Продолжение вниз синтетического коэффициента Гаусса g 5 syn на CMB ( r = R c ) и последующее продолжение вверх.(a) ( R E ): Продолжение вверх различных функций продолжения вниз, представленных ниже: с использованием негармонического продолжения вниз (черная сплошная линия), с использованием метода возмущений (пунктирная линия). Нормированная ошибка аппроксимации ε * = 5,51 · 10 −3 . (b) ( R c ): Нисходящее продолжение g 5 syn с использованием метода негармонического продолжения вниз (черная полная линия), метода возмущений (пунктирная линия) и гармонического вниз продолжение (серая линия).(c) ( R c ): продолжение вниз g 5 syn с использованием метода негармонического продолжения вниз (черная сплошная линия) и метода возмущений (пунктирная линия) после вычитания гармоники. продолжение вниз.

На рис. 4 сравниваются компоненты g 32 и g 5 syn каждый для трех разных уровней аппроксимации данных ε * на R E , показывая их влияние на решение продолжения вниз на Р с .

Рисунок 4

Гармоническое продолжение вниз (серые линии) и негармоническое продолжение вниз на R c (черные линии) коэффициентов Гаусса g 32 (a) и g 5 syn (b) с использованием различных уровней аппроксимации данных в регуляризации (нормализованная ошибка аппроксимации ε *).

Рисунок 4

Гармоническое продолжение вниз (серые линии) и негармоническое продолжение вниз на R c (черные линии) коэффициентов Гаусса g 32 (a) и g 5 syn (b) с использованием различных уровней аппроксимации данных в регуляризации (нормализованная ошибка аппроксимации ε *).

На рис.7 показано продолжение вниз двух коэффициентов Гаусса g 32 , g 5 syn на CMB, сравнивая влияние моделей проводимости, σ M 1 , σ M 2 (таблица 1). Для сравнения также включено гармоническое продолжение вниз (σ M ( r ) ≡ 0).

Рисунок 5

Уменьшение влияния нормализованного гармонического начального условия на верхнюю граничную функцию для различных степеней n и различных моделей проводимости из таблицы 1: Модель 1 (черные линии), модель 2 (серые линии).

Рисунок 5

Уменьшение влияния нормализованного начального условия гармоники на верхнюю граничную функцию для различных степеней n и различных моделей проводимости из таблицы 1: Модель 1 (черные линии), модель 2 (серые линии).

Некоторые общие свойства связи между данными и решениями можно найти, если проследить назад оператор A (уравнение 29), то есть аппроксимирующую матрицу (a ik ) (уравнения 35 и 36). численно к его ядру k ( t ) через решение прямых задач с формой уравнения.(33) задающие нижнюю граничную функцию (δ-подобную функции) с достаточным временным разрешением. На рис. 6 приведены некоторые аппроксимации ядра для альтернативных моделей проводимости, различные степени n для продолжения вниз от R E до R c .

Рисунок 6

Функции ядра k ( t ) интегрального уравнения Вольтерра (29) для различных моделей проводимости из таблицы 1 и разных степеней n : модель 1 (черные линии), модель 2 (серые линии) .

Рисунок 6

Функции ядра k ( t ) интегрального уравнения Вольтерра (29) для различных моделей проводимости из таблицы 1 и разных степеней n : Модель 1 (черные линии), модель 2 (серые линии ).

Рисунок 7

Негармоническое продолжение вниз коэффициентов Гаусса g 32 (a) и g 5 syn (b) на CMB в сравнении, рассчитанном с использованием различных моделей проводимости из таблицы 1: Модель 1 (полная линия), модель 2 (пунктирная линия) и модель 3 (= гармоническое продолжение вниз) (серая линия).

Рисунок 7

Негармоническое продолжение вниз коэффициентов Гаусса g 32 (a) и g 5 syn (b) на CMB в сравнении, рассчитанном с использованием различных моделей проводимости из таблицы 1: Модель 1 (полная линия), модель 2 (пунктирная линия) и модель 3 (= гармоническое продолжение вниз) (серая линия).

Рисунок 8

Влияние различных методов продолжения вниз от R E до R c на одиночное колебание с использованием модели проводимости 1 из Таблицы 1 и для различных степеней n : Нет -гармоническое продолжение вниз (черные линии), приближение к возмущению (серые линии).

Рисунок 8

Влияние различных методов продолжения вниз от R E до R c на одиночное колебание с использованием модели проводимости 1 из таблицы 1 и для различных степеней n : Негармоническое продолжение вниз (черные линии), приближение возмущения (серые линии). На рис.8 для периодов от 0,1 до 200 лет.

Помимо продолжения вниз на CMB с относительно слабой мантийной проводимостью, в качестве эксперимента были рассчитаны решения для второго уровня глубины. Нисходящее продолжение компонентов поля g 32 ( t ) и g 5 syn ( t ) представлено на 50 км ниже реликтового излучения для предлагаемого пассивного слоя поверх внешней флюида. сердечник (с высокой проводимостью сердечника σ PUL , таблица 1).Здесь также приведены численная проверка и сравнение с решением возмущения и гармоническим продолжением вниз, как в случае CMB (рис. 9 и 10).

В дополнение к изучению временного характера негармонического нисходящего продолжения с помощью отдельных коэффициентов Гаусса, пространственное поведение и глобальные эффекты могут быть изучены путем анализа радиальной составляющей B r геомагнитного поля. Использование коэффициентов Гаусса g нм ( t ) и h нм ( t ) в качестве граничных значений, взятых до степени и порядка 8, B r ( r , t ) выражается как 47 Рассчитано на границе ядро-мантия r = R c и на глубине 50 км ниже границы ядро-мантия для двух временные точки — 1910 и 1960 — расположенные в центральной части эпохи 1840–1990 (см. рис. 11а и 12а) с использованием моделей проводимости σ M 1 и σ PUL в случае слоя 50 км под ним. CMB (см. Таблицу 1).Представленные здесь решения были рассчитаны посредством регуляризации с нормой W 2 1 и постоянной нормированной ошибкой аппроксимации ε * = 0,01 для каждого компонента данных. Кроме того, эти глобальные поля были рассчитаны для тех же моментов времени и моделей проводимости с помощью подхода возмущений продолжения вниз (см. Рис. 11b и 12b) с использованием соотношений (42) и (43), в то время как для чисто гармонического продолжения вниз (см. Рис. 11c и 12c) уравнения (21) были вставлены в (47).Для сравнения на рис. 11б, в и 12б, в показаны разностные поля.

Рисунок 9

Продолжение вниз коэффициента Гаусса g 32 в пассивном верхнем слое внешнего ядра ( r = R c — 50 км) и последующее продолжение вверх. (a) ( R E ): данные (серая линия) и восходящие продолжения различных функций нисходящего продолжения, представленные ниже: использование негармонического нисходящего продолжения (черная полная линия) с использованием метода возмущений (пунктирная линия) линия).Нормированная ошибка аппроксимации ε * = 5,49 · 10 −3 . (b) ( R c -50 км): продолжение вниз g 32 с использованием метода негармонического продолжения вниз (черная полная линия), метода возмущений (пунктирная линия) и гармоничное продолжение вниз (серая линия).

Рисунок 9

Продолжение коэффициента Гаусса вниз g 32 в пассивном верхнем слое внешнего ядра ( r = R c -50 км) и последующее продолжение вверх.(a) ( R E ): данные (серая линия) и восходящие продолжения различных функций нисходящего продолжения, представленные ниже: использование негармонического нисходящего продолжения (черная полная линия) с использованием метода возмущений (пунктирная линия) линия). Нормированная ошибка аппроксимации ε * = 5,49 · 10 −3 . (b) ( R c -50 км): продолжение вниз g 32 с использованием метода негармонического продолжения вниз (черная полная линия), метода возмущений (пунктирная линия) и гармоничное продолжение вниз (серая линия).

5 Заключительные замечания

5.1 Негармоническое продолжение вниз

Развитие метода негармонического продолжения вниз, представленное здесь, мотивировано желанием определить силу магнитного поля в пограничной зоне ядро-мантия и в нижней мантии Земли в десятилетнем масштабе времени и, если возможно, для более высокочастотного магнитного поля. особенности, происходящие из ядра Земли. Одной из причин является необходимость расчета электромагнитного взаимодействия ядро-мантия, одного механизма, который объясняет корреляцию между вращением Земли и вариациями геомагнитного поля в этой временной шкале.Наши результаты показывают, что расчет моментов муфты методом регуляризации в процессе продолжения вниз с использованием достаточно высокой проводимости может привести к новым аспектам. В частности, знание напряженности магнитного поля в CMB позволит определить поля скоростей во внешнем ядре жидкости (теория замороженного поля), поскольку они также играют важную роль в вычислении тороидальных моментов связи.

Рисунок 10

Продолжение синтетического коэффициента Гаусса вниз g 5 syn в пассивном верхнем слое внешнего ядра ( r = R c -50 км) и последующее продолжение вверх.(a) ( R E ): данные (серая линия) и восходящие продолжения различных функций нисходящего продолжения, представленные ниже: использование негармонического нисходящего продолжения (черная полная линия) с использованием метода возмущений (пунктирная линия) линия). Нормированная ошибка аппроксимации ε * = 6,21 · 10 −2 . (b) ( R c -50 км): продолжение вниз g 5 syn с использованием метода негармонического продолжения вниз (черная полная линия), подхода возмущения (пунктирная линия) и гармоническое продолжение вниз (серая линия).

Рисунок 10

Продолжение синтетического коэффициента Гаусса вниз g 5 syn в пассивном верхнем слое внешнего ядра ( r = R c — 50 км) и последующее продолжение вверх . (a) ( R E ): данные (серая линия) и восходящие продолжения различных функций нисходящего продолжения, представленные ниже: использование негармонического нисходящего продолжения (черная полная линия) с использованием метода возмущений (пунктирная линия) линия).Нормированная ошибка аппроксимации ε * = 6,21 · 10 −2 . (b) ( R c -50 км): продолжение вниз g 5 syn с использованием метода негармонического продолжения вниз (черная полная линия), подхода возмущения (пунктирная линия) и гармоническое продолжение вниз (серая линия).

Проблема продолжения вниз сама по себе является обратной задачей и в то же время является частью связанных (совместных) обратных задач, которые применимы к другим явлениям (например,грамм. Вращение Земли, гидродинамика). Расчетное магнитное поле зависит от предполагаемой модели проводимости нижней мантии, описанной здесь как радиально зависимая функция. Поскольку геомагнитные данные доступны только на одной (внешней) стороне радиального интервала, соответствующую математическую задачу можно охарактеризовать как обратную краевую задачу.

Рисунок 11

Радиальная составляющая B r геомагнитного поля (8,8) на CMB для эпох 1910 и 1960, рассчитанная с граничными значениями g нм ( t ), h нм ( t ) (Bloxham & Jackson 1992) с использованием различных методов продолжения вниз и модели 1 проводимости из таблицы 1 для сравнения.(а) Расчет с использованием негармонического метода продолжения вниз. Нормированная ошибка аппроксимации одиночных коэффициентов Гаусса ε * = 0,01. (b) Поле разности между продолженным вниз полем, использующим метод возмущений, и негармоническим продолженным вниз полем. (c) Разностное поле между гармонически направленным вниз полем и негармоническим направленным вниз полем.

Рисунок 11

Радиальная составляющая B r геомагнитного поля (8,8) на CMB для эпох 1910 и 1960, рассчитанная с граничными значениями g nm ( t ), h нм ( t ) (Bloxham & Jackson 1992) с использованием различных методов продолжения вниз и модели 1 проводимости из таблицы 1 для сравнения.(а) Расчет с использованием негармонического метода продолжения вниз. Нормированная ошибка аппроксимации одиночных коэффициентов Гаусса ε * = 0,01. (b) Поле разности между продолженным вниз полем, использующим метод возмущений, и негармоническим продолженным вниз полем. (c) Разностное поле между гармонически направленным вниз полем и негармоническим направленным вниз полем.

Существует формальная взаимосвязь между продолжением магнитного поля и обратной задачей теплопроводности, которая интенсивно изучается из-за возможных применений в промышленности и лабораториях.Это привело нас к разработке регуляризирующего численного алгоритма для этой нестабильной, но однозначно решаемой обратной задачи. Он учитывает произвольные функции проводимости, разложение функции времени решения по любым базовым функциям, а также различные стратегии решения, то есть предположение о нормированных границах решения для достижения определенного типа гладкости или для учета степени приближение к данным. Метод продолжения вниз может быть численно подтвержден дополнительным стабильным продолжением вверх и был протестирован с использованием различных критериев.

При решении неустойчивого негармонического продолжения вниз должен использоваться алгоритм регуляризации. Мы применили модификацию регуляризации Тихонова (Hansen 1998), в то же время используя специальные нормы для аппроксимации данных ( L 2 ) и гладкости решения ( W 2 1 ) . Метод также был протестирован на модели проводимости, включающей более проводящий слой немного ниже реликтового излучения. Это показало более сильное усиление амплитуды и фазовый сдвиг компонент геомагнитного поля.

Рисунок 12

Радиальная составляющая B r геомагнитного поля (8,8) в верхнем пассивном слое внешнего ядра ( r = R c -50 км) для эпох 1910 и 1960 рассчитано с граничными значениями g нм ( t ), h нм ( t ) (Bloxham & Jackson 1992) с использованием различных методов продолжения вниз и Модель электропроводности 1 из таблицы 1 в сравнении.(а) Расчет с использованием негармонического метода продолжения вниз. Нормированная ошибка аппроксимации одиночных коэффициентов Гаусса ε * = 0,01. (b) Поле разности между продолженным вниз полем, использующим метод возмущений, и негармоническим продолженным вниз полем. (c) Разностное поле между гармонически направленным вниз полем и негармоническим направленным вниз полем.

Рисунок 12

Радиальная составляющая B r геомагнитного поля (8,8) в верхнем пассивном слое внешнего ядра ( r = R c -50 км ) для эпох 1910 и 1960, рассчитанные с граничными значениями g нм ( t ), h нм ( t ) (Bloxham & Jackson 1992) с использованием различных методов продолжения вниз и модель проводимости 1 из таблицы 1 для сравнения.(а) Расчет с использованием негармонического метода продолжения вниз. Нормированная ошибка аппроксимации одиночных коэффициентов Гаусса ε * = 0,01. (b) Поле разности между продолженным вниз полем, использующим метод возмущений, и негармоническим продолженным вниз полем. (c) Разностное поле между гармонически направленным вниз полем и негармоническим направленным вниз полем.

5.2 Сравнение методов

Методы чисто гармонического продолжения вниз (т.е. предполагая исчезающую мантийную проводимость), продолжение вниз, основанное на подходе возмущений, и негармоническое продолжение вниз можно рассматривать как альтернативные методы продолжения вниз. Некоторые общие свойства и различные аспекты обсуждаются ниже.

Теоретическая классификация трех методов может быть рассмотрена, если исходная обратная краевая задача (22) модифицирована следующим образом:

Используя (13) — (17) и (19), функция R n , m c , s ( r , t ), определенный как 1, описывает разницу между негармоническим и гармоническим продолжением вниз.Это решение обратной краевой задачи, теперь с неоднородным дифференциальным уравнением (для D n см. Подраздел 2.2 (15)) 1, но безразличие к (22) с однородными начальными и граничными условиями 1 Тип этой проблемы по сравнению с исходной (ур. 22) остается без изменений. Однако, как видно из правой части ур. (49) теперь выявляется четко контролируемая неоднородность дифференциального уравнения, содержащего производные данных по времени вместе с функцией проводимости σ M ( r ).Рассматривая собственные составляющие возмущения ( k ≥ 1) подхода возмущений (39) как разделительный анзац в (49), ограничиваясь здесь R n , m c , 1 it из (49) следует, что eg член первого порядка ( k = 1) удовлетворяет этому дифференциальному уравнению (49) только в том случае, если он выполняется, т.е. решение возмущения появляется как специальное приближенное решение нашей исходной краевой задачи (уравнение 22).

Другая точка зрения при сравнении методов касается вида приближения, в котором генерируется функция решения.Метод возмущений приближается к двум разделенным шкалам, τ σ , τ g (см. Подраздел 3.3) для переменных r и t , то есть радиально и во времени. В то время как радиальное приближение охватывает среднее, взвешенное влияние функции проводимости, временное, а вместе с ним и все приближение соответствует обобщенному ряду Тейлора. Это означает, что включение членов до k = 1 приводит к поточечной линейной аппроксимации.Качество приближения можно описать обобщенным остатком разложения Тейлора. Использование масштабов явно связано, как правило, для всех подходов к возмущениям, с условиями сходимости ряда (39) и, таким образом, с доступностью высших производных по времени, которые связаны с грубостью самих данных. Определение производных по времени коэффициентов Гаусса в каждом случае связано с явным или неявным численным дифференцированием. Чтобы уменьшить нестабильность, применяются методы интерполяции, которые подразумевают регуляризирующую высокочастотную фильтрацию данных.Для вычисления высших производных требуется достаточный интервал между данными (подробное обсуждение подробных численных условий см. В Benton & Whaler 1983). Метод негармонического продолжения вниз аппроксимирует функцию решения заданной базой функции (30) и определяет неизвестные коэффициенты (35) путем решения интегрального уравнения с помощью процесса минимизации (регуляризации) (37). На радиальное приближение влияет только выбор размера шага при численном интегрировании.Временная гладкость (и аппроксимация) решения контролируется заданной границей ε и вместе с аппроксимацией данных выбранными нормами, которые определяют тип аппроксимации (аппроксимации данных) и гладкость решения. Это можно интерпретировать как определенное масштабирование или фильтрацию впоследствии. Алгоритм работает без каких-либо предварительных условий для данных и их изменчивости.

Правильный интервал решения для обоих методов различается, что связано с влиянием (временных) начальных условий и типа приближения.Для метода возмущений входные данные сразу переходят в решение для всего интервала данных, который идентичен интервалу решения. Начальное условие не влияет на решение в любой более поздний момент времени (см. 39). С другой стороны, из-за причинности в уравнении диффузии, определяющего негармоническое продолжение вниз, что также видно из интеграла свертки (29), существует влияние, генерируемое не граничными данными, на решение для начала интервал, вызванный начальным состоянием.Аналогичным образом в конечной части интервала решения преобладает условие минимальной нормы регуляризации из-за отсутствия причинных данных для этих поздних временных точек. Оба эффекта сокращают интерпретируемый интервал решения, который может быть оценен с помощью фазового сдвига для четко спектрально модулированных данных по сравнению с решением с продолжением гармонически вниз. Продолжительность, в течение которой начальное условие имеет (возрастающий) эффект, была определена путем решения устойчивой краевой задачи с нулевым нижним граничным условием (см.рис.5).

Между обоими методами существует большая разница в отношении числовой области. Предполагая наличие требуемых производных по времени коэффициентов Гаусса, метод возмущений требует малой вычислительной мощности. В качестве альтернативы, для показанной здесь процедуры негармонического продолжения вниз требуется для одной базисной функции e k решение краевой задачи с достаточно высокой степенью дискретизации. После выполнения всех шагов следует регуляризация ресурсов в зависимости от размерности матрицы и размера ее числа обусловленности из-за нестабильности, связанной с высокочастотными частями данных.Характерной особенностью численной процедуры (основной шаг алгоритма 3.2.3 и результаты в подразделе 4.2) является число обусловленности матрицы регуляризации ( a ik ). Он достигает порядка 10 14 на границе ядро ​​– мантия для раствора σ M 1 и 10 19 в случае более высокой проводимости пассивного верхнего слоя ядра над поверхностью R c -50 км нив.

5.3 Обсуждение результатов

Помимо сравнения методических аспектов магнитного нисходящего продолжения, здесь будут обсуждаться несколько результатов с использованием реальных данных, которые в некоторых случаях имеют базовое и примерное значение.

Используя эти результаты с отдельными коэффициентами Гаусса в качестве примеров (рис. 2-8, подраздел 4.2), представлены некоторые особенности методов продолжения вниз (см. Подразделы 5.1 и 5.2). Варьирование параметров, количеств и влияний (разные сигма-модели, разная временная структура данных, включая ошибку данных, сравнение численных алгоритмов) позволяет оценить, какое влияние эти факторы могут оказать на интерпретацию результатов.Примеры глобального поля (8,8) (рис. 11 и 12) представляют собой временные интервалы, которые частично интерпретируются.

Одним из важных результатов является влияние неопределенности данных на результаты продолжения движения вниз. Этому вопросу следует уделить больше внимания. Рисунки на рис. 4 демонстрируют это, варьируя степень соответствия данных, тем самым моделируя различные предполагаемые диапазоны ε *.

Следует подчеркнуть, что средний временной отрезок каждого решения предоставляет наилучшую информацию о нисходящих продолжающихся входных данных (подраздел 5.2) при оценке интерпретируемого интервала (уравнение диффузии, интеграл свертки) требует дополнительных расчетов (для решения прямых начально-краевых задач для альтернативных моделей проводимости). Рис.5, показывающий зависимость гармонической функции начального значения от верхней граничной функции (« данные »), дает результат, что временной интервал от одного до двух лет (модель проводимости 2) или порядка 5-10 лет (модель проводимости 1) вначале достаточно, чтобы можно было пренебречь влиянием начального условия на решение.Это также можно оценить с помощью ядер, которые отражают (обратные) локальные и временные свойства переноса (изменение амплитуды и фазовый сдвиг) между данными на поверхности Земли и компонентами поля глубинных недр Земли (рис. 6). В частности, влияние различных моделей проводимости, связанных с геометрией, может быть изучено таким способом, где положительная часть оси ординат отождествляется с ядром гармонического продолжения вниз (случай нулевой проводимости). В соответствии с этими аспектами были выделены также эпохи (1910, 1960) радиальной компоненты представленных (8,8) полей границы ядро ​​– мантия (рис. 11 и 12).

Уместным для результатов продолжения вниз является выбор модели проводимости, который сам по себе является предметом дискуссий. Это можно увидеть по кривым ядер, которые характеризуют переходные свойства (рис. 6), а также непосредственно в примерах на рис. 7, где периодичности и другие специфические модулированные части более очевидны. Основная наблюдаемая особенность — разные фазовые сдвиги для разных моделей проводимости. С большей глубиной и достаточно высокими значениями проводимости раствор становится более модулированным.Эффекты фазового сдвига и усиления амплитуды очень велики для высоких значений проводимости, например ниже реликтового излучения. Чтобы ограничить обсуждение, мы предполагаем гипотетически пассивный, неподвижный слой (обсуждается). В то время как гармоническое продолжение вниз воспроизводит только поверхностную временную структуру и, таким образом, не показывает сдвига фазы, два других метода продолжения вниз дают разные результаты (рис. 9b и 10b), что становится более значимым для данных, содержащих высокочастотные части.Различия в спектральном поведении этих методов, особенно в чувствительности к фазовому сдвигу, можно увидеть на рис. 8. Этот вопрос следует изучить более подробно, когда станут доступны более плотные наборы данных.

Временные свойства, которые могут быть получены из пар, представленных на рисунках 11 и 12, подтверждают результаты, обсужденные ранее для продолжения вниз отдельных коэффициентов Гаусса (временная модуляция с увеличением глубины, фазовый сдвиг и усиление амплитуды).

Если мы рассмотрим те рисунки, которые представляют одно и то же время для разных глубин (например, рисунки слева на рисунках 11a и 12a для 1910 года), пространственные особенности региональных аномалий могут быть лучше разрешены, особенно вокруг южного полюса и под Сибирью. Аналогичные наблюдения относительно пространственной структуры геомагнитного поля можно сделать и для 1960 года. Из этих значительных пространственных модуляций можно сделать вывод, что поле скоростей в верхнем слое внешнего ядра жидкости должно иметь более тонкую структуру с увеличением глубины.На рисунках 11 (c) и 12 (c), соответственно, показаны глобальные (8,8) остаточные поля, то есть различия между негармоническим и гармоническим продолжением вниз для обоих уровней продолжения вниз и двух временных точек. Временная и локальная изменчивость (до 15000 нТл на CMB) выявляет некоторые новые структуры, которые напрямую не коррелируют с известными по гармоническому продолжению вниз. Таким образом, мы обнаружили, что высокопроводящие слои вблизи реликтового излучения могут значительно изменить результаты продолжения по сравнению с продолжением гармоники вниз.Это будет иметь последствия для физических величин, связанных с магнитным полем на реликтовом фоновом излучении.

Сравнение методов можно резюмировать следующим образом: для слабой проводимости мантии, особенно модели 2, и длинноволновых сглаженных данных Bloxham & Jackson (1992), результаты обоих методов продолжения вниз показывают очень небольшие различия. Результаты, полученные с помощью процедуры негармонического продолжения вниз, могут отличаться от результатов, основанных только на чисто гармоническом продолжении вниз компонентов магнитного поля.Как видно из дополнительного примера синтеза с более высокой частотой и тех, которые явно используют более высокую проводимость ниже реликтового излучения, наблюдаются явные различия между всеми методами.

Таким образом, мы заключаем, что представленный здесь метод решения негармонического продолжения вниз является альтернативой методу возмущения, особенно для тех случаев, во-первых, когда манипуляции с данными приводят к потере спектральной информации, необходимой в субдекадном диапазоне ( например, для рывков) и во-вторых, где предполагаются модели проводимости с проводимостью выше 10 8 S.Остаточные поля (рис. 11b и 12b), представленные как различия между продолжениями негармонического и возмущающего приближения, показывают изменчивость — не только во внешнем ядре, но и на реликтовом излучении (порядка 5000 нТл), что значительно отличается от этого. доминирующей гармонической части поля. Таким образом, применение этого метода оправдано тем, что позволяет выявить региональные и локальные структуры магнитного поля и движения жидкости во внешнем ядре, особенно при наличии зон с более высокой проводимостью.

5,4 Будущая работа

Дальнейшее улучшение существующих результатов зависит от качества данных, особенно потому, что в значительной степени неизвестный шум старых данных или если данные были предварительно сглажены, означает, что результаты процесса продолжения вниз имеют лишь ограниченную достоверность. Чтобы получить более точные оценки ошибок магнитного поля на границе ядро-мантия, необходимо найти более адекватные зависящие от времени неопределенности для коэффициентов Гаусса g нм и h нм и генерировать оценки влияния зависящих от времени ошибок на построение решений обратной краевой задачи.Что касается связанной методологии и теории, их следует развивать в разных направлениях. Двумерная или трехмерная структура позволила бы изучить региональные и местные эффекты, однако это потребует включения тороидального поля и, следовательно, дополнительных теоретических элементов. Другой проблемой является обработка магнитного поля около сердечника в движущихся средах, чтобы найти приближение не только для поверхности сердечника, но до некоторой степени для ограниченной глубины внутри сердечника. Такой подход должен включать совместное моделирование и инверсию различных глобальных и локальных явлений (вращение Земли, механизмы связи, баланс, магнитожидкостное движение и т. Д.).), чтобы прийти к более четкой интерпретации магнитных данных и других косвенных величин. В связи с этим было бы полезно уменьшить требуемые вычислительные ресурсы, например, с помощью выбор адаптированных базисных структур и других типов приближений и алгоритмов.

В ближайшем будущем метод продолжения вниз будет применяться при моделировании геомагнитных данных с высоким разрешением, например из датских спутниковых миссий Ørsted и немецкого CHAMP (Olsen 2000; Reigber 2000) и в обратном исследовании (движущихся) верхних слоев жидкого внешнего ядра.Эти приложения нашего формализма станут проблемой для числовой обработки.

Благодарности

Мы благодарим Дж. Готтлиба (Карлсруэ, Форт-Коллинз (Колорадо)), наших коллег К. Флеминга и Р. Холма (оба из GFZ Potsdam) за некоторые критические и обнадеживающие замечания. Выражаем благодарность за подробные обзоры Y. Honkura (Токио) и G. Hulot (Париж). Их ценные советы и требования помогли нам улучшить качество бумаги. Мы благодарны нашим коллегам Еве Фельсманн и Гансу Кюну за их техническую помощь.

Список литературы

1999

Оценка средней проводимости нижней мантии с помощью вейвлет-анализа геомагнитных рывков

J. geophys. Res.

104

17735

17745

1965

Dover Publications

Нью-Йорк

1981

Долгопериодные геомагнитные вариации и проводимость мантии: инверсия по методу Бейли

Geophys.J. R. astr. Soc.

65

579

601

1995

Über ein nicht-charakteristisches Cauchy-Problem bei der geomagnetischen Kern-Mantel-Kopplung

Z. Angew. Математика. Мех. (ZAMM)

75

S613

S614

1978

Сферические гармонические модели геомагнитного поля

Инст. Геол. Sci., Geomagn. Бык.

8

66

6

1983

Быстрая диффузия полоидального геомагнитного поля через слабопроводящую мантию: решение возмущения

Geophys.J. R. astr. Soc.

75

77

100

1989

Простые модели течения жидкости на поверхности керна, полученные на основе моделей геомагнитного поля

Geophys. J. Int.

99

173

182

1992

Временное картирование магнитного поля на границе ядро ​​– мантия

J. geophys. Res.

97

19537

19563

1999

Динамика стабильно стратифицированного океана в кровле керна

Phys.Планета Земля. Интер.

111

21

34

10

1977

Экранирование магнитного поля в мантии при удельной электропроводности, сосредоточенной вблизи границы ядра

Geomag. Аэрон.

17

907

(на русском языке)

1984

Одномерное уравнение теплопроводности

Vol.

23

Эддисон-Уэсли, Рединг, Массачусетс.

1992

Clarendon Press

Оксфорд

1992

Vol.

1

Издательство Elsevier Science

Амстердам

1993

Ограничения на электропроводность мантии по результатам полевых и лабораторных измерений

J. Geomag. Геоэлектр.

45

707

728

1995

Нехарактерная задача Коши для линейных параболических уравнений I: разрешимость

Матем. Nachr.

171

177

206

1991

Нехарактерная задача Коши для уравнения теплопроводности

Acta Appl.Математика.

24

1

27

1983

Численное решение нехарактерной задачи Коши для параболического уравнения

в , стр.

246

268

18

1989

Оценки устойчивости и регуляризация обратной задачи теплопроводности

Числ. Функц. Анальный. и Оптимиз.

10

517

540

19

1996

.

Kluwer Academic Publishers

, г.

Дордрехт

20

1987

Влияние электромагнитных моментов связи ядра и мантии на вращение Земли

Astr.Nachr.

308

17

26

21

1993

Десятилетние вариации вращения Земли и связь геомагнитного ядра и мантии

J. Geomag. Геоэлектр.

45

1333

1345

23

1998

Электромагнитная связь ядро ​​– мантия-II. Проводимость глубинной мантии

, дюйм , стр.

139

151

24

1998

Электромагнитный отклик мантии на долгопериодные геомагнитные вариации на земном шаре

Земля Планеты Космос

50

651

662

25

1987

Стабилизация некорректных задач Коши для параболических уравнений

Ann.Мат. Pura Appl.

CIL IV

393

409

26

1988

Оптимальная оценка устойчивости некоторых некорректных задач Коши для параболического уравнения

Math. Методы Прил. Sci.

10

575

583

27

1980

.

Академия Верлаг

,

Берлин

28

1998

Стратификация внешнего ядра на границе ядро ​​– мантия

Phys.Планета Земля. Интер.

105

5

19

29

1952

Abhandlungen Geophysikalisches Institut, Потсдам, № 5, стр.

5

58

30

1959

Über das aus dem Erdinneren stammende Magnetfeld

, in, ed. 31

1994

Магнитосферные и ионосферные сигналы в магнитной обсерватории среднемесячные значения: электропроводность глубокой мантии

J. geophys. Res.

99

13577

13590

32

2000

Модель первоначального месторождения Эрстеда

Geophys.Res. Lett.

27

3607

3610

33

1992

Влияет ли инфильтрация основного вещества в нижнюю мантию на наблюдаемое геомагнитное поле?

Phys. Планета Земля. Интер.

73

29

37

34

1996

Справочник по электротехнике серии

,

CRC Press

,

Бока-Ратон

35

и другие. и другие. и другие.

2000

Статус миссии CHAMP

, в , Vol. 120, стр.

Springer

,

Берлин

63

65

36

и другие. и другие.

1993

О приближенном решении некорректно поставленных задач Коши для параболических дифференциальных уравнений

, in , Vol. 74, с.

Академия-Верлаг

,

Берлин

284

298

37

1960

Геомагнитный дрейф в западном направлении и неоднородности вращения Земли

Phil.Пер. R. Soc. Лондон.

А.,

252

531

555

38

1985

Спектрально-статистический пространственный анализ 60- и 30-летних вариаций геомагнитного поля и проводимости нижней мантии

Ann. Geophys.

3

225

238

39

1993

Электропроводность нижней мантии Земли

Природа

366

453

455

40

1965

Магнитная диффузия в сферически-симметричной проводящей мантии

Geophys.J. R. astr. Soc.

9

169

184

41

1984

Зависящая от времени электромагнитная связь ядро ​​– мантия

Phys. Планета Земля. Интер.

36

49

60

42

1983

Methodische Untersuchungen zur Inversion geothermischer Daten

43

1984

Продолжение вниз данных теплового потока с помощью метода наименьших квадратов

Tectonophysics

103

55

66

44

1965

Замечание о единственности нехарактерной задачи Коши для уравнений параболического типа

Proc.Япония Acad. Сер. Математика. Sci.

41

65

70

© 2002 РАН

Модуль 8 — Магнитная индукция

Модуль 8 — Магнитная индукция
  • Содержание>
  • Модуль 8 — Магнитная индукция

ВВЕДЕНИЕ

Магнитная индукция — это создание электрического тока за счет изменения магнитного потока, который определяется силой магнитного поля и перпендикулярной площадью, на которую оно действует.Некоторая предыстория необходима для понимания приведенного выше утверждения. Ученые давно показали, что ток в проводе создает вокруг него магнитное поле. Короче говоря, ток может создавать магнитные поля. Майкл Фарадей и другие ученые его времени задавались вопросом, правда ли обратное — можно ли создать электрический ток из магнитного поля? Эксперимент Фарадея состоял из электромагнита на одной стороне (источник питания, прикрепленный к проводу, намотанному на одну сторону железного кольца), и проводу, намотанному вокруг другой стороны железного кольца, а затем подключенному к гальванометру.Фарадей обнаружил, что когда цепь была замкнута (электромагнит включен), гальванометр регистрировал небольшое количество тока (положительное значение), но только в течение очень короткого времени, прежде чем вернуться к нулю. Когда цепь была отключена, датчик показал небольшое количество тока, но он был в противоположном направлении (отрицательное значение) — снова, только очень короткое время, прежде чем вернуться к нулю. Но Фарадей не сразу понял, почему он видит ток только тогда, когда он замыкает или размыкает переключатель, а не когда электромагнит постоянно включен.Чтобы решить его дилемму, нам необходимо понять специфику магнитной (или электромагнитной) индукции, а именно магнитный поток .

МАГНИТНЫЙ ПОТОК

Магнитный поток — это то, как на материал действует магнитное поле. Можно провести аналогию с тем, как солнечный свет влияет на такие материалы, как вы. Получите ли вы солнечный ожог или нет, зависит от интенсивности солнечного света, который, в свою очередь, является продуктом двух ключевых факторов (помимо покрытия): количества падающего солнечного света и угла, под которым он падает на вас.Сильный луч солнечного света прямо на вытянутую руку может довольно быстро вызвать ощущение тепла или жара. Эффект заключается в том, что вы легче обгораете, когда солнце находится выше всего в небе и светит прямо на вас (большая интенсивность, потому что свет падает на вас под углом около 90 ° — плечи, макушка, нос и т. Д. .). Однако, когда тот же самый падающий луч солнечного света падает на вас под косым углом, площадь, покрываемая лучом, больше, что снижает интенсивность. В результате вы обычно не обгораете ближе к вечеру.Точно так же магнитный поток (относящийся к изменению) является произведением силы магнитного поля и площади поверхности, перпендикулярной ему. Однако, в отличие от примера с солнечным светом, мы ищем изменение магнитного потока, которое может быть вызвано изменением любого из этих двух факторов. Постоянное магнитное поле в постоянной области не будет производить ток (как обнаружил Фарадей). Либо магнитное поле должно измениться — увеличиваться, уменьшаться или менять полярность — либо площадь поверхности материала, перпендикулярная полю, должна изменяться — увеличиваться или уменьшаться.Примечание. Изменение угла наклона материала изменяет угол падения магнитного поля и, таким образом, изменяет площадь перпендикулярной поверхности. Если объект параллелен магнитному полю, нет перпендикулярной площади поверхности и магнитного потока ( φ ). Таким образом, экспериментальный аппарат Фарадея регистрировал ток (магнитную индукцию) только во время размыкания или замыкания цепи, потому что это был единственный раз, когда в магнитном потоке происходило изменение на .

МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

«Магнитная индукция — это создание электрического тока за счет изменения магнитного потока, который определяется силой магнитного поля и перпендикулярной площадью, на которую оно действует.»Это вступительное заявление теперь должно быть легче понять. Когда катушка проводов проходит через перпендикулярное магнитное поле, возникает магнитная индукция. Изменение магнитного потока вызывает электрический ток. Магнитные поля измеряются в единицах тесла (Тл), названных в честь Николы Тесла. Поскольку единица тесла довольно велика, большинству магнитов требуются микро- или миллипрефиксы для описания силы их магнитных полей. Также используется единица гаусс (Гс) (1 Гс = 10 –4 Тл).

ПРОЦЕДУРА

Этот эксперимент состоит из пяти частей.
Разное

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *