Прямоугольное тело было создано вокруг демпфера, который представляет воздух, который действует как магнитный изолятор.Двухмерная осесимметричная геометрия, созданная в COMSOL, показана на рисунках 6 (a) и (b). Картированная сетка была создана, как показано на рисунке 6 (c). Эта модель была протестирована для определения плотности магнитного потока, генерируемого в жидкостном зазоре из-за изменения тока в электромагнитной катушке. В данном исследовании использовалась жидкость MRF 132DG из-за более широкого диапазона рабочих температур жидкости. Свойства жидкости MR приведены в таблице 2 [26]. Нелинейные магнитные свойства жидкости MR — кривая BH, показанная на рисунке 7, и предел текучести в зависимости от напряженности магнитного поля этой жидкости предоставлены Lord Corporation, показанными на рисунке 8.Низкоуглеродистая сталь AISI 1018 предназначена для поршня, цилиндра и штока [27]. Нелинейные магнитные свойства низкоуглеродистой стали доступны в библиотеке материалов COMSOL. Медный материал использовался для моделирования многооборотной катушки с числом витков 350. Он был реализован как индуктор напряженности магнитного поля и для упрощения был представлен в виде сосредоточенной модели.

Увеличить Уменьшить Сбросить размер изображения

Рисунок 7. Типичные магнитные свойства MRF 132DG фирмы Lord. Воспроизведено с разрешения из [28]. © 2011 LORD Corporation.

Загрузить рисунок:

Увеличить Уменьшить Сбросить размер изображения

Рис. 8. Типичные магнитные свойства MRF 132DG от Lord Corporation. Воспроизведено с разрешения из [28]. © 2011 LORD Corporation.

Загрузить рисунок:

Таблица 2. Свойства MRF 132 DG.

Закон Ампера использовался для создания магнитного поля в модели и определяющем соотношении, используемом в жидкости MR. Низкоуглеродистая сталь была нелинейной Кривая HB.Определяющее соотношение, как в уравнении (15), использовалось в законе Ампера катушки и воздушного тела.

В модуль MF добавлено граничное условие осевой симметрии. Для изоляции модели использовалась воздушная граница. В качестве соленоида использовалась многооборотная катушка. Переменный ток (I) был определен так, чтобы давать переменный входной ток, который затем будет генерировать ток в катушке. Моделирование проводилось со стационарным исследованием и параметрической разверткой с использованием переменного тока от 0 А, 0,5 А, 1 А, 1,5 А, 2 А, 2,5 А для магнитостатических расчетов.Следовательно, создавалось магнитное поле, перпендикулярное катушке.

Уравнения магнитостатики являются уравнениями Максвелла, и они приведены в уравнениях (19) и (20)

Дж — плотность тока, которая задается в уравнении (21)

, в котором говорится, что магнитное поле было индуцировано из-за приложенной плотности тока J.

Для квазистатического состояния использовалось уравнение (21)

Это было получено из закона Гаусса, который был эквивалентен утверждению, что силовые линии не имеют ни начала, ни конца: каждая из них либо образует замкнутую петлю, либо вращается без конца. вполне присоединяется к себе точно или простирается до бесконечности.

Определяющее соотношение для закона Ампера между B и H для жидкости MR и низкоуглеродистой стали было определено как функция друг друга с кривой интерполяции, указанной в уравнении (23).

Je — внешняя плотность тока, подаваемая на катушку и приведенная в уравнении (24)

Магнитная изоляция была обеспечена в модели FEA с использованием уравнения (25)

Магнитостатический анализ был выполнен с использованием модели FEA в COMSOL.

Анализ магнитной цепи был выполнен с использованием МКЭ, и плотность магнитного потока, интенсивность магнитного потока и соответствующий предел текучести были получены в зазоре потока жидкости в демпфере MR.Результаты моделирования плотности и интенсивности магнитного потока для тока 1 А приведены на рисунках 9 (а) и (b), а график плотности магнитного потока относительно изменения входного тока от 0 до 3 А показан на рисунке 10. Было замечено, что как входной ток увеличивается, плотность магнитного потока и, следовательно, интенсивность пропорционально возрастают. С помощью FEM-анализа в жидкостном зазоре была создана плотность магнитного потока 0,61 Тл и плотность магнитного потока 122 кА / м. Таблица 3 включает изменение входного тока, плотности магнитного потока и интенсивности магнитного потока в зазоре для потока жидкости.Таким образом, из рисунка 8 следует, что в жидкости создается предел текучести 34 кПа. Принимая во внимание, что с использованием теории магнитной цепи была создана плотность магнитного потока 0,64 Тл, а с использованием уравнения (16) предел текучести был рассчитан как 34 кПа. Разница в 4,8 процента между двумя результатами объясняется рассмотрением нелинейной кривой BH в конечно-элементном анализе по сравнению с линейным учетом зависимости BH в теории магнитной цепи. Сделан вывод, что напряжение текучести, создаваемое в жидкости, ниже динамического напряжения текучести 50 кПа для MRF 132 DG, следовательно, вязкость жидкости увеличивается, как указано в уравнениях (17) и (18).

Увеличить Уменьшить Сбросить размер изображения

Рисунок 9. Плотность и интенсивность магнитного потока в демпфере MR.

Загрузить рисунок:

Увеличить Уменьшить Сбросить размер изображения

Рис. 10. Плотность магнитного потока в зависимости от входного тока.

Загрузить рисунок:

Таблица 3. Изменение плотности и интенсивности магнитного потока при изменении тока.

В данном исследовании было предложено сравнение результатов моделирования электромагнитной цепи и теории магнитной цепи однотрубного MR демпфера.Пакет программного обеспечения FEA COMSOL помогает реалистично отображать материалы, тип рулона, поворот рулона и граничные условия для получения точных результатов. Исследование, использованное в этом FEA, утверждает, что плотность магнитного потока линейно увеличивается с увеличением приложенного тока. Проницаемость низкоуглеродистой стали выше, чем у жидкости MR; следовательно, магнитный поток, наблюдаемый в материале поршня, больше, чем у жидкости MR. Сделан вывод, что плотность магнитного потока, интенсивность и предел текучести в жидкости MR демпфера MR, проанализированные с помощью FEA, подтверждены с использованием теории магнитной цепи.

Закон Ленца — Университетская физика, том 2

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Используйте закон Ленца для определения направления наведенной ЭДС при изменении магнитного потока
• Используйте закон Фарадея с законом Ленца, чтобы определить наведенную ЭДС в катушке и соленоиде

Направление, в котором наведенная ЭДС движет ток по проволочной петле, можно определить через отрицательный знак.Однако обычно это направление легче определить с помощью закона Ленца, названного в честь его первооткрывателя Генриха Ленца (1804–1865). (Фарадей также открыл этот закон, независимо от Ленца.) Мы формулируем закон Ленца следующим образом:

Закон Ленца

Направление индуцированной ЭДС движет ток по проволочной петле, чтобы всегда противодействовать изменению магнитного потока, вызывающему ЭДС.

Закон Ленца также можно рассматривать с точки зрения сохранения энергии. Если толкание магнита в катушку вызывает ток, энергия в этом токе должна исходить откуда-то.Если индуцированный ток вызывает магнитное поле, противодействующее увеличению поля магнита, который мы втолкнули, тогда ситуация ясна. Мы приложили магнит к полю и поработали с системой, и это проявилось как ток. Если бы индуцированное поле не препятствовало изменению магнитного потока, магнит был бы втянут, создавая ток без каких-либо действий. Была бы создана электрическая потенциальная энергия, нарушив закон сохранения энергии.

Чтобы определить наведенную ЭДС, вы сначала вычисляете магнитный поток, а затем получаете Величину, заданную по формуле. Наконец, вы можете применить закон Ленца для определения значения.Это будет развиваться на примерах, которые иллюстрируют следующую стратегию решения проблем.

Стратегия решения проблем: закон Ленца

Чтобы использовать закон Ленца для определения направлений индуцированных магнитных полей, токов и ЭДС:

1. Сделайте набросок ситуации для использования при визуализации и записи направлений.
2. Определите направление приложенного магнитного поля
3. Определите, увеличивается или уменьшается его магнитный поток.
4. Теперь определите направление индуцированного магнитного поля. Индуцированное магнитное поле пытается усилить магнитный поток, который уменьшается, или противодействует магнитному потоку, который увеличивается. Следовательно, индуцированное магнитное поле добавляет или вычитает приложенное магнитное поле в зависимости от изменения магнитного потока.
5. Используйте правило правой руки 2 (RHR-2; см. Магнитные силы и поля), чтобы определить направление индуцированного тока I , ответственного за индуцированное магнитное поле
6. Направление (или полярность) наведенной ЭДС теперь может управлять обычным током в этом направлении.

Применим закон Ленца к системе (Рисунок) (а). Мы обозначаем «перед» замкнутой проводящей петли как область, содержащую приближающийся стержневой магнит, а «заднюю часть» петли как другую область. По мере того, как северный полюс магнита движется к петле, поток через петлю из-за поля магнита увеличивается, потому что напряженность силовых линий, направленных от передней части петли к задней, увеличивается. Поэтому в контуре индуцируется ток. По закону Ленца направление индуцированного тока должно быть таким, чтобы его собственное магнитное поле было направлено таким образом, чтобы противодействовать изменяющемуся потоку, вызванному полем приближающегося магнита.Следовательно, индуцированный ток циркулирует так, что силовые линии его магнитного поля через петлю направлены от задней части петли к передней. При использовании RHR-2 поместите большой палец напротив силовых линий магнитного поля, то есть к стержневому магниту. Ваши пальцы сгибаются против часовой стрелки, если смотреть со стороны стержневого магнита. В качестве альтернативы, мы можем определить направление индуцированного тока, рассматривая токовую петлю как электромагнит, который противодействует приближению северного полюса стержневого магнита.Это происходит, когда индуцированный ток течет, как показано, поскольку тогда поверхность петли ближе к приближающемуся магниту также является северным полюсом.

Изменение магнитного потока, вызванное приближением магнита, индуцирует ток в контуре. (а) Приближающийся северный полюс индуцирует ток против часовой стрелки по отношению к стержневому магниту. (b) Приближающийся южный полюс индуцирует ток по часовой стрелке относительно стержневого магнита.

На части (b) рисунка показан южный полюс магнита, движущийся к проводящей петле.В этом случае поток через петлю из-за поля магнита увеличивается, потому что количество силовых линий, направленных от задней части петли к передней, увеличивается. Чтобы противодействовать этому изменению, в петле индуцируется ток, силовые линии которого через петлю направлены спереди назад. Эквивалентно, мы можем сказать, что ток течет в направлении, так что поверхность петли ближе к приближающемуся магниту является южным полюсом, который затем отталкивает приближающийся южный полюс магнита.При использовании RHR-2 ваш большой палец направлен в сторону от стержневого магнита. Ваши пальцы сгибаются по часовой стрелке, что соответствует направлению индуцированного тока.

Другой пример, иллюстрирующий использование закона Ленца, показан на (Рисунок). Когда переключатель разомкнут, уменьшение тока через соленоид вызывает уменьшение магнитного потока через его катушки, что вызывает ЭДС в соленоиде. Эта ЭДС должна противодействовать вызывающему его изменению (прекращению тока). Следовательно, наведенная ЭДС имеет указанную полярность и движется в направлении исходного тока.Это может вызвать дугу на выводах переключателя при его размыкании.

(а) Соленоид, подключенный к источнику ЭДС. (b) Размыкающий переключатель S прекращает подачу тока, что, в свою очередь, вызывает ЭДС в соленоиде. (c) Разность потенциалов между концами заостренных стержней создается за счет индукции ЭДС в катушке. Эта разность потенциалов достаточно велика, чтобы образовалась дуга между острыми точками.

Проверьте свое понимание Найдите направление индуцированного тока в проводной петле, показанной ниже, когда магнит входит, проходит и покидает петлю.

Для показанного наблюдателя ток течет по часовой стрелке по мере приближения магнита, уменьшается до нуля, когда магнит центрируется в плоскости катушки, а затем течет против часовой стрелки, когда магнит покидает катушку.

Проверьте свое понимание Проверьте направления наведенных токов на (рисунок).

Сводка

• Мы можем использовать закон Ленца для определения направлений индуцированных магнитных полей, токов и ЭДС.
• Направление наведенной ЭДС всегда противодействует изменению магнитного потока, вызывающему ЭДС, результат, известный как закон Ленца.

Концептуальные вопросы

Круглые токопроводящие петли, показанные на прилагаемом рисунке, параллельны, перпендикулярны плоскости страницы и соосны. (a) Когда переключатель S замкнут, в каком направлении индуцируется ток в D ? (b) Когда переключатель разомкнут, какое направление тока индуцируется в контуре D ?

а.CW со стороны схемы; б. Против часовой стрелки, если смотреть со стороны схемы

Северный полюс магнита перемещается к медной петле, как показано ниже. Если вы смотрите на петлю сверху магнита, скажете ли вы, что индуцированный ток циркулирует по или против часовой стрелки?

На прилагаемом рисунке показано проводящее кольцо в различных положениях при его движении в магнитном поле. В чем смысл индуцированной ЭДС для каждой из этих позиций?

При входе в контур наведенная ЭДС создает ток против часовой стрелки, а при выходе из контура индуцированная ЭДС создает постоянный ток.В то время как петля полностью находится внутри магнитного поля, нет изменения потока и, следовательно, нет индуцированного тока.

Покажите, что и у вас такие же единицы.

Укажите направление индуцированного тока для каждого случая, показанного ниже, наблюдая со стороны магнита.

а. Против часовой стрелки, если смотреть со стороны магнита; б. CW, если смотреть со стороны магнита; c. CW, если смотреть со стороны магнита; d. Против часовой стрелки, если смотреть со стороны магнита; е. CW, если смотреть со стороны магнита; f. нет тока

Проблемы

Одновитковая круглая петля из проволоки радиусом 50 мм лежит в плоскости, перпендикулярной пространственно однородному магнитному полю.За интервал времени 0,10 с величина поля равномерно увеличивается от 200 до 300 мТл. (а) Определите ЭДС, наведенную в петле. (б) Если магнитное поле направлено за пределы страницы, каково направление тока, индуцируемого в петле?

а. ; б. Против часовой стрелки с той же точки зрения, что и магнитное поле

При первом включении магнитного поля поток через 20-витковую петлю изменяется со временем в зависимости от того, где он находится в милливеберах, t в секундах, а петля находится в плоскости страницы с нормальным направлением устройства наружу.(а) Какая ЭДС индуцируется в контуре как функция времени? Каково направление индуцированного тока при (b) t = 0, (c) 0,10, (d) 1,0 и (e) 2,0 с?

а. 150 А вниз через резистор; б. 46 А вверх через резистор; c. 0,019 А вниз через резистор

Используйте закон Ленца для определения направления индуцированного тока в каждом случае.

Глоссарий

Закон Ленца

направление наведенной ЭДС противодействует изменению магнитного потока, создавшего ее; это отрицательный знак в законе Фарадея

Определение магнитного поля в пограничной зоне ядро ​​– мантия негармоническим продолжением вниз | Международный геофизический журнал

Сводка

Продолжительность дня и геомагнитное поле четко коррелируют по десятилетним периодам (10–100 лет).При условии, что электропроводность нижней мантии достаточно высока, значительная часть этой корреляции может быть объяснена электромагнитной связью ядро-мантия. Изучение связанного крутящего момента взаимодействия ядра и мантии и полей скорости жидкости у поверхности ядра, а также интерпретация наблюдаемого временного лага между продолжительностью дня и вариациями геомагнитного поля требует расчета изменяющегося во времени магнитного поля вблизи и на границу ядро ​​– мантия путем решения уравнения магнитной индукции.Такое решение представляет собой продолжение поля вниз, которое имеет негармонический характер, если учесть электрическую проводимость.

В данной статье предполагается, что мантия Земли представляет собой двухслойную сферическую оболочку, внутренний слой которой является электропроводным. Мы рассматриваем только полоидальную часть магнитного поля с граничными значениями, которые обычно задаются разложением по сферической гармонике наблюдаемого поля геомагнитного потенциала на поверхности Земли. Таким образом, нас интересует односторонняя задача с поддержкой данных, аналогичная обратной задаче теплопроводности (или задаче уравнения боковой теплопроводности), хорошо известной как некорректная обратная краевая задача для параболического уравнения в частных производных (диффузия уравнение).

Мы разрабатываем процедуру решения этой обратной задачи в интегральной форме, состоящую из нескольких этапов, и используем специальный метод регуляризации для окончательного решения. Возможности этого метода продолжения вниз (который включает изменение модели мантийной проводимости, качество аппроксимации данных в регуляризации и две разные глубины) представлены и обсуждаются в сравнении с методом возмущений и обычным гармоническим продолжением вниз. Используемые ряды данных представляют собой компоненты одиночного магнитного поля (коэффициенты Гаусса) разложения сферического гармонического поля (Bloxham & Jackson 1992, J.геофизики. Res. , 97 , 19 537–19 563) с 1840 по 1990 год. Кроме того, для исследования спектральных эффектов (изменение амплитуд, фазовый сдвиг) используется искусственный ряд данных.

Основным результатом является продолжение вниз радиальной компоненты глобального (8,8) поля на границу ядро ​​– мантия, полученное разными методами и для двух эпох, 1910 и 1960 годов. Сравнение результатов с возмущением Решение выявляет переменные во времени и локально разности порядка 5000 нТл, а разница до гармонического продолжения вниз составляет 15000 нТл.

1 Введение

Для различных геофизических задач, таких как связь ядро-мантия, моделирование динамо и электромагнитная (ЭМ) индукция мантии, требуется знание геомагнитного поля внутри мантии и на границе ядро-мантия (CMB). Частной проблемой, поведение магнитного поля которой изучается в данной статье, является возбуждение декадных вариаций длины дня (ΔLOD) за счет взаимодействия электромагнитного ядра и мантии. Соответствующие крутящие моменты электромагнитной связи обычно выводятся из геомагнитного поля в электропроводящей мантии (например,грамм. Рочестер 1960 г.). Если известна проводимость мантии σ _M , магнитное поле в мантии можно определить, решив уравнение индукции.

Полоидальная часть магнитного поля выводится из его значений на поверхности Земли путем обратных решений этого уравнения. С другой стороны, тороидальная часть геомагнитного поля, которая определяет важную часть электромагнитных моментов, не может наблюдаться на поверхности Земли. Однако граничные значения тороидального поля из-за адвекции поля могут быть выведены из поля скоростей жидкого внешнего ядра и полоидального геомагнитного поля в CMB (например.грамм. Стикс и Робертс 1984). Следовательно, полоидальное геомагнитное поле на CMB должно быть известно как можно точнее.

Помимо геофизических последствий рассматриваемых здесь проблем, интерес представляют математические вопросы. Определение полоидального магнитного поля в мантии требует решения параболического уравнения в частных производных, которое выводится из уравнения векторной индукции. Необходимые граничные условия связаны с магнитными наблюдениями на поверхности Земли.Если необходимо изучать поля с неограниченным временным поведением, то необходимо решать полную начально-краевую задачу. Однако определение полоидального магнитного поля не является стандартной задачей с начально-краевыми значениями, поскольку есть данные только с одной границы (поверхности Земли), а не с какой-либо внутренней поверхности, такой как CMB. Поэтому эта задача классифицируется как обратная краевая задача для параболического уравнения в частных производных. В отличие от этой проблемы, термин «прямая задача» используется, когда задается стандартная краевая задача, т.е.е. данные на обеих границах доступны.

Для расчета непотенциального поля на CMB до сих пор в основном применялись методы возмущений. Они заменяют неизвестную производную по времени заданной функцией времени. Тогда невозмущенное поле представляет собой изменяющееся во времени геомагнитное потенциальное поле, продолженное к реликтовому фону, в то время как возмущенное поле должно быть получено из уравнения индукции мантии в соответствии с заданными временными вариациями невозмущенного поля. Метод возмущений описан Брагинским и Фишманом (1977), Бентоном и Уэйлером (1983) и Стиксом и Робертсом (1984) и был применен к электромагнитному взаимодействию ядро-мантия Стиксом и Робертсом (1984), Грейнер-Май (1993) и Холм (1998).В этом методе магнитное поле преобразуется в серию полей, сходимость которых зависит от некоторых масштабных аргументов. Решение о возмущениях является полезным приближением геомагнитного поля, если оно плавно изменяется (например, в десятилетнем масштабе времени) в слабопроводящей мантии (т.е. σ _M настолько низкое, что ядро ​​может быть аппроксимировано идеальным проводником) . Он еще не был протестирован на быстрые изменения поля, субдекадные периоды и пространственно мелкомасштабные магнитные поля.Здесь мы разрабатываем другой алгоритм решения, в котором геомагнитное поле не аппроксимируется рядом, и решение не зависит a priori от масштабных аргументов.

Поскольку обратная краевая задача крайне некорректна, следует учитывать теоретические и численные нестабильности. Следовательно, учитывая шум данных и их спектральную структуру, необходим выбор стратегии регуляризации, которая формирует основу для стабильной процедуры решения.На этом этапе полезна близкая аналогия этой задачи с обратной задачей теплопроводности (часто называемой уравнением боковой теплопроводности или нехарактерной задачей Коши). Бентон и Уэйлер (1983) очень подробно описали аналогию между магнитной диффузией и теплопроводностью. Для геомагнитного продолжения вниз Bloxham (1989) использовал подход стохастической инверсии. Некоторые основные подходы к этим обратным задачам (теплопроводности) и многочисленные ссылки представлены в работах Динь Нхо Хао и Горенфло (1991) и Рейнхардта и Зейффарта (1993).

В этой статье негармоническое нисходящее продолжение полоидального магнитного поля к реликтовому фону решается численно с использованием процедуры, описанной в Ballani (1995). Это решение основано на инверсионном подходе, используемом в геотермии (Stromeyer, 1983, 1984), и включает некоторые теоретические элементы, представленные в Eldén (1983). После введения основных физико-математических задач (пп. 2.1 и 2.2) сформулируем обратную краевую задачу для продолжения вниз.Обсуждаются некоторые основные свойства инверсии (подраздел 3.1), за которыми следует математически обоснованное описание отдельных шагов метода решения (подраздел 3.2). В подразделе 3.3 содержится краткое описание метода возмущений для продолжения вниз, разработанного Бентоном и Уэйлером (1983). Затем негармонический метод продолжения вниз проходит численную проверку и вместе с подходом теории возмущений тестируется с использованием двух моделей мантийной проводимости, связанных с предполагаемым расслоением вблизи границы ядро-мантия.Результаты представляют собой единичные временные функции (сферические гармонические моды) и радиальную составляющую глобального (8,8) полоидального поля (показаны для двух эпох), рассчитанные для границы ядро-мантия и пассивного внешнего слоя ядра в 50 км под реликтовым излучением ( Подразделы 4.1 и 4.2). Исследование завершается обсуждением свойств используемых процедур и полученных результатов (подразделы 5.1 и 5.2), включая сравнение различных возможностей продолжения вниз единичных функций времени и глобального поля (подраздел 5.3). Включены некоторые предложения по будущей работе (подраздел 5.4).

2 Основные допущения и уравнения

2.1 Основные допущения

Мантия Земли представлена ​​жесткой оболочкой (рис.1) с внешним радиусом R _E (средний радиус Земли) и внутренним радиусом R _c (радиус ядра).

Рисунок 1

Геометрические допущения в сферически-симметричной проводящей модели Земли. σ ( r ) — электрическая проводимость, R _E = 6370 км, R _σ = 5480 км, R _c = 3480 км.

Рисунок 1

Геометрические допущения в сферически-симметричной проводящей модели Земли. σ ( r ) — электрическая проводимость, R _E = 6370 км, R _σ = 5480 км, R _c = 3480 км.

Stix & Roberts (1984) и Greiner-Mai (1987, 1993) обнаружили, что величины электромагнитных моментов согласуются с вариациями LOD, если σ ₀ = 3000 Sm ⁻¹ и α = 30, т.е.е. σ ₀ / α = 100. Для этой модели результирующая проводимость составляет 3,6 × 10 ⁸ S, значение, которое создает электромагнитную связь, соответствующую оценке ΔLOD (Holme 1998). Однако значение σ _M в нижней мантии все еще обсуждается (см. Подраздел 4.1), и необходимая проводимость также может быть получена с помощью других пространственных распределений проводящего материала (например, тонкого слоя на дне мантии). ).

Решения уравнения мантийной индукции получены для полоидального магнитного поля, B _p , части магнитного поля, которая может наблюдаться вне проводника.Как упоминалось во введении, тороидальное поле, которое невозможно наблюдать, в этой статье не рассматривается. Однако уравнения для полоидальной и тороидальной частей разделены для радиально распределенной проводимости мантии, и поэтому мы можем изучать поведение полоидального поля независимо от предположений, сделанных относительно тороидального поля. Мы представляем поле полоидальными и тороидальными скалярами, полоидальное скалярное поле, S , представлено разложением сферических гармоник, соответствующие коэффициенты которого называются (полоидальными) гармоническими модами.

2.2 Основные уравнения

Также из ур. (14) видно, что поле вековой вариации может быть получено через производные по времени, то есть с помощью вычисленных с использованием коэффициентов вековой вариации и вместо коэффициентов Гаусса.Следовательно, граничные значения гармонических мод и их производные по времени при r = R _σ могут быть получены из решения (17) в зависимости от коэффициентов Гаусса и их производных по времени (например, Mauersberger 1959; Barraclough 1978) .

3 Решение обратной краевой задачи

3.1 Основные свойства инверсии

Первое граничное условие в (22) прямо связаны с геомагнитными данными на поверхности Земли, как описано уравнением.(21). Второе условие, являющееся граничным условием третьего рода, касается перехода между непроводящей и проводящей оболочкой мантии и выводится из второго условия непрерывности в соотношении (16). Оба граничных условия в (22) даны для R _σ , т.е. только на одной стороне радиального интервала ( R _σ , R _c ) в отличие от обычно исследуемой стабильной двусторонние краевые задачи в области параболических дифференциальных уравнений.

Предыдущие теоретические результаты (например, Tsutsumi 1965; Knabner & Vessella 1987; Dinh Nho Hào 1995) означают, что можно предположить существование и единственность решений (22). Однако существует нестабильность, при которой более высокие колебательные части сигнала экспоненциально усиливаются (по крайней мере) в растворе с увеличением частоты и глубины (Engl 1996). Более того, неизвестная функция u ( R _c , t ) не может быть надежно восстановлена ​​для времен, близких к концу рассматриваемой эпохи.Третий эффект заключается в том, что нестабильность растет с увеличением коэффициента электропроводности (Элден, 1983).

Таким образом, из-за временной фильтрации, накладываемой проводящей мантией на сигнал, исходящий от ядра, очевидно, что любой высокочастотный шум, вносимый в наблюдаемые данные с поверхности Земли, будет иметь тенденцию вызывать сильную нестабильность в восстановленном поле при CMB. Решение этой проблемы требует либо тонкой математической обработки (см. E.грамм. Knabner & Vessella 1988; Engl & Manselli 1989), или просто ввести некоторую регуляризацию в обратный подход, который мы здесь используем.

. Начальное условие, входящее в обратную задачу (22), вносит некоторую степень произвола в решение.Этот эффект (см. Также разделы 4.2 и 5.2) наиболее силен в начале временного интервала реконструкции, но исчезает через некоторое время, так что впоследствии решение управляется только граничными значениями и базовой моделью (геометрией и проводимостью).

3.2 Построение решающего алгоритма

Недавно были разработаны и применены несколько процедур регуляризации для решения проблем, связанных с нестабильной обратной теплопроводностью (например, Dinh Nho Hào & Gorenflo 1991; Reinhardt & Seiffarth 1993).В данной работе разработан метод решения обратной задачи для дифференциального уравнения (22) в эквивалентной интегральной форме интегрального уравнения Вольтерра первого рода. Конечномерная аппроксимация неизвестной граничной функции с некоторой гладкостью ищется с помощью алгоритма регуляризации (24). Величина (где ∥ t ∥ _α означает любую норму) является мерой соответствия решения u граничным данным φ ( t ) на R _σ , которое зафиксировано на предопределенный уровень ошибки.Выбранный метод обратной аппроксимации является универсальным, то есть он не зависит от каких-либо аналитических возможностей и допускает произвольные функции коэффициентов в дифференциальном уравнении (22), такие как радиально изменяемая электрическая проводимость σ _M ( r ).

3.2.1 Этап подготовки

Алгоритм начинается с подготовительного этапа: разбиение исходной задачи (22) для u на две задачи с анзацем декомпозиции u ( r , t ) = v ( r , т ) + ш ( т , т ).Этот шаг направлен на устранение («сдвиг») начального условия ψ ( r ), чтобы более важная и сложная задача, связанная с w ( r , t ) могла работать с однородным начальное состояние.

Решение этой второй проблемы описано ниже. Для простоты мы сохраняем для (28) старые символы (22): т.е. u вместо w , φ ( t ) для граничных данных и f ( t ) = u ( R _c , t ) для неизвестной функции соответственно.

Для общего случая σ _M ( r ) ≠ постоянная ситуация более сложная и требует метода без предварительного знания интегрального ядра k ( t ) для инвертирования (29) . Следовательно, чтобы преодолеть эту трудность, наш алгоритм инверсии выполняется в два этапа:

• (1)

  идентификация аппроксимирующей матрицы ( a _ik ) для оператора A в (29)

• (2)

  обращение (29) с помощью регуляризации, соответствующей (24).

3.2.2 Идентификация аппроксимирующей матрицы

Из-за ядра свертки в интегральном уравнении (29) матрица ( a _ik ) имеет особую структуру: каждая диагональ (вверху слева направо внизу) содержит одинаковые элементы (матрица Теплица) и для k > i содержит a _ik = 0.Это означает, что необходимо вычислить только первый столбец матрицы ( k = 1). Остальные (т.е. k = 2,…, N) затем генерируются путем итеративного сдвига их элементов вниз. Следовательно, реализация этого шага (3.2.2) требует только численного решения одной стабильной задачи, которая является уравнением. (33).

3.2.3 Шаг инверсии

Ур. (37) представляет собой дискретную задачу наименьших квадратов с квадратичными ограничениями. Мы решаем эту проблему, используя алгоритм DISCREP из хорошо зарекомендовавшего себя инструментария регуляризации общественного достояния Хансена (1998). Он сводит задачу (37) к последовательности классических шагов тихоновской регуляризации, которые нелинейно связаны с ошибкой аппроксимации ε.

Последний шаг, который обращает разбиение исходной задачи на (27) и (28), не является необходимым, поскольку в (27) v ( R _c , t ) = 0 имеет были выбраны, и поэтому функции u ( R _c , t ) и w ( R _c , t ) согласуются с R , г.е. с w ( R _c , t ) реальное решение u ( R _c , t ) уже было достигнуто.

3.3 Продолжение вниз методом возмущений

Метод решения возмущений для расчета магнитного поля в мантии Земли применялся с некоторыми модификациями разными авторами (Braginsky & Fishman 1977; Benton & Whaler 1983; Stix & Roberts 1984).Без потери общности будет представлен подход Бентона и Уэйлера (1983), поскольку он ближе всего к данной статье в отношении темы и формализма.

Поле с k = 0 соответствует продолжению поля через изолирующую мантию (потенциальное решение), тогда как члены возмущения k ≥ 1 описывают влияние проводимости мантии.

4 Результаты

4.1 Используемые модели магнитных данных и электропроводности

Входными данными, описывающими геомагнитное поле на поверхности Земли, являются коэффициенты Гаусса g _нм ( t ), h _нм ( t ) (см. Ур.19). С геомагнитным потенциалом V , заданным на поверхности Земли по ур. (18) связь с нашим параболическим дифференциальным уравнением дается через ур. (17). Благодаря этому соотношению первое граничное условие φ ( t ) в (22) может быть просто вычислено с помощью коэффициентов Гаусса, представленных в формуле. (21) в то время как второе граничное условие в качестве внутреннего требует только порядка n в качестве входных данных.

Сравнение коэффициентов Гаусса для временного интервала, начинающегося в 1550 году, как определено разными авторами, дано Мауэрсбергером (1952).Однако для задачи продолжения вниз мы используем только временные ряды, начиная с середины XIX века из-за противоречий с более ранними данными, точностью и плотностью данных. Из-за нерегулярных и больших интервалов невозможно получить значимые спектральные оценки (см., Например, Barraclough 1978).

Другой аспект данных, который следует здесь рассмотреть, касается связанных с этим неопределенностей, которые трудно оценить. Сравнивая различные ссылки, разумно предположить, что существует уменьшение неопределенности, вероятно, на порядок, со 100 нТл до 10 нТл для эпохи между 1900 и 1990 годами.Это уменьшение на порядок величины в 10 раз было также обнаружено в коэффициенте Гаусса g ₀₁ (Bloxham & Jackson 1992). Неполностью известная ошибка данных на поверхности Земли является важной причиной для использования методов регуляризации при продолжении вниз, то есть подгонки данных только между определенными границами.

Интервал данных в 150 лет (1840–1990), который рассматривается в этой статье, совместим со спектральным диапазоном декадных вариаций.Для этого мы используем данные Bloxham & Jackson (1992), которые могут быть сгенерированы с помощью заданных узлов с использованием кубических B-сплайнов с автоматически выбранной дискретностью по времени в два года. Таким же образом доступны производные по времени, которые необходимы для метода возмущений. Поскольку данные относительно гладкие, для наших сравнительных исследований подходят только коэффициенты Гаусса самого низкого порядка. Поэтому методы, обсуждаемые в этой работе, были дополнительно протестированы с искусственным рядом данных g 5 syn с диапазоном, соответствующим реальным данным (коэффициент Гаусса для n = 5), содержащим в качестве спектральных частей периоды 100, 60 , 35, 15 и 6 лет.

Электропроводность мантии, одна из входных величин в нашем алгоритме, не решена хорошо, особенно для нижней мантии (Achache 1981; Constable 1993; McLeod 1994; Honkura & Matsushima 1998). В Honkura & Matsushima (1998) дается сравнительное резюме, в котором перечислены две группы производных проводимостей глубокой мантии: 1–3 Sm ⁻¹ и> 10 Sm ⁻¹ . Традиционные аналитические формы (формулы степенного или экспоненциального закона, см. (1) и (2), подраздел 2.1) в значительной степени согласуются с исследованиями материала глубоких недр Земли (полупроводниковые свойства материала, эксперименты при высоком давлении). В течение последнего десятилетия такие экспериментальные исследования привели к появлению кривых, монотонно возрастающих с глубиной в мантии и заканчивающихся значениями лишь некоторых Sm ⁻¹ на границе ядро-мантия (например, Poirier & Le Mouël 1992; Shankland 1993).

Но с этими значениями моменты электромагнитной связи недостаточно высоки, чтобы объяснить наблюдаемые изменения ΔLOD (например,грамм. Холм 1998). Однако слой D ″ на дне мантии, предположительно состоящий из пропитанного ядром материала с толщиной от 100 км до 200 км и проводимостью до 4000 Sm ^-1 , мог создать недостающий крутящий момент.

Модели σ _M , использованные для этих расчетов, приведены в таблице 1. Помимо случая нулевой проводимости (модель 3, продолжение гармоники вниз), мы исследуем результаты двух других моделей: Для модели проводимости 1 параметры (проводимость и толщина) для слоя D ″ были выбраны таким образом, чтобы соответствующая проводимость (являющаяся здесь просто произведением проводимости и толщины) имела значение 6 × 10 ⁸ S, соответствующее требуемой величине соответствующей связи крутящие моменты.Модель проводимости 2 имеет мантию с низкой проводимостью (8 Sm ⁻¹ на 2000 км), которая совместима с наблюдением рывков (Alexandrescu 1999), возникающих в результате анализа рывков, как оптимума. Эту модель проводимости также можно рассматривать как компромисс между двумя группами моделей (см. Выше), оцененными Honkura & Matsushima (1998).

Был также проведен эксперимент для проверки эффективности алгоритмов продолжения вниз, когда в жидкий внешний керн включен пассивный верхний слой сердцевины («PUL»).Предполагается, что этот слой привязан к мантии с проводимостью порядка 10 ⁵ Sm ⁻¹ (таблица 1). Такой слой рассматривается также в различных вариантах (подвижный и неподвижный) (например, Braginsky 1999; Lister & Buffett 1998).

4.2 Нисходящее продолжение компонент магнитного поля

В этом разделе мы представляем результаты нашего негармонического алгоритма продолжения вниз, какие модификации и критерии возможны, а также какие математические или числовые характеристики получены.Последовательность метода проверяется численно путем объединения нисходящего и восходящего продолжения. Подход возмущений для продолжения вниз, а также чисто гармоническое продолжение поля показаны как альтернативные методы с параллельными примерами. Особый интерес представляют влияние электропроводности, геометрии (глубины), а также некоторые аппроксимации и спектральные свойства методов.

Одномерный компонент модели и граничные функции φ ( t ) в (22) — это функция данных g ₃₂ ( t ) (коэффициент Гаусса) из разложения по сферическим гармоникам геомагнитного поля. потенциал V у поверхности Земли (18).Он был выбран из-за его достаточно модулированного временного поведения. Кроме того, мы используем серию искусственных данных g 5 syn ( t ), содержащую более высокие спектральные части, чтобы показать специальные эффекты. Для расчетов глобального поля используются все коэффициенты Гаусса g _нм ( t ), h _нм ( t ) со степенью и порядком до 8.

соответственно, и h _нм ^CMB ( t ), h _нм ^PUL ( t ) аналогично3 S нм ^с .

Таблица 1

Модели проводимости σM (r), используемые для продолжения поля вниз и вверх. Модель проводимости 3 связана с продолжением гармонического поля.Радиусы: R ^σ = 5480 км и R ^c = 3480 км (см. Рис. 1).

Таблица 1

Модели проводимости σM (r), используемые для продолжения поля вниз и вверх. Модель проводимости 3 связана с продолжением гармонического поля. Радиусы: R ^σ = 5480 км и R ^c = 3480 км (см. Рис. 1).

Само численное интегрирование осуществляется с помощью обычного алгоритма Кранка – Николсона с радиальной дискретизацией 1 км и временными шагами около 0.01 г.

Для регуляризации в соответствии с процедурами (24) и (37) (подраздел 3.2.3) используемые нормы определены уравнениями (25) ( L ₂ norm) и (26) ( W ₂ ¹ норма). Следует отметить, что производная, рассматриваемая здесь при регуляризации с помощью нормы W ₂ ¹ , относится к временной переменной, а не к пространственной переменной, поскольку обсуждаемый здесь подход инверсии применяется только к временным функциям.

Для аппроксимации данных при R _E в норме L ₂ в соответствии с первым членом в функционале регуляризации (37) обычно граница соответствия ε должна быть зафиксирована a priori с учетом реальные неопределенности прошлых наборов данных (лишь слабо известные, зависящие от времени). Чтобы стать независимым от отдельных рядов данных, нормализованная граница соответствия ε * вводится как ε * = ε / ∥ S _нм ^{c , s} ( R _E , t ) ∥ ₂ , S _нм ^{c , s} ( R _E , t ) полоидальный режим (см. Eq) ).Для сравнения негармонического продолжения вниз с подходом возмущения сначала решение возмущения, продолжающееся вниз, является устойчивым продолжением вверх. Разница нормы L ₂ между результирующей функцией и исходными данными затем дает ε *, который выбирается в качестве границы соответствия для сравнительного негармонического решения с продолжением вниз.

Численная проверка построенного метода негармонического продолжения вниз может быть продемонстрирована путем объединения его результатов с дополнительной процедурой продолжения вверх для определения соответствующего коэффициента Гаусса на поверхности Земли для ряда данных, заданного на глубине реликтового излучения, например .(Эта процедура означает решение краевой задачи того же типа, что и описываемая уравнением (33), и может выполняться таким же образом, как и стабильные прямые задачи, решенные в подразделе 3.2.2. Ввод данных осуществляется через нижний граничное условие первого рода.) Также существует возможность оценить решения возмущений и их свойства. Примеры комбинации (негармонического) расчета нисходящего реликтового излучения и восходящего продолжения до поверхности Земли, которые воспроизводят исходные данные на поверхности Земли, показаны на рисунках 2 (а) и 3 (а).Там же приведены сравнения с теорией возмущений. Результаты нисходящего продолжения показаны на рисунках 2 (b) и 3 (b), в то время как более точное сравнение реликтового излучения дано на рисунках 2 (c) и 3 (c), показывающих различия обоих методов относительно гармонического нисходящего продолжения.

Значение решения во всем временном интервале должно быть изучено в связи с влиянием (искусственного) начального условия. На рис. 5 показано уменьшение важности начального условия, особенно его влияние на функцию верхней границы при R _σ по отношению к разным степеням n и двум моделям проводимости σ _{M 1} , σ _{M 2} .Представленная величина является решением устойчивой краевой задачи u ( R _σ , t ) с нижним нулевым граничным условием (при R _c ), верхним граничным условием третий вид (см. 27) и нормализованное гармоническое начальное условие (с u ( R _σ , 0) = 1, начальное время t = 0).

Рисунок 2

Нисходящее продолжение коэффициента Гаусса g ₃₂ на CMB ( r = R _c ) и последующее продолжение вверх.(a) ( R _E ): Продолжение вверх различных функций продолжения вниз, представленных ниже: Использование негармонического продолжения вниз (черная сплошная линия), использование метода возмущений (пунктирная линия). Нормированная ошибка аппроксимации ε * = 4,32 · 10 ⁻⁴ . (b) ( R _c ): Нисходящее продолжение g ₃₂ с использованием метода негармонического продолжения вниз (черная полная линия), подхода возмущений (пунктирная линия) и гармонического продолжения вниз (серая линия).(c) ( R _c ): продолжение вниз g ₃₂ с использованием метода негармонического продолжения вниз (черная полная линия) и метода возмущений (пунктирная линия) после вычитания гармоники вниз продолжение.

Рисунок 2

Нисходящее продолжение коэффициента Гаусса g ₃₂ на CMB ( r = R _c ) и последующее восходящее продолжение.(a) ( R _E ): Продолжение вверх различных функций продолжения вниз, представленных ниже: Использование негармонического продолжения вниз (черная сплошная линия), использование метода возмущений (пунктирная линия). Нормированная ошибка аппроксимации ε * = 4,32 · 10 ⁻⁴ . (b) ( R _c ): Нисходящее продолжение g ₃₂ с использованием метода негармонического продолжения вниз (черная полная линия), подхода возмущений (пунктирная линия) и гармонического продолжения вниз (серая линия).(c) ( R _c ): продолжение вниз g ₃₂ с использованием метода негармонического продолжения вниз (черная полная линия) и метода возмущений (пунктирная линия) после вычитания гармоники вниз продолжение.

Рисунок 3

Нисходящее продолжение синтетического коэффициента Гаусса g 5 syn на CMB ( r = R _c ) и последующее восходящее продолжение.(a) ( R _E ): Продолжение вверх различных функций продолжения вниз, представленных ниже: с использованием негармонического продолжения вниз (черная сплошная линия), с использованием метода возмущений (пунктирная линия). Нормированная ошибка аппроксимации ε * = 5,51 · 10 ⁻³ . (b) ( R _c ): Нисходящее продолжение g 5 syn с использованием метода негармонического продолжения вниз (черная полная линия), метода возмущений (пунктирная линия) и гармонического вниз продолжение (серая линия).(c) ( R _c ): продолжение вниз g 5 syn с использованием метода негармонического продолжения вниз (черная сплошная линия) и метода возмущений (пунктирная линия) после вычитания гармоники. продолжение вниз.

Рисунок 3

Продолжение вниз синтетического коэффициента Гаусса g 5 syn на CMB ( r = R _c ) и последующее продолжение вверх.(a) ( R _E ): Продолжение вверх различных функций продолжения вниз, представленных ниже: с использованием негармонического продолжения вниз (черная сплошная линия), с использованием метода возмущений (пунктирная линия). Нормированная ошибка аппроксимации ε * = 5,51 · 10 ⁻³ . (b) ( R _c ): Нисходящее продолжение g 5 syn с использованием метода негармонического продолжения вниз (черная полная линия), метода возмущений (пунктирная линия) и гармонического вниз продолжение (серая линия).(c) ( R _c ): продолжение вниз g 5 syn с использованием метода негармонического продолжения вниз (черная сплошная линия) и метода возмущений (пунктирная линия) после вычитания гармоники. продолжение вниз.

На рис. 4 сравниваются компоненты g ₃₂ и g 5 syn каждый для трех разных уровней аппроксимации данных ε * на R _E , показывая их влияние на решение продолжения вниз на Р _с .

Рисунок 4

Гармоническое продолжение вниз (серые линии) и негармоническое продолжение вниз на R _c (черные линии) коэффициентов Гаусса g ₃₂ (a) и g 5 syn (b) с использованием различных уровней аппроксимации данных в регуляризации (нормализованная ошибка аппроксимации ε *).

Рисунок 4

Гармоническое продолжение вниз (серые линии) и негармоническое продолжение вниз на R _c (черные линии) коэффициентов Гаусса g ₃₂ (a) и g 5 syn (b) с использованием различных уровней аппроксимации данных в регуляризации (нормализованная ошибка аппроксимации ε *).

На рис.7 показано продолжение вниз двух коэффициентов Гаусса g ₃₂ , g 5 syn на CMB, сравнивая влияние моделей проводимости, σ _{M 1} , σ _{M 2} (таблица 1). Для сравнения также включено гармоническое продолжение вниз (σ _M ( r ) ≡ 0).

Рисунок 5

Уменьшение влияния нормализованного гармонического начального условия на верхнюю граничную функцию для различных степеней n и различных моделей проводимости из таблицы 1: Модель 1 (черные линии), модель 2 (серые линии).

Рисунок 5

Уменьшение влияния нормализованного начального условия гармоники на верхнюю граничную функцию для различных степеней n и различных моделей проводимости из таблицы 1: Модель 1 (черные линии), модель 2 (серые линии).

Некоторые общие свойства связи между данными и решениями можно найти, если проследить назад оператор A (уравнение 29), то есть аппроксимирующую матрицу (a _ik ) (уравнения 35 и 36). численно к его ядру k ( t ) через решение прямых задач с формой уравнения.(33) задающие нижнюю граничную функцию (δ-подобную функции) с достаточным временным разрешением. На рис. 6 приведены некоторые аппроксимации ядра для альтернативных моделей проводимости, различные степени n для продолжения вниз от R _E до R _c .

Рисунок 6

Функции ядра k ( t ) интегрального уравнения Вольтерра (29) для различных моделей проводимости из таблицы 1 и разных степеней n : модель 1 (черные линии), модель 2 (серые линии) .

Рисунок 6

Функции ядра k ( t ) интегрального уравнения Вольтерра (29) для различных моделей проводимости из таблицы 1 и разных степеней n : Модель 1 (черные линии), модель 2 (серые линии ).

Рисунок 7

Негармоническое продолжение вниз коэффициентов Гаусса g ₃₂ (a) и g 5 syn (b) на CMB в сравнении, рассчитанном с использованием различных моделей проводимости из таблицы 1: Модель 1 (полная линия), модель 2 (пунктирная линия) и модель 3 (= гармоническое продолжение вниз) (серая линия).

Рисунок 7

Негармоническое продолжение вниз коэффициентов Гаусса g ₃₂ (a) и g 5 syn (b) на CMB в сравнении, рассчитанном с использованием различных моделей проводимости из таблицы 1: Модель 1 (полная линия), модель 2 (пунктирная линия) и модель 3 (= гармоническое продолжение вниз) (серая линия).

Рисунок 8

Влияние различных методов продолжения вниз от R _E до R _c на одиночное колебание с использованием модели проводимости 1 из Таблицы 1 и для различных степеней n : Нет -гармоническое продолжение вниз (черные линии), приближение к возмущению (серые линии).

Рисунок 8

Влияние различных методов продолжения вниз от R _E до R _c на одиночное колебание с использованием модели проводимости 1 из таблицы 1 и для различных степеней n : Негармоническое продолжение вниз (черные линии), приближение возмущения (серые линии). На рис.8 для периодов от 0,1 до 200 лет.

Помимо продолжения вниз на CMB с относительно слабой мантийной проводимостью, в качестве эксперимента были рассчитаны решения для второго уровня глубины. Нисходящее продолжение компонентов поля g ₃₂ ( t ) и g 5 syn ( t ) представлено на 50 км ниже реликтового излучения для предлагаемого пассивного слоя поверх внешней флюида. сердечник (с высокой проводимостью сердечника σ _PUL , таблица 1).Здесь также приведены численная проверка и сравнение с решением возмущения и гармоническим продолжением вниз, как в случае CMB (рис. 9 и 10).