+7 495 120-13-73 | 8 800 500-97-74

(для регионов бесплатно)

Содержание

Косинус фи — простое объяснение в 3-х словах. Таблицы коэффициента мощности для различных потребителей.

Многие из вас наверняка видели на электроинструментах, двигателях, а также люминесцентных лампах, лампах ДРЛ, ДНАТ и других, такие надписи как косинус фи — cos ϕ.

Однако люди далекие от электротехники и позабывшие школьные уроки физики, не совсем понимают, что же означает данный параметр и зачем он вообще нужен.

Давайте рассмотрим и объясним этот косинус, как можно более простыми словами, исключая всякие непонятные научные определения, типа электромагнитная индукция. В двух словах про него конечно не расскажешь, а вот в трех можно попробовать.

Когда ток отстает от напряжения

Предположим перед вами есть 2 проводника. Один из этих проводников имеет потенциал. Не суть важно какой именно — отрицательный (минус) или положительный (плюс).

У другого провода вообще нет никакого потенциала. Соответственно между этими двумя проводниками будет разность потенциалов, т. к. у одного он есть, а у другого его нет.

Эту разность потенциалов как раз таки и принято называть напряжением.

Если вы соедините кончики двух проводов не непосредственно между собой, а через лампочку накаливания, то через ее вольфрамовую нить начнет протекать ток. От одного провода к другому.

На первый взгляд может показаться, что лампочка загорается моментально. Однако это не так. Ток проходя через нить накала, будет нарастать от своего нулевого значения до номинального, какое-то определенное время.

В какой-то момент он его достигает и держится на этом уровне постоянно. То же самое будет, если подключить не одну, а две, три лампочки и т.д.

А что случится, если вместе с лампой последовательно включить катушку, намотанную из множества витков проволоки?

Изменится ли как-то процесс нарастания тока? Конечно, да.

Данная катушка индуктивности, заметно затормозит время увеличения тока от нуля до максимума. Фактически получится, что максимальное напряжение (разность потенциалов) на лампе уже есть, а вот ток поспевать за ним не будет.

Его нарастание слишком медленное. Из-за чего это происходит и кто виноват? Виноваты витки катушки, которые оказывают влияние друг на друга и тормозят ток.

Если у вас напряжение постоянное, например как в аккумуляторах или в батарейках, ток относительно медленно, но все-таки успеет дорасти до своего номинального значения.

А далее, ток будет вместе с напряжением идти, что называется «нога в ногу».

А вот если взять напряжение из розетки, с переменной синусоидой, то здесь оно не постоянно и будет меняться. Сначала U какое-то время положительная величина, а потом — отрицательная, причем одинаковое по амплитуде. На рисунке это изображается в виде волны.

Эти постоянные колебания не дают нашему току, проходящему сквозь катушку, достигнуть своего установившегося значения и догнать таки напряжение. Только он будет подбираться к этой величине, а напряжение уже начинает падать.

Поэтому в этом случае и говорят, что ток отстает от напряжения.

Причем, чем больше в катушке намотано витков, тем большим будет это самое запаздывание.

Как же это все связано с косинусом фи — cos ϕ?

Что такое коэффициент мощности

А связано это таким образом, что данное отставание тока измеряется углом поворота. Полный цикл синусоиды или волны, который она проходит от нуля до нуля, вместив в себя максимальное и минимальное значение, измеряется в градусах. И один такой цикл равен 360 градусов.

А вот угол отставания тока от напряжения, как раз таки и обозначается греческой буквой фи. Значение косинуса этого угла опаздывания и есть тот самый cos ϕ.

Таким образом, чем больше ток отстает от напряжения, тем большим будет этот угол. Соответственно косинус фи будет уменьшаться.

По научному, ток сдвинутый от напряжения называется фазовым сдвигом. При этом почему-то многие уверены, что синусоида всегда идеальна. Хотя это далеко не так.

В качестве примера можно взять импульсные блоки питания.

Не идеальность синусоиды выражается коэфф. нелинейных искажений — КНИ. Если сложить две эти величины — cos ϕ и КНИ, то вы получите коэффициент мощности.

Однако, чтобы все не усложнять, чаще всего под понятием коэфф. мощности имеют в виду только лишь один косинус фи.

На практике, данный коэффициент мощности рассчитывают не при помощи угла сдвига фаз, а отношением активной мощности к полной.

Активная и реактивная мощность

Существует такое понятие как треугольник мощностей. Сам косинус — это тригонометрическая функция, которая и появилась при изучении свойств прямоугольных треугольников.

Она здорово помогает производить определенные вычисления с ними. Например, наглядно показывает отношение длин прилежащего катета (P-активная мощность) к гипотенузе (S-полная мощность).

То есть, зная угол сдвига, можно узнать, сколько активной мощности содержится в полной. Чем меньше этот угол, тем меньше реактивной составляющей находится в сети, и наоборот.

Только не путайте cos ϕ с КПД. Это разные понятия. Реактивная составляющая не расходуется, а «возвращается» на подстанцию в сеть, т.е. фактически потери ее нет.
Только небольшая ее часть может тратиться на нагрев проводов.

В КПД все более четко — полезная мощность используется на нагрев — охлаждение — механическую работу, остальное уходит безвозвратно. Эта разница и показывается в КПД.

Более подробно, с графиками, рисунками и простыми словами, без особых научных формулировок обо всем этом говорится в ролике ниже.

Низкий коэффициент мощности и его последствия

Рассмотренное запаздывание тока относительно напряжения — это не хорошее явление. Как оно может сказаться на ваших лампочках или проводке?

  • во-первых, это повышенное потребление электроэнергии

Часть энергии будет просто «болтаться» в катушке, при этом не принося никакой пользы. Правда не пугайтесь, ваш бытовой счетчик реактивную энергию не считает и платить вы за нее не будете.

Например, если вы включите в розетку инструмент или светильник с полной мощностью 100Ва, на блоке питания которого будет указано cos ϕ=0,5. То прибор учета накрутит вам только на половину от этой величины, то есть 50Вт.

Зато по проводам питания будет проходить вся нагрузка, разогревая их бесполезной работой.

  • величина тока в проводке увеличится

Вот известное наглядное видео, демонстрирующее последствия этого для проводки.

  • для эл.станций и трансформаторов оно вредно перегрузкой

Казалось бы, выбрось катушку и вся проблема исчезнет. Однако делать этого нельзя.

В большинстве светильников, лампы работают не отдельно, а в паре с источниками питания. И в этих самых источниках, как раз таки присутствуют разнообразные катушки.

Катушки просто необходимы как функциональная часть всей схемы и избавиться от них не получится. Например в тех же дроссельных лампах ДРЛ, ДНАТ, люминесцентных и т.п.

Поэтому характеристика коэфф. мощности, здесь больше относится к блоку питания, нежели к самой лампе. Данный cos ϕ может принимать значение от ноля до единицы.

Ноль означает, что полезная работа не совершается. Единица — вся энергия идет на совершение полезной работы.

Чем выше коэффициент мощности, тем ниже потери электроэнергии. Вот таблица косинуса фи для различных потребителей:

Как измерить коэффициент мощности

Если вы не знаете точный коэфф. мощности своего прибора, или его нет на бирке, можно ли измерить косинус фи в домашних условиях, не прибегая к различным формулам и вычислениям? Конечно можно.

Для этого достаточно приобрести широко распространенный инструмент — цифровой ваттметр в розетку.

Подключая любое оборудование через него, можно легко без замеров и сложных вычислений, узнать фактический cos ϕ.

Зачастую, фактические данные могут быть даже точнее, чем написанные на шильдике, которые рассчитаны для идеальных условий.

Если он слишком низкий, что делать, чтобы привести его значение как можно ближе к единице? Можно это дело определенным образом компенсировать. Например, с помощью конденсаторов.

Однако это тема совсем другой статьи.

Коэффициент мощности (cos φ, косинус фи ), Полная (кажущаяся), активная и реактивная мощность электродвигателя=электромотора и не только его. Коэффициент мощности для трехфазного электродвигателя.

Коэффициент мощности (cos φ, косинус фи ), Полная (кажущаяся), активная и реактивная мощность электродвигателя=электромотора и не только его. Коэффициент мощности для трехфазного электродвигателя.

На шильдиках многих электромоторов (электродвигателей и др. устройств) указывают активную мощность в Вт и cosφ / или λ /или PF. Что тут к чему см. ниже.

Подразумеваем,что переменное напряжение в сети синусоидальное — обычное, хотя все рассуждения ниже верны и для всех гармоник по отдельности других периодических напряжений.

Полная, или кажущаяся мощность S (apparent power) измеряется в вольт-амперах (ВА или VA) и определяется произведением переменных напряжения и тока системы. Удобно считать, что полная мощность в цепи переменного тока выражается комплексным числом таким, что активная мощность является его действительной частью, реактивная мощность — мнимой.

  • угол φ -это угол между фазой напряжения и фазой тока, называемый еще сдвигом фаз, при этом, если ток отстаёт от напряжения, сдвиг фаз считается положительным, если опережает его, то отрицательным
  • величина sin φ для значений φ от 0 до плюс 90° является положительной величиной. Величина sin φ для значений φ от 0 до -90° является отрицательной величиной
  • если sin φ>0, то нагрузка имеет активно-индуктивный характер (электромоторы, трансформаторы, катушки. ..) — ток отстает от напряжения
  • если sin φ<0, нагрузка имеет активно-ёмкостный характер — (конденсаторы…) — ток опережает напряжение
  • Все соотношения между P, S и Q определяются теоремой Пифагора и элементарными тригонометрическими тождествами для прямоугольного треугольника

Активная мощность P (active power = real power =true power) измеряется в ваттах (Вт, W) и это та мощность, которая потребляется электрическим сопротивлением системы на тепло и полезную работу. Для сетей переменного тока:

  • P=U*I*cosφ, где U и I — действующие=эффективные=среднеквадратичные значения напряжения и тока, а φ- сдвиг фаз между ними

Реактивная мощность Q (reactive power) измеряется в вольт-амперах реактивных (вар, var) и это электромагнитная мощность, которая запасается и отдается обратно в сеть колебательным контуром системы. Реактивная мощность в идеале не выполняет работы, т.е. название вводит в заблуждение. Легко догадаться глядя на рисунок, что:

  • P=U*I*sinφ, где U и I — действующие=эффективные=среднеквадратичные значения напряжения и тока, а φ- сдвиг фаз между ними

Сама концепция активной и реактивной мощности актуальна для устройств (приемников) переменного тока. Она малоактуальна=никогда не упоминатеся для приемников постоянного тока в силу малости (мизерности) соответствующих эффектов, связанных только с переходными процессами при включении/выключении.

Любая система, как известно, имеет емкость и индуктивность = является неким колебательным контуром. Переменный ток в одной фазе накачивает электромагнитное поле этого контура энергией а в противоположной фазе эта энергия уходит обратно в генератор ( в сеть). Это вызывает в РФ 3 проблемы (для поставщика энергии!)

    • Хотя теоретически, при нулевых сопротивлениях передачи, на выработку реактивной мощности не тратится мощность генератора, но практически для передачи реактивной мощности по сети требуется дополнительная, активная мощность генератора (потери передачи).
    • Сеть должна пропускать и активные и реактивные токи, т.е иметь запас по пропускным характеристикам.
    • Генератор мог бы, выдавая те же ток и напряжение, поставлять потребителю электроэнергии больше активной мощности.

попробуем догадаться, что делает поставщик электроэнергии? Правильно, пытается навязать Вам различные тарифы для разлиных значений cos φ. Что можно сделать: можно заказать компенсацию реактивной мощности ( т.е. установку неких блоков конденсаторов или катушек), которые заставят реактивную нагрузку колебаться внутри Вашего предприятия/устройства. Стоит ли это делать? Зависит от стоимости установки, наценок за коэффициент мощности и очень даже часто не имеет экономического смысла. В некоторых странах качество питающего напряжения тоже может пострадать от избытка реактивной мощности, но в РФ проблема неактуальна в силу изначально очень низкго качества в питающей сети.

Естественно, хотелось бы ввести величину, которая характеризовала бы степень линейности нагрузки. И такая величина вводится под названием коэффициент мощности («косинус фи», power factor, PF), как отношение активной мощности к полной, естественно сразу в 2-х видах, в РФ это:

  • λ=P/S*100% — то есть, если в %, то это лямбда, P в (Вт), S в (ВА)
  • cosφ=P/S — более распространенная величина , P в (Вт), S в (ВА)

 

Коэффициент мощности для трехфазного асинхронного (обычного) электродвигателя.

cosφ = P / (√3*U*I)

где

cosφ = косинус фи

√3 = квадратный корень из трех

P = активная мощность (Вт)

U = Напряжение (В)

I = Ток (А)

КОМПЕНСАЦИЯ РЕАКТИВНОЙ МОЩНОСТИ И ТРЕУГОЛЬНИК МОЩНОСТЕЙ, ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

Особенности индуктивных нагрузок

Большинство нагрузок в современных системах электроснабжения имеют индуктивный характер. К ним, например, относятся электродвигатели, трансформаторы, балласты люминесцентных ламп, индукционные печи. Для нормальной работы подобных нагрузок в них требуется создать магнитное поле.

Индуктивные нагрузки требуют наличия двух составляющих тока:

  • Активной составляющей, за счет которой происходит нагрев, получение света, механическое движение, полезная работа и т.п.;
  • Реактивной составляющей, необходимой для получения и поддержания магнитного поля.

Активная составляющая тока отвечает за потребление активной мощности, которая может быть измерена с помощью ваттметра. Она измеряется в ваттах (Вт) и киловаттах (кВт). Реактивная мощность не совершает никакой полезной работы, но циркулирует между генератором и нагрузкой. При этом она увеличивает нагрузку на источники питания и распредсистему. Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах-реактивных (вар).

Вместе активная и реактивная мощность образуют полную или кажущуюся мощность. Она измеряется в киловольт-амперах (кВА).

Рис. 1. Активная мощность

Рис. 2.Реактивная мощность

Понятие коэффициента мощности (косинуса фи)

Под коэффициентом мощности понимают отношение активной мощности к полной. Этот коэффициент характеризует, насколько эффективно используется электроэнергия. Высокие значения коэффициента мощности соответствуют эффективному использованию электроэнергии, а низкие – напротив, неэффективному.

Для определение коэффициента мощности (PF) следует разделить активную мощность (в кВт) на полную (кВА). Для линейных систем с синусоидальными токами коэффициент мощности численно равен cos ?:

PF = кВт/кВА = cos ?

Например, для токарно-карусельного станка, работающего с полезной мощностью 100 кВт и полной мощностью 125 кВА, коэффициент мощности составит 100/125 = 0,8.

Рис. 3. Полная мощность

Рис. 4. Треугольник мощностей

Примечание: показанный на рис. 4 треугольник мощностей используется для иллюстрации соотношений между активной, реактивной и полной мощностями.

Должен ли нас волновать низкий коэффициент мощности PF (косинус фи — cos ?)?

Низкий cos ? означает, что вы не полностью используете оплачиваемую вами электроэнергию.

Из показанных на рис.5 соотношений можно видеть, что полная мощность уменьшается с ростом коэффициента мощности. При коэффициенте мощности, равном 70%, для получения 100 кВт требуется 142 кВА. При коэффициенте мощности, равном 95%, для получения 100 кВт требуется только 105 кВА. Если посмотреть на все это с точки зрения величины тока, получается, что при коэффициенте мощности 70% требуется на 35% больший ток для совершения той же самой полезной работы.

Рис. 5. Типичные треугольники мощностей

Что можно сделать для повышения косинуса фи (коэффициента мощности)?

Коэффициент мощности можно повысить путем установки компенсирующих конденсаторов в распредсистеме предприятия

Если полная мощность (кВА) больше, чем полезная мощность (кВт), через энергосистему протекает сумма активного и реактивного токов. Силовые конденсаторы являются своего рода генератором реактивной мощности (см. рис. 6). Выдавая реактивный ток, они снижают общий ток, протекающий от энергосистемы к нагрузкам.

Наиболее выгодным является коэффициент мощности 95%

Теоретически конденсаторы могут выдать 100% требуемой реактивной мощности. Однако наиболее выгодным является поддержание коэффициента мощности на уровне 95%.

На рис.7 показано потребление полной мощности в системе до и после установки конденсаторов. Установка конденсаторов и увеличение коэффициента мощности до 95% обеспечивает снижение полной мощности со 142 кВА до 105 кВА, т.е. снижение составляет 35%.

Рис.6. Конденсаторы как генераторы реактивной мощности

Рис.7. Требуемая полная мощность до и после компенсации

Компенсация реактивной мощности: руководство для главного энергетика

Какова будет экономия при установке компенсирующих конденсаторов

Силовые конденсаторы дают множество преимуществ:

  • снижение расходов на электроэнергию;
  • снижение требований к мощности системы;
  • улучшение стабильности напряжения;
  • снижение потерь.

Снижение расходов на оплату электроэнергии

Ваша энергоснабжающая организация поставляет как активную (кВт), так и реактивную мощность (квар). Хотя реактивная мощность и не регистрируется счетчиками электроэнергии (считающими киловатт- часы), распределительная сеть должна быть достаточно мощной, чтобы обеспечить необходимую полную мощность. Поэтому у энергоснабжающих компаний есть масса способов заставить потребителей компенсировать их расходы на более мощные генераторы, трансформаторы, кабели, выключатели и т.п.

Как показано в случае ниже, конденсаторы могут сэкономить ваши деньги вне зависимости от того, как именно происходит начисление платы за электроэнергию.

Начисление за полную мощность (кВА)

Энергоснабжающая организация измеряет и тарифицирует каждый ампер потребляемого тока, включая реактивную составляющую.

Начисление за кВт с учетом коэффициента мощности

Энергоснабжающая организация начисляет плату в соответствии с потребляемой активной энергией и добавляет пени при низком коэффициенте мощности. Также может использоваться поправочный коэффициент, на который умножается величина активной энергии. Следующая формула иллюстрирует начисление, при котором «отправной точкой» является коэффициент мощности, равный 90%:

Потребление в кВт х 0,90

фактический коэффициент мощности

Если коэффициент мощности равен 0,84, поставщик электроэнергии увеличит плату на % в соответствии с формулой:

кВт х 0,90 / 0,84 = 107 (множитель)

Некоторые энергоснабжающие организации требуют дополнительную плату за низкий коэффициент мощности, но предоставляют вычеты или бонусы за потребление свыше определенного уровня.

Начисление за реактивную мощность

Энергоснабжающая организация напрямую взимает плату за реактивную мощность, которая обычно составляет определенную долю от активной мощности (кВт). Например, если эта плата составляет 1 рубль за каждый квар для всего, что находится сверх 50% активной мощности. Иными словами, если имеется нагрузка 400 кВт, энергоснабжающая организация предоставит 200 квар бесплатно.

Увеличение пропускной способности системы при компенсации реактивной мощности

Применение конденсаторов для компенсации реактивной мощности увеличивает пропускную способность системы по току. Повышение коэффициента мощности снижает количество квар на кВт полезной нагрузки. Таким образом, используя конденсаторы можно увеличить полезную нагрузку при сохранении величины полной мощности (кВА).

Рис.8. Увеличение пропускной способности трансформатора при компенсации

Компенсация реактивной мощности позволяет увеличить нагрузочную способность трансформатора

Предприятие имеет трансформатор мощностью 500 кВА, работающий почти на номинальной мощности. Он потребляет 480 кВА или 578 А при 400 В. Существующий коэффициент мощности – 75%, соответственно доступная активная мощность составляет 360 кВт.

Желательно увеличить производительность на 25%, т.е. необходимо получить 450 кВт. Как этого добиться? Самый простой выход – установить новый трансформатор. Для получения 450 кВт потребуется трансформатор мощностью 600 кВА при работе с коэффициентом мощности 75%. При этом, скорее всего, понадобится следующий стандартный типоразмер трансформатора (750 кВА).

Возможно, лучшим решением будет повысить коэффициент мощности, чтобы трансформатор смог работать с дополнительной нагрузкой. Для повышения коэффициента мощности с 75 до 95% при нагрузке в 450 кВт потребуется конденсатор с мощностью 450 х 0,553 = 248,8 квар.

Аналогичный принцип используется при необходимости снизить ток, протекающий через перегруженное оборудование. Повышение коэффициента мощности с 75 до 95% при той же активной мощности приводит к снижению тока на 21%. Если посмотреть по другому, при работе с коэффициентом мощности 75% ток возрастает на 26,7%, а при 65% — на 46,2%.

Отрасли промышленности с низким коэффициентом мощности, в которых выгодно использовать конденсаторы

Низкий косинус фи является следствием того, что множество двигателей работают с нагрузкой ниже номинальной. Такое часто происходит в циклических технологических процессах, например, при использовании циркулярных пил, шаровых мельниц, конвейеров, компрессоров, шлифовальных станков, прессов и т.п. Для подобных механизмов двигатели обычно выбираются, исходя из максимально возможной нагрузки. Примерами механизмов, работающих с низким коэффициентом мощности (от 30 до 50%), можно считать токарный станок, работающий в режиме неглубокого реза, ненагруженный компрессор, циркулярную пилу в отсутствии заготовки.

С низким коэффициентом мощности обычно работают предприятия в следующих отраслях:

Отрасли с низким коэффициентом мощности

Отрасль Нескомпенсированный коэффициент мощности
Лесопильни 45-65%
Производство пластмасс (особенно экструдеры) 55-70%
Металлообрабатывающие станки, прессы 60-70%
Гальванопокрытия, текстиль, химическая промышленность, пивоварни 65-75%
Больницы, склады, литейное производство 70-80%

Включайте конденсаторы КРМ в новые проекты и проекты расширения производства

Включение конденсаторов в новые проекты и проекты модернизации производства позволяет уменьшить типоразмеры трансформаторов, шин, выключателей и т. п., что ведет к прямой экономии.

На рис. 9 показано, как высвобождается полная мощность системы (кВА) при увеличении коэффициента мощности. Увеличение коэффициента мощности с 70 до 90% высвобождает 0,32 кВА на кВт. При нагрузке 400 кВт высвобождается 128 кВт.

Повышение стабильности напряжения

Пониженное из-за больших потребляемых токов напряжение приводит к затрудненному пуску двигателей и их перегреву. По мере снижения коэффициента мощности растет общий ток в линии, что приводит к увеличению падения напряжения. Установка конденсаторов и конденсаторных установок для компенсации реактивной мощности и снижение просадок позволяют добиться более эффективной работы двигателей и продлить их срок службы.

Снижение потерь

Потери из-за низкого коэффициента мощности связаны с реактивным током, протекающим в системе. Эти потери связаны с выделением тепла и могут быть устранены за счет коррекции коэффициента мощности. Мощность потерь (в ваттах) в распредсистеме рассчитывается как произведение квадрата тока на активное сопротивление контура (I2R). Рассчитать снижение потерь можно по формуле:

Снижение потерь (%) = 100 – 100 х (начальный коэф. мощности/конечный коэф. мощности)2

Рис.9. Высвобождение полной мощности при коррекции коэффициента мощности

Как правильно выбрать конденсаторы для конкретного случая?

Если сделан вывод о целесообразности компенсации реактивной мощности на том или ином объекте, понадобится выбрать оптимальный типоразмер и количество конденсаторов.

Существует два основных способа установки конденсаторов: «индивидуальный» (когда отдельные конденсаторы устанавливаются непосредственно у нагрузок, обычно линейных) и «групповой» (когда батарея с фиксированной или регулируемой емкостью устанавливается на присоединении или на подстанции).

Сравнение индивидуальной и групповой компенсации

Преимущества установки индивидуальных конденсаторов рядом с нагрузками:

  • Предсказуемость; конденсаторы не могут создать проблемы в сети при работе без нагрузки;
  • Не требуются отдельные выключатели; двигатель всегда включается вместе с относящимся к нему конденсатором;
  • Оптимизация режимов работы двигателей за счет более эффективного использования электроэнергии и снижения просадок напряжения;
  • Двигатели можно переставлять вместе с относящимися к ним конденсаторами;
  • Проще выбрать конденсатор для конкретной нагрузки;
  • Снижение потерь в линии;
  • Повышение пропускной способности системы.

Преимущества установки конденсаторных батарей на присоединении или на подстанции:

  • Ниже цена за квар;
  • Повышение коэффициента мощности всего предприятия, что снижает или исключает любые санкции за низкий коэффициент мощности;
  • Автоматическое переключение конденсаторов обеспечивает получение строго необходимой реактивной мощности, что исключает перекомпенсацию и связанные с ней перенапряжения.

Преимущества и недостатки индивидуальной и групповой (с нерегулируемыми и автоматически регулируемыми батареями) компенсации

Метод Преимущества Недостатки
Индивидуальные конденсаторы Наиболее эффективный метод, наибольшая гибкость Большая стоимость установки и обслуживания
Нерегулируемая батарея Наиболее экономичное решение, требуется меньше точек установки Менее гибкое решение, требуются выключатели и/или контакторы
Автоматически регулируемая батарея Наилучшее решение при меняющихся нагрузках, исключаются перенапряжения, низкая стоимость установки Выше стоимость оборудования
Комбинированный Наиболее подходящее решение при большом количестве двигателей Менее гибкое решение

Изучение особенностей объекта

Для выбора оптимального решения необходимо взвесить достоинства и недостатки каждого из возможных способов компенсации. При этом следует учитывать «переменные объекта», такие как тип нагрузок, их мощность, постоянство нагрузки, нагрузочная способность сети, способы пуска двигателей и способ начисления платы за электроэнергию.

Тип нагрузок

Если на предприятии установлено много крупных двигателей с мощностью 35 кВт и более, обычно целесообразно устанавливать на каждый двигатель свой конденсатор и включать его одновременно с относящимся к нему конденсатором. Если на предприятии используется много мелких двигателей, от 0,5 до 18 кВт, можно сгруппировать эти двигатели и установить один конденсатор в центральной точке системы. Часто наилучшим решением для предприятий с множеством двигателей разных мощностей оказывается комбинирование обоих типов компенсации.

Мощность нагрузки

Для предприятий с мощными нагрузками может оказаться выгодным комбинирование индивидуальной и групповой компенсации с нерегулируемыми или автоматическими конденсаторными батареями. С другой стороны, для небольшого объекта может оказаться достаточно одного единственного конденсатора в распределительном щите.

Иногда на предприятии обнаруживается изолированный «проблемный участок», в котором требуется коррекция. Такая ситуация может возникнуть, если на предприятии используются сварочные аппараты, индукционные нагреватели или приводы постоянного тока. В этом случае, если скомпенсировать реактивную мощность на конкретном фидере, питающем нагрузку с низким коэффициентом мощности, это повысит коэффициент мощности всего предприятия, и дополнительные конденсаторы будут не нужны.

Постоянство нагрузки

Если предприятие работает круглосуточно и потребляет постоянную мощность, использование нерегулируемых конденсаторов наиболее экономично. Если нагрузка «привязана» к восьмичасовому рабочему дню и потребляется пять дней в неделю, удобно использовать конденсаторные батареи, отключаемые в периоды с меньшей нагрузкой.

Нагрузочная способность

Если фидеры или трансформаторы перегружены, или требуется увеличить нагрузку и без того нагруженных линий, компенсацию реактивной мощности необходимо производить непосредственно на нагрузке. Если распредсистема имеет запас по току, конденсаторы можно устанавливать на главных фидерах. Если нагрузка сильно меняется, разумно использовать регулируемую батарею с автоматическим переключением ступеней.

Способ начисления платы за электроэнергию

Размеры тарифов и штрафы за низкий коэффициент мощности могут существенно влиять на экономический эффект от компенсации и срок окупаемости. Во многих отраслях оптимально подобранное оборудование для коррекции коэффициента мощности окупается менее чем за два года.

Сколько квар необходимо?

Единицей измерения мощности конденсаторов для компенсации реактивной мощности является квар, равный 1000 вар (вольт-ампер-реактивный). Количество квар характеризует, какую реактивную мощность выдаст конденсатор.

Выбор типоразмера конденсаторов для индивидуальной компенсации

Для выбора конденсаторов для индивидуальной компенсации моторных нагрузок следует обратиться к таблице 3. При этом необходимо использовать данные с заводской таблички двигателя — номинальную скорость и мощность. В таблице приведены мощности конденсаторов (квар), необходимые для доведения коэффициента мощности до 95%. В таблицах также приведено, насколько снизится ток после установки конденсаторов.

Выбор типоразмера конденсаторов для компенсации всего предприятия

Если известно, какую активную мощность (кВт) потребляет предприятие, его существующий коэффициент мощности и желаемый коэффициент мощности.

Таблица косинусов (полная, градусы и значения)

В данной таблице представлены значения косинусов от 0° до 360°. Таблица косинусов нужна, чтобы узнать, чему равен косинус угла. Нужно только найти его в таблице. Для начала короткая версия таблицы.

https://uchim.org/matematika/tablica-kosinusov — uchim.org

Таблица косинусов для 0°-180°

cos(1°)0.9998
cos(2°)0.9994
cos(3°)0.9986
cos(4°)0.9976
cos(5°)0. 9962
cos(6°)0.9945
cos(7°)0.9925
cos(8°)0.9903
cos(9°)0.9877
cos(10°)0.9848
cos(11°)0.9816
cos(12°)0.9781
cos(13°)0.9744
cos(14°)0.9703
cos(15°)0.9659
cos(16°)0.9613
cos(17°)0.9563
cos(18°)0.9511
cos(19°)0.9455
cos(20°)0.9397
cos(21°)0.9336
cos(22°)0.9272
cos(23°)0.9205
cos(24°)0.9135
cos(25°)0.9063
cos(26°)0.8988
cos(27°)0.891
cos(28°)0.8829
cos(29°)0.8746
cos(30°)0. 866
cos(31°)0.8572
cos(32°)0.848
cos(33°)0.8387
cos(34°)0.829
cos(35°)0.8192
cos(36°)0.809
cos(37°)0.7986
cos(38°)0.788
cos(39°)0.7771
cos(40°)0.766
cos(41°)0.7547
cos(42°)0.7431
cos(43°)0.7314
cos(44°)0.7193
cos(45°)0.7071
cos(46°)0.6947
cos(47°)0.682
cos(48°)0.6691
cos(49°)0.6561
cos(50°)0.6428
cos(51°)0.6293
cos(52°)0.6157
cos(53°)0.6018
cos(54°)0.5878
cos(55°)0. 5736
cos(56°)0.5592
cos(57°)0.5446
cos(58°)0.5299
cos(59°)0.515
cos(60°)0.5
cos(61°)0.4848
cos(62°)0.4695
cos(63°)0.454
cos(64°)0.4384
cos(65°)0.4226
cos(66°)0.4067
cos(67°)0.3907
cos(68°)0.3746
cos(69°)0.3584
cos(70°)0.342
cos(71°)0.3256
cos(72°)0.309
cos(73°)0.2924
cos(74°)0.2756
cos(75°)0.2588
cos(76°)0.2419
cos(77°)0.225
cos(78°)0.2079
cos(79°)0. 1908
cos(80°)0.1736
cos(81°)0.1564
cos(82°)0.1392
cos(83°)0.1219
cos(84°)0.1045
cos(85°)0.0872
cos(86°)0.0698
cos(87°)0.0523
cos(88°)0.0349
cos(89°)0.0175
cos(90°)0
cos(91°)-0.0175
cos(92°)-0.0349
cos(93°)-0.0523
cos(94°)-0.0698
cos(95°)-0.0872
cos(96°)-0.1045
cos(97°)-0.1219
cos(98°)-0.1392
cos(99°)-0.1564
cos(100°)-0.1736
cos(101°)-0.1908
cos(102°)-0.2079
cos(103°)-0.225
cos(104°)-0. 2419
cos(105°)-0.2588
cos(106°)-0.2756
cos(107°)-0.2924
cos(108°)-0.309
cos(109°)-0.3256
cos(110°)-0.342
cos(111°)-0.3584
cos(112°)-0.3746
cos(113°)-0.3907
cos(114°)-0.4067
cos(115°)-0.4226
cos(116°)-0.4384
cos(117°)-0.454
cos(118°)-0.4695
cos(119°)-0.4848
cos(120°)-0.5
cos(121°)-0.515
cos(122°)-0.5299
cos(123°)-0.5446
cos(124°)-0.5592
cos(125°)-0.5736
cos(126°)-0.5878
cos(127°)-0.6018
cos(128°)-0.6157
cos(129°)-0.6293
cos(130°)-0.6428
cos(131°)-0.6561
cos(132°)-0.6691
cos(133°)-0.682
cos(134°)-0.6947
cos(135°)-0.7071
cos(136°)-0.7193
cos(137°)-0.7314
cos(138°)-0.7431
cos(139°)-0.7547
cos(140°)-0.766
cos(141°)-0.7771
cos(142°)-0.788
cos(143°)-0.7986
cos(144°)-0.809
cos(145°)-0.8192
cos(146°)-0.829
cos(147°)-0.8387
cos(148°)-0.848
cos(149°)-0.8572
cos(150°)-0.866
cos(151°)-0.8746
cos(152°)-0.8829
cos(153°)-0.891
cos(154°)-0.8988
cos(155°)-0.9063
cos(156°)-0.9135
cos(157°)-0.9205
cos(158°)-0.9272
cos(159°)-0.9336
cos(160°)-0.9397
cos(161°)-0.9455
cos(162°)-0.9511
cos(163°)-0.9563
cos(164°)-0.9613
cos(165°)-0.9659
cos(166°)-0.9703
cos(167°)-0.9744
cos(168°)-0.9781
cos(169°)-0.9816
cos(170°)-0.9848
cos(171°)-0.9877
cos(172°)-0.9903
cos(173°)-0.9925
cos(174°)-0.9945
cos(175°)-0.9962
cos(176°)-0.9976
cos(177°)-0.9986
cos(178°)-0.9994
cos(179°)-0.9998
cos(180°)-1

Таблица косинусов для 181°-360°

cos(181°)-0.9998
cos(182°)-0.9994
cos(183°)-0.9986
cos(184°)-0.9976
cos(185°)-0.9962
cos(186°)-0.9945
cos(187°)-0.9925
cos(188°)-0.9903
cos(189°)-0.9877
cos(190°)-0.9848
cos(191°)-0.9816
cos(192°)-0.9781
cos(193°)-0.9744
cos(194°)-0.9703
cos(195°)-0.9659
cos(196°)-0.9613
cos(197°)-0.9563
cos(198°)-0.9511
cos(199°)-0.9455
cos(200°)-0.9397
cos(201°)-0.9336
cos(202°)-0.9272
cos(203°)-0.9205
cos(204°)-0.9135
cos(205°)-0.9063
cos(206°)-0.8988
cos(207°)-0.891
cos(208°)-0.8829
cos(209°)-0.8746
cos(210°)-0.866
cos(211°)-0.8572
cos(212°)-0.848
cos(213°)-0.8387
cos(214°)-0.829
cos(215°)-0.8192
cos(216°)-0.809
cos(217°)-0.7986
cos(218°)-0.788
cos(219°)-0.7771
cos(220°)-0.766
cos(221°)-0.7547
cos(222°)-0.7431
cos(223°)-0.7314
cos(224°)-0.7193
cos(225°)-0.7071
cos(226°)-0.6947
cos(227°)-0.682
cos(228°)-0.6691
cos(229°)-0.6561
cos(230°)-0.6428
cos(231°)-0.6293
cos(232°)-0.6157
cos(233°)-0.6018
cos(234°)-0.5878
cos(235°)-0.5736
cos(236°)-0.5592
cos(237°)-0.5446
cos(238°)-0.5299
cos(239°)-0.515
cos(240°)-0.5
cos(241°)-0.4848
cos(242°)-0.4695
cos(243°)-0.454
cos(244°)-0.4384
cos(245°)-0.4226
cos(246°)-0.4067
cos(247°)-0.3907
cos(248°)-0.3746
cos(249°)-0.3584
cos(250°)-0.342
cos(251°)-0.3256
cos(252°)-0.309
cos(253°)-0.2924
cos(254°)-0.2756
cos(255°)-0.2588
cos(256°)-0.2419
cos(257°)-0.225
cos(258°)-0.2079
cos(259°)-0.1908
cos(260°)-0.1736
cos(261°)-0.1564
cos(262°)-0.1392
cos(263°)-0.1219
cos(264°)-0.1045
cos(265°)-0.0872
cos(266°)-0.0698
cos(267°)-0.0523
cos(268°)-0.0349
cos(269°)-0.0175
cos(270°)-0
cos(271°)0.0175
cos(272°)0.0349
cos(273°)0.0523
cos(274°)0.0698
cos(275°)0.0872
cos(276°)0.1045
cos(277°)0.1219
cos(278°)0.1392
cos(279°)0.1564
cos(280°)0.1736
cos(281°)0.1908
cos(282°)0.2079
cos(283°)0.225
cos(284°)0.2419
cos(285°)0.2588
cos(286°)0.2756
cos(287°)0.2924
cos(288°)0.309
cos(289°)0.3256
cos(290°)0.342
cos(291°)0.3584
cos(292°)0.3746
cos(293°)0.3907
cos(294°)0.4067
cos(295°)0.4226
cos(296°)0.4384
cos(297°)0.454
cos(298°)0.4695
cos(299°)0.4848
cos(300°)0.5
cos(301°)0.515
cos(302°)0.5299
cos(303°)0.5446
cos(304°)0.5592
cos(305°)0.5736
cos(306°)0.5878
cos(307°)0.6018
cos(308°)0.6157
cos(309°)0.6293
cos(310°)0.6428
cos(311°)0.6561
cos(312°)0.6691
cos(313°)0.682
cos(314°)0.6947
cos(315°)0.7071
cos(316°)0.7193
cos(317°)0.7314
cos(318°)0.7431
cos(319°)0.7547
cos(320°)0.766
cos(321°)0.7771
cos(322°)0.788
cos(323°)0.7986
cos(324°)0.809
cos(325°)0.8192
cos(326°)0.829
cos(327°)0.8387
cos(328°)0.848
cos(329°)0.8572
cos(330°)0.866
cos(331°)0.8746
cos(332°)0.8829
cos(333°)0.891
cos(334°)0.8988
cos(335°)0.9063
cos(336°)0.9135
cos(337°)0.9205
cos(338°)0.9272
cos(339°)0.9336
cos(340°)0.9397
cos(341°)0.9455
cos(342°)0.9511
cos(343°)0.9563
cos(344°)0.9613
cos(345°)0.9659
cos(346°)0.9703
cos(347°)0.9744
cos(348°)0.9781
cos(349°)0.9816
cos(350°)0.9848
cos(351°)0.9877
cos(352°)0.9903
cos(353°)0.9925
cos(354°)0.9945
cos(355°)0.9962
cos(356°)0.9976
cos(357°)0.9986
cos(358°)0.9994
cos(359°)0.9998
cos(360°)1

Как легко запомнить таблицу косинусов (видео)

Существуют также следующие таблицы тригонометрических функций: таблица синусов, таблица тангенсов и таблица котангенсов.

Всё для учебы » Математика в школе » Таблица косинусов (полная, градусы и значения)

Таблица КОСИНУСОВ для углов от 0° до 360° градусов


КОСИНУС (COS α) острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к его гипотенузе…

Малая таблица значений тригонометрических функций (в радианах и градусах)
α (радианы) 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2
α (градусы) 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
cos α (Косинус) 1 3/2 2/2 1/2 0 -1 0 1

Полная таблица косинусов для углов от 0° до  360° 
Угол в градусах  Cos (Косинус)
1
0.9998
0.9994
0.9986
0.9976
0.9962
0.9945
0.9925
0.9903
0.9877
10° 0.9848
11° 0.9816
12° 0.9781
13° 0.9744
14° 0.9703
15° 0.9659
16° 0.9613
17° 0.9563
18° 0.9511
19° 0.9455
20° 0.9397
21° 0.9336
22° 0.9272
23° 0.9205
24° 0.9135
25° 0.9063
26° 0.8988
27° 0.891
28° 0.8829
29° 0.8746
30° 0.866
31° 0.8572
32° 0.848
33° 0.8387
34° 0.829
35° 0.8192
36° 0.809
37° 0.7986
38° 0.788
39° 0.7771
40° 0.766
41° 0.7547
42° 0.7431
43° 0.7314
44° 0.7193
45° 0.7071
46° 0.6947
47° 0.682
48° 0.6691
49° 0.6561
50° 0.6428
51° 0.6293
52° 0.6157
53° 0.6018
54° 0.5878
55° 0.5736
56° 0.5592
57° 0.5446
58° 0.5299
59° 0.515
60° 0.5
61° 0.4848
62° 0.4695
63° 0.454
64° 0.4384
65° 0.4226
66° 0.4067
67° 0.3907
68° 0.3746
69° 0.3584
70° 0.342
71° 0.3256
72° 0.309
73° 0.2924
74° 0.2756
75° 0.2588
76° 0.2419
77° 0.225
78° 0.2079
79° 0.1908
80° 0.1736
81° 0.1564
82° 0.1392
83° 0.1219
84° 0.1045
85° 0.0872
86° 0.0698
87° 0.0523
88° 0.0349
89° 0.0175
90° 0

 

Таблица косинусов для углов от 91° до 180°
Угол cos (Косинус)
91° -0.0175
92° -0.0349
93° -0.0523
94° -0.0698
95° -0.0872
96° -0.1045
97° -0.1219
98° -0.1392
99° -0.1564
100° -0.1736
101° -0.1908
102° -0.2079
103° -0.225
104° -0.2419
105° -0.2588
106° -0.2756
107° -0.2924
108° -0.309
109° -0.3256
110° -0.342
111° -0.3584
112° -0.3746
113° -0.3907
114° -0.4067
115° -0.4226
116° -0.4384
117° -0.454
118° -0.4695
119° -0.4848
120° -0.5
121° -0.515
122° -0.5299
123° -0.5446
124° -0.5592
125° -0.5736
126° -0.5878
127° -0.6018
128° -0.6157
129° -0.6293
130° -0.6428
131° -0.6561
132° -0.6691
133° -0.682
134° -0.6947
135° -0.7071
136° -0.7193
137° -0.7314
138° -0.7431
139° -0.7547
140° -0.766
141° -0.7771
142° -0.788
143° -0.7986
144° -0.809
145° -0.8192
146° -0.829
147° -0.8387
148° -0.848
149° -0.8572
150° -0.866
151° -0.8746
152° -0.8829
153° -0.891
154° -0.8988
155° -0.9063
156° -0.9135
157° -0.9205
158° -0.9272
159° -0.9336
160° -0.9397
161° -0.9455
162° -0.9511
163° -0.9563
164° -0.9613
165° -0.9659
166° -0.9703
167° -0.9744
168° -0.9781
169° -0.9816
170° -0.9848
171° -0.9877
172° -0.9903
173° -0.9925
174° -0.9945
175° -0.9962
176° -0.9976
177° -0.9986
178° -0.9994
179° -0.9998
180° -1

Таблица косинусов для углов от 180° до 270°
Угол cos (косинус)
181° -0.9998
182° -0.9994
183° -0.9986
184° -0.9976
185° -0.9962
186° -0.9945
187° -0.9925
188° -0.9903
189° -0.9877
190° -0.9848
191° -0.9816
192° -0.9781
193° -0.9744
194° -0.9703
195° -0.9659
196° -0.9613
197° -0.9563
198° -0.9511
199° -0.9455
200° -0.9397
201° -0.9336
202° -0.9272
203° -0.9205
204° -0.9135
205° -0.9063
206° -0.8988
207° -0.891
208° -0.8829
209° -0.8746
210° -0.866
211° -0.8572
212° -0.848
213° -0.8387
214° -0.829
215° -0.8192
216° -0.809
217° -0.7986
218° -0.788
219° -0.7771
220° -0.766
221° -0.7547
222° -0.7431
223° -0.7314
224° -0.7193
225° -0.7071
226° -0.6947
227° -0.682
228° -0.6691
229° -0.6561
230° -0.6428
231° -0.6293
232° -0.6157
233° -0.6018
234° -0.5878
235° -0.5736
236° -0.5592
237° -0.5446
238° -0.5299
239° -0.515
240° -0.5
241° -0.4848
242° -0.4695
243° -0.454
244° -0.4384
245° -0.4226
246° -0.4067
247° -0.3907
248° -0.3746
249° -0.3584
250° -0.342
251° -0.3256
252° -0.309
253° -0.2924
254° -0.2756
255° -0.2588
256° -0.2419
257° -0.225
258° -0.2079
259° -0.1908
260° -0.1736
261° -0.1564
262° -0.1392
263° -0.1219
264° -0.1045
265° -0.0872
266° -0.0698
267° -0.0523
268° -0.0349
269° -0.0175
270° 0

Таблица косинусов для углов от 270° до 360°
Угол Cos (Косинус)
271° 0.0175
272° 0.0349
273° 0.0523
274° 0.0698
275° 0.0872
276° 0.1045
277° 0.1219
278° 0.1392
279° 0.1564
280° 0.1736
281° 0.1908
282° 0.2079
283° 0.225
284° 0.2419
285° 0.2588
286° 0.2756
287° 0.2924
288° 0.309
289° 0.3256
290° 0.342
291° 0.3584
292° 0.3746
293° 0.3907
294° 0.4067
295° 0.4226
296° 0.4384
297° 0.454
298° 0.4695
299° 0.4848
300° 0.5
301° 0.515
302° 0.5299
303° 0.5446
304° 0.5592
305° 0.5736
306° 0.5878
307° 0.6018
308° 0.6157
309° 0.6293
310° 0.6428
311° 0.6561
312° 0.6691
313° 0.682
314° 0.6947
315° 0.7071
316° 0.7193
317° 0.7314
318° 0.7431
319° 0.7547
320° 0.766
321° 0.7771
322° 0.788
323° 0.7986
324° 0.809
325° 0.8192
326° 0.829
327° 0.8387
328° 0.848
329° 0.8572
330° 0.866
331° 0.8746
332° 0.8829
333° 0.891
334° 0.8988
335° 0.9063
336° 0.9135
337° 0.9205
338° 0.9272
339° 0.9336
340° 0.9397
341° 0.9455
342° 0.9511
343° 0.9563
344° 0.9613
345° 0.9659
346° 0.9703
347° 0.9744
348° 0.9781
349° 0.9816
350° 0.9848
351° 0.9877
352° 0.9903
353° 0.9925
354° 0.9945
355° 0.9962
356° 0.9976
357° 0.9986
358° 0.9994
359° 0.9998
360° 1

Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите нужную часть таблицы, на выделенном фоне нажмите правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».

Пример

Чему равен косинус 30? …

— Ищем в таблице соответствующее значение. Правильный ответ:  0.866


Автор: Bill4iam


Как выбрать коэффициент мощности? | Проектирование электроснабжения

При расчете электрических нагрузок мы постоянно сталкиваемся с необходимостью выбора коэффициентов мощности для различных электроприемников. В данной статье хочу рассказать, как выбрать cosϕ и чем руководствоваться в таких случаях.

Чтобы правильно выбрать cosϕ и правильно рассчитать ток самый верный способ – посмотреть в паспорт на оборудование либо руководство по эксплуатации. Лично я очень редко туда заглядываю, т.к. не всегда паспорта имеются под рукой, поэтому пойдем по другому пути.

Проектировщик любое свое решение должен подкреплять требованиями нормативных документов. Кое-что можно найти в ТКП 45-4.04-149-2009 (п.8.1.15, 8.2.18) и СП 31-110-2003 (п.6.12, 6.30).

Также советую иметь у себя:

М788-1069. Справочные данные по расчетным коэффициентам электрических нагрузок.

Скачать М788-1069 можно на форуме.

1 Выбор коэффициента мощности для освещения.

Для освещения выбрать cosϕ проще всего.

Коэффициент мощности зависит от типа лампы. У ламп накаливания он 1,0, у люминесцентных – 0,92; у ДРЛ, ДРИ, МГЛ — 0,85; у светодиодных – до 0,98.

При проектировании наружного освещения и промышленных объектов cosϕ лучше выбирать из каталогов производителей светильников, поскольку они могут немного колебаться от приведенных значений. Не стоит брать коэффициент мощности больше 0,92 для освещения, несмотря на то, что в каталогах можно встретить и 0,96, и 0,98. Пусть будет небольшой запас, поскольку заказчик может купить светильник совсем другого производителя и лучше ориентироваться на требования нормативных документов. Лучше бы производители указывали и потребляемый ток светильников, поскольку часть электроэнергии теряется в ПРА.

Для освещения у меня 3 значения: 1,0; 0,92 и 0,85.

2 Выбор коэффициента мощности для силовых электроприемников.

Коэффициент мощности для электроприемников, которые не нашел ТНПА я выбираю исходя из режима работы и наличия двигательной нагрузки. Если не знаешь cosϕ для силового оборудования  — принимай 0,8 Например, лифты, подъемные механизмы имеют cosϕ около 0,65.

Если мощность ЭП не превышает пару кВт, то не правильно выбранный cosϕ  не значительно  повлияет на расчетный ток.

Для мощных ЭП при выборе коэффициента мощности нужно относиться более ответственно, а также для однотипного оборудования имеющегося в большом количестве.

2.1 Выбор коэффициента мощности для электронно-вычислительной техники.

Отдельным пунктом следует выделить компьютерное оборудование. В проектах для ЭВМ я принимаю cosϕ=0,7. У некоторых он может быть чуть выше, все зависит здесь от блока питания.

2.2 Выбор коэффициента мощности для холодильного оборудования.

Коэффициенты мощности для холодильного оборудования нужно принимать в зависимости от мощности. У данного оборудования cosϕ  от 0,65 до 0,85. Например, у моего холодильника cosϕ=0,85, хотя по ТНПА нужно принимать 0,65. cosϕ=0,75 – среднее значение для всех холодильных установок.

2.3 Выбор коэффициента мощности для нагревательного оборудования.

Чайники, электрические плиты, водонагреватели и другие электронагревательные ЭП имеют коэффициент мощности близкий к 1,0.

Чтобы лучше запомнить, подведем итоги:

  • cosϕ для освещения — 1,0; 0,92 и 0,85.
  • cosϕ для нагревательного оборудования – 1,0.
  • cosϕ для ЭВМ – 0,7.
  • cosϕ для холодильников – 0,75.
  • cosϕ для других силовых ЭП – 0,65-0,8.
Советую почитать:

Косинус фи

Косинус фи или другими словами Коэффициент мощности обозначается как — cos ϕ. Он показывает как переменный ток, проходя через определенные нагрузки, изменяется по фазе в отличие от начального напряжения. Коэффициент мощности = cos данного сдвига. Другими словами можно сказать — это cos угла между фазами тока и напряжения.

Так если к розетке в 220 В, подключить ток, который больше или меньше требуемой нагрузки. Получим повышенную мощность на внутреннем сопротивлении. То есть при использовании нестабильного напряжения электростанции, нужно больше затрат энергии. Излишек энергии сопровождается нагревом проводов.

Нагрузка имеет активную и реактивную составляющие. Активная тратится на совершаемую работу. Полная мощность включает в себя реактивную и активную нагрузку. Она равняется квадратному корню от слагаемых активной и реактивной мощности. Измеряется в Вольт-амтерах.

При активной нагрузке фазы тока и напряжения равны, а между фазами равняется нулю. Нам известно что cos 0 = 1. Следовательно, косинус фи = 1 либо 100 процентам.
В математике косинус фи можно обозначить как cos-угла, находящегося между векторов напряжения и тока. Из-за этого в sin напряжении и токе, совпадает косинус фи и cos-угла, отстающих фаз.

При использовании второй составляющей, а именно реактивной, бывает в некоторых случаях, указываются характерные названия нагрузок. Они бывают индуктивно- активные, а так же активно — емкостные. А коэффициент мощности называется, либо отстающий либо опережающий.
Когда напряжение синусоидальное, а ток наоборот нет и если отсутствует реактивная составляющая, косинус фи равняется доле гармоники тока в полной мощности, который равняется искажению тока.

Данный коэффициент, следует брать во внимание при создании электросети. Если он будет ниже чем требуется, это приведет к дополнительным потерям энергии. Так же если данный коэффициент рассчитать не верно , это приведет к излишнему употреблению энергии. Для того что бы этого не происходило, нужно воспользоваться в расчетах следующими формулами:


На деле получается что при включении в сеть без нагрузки, асинхронный двигатель покажет, что и ток и напряжение есть, но работа совершаться не может. При увеличении нагрузки коэффициент мощности будет увеличиваться и активная составляющая тоже.
Минус реактивной составляющей состоит в том, что она создает пустую нагрузку, как следствие идут потери.
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

тригонометрических таблиц

тригонометрических таблиц

PI = 3,141592 … (приблизительно 22/7 = 3,1428)
радиан = градус x PI / 180 (преобразование градуса в рад)
градуса = радианы x 180 / PI (преобразование рад в градус)

Рад градусов Грех Cos Тан Csc сек Детская кроватка
.0000 00 .0000 1,0000 .0000 —— 1,0000 —— 90 1,5707
.0175 01 .0175 .9998 .0175 57,2987 1.0002 57.2900 89 1,5533
. 0349 02 .0349 .9994 .0349 28,6537 1.0006 28,6363 88 1.5359
.0524 03 .0523 .9986 .0524 19,1073 1,0014 19.0811 87 1,5184
. 0698 04 .0698 .9976 .0699 14,3356 1,0024 14,3007 86 1,5010
.0873 05 .0872 .9962 .0875 11,4737 1.0038 11,4301 85 1.4835
.1047 06 . 1045 .9945 . 1051 9,5668 1,0055 9,5144 84 1,4661
.1222 07 .1219 .9925 .1228 8,2055 1,0075 8,1443 83 1,4486
. 1396 08 .1392 .9903 .1405 7,1853 1,0098 7,1154 82 1.4312
. 1571 09 .1564 . 9877 . 1584 6.3925 1.0125 6.3138 81 1.4137
. 1745 10 .1736 .9848 .1763 5,7588 1.0154 5,6713 80 1,3953
.1920 11 .1908 .9816 .1944 5.2408 1.0187 5,1446 79 1,3788
. 2094 12 . 2079 .9781 .2126 4,8097 1.0223 4,7046 78 1,3614
.2269 13 .2250 .9744 .2309 4,4454 1.0263 4,3315 77 1,3439
.2443 14 . 2419 .9703 . 2493 4,1336 1.0306 4,0108 76 1,3265
. 2618 15 0,2588 .9659 .2679 3,8637 1.0353 3,7321 75 1,3090
.2793 16 .2756 .9613 . 2867 3,6280 1.0403 3,4874 74 1.2915
,2967 17 0,2924 .9563 .3057 3,4203 1.0457 3,2709 73 1,2741
.3142 18 .3090 .9511 .3249 3,2361 1.0515 3,0777 72 1,2566
.3316 19 .3256 .9455 . 3443 3,0716 1.0576 2,9042 71 1,2392
. 3491 20 . 3420 .9397 .3640 2,9238 1.0642 2,7475 70 1,2217
.3665 21 .3584 .9336 0,3839 2,7904 1.0711 2,6051 69 1,2043
.3840 22 .3746 .9272 .4040 2,6695 1.0785 2,4751 68 1,1868
.4014 23 .3907 .9205 .4245 2,5593 1.0864 2,3559 67 1.1694
. 4189 24 .4067 .9135 .4452 2.4586 1.0946 2,2460 66 1,1519
.4363 25 .4226 .9063 .4663 2,3662 1,1034 2,1445 65 1,1345
.4538 26 .4384 .8988 .4877 2,2812 1.1126 2,0503 64 1.1170
.4712 27 .4540 .8910 0,5095 2,2027 1,1223 1,9626 63 1.0996
.4887 28 .4695 .8829 .5317 2,1301 1,1326 1,8807 62 1.0821
.5061 29 .4848 .8746 .5543 2,0627 1,1434 1,8040 61 1.0647
. 5236 30 .5000 .8660 . 5774 2,0000 1,1547 1,7321 60 1.0472
. 5411 31 .5150 . 8572 . 6009 1,9416 1,1666 1,6643 59 1.0297
.5585 32 .5299 .8480 .6249 1.8871 1,1792 1,6003 58 1.0123
. 5760 33 .5446 .8387 .6494 1,8361 1.1924 1,5399 57 .9948
.5934 34 .5592 .8290 .6745 1,7883 1,2062 1.4826 56 . 9774
.6109 35 . 5736 .8192 .7002 1.7434 1,2208 1,4281 55 . 9599
.6283 36 .5878 .8090 .7265 1.7013 1,2361 1,3764 54 .9425
.6458 37 .6018 .7986 .7536 1,6616 1,2521 1,3270 53 .9250
.6632 38 .6157 .7880 .7813 1,6243 1,2690 1,2799 52 .9076
. 6807 39 .6293 .7771 .8098 1,5890 1,2868 1,2349 51 . 8901
.6981 40 .6428 .7660 .8391 1,5557 1.3054 1,1918 50 . 8727
. 7156 41 .6561 .7547 .8693 1,5243 1,3250 1,1504 49 . 8552
.7330 42 .6691 .7431 .9004 1.4945 1,3456 1,1106 48 . 8378
. 7505 43 .6820 .7314 .9325 1,4663 1,3673 1.0724 47 . 8203
. 7679 44 .6947 .7193 .9657 1,4396 1,3902 1.0355 46 .8029
.7854 45 .7071 .7071 1,0000 1,4142 1,4142 1,0000 45 . 7854
Cos Грех Детская кроватка сек Csc Тан градусов Рад
Те, в знаменателе которых стоит ноль, не определены.Они включены исключительно для демонстрации рисунка.

Что такое коэффициент мощности (Cosθ)? Cos fi или Pf Определения и формулы

Определения и формулы коэффициента мощности

В электротехнике коэффициент мощности относится только и только к цепям переменного тока, т.е. в цепях постоянного тока отсутствует коэффициент мощности (Pf) из-за нуля разность частот и фазовых углов (Φ) между током и напряжением.

Что такое коэффициент мощности?

Коэффициент мощности может быть определен тремя следующими определениями и формами.

1). Косинус угла между током и напряжением называется коэффициентом мощности.

Где:

  • P = мощность в ваттах
  • V = напряжение в вольтах
  • I = ток в амперах
  • W = действительная мощность в ваттах
  • VA = полная мощность в вольт-амперах или кВА
  • Cosθ = коэффициент мощности

2). Соотношение между сопротивлением и импедансом в цепи переменного тока известно как коэффициент мощности.

Cosθ = R / Z

Где:

  • R = Сопротивление в Ом (Ом)
  • Z = Импеданс (Сопротивление в цепях переменного тока, т.е. X L , X C и R , известное как Индуктивное реактивное сопротивление , емкостное реактивное сопротивление и сопротивление соответственно) в Ом (Ом)
  • Cosθ = Коэффициент мощности

Импеданс «Z» — это полное сопротивление цепи переменного тока, т. Е.

Z = √ [R 2 + (X L + X C ) 2 ]

Где:

  • X L = 2π f L… L — индуктивность по Генри
  • X C = 1 / 2π f C… C — это емкость в фарадах

Связанное сообщение: Разница между активной и реактивной мощностью

3). Соотношение между активной мощностью и полной мощностью в вольтах-амперах называется коэффициентом мощности.

  • Cosθ = Активная мощность / Полная Мощность
  • Cosθ = P / S
  • Cosθ = кВт / кВА

Где

кВт
    914 Реальная мощность =

    кВт
      914 киловатт
    • кВА = S = полная мощность в киловольт-амперах или ваттах
    • Cosθ = коэффициент мощности

    Формула коэффициента мощности в трехфазных цепях переменного тока

    Коэффициент мощности Cosθ = P / √3 В L x I L … Линейный ток и напряжение

    Коэффициент мощности Cosθ = P / √3 В P x I P … Фазный ток и напряжение

    Треугольник коэффициента мощности и примеры

    Пивная аналогия активной или истинной мощности , реактивной мощности, полной мощности и коэффициента мощности.

    Аналогия мешка для чипов истинной или активной мощности , реактивной мощности, полной мощности и коэффициента мощности.

    Полезно знать:

    В чисто резистивной цепи коэффициент мощности равен 1 из-за нулевой разности фаз (Φ) между током и напряжением.

    В чистой емкостной цепи коэффициент мощности является опережающим из-за запаздывающих переменных величин. То есть напряжение отстает на 90 ° от тока. Другими словами, ток опережает напряжение на 90 ° (ток и напряжение на 90 ° не совпадают по фазе друг с другом, при этом ток идет впереди, а напряжение отстает).

    В чистой индуктивной цепи коэффициент мощности отстает из-за опережающих переменных, т.е. напряжение опережает на 90 ° от тока. Другими словами, ток отстает на 90 ° от напряжения (ток и напряжение на 90 ° не совпадают по фазе друг с другом, другие — где напряжение впереди, а ток отстает).

    Сводка тригонометрических формул

    Сводка тригонометрических формул

    Эти формулы относятся к длине и площади определенных кругов или треугольников.На следующей странице вы найдете личности. Идентичности не относятся к конкретным геометрическим фигурам, но верны для всех углов.

    Формулы дуг и секторов окружностей

    Вы можете легко найти как длину дуги, так и площадь сектора для угла θ в окружности радиуса r .

    Длина дуги. Длина дуги равна радиусу r , умноженному на угол θ , где угол измеряется в радианах.Чтобы преобразовать градусы в радианы, умножьте количество градусов на π /180.
    Площадь сектора. Площадь сектора равна половине квадрата радиуса, умноженного на угол, где, опять же, угол измеряется в радианах.
    Формулы для прямоугольных треугольников

    Наиболее важные формулы для тригонометрии — формулы для прямоугольного треугольника. Если θ — один из острых углов в треугольнике, то синус тета — это отношение противоположной стороны к гипотенузе, косинус — это отношение соседней стороны к гипотенузе, а тангенс — это отношение сторона, противоположная соседней стороне.

    Эти три формулы известны мнемоническим языком SohCahToa. Помимо этого, существует очень важная формула Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.

    Зная, что два острых угла дополняют друг друга, то есть они складываются в 90 °, вы можете решить любой прямоугольный треугольник:

    • Если вы знаете две из трех сторон, вы можете найти третью сторону и оба острых угла.
    • Если вы знаете один острый угол и одну из трех сторон, вы можете найти другой острый угол и две другие стороны.
    Формулы наклонных треугольников

    Эти формулы работают для любого треугольника, будь то острый, тупой или прямой. Мы будем использовать стандартные обозначения, в которых три вершины треугольника обозначаются прописными буквами A , B и C , а три противоположные им стороны соответственно обозначаются строчными буквами a , b и c .

    Есть две важные формулы для наклонных треугольников. Их называют законом косинусов и законом синусов.

    Закон косинусов обобщает формулу Пифагора на все треугольники. В нем говорится, что c 2 , квадрат одной стороны треугольника, равен a 2 + b 2 , сумме квадратов двух других сторон минус 2. ab cos & nbsp C , удвоить их произведение, умноженное на косинус противоположного угла.Когда угол C правильный, он становится формулой Пифагора.

    Закон синусов гласит, что отношение синуса одного угла к противоположной стороне является одинаковым для всех трех углов.

    С помощью этих двух формул вы можете решить любой треугольник:

    • Если вы знаете два угла и сторону, вы можете найти третий угол и две другие стороны.
    • Если вы знаете две стороны и включенный угол, вы можете найти третью сторону и оба других угла.
    • Если вы знаете две стороны и угол, противоположный одной из них, есть две возможности для угла, противоположного другой (острый и тупой), и для обеих возможностей вы можете определить оставшийся угол и оставшуюся сторону.
    Формулы площади для треугольников

    Есть три разные полезные формулы для вычисления площади треугольника, и какая из них вы используете, зависит от того, какая информация у вас есть.

    Половина основания, умноженная на высоту. Это обычный вариант, поскольку он самый простой и обычно у вас есть такая информация. Выбирайте любую сторону, чтобы позвонить по базе b . Тогда, если h — это расстояние от противоположной вершины до b , то площадь равна половине bh .
    Формула Герона. Это полезно, если вы знаете три стороны треугольника: , , b, и c, , и все, что вам нужно знать, это площадь.Пусть s будет половиной их суммы, называемой полупериметром . Тогда площадь является квадратным корнем из произведения s , s a , s b и s c .
    Формула стороны-угла-стороны. Используйте это, если вам известны две стороны, a и b , и включенный угол C . Площадь равна половине произведения двух сторон, умноженного на синус включенного угла.

    графиков функции синуса и косинуса

    Графические вариации y = sin (x) и y = cos (x)

    Напомним, что функции синуса и косинуса связывают значения действительных чисел с координатами x и y точки на единичной окружности. Так как же они выглядят на графике на координатной плоскости? Начнем с синусоидальной функции . Мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика.В таблице ниже перечислены некоторые значения синусоидальной функции на единичной окружности.

    x 0 [латекс] \ frac {π} {6} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {6} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {3} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {2π} {3} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {3π} {4} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {5π} {6} \\ [/ латекс] π
    sin (x) 0

    [латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ латекс]

    [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс]

    [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс]

    1 [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ latex] 0

    Построение точек из таблицы и продолжение по оси x дает форму синусоидальной функции.См. Рисунок 2.

    Рисунок 2. Синусоидальная функция

    Обратите внимание, что значения синуса положительны между 0 и π, что соответствует значениям функции синуса в квадрантах I и II на единичной окружности, а значения синуса отрицательны между π и 2π, которые соответствуют значениям функция синуса в квадрантах III и IV на единичной окружности. См. Рисунок 3.

    Рисунок 3. График значений синусоидальной функции

    Теперь давайте аналогичным образом посмотрим на функцию косинуса .Опять же, мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице ниже перечислены некоторые значения функции косинуса на единичной окружности.

    x 0 [латекс] \ frac {π} {6} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {4} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {3} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {2π} {3} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {3π} {4} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {5π} {6} \\ [/ латекс] π
    cos (x) 1 [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ latex]

    0

    [латекс] — \ frac {1} {2} \\ [/ latex]

    [латекс] — \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс] [латекс] — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс] -1

    Как и в случае с функцией синуса, мы можем построить точки для построения графика функции косинуса, как показано на рисунке 4.

    Рисунок 4. Функция косинуса

    Поскольку мы можем вычислять синус и косинус любого действительного числа, обе эти функции определены для всех действительных чисел. Если рассматривать значения синуса и косинуса как координаты точек на единичной окружности, становится ясно, что диапазон обеих функций должен быть интервалом [-1,1].

    На обоих графиках форма графика повторяется после 2π, что означает, что функции являются периодическими с периодом 2π. Периодическая функция — это функция, для которой конкретный горизонтальный сдвиг , P приводит к функции, равной исходной функции: f ( x + P ) = f ( x ) для всех значений x в области f .Когда это происходит, мы называем наименьший такой горизонтальный сдвиг с P > 0 периодом функции. На рисунке 5 показаны несколько периодов функций синуса и косинуса.

    Рисунок 5

    Еще раз взглянув на функции синуса и косинуса в области с центром на оси y , можно выявить симметрии. Как видно на рисунке 6, синусоидальная функция симметрична относительно начала координат. Вспомните из «Других тригонометрических функций», что мы определили с помощью единичного круга, что синусоидальная функция является нечетной функцией, потому что [latex] sin (−x) = — sinx [/ latex].Теперь мы можем ясно видеть это свойство на графике.

    Рисунок 6. Нечетная симметрия синусоидальной функции

    На рисунке 7 показано, что функция косинуса симметрична относительно оси y . Опять же, мы определили, что функция косинуса является четной функцией. Теперь мы можем видеть из графика, что [латекс] \ cos (−x) = \ cos x \\ [/ latex].

    Рисунок 7. Четная симметрия функции косинуса

    Общее примечание: характеристики функций синуса и косинуса

    Функции синуса и косинуса имеют несколько отличительных характеристик:

    • Это периодические функции с периодом 2π.
    • Область определения каждой функции — (−∞, ∞), а диапазон — [−1,1].
    • График y = sin x симметричен относительно начала координат, потому что это нечетная функция.
    • График y = cos x симметричен относительно оси y , потому что это четная функция.

    Исследование синусоидальных функций

    Как мы видим, функции синуса и косинуса имеют постоянный период и диапазон. Если мы посмотрим на океанские волны или рябь на пруду, мы увидим, что они напоминают функции синуса или косинуса.Однако они не обязательно идентичны. Некоторые из них выше или длиннее других. Функция, которая имеет ту же общую форму, что и функция синуса или косинуса , известна как синусоидальная функция . Общие формы синусоидальных функций:

    y = A sin ( Bx C ) + D

    и

    y = A cos ( Bx C ) + D

    Определение периода синусоидальной функции

    Глядя на формы синусоидальных функций, мы можем видеть, что они являются преобразованиями функций синуса и косинуса.Мы можем использовать то, что мы знаем о преобразованиях, для определения периода.

    В общей формуле B связано с периодом соотношением [latex] \ text {P =} \ frac {2π} {| B |} [/ latex]. Если | B | > 1, то период меньше 2π и функция испытывает сжатие по горизонтали, а если | B | <1, то период больше 2π и функция растягивается по горизонтали. Например, f ( x ) = sin ( x ), B = 1, поэтому период равен 2π, который мы знали.Если f ( x ) = sin (2 x ), то B = 2, поэтому период равен π и график сжат. Если [латекс] \ text {f (x) = sin} (\ frac {x} {2}) [/ latex], то [latex] B = \ frac {1} {2} [/ latex], поэтому период равен 4π, и график растянут. Обратите внимание на рис. 8, как период косвенно связан с | B |.

    Рисунок 8

    Общее примечание: период синусоидальных функций

    Если положить C = 0 и D = 0 в уравнениях синуса и косинуса общего вида, мы получим формы

    Период [латекс] \ frac {2π} {| B |} [/ латекс].

    Пример 1: Определение периода функции синуса или косинуса

    Определите период функции [latex] f (x) = \ sin (\ frac {π} {6} x) \\ [/ latex].

    Решение

    Начнем с сравнения уравнения с общей формой [latex] y = Asin (Bx) [/ latex].

    В данном уравнении [latex] B = \ frac {π} {6} [/ latex], поэтому период будет

    [латекс] \ begin {array} P = \ frac {\ frac {2} {\ pi}} {| B |} \ hfill \\ = \ frac {2 \ pi} {\ frac {x} {6} } \ hfill \\ = 2 \ pi \ times \ frac {6} {\ pi} \ hfill \\ = 12 \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

    Попробуй 1

    Определите период функции [latex] g (x) = \ cos (\ frac {x} {3}) \\ [/ latex].

    Решение

    Определение амплитуды

    Возвращаясь к общей формуле синусоидальной функции, мы проанализировали, как переменная B связана с периодом. Теперь обратимся к переменной A , чтобы мы могли проанализировать, как она связана с амплитудой , или наибольшим расстоянием от покоя. A представляет коэффициент вертикального растяжения и его абсолютное значение | A | это амплитуда. Локальные максимумы будут расстоянием | A | над вертикальной средней линией графика, которая представляет собой линию x = D ; поскольку D = 0 в этом случае, средняя линия — это ось x .Локальные минимумы будут на таком же расстоянии ниже средней линии. Если | A | > 1 функция растягивается. Например, амплитуда f ( x ) = 4 sin x в два раза больше амплитуды

    f ( x ) = 2 sin x .

    Если | A | <1, функция сжимается. На рисунке 9 сравниваются несколько синусоидальных функций с разными амплитудами.

    Рисунок 9

    Общее примечание: амплитуда синусоидальных функций

    Если положить C = 0 и D = 0 в уравнениях синуса и косинуса в общем виде, мы получим формы

    [латекс] y = A \ sin (Bx) \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx) \\ [/ latex]

    Амплитуда равна A, а вертикальная высота от средней линии равна | A |.Кроме того, обратите внимание на пример, что

    [латекс] | A | = \ text {амплитуда} = \ frac {1} {2} | \ text {maximum} — \ text {minimum} | \\ [/ latex]

    Пример 2: Определение амплитуды функции синуса или косинуса

    Какова амплитуда синусоидальной функции [латекс] f (x) = — 4 \ sin (x) \\ [/ latex]? Функция растягивается или сжимается по вертикали?

    Решение

    Начнем с сравнения функции с упрощенной формой y = A sin ( Bx ).

    В данной функции A = −4, поэтому амплитуда равна | A | = | −4 | = 4. Функция растягивается.

    Анализ решения

    Отрицательное значение A приводит к отражению по оси x синусоидальной функции , как показано на рисунке 10.

    Рисунок 10

    Попробуй 2

    Какова амплитуда синусоидальной функции f ( x ) = 12 sin ( x )? Функция растягивается или сжимается по вертикали?

    Решение

    Анализ графиков вариаций

    y = sin x и y = cos x

    Теперь, когда мы понимаем, как A и B связаны с уравнением общей формы для функций синуса и косинуса, мы исследуем переменные C и D .Напомним общий вид:

    [латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D \\ [/ latex]

    или

    [латекс] y = A \ sin (B (x− \ frac {C} {B})) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (B (x− \ frac {C } {B})) + D \\ [/ latex]

    Значение [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] для синусоидальной функции называется фазовым сдвигом , или горизонтальным смещением основного синуса или функцией косинуса . Если C> 0, график сдвигается вправо. Если C <0, график сдвигается влево.Чем больше значение | C |, тем больше смещен график. На рисунке 11 показано, что график [latex] f (x) = \ sin (x − π) \\ [/ latex] сдвигается вправо на π единиц, что больше, чем мы видим на графике [latex] f. (x) = \ sin (x− \ frac {π} {4}) \\ [/ latex], который сдвигается вправо на единицы [latex] \ frac {π} {4} \\ [/ latex].

    Рисунок 11

    В то время как C относится к горизонтальному смещению, D указывает вертикальное смещение от средней линии в общей формуле для синусоидальной функции.Функция [latex] y = \ cos (x) + D \\ [/ latex] имеет среднюю линию в [latex] y = D [/ latex].

    Рисунок 12

    Любое значение D , кроме нуля, сдвигает график вверх или вниз. На рисунке 13 [latex] f (x) = \ sin x \\ [/ latex] сравнивается с [latex] f (x) = \ sin x + 2 \\ [/ latex], который сдвинут на 2 единицы вверх на графике. .

    Рисунок 13

    Общее примечание: вариации функций синуса и косинуса

    Дано уравнение в виде [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex] или [латекс] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex], [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] — это сдвиг фазы , а D — это сдвиг по вертикали .

    Пример 3: Определение фазового сдвига функции

    Определите направление и величину фазового сдвига для [латекса] f (x) = \ sin (x + \ frac {π} {6}) — 2 \\ [/ latex].

    Решение

    Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex].

    Обратите внимание, что в данном уравнении B = 1 и [latex] C = — \ frac {π} {6} \\ [/ latex]. Итак, фазовый сдвиг

    [латекс] \ begin {array} \ frac {C} {B} = — \ frac {\ frac {x} {6}} {1} \ hfill \\ = — \ frac {\ pi} {6} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

    или [latex] \ frac {\ pi} {6} \\ [/ latex] единиц слева.

    Анализ решения

    Обязательно обратите внимание на знак в уравнении общего вида синусоидальной функции. Уравнение показывает знак минус перед C . Следовательно, [latex] f (x) = \ sin (x + \ frac {π} {6}) — 2 \\ [/ latex] можно переписать как [latex] f (x) = \ sin (x — (- \ гидроразрыв {π} {6})) — 2 \\ [/ latex]. Если значение C отрицательное, сдвиг влево.

    Попробуй 3

    Определите направление и величину фазового сдвига для [latex] f (x) = 3 \ cos (x− \ frac {\ pi} {2}) \\ [/ latex].

    Решение

    Пример 4: Определение вертикального сдвига функции

    Определите направление и величину вертикального сдвига для [латекса] f (x) = \ cos (x) −3 \\ [/ latex].

    Решение

    Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex]

    Попробуй 4

    Определите направление и величину вертикального сдвига для [латекса] f (x) = 3 \ sin (x) +2 \\ [/ latex].

    Решение

    Практическое руководство. Имея синусоидальную функцию в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex], определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

    1. Определите амплитуду как | A |.
    2. Определите период как [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} \\ [/ latex].
    3. Определите фазовый сдвиг как [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex].
    4. Определите среднюю линию как y = D.

    Пример 5: Определение вариаций синусоидальной функции из уравнения

    Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции [латекс] y = 3 \ sin (2x) +1 \\ [/ latex].

    Решение

    Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex]. A = 3, поэтому амплитуда | A | = 3.

    Затем B = 2, поэтому период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2π} {2} = π \\ [/ latex].

    В скобках нет добавленной константы, поэтому C = 0, а фазовый сдвиг равен [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {0} {2} = 0 \\ [/ latex].

    Наконец, D = 1, поэтому средняя линия составляет y = 1.

    Анализ решения

    Изучив график, мы можем определить, что период равен π, средняя линия равна y = 1, а амплитуда равна 3.См. Рисунок 14.

    Рисунок 14

    Попробуй 5

    Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции [латекс] y = \ frac {1} {2} \ cos (\ frac {x} {3} — \ frac {π} {3}) \ \[/латекс].

    Решение

    Пример 6: Определение уравнения для синусоидальной функции из графика

    Определите формулу для функции косинуса на рисунке 15.

    Рисунок 15

    Решение

    [латекс] f (x) = \ sin (x) +2 \\ [/ латекс]

    Попробуй 6

    Определите формулу синусоидальной функции на рисунке 16.

    Рисунок 16

    Решение

    Пример 7: Определение уравнения для синусоидальной функции из графика

    Определите уравнение для синусоидальной функции на рисунке 17.

    Рисунок 17

    Решение

    При максимальном значении 1 и минимальном значении −5 средняя линия будет находиться посередине между −2. Итак, D = −2.

    Расстояние от средней линии до самого высокого или самого низкого значения дает амплитуду | А | = 3.

    Период графика равен 6, который может быть измерен от пика при x = 1 до следующего пика при x = 7 или от расстояния между самыми низкими точками. Следовательно, [latex] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} = 6 [/ latex]. Используя положительное значение для B , получаем, что

    [латекс] B = \ frac {2π} {P} = \ frac {2π} {6} = \ frac {π} {3} \\ [/ latex]

    Пока что наше уравнение выглядит так: [latex] y = 3 \ sin (\ frac {\ pi} {3} x − C) −2 \\ [/ latex] или [latex] y = 3 \ cos (\ frac {\ pi} {3} x − C) −2 \\ [/ латекс].Для формы и сдвига у нас есть несколько вариантов. Мы могли бы записать это как любое из следующих:

    • косинус, смещенный вправо
    • отрицательный косинус, сдвинутый влево
    • синус, сдвинутый влево
    • отрицательный синус, сдвинутый вправо

    Хотя любой из них был бы правильным, в этом случае с косинусоидальными сдвигами работать легче, чем с синусоидальными сдвигами, потому что они включают целочисленные значения. Итак, наша функция становится

    [латекс] y = 3 \ cos (\ frac {π} {3} x− \ frac {π} {3}) — 2 \\ [/ latex] или [латекс] y = −3 \ cos (\ frac {π} {3} x + \ frac {2π} {3}) — 2 \\ [/ латекс]

    Опять же, эти функции эквивалентны, поэтому обе дают один и тот же график.

    Попробуй 7

    Напишите формулу функции, показанной на рисунке 18.

    Рисунок 18

    Решение

    Графические вариации

    y = sin x и y = cos x

    В этом разделе мы узнали о типах вариаций функций синуса и косинуса и использовали эту информацию для написания уравнений из графиков. Теперь мы можем использовать ту же информацию для создания графиков из уравнений.

    Вместо того, чтобы сосредоточиться на уравнениях общего вида

    [латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D \\ [/ latex],

    мы положим C = 0 и D = 0 и будем работать с упрощенной формой уравнений в следующих примерах.

    Практическое руководство. Для функции [latex] y = Asin (Bx) \\ [/ latex] нарисуйте ее график.

    1. Определите амплитуду, | A |.
    2. Укажите период, [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} \\ [/ latex].
    3. Начните с начала координат, функция увеличивается вправо, если A положительна, или уменьшается, если A отрицательна.
    4. В [latex] x = \ frac {π} {2 | B |} \\ [/ latex] существует локальный максимум для A > 0 или минимум для A <0, с y = А .
    5. Кривая возвращается к оси x в точке [latex] x = \ frac {π} {| B |} \\ [/ latex].
    6. Существует локальный минимум для A > 0 (максимум для A <0) при [latex] x = \ frac {3π} {2 | B |} \\ [/ latex] при y = — А .
    7. Кривая снова возвращается к оси x в точке [latex] x = \ frac {π} {2 | B |} \\ [/ latex].

    Пример 8: Построение графика функции и определение амплитуды и периода

    Нарисуйте график [латекса] f (x) = — 2 \ sin (\ frac {πx} {2}) \\ [/ latex].

    Решение

    Начнем с сравнения уравнения с формой [латекс] y = A \ sin (Bx) \\ [/ latex].

    Шаг 1. Из уравнения видно, что A = −2, поэтому амплитуда равна 2.

    | A | = 2

    Шаг 2. Уравнение показывает, что [latex] B = \ frac {π} {2} \\ [/ latex], поэтому период равен

    [латекс] \ begin {array} \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \\ = 2 \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} \\ = 4 \ end {array} \\ [/ latex]

    Шаг 3. Поскольку A отрицательное значение, график спускается вниз по мере того, как мы перемещаемся вправо от начала координат.

    Шаг 4–7. Перехваты x находятся в начале одного периода, x = 0, горизонтальные средние точки находятся на уровне x = 2 и в конце одного периода при x = 4.

    Квартальные точки включают минимум x = 1 и максимум x = 3. Локальный минимум будет на 2 единицы ниже средней линии при x = 1, а локальный максимум будет на 2 единицах. над средней линией при x = 3. На рисунке 19 показан график функции.

    Рисунок 19

    Попробуй 8

    Нарисуйте график [латекс] g (x) = — 0,8 \ cos (2x) \\ [/ latex]. Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

    Решение

    Как сделать: для заданной синусоидальной функции со сдвигом фазы и вертикальным сдвигом нарисуйте ее график.

    1. Выразите функцию в общем виде [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex] или [latex] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex] .
    2. Определите амплитуду, | A |.
    3. Укажите период, [латекс] P = 2π | B | [/ latex].
    4. Определите фазовый сдвиг, [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex].
    5. Нарисуйте график [latex] f (x) = A \ sin (Bx) \\ [/ latex], сдвинутый вправо или влево на [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] и вверх или вниз на D .

    Пример 9: Построение преобразованной синусоиды

    Нарисуйте граф [латекс] f (x) = 3 \ sin (\ frac {π} {4} x− \ frac {π} {4}) \\ [/ latex].

    Решение

    Шаг 1. Функция уже записана в общем виде: [latex] f (x) = 3 \ sin (\ frac {π} {4} x− \ frac {π} {4}) \\ [/ латекс]. Этот график будет иметь форму синусоидальной функции , начиная со средней линии и увеличиваясь вправо.

    Шаг 2. | А | = | 3 | = 3. Амплитуда 3.

    Шаг 3. Поскольку [latex] | B | = | \ frac {π} {4} | = \ frac {π} {4} \\ [/ latex], мы определяем период следующим образом.

    [латекс] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2π} {\ frac {π} {4}} = 2π \ times \ frac {4} {π} = 8 \\ [/ латекс]

    Период 8.

    Шаг 4. Поскольку [latex] \ text {C} = \ frac {π} {4} \\ [/ latex], фазовый сдвиг равен

    [латекс] \ frac {C} {B} = \ frac {\ frac {\ pi} {4}} {\ frac {\ pi} {4}} = 1 \\ [/ latex].

    Фазовый сдвиг — 1 ед.

    Шаг 5. На рисунке 20 показан график функции.

    Рисунок 20. Синусоида, сжатая по горизонтали, растянута по вертикали и смещена по горизонтали

    Попробуй 9

    Нарисуйте график [латекс] g (x) = — 2 \ cos (\ frac {\ pi} {3} x + \ frac {\ pi} {6}) \\ [/ latex]. Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

    Решение

    Пример 10: Определение свойств синусоидальной функции

    Учитывая [латекс] y = −2 \ cos (\ frac {\ pi} {2} x + \ pi) +3 \\ [/ latex], определите амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг.Затем изобразите функцию.

    Решение

    Начните со сравнения уравнения с общей формой и выполните шаги, описанные в Примере 9.

    [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D \\ [/ латекс]

    Шаг 1. Функция уже написана в общем виде.

    Шаг 2. Так как A = −2, амплитуда | A | = 2.

    Шаг 3. [latex] | B | = \ frac {\ pi} {2} \\ [/ latex], поэтому период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \ times2 \ pi = 4 \\ [/ latex].Период 4.

    г.

    Шаг 4. [latex] C = — \ pi \\ [/ latex], поэтому мы вычисляем фазовый сдвиг как [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {- \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} = — \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} = — 2 \\ [/ latex]. Фазовый сдвиг -2.

    Шаг 5. D = 3, поэтому средняя линия составляет y = 3, а вертикальный сдвиг увеличивается 3.

    Поскольку A отрицательно, график функции косинуса отражается относительно оси x .

    На рисунке 21 показан один цикл графика функции.

    Рисунок 21

    Использование преобразований функций синуса и косинуса

    Мы можем использовать преобразования функций синуса и косинуса во многих приложениях. Как упоминалось в начале главы, круговое движение может быть смоделировано с использованием функции синуса или косинуса .

    Пример 11: Нахождение вертикальной составляющей кругового движения

    Точка вращается по окружности радиуса 3 с центром в начале координат.Нарисуйте график координаты y точки как функции угла поворота.

    Решение

    Напомним, что для точки на окружности радиуса r координата y точки равна [латекс] y = r \ sin (x) [/ latex], поэтому в этом случае мы получаем уравнение [латекс] у (х) = 3 \ грех (х) [/ латекс]. Константа 3 вызывает вертикальное растяжение значений y функции в 3 раза, что мы можем видеть на графике на рисунке 22.

    Рисунок 22

    Анализ решения

    Обратите внимание, что период функции по-прежнему равен 2π; путешествуя по кругу, мы возвращаемся в точку (3,0) для x = 2π, 4π, 6π,….Поскольку выходные данные графика теперь будут колебаться между –3 и 3, амплитуда синусоидальной волны равна 3.

    Попробуй 10

    Какова амплитуда функции [латекс] f (x) = 7 \ cos (x) [/ latex]? Нарисуйте график этой функции.

    Решение

    Пример 12: Нахождение вертикальной составляющей кругового движения

    Круг радиусом 3 фута устанавливается с центром в 4 футах от земли. Ближайшая к земле точка обозначена P , как показано на рисунке 23.Нарисуйте график высоты над землей точки P при вращении окружности; затем найдите функцию, которая дает высоту через угол поворота.

    Рисунок 23

    Решение

    Набрасывая высоту, мы отмечаем, что она начинается на высоте 1 фута над землей, затем увеличивается до 7 футов над землей и продолжает колебаться на 3 фута выше и ниже центрального значения в 4 фута, как показано на Рисунке 24.

    Рисунок 24

    Хотя мы могли бы использовать преобразование функции синуса или косинуса, мы начнем с поиска характеристик, которые сделают использование одной функции проще, чем другой.Давайте использовать функцию косинуса, потому что она начинается с наибольшего или наименьшего значения, а функция синуса начинается со среднего значения. Стандартный косинус начинается с самого высокого значения, а этот график начинается с самого низкого значения, поэтому нам нужно включить вертикальное отражение.

    Во-вторых, мы видим, что график колеблется на 3 выше и ниже центра, в то время как основной косинус имеет амплитуду 1, поэтому этот график был растянут по вертикали на 3, как в последнем примере.

    Наконец, чтобы переместить центр круга на высоту 4, график был сдвинут по вертикали на 4.Объединяя эти преобразования, мы получаем, что

    [латекс] y = −3 \ cos (x) +4 [/ латекс]

    Попробуй 11

    К пружине прикрепляется груз, который затем подвешивается к доске, как показано на рисунке 25. Когда пружина колеблется вверх и вниз, положение и груза относительно доски изменяется в диапазоне от –1 дюйма (при время x = 0) до –7 дюймов. (в момент времени x = π) под доской. Предположим, что положение y задано как синусоидальная функция x .Нарисуйте график функции, а затем найдите функцию косинуса, которая дает положение y в единицах x .

    Рисунок 25

    Решение

    Пример 13: Определение роста всадника на колесе обозрения

    Лондонский глаз — это огромное колесо обозрения диаметром 135 метров (443 фута). Он совершает один оборот каждые 30 минут. Всадники садятся на платформу на высоте 2 метров над землей. Выразите высоту всадника над землей как функцию времени в минутах.

    Решение

    При диаметре 135 м колесо имеет радиус 67,5 м. Высота будет колебаться с амплитудой 67,5 м выше и ниже центра.

    Пассажирский борт на высоте 2 м над уровнем земли, поэтому центр колеса должен находиться на высоте 67,5 + 2 = 69,5 м над уровнем земли. Средняя линия колебания составит 69,5 м.

    Колесо совершает 1 оборот за 30 минут, поэтому высота будет колебаться с периодом 30 минут.

    Наконец, так как райдерские борта находятся в самой нижней точке, высота будет начинаться с наименьшего значения и увеличиваться по форме вертикально отраженной косинусоидальной кривой.

    • Амплитуда: 67,5, поэтому A = 67,5
    • Средняя линия: 69,5, поэтому D = 69,5
    • Период: 30, поэтому [latex] B = \ frac {2 \ pi} {30} = \ frac {\ pi} {15} [/ latex]
    • Форма: −cos ( t )

    Уравнение для роста всадника будет

    [латекс] y = -67,5 \ cos (\ frac {\ pi} {15} t) +69,5 [/ латекс]

    , где т, — в минутах, а y — в метрах.

    Ключевые уравнения

    Синусоидальные функции [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ латекс]
    [латекс] f (x) = A \ cos (Bx-C) + D [/ латекс]
    • Периодические функции повторяются после заданного значения.Наименьшее из таких значений — период. Основные функции синуса и косинуса имеют период 2π.
    • Функция sin x нечетна, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Функция cos x четная, поэтому ее график симметричен относительно оси y .
    • График синусоидальной функции имеет ту же общую форму, что и синусоидальная или косинусоидальная функция.
    • В общей формуле синусоидальной функции период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
    • В общей формуле синусоидальной функции | A | представляет амплитуду. Если | A | > 1 функция растягивается, а если | A | <1, функция сжимается.
    • Значение [латекс] \ frac {C} {B} [/ latex] в общей формуле для синусоидальной функции указывает фазовый сдвиг.
    • Значение D в общей формуле синусоидальной функции указывает вертикальное смещение от средней линии.
    • Комбинации вариаций синусоидальных функций могут быть обнаружены с помощью уравнения.
    • Уравнение для синусоидальной функции можно определить по графику.
    • Функцию можно изобразить, указав ее амплитуду и период.
    • Функцию также можно изобразить, указав ее амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг.
    • Синусоидальные функции могут использоваться для решения реальных проблем.

    Глоссарий

    амплитуда
    вертикальная высота функции; константа A , фигурирующая в определении синусоидальной функции
    средняя линия
    горизонтальная линия y = D , где D появляется в общем виде синусоидальной функции
    периодическая функция
    функция f ( x ), которая удовлетворяет [latex] f (x + P) = f (x) [/ latex] для конкретной константы P и любого значения x
    сдвиг фазы
    горизонтальное смещение основной функции синуса или косинуса; константа [латекс] \ frac {C} {B} [/ latex]
    синусоидальная функция
    любая функция, которая может быть выражена в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex] или [latex] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D [/ латекс]

    Упражнения по разделам

    1.Почему функции синуса и косинуса называются периодическими функциями?

    2. Как график [латекса] y = \ sin x [/ latex] соотносится с графиком [латекса] y = \ cos x [/ latex]? Объясните, как можно горизонтально перевести график [latex] y = \ sin x [/ latex], чтобы получить [latex] y = \ cos x [/ latex].

    3. Какие константы влияют на диапазон функции и как они влияют на диапазон для уравнения [латекс] A \ cos (Bx + C) + D [/ latex]?

    4. Как диапазон преобразованной синусоидальной функции соотносится с уравнением [латекс] y = A \ sin (Bx + C) + D [/ latex]?

    5.Как можно использовать единичный круг для построения графика [латекса] f (t) = \ sin t [/ latex]?

    6. [латекс] f (x) = 2 \ sin x [/ латекс]

    7. [латекс] f (x) = \ frac {2} {3} \ cos x [/ латекс]

    8. [латекс] f (x) = — 3 \ sin x [/ латекс]

    9. [латекс] f (x) = 4 \ sin x [/ латекс]

    10. [латекс] f (x) = 2 \ cos x [/ латекс]

    11. [латекс] f (x) = \ cos (2x) [/ латекс]

    12. [латекс] f (x) = 2 \ sin (\ frac {1} {2} x) [/ latex]

    13. [латекс] f (x) = 4 \ cos (\ pi x) [/ латекс]

    14. [латекс] f (x) = 3 \ cos (\ frac {6} {5} x) [/ latex]

    15.[латекс] y = 3 \ sin (8 (x + 4)) + 5 [/ латекс]

    16. [латекс] y = 2 \ sin (3x − 21) +4 [/ латекс]

    17. [латекс] y = 5 \ sin (5x + 20) -2 [/ латекс]

    Для следующих упражнений нарисуйте один полный период каждой функции, начиная с [latex] x = 0 [/ latex]. Для каждой функции укажите амплитуду, период и среднюю линию. Укажите максимальное и минимальное значения y и соответствующие им значения x на одном периоде для [latex] x> 0 [/ latex]. Укажите фазовый сдвиг и вертикальный сдвиг, если применимо.При необходимости округлите ответы до двух десятичных знаков.

    18. [латекс] f (t) = 2 \ sin (t− \ frac {5 \ pi} {6}) [/ latex]

    19. [латекс] f (t) = — \ cos (t + \ frac {\ pi} {3}) + 1 [/ latex]

    20. [латекс] f (t) = 4 \ cos (2 (t + \ frac {\ pi} {4})) — 3 [/ латекс]

    21. [латекс] f (t) = — \ sin (12t + \ frac {5 \ pi} {3}) [/ latex]

    22. [латекс] f (x) = 4 \ sin (\ frac {\ pi} {2} (x − 3)) + 7 [/ latex]

    23. Определите амплитуду, среднюю линию, период и уравнение, включающее синусоидальную функцию, для графика, показанного на рисунке 26.

    Рисунок 26

    24. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 27.

    Рисунок 27

    25. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее косинус, для графика, показанного на рисунке 28.

    Рисунок 28

    26. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее синус, для графика, показанного на рисунке 29.

    Рисунок 29

    27.Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 30.

    Рисунок 30

    28. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее синус, для графика, показанного на рисунке 31.

    Рисунок 31

    29. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее косинус, для графика, показанного на рисунке 32.

    Рисунок 32

    30. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с синусом для графика, показанного на рисунке 33.

    Рисунок 33

    Для следующих упражнений пусть [latex] f (x) = \ sin x [/ latex].

    31. На [0,2π) решите [латекс] f (x) = \ frac {1} {2} [/ latex].

    32. Вычислить [латекс] f (\ frac {\ pi} {2}) [/ latex].

    33. На [0,2π), [латексе] f (x) = \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ latex]. Найдите все значения x .

    34. На [0,2π) максимальное значение (-я) функции встречается (-а) при каком (-ых) значении (-ях) x ?

    35. На [0,2π) встречается минимальное значение (я) функции, при каком значении x ?

    36.Покажите, что [latex] f (−x) = — f (x) [/ latex]. Это означает, что [latex] f (x) = \ sin x [/ latex] является нечетной функцией и обладает симметрией относительно ________________ .

    Для следующих упражнений пусть [latex] f (x) = \ cos x [/ latex].

    37. На [0,2π) решите уравнение [латекс] f (x) = \ cos x = 0 [/ latex].

    38. На [0,2π) решите [латекс] f (x) = \ frac {1} {2} [/ latex].

    39. На [0,2π) найдите x -перехватывания [latex] f (x) = \ cos x [/ latex].

    40. На [0,2π) найдите значения x , при которых функция имеет максимальное или минимальное значение.

    41. На [0,2π) решите уравнение [latex] f (x) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ latex].

    42. График [латекс] h (x) = x + \ sin x \ text {on} [0,2 \ pi] [/ latex]. Объясните, почему график выглядит именно так.

    43. График [латекс] h (x) = x + \ sin x [/ latex] на [−100,100]. График выглядел так, как было предсказано в предыдущем упражнении?

    44. Изобразите [латекс] f (x) = x \ sin x [/ latex] на [0,2π] и вербализируйте, как график отличается от графика [латекса] f (x) = \ sin x [/ latex ].

    45. Изобразите [латекс] f (x) = x \ sin x [/ latex] в окне [-10,10] и объясните, что показывает график.

    46. Изобразите [латекс] f (x) = \ frac {\ sin x} {x} [/ latex] в окне [−5π, 5π] и объясните, что показывает график.

    47. Колесо обозрения имеет диаметр 25 метров и поднимается на него с платформы, находящейся на высоте 1 метра над землей. Шесть часов на колесе обозрения находится на уровне погрузочной платформы. Колесо совершает 1 полный оборот за 10 минут. Функция h ( t ) дает высоту человека в метрах над землей t минут после начала поворота колеса.
    а. Найдите амплитуду, среднюю линию и период ч ( t ).
    г. Найдите формулу для функции высоты h ( t ).
    г. Как высоко над землей окажется человек через 5 минут?

    Калькулятор

    — sin (pi) — Solumaths

    Резюме:

    Тригонометрическая функция sin для вычисления синуса угла в радианах, градусы или градианы.

    грешить онлайн
    Описание:

    Калькулятор позволяет использовать большинство тригонометрических функций , есть возможность вычислить синус , косинус и касательная угла через одноименные функции..

    Тригонометрическая функция синус отметил sin , позволяет вычислить синус угла онлайн , можно использовать разные угловые единицы: градусы, градусы и радианы — угловые единицы по умолчанию.

    1. Расчет синуса
    2. Синус для вычисления угла в радианах

      Калькулятор синуса позволяет через функцию sin вычислить онлайн синус синус угла в радианах, сначала необходимо выберите желаемую единицу измерения, нажав кнопку параметров модуля расчета.После этого можно приступать к расчетам.

      Чтобы вычислить синус онлайн «пи / 6», введите sin (`pi / 6`), после вычисления результат Возвращается 1/2.

      Обратите внимание, что синусоидальная функция может распознавать некоторые особые углы и расчеты со специальными связанными значениями в точной форме.

      Вычислить синус угла в градусах

      Чтобы вычислить синус угла в градусах, необходимо сначала выбрать нужную единицу нажав на кнопку опций модуля расчета.После этого вы можете приступить к расчету.

      Чтобы вычислить синус 90, введите sin (90), после вычисления restults 1 возвращается.

      Вычислить синус угла в градусах

      Для вычисления синуса угла в градусах необходимо сначала выбрать желаемую единицу измерения. нажав на кнопку опций модуля расчета. После этого вы можете приступить к расчету.

      Чтобы вычислить синус 50, введите sin (50), после вычисления возвращается результат sqrt (2) / 2.

      Обратите внимание, что функция синуса способна распознавать некоторые особые углы и выполнять исчисление со специальными связанными точными значениями.

    3. Таблица специальных значений синуса
    4. Синус допускает некоторые особые значения, которые калькулятор может определять в точной форме.Вот таблица обычных значений :

    5. Производная синуса
    6. Производная синуса равна cos (x).

    7. Первообразная синуса
    8. Первообразная синуса равна -cos (x).

    9. Свойства синусоидальной функции
    10. Функция sine является нечетной функцией для каждого действительного x, `sin (-x) = — sin (x)`.Следствием для кривой, представляющей синусоидальную функцию, является то, что она допускает начало отсчета как точку симметрии.

    11. Уравнение с синусом
    12. В калькуляторе есть решающая программа, позволяющая решать уравнение с синусом имеет вид cos (x) = a . Расчеты для получения результата детализированы, поэтому можно будет решить такие уравнения, как `грех (х) = 1 / 2` или `2 * sin (x) = sqrt (2)` с шагами расчета.


    Тригонометрическая функция sin для вычисления синуса угла в радианах, градусы или градианы.
    Синтаксис:
    sin (x), где x — мера угла в градусах, радианах или градианах.
    Примеры:
    sin (`0`), возвращает 0
    Производный синус:

    Чтобы дифференцировать синусоидальную функцию онлайн, можно использовать калькулятор производной, который позволяет вычислить производную синусоидальной функции

    Производная от sin (x) — это производная_вычислителя (`sin (x)`) = `cos (x)`


    Первообразный синус:

    Калькулятор первообразных позволяет вычислить первообразную синусоидальной функции.

    Первообразная от sin (x) — это первообразная_производной (`sin (x)`) = `-cos (x)`


    Предельный синус:

    Калькулятор пределов позволяет вычислить пределы синусоидальной функции.

    Предел для sin (x) — limit_calculator (`sin (x)`)


    Синус обратной функции:

    Функция , обратная синусу , — это функция арксинуса, обозначенная как arcsin.



    Графический синус:

    Графический калькулятор может строить синусоидальную функцию в заданном интервале.



    Свойство функции sine:
    Синусоидальная функция — это нечетная функция.
    Посчитать онлайн с sin (синусом)

    Функция ACOS — служба поддержки Office

    В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ACOS в Microsoft Excel.

    Описание

    Возвращает арккосинус или обратный косинус числа. Арккосинус — это угол, косинус которого равен числу . Возвращаемый угол указывается в радианах в диапазоне от 0 (ноль) до пи.

    Синтаксис

    ACOS (номер)

    Аргументы функции ACOS следующие:

    Замечание

    Если вы хотите преобразовать результат из радиан в градусы, умножьте его на 180 / PI () или используйте функцию ГРАДУСЫ.

    Пример

    Скопируйте данные примера из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы формулы отображали результаты, выберите их, нажмите F2, а затем нажмите Enter. При необходимости вы можете настроить ширину столбца, чтобы увидеть все данные.

    Формула

    Описание

    Результат

    = ACOS (-0.5)

    Арккосинус -0,5 в радианах, 2 * пи / 3

    2. 2 = 1 $.

    В) Тогда для конкретных углов есть значения. Это в основном геометрия и бывает три случая:

    1) $ \ theta $ ~ $ 0 $ или 90 $. Это $ \ theta = 0, \ pi / 2, \ pi, 3 \ pi / 4 $ (или $ — \ pi / 4 $).

    Это точки $ (x, y) = (\ cos \ theta, \ sin \ theta) $ = $ (0, \ pm 1) $ и $ \ tan \ theta = (0, \ pm 1) $ и $ x / y $ = $ 0 $, $ \ pm 1/0 $ (не определено).

    Это то, что визуально видно при представлении круга.

    2) $ \ theta $ ~ 45. Это $ \ theta = \ text {odd} * \ pi / 4 $ (или другой способ просмотра $ \ {0, \ pi, \ pm \ pi / 2 \ } \ pm \ pi / 4 $; или просто $ \ pi / 4, 3 \ pi / 4, 5 \ pi / 4 = -3 \ pi / 4, 7 \ pi / 4 = — \ pi / 4 $).2 = 1 $, значит, $ | x | = | y | = \ sqrt {2} / 2 $. И $ | x | / | y | = 1 $.

    Итак, $ \ sin \ theta = \ pm \ cos \ theta = \ pm \ sqrt {2} / 2 $. и $ \ tan \ theta = \ pm 1 $.

    Какая положительная / отрицательная полярность зависит от того, в каком квадранте $ (x, y) = (\ cos \ theta, \ sin \ theta) $ находится.

    3) $ \ theta $ ~ 30, 60 $. Это $ \ {0, \ pi, \ pm \ pi / 2 \} \ pm \ pi / 6 $. Или $ 0, \ pi / 6, \ pi / 3, 2 \ pi / 3, 5 \ pi / 6, 7 \ pi / 6, 4 \ pi / 3, 5 \ pi / 3, 11 \ pi / 6 $.

    Это для треугольников 30-60-90 градусов, которые представляют собой равносторонние треугольники, разрезанные пополам.2 $ и поскольку $ c = 1 $, то $ a = 1/2 $ и $ b = \ sqrt {3} 2 $.

    Итак, это $ (x, y) = (\ cos \ theta, \ sin \ theta) = (\ {\ pm 1/2: \ pm \ sqrt {3} / 2 \}, \ {\ pm \ sqrt {3} / 2: \ pm 1/2) $ и $ \ tan \ theta = \ {\ pm 1 / \ sqrt 3: \ pm \ sqrt 3 \} $

    Какие значения зависят от того, соответствует ли $ | x | > | y | $ или $ | y | > | x | $ и в каком квадранте $ (x, y) лежит

    ======

    И да, эта круглая картинка помогает. Поскольку круговая картинка идеально симметрична, ее легко запомнить, хотя технически она имеет 48 значений.Поскольку он симметричен, на самом деле он сводится только к трем вышеупомянутым случаям.

    . Разное

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *