Мгновенная мощность

В отличие от цепей постоянного тока, где мощность в течение определенного промежутка времени остается неизменной, в цепях переменного тока дело обстоит иначе. Так как ток и напряжение постоянно меняют своё значение, то и мощность соответственно будет меняться в каждый момент времени. Такая мощность называется мгновенной.

Мгновенной мощностью p(t) называют произведение приложенного к цепи мгновенного напряжения u(t) на мгновенное значение тока i(t) в этой цепи. 

График мгновенной мощности представлен на рисунке ниже

 

Мощность обозначена заштрихованной областью. Знак мощности зависит от сдвига фаз между током и напряжением. В данном случае в цепи присутствуют только активные сопротивления, которые не создают сдвига фаз, поэтому мощность имеет только положительные значения.

Рассмотрим другой график

На данном графике имеются области отрицательных значений мгновенной мощности. Такой график может соответствовать цепи, в которой присутствуют конденсатор или катушка, причем положительные участки — это мощность, которая пошла в цепь и рассеялась на сопротивлении, либо запаслась в качестве энергии полей конденсаторов или катушек, а отрицательные участки это мощность, которая была возвращена обратно источнику.

Активная мощность

Чтобы понять какое количество энергии потребляет источник, целесообразнее взять среднюю мощность за период. Для этого вернемся к первому графику.

На графике мгновенной мощности выделяют прямоугольник со сторонами 

T и Pm/2. Часть графика, которая находится выше линии Pm/2 точно укладывается в незаштрихованную часть прямоугольника. Таким образом, с помощью линии Pm/2 мы можем определить среднюю мощность за период, которая называется активной мощностью. Активная мощность – это полезная мощность, которая идет на преобразование в другие виды энергии. 

В нашем случае сдвиг фаз равен нулю, поэтому коэффициент мощности равен единице, но в случаях с реактивными элементами нужно этот момент учитывать.

Активная мощность измеряется в ваттах – Вт.

cosφ – коэффициент мощности

, который показывает отношение активной мощности к полной мощности. 

 

Реактивная мощность

Реактивная мощность – это энергия, которая периодически циркулирует между источником и приемником. Реактивная мощность возникает потому, что конденсатор и катушка способны накапливать энергию, а затем снова отдавать её в сеть. На практике от реактивной мощности зачастую стараются избавиться.

Реактивная мощность измеряется в вольт амперах реактивных – ВАр.

Полная мощность

Полная мощность — это максимальное значение активной мощности.

 

Полная мощность измеряется в вольт-амперах — ВА.

Для наглядного представления существует треугольник мощностей, в котором гипотенузой является полная мощность, а катетами – активная и реактивная составляющие.

 

Читайте также — Последовательная RL-цепь 

Просмотров: 7891

electroandi.ru

Мгновенная мощность и энергия

 

Если из одной точки в другую, имеющие разность потенциалов u, перемещать бесконечно малый заряд dq, то затрачивается работа, равная энергии:

.

Производная энергии по времени является мгновенной мощностью:

Следовательно, мгновенная мощность, поступающая в приемник, равна произведению мгновенных значений тока и напряжения. Она положительна при одинаковых знаках u и i и отрицательна при разных. Положительное значение мощности означает, что мощность поступает в приемник, отрицательное – возвращается в источник питания.

Энергию, потребляемую приемником за промежуток времени от t

1 до t₂, можно определить как

.

Измеряется мощность в ваттах (Вт), [Вт]=[ВА], энергия – в джоулях (Дж), [Дж]=[ВАс].

Пассивные элементы электрической цепи Сопротивление

 

 

Сопротивлением называется идеализированный элемент цепи в котором происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую. Обозначение резистора приведено на рис. 1.1, буквенное обозначение – R или r.

Между напряжением на элементе, током и сопротивлением элемента существует соотношение:

, (1.2)

известное как закон Ома, экспериментально установленный немецким ученым Омом в 1826 г. Величина сопротивления измеряется в омах (Ом). [Ом] = [В/А].

Сопротивление всегда положительное, т.е., направления тока через сопротивление и напряжения на нем совпадают.

Величина, обратная сопротивлению

,

называется проводимостью. Измеряется проводимость в сименсах (См). [См] = [А/В].

Мгновенная мощность, выделяемая на сопротивлении, равна произведению мгновенных значений тока и напряжения:

,

т.е.,

Электрическая энергия, поглощаемая сопротивлением, равна:

Если ток постоянный (i = I = const), то

.

1.4.2. Емкость

 

Емкостью называется идеализированный элемент электрической цепи, приближенно заменяющий конденсатор, в котором накапливается энергия электрического поля. Буквенное обозначение емкости – С.

Величина емкости определяет, какой заряд q можно получить при заданном напряжении u:

 

(1.3)

или

Величина емкости измеряется в фарадах (Ф):

.

Заряд и напряжение всегда имеют одинаковый знак, так как емкость С>0 .

При изменении напряжения, приложенного к емкости, изменится в соответствии с (1.3) и электрический заряд. Подставив (1.3) в (1.1), получаем:

 

(1. 4.)

Не рассматривая процессы с позиций теории электромагнитного поля, отметим только, что в проводниках, соединенных с емкостью, будет протекать ток, величина которого определяется в соответствии с (1.4).

На основании выражения (1.4) напряжение на емкости

или

,

где предполагается, что до момента времени t процесс мог длиться сколь угодно долго, поэтому нижний предел интеграла принят равным (–). При t = 0 напряжение на емкости равно:

,

или

(1.5)

Условное графическое обозначение емкости с положительными направлениями токов и напряжений приведено на рис. 1.5.

Мгновенная мощность, поступающая в емкость, равна:

,

откуда видно, что если , мгновенная мощность p_c>0, т.е., емкость накапливает энергию (происходит заряд емкости), иначе происходит возврат энергии источнику питания (разряд емкости).

Энергия электрического поля в произвольный момент времени t определится по формуле:

. (1.6)

В выражении (1.6) предполагается, что при t = (–) напряжение на емкости С: U

c(= 0.

studfiles.net

Мгновенная мощность.

Под мгновенным значением мощности понимают произведение мгновенного значения напряжения U на участке цепи на мгновенное значение тока I, протекающего по этому участку: p= i * u.

Перед тем, как приступить к изучению основ расчета сложных цепей, в которых протекает синусоидальный ток, рассмотрим соотношения между токами и напряжениями в простейших цепях. Составными элементами цепей синусоидального тока является активное сопротивление R, индуктивность L и емкость C.

Синусоидальный ток в активном сопротивлени (r).

Пусть к идеализированному сопротивлению приложено напряжение, изменяющееся по гармоническому закону

u_R=U_mcos(wt+).

Связи между мгновенными значениями тока и напряжения линейного сопротивления определяется законом Ома.

i_R = U_R / R = U_m cos(wt+) / R.

Мгновенная мощность сопротивления:

P_R= i_Ru_R= U_mI_mcos²(wt+) =

u_R

wt

_u

i_R

wt

P_R

wt

Рис 2.3.

Временные диаграммы напряжения, тока и мгновенной мощности сопротивления.

Im

Re

Im

Re

Рис 2.4.

Векторные диаграммы комплексных амплитуд напряжений, токов и сопротивлений.

ИНДУКТИВНОСТЬ В ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА.

Найдем напряжение u_L на индуктивности, ток i_L которой изменяется по закону:

i_L= I_mcos(wt+ _i).

Связь между мгновенными значениями тока и напряжения индуктивности определяется выражением:

Графически эти зависимости представлены на рис.2.5.

i_L P_L

U_L

wt

/2

_i

Рис.2.5. Временная диаграмма тока, напряжения и мгновенной мощности для индуктивности.

Напряжение на индуктивности опережает ток по фазе. Комплексный ток и комплексное напряжение на индуктивности определяются выражениями:

Комплексное сопротивление:

Im

Re

Im

_i Re

Рис.2.6. Векторные диаграммы комплексной амплитуды тока, напряжения и сопротивления индуктивности.

КОНДЕНСАТОР В ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА.

Рассмотрим емкость, к которой приложено напряжение, изменяющееся по гармоническому закону:

u_c=U_mcos(wt+_u).

Мгновенное значение тока:

Соответственно, временная и векторная диаграммы представлены на рисунке 2.7.

u_c

i_c

wt

/2

_u

P_c

wt

Im

Re

Рис.2.7.Временные и векторные диаграммы для конденсатора в цепи синусоидального тока.

.

Ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе на 90

МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД.

Сущность метода комплексных амплитуд состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений, к алгебраическим, составленным относительно комплексов тока и ЭДС. Этот переход основан на том, что в уравнении, составленном по законам Кирхгофа для установившегося процесса, мгновенное значение тока i заменяют комплексной амплитудой тока ; мгновенное значение напряжения на активном сопротивлении R равное Ri — комплексом , по фазе совпадающим с током , мгновенное напряжение на индуктивности

– комплексом , опереждающим ток на 90,

мгновенное значение напряжения на емкости

– комплексом , отстающим от тока на 90,

мгновенное значение ЭДС – комплексом .

Метод называют еще символическим, так как токи и напряжения заменяют их комплексными изображениями или символами.

Множитель называют комплексным

сопротивлением Z.

Для анализа и расчета электрических цепей синусоидального тока, для которых справедливы законы Кирхгофа можно использовать другие инженерные методы (например, метод контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора). Исключение составляют цепи, у которых отдельные ветви связаны магнитно (в этом случае появляется ряд особенностей при расчете).

studfiles.net

Мгновенная мощность и энергия

Двухполюсником называется электрическая цепь, содержащая два за­жима (рис.1.6).

Активный двухполюсник содержит источники энергии, пассивный – нет.

Пусть через участок ab под воздействием приложенного напряжения U проходит заряд dq. Поступающая при этом в приемник элементарная энергия равна:

.

— энергия, поступающая в приёмник за время в цепи постоянного тока:.

Если образующие цепь проводники неподвижны (т.е. не совершается механической работы), а ток постоянен, то работа сторонних сил источ­ника энергии целиком расходуется на нагрев. Количество теплоты, выде­лившееся при прохождении постоянного тока в проводнике с сопротивле­нием r равно:

, Дж — закон Джоуля-Ленца.

Производная энергии по времени (скорость поступления энергии в цепь в данный момент времени) представляет собой мгновенную мощ­ность.

Мгновенная мощность – величина алгебраическая, её значение поло­жительно при одинаковых знаках напряжения и тока на зажимах активного двухполюсника (говорят, источник отдает энергию в цепь), и отрицательна при разных знаках (энергия возвращается из рассматриваемого участка цепи в источник).

Частный случай: , если.

Рассеиваемая в резисторе мощность всегда положительна, так как протекание тока в нем сопровождается необратимым процессом нагрева­ния проводника.

Баланс мощностей

В любой электрической цепи, по закону сохранения энергии, количе­ство вырабатываемой в единицу времени энергии источников должно быть равно потребляемой, то есть электрическая мощность источников должна быть равна мощности потребителей.

Если направление источника ЭДС и тока, протекающего через него, совпадают, то источник отдаёт энергию и произве­дение входит в ле­вую часть равенства со знаком плюс. В противном случае источник потреб­ляет энергию иберётся со знаком минус.

Если схема содержит источник тока то в общем случае его мощность записывается как , где— падение напряжения на зажи­мах. Направление передачи энергии зависит от знака напряжения на за­жимах источника.

Например, для схемы изображенной на рис.1.7: ;.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте закон полного тока, теорему Гаусса. и закон электромагнитной индукции.

2. В чем заключается принцип непрерывности магнитного потока?

3. При каком условии при решении задачи можно перейти от теории электромагнитного поля к теории электрических цепей?

4. Что называется электрической схемой, ветвью, узлом, контуром, незавиимым контуром?

5. Из чего состоит электрическая цепь?

6. Сформулируйте понятие «элемент электрической цепи»?

7. Дайте определение пассивным элементам R, L, C?

8. Какова связь между током и напряжением в элементах R, L, C?

9. Дайте определение понятий «мгновенная мощность» и «энергия»

10. В чем заключается баланс мощностей?

Упражнения и задачи

1. В некотором замкнутом объеме произвольным обра­зом расположены два заряда: q₁ = — 5·10^-2 к ; q₂=+8·10^-2 к. Тре­тий заряд q₃= +6 ·10^-2 к находится вблизи рассматриваемого объема (снаружи). Часть силовых линий электростатического поля входит внутрь объема, часть — выходит из него. Каких линий больше — входящих или выходящих?

Ответ: выходящих линий больше.

2. Определить напряженность электрического поля меж­ду двумя равномерно заряженными параллельными пласти­нами с поверхностной плотностью заряда а (краевым искаже­нием поля

пренебречь). Диэлектрическая проницаемость среды ε.

Ответ: Е = 0.

3

R

R

R

U

. До замыкания рубильника (см. схему) амперметр по­казывал 6 А.

Что он покажет после замыкания рубильника, если U — приложенное постоянное напряжение?

Ответ: 18 А.

4. Временная диаграмма на зажимах активного сопротивления Ом изображена на рис 1.

Определить значение тока в момент времени

5. Используя данные примера 4, записать уравнение мгновенной мощности в промежутках 0 – 0,5 с и 0,5 – 1 с; построить временную диаграмму мощности.

studfiles.net

Мгновенное значение мощности.

При синусоидальных токах и напряжениях

, как и для любой цепи.

Подставив в это выражение синусоидальный ток через какой-либо участок цепи и напряжение на этом участке, получим, приняв, что ток отстает от напряжения на угол :

.

Рис. 4-8

Из формулы и осциллограммы видно, что мгновенная мощность состоит из двух слагаемых: одно, не зависящее от времени, — постоянная составляющая, а другое — синусоидальная функция времени двойной частоты. График p проходит через ноль в точках, где пересекают ось абсцисс либо ток, либо напряжение (рис. 4-8).

Интересно отметить, что если ток и напряжение сдвинуты по фазе на угол (чисто емкостная или чисто индуктивная цепь), то первое слагаемое равно нулю (рис. 4-9).

Из формулы:

.

следует, что для измерения мощности требуется иметь прибор, перемножающий две функции времени и вычисляющий среднее значение (постоянную составляющую) такой функцию.

Для измерения мощности в реальных цепях применяют электродинамические ваттметры. Они состоят из двух магнитно-связанных катушек, одна из которых может вращаться вокруг оси. С подвижной катушкой связана стрелка, показывающая на шкале угол ее отклонения от нулевого положения, которое поддерживается специальной пружинкой.

Противодействующий момент пружинки по закону Гука пропорционален углу отклонения стрелки — .

Вращающий момент определяется изменением энергии запасенной системой при пропускании токов через катушки при повороте подвижной катушки

.

Равновесие достигается при .

.

Энергия, запасенная системой двух катушек:

.

Первые два слагаемых от угла не зависят

.

Т.к. механическая инерционность системы приведет к тому, что угол отклонения стрелки будет пропорционален среднему значению момента.

Таким образом, если через одну из катушек пропускать ток пропорциональный току приемника, а через другую — пропорциональный его напряжению, получим (в предположении ), что уголбудет пропорционален активной мощности

.

На рис. 4-11 показана схема включения ваттметра. Точками (или звездочками) отмечены зажимы, которые следует объединить, т.к. направление вращающегося момента зависит от согласования направлений тока и напряжения.

13. Комплексный метод расчета при последовательно-параллельном соединении двухполюсников. Построение векторной диаграммы.

(рассмотрим поподробнее) (рис. 4-18) при

.

Рис. 4-18

Комплексные сопротивления двухполюсников:

,

,

.

Сопротивление двухполюсника аb:

.

Эквивалентное сопротивление всей цепи:

.

Входной ток — ток через первый двухполюсник:

, где 

; ;

или по формуле делителя тока:

; .

Мощности:

; ;;

; ;.

Мощности источника U:

;

.

“Успех” построения векторной диаграммы (желательно не зависимо от алгебраического расчета) определяется порядком построения (рис. 4-19).

Рис. 4-19

1. Возьмем за основу вектор произвольной величины.

2. Вектор тока отстает от него на угол.

3. Вектор тока опережает напряжениена угол.

Для построения углов нет необходимости их вычислять. Достаточно построить треугольники сопротивлений. Соотношение между величинами векторов инадо соблюсти в соответствии с пропорцией:.

4. Сложив вектора ив соответствии с первым законом Кирхгофа, получим:.

5. Угол определит направление вектора напряжения, относительно тока, величина вектораопределится из соотношения.

6. Геометрическим сложением определим , остается задаться конкретным масштабом, приравняв, и выбрать масштаб тока. Полученная диаграмма с точностью до геометрических построений дает ответы обо всех величинах токов и напряжений и их относительных фазах. Например, перпендикуляр из конца векторана направление токадаст напряжение на катушке. Векторную диаграмму можно использовать для проверки правильности алгебраических расчетов. Например, уголмежду токоми входным напряжениемдолжен быть равен.

studfiles.net

Мощность: средняя и мгновенная

Автор: – Логика наших рассуждений будет та же, что и при изучении средней и мгновенной скорости. Рассмотрим работу как функцию времени. Пусть А(t) – работа, совершенная за время t. А(t+Δt) – работа, совершенная за время (t+Δt). Тогда [А(t+Δt) – А(t)]/Δt – средняя мощность за промежуток времени от t до (t+Δt). Предел последовательностей значений таких средних мощностей при Δt→0 есть мгновенная мощность, т. е. мощность в момент времени t есть производная от работы по времени.

N(t)==А’(t) (2.10.1)

Выведите частный случай, когда мощность не зависит от времени.

Студент: – N=A/t.

Автор: – Приведите пример, когда мощность постоянна.

Студент: – Это бывает, когда постоянна сила, действующая на тело.

Автор: – Неверно! Смотрите сами. Предположим, что сила, ускоряющая тело, постоянна со временем. Тогда из (2.10.1) следует, что

N(t)= [FS(t+Δt)– FS(t)]/Δt=F[S(t+Δt)–S(t)]/Δt=FV.

Или, используя правила вычисления производных:

N(t)=А'(t)=(FS)’=FS’=FV. (2.10.2)

Видим, что мощность зависит не только от силы, но и от скорости, которая при равноускоренном движении является функцией времени.

Заметим, что выражение для мгновенной мощности N(t)=F(t)·V(t) является справедливым для любого механического движения. Доказательство опирается на знания интегрального исчисления, и мы его пропускаем.

Для тренировки разберем одну интересную и практическую задачу 2.5.

Автомобиль массой m трогается с места. Коэффициент трения колес о дорогу k. Обе оси автомобиля ведущие. Найдите зависимость скорости автомобиля от времени. Мощность двигателя N.

Студент: – Я не понимаю, зачем в условии сказано про ведущие оси. Мы никогда с этим не сталкивались.

Автор: – Это связано с расчетом силы трения. Можно с хорошей точностью принять, что масса автомобиля равномерно распределена на обе оси. Раз обе оси ведущие, значит, сила трения скольжения равна произведению всей массы автомобиля на коэффициент трения. В случае если ведущей является только одна ось, то на нее приходилась половина массы автомобиля и сила трения, толкающая автомобиль вперед вычислялась бы так: kmg/2. Отметим, что здесь принята максимально возможная сила трения скольжения, т. е. считаем, что колеса автомобиля пробуксовывают на дороге. Правда, на собственных автомобилях водители так не стартуют.

Студент: – Тогда по условию нашей задачи получается, что ускоряет автомобиль только сила трения, которая равна kmg. Отсюда легко получатся ответ: автомобиль двигается равноускоренно и скорость зависит от времени так: V(t)=at=kgt.

Автор: – Это справедливо только отчасти. Вспомните выражения для мощности (2.10.2). При ограниченной мощности скорость не может неограниченно возрастать. Поэтому должен Вам дать две подсказки: 1) найдите предельное время, до которого Ваш ответ будет справедлив; 2) затем воспользуйтесь энергетическими соображениями.

Студент: – Раз предельная мощность N, то из (2.10.2) получим:

N=FV(t)=kmg kgt.

Отсюда предельное время t₀=N/(mk²g²).

Автор: – Дальше мощности не хватает, чтобы поддерживать равноускоренное движение. Как поступим?

Студент: – В дальнейшем за какой-то промежуток времени Δt=t–t₀ двигатель совершит работу А=NΔt, которая пойдет на увеличение кинетической энергии. Сначала найдем кинетическую энергию автомобиля в момент времени t₀ :

mV₀²/2=m[kgN/(mk²g²)]²/2=.

Изменение кинетической энергии равно

mV²/2–mV₀²/2 = А=NΔt= N(t – t₀),

V²=(t – ),

V=.

Автор: – Это правильный ответ. Как видим, сначала зависимость скорости от времени линейная, затем корневая. Комбинируя обе эти ситуации, представим ответ в окончательном варианте:

◄V(t)=kgt при t≤ t₀=N/(mk²g²),

V(t)= при t> t₀►.

История.

Эразм Дарвин считал, что время от времени следует производить самые дикие эксперименты. Из них почти никогда ничего не выходит, но если они удаются, то результат бывает потрясающим. Дарвин играл на трубе перед своими тюльпанами. Никаких результатов.

Вопросы и задания

1. Колесо толкнули с одинаковой скоростью по двум разным дорогам: а) по ровной горизонтальной, б) по дороге, имеющей неглубокие ямки, такие, что на всем пути колесо не оторвется от земли. В каком случае а) или б) колесо быстрее доедет до конечного пункта, находящегося на одинаковом расстоянии от места старта?

Указание. Нарисуйте векторы всех сил, действующих на колесо в обоих случаях, и сравните характер движения тела.

2. На Бердском шоссе есть достаточно крутой подъем. Можно заметить, что перегруженный автомобиль медленно поднимается по нему, даже если на дороге нет пробок. Почему?

3. Предположим, что Вы поднимаете чемодан с пола на стол. Зависит ли работа, совершаемая вами над чемоданом: а) от того, поднимаете ли Вы его вертикально вверх, или по более сложному пути; б) от времени, которое Вы на это затрачиваете; в) от высоты стола; г) от массы чемодана?

4. Почему легче подниматься в гору по зигзагообразному пути, а не по прямой?

§ 2.11

studfiles.net

Преобразование энергии в электрической цепи. Мгновенная, активная, реактивная и полная мощности синусоидального тока. (Лекция №7)

Передача энергии w по электрической цепи (например, по линии электропередачи), рассеяние энергии, то есть переход электромагнитной энергии в тепловую, а также и другие виды преобразования энергии характеризуются интенсивностью, с которой протекает процесс, то есть тем, сколько энергии передается по линии в единицу времени, сколько энергии рассеивается в единицу времени. Интенсивность передачи или преобразования энергии называется мощностью р. Сказанному соответствует математическое определение:

.

(1)

Выражение для мгновенного значения мощности в электрических цепях имеет вид:

.

(2)

Приняв начальную фазу напряжения за нуль, а сдвиг фаз между напряжением и током за , получим:

.

(3)

Итак, мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, угловая частота которой в 2 раза больше угловой частоты напряжения и тока.

Когда мгновенная мощность отрицательна, а это имеет место (см. рис. 1), когда u и i разных знаков, т.е. когда направления напряжения и тока в двухполюснике противоположны, энергия возвращается из двухполюсника источнику питания.

Такой возврат энергии источнику происходит за счет того, что энергия периодически запасается в магнитных и электрических полях соответственно индуктивных и емкостных элементов, входящих в состав двухполюсника. Энергия, отдаваемая источником двухполюснику в течение времени t равна .

Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью .

Принимая во внимание, что , из (3) получим:

.

(4)

Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник будет генерировать энергию), поэтому , т.е. на входе пассивного двухполюсника . Случай Р=0, теоретически возможен для двухполюсника, не имеющего активных сопротивлений, а содержащего только идеальные индуктивные и емкостные элементы.

1. Резистор (идеальное активное сопротивление).

Здесь напряжение и ток (см. рис. 2) совпадают по фазе , поэтому мощность всегда положительна, т.е. резистор потребляет активную мощность

2. Катушка индуктивности (идеальная индуктивность)

При идеальной индуктивности ток отстает от напряжения по фазе на . Поэтому в соответствии с (3) можно записать
.

Участок 1-2: энергия , запасаемая в магнитном поле катушки, нарастает.

Участок 2-3: энергия магнитного поля убывает, возвращаясь в источник.

3. Конденсатор (идеальная емкость)

Аналогичный характер имеют процессы и для идеальной емкости. Здесь . Поэтому из (3) вытекает, что . Таким образом, в катушке индуктивности и конденсаторе активная мощность не потребляется (Р=0), так как в них не происходит необратимого преобразования энергии в другие виды энергии. Здесь происходит только циркуляция энергии: электрическая энергия запасается в магнитном поле катушки или электрическом поле конденсатора на протяжении четверти периода, а на протяжении следующей четверти периода энергия вновь возвращается в сеть. В силу этого катушку индуктивности и конденсатор называют реактивными элементами, а их сопротивления Х_L и Х_С , в отличие от активного сопротивления R резистора, – реактивными.

Интенсивность обмена энергии принято характеризовать наибольшим значением скорости поступления энергии в магнитное поле катушки или электрическое поле конденсатора, которое называется реактивной мощностью.

В общем случае выражение для реактивной мощности имеет вид:

(5)

Она положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка- ) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка- ). Единицу мощности в применении к измерению реактивной мощности называют вольт-ампер реактивный (ВАр).

В частности для катушки индуктивности имеем:

, так как .

.

Из последнего видно, что реактивная мощность для идеальной катушки индуктивности пропорциональна частоте и максимальному запасу энергии в катушке. Аналогично можно получить для идеального конденсатора:

.

Полная мощность

Помимо понятий активной и реактивной мощностей в электротехнике широко используется понятие полной мощности:

.

(6)

Активная, реактивная и полная мощности связаны следующим соотношением:

.

(7)

Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности. Из приведенных выше соотношений видно, что коэффициент мощности равен косинусу угла сдвига между током и напряжением. Итак,

.

(8)

Комплексная мощность

Активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользуясь комплексными изображениями напряжения и тока. Пусть , а . Тогда комплекс полной мощности:

,

(9)

где — комплекс, сопряженный с комплексом .

.

Комплексной мощности можно поставить в соответствие треугольник мощностей (см. рис. 4). Рис. 4 соответствует (активно-индуктивная нагрузка), для которого имеем:

Применение статических конденсаторов для повышения cos

Как уже указывалось, реактивная мощность циркулирует между источником и потребителем. Реактивный ток, не совершая полезной работы, приводит к дополнительным потерям в силовом оборудовании и, следовательно, к завышению его установленной мощности. В этой связи понятно стремление к увеличению в силовых электрических цепях.

Следует указать, что подавляющее большинство потребителей (электродвигатели, электрические печи, другие различные устройства и приборы) как нагрузка носит активно-индуктивный характер.

Если параллельно такой нагрузке (см. рис. 5), включить конденсатор С, то общий ток , как видно из векторной диаграммы (рис. 6), приближается по фазе к напряжению, т.е. увеличивается, а общая величина тока (а следовательно, потери) уменьшается при постоянстве активной мощности . На этом основано применение конденсаторов для повышения .

Какую емкость С нужно взять, чтобы повысить коэффициент мощности от значения до значения ?

Разложим на активную и реактивную составляющие. Ток через конденсатор компенсирует часть реактивной составляющей тока нагрузки :

;

(10)

;

(11)

.

(12)

Из (11) и (12) с учетом (10) имеем

,

но , откуда необходимая для повышения емкость:

.

(13)

Баланс мощностей

Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить критерием правильности расчета электрической цепи.

а) Постоянный ток

Для любой цепи постоянного тока выполняется соотношение:

(14)

Это уравнение представляет собой математическую форму записи баланса мощностей: суммарная мощность, генерируемая источниками электрической энергии, равна суммарной мощности, потребляемой в цепи.

Следует указать, что в левой части (14) слагаемые имеют знак “+”, поскольку активная мощность рассеивается на резисторах. В правой части (14) сумма слагаемых больше нуля, но отдельные члены здесь могут иметь знак “-”, что говорит о том, что соответствующие источники работают в режиме потребителей энергии (например, заряд аккумулятора).

б) Переменный ток.

Из закона сохранения энергии следует, что сумма всех отдаваемых активных мощностей равна сумме всех потребляемых активных мощностей, т.е.

(15)

В ТОЭ доказывается (вследствие достаточной громоздкости вывода это доказательство опустим), что баланс соблюдается и для реактивных мощностей:

,

(16)

где знак “+” относится к индуктивным элементам , “-” – к емкостным .

Умножив (16) на “j” и сложив полученный результат с (15), придем к аналитическому выражению баланса мощностей в цепях синусоидального тока (без учета взаимной индуктивности):

или

.

Литература

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. Что такое активная мощность?
2. Что такое реактивная мощность, с какими элементами она связана?
3. Что такое полная мощность?
4. Почему необходимо стремиться к повышению коэффициента мощности ?
5. Критерием чего служит баланс мощностей?
6. К источнику с напряжением подключена активно-индуктивная нагрузка, ток в которой . Определить активную, реактивную и полную мощности.

Ответ: Р=250 Вт; Q=433 ВАр; S=500 ВА.

7. В ветви, содержащей последовательно соединенные резистор R и катушку индуктивности L, ток I=2 A. Напряжение на зажимах ветви U=100 B, а потребляемая мощность Р=120 Вт. Определить сопротивления R и XL элементов ветви.

Ответ: R=30 Ом; XL=40 Ом.

8. Мощность, потребляемая цепью, состоящей из параллельно соединенных конденсатора и резистора, Р=90 Вт. Ток в неразветвленной части цепи I1=5 A, а в ветви с резистором I2=4 A. Определить сопротивления R и XC элементов цепи.

Ответ: R=10 Ом; XС=7,5 Ом.

toehelp.ru