Как найти токи в ветвях: Найти все токи и напряжения в цепи. Расчет простых электрических цепей. Основные законы цепей постоянного тока

Содержание

Закон Ома (страница 1)

Применение закона Ома к расчету линейных электрических цепей постоянного тока

1. Найти ток ветви (рисунок 3), если: U=10 В, Е=20 В, R=5 Ом.

Решение:

Так как все схемы рисунка 3 представляют собой активные ветви, то для определения токов в них используем закон Ома обобщенный закон Ома. Рассмотрим рисунок 3 а: направление ЭДС совпадает с произвольно выбранным условно положительным направлением тока, следовательно, в формуле обобщенного закона Ома величина ЭДС учитывается со знаком «плюс». Направление напряжения не совпадает с направлением тока, и в формуле обобщенного закона Ома величина напряжения учитывается со знаком «минус»;

Аналогично определяются токи в схемах б, в, г рисунка 3:

2. Найти напряжение между зажимами нетвей (рисунок 4).

Решение:

Участок цепи, изображенный на рисунке 4 а содержит источник ЭДС, т.е. является активным, поэтому воспользуемся обобщенным законом Ома:

откуда выразим напряжение на зажимах:

Аналогично определяются напряжения на зажимах участков, изображенных на рисунках 4 б и 4 в.

3. Определить неизвестные потенциалы точек участка цени (рисунок 5).

Решение:
Для схемы рисунка 5 а запишем обобщенный закон Ома:

откуда выразим напряжение на зажимах ветви:

Если представить напряжение как разность потенциалов:

тогда при известных параметрах цепи, токе и потенциале определим потенциал :

Эту же задачу можно решить другим способом. Напряжение на зажимах источника ЭДС , без учета внутреннего сопротивления источника, по величине равно и направлено от точки с большим потенциалом (точка С) к точке с меньшим потенциалом (точка b):

и тогда, зная потенциал , определим потенциал точки С:

Потенциал точки d больше потенциала точки С на величину падения напряжения на сопротивлении R:

тогда

Потенциал точки а определяем с учетом направления напряжения на зажимах источника ЭДС . Напряжение направлено от точки с большим потенциалом (точка d) к точке с меньшим потенциалом (точка а):

откуда следует, что

или

Рассмотрим решение задачи для схемы рисунка 5 б. При известном потенциале точки С, параметрах элементов и токе, определим потенциалы крайних точек участка цепи . Напряжение на участке b — с, выраженное через разность потенциалов, определим по закону Ома:

откуда следует

Напряжение на участке с — а, равное по величине Е, направлено от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом:

4. В цепи (рисунок 6) известны величины сопротивлений резистивных элементов: , входное напряжение U=100 В и мощность, выделяемая на резистивном элементе с сопротивлением . Определить величину сопротивления резистора .

Решение:
Согласно закону Джоуля-Ленца, мощность на резистивном элементе определяется:

или, согласно закону Ома:

По известному значению мощности на резистивном элементе и величине сопротивления этого элемента определим ток в ветви:

По закону Ома напряжение на зажимах определится:

тогда величина сопротивления резистивного элемента:

5. Определить показания вольтметров цепи (рисунок 7), если .

Решение:
Ток в цепи определим по закону Ома:

Вольтметр показывает напряжение на источнике ЭДС Е:

Вольтметры показывают величину падения напряжения на резистивных элементах :

Вольтметр , показывает напряжение на участке 2 — 1 , которое определим как алгебраическую сумма напряжений :

6. Ток симметричной цепи (рисунок 8) , внутреннее сопротивлении источника ЭДС . Определить ЭДС Е и мощность источника энергии.

Решение:
Напряжение на зажимах 1 — 2 определим по закону Ома для пассивной ветви:

Величину ЭДС источника энергии определим из выражения закона Ома для активной ветви:

Мощность, развиваемая источником энергии, определится:

2. Метод токов ветвей | 9. Анализ цепей постоянного тока | Часть1

2. Метод токов ветвей

Метод токов ветвей

Первый и самый простой метод анализа цепей постоянного тока называется методом токов ветвей. В этом методе нам сначала нужно определить направления токов в цепи, а затем написать уравнения, описывающие их отношения друг с другом через законы Кирхгофа и Ома. Как только мы получим уравнения для каждого из неизвестных токов, мы сможем решить систему уравнений, рассчитав тем самым все токи, а затем и все напряжения в цепи.

Для рассмотрения метода мы будем использовать следующую схему:

Первое что нам нужно сделать — это выбрать узел цепи (место соединения проводов), который будет использоваться в качестве точки отсчета для поиска неизвестных токов. Мы выберем узел, соединяющий резистор R₁

справа, R₂ снизу и R₃ слева.

Теперь нам нужно проставить направления токов в примыкающих к этому узлу проводах, обозначив их I₁, I₂ и I₃ соответственно. Имейте ввиду, эти направления будут только предполагаемыми. Если выяснится, что наши предположения оказались ошибочными, то мы это увидим в процессе математического расчета (любые «неправильные» направления токов отобразятся в виде отрицательных чисел).

Согласно Первому Закону Кирхгофа, алгебраическая сумма токов входящих в узел и выходящих из него должна быть равна нулю, поэтому мы можем связать все токи нашей схемы (I

1, I₂ и I₃) друг с другом при помощи одного уравнения. Все входящие в узел токи мы обозначим знаком «плюс», а выходящие из него — знаком «минус»:

На следующем шаге нам нужно промаркировать полярности напряжений всех резисторов в соответствии с предполагаемыми направлениями токов. Конец резистора, в который ток втекает — будет отрицательным, а из которого вытекает — будет положительным (электрон заряжен отрицательно, и течет от минуса к плюсу):

Полярность батареи проставляется в соответствии со стандартом (короткий конец — отрицательный, длинный конец — положительный). В некоторых случаях вы можете обнаружить, что полярность резисторов не соответствует полярности батареи, а ток течет обратно через батарею.

Ничего страшного, это только предполагаемое направление тока. Здесь важно помнить, что простановку полярности напряжений на резисторах и последующие расчеты нужно производить по изначально предполагаемым направлениям токов. Как отмечалось ранее, если ваши предположения окажутся неверными, то вы увидите это по окончательным результатам расчетов (они будут отрицательными). Сами же полученные величины все равно будут правильными.

Согласно Второму Закону Кирхгофа, алгебраическая сумма всех напряжений цепи должна равняться нулю. Исходя из этого, мы сможем создать несколько уравнений для нашей системы, подставив в них неизвестные значения токов (I

1, I₂ и I₃). Для получения уравнений Второго Закона Кирхгофа нам нужно знать количество и полярность напряжений в каждой из ветвей цепи. В целях облегчения данной задачи давайте представим, что мы измерили все напряжения реальным вольтметром, обозначив неизвестные значения как положительное или отрицательное напряжение.

Сначала мы создадим уравнение для левой ветви схемы, взяв за точку отсчета верхний левый угол, и двигаясь против часовой стрелки (выбор точки отсчета и направление — произвольны). Результат будет выглядеть следующим образом:

Закончив исследование левой ветви схемы, мы можем применить к полученным значениям Второй Закон Кирхгофа (сумма всех напряжений цепи равна нулю):

Нам еще неизвестны значения напряжений на резисторах R₁ и R₂, поэтому мы не можем вставить их в уравнение в виде числовых величин. Однако, мы знаем, что сумма этих трех напряжений равна нулю, поэтому уравнение верно. Теперь пойдем дальше, и выразим неизвестные напряжения как произведение неизвестных токов и соответствующих им сопротивлений (применив Закон Ома: U = IR), а так же уберем все нулевые значения из левой части уравнения:

Поскольку нам известны сопротивления всех резисторов, давайте подставим в уравнение конкретные числовые значения:

У вас наверняка возник вопрос: зачем мы произвели все эти манипулирования с первоначальным видом уравнения (-28 + E_R2 + E_R1)? Какая разница в чем будет выражено уравнение, в напряжении или в токе (умноженном на сопротивление), если в обоих случаях последние два члена до сих пор неизвестны? Ответ на данные вопросы прост.

Целью всех выше приведенных преобразований является получение уравнения Второго Закона Кирхгофа с использованием тех же неизвестных переменных, что и в уравнении Первого Закона Кирхгофа, так как это является необходимым условием для решения любой системы уравнений. Чтобы найти значения трех неизвестных токов (I₁, I₂ и I₃), у нас должно быть три уравнения, связывающих их вместе.

Применив те же самые действия к правой ветви схемы (начиная с выбранного узла и двигаясь против часовой стрелки), мы получим еще одно уравнение Второго Закона Кирхгофа:

Зная, что напряжение на каждом из резисторов может и должно быть выражено как произведение соответствующих токов и сопротивлений (величина которых известна), мы можем переписать это уравнение следующим образом:

Теперь у нас есть система из трех уравнений (одно уравнение Первого и два уравнения Второго Законов Кирхгофа) с тремя неизвестными:

Далее нам нужно перенести все известные величины в правые части уравнений, а неизвестные оставить в левой, дополнив их отсутствующими нулевыми значениями:

Решив эту систему уравнений мы получим следующий результат:

Таким образом, ток I₁ равен 5 амперам, ток I₂ равен 4 амперам и ток I₃ равен минус 1 амперу. Отрицательное значение тока I₃ означает что наше предположение по его направлению оказалось неверным. Давайте вернемся к первоначальной схеме и перерисуем стрелку этого тока на противоположное направление (исправив соответственно полярность напряжения на резисторе R₃):

Обратите внимание на тот факт, что в правой ветви схемы ток течет обратно через батарею 2. Это происходит благодаря более высокому напряжению батареи 1 (в которой ток течет «как обычно» — через цепь от минуса к плюсу). Означает ли это, что более «сильная» батарея всегда будет «побеждать» более слабую. Вовсе нет! Данный фактор зависит как от относительных напряжений батарей, так и от сопротивлений резисторов цепи. Единственным способом установления происходящих в цепи процессов является математический анализ.

Итак, величины всех токов данной цепи нам известны. Теперь, при помощи Закона Ома (U = IR), можно рассчитать напряжения на всех ее резисторах:

Давайте теперь проанализируем эту схему при помощи программы PSPICE, проверив тем самым полученные результаты для напряжений.

Данная программа, конечно, сможет рассчитать и токи, но тогда нам потребуется включить в схему дополнительные компоненты. Принимая во внимание этот факт, мы с вами пойдем по пути наименьшего сопротивления (если выданные программой значения напряжений совпадут с нашими расчетами, то и токи мы рассчитали правильно). Схема с номерами узлов для программы представлена ниже:

Как видите, результаты работы программы совпадают с нашими рассчетами: 20 вольт на резисторе R₁ (узлы 1 и 2), 8 вольт на резисторе R₂ (узлы 2 и 0) и 1 вольт на резисторе R₃ (узлы 2 и 3). Обратите внимание на знаки всех этих напряжений: они имеют положительные значения! PSPICE основывает свою полярность на порядке, в котором перечислены узлы: первый узел должен быть положительным, а второй — отрицательным. Например, положительное (+) напряжение 20 вольт между узлами 1 и 2 означает, что узел 1 является положительным по отношению к узлу 2. Если бы число получилось отрицательным, то то ошибку следовало бы искать в порядке перечисления узлов.

4. Анализ сложных электрических цепей с несколькими источниками энергии

4.1. Метод непосредственного применения
законов Кирхгофа

На рис. 4.1 изображена схема разветвленной электрической цепи. Известны величины сопротивлений и ЭДС, необходимо определить токи.
В схеме имеются четыре узла, можно составить четыре уравнения по первому закону Кирхгофа.

Укажем произвольно направления токов. Запишем уравнения::

(4.1)

Рис. 4.1

Сложим эти уравнения. Получим тождество 0 = 0. Система уравнений (4.1) является зависимой.
Если в схеме имеется n узлов, количество независимых уравнений, которые можно составить по первому закону Кирхгофа, равно n — 1.
Для схемы на рис. 4.1 число независимых уравнений равно трем.

(4.2)

Недостающее количество уравнений составляют по второму закону Кирхгофа. Уравнения по второму закону составляют для независимых контуров. Независимым является контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в другие контуры.
Выберем три независимых контура и укажем направления обхода контуров. Запишем три уравнения по второму закону Кирхгофа.

(4.3)

Решив совместно системы уравнений (4.2) и (4.3), определим токи в схеме.
Ток в ветви может иметь отрицательное значение. Это означает, что действительное направление тока противоположно выбранному нами.

Метод контурных токов

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа громоздок. Имеется возможность уменьшить количество совместно решаемых уравнений системы. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, равно количеству уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа.
Метод контурных токов заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются, на основании второго закона Кирхгофа, так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах.
На рис. 4.2 в качестве примера изображена двухконтурная схема, в которой I11 и I22 — контурные токи.

Рис. 4.2
Токи в сопротивлениях R1 и R2 равны соответствующим контурным токам. Ток в сопротивлении R3, являющийся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов I11 и I22, так как эти токи направлены в ветви с R3 встречно.

Порядок расчета

Выбираются независимые контуры, и задаются произвольные направления контурных токов.
В нашем случае эти токи направлены по часовой стрелке. Направление обхода контура совпадает с направлением контурных токов. Уравнения для этих контуров имеют следующий вид:

Перегруппируем слагаемые в уравнениях

(4.4)

(4.5)

Суммарное сопротивление данного контура называется собственным сопротивлением контура.
Собственные сопротивления контуров схемы

, .

Сопротивление R3, принадлежащее одновременно двум контурам, называется общим сопротивлением этих контуров.

где R12 — общее сопротивление между первым и вторым контурами;
R21 — общее сопротивление между вторым и первым контурами.
E11 = E1 и E22 = E2 — контурные ЭДС.
В общем виде уравнения (4.4) и (4.5) записываются следующим образом:

Собственные сопротивления всегда имеют знак «плюс».
Общее сопротивление имеет знак «минус», если в данном сопротивлении контурные токи направлены встречно друг другу, и знак «плюс», если контурные токи в общем сопротивлении совпадают по направлению.
Решая уравнения (4.4) и (4.5) совместно, определим контурные токи I11 и I22, затем от контурных токов переходим к токам в ветвях.
Ветви схемы, по которым протекает один контурный ток, называются внешними, а ветви, по которым протекают несколько контурных токов, называются общими. Ток во внешней ветви совпадает по величине и по направлению c контурным. Ток в общей ветви равен алгебраической сумме контурных токов, протекающих в этой ветви.
В схеме на Рис. 4.2

Рекомендации
Контуры выбирают произвольно, но целесообразно выбрать контуры таким образом, чтобы их внутренняя область не пересекалась ни с одной ветвью, принадлежащей другим контурам.
Контурные токи желательно направлять одинаково (по часовой стрелке или против).
Если нужно определить ток в одной ветви сложной схемы, необходимо сделать его контурным.
Если в схеме имеется ветвь с известным контурным током, этот ток следует сделать контурным, благодаря чему количество уравнений становится на единицу меньше.

4.3. Метод узловых потенциалов
   Метод узловых потенциалов позволяет составить систему уравнений, по которой можно определить потенциалы всех узлов схемы. По известным разностям узловых потенциалов можно определить токи во всех ветвях. В схеме на рисунке 4.3 имеется четыре узла. Потенциал любой точки схемы можно принять равным нулю. Тогда у нас останутся неизвестными три потенциала. Узел, величину потенциала которого выбирают произвольно, называют базисным. Укажем в схеме произвольно направления токов. Примем для схемы ?4 = 0.

Рис. 4.3

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 1.

   (4.6)
В соответствии с законами Ома для активной и пассивной ветви
,
где — проводимость первой ветви.
,
где — проводимость второй ветви.
Подставим выражения токов в уравнение (4.6).
   (4.7)
где g11 = g1 + g2 — собственная проводимость узла 1.

Собственной проводимостью узла называется сумма проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле.
g12 = g2 — общая проводимость между узлами 1 и 2.
Общей проводимостью называют проводимость ветви, соединяющей узлы 1 и 2.

— сумма токов источников, находящихся в ветвях, сходящихся в узле 1.
Если ток источника направлен к узлу, величина его записывается в правую часть уравнения со знаком «плюс», если от узла — со знаком «минус».
По аналогии запишем для узла 2:

   (4.8)
для узла 3:
   (4.9)
Решив совместно уравнения (4.7), (4.8), (4.9), определим неизвестные потенциалы ?1, ?2, ?3, а затем по закону Ома для активной или пассивной ветви найдем токи.
Если число узлов схемы — n, количество уравнений по методу узловых потенциалов — (n — 1).

Замечание.

Если в какой-либо ветви содержится идеальный источник ЭДС, необходимо один из двух узлов, между которыми включена эта ветвь, выбрать в качестве базисного, тогда потенциал другого узла окажется известным и равным величине ЭДС. Количество составляемых узловых уравнений становится на одно меньше.

4.4. Метод двух узлов
   Схема на рис. 4.4 имеет два узла. Потенциал точки 2 примем
равным нулю ?2 = 0. Составим узловое уравнение для узла 1.

,
,

Рис. 4.4
   где , , — проводимости ветвей.

В общем виде:

.
В знаменателе формулы — сумма проводимостей параллельно включенных ветвей. В числителе — алгебраическая сумма произведений ЭДС источников на проводимости ветвей, в которые эти ЭДС включены. ЭДС в формуле записывается со знаком «плюс», если она направлена к узлу 1, и со знаком «минус», если направлена от узла 1.
После вычисления величины потенциала ?1 находим токи в ветвях, используя закон Ома для активной и пассивной ветви.

4.5. Метод эквивалентного генератора
Этот метод используется тогда, когда надо определить ток только в одной ветви сложной схемы.
Чтобы разобраться с методом эквивалентного генератора, ознакомимся сначала с понятием «двухполюсник».
Часть электрической цепи с двумя выделенными зажимами называется двухполюсником. Двухполюсники, содержащие источники энергии, называются активными. На рис. 4.5 показано условное обозначение активного двухполюсника.
Двухполюсники, не содержащие источников, называются пассивными. На эквивалентной схеме пассивный двухполюсник может быть заменен одним элементом — внутренним или входным сопротивлением пассивного двухполюсника Rвх. На рис. 4.6 условно изображен пассивный двухполюсник и его эквивалентная схема.

Рис. 4.5 Рис. 4.6

Входное сопротивление пассивного двухполюсника можно измерить.
Если известна схема пассивного двухполюсника, входное сопротивление его можно определить, свернув схему относительно заданных зажимов.
Дана электрическая цепь. Необходимо определить ток I1 в ветви с сопротивлением R1 в этой цепи. Выделим эту ветвь, а оставшуюся часть схемы заменим активным двухполюсником (рис. 4.7).
Согласно теореме об активном двухполюснике, любой активный двухполюсник можно заменить эквивалентным генератором (источником напряжения) с ЭДС, равным напряжению холостого хода на зажимах этого двухполюсника и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению того же двухполюсника, из схемы которого исключены все источники (рис. 4.8). Искомый ток I1 определится по формуле:

(4.10)

Рис. 4.7 Рис. 4.8

Параметры эквивалентного генератора (напряжение холостого хода и входное сопротивление) можно определить экспериментально или расчетным путем.
Ниже показан способ вычисления этих параметров расчетным путем в схеме на рис. 4.2. Изобразим на рис. 4.9 схему, предназначенную для определения напряжения холостого хода. В этой схеме ветвь с сопротивлением R1 разорвана, это сопротивление удалено из схемы. На разомкнутых зажимах появляется напряжение холостого хода. Для определения этого напряжения составим уравнение для первого контура по второму закону Кирхгофа

,
откуда находим
, (4.11)

где определяется из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для второго контура

. (4.12)

Так как первая ветвь разорвана, ЭДС Е1 не создает ток. Падение напряжения на сопротивлении Rвн1 отсутствует.
На рис. 4.10 изображена схема, предназначенная для определения входного сопротивления.
.
Рис. 4.9 Рис. 4.10

Из схемы на рис. 4.9 удалены все источники (Е1 и Е2), т.е. эти ЭДС мысленно закорочены. Входное сопротивление Rвх определяют, свертывая схему относительно зажимов 1-1′

. (4.13)
Для определения параметров эквивалентного генератора экспериментальным путем необходимо выполнить опыты холостого хода и короткого замыкания.
При проведении опыта холостого хода от активного двухполюсника отключают сопротивление R1, ток I1 в котором необходимо определить. К зажимам двухполюсника 1-1′ подключают вольтметр и измеряют напряжение холостого хода Uxx (рис. 4.11).
При выполнении опыта короткого замыкания соединяют проводником зажимы 1-1′ активного двухполюсника и измеряют амперметром ток короткого замыкания I1кз (рис. 4.12).

Рис. 4.11 Рис. 4.12

откуда
(4.14)
Метод тока ответвления — Анализ сети постоянного тока
Анализ сети постоянного тока
Метод тока ответвления — это метод анализа цепей для определения ток в каждой ветви цепи с использованием законов Кирхгофа и Ома.
Примечание. Ветвь — это часть цепи, которая имеет полный путь для прохождения тока.
Давайте использовать эту схему, чтобы проиллюстрировать метод:
Пример схемы.
Первый шаг — назначить ток в каждой ветви цепи в произвольной (предполагается) направление .В этой схеме есть три ветви и, следовательно, три тока, которые следует учитывать. Мы обозначим три тока как I ₁, I ₂ и I ₃ соответственно (см. Рисунок ниже).
Назначение токов.
Следующим шагом является применение закона Кирхгофа по напряжению для каждого контура схема. На этом этапе падение напряжения на всех резисторах выражается используя токи ответвления и закон Ома.Направления (от + до -) напряжения падение напряжения на резисторах считается равным заданному току направления. Мы можем написать два таких уравнения для двух контуров этой схемы.
Левая петля ( R ₁, R ₂, V ₁):
Правая петля ( R ₂, R ₃, V ₂):
Третий шаг, текущий закон Кирхгофа применяется ко всем узлам, кроме земли. ссылка.Узел заземления обычно является узлом с большинством подключений. Мы выберем нижний узел в качестве эталона (см. Рисунок ниже).
Ссылочный узел.
Текущий закон Кирхгофа применяется к верхнему (A) узлу:
Четвертый и последний шаг — решить уравнения, полученные в результате предыдущих шагов. для ответвленных токов.
Решения:
Примечание: отрицательный знак I ₃ означает, что наш принял направление для I ₃ противоположно его действительному направлению.

6.3: Цепи делителя тока и формула делителя тока
Параллельную цепь часто называют делителем тока из-за ее способности пропорционально или делить общий ток на дробные части
Чтобы понять, что это означает, давайте сначала проанализируем простую параллельную схему, определив токи ответвления через отдельные резисторы:
Зная, что напряжения на всех компонентах в параллельной цепи одинаковы, мы можем заполнить нашу таблицу напряжение / ток / сопротивление 6 вольт в верхней строке:
Используя закон Ома (I = E / R), мы можем рассчитать ток каждой ветви:
Зная, что токи ответвлений в параллельных цепях складываются, чтобы равняться общему току, мы можем получить общий ток, суммируя 6 мА, 2 мА и 3 мА:
Последним шагом, конечно же, является определение общего сопротивления.Это можно сделать с помощью закона Ома (R = E / I) в столбце «общее» или с помощью формулы параллельного сопротивления для отдельных сопротивлений. В любом случае мы получим один и тот же ответ:
Еще раз, должно быть очевидно, что ток через каждый резистор связан с его сопротивлением, учитывая, что напряжение на всех резисторах одинаково. Здесь соотношение не прямо пропорционально, а наоборот. Например, ток через R ₁ вдвое больше, чем ток через R ₃, сопротивление которого в два раза больше, чем R ₁.
Если бы мы изменили напряжение питания этой цепи, мы обнаружили, что (сюрприз!) Эти пропорции не меняются:
Ток через R ₁ по-прежнему ровно вдвое больше, чем у R ₃, несмотря на то, что напряжение источника изменилось. Пропорциональность между разными токами ответвления строго зависит от сопротивления.
Также делители напряжения напоминают тот факт, что токи ответвления представляют собой фиксированные пропорции общего тока.Несмотря на четырехкратное увеличение напряжения питания, соотношение между током любой ветви и полным током остается неизменным:
Теперь мы можем сами убедиться в том, что мы сделали в начале этой страницы: параллельную цепь часто называют делителем тока из-за ее способности пропорционально или делить общий ток на дробные части.
Формула текущего делителя
Приложив немного алгебры, мы можем вывести формулу для определения тока параллельного резистора, учитывая не что иное, как общий ток, отдельное сопротивление и общее сопротивление:
Отношение полного сопротивления к индивидуальному сопротивлению такое же, как отношение индивидуального (ответвления) тока к общему току.Это известно как формула делителя тока и представляет собой сокращенный метод определения токов ответвления в параллельной цепи, когда известен полный ток.
Пример формулы делителя тока
Используя исходную параллельную схему в качестве примера, мы можем пересчитать токи ответвления, используя эту формулу, если мы начнем с знания общего тока и общего сопротивления:
Если вы потратите время на сравнение двух формул делителя, вы увидите, что они очень похожи.Обратите внимание, однако, что отношение в формуле делителя напряжения составляет R _n (отдельное сопротивление), деленное на R _Total, а соотношение в формуле делителя тока составляет R _Total, деленное на R _n:
Формула для делителя тока и формула для делителя напряжения
Эти два уравнения довольно легко спутать, получив обратные соотношения сопротивлений. Один из способов помочь запомнить правильную форму — это помнить, что оба отношения в уравнениях делителя напряжения и тока должны быть меньше единицы.Ведь это делитель уравнений, а не умножитель уравнений! Если дробь перевернута, то соотношение будет больше единицы, что неверно.
Зная, что общее сопротивление в последовательной цепи (делитель напряжения) всегда больше, чем любое из отдельных сопротивлений, мы знаем, что доля для этой формулы должна быть R _n над R _Total. И наоборот, зная, что полное сопротивление в параллельной цепи (делитель тока) всегда меньше, чем любое из отдельных сопротивлений, мы знаем, что доля для этой формулы должна быть равна _Всего R против _n R.
Пример схемы делителя тока
Применение: Схема электрического счетчика
Цепи делителя тока
находят применение в схемах электрических счетчиков, где требуется, чтобы часть измеренного тока проходила через чувствительное устройство обнаружения. Используя формулу делителя тока, подходящий шунтирующий резистор может быть подобран таким образом, чтобы пропорционально пропорции правильного количества тока для устройства в любом конкретном случае:
Обзор схемы делителя тока
:
Параллельные цепи пропорционально или «делят» общий ток цепи между токами отдельных ответвлений, пропорции строго зависят от сопротивлений: I _n = I _Всего (R _Всего / R _n)
Напряжение ответвления — обзор
3 Характеристики постоянного тока короткого замыкания
Для правильной конструкции защитных устройств и точной настройки защитных реле необходим подробный анализ тока короткого замыкания в системе.Чтобы проанализировать ток короткого замыкания в системе постоянного тока, рассмотрим условную сеть MVDC с тремя шинами, показанную на рис. 1. В этой системе используются преобразователи переменного тока в постоянный на шине 1 и шине 3 для сопряжения источников переменного тока с сетью постоянного тока. Кроме того, аккумуляторная батарея на шине 2, действующая как источник постоянного тока, подключена к сети через преобразователь постоянного тока в постоянный. В системе постоянного тока источники питания являются основными источниками тока повреждения, однако конденсаторные фильтры постоянного тока вносят значительный вклад в токи повреждения во время переходного периода.Чтобы управлять токами короткого замыкания в сети постоянного тока во время повреждений шины и фидера, эквивалентная схема сети, видимая от источника переменного тока на шине 1, показана на рис. 2 (a). Источники переменного тока, подключенные через преобразователи переменного тока в постоянный, обычно обеспечивают относительно низкие токи, которые составляют порядка 150–200% номинальных токов преобразователя, и могут быть представлены как источник тока в течение переходного периода [14,24]. Следует отметить, что нормальная работа преобразователя обеспечивается только тогда, когда встречно-параллельные диоды на твердотельных переключателях имеют обратное смещение за счет постоянного напряжения конденсаторов шины [23].Во время отказов сети постоянного тока напряжение конденсатора шины постоянного тока падает, поэтому встречно-параллельные диоды преобразователя смещены, и преобразователь можно моделировать только с его эквивалентным сопротивлением и индуктивностью [2]. Таким образом, источник 1 переменного тока, включая его преобразователь, моделируется как источник тока, включенный последовательно с ветвью R _S1 и L _S ₁, представляя эквивалентные резистор и индуктивность источника переменного тока и конвертер соответственно. Кроме того, C _B1 , R _CB ₁, L _eq ₁ и R _eq ₁, показанные в этой модели, представляют собой емкость и сопротивление конденсатор, подключенный к первой шине, и эквивалентная индуктивность и сопротивление короткого замыкания, видимые с этой шины, соответственно.
Рис. 1. Принципиальная схема условного трехшинового MVDC.
Рис. 2. Эквивалентная схема сети, показанной на рис. 1, в условиях короткого замыкания: (a) вид от источника переменного тока на шине 1, (b) вид со стороны батареи на шине 2.
Используя закон KCL, и предполагая пренебрежимо малое напряжение на шине постоянного тока во время переходного короткого замыкания, ток короткого замыкания шины 1, i _B ₁ может быть выражен как:
(2) iB1 = iS1 + iCB1
, где i _S ₁ и i _CB ₁ — это ток преобразователя переменного тока в постоянный и конденсатора шины постоянного тока, соответственно.
Переходный процесс i _S ₁ можно найти с помощью эквивалентной модели схемы звезды с шестью параллельными ветвями, где ток j -й ветви можно выразить как (3), так что i _S ₁ — это огибающая максимальных значений i _SBj [24].
(3) iSBj (t) = I0 (Cos (ωt + φj − θS1) −Cos (φj − θS1) e − t / τS1)
, где τ _UR и θ _UR равны постоянная времени короткого замыкания преобразователя и его фазовый угол импеданса, которые можно найти как (4) и (5).Кроме того, I ₀ представляет собой установившийся ток короткого замыкания ветвей и определяется выражением (6):
(4) τS1 = LS1RS1
(5) θS1 = tan − 1 (ωLS1RS1)
(6) I0 = EACRS12 + ω2LS12
, где E _AC — среднеквадратичное номинальное фазное напряжение, ω — его угловая частота и φ _j — фазовый сдвиг напряжения j -й ветви относительно общая ссылка.
Чтобы найти i _CB1 во время отказа шины (F1), можно применить KVL к контуру, который включает конденсатор шины постоянного тока:
(7) diCB1 (t) dt + 1RCB1CB1iCB1 (t ) = 0
Решение дифференциального уравнения (7) дает переходный процесс i _CB ₁ во время отказа шины как:
(8) iCB1 (t) = ENRCB1e − t / τCB1
, где время постоянная τ _CB1 определяется как:
(9) τCB1 = RCB1CB1
Кроме того, переходный ток короткого замыкания шины 1 во время сбоев удаленной шины F2 – F3 и сбоев фидера F4 – F6 может быть задан как алгебраическая сумма i _S ₁ и i _CB ₁.Во время межполюсного замыкания, поскольку замыкание часто имеет низкий импеданс, можно предположить, что напряжение шины постоянного тока во время переходного замыкания незначительно. Таким образом, i _S ₁ можно найти из (3). Кроме того, применение KVL к контуру, включая конденсатор шины постоянного тока и эквивалентную индуктивность и сопротивление короткого замыкания, наблюдаемое со стороны первой шины (рис. 2 (a)), дает следующее соотношение для i _CB ₁ во время неисправности удаленной шины и неисправности фидера.
(10) d2iCB1 (t) dt2 + (RCB1 + Req1Leq1) diCB1 (t) dt + 1CB1Leq1iCB1 (t) = 0
Для решения дифференциального уравнения второго порядка (10) коэффициент демпфирования ζ2 _F , можно определить как (11). В случае, когда ζ _F меньше единицы, i _CB ₁ недостаточно демпфированы, и соответствующее решение (10) может быть найдено как (12) [2].
(11) ζF = (RCF1 + Req12) × CF1Leq1
(12) iCB1 (t) = (A1cos (ωFt) + A2sin (ωFt)) e − αFt
, где коэффициент ослабления, α _DF частота затухающих колебаний, ω _F и константы A ₁ и A ₂ равны:
(13) ωF = 1Leq1CF1 (1 − ζF2)
(14) αF = RCB1 + Req12Leq1
(15) A1 = iCB0
(16) A2 = (EN- (RCB1 + Req1) iCB0Leq1 + αFiCB0) ωF
, где i _CB ₀ — CB ₁ до возникновения неисправности.
Для анализа тока повреждения аккумуляторной батареи, подключенной к шине 2, можно использовать эквивалентную модель, показанную на рис. 2 (b). Параметры U _S ₂, R _SU ₂, L _C ₂ и R _C ₂, показанные в этой модели, представляют собой внутреннее напряжение батарейный блок, внутреннее сопротивление батарейного блока, индуктивность преобразователя постоянного тока и его сопротивление соответственно.Кроме того, C _B ₂, R _CB ₂, L _eq ₂ и R _eq ₂ являются емкостью и сопротивлением конденсатор, подключенный ко второй шине, и эквивалентная индуктивность и сопротивление короткого замыкания, видимые с этой шины, соответственно. Следует отметить, что внутреннее напряжение батареи U, _S,, , _{, 2,} является функцией заряда, получаемого из аккумуляторной батареи.Однако во время переходного короткого замыкания изменение внутреннего напряжения невелико, и его можно считать постоянным. В случае короткого замыкания на шине 2 (F2) переходный ток этой шины определяется как:
(17) iB2 = iS2 + iCB2
, где i _CB ₂ может быть аналогично (8) и i _S ₂ — это ток преобразователя DC_DC. Приложение КВЛ к контуру, включая импеданс преобразователя (рис.2 (b)) дает следующее дифференциальное уравнение для i _S ₂:
(18) diS2 (t) dt + RUS2 + RC2LC2iS2 (t) −1LC2US2 (q) = 0
Решение Из дифференциального уравнения (18) переходной процесс i _S ₂ можно найти как:
(19) iS2 = US2 (q) RUS2 + RC2 (1 − et / τC2)
, где постоянная времени τ _C ₂, определяется как:
(20) τC2 = LBDRBatt + RLBD
Ток короткого замыкания шины 2 в случае неисправности фидера и неисправности удаленной шины (F1 и F3 – F6) можно представить в виде алгебраической суммы i _CB ₂ и i _S ₂.В этом случае i _CB ₂ можно найти аналогично (12), а i _S ₂ можно найти на основе (19) с учетом эквивалентной индуктивности и сопротивления. вины.
Аналитический анализ, представленный в этом разделе, может быть эффективно использован для расчета параметров тока повреждения, таких как максимальный ток повреждения, его производная и время, необходимое для достижения максимального значения. Эти данные содержат важные указания для точной настройки реле защиты и правильной конструкции защитных устройств.
[PDF] 1 Основные термины 2 Анализ цепей
Скачать 1 Основные термины 2 Анализ цепей …
Примеры для введения в электротехнику, подготовленные профессором Их-Фанг Хуангом, Департамент электротехники
1
Основные термины
Электрическая цепь — это совокупность соединенных между собой многополюсных электрических устройств (также называемых элементами схемы). Традиционный анализ схем фокусируется на устройствах, которые можно смоделировать как двухполюсные устройства, а именно на элементе схемы с двумя выходящими из него выводами.Примеры двухполюсных устройств включают независимые источники (например, аккумулятор), простые резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности и диоды. На практике также существует множество устройств с более чем двумя терминалами. Типичными такими примерами являются транзисторы, трансформаторы и операционные усилители. В схемотехническом анализе эти многополюсные устройства обычно моделируются как двухконтактные устройства с зависимыми источниками. Прежде чем мы продолжим показывать некоторые примеры анализа схем, мы сначала определим некоторые термины: • Узел: узел — это точка соединения между двумя или более элементами схемы.• Ветвь: ветвь — это часть схемы, состоящая из одного элемента схемы и двух его оконечных узлов. • Цикл: (замкнутый) цикл — это последовательность связанных ветвей, которые начинаются и заканчиваются в одном и том же узле. • Ток ответвления: ток ответвления — это ток, протекающий через электрическое устройство ответвления. Физическая единица тока — ампер, названный в честь французского математика и физика Андре-Мари Ампера (1775-1836). • Напряжение ответвления: напряжение ответвления — это разность потенциалов между двумя оконечными узлами электрического устройства ответвления.Физическая единица измерения напряжения — вольт, который назван в честь итальянского физика Алессандро Вольта (1745-1827), который изобрел гальваническую батарею, возможно, первую химическую батарею. • Напряжение узла: напряжение узла — это разность потенциалов между назначенным узлом и опорным узлом. • Ток контура: ток контура — это ток, протекающий через замкнутый контур. Обратите внимание, что ток контура отличается от тока ветви, если эта ветвь является общей для двух или более контуров. Важно отметить, что традиционный анализ цепей предполагает, что все провода (или выводы) являются идеальными проводниками, а именно модель цепи с сосредоточенными параметрами.Следовательно, энергия не теряется, когда токи протекают по проводам, а ненулевые напряжения ответвления возникают только на элементе схемы (сам провод не является элементом схемы). При анализе цепи каждая ветвь имеет две переменные ветви, то есть напряжение ветви и ток ветви. Это алгебраические переменные, поэтому у них есть знаки, связанные с их значениями. Схема полностью охарактеризована, если известны все переменные ветви. Таким образом, цель анализа схемы — найти решение для всех напряжений и токов ответвления.
2
Анализ цепей
В принципе, для выполнения анализа цепи для любой цепи достаточно трех наборов уравнений, а именно: токовый закон Кирхгофа (KCL), закон Кирхгофа по напряжению (KVL) и уравнения элементов ветвления. (например, закон Ома 1
). KCL и KVL вместе характеризуют топологию схемы, то есть то, как элементы схемы соединены, в то время как уравнение элемента разветвления характеризует физическое свойство, в частности, соотношение между током и напряжением, элемента схемы.
2.1
Законы Кирхгофа
Законы Кирхгофа являются результатом принципов сохранения, которые всегда должны соблюдаться в любой электрической цепи. Эти законы названы в честь Густава Роберта Кирхгофа (1824–1887), немецкого физика, внесшего вклад в фундаментальное понимание электрических цепей и сформулировавшего эти законы в 1845 году, когда он еще был студентом Кёнигсбергского университета в Германии. Проще говоря, KCL относится к токам, входящим в узел, в то время как KVL определяется по отношению к напряжениям ветви вокруг петли в цепи.Обратите внимание, что эти законы Кирхгофа выполняются независимо от физических свойств элементов схемы. KCL: алгебраическая сумма всех токов, входящих в любой узел, равна нулю. KVL: алгебраическая сумма напряжений ветвей вокруг любого замкнутого контура равна нулю. KCL — это просто заявление о том, что заряды не могут накапливаться в узлах цепи. Этот принцип идентичен концепциям гидродинамики. А именно, если вы посмотрите на жидкость, втекающую в один конец трубы, вы ожидаете, что такое же количество жидкости вытечет из другого конца.Если этого не произойдет, жидкость будет скапливаться в трубе и в конечном итоге приведет к ее разрыву. KCL — не что иное, как электрический эквивалент этой интуитивной физической идеи из механики жидкости. Короче говоря, KCL — это закон сохранения заряда, а KVL — это закон сохранения энергии, который, по сути, утверждает, что общая работа, выполняемая при обходе контура, будет равна нулю. Чтобы использовать KVL и KCL, мы всегда должны помнить, что при анализе цепей токи и напряжения являются алгебраическими переменными.Таким образом, полезно иметь соглашение о знаках для этих переменных. Чтобы облегчить последующее обсуждение, мы принимаем следующее соглашение: (1) при применении KCL к узлу мы обозначаем любой ток, текущий в узел, как положительный, а любой ток, выходящий из узла, как отрицательный; (2) при применении KVL вокруг замкнутого контура мы перемещаемся по контуру по часовой стрелке, и напряжение ветви будет положительным, если мы сначала вводим положительную полярность напряжения, в противном случае оно отрицательное. Чтобы объяснить, как работает KCL, давайте рассмотрим схему, показанную на рисунке 1.На этом рисунке показана схема, состоящая из трех ветвей, независимого источника напряжения, включенного параллельно с двумя резисторами. Это также широко известно как одноузловая схема, поскольку существует только один узел a, кроме наземного узла b. Единственный узел a этой схемы показан на правом рисунке на рисунке 1. В этом узле мы видим три тока. Два из этих токов i1 и i2 покидают узел a, а третий ток i0 входит в узел a. Согласно описанному выше соглашению о знаках и KCL, мы можем написать уравнение, как показано ниже: i0 — i1 — i2 = 0 Чтобы проиллюстрировать приложения KVL, рассмотрим одноконтурную схему, показанную на рисунке 2.Это цикл, образованный из ветвей (a, b) → (b, c) → (c, a) Напряжения, полученные при прохождении этого цикла, равны vab, vbc, V На этом рисунке мы начинаем с узла a и начинаем отслеживание в нашем цикле по часовой стрелке, мы видим, что ход ветви (a, b) идет от + к -. Это считается отрицательным изменением потенциала (т.е. we 2
a
a
i0 + V _
+
i2
i1
i0 R
R
V
i1 R
R
a
i0
i2
i2 i1
b
b
KCL на узле a
Схема схемы
Параллельная схема
Рисунок 1: KCL на узле b уменьшаются.То же верно и для напряжения на ветви (b, c). Обратите внимание, однако, что при прохождении ветви (c, a) мы переходим от отрицательной полярности к положительной. Таким образом, изменение потенциала положительное. На основе нашего предыдущего обсуждения мы видим, что KVL приведет к следующему уравнению: −V + vab + vbc = 0
i0
a
a + vab
i1 + R
+ V _
R
V b
_
b
—
i2
+ vbc
RR
_
c
c
Series Circuit Respect Graph
Простая схема цепи
20004 Рис.
2.2
Уравнения для элементов ответвления
Третий набор уравнений, необходимых для выполнения анализа цепи, представляет собой набор уравнений для элементов разветвления, которые представляют собой уравнения, которые характеризуют связь между напряжением ветви и током ветви (т. Е. Отношение VI) и это соотношение. обусловлено физическими свойствами электрического устройства ответвления. В нашем обсуждении и в большинстве моделей двухполюсников наиболее часто используются следующие три уравнения: 1. Для идеального резистора закон Ома гласит, что напряжение ветви прямо пропорционально току ветви, а именно v (t ) = Ri (t) (1) где пропорциональность R называется сопротивлением и измеряется в Ом, обозначается греческим символом Ω, названным в честь немецкого физика Георга Симона Ома (1789-1854).Уравнение (1) — это хорошо известный закон Ома. 3
2. Для идеального конденсатора ток ветви прямо пропорционален производной напряжения ветви, а именно: dv (t) (2) i (t) = C dt, где константа пропорциональности C называется емкостью и измеряется в фарадах и назван в честь английского химика и физика Майкла Фарадея (1791-1867). 3. Для идеального индуктора напряжение ветви прямо пропорционально производной тока ветви, а именно: di (t) (3) v (t) = L dt, где константа пропорциональности L называется индуктивностью и измеряется в Генри, названный в честь американского ученого Джозефа Генри (1797-1878).
2.3
Узловой анализ и анализ сетки
В предыдущих разделах мы узнали, что трех наборов уравнений (KCL, KVL и закон Ома) достаточно для выполнения анализа схемы для любых схем. Чтобы быть более конкретным, при решении схемы, которая содержит ветви B (т. Е. Имеет элементы схемы B) и N узлов, мы решаем для переменных 2B, то есть напряжений ветви B и токов ветви B. Соответственно, для получения однозначных решений нам потребуется 2B независимых уравнений.Для цепи с B ветвями и N узлами будет N — 1 независимых уравнений KCL, B — N + 1 независимых уравнений KVL и уравнений для элементов B ветви. Таким образом, всего существует 2B независимых уравнений. Однако, поскольку B обычно велико (намного больше N), решение уравнений 2B может быть обременительной задачей. Более простые альтернативы — узловой анализ и анализ сетки. Оба метода основаны на трех вышеупомянутых наборах уравнений, однако они решают меньший набор альтернативных алгебраических переменных.Узловой анализ сначала определяет узловые напряжения для каждого узла как разность потенциалов между назначенным узлом и опорным (заземляющим) узлом. Затем он использует KCL для создания так называемых узловых уравнений, выражающих каждый член в уравнении в терминах узловых напряжений. Таким образом, каждое уравнение узла является уравнением KCL, за исключением того, что неизвестные алгебраические переменные представляют собой узловые напряжения. После решения всех узловых напряжений (с помощью узловых уравнений) мы можем получить все напряжения и токи ответвлений. По сути, вместо прямого решения для всех напряжений ответвлений и токов ответвлений Nodal Analysis решает для узловых напряжений, а затем использует эти решения для определения всех напряжений ответвлений и токов ответвлений.Точно так же анализ сетки определяет токи сетки для каждой сетки (замкнутого контура) как ток, проходящий по этому замкнутому контуру. Затем он использует KVL для создания так называемых сеточных уравнений, выражающих, где это возможно, каждый член уравнения в терминах сеточных токов. Таким образом, каждое уравнение сетки является уравнением КВЛ, за исключением того, что неизвестные алгебраические переменные являются токами сетки. После того, как все токи сетки решены (с помощью уравнений сетки), мы можем получить все напряжения и токи ответвлений. Поскольку количество узлов (или сеток) значительно меньше количества ветвей, эти два метода включают гораздо меньше переменных, которые нужно найти.Все схемы могут быть решены либо узловым анализом, либо анализом сетки. Чтобы облегчить использование узлового анализа и анализа сетки, нам необходимо ввести другое соглашение о знаках, т. Е. Так называемое ассоциированное соглашение о пассивных знаках, которое определяется в соответствии с физическими свойствами пассивных элементов схемы, т. Е. Элементов схемы, таких как резисторы, которые поглощают энергию. Соответствующее соглашение о пассивном знаке гласит, что ток ответвления пассивного элемента схемы течет от высокого к низкому потенциалу.Соответственно, знак тока ветви положительный, если он течет от положительной (+) полярности напряжения к отрицательной (-) полярности. Таким образом, если не указано иное, после определения полярности напряжения определяется направление соответствующего тока ответвления. Обратное также верно. Другими словами, если обозначено направление протекания тока, то соответственно определяется полярность напряжения. В следующем разделе представлены некоторые примеры использования узлового анализа и анализа сетки для простых резистивных цепей.Используемые математические инструменты — это просто системы линейных уравнений. Эти уравнения можно решить вручную (если количество неизвестных меньше или равно 3), используя правило Крамера или компьютерную программу, такую как Matlab. 4
3
Примеры линейного анализа резистивных цепей
Пример 1 (узловой анализ)
Рисунок 3: Пример 1 В этом примере мы применяем узловой анализ, чтобы найти напряжения ответвления и токи ответвления в показанной цепи. Мы начинаем с маркировки опорного узла, как показано.Помимо опорного узла, есть только два узла, а именно, узел 1 и узел 2. Таким образом, мы определяем два узловых напряжения, e1 и e2. Обратите внимание, что e1 определяется так, что его положительная полярность находится в узле 1, а отрицательная полярность — в опорном узле. Это соглашение, которое мы используем при определении всех узловых напряжений. Поскольку есть только два нереференсных узла, нам нужно только установить уравнения двух узлов для решения этих узловых напряжений. Уравнения узла — это просто уравнения KCL. К Узлу 1 подключены три ветви — независимый источник тока 6 А, резистор 40 Ом и резистор 8 Ом.Соответственно, есть три тока ветви в уравнении KCL, которое утверждает, что алгебраическая сумма этих трех токов ветви равна нулю, а именно, 6 — i1 — i12 = 0
(4)
Мы видим, что четыре ветви подключены к Узлу 2 — три ветви резистора и независимый источник тока 1 Ампер. Таким образом, уравнение KCL для узла 2: i12 — i2 — i22 — 1 = 0
(5)
При написании приведенных выше уравнений мы приняли соглашение, согласно которому токи, входящие в узел, являются положительными, а токи, выходящие из узла, отрицательными. .Теперь нам нужно преобразовать приведенные выше уравнения в уравнения узлов, выражая все неизвестные токи как функции узловых напряжений, используя уравнения элементов разветвления (в данном случае закон Ома, поскольку используются только резисторы) и уравнения KVL там, где это необходимо. В частности, i1 i2
= =
e1 / 40 e2 / 80
i22 = e2 / 120 В дополнение к приведенным выше выражениям нам необходимо выразить i12 через узловые напряжения. Поскольку i12 обозначен как протекающий слева направо на ветви резистора 8 Ом, соответствующее напряжение ветви должно быть определено так, чтобы иметь положительную полярность на узле 1 и отрицательную полярность на узле 2, согласно соответствующему соглашению о пассивных знаках, описанному в разделе 2.3. Таким образом, напряжение ветви равно e1 — e2, что можно легко увидеть, применив KVL вокруг замкнутого контура, который охватывает три ветви — 40 Ом, 8 Ом и 80 Ом. Следовательно, i12 = (e1 — e2) / 8. Теперь мы готовы записать два уравнения узла. Подставив все текущие члены, выраженные в узловых напряжениях, в уравнения. (4, 5) дает (e1 — e2) e1 — = 0 (6) 40 8 e2 e2 (e1 — e2) — — −1 = 0 (7) 8 80 120 Теперь у нас есть только две алгебраические переменные, e1 и e2 для решения с двумя независимыми уравнениями. Решение этих двух уравнений (6), (7) дает e1 = 120 Вольт и e2 = 96 Вольт.Теперь вы можете убедиться, что, если известны e1 и e2, мы можем найти все напряжения и токи ответвлений. 6−
5
Пример 2 (узловой анализ)
Рисунок 4: Пример 2 В этом примере мы видим, что есть четыре узла в дополнение к опорному узлу, поэтому необходимо найти четыре узловых напряжения. Обратите внимание, что этот эталонный узел был выбран намеренно так, чтобы одно из узловых напряжений было задано, -40 В, отрицательным по отношению к независимому источнику напряжения, тем самым уменьшая на единицу количество переменных, которые необходимо найти.Чтобы решить для схемы, показанной на рисунке 4, мы действуем так же, как в примере 1, за исключением того, что теперь уже задано e1. Таким образом, уравнения узла следующие: На узле 1:
e1
На узле 2:
(e1 −e2) 12
На узле 3:
5+
На узле 4:
(e3 — e4) 40
—
e2 25
−5−
=
−40
=
0
+ 7,5 =
0
=
0
−
(e
(8) (e2 −e3) 20
—
(e3 −e4) 40
— 7.5 —
e4 40
Теперь мы можем решить для e2, e3 и e4 из уравнений в (8) — трех переменных с тремя независимыми уравнениями. Решения: e2 = −10 В, e3 = 132 В и e4 = −84 Вольт. Опять же, вы должны убедиться, что, зная все напряжения узлов, вы можете легко определить все напряжения и токи ответвлений, применяя закон Ома и KVL. Прежде чем мы оставим этот пример, вы можете заметить, что процесс решения может усложниться, если мы назначим ссылочный узел по-другому.Более точно, вам нужно будет решить четыре неизвестных переменных с четырьмя уравнениями, вместо трех переменных с тремя уравнениями, как мы увидим в следующем примере.
6
Пример 3 (узловой анализ)
Рисунок 5: Пример 3 В показанной схеме помимо опорного узла пять узлов. Уравнения узлов: (e2 −e3) 3
Объединение узла 1 и узла 2:
−e1 1
На узле 3:
(e2 −e3) 3
—
e3 40
На узле 4:
(e3 −e4) 2
—
(e4 −e5) 4
На узле 5:
(e4 −e5) 4
—
e5 2
Дополнительное уравнение:
e2 — e1
—
—
(e3 −e4) 2
— 28
+ 28
=
0
=
0
=
0
=
=
= =
40
(9)
Решение для пяти переменных с пятью уравнениями в (9) дает e1 = 5 Вольт, e2 = 45 Вольт, e3 = 60 Вольт, e4 = 73 Вольта и e5 = -13 Вольт. .Эту проблему также можно решить с помощью программы Matlab. В этом примере прямое применение узлового анализа требует решения пяти неизвестных переменных. Однако дальнейшее исследование может привести вас к выводу, что вы можете упростить эту задачу до решения трех переменных с тремя уравнениями, исследуя первое и последнее уравнения в (9), чтобы исключить e1 и e2.
7
Пример 4 (анализ сетки)
Рисунок 6: Пример 4 При анализе сетки наша цель состоит в том, чтобы найти токи сетки с помощью уравнений сетки.Сеточные уравнения представляют собой уравнения КВЛ с неизвестными напряжениями ветвей, выраженными через сеточные токи. В этом примере есть три сетки (также называемые фундаментальными петлями). Используя уравнение KVL в сетке 1, получаем, что v1 — v2 — v3 = 0
(10)
При написании (10) мы приняли соглашение о пересечении петли по часовой стрелке, и если полярность напряжения ветви приводит к ток ветви, определяемый посредством соответствующего соглашения о пассивном знаке, протекающий в том же направлении, что и направление тока ячейки, когда он пересекает ветвь, это напряжение ветви является положительной переменной.Теперь нам нужно преобразовать (10) в уравнение сетки. Для этого используется уравнение элемента разветвления (в данном случае закон Ома, поскольку используются только резисторы). Обратите внимание, что ток ответвления через ответвление резистора 6 Ом равен j1, ток ответвления через ответвление резистора 3 Ом равен −j1 + j3, а ток ответвления через ответвление резистора 1 Ом равен −j1 + j2. Опять же, мы приняли соответствующее соглашение о пассивных знаках при определении этих токов ответвления, следуя полярности отмеченных напряжений ответвлений.Применяя закон Ома, мы имеем: v1
=
j1 6
v2 v3
= =
(−j1 + j3) 3 (−j1 + j2) 1
Подставляя приведенные выше выражения в (10), получаем , j1 6 — (−j1 + j3) 3 — (−j1 + j2) = 0
(11)
Точно так же мы можем вывести уравнения сетки для сеток 2 и 3, отмечая, что ветви с Независимые источники напряжения имеют известные напряжения ветви, равные значению источника напряжения. Следовательно, три уравнения сетки: Сетка 1:
j1 6 — (−j1 + j3) 3 — (−j1 + j2) = 0
Сетка 2:
-230 + (−j1 + j2) + (j2 — j3) 2 + 115 + j2 4
= 0
Сетка 3:
-115 — (j2 — j3) 2 + (j3 — j1) 3 + 460 + j3 5
= 0
(12)
Здесь у нас есть три независимых уравнения, которые нужно решить для трех неизвестных переменных, j1, j2 и j3.Решения: j1 = -10,6 ампер, j2 = 4,4 ампер и j3 = -36,8 ампер. Еще раз, вы можете убедиться, что, зная значения всех токов сетки, мы можем определить все напряжения и токи ответвлений. 8
Пример 5 (Анализ сетки)
Рисунок 7: Пример 5 Этот пример демонстрирует, что при наличии независимого источника тока в изолированной ветви, т. Е. Ветви, которая не является общей для двух или более сеток, мы можем уменьшить на one число решаемых токов в сетке.Для схемы, показанной на рисунке 7, мы видим, что j3 = 30 ампер. Таким образом, нам нужно найти только j1 и j2. Следуя тем же процедурам, что и в примере 4, мы можем записать сеточные уравнения. Сетка 1:
— 600 + j1 4 + (j1 — j2) 16 + (j1 — j3) 5.6
= 0
Сетка 2:
— (j1 — j2) 16 + j2 3,2 + (j2 — j3 ) 0,8 + 424 = 0
Решение для j1 и j2 с помощью уравнений (13) дает j1 = 35 ампер и j2 = 8 ампер.
9
(13)
Пример 6 (Анализ сетки)
Рисунок 8: Пример 6 В этом примере мы показываем, что когда схема содержит зависимые источники1, нам может потребоваться добавить больше уравнений для решения всех неизвестных переменные.В принципе, для получения единственного решения нам нужно такое же количество независимых уравнений, как и количество неизвестных переменных, как мы узнали из линейной алгебры. Уравнения сетки для схемы, показанной на рисунке 8: Сетка 1:
j1 7 + (j1 — j3) 1 + (j1 — j2) 2
=
0
Сетка 2:
— 125 — ( j1 — j2) 2 + (j2 — j3) 3 + 75 =
0
Сетка 3:
j3
−0,5v∆
(14)
Дополнительное уравнение:
= v∆ = (j1 — j2) 2
Итак, есть четыре уравнения для решения четырех неизвестных переменных, j1, j2, j3 и v∆.Решения: j1 = 6 ампер, j2 = 22 ампер, j3 = 16 ампер и v∆ = -32 вольт.
1 В основном есть четыре типа зависимых источников, с которыми мы можем столкнуться в этих простых резистивных схемах: источник напряжения, управляемый напряжением, источник напряжения, управляемый током, источник тока, управляемый напряжением, и источник тока, управляемый током
10
Маркировка напряжений, Токи и узлы
Ultimate Electronics: практическое проектирование и анализ схем
Правила определения конкретных токов и напряжений, обеспечивающие правильное применение уравнений KCL и KVL.Читать 16 мин
Как обсуждалось в предыдущем разделе, Закон Кирхгофа по напряжению и Закон Кирхгофа по току — это правила, которые описывают, как формировать уравнения тока и напряжения из связного графа цепи. По сути, это правил бухгалтерского учета или бухгалтерского учета, устанавливающих, как должны уравновешиваться заряд и потенциальная энергия.
Сами правила не очень сложные, но, как и бухгалтерский учет, они быстро сбивают с толку новичков в электронике из-за двух проблем:
Последовательная маркировка напряжений и токов, и
Постоянное отслеживание знака или направления.
Мы можем маркировать каждый двухконтактный компонент напряжением и током. Обычное соглашение заключается в том, чтобы определять ток как положительный, когда он идет на положительный вывод элемента схемы:
Для источника напряжения положительный вывод четко обозначен знаком + подписаться на схематическом обозначении. Ток определяется как положительный, идущий от к + Терминал.
Для источника тока символ показывает заостренную головку и тонкий хвост у стрелки, указывающей направление потока тока.На рисунке, показанном здесь, мы решили определить положительный вывод как хвост источника тока. Это удобно, потому что если мы снова определим ток как положительный, идущий с на на этот вывод, то ток будет таким же, как определенное значение источника.
Для резистора отсутствует направленность компонента. Тем не менее, мы указываем положительную и отрицательную клеммы для напряжения v9. как показано, и мы указываем направление для текущего i9 . Наш выбор, на какой терминал звонить + было произвольно, но пока текущий i9 определяется как положительный переход в этого терминала, тогда закон Ома v9 = i9R9 будет применяться без изменения знака.(Если мы перевернем направление текущего i9 без повторной маркировки + терминал, нам нужно будет написать v9 = −i9R9 .)
Условие обозначать ток как положительный, когда он течет в + Терминал произвольный, но он позволяет легко и последовательно выполнять несколько задач:
Во-первых, отношения V-I, такие как определение закона Ома, не нуждаются в знаке минус.
Во-вторых, потребление энергии определено правильно с P = vi , где P> 0 для обычных компонентов, которые потребляют мощность как резистор, и P <0 для компонентов, которые обеспечивают питание как аккумулятор.
При решении схемы на бумаге мы можем пометить токи и напряжения вокруг схемы любыми именами, которые нам нравятся, при условии, что мы будем следить за их направлением и знаком.
Но при решении с использованием программного обеспечения для моделирования схем, такого как CircuitLab, каждый вывод каждого компонента имеет встроенное имя, которое можно использовать для ссылки на его ток. В этом простом примере мы явно обозначили эти токи:
.
Такой компонент, как источник напряжения «V1», имеет две клеммы с именем «V1.nA »и« V1.nB ». Мы можем попросить симулятор показать текущий в конкретного терминала, например, запросив «I (V1.nA)». Мы также можем показать напряжение на клемме относительно земли , например, запросив «V (V1.nA)».
Для таких компонентов, как резисторы, может быть неочевидно, какая клемма — «нА», а какая — «нБ». Однако, если вы запустите моделирование постоянного тока, а затем наведите указатель мыши на схему, вы сможете навести курсор мыши на каждый отдельный терминал, и он покажет имя терминала, напряжение и ток.
Вы также можете добавить собственные выражения для расчета, например «V (R1.nA) -V (R1.nB)», которые будут вычислять падение напряжения на резисторе R1.
Вам предлагается щелкнуть схему выше, запустить это простое моделирование и поэкспериментировать с различными выражениями, чтобы определить токи и напряжения в цепи.
В показанном выше примере схемы присутствует ряд равенств, потому что у нас есть несколько названий для одних и тех же величин.
Например, для всех компонентов с двумя выводами ток на одном выводе должен выходить из другого вывода, поэтому:
I (V1.nA) = — I (V1.nB) I (R1.nA) = — I (R1.nB) I (R2.nA) = — I (R2.nB)
(Обратите внимание, что численно бывает, что в этой цепи есть только одно значение тока, потому что это простой одиночный контур, но это не всегда так.)
Напряжения на каждом узле в цепи могут обозначаться либо как один или несколько компонентных выводов, которые подключаются к этому узлу, либо как явно названный узел (см. Метки «A», «B» и «C») выше. Обращение к ним любым из этих способов идентично симулятору, но для вашего удобства рекомендуется помечать полезные узлы там, где это необходимо.А для земли эти напряжения автоматически устанавливаются равными нулю:
V (A) = V (V1.nA) = V (R1.nA) V (B) = V (R1.nB) = V (R2.nA) V (C) = V (V1.nB) = V (R2.nB) = 0
В предыдущем разделе о законе напряжения Кирхгофа мы обсудили определение различных путей и то, как обозначение vAB указывает напряжение на узле A по отношению к узлу B. В среде моделирования все индивидуальные именованные узлы привязаны к земле. Итак, если мы хотим найти относительное напряжение узла в CircuitLab, мы должны написать выражение:
vAB = V (А) — V (В)
Вот пошаговые инструкции по решению для vAB :
Щелкните схематическое изображение для раздела «Маркированные токи на клеммах» несколькими абзацами выше.Программное обеспечение CircuitLab откроется в новой вкладке браузера.
В нижней части экрана щелкните Simulate , чтобы переключиться в режим моделирования.
На вкладке DC нажмите кнопку + Add Expression . Введите «V (A) — V (B)» (без кавычек, но с заглавными буквами!) И нажмите Enter. Это выражение будет добавлено в список.
Нажмите кнопку Run DC Solver .
Следуйте инструкциям, чтобы убедиться, что у вас есть навыки использования среды моделирования для определения конкретных токов и напряжений.
Давайте рассмотрим более сложный пример:
Exercise Щелкните, чтобы открыть и смоделировать схему выше.
Эта схема имеет 5 узлов (обозначенных A, B, C, D и заземление) и 6 элементов.
Клеммы светодиода с именем D1 называются «D1.nA» и «D1.nK», где «nA» означает анод, а «nK» — катод.
Терминалы BJT с именем Q1 называются «Q1.nB» для базы, «Q1.nC» для коллектора и «Q1.nE» для эмиттера.
В то время как приведенные выше правила для двухполюсных компонентов просто предусматривают, что ток, идущий на один вывод, равен отрицательному току, идущему на другой вывод, для трех (или более) оконечных устройств правило немного отличается.В случае транзистора Q1 существует три тока на выводах: ток в базу, ток в коллектор и ток в эмиттер. Нам может быть интересно что-то из этого, и в следующих главах мы будем им интересоваться. Тем не менее, по-прежнему применяется правило сохранения, поскольку модель сосредоточенных элементов запрещает хранение чистого заряда в любом элементе схемы или в любом узле. Как следствие, полный ток в любом компоненте равен нулю, поэтому для транзистора Q1:
Я (Q1.nB) + I (Q1.nC) + I (Q1.nE) = 0
Для любого двухполюсного компонента, даже такого нелинейного, как светодиод D1, существует только одно значение величины тока, проходящего через устройство, поэтому мы обычно называем это, например, током через диод. — без особого указания, что это «анодный ток» или «катодный ток», поскольку они тривиально связаны. Поскольку 2 терминальных тока связаны с 1 уравнением, существует только 2−1 = 1 степень свободы (то есть одно значение тока для устройства), а остальное — просто вопрос указания знака и направления.
Однако для любого N-терминального компонента нас может заинтересовать N различных терминальных токов. В общем, они делают разные вещи! Увеличение тока базы Q1 на 1 мА оказывает значительно большее влияние на схему, чем увеличение тока коллектора Q1 на 1 мА. Тем не менее, существует 1 уравнение, связывающее сумму всех токов на всех клеммах компонента, оставляя N − 1 степени свободы.
При анализе или проектировании схемы обычно «задают вопросы» о различных токах и напряжениях в цепи.(Какое напряжение VB ? Какой ток в базе Q1, I (Q1.nB) ?) Мы можем сформулировать «решение схемы» с точки зрения поиска любых ответов (неизвестных), которые мы ищем.
В цепи с N узлов (в том числе 1, определяемый как земля), T клеммы компонентов, а C комплектующих, можем задать много вопросов:
[Для каждого N2 пара узлов:] Какая разница напряжений Vij ?
[Для каждого T компонентный терминал:] Какой ток на этом терминале?
[Для каждого T компонентный терминал:] Какой ток выходит из этого терминала?
Из этих трех случаев имеем N2 + 2T «Вопросы», которые мы могли задать.Даже для схемы среднего размера это множество возможных вопросов, но все они являются действительными вопросами , на которые мы должны иметь возможность ответить после решения схемы.
Однако, чтобы уменьшить размерность нашей проблемы, мы пытаемся упростить это большее количество вопросов (неизвестных) до меньшего числа, чтобы его было легче решить. (См. Также: Системы уравнений.)
Например, для разности напряжений мы знаем, что существует нулевая разность напряжений Vii. для любой пары одного и того же узла дважды (i, i) .Кроме того, из закона Кирхгофа о напряжении мы знаем, что сумма петель напряжений равна нулю, поэтому мы можем использовать определенную опорную землю, чтобы преобразовать попарные разности напряжений в разности точечных напряжений между узлами и землей.
[Для каждого из N − 1 неназемленные узлы:] Какое напряжение на данном узле Vi (относительно земли)?
Вместо N2 вопросов о парных разностях напряжений, теперь у нас есть N − 1 вопросов — значительно меньше. Важно отметить, что как только мы ответим на эти N − 1 вопросы (т.е. решить для этих неизвестных), мы можем легко найти ответы на исходный N2 вопросов.
Для токов 2Т вопросы, касающиеся «в» и «из» конкретного терминала, также легко сводятся к T вопросы, учитывая только версию «в». Важно отметить, что как только мы ответим на эти T вопросы, мы можем легко ответить на вопросы «вне» с помощью простого отрицательного знака.
Мы сократили исходный N2 + 2T вопросы к (N − 1) + T вопросов — намного меньше.
Теперь мы можем ввести в действие текущие отношения клемм компонентов.
Как обсуждалось выше, каждый двухконтактный компонент имеет тривиальную взаимосвязь между двумя его токами на выводах: одно уравнение. И каждый многополюсный компонент также имеет одно уравнение, связывающее его токи на выводах. В общем, хотя по-прежнему можно отдельно «задать вопрос о» токах базы, коллектора и эмиттера в транзисторе Q1, факт остается фактом: если мы знаем значение любых двух из трех, мы также знаем и третий.
Это означает, что T вопросы о терминальных токах на C компоненты на самом деле имеют только T − C возможные степени свободы.Как только мы узнаем значения (правильного подмножества) T − C оконечные токи, остальное мы знаем.
Прежде чем даже взглянуть на структуру конкретной схемы, мы теперь знаем, что можем отобразить схему из N узлов (в том числе 1, определяемый как земля), T клеммы компонентов, а C компоненты из оригинального большего пространства:
N2 + 2T
возможных вопросов по току и напряжению на гораздо меньшую площадь всего:
(N − 1) + Т − C
вопроса. Основная идея состоит в том, что намного проще решить систему уравнений с меньшим количеством неизвестных.И что очень важно, решение для ответов на это меньшее подмножество позволяет нам (очень легко) возвращать ответы на оставшиеся вопросы по мере необходимости.
Например, если у нас есть даже очень простая схема с N = 8 узлов, T = 20 клеммы и C = 10 компонентов (предположим, что все 10 компонентов являются двухполюсными устройствами), у нас будет 82 + 2 ∗ 20 = 104 вопросы, которые мы можем задать о различных парных разностях напряжения и токах на клеммах. Однако мы можем сопоставить эту схему с гораздо меньшим набором (8−1) + 20−10 = 17 вопросы, из которых мы можем легко найти ответы на любой из 104 исходных вопросов! И мы достигли этого значительного сокращения, даже не взглянув на компоненты или их расположение.
Этот процесс редукции широко используется как программным обеспечением для моделирования схем, таким как CircuitLab, так и при решении схем вручную. (На самом деле, это часто полностью замалчивается, оставляя новичков в замешательстве относительно того, как было выполнено такое упрощение и как вернуться к ответам на вопросы, которые нас в конечном итоге интересуют, поэтому мы решили быть более точными здесь.)
Как показывают два примера схем с обозначенными выше токами , клеммы , мы можем обозначить T различных оконечных токов в цепи с помощью T общих клемм, но они не уникальны.
В нашем предыдущем обсуждении Текущего закона Кирхгофа мы могли обсудить текущие потоки, не обращаясь к каким-либо конкретным компонентам или клеммам. Мы достигли этого, вручную пометив токи, а также поместив стрелку, чтобы указать определенное направление обычного потока тока (в отличие от потока электронов). Например:
Мы вручную нанесли стрелку тока через каждый из четырех показанных компонентов, и только это позволило нам написать три уравнения KCL (по одному в каждом узле A, B, C), описывающих структуру схемы.(Обратите внимание, что хотя было сгенерировано 3 уравнения, только 2 из них линейно независимы. Просмотрите раздел KCL, чтобы просмотреть эти уравнения.) Фактически, в простом последовательно соединенном наборе элементов мы могли бы сразу понять, что i1 = i2 и используйте только одну переменную, если направление было постоянным во всем.
Процесс ручной маркировки текущих переменных (и произвольного назначения направления) включает в себя большую часть только что описанных процессов редукции. Мы по-прежнему можем задать все возможные текущие вопросы (т.е. токи на клеммах в каждый компонент или на выходе из него), но теперь мы можем ссылаться на эти клеммных токов в терминах этих вручную выбранных переменных тока, иногда называемых токами ответвления .
Симулятор схем обычно не представляет мир в терминах токов ответвления, а вместо этого вычисляет токи на клеммах для различных компонентов. Однако они явно тесно связаны и могут быть отображены взад и вперед, просто определив правильный ток ветви, который отображается на терминал, и применив знак минус, если стрелка тока ветви течет «из» этого терминала, а не обычное определение. положительных токов на клеммах для протекания «в» клеммы.
Мы можем маркировать токи ответвления и в более сложных цепях, как это часто делается при решении вручную. Например, мы можем обозначить наш пример с несколькими терминалами выше: (щелкните, чтобы открыть в новой вкладке)
Мы обозначили 6 токов ответвления, с i1 по i6. . В общем, на схеме мы не будем так явно обозначать как токи ответвления, так и токи на выводах, но мы делаем это здесь, чтобы быть очень явным и показать соответствие между ними.
Просто наблюдая за направлением стрелок вдоль каждой ветви цепи, мы можем написать множество уравнений, отображающих токи ветви в токи на клеммах.Например, для i1 , мы видим, что это описывает ток, протекающий через источник напряжения V1, и направление стрелки i1 в отличие от I (V1.nA) но находится в том же направлении, что и I (V1.nB) . Это позволяет нам написать:
i1 = −I (V1.nA) i1 = I (V1.nB)
или проще:
i1 = −I (V1.nA) = I (V1.nB)
Мы можем повторять этот процесс для каждого из 6 токов ответвления, пока не сопоставим все 13 оконечных токов с 6 токами ответвления:
i1 = −I (V1.nA) = I (V1.nB) i2 = I (R2.nA) = — I (R2.nB) i3 = I (D1.nA) = — I (D1.nK) = I (Q1.nC) i4 = I (Q1.nB) i5 = I (R3.nA) = — I (R3.nB) i6 = −I (Q1.nE) = I (R1.nA) = — I (R1.nB)
Ток каждой ветви просто отображается на все токи на клеммах вдоль этой ветви, возможно, со знаком минус, указывающим на несовпадение направления стрелки. Ветвь продолжается до тех пор, пока не происходит «разделения», когда ток может проходить по двум путям.
Для схемы с 13 выводами это позволяет нам ответить на 26 возможных вопросов по току (т. Е. Ток на входе или выходе из любого терминала) только с 6 базовыми переменными.
Процесс сопоставления текущей ветки имеет тенденцию автоматически заботиться об узлах, где встречаются только два терминала (например, узлы C и D), потому что мы помечаем их как одну непрерывную ветвь, поэтому мы назначаем только одну текущую переменную. Для узлов, где встречаются 3 или более терминала (например, A и B), мы можем применить закон Кирхгофа к токам ответвления:
i1-i2-i3 = 0i2-i4-i5 = 0
Кроме того, процесс отображения тока ответвления имеет тенденцию заботиться о сохранении потока заряда в двухполюсных устройствах, поскольку они помечены одним и тем же током ответвления.Однако для компонентов с тремя или более выводами мы можем явно сгенерировать правило суммирования дополнительных токов, заметив, что полные входящие токи ответвлений должны равняться полным вытекающим токам ответвлений. Например, для транзистора Q1:
i3 + i4 − i6 = 0
Это дополнительное и, возможно, ценное ограничение при решении проблем схемы вручную. Однако в программном обеспечении для моделирования схем, таком как CircuitLab, все многополюсные устройства эффективно моделируются внутри как набор различных (возможно, нелинейных и взаимодействующих) двухполюсных устройств, поэтому дополнительное ограничение не требуется.
Еще один способ подумать о процессе маркировки и сокращения — это подумать о том, как мы могли бы эффективно проводить измерения в цепи. Для этого мы снова обратимся к гидравлической аналогии с водой под давлением, протекающей через сеть труб и других компонентов. (На данный момент мы игнорируем практические вопросы точности и т. Д. И рассматриваем только теоретическую модель.)
Мы можем спросить о разнице напряжений (то есть разнице давлений) между любыми двумя точками в сети, а в гидравлической системе мы могли бы купить манометры дифференциального давления и установить их между каждой парой точек, которые нам небезразличны.Однако если у нас есть N точек, имеем N2 пары точек (или, возможно, N (N − 1) 2 пары, если игнорировать Vii = 0 и им разрешено измерять Vab = −Vba ). Манометр дифференциального давления похож на вольтметр с двумя выводами и показывает только относительную разницу давлений. Однако необходимо провести много дифференциальных измерений, а покупать и устанавливать эти датчики дорого! Вместо этого мы можем просто установить N − 1 манометры дифференциального давления (беря 1 узел в качестве эталона на землю), а затем вычитайте, когда это необходимо, чтобы ответить на любые вопросы об относительных различиях.Для небольшого гидравлического контура, состоящего всего из 10 узлов, это разница между 45 и 9 датчиками, которые нужно установить и прочитать!
Точно так же мы могли бы установить амперметр (т. Е. Измеритель расхода) на каждом выводе каждого компонента, но явно не имеет смысла устанавливать расходомер с обеих сторон одного двухконтактного компонента, поскольку поток ставки будут такими же при условии отсутствия утечек. Вместо этого мы должны установить только одно устройство измерения расхода на каждую ветвь. (И, если есть 3 + -терминальных компонента, мы можем быть даже более умными и установить менее одного расхода на ответвление, используя сохранение потока, как показано выше.) Это гораздо меньшее количество расходомеров, которые нужно покупать, устанавливать и контролировать.
Так же, как мы, естественно, применяем эти упрощения при измерении электрической (или гидравлической) схемы, мы применяем их при постановке задачи для алгебраического решения, потому что они значительно упрощают этот процесс.
В следующем разделе «Решение схемных систем» мы поговорим о сочетании нашего помеченного структурного представления схемы с отдельными уравнениями на уровне компонентов для полной настройки и решения схем любой сложности.
Роббинс, Майкл Ф. Ultimate Electronics: Практическое проектирование и анализ схем. CircuitLab, Inc., 2021, ultimateelectronicsbook.com. Доступно. (Авторское право © CircuitLab, Inc., 2021)
Ток в параллельной цепи
Ток в параллельной цепи
Закон
Ома гласит, что ток в цепи обратно пропорционален сопротивлению цепи.Это верно как для последовательных, так и для параллельных цепей.
Существует единственный путь для тока в последовательной цепи. Величина тока определяется общим сопротивлением цепи и приложенным напряжением. В параллельной цепи ток источника делится между доступными путями.
Поведение тока в параллельных цепях будет показано серией иллюстраций с использованием примеров цепей с разными значениями сопротивления для заданного значения приложенного напряжения.
Часть (A) рисунка 3-40 показывает базовую последовательную схему.Здесь полный ток должен проходить через единственный резистор. Величину тока можно определить.
Рисунок 3-40. — Анализ тока в параллельной цепи.

Дано:

Решение:

На части (B) рисунка 3-40 показан тот же резистор (R ₁) со вторым резистором (R ₂) равного номинала, подключенным параллельно через напряжение источник. Когда применяется закон Ома, ток, протекающий через каждый резистор, оказывается таким же, как ток через единственный резистор в части (A).
Дано:

Решение:

Очевидно, что если через каждый из двух резисторов проходит ток 5 ампер, то должен быть ОБЩИЙ ТОК 10 ампер от источника.
Общий ток в 10 ампер, как показано на рисунке 3-40 (B оставляет отрицательный вывод батареи и течет в точку a. Поскольку точка a является точкой соединения двух резисторов, она называется СОЕДИНЕНИЕМ. На переходе а общий ток делится на два тока по 5 ампер каждый.Эти два тока протекают через соответствующие резисторы и снова соединяются в переходе b. Затем полный ток течет от перехода b обратно к положительной клемме источника. Источник обеспечивает общий ток 10 ампер, и каждый из двух одинаковых резисторов пропускает половину общего тока.
Каждый отдельный путь тока в цепи на рисунке 3-40 (B) называется ОТВЕТЛЕНИЕМ. Каждая ветвь несет ток, который составляет часть общего тока. Два или более филиала образуют СЕТЬ.
Из предыдущего объяснения характеристики тока в параллельной цепи можно выразить следующим общим уравнением:
I _T = I ₁ + I ₂ +. . . I _n
Сравните часть (A) рисунка 3-41 с частью (B) схемы на рисунке 3-40. Обратите внимание, что удвоение значения резистора второй ветви (R ₂) не влияет на ток в первой ветви (I _R1), но снижает ток второй ветви (I _R2) вдвое. его первоначальная стоимость.Полный ток в цепи падает до значения, равного сумме токов ответвления. Эти факты подтверждаются следующими уравнениями.
Дано:

Решение:
Рисунок 3-41. — Текущее поведение в параллельных цепях.

Величина тока, протекающего в ответвленных цепях, и общий ток в цепи, показанной на рисунке 3-41 (B), определяются с помощью следующих вычислений.
Дано:

Решение:

Обратите внимание, что сумма омических значений в каждой цепи, показанной на рисунке 3-41, равна (30 Ом), и что приложенное напряжение одинаково (50 вольт). .Однако общий ток в 3-41 (B) (15 ампер) в два раза больше, чем в 3-41 (A) (7,5 ампер). Таким образом, очевидно, что способ включения резисторов в цепь, а также их фактические омические значения влияют на общий ток.
Разделение тока в параллельной сети происходит по определенной схеме. Этот образец описывается ЗАКОНОМ ТОКОВ Кирхгоффа, который гласит:
«Алгебраическая сумма токов, входящих и выходящих из любого соединения проводников, равна нулю.»
Математически этот закон можно сформулировать следующим образом:
I _a + I _b + … I _n + 0
где: I _a, I _b и т. Д. токи, входящие и выходящие из соединения. Токи, входящие в соединение, считаются ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ, а токи, выходящие из соединения, считаются ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ. При решении проблемы с использованием закона Кирхгофа, токи должны быть помещены в уравнение СО ЗНАКАМИ НАДЛЕЖАЩЕЙ ПОЛЯРНОСТИ ПРИКРЕПИЛ.
Пример. Найдите значение I ₃ на рисунке 3-42.
Дано:

Решение:
I _a + I _b +. . . I _a + 0
Рисунок 3-42. — Цепь например проблема.

Токи помещаются в уравнение с соответствующими знаками.

I ₃ имеет значение 2 ампера, и отрицательный знак показывает, что это ток, ПОХОДЯЩИЙ из соединения.
Пример.Используя рисунок 3-43, найдите величину и направление I ₃.
Рисунок 3-43. — Цепь например проблема.

Дано:

Решение:

I ₃ составляет 2 ампера, и его положительный знак показывает, что это ток, поступающий в соединение.
Существует взаимосвязь между общим током и током через отдельные компоненты в цепи. Что это за отношения в последовательной и параллельной цепях?
На что указывает полярность тока при применении закона Кирхгофа?
РЕШЕНО: Найдите токи в ветвях цепи в v Рис 18.38.
Стенограмма видео
здесь мы собираемся взглянуть на немного более сложную схему, и что нам нужно сделать, так это проработать несколько шагов, используя керченский офф, правила соединения и петли, которые по сути являются сохранением заряда и сохранения энергии и, конечно же, потому что это цепь постоянного тока с множеством резисторов, которые нам понадобятся дома. Закон E, равный IR, всегда является базовым, и мы поговорим о том, как его использовать в этой ситуации.Но мой первый шаг — я обычно смотрю на схему и смотрю, могу ли я ее упростить, и я имею в виду, что часто есть скрытые шорты. Есть резисторы, которые можно упростить, используя идеи параллельного и последовательного подключения. Гм И иногда бывают провода, которые нужны просто для галочки. Итак, мы собираемся как бы рассмотреть, и есть одно очевидное упрощение, которое выделяется, которое заключается в том, чтобы разместить эти три резистора параллельно, и я назову его параллельным, который имеет ценность двух третей OEM-производителей, потому что они все равны.Мы можем просто хм, ладно, ага, разделить каждую на их количество. Другая параллельная ситуация, возможно, не так хорошо выглядит, но я заметил, что четыре и шесть OEM-производителей, теперь, когда я вижу, что они работают параллельно, они не выглядят так, как будто они нарисованы таким образом. Но мы могли бы просто переместить шестерку вправо вниз, и это выглядело бы более параллельным. Но что мы знаем о параллельном, так это то, что напряжения одинаковы. Что я замечаю в этих двух, так это то, что они имеют одни и те же две конечные точки.Да, есть очень длинный провод, который протягивает шесть OEM-производителей и идет к этому разъему. Но по сути это один из тех пустых проводов. И, наконец, позвольте мне пойти дальше и выяснить, что это за параллельное сопротивление. Итак, добавьте обратное и возьмите обратное. Это 2,4 дома. Но наконец, как я уже собирался сказать, есть пустой провод прямо посередине внизу. Гм, и когда я перерисовываю схему, я собираюсь перерисовать ее таким образом, чтобы этот провод не появлялся и не был таким запутанным.Итак, мы продолжим и сделаем перерисовку. Обычно это самая интересная часть. Итак, у нас есть 20 вольт пять, 10 вольт и 2,4 Ом. Такая растяжка по диагонали. Я не знаю, как вы хотите это нарисовать, но я не хочу путать слишком много мелких споров, и мы можем упростить это, действительно, не имеет значения, как вы это рисуете снова. Но мы могли бы нарисовать что-то вроде палатки с 0,67 параллельными домами, идущими таким образом. И что мне нравится в этом, так это то, что теперь я подошел к ситуации с двумя петлями, и я знаю, что в такой ситуации у меня есть только одно соединение, которое действительно имеет значение.Остальные хм повторю. Итак, у нас есть две петли и два стыка. Итак, второй шаг — определить петли, переходы и токи. Так что надо выбирать, поправить. В этом есть смысл. Гм, и вы можете выбрать их не в том направлении. На самом деле это не имеет значения. Но вы должны выбрать и начать маркировать их. Так что я собираюсь отметить, что я выиграл, проходя через 20 вольт и я тоже, и собираюсь отметить проход через 10 болтов. Это как бы благодарно. Ой. Хорошо, снова на моей тонкой ручке. Я тоже, ммм, и я хочу сделать этот красный, просто чтобы мы не путали его с другим.Я тоже. И угадай что? Мы собираемся назвать тот, который находится в пяти средних домах, который собирался назвать, что я три. Сделаем его фиолетовым. Хорошо. И так у меня снова две петли. Мы проявим изобретательность и назовем их петлей А и В. А петли обычно немного легче определить. Это пустые места, которые образуют круговое кольцо, если хотите, то есть все вокруг. И у нас 21 справа, один слева. Гм и стыков два, но анализировать надо только один из них. Я возьму тот, что наверху, и назову этот перекресток маленькой А.Гм И почему мне не нужно беспокоиться о том, что внизу, так это то, что мы видим, что те же три тока участвуют в соединении в верхнем соединении внизу. И поэтому нет необходимости записывать одно и то же уравнение дважды. Это вроде избыточно. Итак, следующий шаг — это мясо сэндвича на самом деле с использованием правила соединения в правиле цикла. Правило соединения — сохранение энергии. Ладно, их обычно называют К.С.Л. В инженерном лексиконе законов схем Кирхгофа.Итак, здесь мы собираемся закончить, потому что есть две петли и одно соединение, мы собираемся закончить с тремя уравнениями с тремя неизвестными. И это меня радует. Это означает, что у нас достаточно уравнений, чтобы получить три неизвестных тока. Если бы мы этого не сделали, нам пришлось бы беспокоиться о том, слишком много у нас или слишком мало. Эм, но соединение A. Итак, первое уравнение, с этим соединением A немного проще справиться. Правило состоит в том, что входящие токи должны суммироваться с выходящими токами, и мы видим, что I один плюс I to идут в а я три выходит.Так что сделать это довольно просто. Um Loop a Правило цикла — это сохранение энергии, которое гласит, что сумма увеличения и падения напряжения, происходящего вокруг, возвращает вас к тому, с чего вы начали. Значит, сумма должна быть равна нулю. Итак, что вам нужно сделать, это выбрать отправную точку. Обычно мне нравится находить отрицательную клемму на батарее в каждой моей петле. А потом мне обычно нравится идти в направлении одного из основных течений, которые я вижу в каждой из петель. Так что я как бы показываю своими маленькими черными стрелками, в каком направлении я собираюсь двигаться по петле.Итак, Лупе первое, с чем я столкнулся, это увеличение напряжения над батареей на 20 вольт. Следующее, что нужно сделать, это падение напряжения по закону OEM: пять OEM-производителей умножить на три, и я откажусь от этих устройств. Это сбивает с толку. И поэтому следует помнить, что если вы пройдете через резистор в направлении тока, это приведет к падению напряжения. Это похоже на то, что течение течет вниз по склону, и вы, как гора, теряете потенциальную энергию, идя по этому пути. Гм И, наконец, в Лупе у меня есть еще один резистор, за которым я следую в направлении тока, и это минус балл 6/7 раз, когда я выигрывал.И теперь я вернулся к своему началу. Таким образом, это должно быть в сумме до нуля. И мы сделаем то же самое с Люком: мы начнем с отрицательной клеммы батареи и получим усиление на 10 вольт, упадем на пять, три, пройдя среднюю ветвь, и мы подойдем к текущий поток. Итак, опять же, у нас будет еще одно падение в сумме минус 2,4 или два, и это будет равно нулю. Итак, теперь мы находимся на этапе, который является частью алгебры, и, вероятно, есть несколько способов взглянуть на три уравнения с тремя неизвестными.Да, я собираюсь рассказать о том, что я вижу в этих уравнениях, которые облегчают работу с ними, чтобы перейти к двум уравнениям. Гм Но в Интернете есть инструменты, которые помогут вам решить такие системы. Но одна из вещей, которые я заметил, это то, что петля А и петля Б. У обоих есть пять одинаковых чисел I. Три в них. Таким образом, я могу вычесть эти два уравнения друг из друга и получить третье уравнение. У меня только один и два в нем, и это даст нам 10, равно 0,67, я выиграл минус 2.4 я два. Когда я объединяю эти два уравнения, то я могу взять одно из уравнений, неважно какое, но я возьму верхнее, могу заменить три в нем и придумать второе уравнение в моих знаниях. Гм И когда я это делаю, у меня получается 20, равняется 5,67, я выиграл плюс пять я. Два. И я как бы перестроил эти уравнения так, чтобы они были записаны в стандартной системной форме, где переменные выстроены друг под друга, постоянная часть выровнена, а постоянные коэффициенты как бы выровнены.И потом, что мне нравится делать, так это то, что называется устранением ведущего термина. Итак, я смотрю на свой главный член в обоих этих уравнениях и делю все уравнение на этот главный член. И что это будет делать, так это то, что я хочу, чтобы меня убрали на следующем этапе. Гм, и когда я это делаю, я получаю два новых уравнения. Давайте посмотрим. 14,93 равно: я выиграл минус 3,58 и двое. И позвольте мне увидеть, что это еще не отрицательный знак. Это будет, когда я выберу, но давайте посмотрим, что у нас 3,53 равно, что я выиграл плюс 0.88 Я тоже. Следующим шагом, конечно же, будет вычесть это нижнее уравнение, скажем, например, из верхнего уравнения. Но вы можете пойти другим путем, и вы получите 11,4, что также равно минус 4,46 I. И это развалится. Весь восковой шар I two имеет отрицательные 2,56 А, что означает, что он идет в противоположном направлении, и я пощаду алгебру. Но теперь мы делаем обратную замену, находим уравнение, возвращаемое в soft for I one, и давайте посмотрим на обратные подстановки, за исключением того, что я просто покажу, где я его заменил.Или пример, когда вы могли бы заменить его, и вы получите Тайвань 5,77 ампер. А потом мы можем вернуть некоторых, например, туда и получить три. И теперь вы, по сути, нашли все три важных течения на этом этапе. Может быть, вы захотите вернуться и найти токи через все конкретные резисторы. Поэтому иногда они задают конкретные вопросы о падении напряжения, конкретных резисторах и т. Д. Так что я просто коротко расскажу об этом. Но что касается трех параллельно подключенных резисторов, то, что мы знаем о них, так это то, что один будет разделен поровну через резисторы номиналом 3 мкм до дома.А какие это были числа? Р. Четыре? Р. Пять и Р. Шесть. Таким образом, каждый из них, как мы можем сказать, получит 5,77 Ом абс., Разделенные на три, и мы получим 1,92 ампера. Ага. Точно так же и с двумя другими резисторами, включенными параллельно, если бы нам пришлось беспокоиться об этом, мы могли бы фактически вычислить падение напряжения. Так что помните, что параллельность означает, что они испытали одинаковое падение напряжения на них и это падение напряжения. Мы назовем это четыре, и шесть равно I, умноженному на два 2,4 OEM. И мы можем просто использовать значение a, чтобы решить эту проблему.И вы знаете, что не беспокойтесь о том факте, что два отрицательны, но мы знаем, что у нас есть фултонное падение 7,70. Хорошо, посмотри. Убедитесь, что я не ага. Используйте там неправильный ток. Прошу прощения, что 6.14 и да, ток идет в другую сторону в этой части цепи. Но нам нужна текущая абсолютная величина через каждые три сестры. Таким образом, мы могли бы вычислить, например, что ток через наши четыре болта составляет 6,14 болта на четыре дома, а если быть точным, то это 1,5 1,54 ампера.И через шесть OEM-производителей мы делаем аналогичные вещи в духе Закона о жилищном строительстве. И это 1,2. И, конечно, эти токи будут течь в отрицательном направлении. Так что я считаю, что это другой путь. О, и вот как сделать двухпетлевое решение с одним переходом.
.
No related posts.

Разное

+7 495 120-13-73 | 8 800 500-97-74