Формула мощности в физике

Содержание:

Определение и формулы мощности

Определение

Мощностью некоторой силы является скалярная физическая величина, которая характеризует скорость произведения работы данной силой. Мощность часто обозначают буквами: N, P.

$$P=\frac{\Delta A}{\Delta t}(1)$$

В том случае, если за равные малые промежутки времени выполняется разная работа, то мощность является переменной во времени. Тогда вводят мгновенное значение мощности:

$$P=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\delta A}{\Delta t}=\frac{d A}{d t}$$

где $\delta A$ – элементарная работа, которую выполняет сила, $\Delta t$ – отрезок времени в течение, которого данная работа была выполнена. Если мгновенная мощность не является постоянной величиной, то выражение (1) определяет среднюю мощностьза время $\Delta t$.

Мощность силы можно определить как скалярное произведение силы на скорость, с которой движется точка приложения рассматриваемой силы:

$$P=\bar{F} \bar{v}=F_{\tau} v$$

где $F_{\tau}$ – проекция силы $\bar{F}$ на направление вектора скорости ( $\bar{v}$). {k} \bar{F}_{i} \cdot \bar{v}_{i}(5)$$

где $\bar{v}_{i}$ – скорость перемещения точки, к которой приложена сила $\bar{F}_{i}$.

В случае поступательного движения твердого тела со скоростью $\bar{v}$ мощность можно определить при помощи формулы:

$$P=\overline{F v}(6)$$

где $\bar{F}$ – главный вектор внешних сил.

Если твердое тело совершает вращение вокруг точки О или вокруг неподвижной оси, которая проходит через точку О, то формулой для счет мощности можно считать выражение:

$$P=\bar{M} \bar{\omega}(7)$$

где $\bar{M}$ – главный момент внешних сил по отношению к точке О, $\bar{omega}$ – мгновенная угловая скорость вращения тела.

Единицы измерения мощности

Основной единицей измерения мощности силы в системе СИ является: [P]=вт (ватт)

В СГС: [P]=эрг/с.

1 вт=10⁷ эрг/( с).

Примеры решения задач

Пример

Задание. Какова мощность (P(t)), развиваемая силой, если она действует на тело, которое имеет массу m и под воздействием приложенной силы движется поступательно. {5}\right)$

Слишком сложно?

Формула мощности не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Какова мгновенная мощность силы тяжести на высоте h/2. если камень массы m падает с высоты h. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. Сделаем рисунок.

В качестве основы для решения задачи используем формулу для мгновенной мощности вида:

$$P=\bar{F} \cdot \bar{v}(2.1)$$

Сила, действующая на тело – сила тяжести. Она направлена по оси Y, выражение для ее проекции на ось Y запишем как:

$$F=m g(2.2)$$

В начальный момент времени тело имело скорость равную нулю, тогда скорость тела в проекции на ось Y можно вычислить, используя выражение:

$$v=v_{0}+g t=g t(2.3)$$

где v₀=0.

Найдем момент времени, в который тело окажется на половине высоты (y=h/2), применим уравнение, которое описывает равноускоренное движение (из начальных условий y₀=0, v₀=0):

$$y=y_{0}+v_{0} t+\frac{g t^{2}}{2}=\frac{g t^{2}}{2}=\frac{h}{2} \rightarrow t=\sqrt{\frac{h}{g}}(2. {3} h}$

Читать дальше: Формула плотности вещества.

формула, мгновенный и средний расчет силы.

Термин «мощность» в физике имеет специфический смысл. Механическая работа может выполняться с различной скоростью. А механическая мощность обозначает, как быстро совершается эта работа. Способность правильно измерить мощность имеет важное значение для использования энергетических ресурсов.

Физический смысл мощности

Разные виды мощности

Для формулы механической мощности применяется следующее выражение:

N = ΔA/Δt.

В числителе формулы затраченная работа, в знаменателе – временной промежуток ее совершения. Это отношение и называется мощностью.

Существует три величины, которыми можно выразить мощность: мгновенная, средняя и пиковая:

1. Мгновенная мощность – мощностной показатель, измеренный в данный момент времени. Если рассмотреть уравнение для мощности N = ΔA/Δt , то мгновенная мощность представляет собой ту, которая берется в чрезвычайно малый промежуток времени Δt. Если имеется построенная графическая зависимость мощности от времени, то мгновенная мощность – это просто считываемое с графика значение в любой взятый момент времени. Другая запись выражения для мгновенной мощности:

N = dA/dt.

2. Средняя мощность – мощностная величина, измеренная за относительно большой временной отрезок Δt;
3. Пиковая мощность – максимальное значение, которое мгновенная мощность может иметь в конкретной системе в течение определенного временного промежутка. Стереосистемы и двигатели автомобилей – примеры устройств, способных обеспечить максимальную мощность, намного выше их средней номинальной мощности. Однако поддерживать эту мощностную величину можно в течение короткого времени. Хотя для эксплуатационных характеристик устройств она может быть более важной, чем средняя мощность.

Важно! Дифференциальная форма уравнения N = dA/dt универсальна. Если механическая работа выполняется равномерно в течение времени t, то средняя мощность будет равна мгновенной.

Из общего уравнения получается запись:

N = A/t,

где A будет общая работа за заданное время t. Тогда при равномерной работе вычисленный показатель равен мгновенной мощности, а при неравномерной –средней.

Формулы для механической мощности

В каких единицах измеряют мощность

Стандартной единицей для измерения мощности служит Ватт (Вт), названный в честь шотландского изобретателя и промышленника Джеймса Ватта. Согласно формуле, Вт = Дж/с.

Существует еще одна единица мощности, до сих пор широко используемая, –  лошадиная сила (л. с.).

Интересно. Термин «лошадиная сила» берет свое начало в 17-м веке, когда лошадей использовали для поднятия груза из шахты. Одна л. с. равна мощности для поднятия 75 кг на 1 м за 1 с. Это эквивалентно 735,5 Вт.

Мощность силы

Уравнение для мощности соединяет выполненную работу и время. Поскольку известно, что работа выполняется силами, а силы могут перемещать объекты, можно получить другое выражение для мгновенной мощности:

1. Работа, проделанная силой при перемещении:

A = F x S x cos φ.

2. Если поставить А в универсальную формулу для N, определяется мощность силы:

N = (F x S x cos φ)/t = F x V x cos φ, так как V = S/t.

3. Если сила параллельна скорости частицы, то формула принимает вид:

N = F x V.

Мощность вращающихся объектов

Процессы, связанные с вращением объектов, могут быть описаны аналогичными уравнениями. Эквивалентом силы для вращения является крутящий момент М, эквивалент скорости V – угловая скорость ω.

Если заменить соответствующие величины, то получается формула:

N = M x ω.

M = F x r, где r – радиус вращения.

Для расчета мощности вала, вращающегося против силы, применяется формула:

N = 2π x M x n,

где n – скорость в об/с (n = ω/2π).

Отсюда получается то же упрощенное выражение:

N = M x ω.

Таким образом, двигатель может достичь высокой мощности либо при высокой скорости, либо, обладая большим крутящим моментом. Если угловая скорость ω равна нулю, то мощность тоже равна нулю, независимо от крутящего момента.

Видео

Оцените статью:

Мощность | Физика

Как вы уже знаете, система тел, обладающая механической энергией, может совершить работу над внешними телами. В этом случае говорят, что тела этой системы являются источниками силы.

Одна и та же работа разными источниками силы может быть совершена за разное время. Например, человек может поднять сотню кирпичей на верхний этаж строящегося дома за несколько часов. Эти же кирпичи на тот же этаж подъемным краном можно поднять за несколько минут. То есть подъемный кран может выполнить работу по подъему кирпичей во много раз быстрее человека. Быстроту совершения работы характеризуют мощностью.
Мощность – физическая величина, характеризующая быстроту совершения работы.

Чтобы определить мощность источника силы, надо работу A силы этого источника разделить на время Δt, за которое была совершена работа:

N = A / Δt

Если за любые равные промежутки времени источник силы совершает одинаковую работу A, то указанное отношение называют мгновенной мощностью (или просто мощностью) этого источника.

В других случаях указанное отношение называют средней мощностью за заданный промежуток времени.

В СИ единицу мощности называют ваттом (Вт):

1 Вт = 1 Дж / 1 с

Единица мощности названа в честь английского физика Джеймса Уатта 1873 г. Сам Уатт использовал в качестве единицы мощности лошадиную илу. Это работа, совершаемая за 1 секунду лошадью, которая работает целый день.

1 л. с. = 735 Вт.

Для примера отметим, что средняя мощность, развиваемая сердцем человека, примерно равна 2 Вт. При интенсивной работе в течение нескольких минут человек может развивать мощность около 1 кВт, а при отдельных движениях (прыжок с места, рывок при поднятии тяжести) мощность может достигать 4-5 кВт. Двигатели различных технических устройств, используемых в быту, имеют мощности от долей милливатта (электронно-механические часы) до сотен ватт (двигатели стиральной машины, электрического точила). Мощность же двигателей ракеты космического корабля «Энергия» достигает величины 1,2 · 10¹¹ Вт.

Мощность источника силы F можно вычислить, зная силу и скорость v точечного тела, на которое она действует. Как вы помните, скорость точки – это отношение перемещения точки к промежутку времени, в течение которого движение точки было практически равномерным и прямолинейным. Следовательно, за такой промежуток времени Δt перемещение точки Δx = v · Δt. В течение этого промежутка времени ускорение точки можно считать равным нулю. Следовательно, сумма действующих на точку сил согласно второму закону Ньютона должна быть равна нулю, а каждую из действующих сил можно считать постоянной. Поэтому работа силы, направление которой совпадает с направлением скорости точки, будет равна A = F · v · Δt. Следовательно, мощность источника силы, которая совпадает по направлению со скоростью, равна

N = F · v

Таким образом, если направления скорости и силы совпадают, то мощность источника силы положительна (значения F и v имеют одинаковые знаки).

Напротив, если скорость тела и действующая на него сила направлены в противоположные стороны, то мощность источника силы отрицательна (значения F и v имеют разные знаки).

Из полученной формулы следует, что, когда мощность двигателя постоянна, сила, которая приложена к движущемуся телу, благодаря работе двигателя увеличивается при уменьшении скорости. Именно поэтому водитель автомобиля, преодолевая участок, на котором сила сопротивления движению автомобиля велика, включает пониженную передачу. Уменьшая скорость автомобиля, он увеличивает силу, вращающую колеса.

Рассмотрим теперь, как можно вычислить мощность источника силы, на примере решения следующих задач.

Задача 1

Спортсмен поднялся по вертикальному канату за время Δt = 16 с на высоту h = 10 м. Какую среднюю мощность развивал этот спортсмен? Масса спортсмена M = 80 кг. Модуль ускорения свободного падения считайте равным g = 10 м/с².

Решение. При подъеме по канату спортсмен совершил работу против силы тяжести, равную A = M · g · h = 80 кг · 10 м/с² · 10 м = 8000 Дж. Следовательно, средняя мощность которую развивал спортсмен, равна
N = A / Δt = 8000 Дж / 16 с = 500 Вт.

Ответ: средняя мощность равна 500 Вт.

Задача 2

Определите массу груза, который может поднимать кран с постоянной скоростью v = 90 м/мин. Мощность двигателя крана N = 15 кВт. Модуль ускорения свободного падения считайте равным g = 10 м/с².

Решение. Из формулы N = F · v найдем модуль силы, с которой кран действует на равномерно поднимаемый груз: F = N/v. При равномерном подъеме эта сила должна уравновешивать действующую на груз силу тяжести F = m · g. Следовательно,

Итоги
Мощность – физическая величина, характеризующая быстроту совершения работы.

Чтобы определить мощность источника силы, надо работу A силы этого источника разделить на время Δt, за которое была совершена работа:

N = A / Δt

Вопросы

1. Что такое мощность?
2. Как называют единицу мощности в СИ?
3. Может ли мощность источника силы быть отрицательной? Приведите примеры источника силы с отрицательной мощностью.

Упражнения

1. Какую работу совершили за год генераторы электростанции, если их средняя мощность за год была равна N = 2,5 МВт? Ответ выразите в джоулях.
2. Определите среднюю мощность человека при быстрой ходьбе, если за Δt = 0,5 ч он делает 2500 шагов. Известно, что, делая один шаг, человек совершает работу A = 36 Дж.
3. Оцените вашу мощность при ходьбе. Для этого подсчитайте, сколько шагов вы делаете в минуту, в час при равномерном движении. Как изменится мощность, если вы будете идти тот же час с вдвое меньшей скоростью, с вдвое большей скоростью?
4. Проанализируйте решение задачи 1 из параграфа. Уменьшится ли время подъема на ту же высоту другого спортсмена, если он будет развивать ту же мощность, а его масса равна 60 кг? Найдите время подъема более легкого спортсмена.
5. Самолет летит прямолинейно горизонтально с постоянной скоростью 1000 км/ч. Вычислите силу сопротивления движению самолета, если его двигатели развивают мощность 1,8 МВт.
6. Автомобиль массой m = 2т движется прямолинейно по горизонтальной дороге со скоростью v = 72 км/ч, преодолевая силу сопротивления, равную 0,05 его веса. Какую мощность развивает двигатель автомобиля?

Физика. Механика

Представим снова элементарную работу в виде

Удельная величина, равная отношению работы совершенной за время dt к этому времени, называется мощностью:

Другими словами, мощность, развиваемая некоторой силой, равна скорости, с которой эта сила производит работу. Можно сказать и так: средняя за единицу времени мощность численно равна работе совершенной за единицу времени.

Если мощность за выбранную единицу времени практически не меняется, то слово «средняя» можно опустить: мощность численно равна работе за единицу времени.

Как видно из определения, мощность равна скалярному произведению силы на скорость перемещения её точки приложения, поэтому работа силы за время от t₁ до t₂ может быть вычислена следующим образом:

Средняя мощность за этот же промежуток времени равна

За единицу мощности принимается такая мощность, при которой в единицу времени совершается единица работы.

В системе СИ единицей измерения мощности является ватт (Вт):

Внесистемная единица мощности — лошадиная сила (л.с.) — равна 736 Вт. В быту часто используют единицу энергии — 1 кВт•ч = 103 Вт•3600 с=3.6 МДж.

Пример. Вертолет массой m = 3 m висит в воздухе. Определить мощность, развиваемую мотором вертолета, если диаметр ротора равен d = 8 м. При расчете принять, что ротор отбрасывает вниз цилиндрическую струю воздуха диаметром, равным диаметру ротора. Плотность воздуха

1.29 кг/м3.

При решении этой задачи надо применить все известные нам законы динамики. Поскольку это — не одно- и не двухходовая задача, попробуем сначала найти вид окончательного выражения, пользуясь анализом размерности (см. тему 1.3). Искомая мощность зависит от: 1) веса вертолета mg; 2) диаметра винта d, 3) плотности воздуха , то есть искомая формула должна иметь вид

Размерность мощности будет [N] = [ML2T–3]. Составляем равенство размерностей в обеих частях искомой формулы:

Решая систему уравнений

находим

то есть искомая мощность двигателя вертолета будет

где C — некий числовой коэффициент.

Решим теперь эту же задачу точно. Пусть — скорость струи воздуха, отбрасываемой винтом. За время частицы воздуха проходят расстояние . Иными словами, за время винт вертолета придает скорость всем частицам воздуха, находящимся в цилиндре с площадью основания и высотой . Масса воздуха в этом объеме равна

а его кинетическая энергия дается выражением

Поскольку мотор передает воздуху кинетическую энергию , то такова и совершаемая им работа. Поэтому развиваемая мотором мощность (без учета потерь мощности во всех трансмиссиях на пути от двигателя до винта) равна

В этом выражении нам надо еще найти скорость струи воздуха, отбрасываемой винтом. Импульс , передаваемый частицам воздуха за время , равен

Из второго закона Ньютона следует, что средняя сила, действующая на отбрасываемый вниз воздух равна . По третьему закону Ньютона такая же сила действует на вертолет со стороны воздуха. Эта сила компенсирует вес вертолета:

Отсюда получаем уравнение

позволяющее найти скорость струи воздуха:

Подставляя найденную скорость в выражение для мощности двигателя вертолета, получаем окончательный результат:

Мы видим, что выражение для мощности действительно оказалось таким, каким ожидалось на основе анализа размерностей. Подставляя числовые данные, находим

Рис.4.5. Мощность в природе и технике

Какую среднюю мощность и силу тяги должен развивать электровоз, чтобы состав массой

Условие задачи:

Какую среднюю мощность и силу тяги должен развивать электровоз, чтобы состав массой 1000 т через 2 мин после начала равноускоренного движения по горизонтальному пути приобрел скорость 72 км/ч? Коэффициент силы сопротивления движению 0,005.

Задача №2.7.26 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=1000\) т, \(t=2\) мин, \(\upsilon=72\) км/ч, \(k=0,005\), \(F-?\), \(N_{ср}-?\)

Решение задачи:

Начнем с определения величины силы тяги. Для этого запишем второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось \(x\):

\[F – {F_{сопр}} = ma\]

Силу сопротивления движению \(F_{сопр}\) найдем по следующей формуле (\(N=mg\) из первого закона Ньютона в проекции на вертикальную ось \(y\)):

\[{F_{сопр}} = kN = kmg\]

\[F – kmg = ma\]

\[F = m\left( {a + kg} \right)\]

Так как движение равноускоренное без начальной скорости, и за время \(t\) скорость состава с электровозом станет равной \(\upsilon\), то легко найти ускорение:

\[\upsilon  = at\]

\[a = \frac{\upsilon }{t}\]

Окончательная формула для расчета силы тяги такая:

\[F = m\left( {\frac{\upsilon }{t} + kg} \right)\]

Средняя мощность равна отношению совершенной работы ко времени (за которое эта работа совершилась):

\[{N_{ср}} = \frac{A}{t}\]

Так как вектор силы тяги \(\overrightarrow F\) сонаправлен с вектором перемещения \(\overrightarrow S\), т. 6}\left( {\frac{{20}}{{120}} + 0,005 \cdot 10} \right) \cdot \frac{{20}}{2} = 2166666,7\;Вт \approx 2,17\;МВт\]

Ответ: 217 кН; 2,17 МВт.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

4 Энергия и мощность сигнала

Если к резистору с сопротивлением R приложено постоянное напряжение U, то выделяющаяся в резисторе мощность будет равна:

За время Т в этом резисторе выделяется тепловая энергия:

Пусть теперь к тому же резистору приложено не постоянное напряжение, а сигнал S(t). Рассеивающаяся в резисторе мощность при этом тоже будет зависеть от времени (речь идет о мгновенной мощности).

Чтобы вычислить теряющуюся за время T энергию, мгновенную мощность необходимо проинтегрировать:

Можно ввести и понятие средней мощности за заданный промежуток времени, разделив энергию на длительность временного интервала:

Во все приведенные формулы входит сопротивление нагрузки R. Если энергия и мощность интересуют нас не как физические величины, а как средние сравнения различных сигналов, этот параметр можно из формул исключить (принять R=1). Тогда мы получим определение энергии мгновенной мощности и средней мощности, принятой в теории сигналов

— энергия сигнала

— мгновенная мощность

(1)

Данные параметры иногда называются удельной мощностью и энергией, чтобы подчеркнуть, подразумевая при этом единичное значение сопротивления нагрузки.

Энергия сигнала может быть конечной или бесконечной. Любой сигнал конечной длительности будет иметь конечную энергию, а любой периодический – бесконечную. Если энергия сигнала бесконечна, можно определить его среднюю мощность на всей временной оси. Для этого из формулы (1) путем предельного перехода, устремив интервал усреднения в бесконечность

(2)

Квадратный корень из Рср даст среднеквадратичное значение мощности сигнала

(3)

5 Спектральный анализ периодических сигналов. Условия Дирихле. Ряд Фурье.

Для периодического сигнала с периодом Т выполняется соотношение:S(t+nT) = S(t) при любом t.

где n — произвольное целое число; Т – период сигнала.Величина обратная периоду называется частотой повторения сигнала (f = 1/T). Используют понятие круговой частоты. (ω = 2πf)

Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы.

Чтобы такое разложение существовало, фрагмент сигнала длительностью в один период должен удовлетворять условиям Дирихле:

1. не должно быть разрывов 2-го рода (с уходящими в бесконечность ветвями функции)

2. число разрывов 1-го рода (скачков) должно быть конечным

3. число экстремумов должно быть конечным

Различают несколько форм записи ряда Фурье:

1. синусно – косинусная

2. вещественная

3. комплексная

Синусно-косинусная форма записи ряда Фурье

Входящие в формулу кратные основной частоте (ω₁) частоты называются гармониками. Гармоники нумеруются в соответствии с индексом k, частота ω _k = k ω ₁ называется к-ой гармоникой сигнала.

Коэф-ты, входящие в данный ряд определяются след образом:

; ;

a₀/2 – среднее значение с-ла на периоде.

Если S(t) — чётная ф-ция, то все b_к = 0 и в ф-ле ряда Фурье будут только косинусные слагаемые. Если S(t) — нечётная ф-ция, то все а_к = 0 и в ф-ле ряда Фурье будут только синусные слагаемые.

Вещественная форма записи

Некоторое неудобство синусно-косинусной формы ряда Фурье состоит в том, что для каждого значения индекса суммирования к в формуле фигурируют два слагаемых синус и косинус.

, где ;- фазаk—ой гармоники.

Если S(t) является чётной функцией фазы φ_к могут принимать значения 0 и π, а если S(t) функция нечётная, то возможны значения фазы ±π/2.

Комплексная форма записи

Данная форма представления является наиболее употребимой в радиотехнике. Она получается из вещественной формы представления косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент. Вытекает из формулы Эйлера: е^jx = cos(x) + jsin(x), cos(x) = ½ ( e^jx + e^—jx ).

Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье получим:

.

Учитывая, что ,получим . Формулы называются парой преобразований Фурье. Вторая формула из них позволяет найти спектр, т.е. совокупность гармонических составляющих, образующих в сумме колебание.

Спектр периодической последовательности импульсов состоит из постоянной составляющей и множества гармонических составляющих, частоты которых образуют дискретный ряд значений () кратных основной частоте колебаний. Амплитуды гармонических составляющих или сокращенно гармоник равны, а начальные фазы. Такой спектр называется дискретным или линейчатым. Постоянную составляющую можно рассматривать как гармонику с нулевой частотой колебания и амплитудой_.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА Тема: Механическая работа и мощность

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №6

Тема: Механическая работа и мощность

Цель: применить закон реактивного движения и формулы механической работы и мощности при решении задач

Реактивное движение — это движение тела, возникающее при отделении некоторой его части с определенной скоростью относительно него.

Реактивное движение основано на законе сохранения импульса. Саму ракету можно рассматривать как тело, разделившееся на две части, одна из которых отброшена назад (силой пороховых газов, пружиной, сжатым воздухом), а другая устремилась вперед.

Формулы для решения:

Для изначально покоившейся ракеты в проекциях на направление ее движения можно записать:

Учитывая в формулах знаки проекций скоростей ракеты и газов — они разнонаправлены, получим:

К_ракет=К_газов

Задача 1: Какую скорость приобретает ракета массой m_p, если продукты горения массой m_г вылетают из нее скоростью _г? _г, м/с

600

650

700

750

850

900

950

990

880

770

660

550

555

_р, м/с

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

Задача 2: При равномерном подъеме из шахты нагруженной углем бадьи массой m произведена работа A кДж. Какова глубина шахты?

h, м

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

Задача 3: Давление воды в цилиндре нагнетательного насоса P кПа. Чему равна работа при перемещении поршня площадью S м² на расстояние S_l м.

S_l, м

0,3

0,45

0,55

0,35

0,4

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

A, Дж

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

Задача 4: Определить среднюю мощность лебедки, поднимающую груз массой m на высоту h метров за t минут.

t, мин

3

4,5

5,5

3,5

4

6

6,5

7

7,5

8

8,5

9

9,5

N_cр, Вт

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

Задача 5: Мощность подъемного крана N кВт. Им можно равномерно поднять груз массой m т за t мин. Какую работу произведет в этом случае кран? На какую высоту переместит он груз?

t, мин

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

А, Дж

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

h_, м

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

Контрольные вопросы:

1. Какое движение называется реактивным?

2. На каком законе основано реактивное движение?

3. От чего зависит скорость ракеты?

4. В каких случаях работа положительна, отрицательна, равна нулю?

5. К каким величинам относится мощность: скалярным или векторным?

Задача 1: Какую скорость приобретает ракета массой 600 г, если продукты горения массой 15 г вылетают из нее скоростью 800 м/с?

Решение.

1. Кратко записываем условие задачи.

3. Записываем закон сохранения импульса для движения ракеты.

4. Решаем уравнения в общем виде.

5. Подставляем величины в общее решение, вычисляем. Перед подстановкой переводим все величины в систему СИ.

Задача 2: При равномерном подъеме из шахты нагруженной углем бадьи массой 10,5 т произведена работа 6200 кДж. Какова глубина шахты?

Задача 3

Задача 4 Определить среднюю мощность лебедки, поднимающую груз массой 5 тонн на высоту 10 метров за 6 минут.

Задача 5

Мощность подъемного крана 10 кВт. Им можно равномерно поднять груз массой 2 т за 0,5 мин. Какую работу произведет в этом случае кран? На какую высоту переместит он груз?

Математика для гуманитарных наук

Часто нас интересует количество элементов в наборе или подмножестве. Это называется мощностью множества.

Мощность

Количество элементов в наборе — это мощность этого набора.

Мощность набора A часто обозначается как | A | или n ( A )

Пример 12

Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и B = {2, 4, 6, 8}.

Какова мощность B ? A B , A ⋂ B ?

Мощность B равна 4, так как в наборе 4 элемента.

Мощность A ⋃ B равна 7, так как A ⋃ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}, которое содержит 7 элементов.

Количество элементов A ⋂ B равно 3, так как A ⋂ B = {2, 4, 6}, которое содержит 3 элемента.

Пример 13

Какова мощность P = набор английских названий месяцев в году?

Количество элементов этого набора равно 12, поскольку в году 12 месяцев.

Иногда нас может интересовать мощность объединения или пересечения множеств, но мы не знаем фактических элементов каждого набора. Это обычное дело в геодезии.

Пример 14

В опросе 200 человек спрашивают «Какой напиток вы пьете утром» и предлагают варианты выбора:

• Только чай
• Только кофе
• И кофе, и чай

Предположим, 20 сообщают только чай, 80 сообщают только кофе, 40 сообщают и то, и другое.Сколько людей пьют чай по утрам? Сколько людей не пьют ни чая, ни кофе?

На этот вопрос проще всего ответить, создав диаграмму Венна. Мы видим, что людей, пьющих чай, можно найти, добавив тех, кто пьет только чай, к тем, кто пьет и то, и другое: 60 человек.

Мы также можем видеть, что те, кто не пьет, не входят ни в одну из трех других групп, поэтому мы можем подсчитать их, вычтя из мощности универсального набора 200.

200-20-80-40 = 60 человек, которые не пьют.

Пример 15

В ходе опроса спрашивается: Какие онлайн-сервисы вы использовали за последний месяц:

• Твиттер
• Facebook
• Использовали оба

Результаты показывают, что 40% опрошенных использовали Twitter, 70% использовали Facebook и 20% использовали оба. Сколько людей не использовали ни Twitter, ни Facebook?

Пусть T будет набором всех людей, которые использовали Twitter, а F будет набором всех людей, которые использовали Facebook.Обратите внимание, что, хотя мощность F составляет 70%, а мощность T составляет 40%, мощность F ⋃ T не просто 70% + 40%, так как это будет учитывать тех, кто использует оба услуги дважды. Чтобы найти мощность F ⋃ T , мы можем сложить мощность F и мощность T , а затем вычесть те из пересечений, которые мы посчитали дважды. В символах,

n ( F ⋃ T ) = n ( F ) + n ( T ) — n ( F ⋂ T )

n ( F ⋃ T ) = 70% + 40% — 20% = 90%

Теперь, чтобы узнать, сколько людей не использовали ни одну из услуг, мы ищем мощность ( F ⋃ T ) c .Так как универсальный набор содержит 100% людей и мощность F T = 90%, мощность ( F ⋃ T ) c должна равняться остальным 10%.

Предыдущий пример проиллюстрировал два важных свойства

Свойства мощности

n ( A B ) = n ( A ) + n ( B ) — n ( A B )

n ( Ac ) = n ( U ) — n ( A )

Обратите внимание, что первое свойство также можно записать в эквивалентной форме, решив мощность пересечения:

n ( A B ) = n ( A ) + n ( B ) — n ( A B )

Пример 16

Было опрошено пятьдесят студентов, и их спросили, будут ли они проходить курс социальных наук (SS), гуманитарных наук (HM) или естественных наук (NS) в следующем квартале.

21 проходили курс SS 26 проходили курс HM

19 проходили курс NS 9 проходили курс SS и HM

7 принимали SS и 10 NS принимали HM и NS

3 принимали все три 7 не принимали

Сколько студентов проходят только курс SS?

Может быть полезно взглянуть на диаграмму Венна.

Из приведенных данных мы знаем, что существует

3 студента в районе e и

7 студентов в районе ч .

Поскольку 7 студентов проходили курс SS и NS, мы знаем, что n ( d ) + n ( e ) = 7. Поскольку мы знаем, что в регионе 3 3 студента, должно быть

7 — 3 = 4 студента в районе d .

Аналогичным образом, поскольку есть 10 студентов, изучающих HM и NS, включая регионы e и f , должно быть

10 — 3 = 7 студентов в районе f .

Поскольку 9 студентов изучали SS и HM, должно быть 9 — 3 = 6 студентов в регионе b .

Теперь мы знаем, что 21 студент проходил курс SS. Сюда входят студенты из регионов a, b, d, и e . Поскольку мы знаем количество студентов во всех регионах, кроме и , мы можем определить, что 21 — 6 — 4 — 3 = 8 студентов находятся в районе — .

8 студентов проходят только курс SS.

Попробовать 4

Было опрошено сто пятьдесят человек, и их спросили, верят ли они в НЛО, призраков и снежного человека.

43 верили в НЛО 44 верили в призраков

25 верили в снежного человека 10 верили в НЛО и привидений

8 верили в призраков, а снежный человек 5 верили в НЛО и снежный человек

2 верили во все три

Сколько опрошенных верили хотя бы в одно из этих утверждений?

Попробовать сейчас Ответы

1.Есть несколько ответов: Множество всех нечетных чисел меньше 10. Множество всех нечетных чисел. Набор всех целых чисел. Набор всех действительных чисел.

2. A ⋃ C = {красный, оранжевый, желтый, зеленый, сине-фиолетовый}

Bc ⋂ A = {зеленый, синий}

3. A B ⋂ CC

4. Начав с пересечения всех трех кругов, мы выходим наружу. Поскольку 10 человек верят в НЛО и Призраков, а двое верят во все три, остается 8 человек, которые верят только в НЛО и Призраков.Мы прорабатываем свой выход, заполняя все регионы. Как только у нас получится, мы можем сложить все эти регионы, получив 91 человека в объединении всех трех наборов. Остается 150 — 91 = 59 тех, кто ни во что не верит.

комбинаторика — Какова общая сумма мощностей всех подмножеств набора?

Для конечных множеств эту формулу легко вывести по индукции.

Пусть $ n_k $ обозначает сумму мощностей всех подмножеств множества $ k $ -элементов. Ясно, что $ n_0 = 0 $, поскольку единственное подмножество пустого набора пусто.Теперь пусть $ S $ будет набором элементов $ k-1 $, и рассмотрим, что произойдет, когда мы добавим еще один элемент $ x $ в $ S $, чтобы получить $ k $ -элементное множество $ S ‘= S \ cup \ {x \} $.

Ясно, что подмножества $ S ‘$ можно разделить на две группы равного размера: те, которые содержат $ x $, и те, которые не содержат. Подмножества $ S ‘$, которые не содержат $ x $, являются в точности подмножествами $ S $, поэтому сумма их мощностей равна $ n_ {k-1} $.

Подмножества $ S $, которые — содержат $ x $, тем временем можно сопоставить один к одному с теми, которые этого не делают, просто удалив из них $ x $, при этом каждое подмножество содержит ровно еще один элемент. (а именно $ x $) больше, чем соответствующее подмножество без $ x $.{k-1} $.

Количество наборов

Мощность набора — это мера количества элементов в наборе.

Например, пусть A = {-2, 0, 3, 7, 9, 11, 13}

Здесь n (A) обозначает мощность множества A

И n (A) = 7

То есть в данном наборе A 7 элементов.

В случае, если два или более наборов объединяются с помощью операций над наборами, мы можем найти мощность, используя приведенные ниже формулы.

Формула 1:

n (A u B) = n (A) + n (B) — n (A n B)

Если A и B — непересекающиеся множества, n (A n B) = 0

Тогда n (A u B) = n (A) + n (B)

Формула 2:

n (A u B u C) = n (A) + n (B) + n ( C) — n (A n B) — n (B n C) — n (A n C) + n (A n B n C)

Если A, B и C — все непересекающиеся множества,

n (A n B) = 0, n (B n C) = 0, n (A n C) = 0, n (A n B n C) = 0

Тогда n (A u B) = n (A) + п (В) + п (С)

Теорема сложения на множествах

Теорема 1:

n (AuB) = n (A) + n (B) — n (AnB)

Теорема 2:

n (AuBuC):

= n (A) + n (B) + n (C) — n (AnB) — n (BnC) — n (AnC) + n (AnBnC)

Пояснение:

Позвольте нам узнать подробнее о следующих терминах.

n (AuB) = Общее количество элементов, связанных с любым из двух событий A и B.

n (AuBuC) = Общее количество элементов, связанных с любым из трех событий A, B и C.

n ( A) = Общее количество элементов, связанных с A.

n (B) = Общее количество элементов, связанных с B.

n (C) = Общее количество элементов, связанных с C.

Для трех событий A, B и C, мы имеем

n (A) — [n (AnB) + n (AnC) — n (AnBnC)]:

Общее количество элементов, относящихся только к A.

n (B) — [n (AnB) + n (BnC) — n (AnBnC)]:

Общее количество элементов, относящихся только к B.

n (C) — [n (BnC) + n (AnC) + n (AnBnC)]:

Общее количество элементов, относящихся только к C.

n (AnB):

Общее количество элементов, относящихся к обоим A и B

n (AnB) — n (AnBnC):

Общее количество элементов, относящихся только к обоим (A и B).

n (BnC):

Общее количество элементов, относящихся к обоим B и C

n (BnC) — n (AnBnC):

Общее количество элементов, относящихся только к обоим (B и C).

n (AnC):

Общее количество элементов, относящихся к обоим A и C

n (AnC) — n (AnBnC):

Общее количество элементов, относящихся только к обоим (A и C).

Для двух событий A и B мы имеем

n (A) — n (AnB):

Общее количество элементов, относящихся только к A.

n (B) — n (AnB):

Общее количество элементов, относящихся только к B.

Понимание проблемы Word

В группе студентов 65 играют в фут-мяч, 45 играют в хоккей, 42 играют в крикет, 20 играют в фут-мяч и в хоккей, 25 играют в фут-мяч и в крикет, 15 играют в хоккей и крикет и 8 играют во все три игры.

Пусть F, H и C представляют группу студентов, которые играют в футбол, хоккей и крикет соответственно.

Диаграмма Венна, связанная с вышеуказанной ситуацией:

Из диаграммы Венна мы можем получить следующие детали.

Количество студентов, играющих только в футбол = 65

Количество студентов, играющих только в футбол = 28

Количество студентов, играющих в хоккей = 45

Количество студентов, которые играют только в хоккей = 18

Кол-во учащихся, играющих в крикет = 42

Кол-во студентов.учащихся, играющих только в крикет = 10

Количество учащихся, играющих как в футбол, так и в хоккей = 20

Количество учащихся, играющих только в мяч и в хоккей = 12

Количество учащихся кто играет и в хоккей, и в крикет = 15

Количество учеников, играющих только в оба (хоккей и крикет) = 7

Количество учеников, которые играют и в футбол, и в крикет = 25

Количество учащихся, играющих только оба (футбольный мяч и крикет) = 17

No.студентов, которые играют во все три игры = 8

Решение проблемы со словами

В группе студентов 65 играют в фут-мяч, 45 играют в хоккей, 42 играют в крикет, 20 играют в фут-мяч и в хоккей, 25 играют в фут-мяч и в крикет, 15 играют в хоккей и крикет и 8 играют во все три игры. Найдите общее количество учеников в группе (предположим, что каждый ученик в группе играет хотя бы в одну игру).

Шаг 1:

Пусть F, H и C представляют группу студентов, которые играют в футбол, хоккей и крикет соответственно.

Шаг 2:

Из данной информации имеем

n (F) = 65, n (H) = 45, n (C) = 42,

n (FnH) = 20, n ( FnC) = 25, n (HnC) = 15

n (FnHnC) = 8

Шаг 3:

Исходя из основного, у нас

Общее количество студентов в группе n (FuHuC ).

n (FuHuC) равно

= n (F) + n (H) + n (C) — n (FnH) — n (FnC) — n (HnC) + n (FnHnC)

Тогда , имеем

n (FuHuC) = 65 + 45 + 42-20-25-15 + 8

n (FuHuC) = 100

Итак, общее количество студентов в группе равно 100.

Альтернативный метод (с использованием диаграммы Венна):

Шаг 1:

Диаграмма Венна, связанная с информацией, приведенной в вопросе:

Шаг 2:

Общее количество студентов в группе:

= 28 + 12 + 18 + 7 + 10 + 17 + 8

= 100

Итак, общее количество студентов в группе составляет 100.

Помимо вышеперечисленного, если вам нужны еще какие-либо сведения по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Если у вас есть какие-либо отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

[email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

Задачи со словами HCF и LCM

Задачи со словами на простых уравнениях

Задачи со словами на линейных уравнениях

Проблемы со словами на квадратных уравнениях

Проблемы со словами в поездах

Проблемы со словами по площади и периметру

Проблемы со словами по прямой и обратной вариациям

Проблемы со словами по цене за единицу

Проблемы со словами по скорости единицы

задачи по сравнению ставок

Преобразование обычных единиц в текстовые задачи

преобразование метрических единиц в текстовые задачи

текстовые задачи на простые проценты

текстовые задачи на сложные проценты

ngles

Проблемы с дополнительными и дополнительными углами в словах

Проблемы со словами с двойными фактами

Проблемы со словами тригонометрии

Проблемы со словами в процентах

Проблемы со словами с разметкой

задачи

задачи с десятичными числами

задачи со словами на дроби

задачи со словами на смешанные фракции

задачи со словами на одноэтапное уравнение

задачи на слова с линейным неравенством

45

43 Задачи

Проблемы со временем и рабочими словами

Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

Проблемы со словами на возрастах

Проблемы со словами из теоремы Пифагора

Процент числового слова проблемы

Проблемы со словами при постоянной скорости

Проблемы со словами при средней скорости

Проблемы со словами при сумме углов треугольника 180 градусов

ДРУГИЕ ТЕМЫ

Сокращения прибыли и убытков

Сокращения в процентах

Сокращения в таблице времен

Сокращения времени, скорости и расстояния

Сокращения соотношения и пропорции

000 Домен и диапазон рациональных функций 9 9345 функции с отверстиями

График рациональных функций

График рациональных функций с отверстиями

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

Десятичное представление рациональных чисел

видение

Л.Метод CM для решения временных и рабочих задач

Преобразование словесных задач в алгебраические выражения

Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

Остаток при делении степени 17 на 16

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

Мощность | Конечные множества | Бесконечные наборы

Здесь нам нужно поговорить о мощности набора, что в основном является размером набора.Мощность множества обозначается $ | A | $. Сначала обсудим мощность для конечных множеств и потом поговорим о бесконечных множествах.

Рассмотрим набор $ A $. Если $ A $ имеет только конечное число элементов, его мощность равна просто количество элементов в $ A $. Например, если $ A = \ {2,4,6,8,10 \} $, то $ | A | = 5 $. Перед обсуждением бесконечных множеств, что является основным обсуждением в этом разделе, мы хотели бы поговорить об очень полезное правило: принцип включения-исключения .n \ left | A_i \ right | — \ sum_ {i \> \> \> \> \> \> + \ sum_ {i

---

Пример

На вечеринке,

• есть люди за 10 долларов в белых рубашках и за 8 долларов за людей в красных рубашках;
• $ 4 $ у людей черные туфли и белые рубашки;
• $ 3 $ у людей черные туфли и красные рубашки;
• Общее количество людей в белых или красных рубашках или черных туфлях составляет 21 доллар.

У скольких людей есть черные туфли?

• Решение

  • Пусть $ W $, $ R $ и $ B $ будут количеством людей в белых рубашках, красных рубашках и черных туфлях. соответственно.Затем, вот краткое изложение доступной информации: $$ | W | = 10 $$ $$ | R | = 8 $$ $$ | W \ cap B | = 4 $$ $$ | R \ cap B | = 3 $$ $$ | W \ чашка B \ чашка R | = 21. $$ Также разумно предположить, что $ W $ и $ R $ не пересекаются, $ | W \ cap R | = 0 $. Таким образом, применяя принцип включения-исключения получаем

    $ $ $

    $ | W \ чашка R \ чашка B |	$ = 21
    	$ = | W | + | R | + | B | — | W \ cap R | — | W \ cap B | — | R \ cap B | + | W \ cap R \ cap B |
    	$ = 10 + 8 + | B | -0-4-3 + 0 $.

    
    Таким образом $$ | B | = 10. $$

    Обратите внимание, что другой способ решить эту проблему — использовать диаграмму Венна, как показано на рисунке 1.11.

    Рис.1.11 — Диаграмма включения-исключения Венна.

---

Бесконечные наборы:

Что, если $ A $ — бесконечное множество? Оказывается, нам нужно различать два типа бесконечных множеств: где один тип значительно «крупнее» другого.В частности, один вид называется счетным , а другой называется бесчисленное количество . Такие множества, как $ \ mathbb {N} $ и $ \ mathbb {Z} $, называются счетными, но «большие» наборы, такие как $ \ mathbb {R} $, называются несчетными. Разница между двумя типами заключается в что вы можете перечислить элементы счетного множества $ A $, т.е. вы можете написать $ A = \ {a_1, a_2, \ cdots \} $, но вы не можете перечислить элементы в бесчисленном множестве. Например, вы можете написать

• $ \ mathbb {N} = \ {1,2,3, \ cdots \} $,
• $ \ mathbb {Z} = \ {0,1, -1,2, -2,3, -3, \ cdots \} $.

Тот факт, что вы можете перечислить элементы счетно бесконечного набора, означает, что набор может быть сопоставлен один к одному. соответствие с натуральными числами $ \ mathbb {N} $. С другой стороны, вы не можете перечислить элементы в $ \ mathbb {R} $, так что это бесчисленное множество. Если быть точным, вот определение.

Определение

Набор $ A $ называется счетным, если выполняется одно из следующих утверждений.

1. , если это конечное множество, $ \ mid A \ mid
2. его можно поставить во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами $ \ mathbb {N} $, в которых В этом случае множество называется счетно бесконечным.
Набор называется несчетным, если он не счетный.

Вот простой совет, чтобы решить, является ли набор счетным или нет. Что касается прикладной вероятности обеспокоен, этого руководства должно быть достаточно для большинства случаев.

• $ \ mathbb {N}, \ mathbb {Z}, \ mathbb {Q} $ и любые их подмножества счетны.
• Любой набор, содержащий интервал на действительной прямой, такой как $ [a, b], (a, b], [a, b), $ или $ (a, b) $, где $ a

Приведенного выше правила обычно достаточно для целей данной книги.Однако, чтобы аргументировать Более конкретно, здесь мы приводим некоторые полезные результаты, которые помогают нам доказать, является ли множество счетным или нет. Если доказательства вас меньше интересуют, вы можете их пропустить.

---

Теорема

Любое подмножество счетного множества счетно.
Любое надмножество несчетного множества неисчислимо.

Доказательство

Интуиция, лежащая в основе этой теоремы, такова: если множество счетно, то любое «меньшее» множество также должно быть счетным, поэтому подмножество счетного множества также должно быть счетным.Предоставлять доказательство, мы можем рассуждать следующим образом.

Пусть $ A $ счетное множество и $ B \ subset A $. Если $ A $ — конечное множество, то $ | B | \ leq | A |

Вторую часть теоремы можно доказать с помощью первой части. Предположим, что $ B $ несчетное число. Если $ B \ subset A $ и $ A $ счетно, то по первой части теоремы $ B $ также является счетным множество, противоречие.

---

Теорема

Если $ A_1, A_2, \ cdots $ — это список счетных множеств, то множество $ \ bigcup_ {i} A_i = A_1 \ cup A_2 \ cup A_3 \ cdots $ также счетно.

Доказательство

Достаточно создать список элементов в $ \ bigcup_ {i} A_i $. Поскольку каждый $ A_i $ счетен, мы можем перечислите его элементы: $ A_i = \ {a_ {i1}, a_ {i2}, \ cdots \} $. Таким образом, мы имеем

• $ A_1 = \ {a_ {11}, a_ {12}, \ cdots \} $,
• $ A_2 = \ {a_ {21}, a_ {22}, \ cdots \} $,
• $ A_3 = \ {a_ {31}, a_ {32}, \ cdots \} $,
• …

Теперь нам нужно составить список, содержащий все перечисленные выше списки. Сделать это можно разными способами.Один из способов сделать это — использовать порядок, показанный на рис. 1.12, чтобы составить список. Здесь мы можем написать $$ \ bigcup_ {i} A_i = \ {a_ {11}, a_ {12}, a_ {21}, a_ {31}, a_ {22}, a_ {13}, a_ {14}, \ cdots \} \ hspace {100pt} (1.1) $$ Рис.1.12 — Порядок составления списка.

Нам удалось создать список, содержащий все элементы в $ \ bigcup_ {i} A_i $, так что это множество счетно.

---

Теорема

Если $ A $ и $ B $ счетны, то $ A \ times B $ также счетно.

Доказательство

Доказательство этой теоремы очень похоже на предыдущую теорему.Поскольку $ A $ и $ B $ являются счетно, мы можем написать $$ A = \ {a_1, a_2, a_3, \ cdots \}, $$ $$ B = \ {b_1, b_2, b_3, \ cdots \}. $$ Теперь мы создаем список, содержащий все элементы в $ A \ times B = \ {(a_i, b_j) | i, j = 1,2,3, \ cdots \} $. Идея точно такая же, как и раньше. На рисунке 1.13 показан один из возможных вариантов заказа.

Рис.1.13 — Порядок составления списка.

---

Приведенные выше аргументы можно повторить для любого набора $ C $ в виде $$ C = \ bigcup_i \ bigcup_j \ {a_ {ij} \}, $$ где индексы $ i $ и $ j $ принадлежат некоторым счетным множествам.Таким образом, любое множество в этой форме счетно. Например, следствием этого является счетность множества рациональных чисел $ \ mathbb {Q} $. Это потому, что мы можем написать $$ \ mathbb {Q} = \ bigcup_ {i \ in \ mathbb {Z}} \ bigcup_ {j \ in \ mathbb {N}} \ {\ frac {i} {j} \}. $$

Приведенные выше теоремы подтверждают, что такие множества, как $ \ mathbb {N}, \ mathbb {Z}, \ mathbb {Q} $ и их подмножества счетны. Однако, как мы упоминали, интервалы в $ \ mathbb {R} $ неисчислимы. Таким образом, вы никогда не сможете предоставить список в виде $ \ {a_1, a_2, a_3, \ cdots \} $, содержащий все элементы, скажем, в $ [0,1] $.Этот факт можно доказать с помощью так называемого диагонального аргумента, и мы опускаем доказательство здесь, поскольку оно не является важным для остальной части книги.

---

Теория множеств — мощности и множества | Хесус Наджера

С основными обозначениями и операциями, очищенными в первой и второй статьях этой серии, мы построили фундаментальное понимание теории множеств. Эта третья статья дополняет эти знания, анализируя наиболее важное свойство любого набора: — общее количество содержащихся в нем уникальных элементов.

Также известное как мощность , количество отдельных элементов в наборе обеспечивает базовую точку перехода для дальнейшего, более богатого анализа данного набора. Во-первых, количество элементов — это первое обнаруженное нами уникальное свойство, которое позволяет нам объективно сравнивать различные типы множеств — проверка наличия взаимного соответствия (причудливый термин для функции с небольшими квалификаторами ) от одного набора к другому. Другая форма приложения, а также тема для оставшейся части этой части, количество элементов предоставляет окно для всех возможных подмножеств, которые существуют в данном наборе. Что буквально переводится на повседневные проблемы распределения решений, такие как составление бюджета похода за продуктами или балансировка портфеля.

Первоначально опубликовано на https://www.setzeus.com/

В примере слева (вверху на мобильном устройстве) изображены пять отдельных наборов с их соответствующей мощностью справа. Как видно, символ количества элементов набора напоминает символ абсолютного значения — переменную, зажатую между двумя вертикальными линиями. Примеры ясны, за исключением, возможно, последней строки, которая подчеркивает тот факт, что только уникальных элементов в наборе вносят вклад в мощность.

Помните подмножества из предыдущей статьи? Оказывается, мощность некоторого набора A и количество возможных подмножеств набора A имеют увлекательную взаимосвязь. Подробно ниже, количество подмножеств, которые могут быть построены из некоторого подмножества, увеличивается с порядком мощности на предсказуемую величину:

# возможных подмножеств в C = | C | ²

Мы пройдемся по пример ниже. Однако сначала давайте поразмышляем над интуитивно понятной формулой, приведенной выше.Представьте количество элементов как общее количество «слотов», которые представляет набор. При построении некоторого подмножества решение Boolean (да / нет) принимается для каждого возможного «слота». Это означает, что каждый уникальный элемент, добавленный к набору (то есть увеличение количества элементов на единицу), увеличивает количество возможных подмножеств в два раза. Как программист или ученый-компьютерщик, вы могли бы немного больше оценить эту логику, когда поймете, что все подмножества данного набора могут быть вычислены с использованием таблицы чисто двоичных чисел.

Прежде чем мы выведем все подмножества для примера набора C выше, я хотел бы ввести один последний термин — набор мощности . С прописной буквой S , за которой следует скобка, содержащая исходный набор S (C) , набор мощности — это набор всех подмножеств C, включая пустой / нулевой набор & само множество C. В таблице ниже показан набор мощности S (C) со всеми изменяющимися перестановками возможных подмножеств для набора C , содержащихся в одном большом наборе.

Из соображений форматирования я исключил запятые между наборами ***

Чем полезен набор мощности? Что ж, вы, вероятно, несколько раз использовали интуицию, лежащую в основе силовых наборов, даже не подозревая об этом. Каждый раз, когда вы выбираете подмножество элементов из большего набора, вы выбираете элемент набора мощности. Например, ребенок, просматривающий кондитерскую с 5 долларами — какой элемент набора мощности из всех доступных конфет он выберет? Или для более технических специалистов, как инженеры-программисты, вы можете запросить всех возможных пользователей базы данных , у которых также есть свойство X & Y — , еще один пример, где одно подмножество выбрано из всех возможных подмножеств.

Теперь мы понимаем количество элементов множества, почему они важны и их отношение к множеству степеней. Итак, давайте вернемся на мгновение назад, чтобы рассмотреть то, что мы замалчивали в самом начале этой статьи: , что именно определяет эквивалентность в теории множеств?

Возможно, два набора с одинаковой мощностью имеют какое-то общее свойство, но на этом сходство заканчивается — что, если в одном из наборов есть элемент, повторяющийся несколько раз? Что, если два набора имеют одинаковое количество элементов и ? Нельзя отрицать, что они в какой-то степени «равны», но даже в этом сценарии остается еще возможностей для дифференциации, поскольку в каждом наборе разные элементы могут повторяться одинаковое количество раз.Дело в том, что концепция эквивалентности в теории множеств немного чужда по сравнению с другими разделами математики. Для установления эквивалентности в этом мире требуется собственное введение и язык. В последней статье этой серии вводятся понятия эквивалентности, а также ее основные свойства, такие как инъективные, биективные и сюръективные функции.

первоначально опубликовано на

https://www.setzeus.com/

теория множеств | Символы, примеры и формулы

Теория множеств , раздел математики, который имеет дело со свойствами четко определенных наборов объектов, которые могут иметь или не иметь математическую природу, например числа или функции.Теория менее ценна в прямом применении к обычному опыту, чем как основа для точной и адаптируемой терминологии для определения сложных и изощренных математических понятий.

Между 1874 и 1897 годами немецкий математик и логик Георг Кантор создал теорию абстрактных множеств сущностей и превратил ее в математическую дисциплину. Эта теория выросла из его исследований некоторых конкретных проблем, касающихся определенных типов бесконечных множеств действительных чисел.Набор, как писал Кантор, представляет собой совокупность определенных, различимых объектов восприятия или мысли, задуманных как единое целое. Объекты называются элементами или членами набора.

Теория имела революционный аспект рассмотрения бесконечных множеств как математических объектов, которые находятся на равных с теми, которые могут быть построены за конечное число шагов. С древних времен большинство математиков тщательно избегали введения в свои аргументы фактической бесконечности (т.е., наборов, содержащих бесконечное количество объектов, рассматриваемых как существующие одновременно, по крайней мере, мысленно). Так как это отношение сохранялось почти до конца XIX века, работа Кантора подвергалась серьезной критике в связи с тем, что она касалась вымысла — более того, что она посягала на сферу философии и нарушала принципы религии. Однако как только начали находить приложения к анализу, отношение начало меняться, и к 1890-м годам идеи и результаты Кантора получили признание.К 1900 году теория множеств была признана отдельной отраслью математики.

Однако именно тогда было обнаружено несколько противоречий в так называемой наивной теории множеств. Для устранения таких проблем была разработана аксиоматическая основа теории множеств, аналогичная той, которая была разработана для элементарной геометрии. Степень успеха, достигнутого в этом развитии, а также нынешний уровень теории множеств хорошо отражены в отчете Николаса Бурбаки Éléments de mathématique (начат в 1939 г .; «Элементы математики»): «В настоящее время это известно, что логически можно вывести практически всю известную математику из единого источника — теории множеств.”

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишись сейчас

Введение в теорию наивных множеств

Основные концепции множеств

В теории наивных множеств набор — это совокупность объектов (называемых членами или элементами), которые рассматриваются как один объект. Чтобы указать, что объект x является членом набора A , пишут x A , а x ∉ A указывает, что x не является членом A .Набор может быть определен правилом членства (формулой) или перечислением его членов в фигурных скобках. Например, набор, заданный правилом «простые числа меньше 10», также может быть задан как {2, 3, 5, 7}. В принципе, любое конечное множество может быть определено явным списком его членов, но для определения бесконечных множеств требуется правило или шаблон, указывающий на членство; например, многоточие в {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…} указывает, что список натуральных чисел ℕ продолжается бесконечно. Пустой (или void, или null) набор, обозначенный {} или Ø, не содержит вообще никаких элементов.Тем не менее, он имеет статус набора.

Набор A называется подмножеством набора B (обозначается A ⊆ B ), если все элементы A также являются членами B . Например, любой набор является подмножеством самого себя, а Ø — подмножеством любого набора. Если и A ⊆ B , и B ⊆ A , то A и B имеют точно такие же элементы. Часть концепции набора состоит в том, что в этом случае A = B ; то есть A и B — это один и тот же набор.

Учебное пособие по теории множеств | Задачи, формулы, примеры

В теории множеств есть свои обозначения и символы, которые многим могут показаться необычными. В этом руководстве мы рассмотрим несколько решенных примеров, чтобы понять, как работает теория множеств и какие задачи можно использовать для решения.

Определение

Набор — это набор объектов.

Обычно изображается в цветочных скобках.

Например, :
Набор натуральных чисел = {1,2,3,…..}
Набор целых чисел = {0,1,2,3,… ..}

Каждый объект называется элементом множества.

Набор, который содержит все элементы данной коллекции, называется универсальным набором и представлен символом «µ», произносимым как «му».

Для двух комплектов A и B,

• n (AᴜB) — количество элементов, присутствующих в любом из наборов A или B.
• n (A∩B) — количество элементов, присутствующих в обоих наборах A и B.
• n (AᴜB) = n (A) + (n (B) — n (A∩B)

Для трех комплектов A, B и C,

• n (AᴜBᴜC) = n (A) + n (B) + n (C) — n (A∩B) — n (B∩C) — n (C∩A) + n (A∩B∩C )

Рассмотрим следующий пример:

Вопрос: В классе из 100 учеников 35 увлекаются естественными науками, а 45 — математикой.10 нравятся оба. Скольким нравится любой из них, а скольким не нравится ни один из них?

Решение :

Общее количество студентов, n (µ) = 100

Количество студентов, изучающих естественные науки, n (S) = 35

Количество студентов-математиков, n (M) = 45

Количество студентов, которым нравятся оба, n (M∩S) = 10

Количество студентов, которым нравится тот или иной из них,

n (MᴜS) = n (M) + n (S) — n (M∩S)

→ 45 + 35-10 = 70

Количество студентов, которым ничего не нравится = n (µ) — n (MᴜS) = 100 — 70 = 30

Самый простой способ решить проблемы с наборами — это нарисовать диаграммы Венна, как показано ниже.

Как говорится, одна картинка стоит тысячи слов. Одна диаграмма Венна может помочь решить проблему быстрее и сэкономить время. Это особенно верно, когда в проблеме задействовано более двух категорий.

Давайте посмотрим еще несколько решенных примеров.

Задача 1: В классе 30 учеников. Среди них 8 студентов изучают английский и французский языки. Английский язык изучают 18 студентов. Если каждый студент изучает хотя бы один язык, сколько всего студентов изучают французский язык?

Решение :

Диаграмма Венна для этой проблемы выглядит так.

Каждый студент изучает хотя бы один язык. Следовательно, нет никого, кто попадает в категорию «ни то, ни другое».

Итак, в этом случае n (EᴜF) = n (µ).

В задаче упоминается, что всего 18 изучают английский язык. Это НЕ означает, что 18 изучают ТОЛЬКО английский язык. Только когда в задаче упоминается слово «только», мы должны считать это так.

Сейчас 18 изучают английский язык, а 8 — оба. Это означает, что 18-8 = 10 изучают ТОЛЬКО английский.

n (µ) = 30, n (E) = 10

n (EᴜF) = n (E) + n (F) — n (E∩F)

30 = 18+ n (Ж) — 8

п (Ж) = 20

Таким образом, общее количество студентов, изучающих французский язык = 20.

Примечание : Вопрос касался только общего числа студентов, изучающих французский язык, а не тех, кто изучает ТОЛЬКО французский язык, что было бы другим ответом, 12.

Наконец, диаграмма Венна выглядит так.

Задача 2: Среди студентов 50 играли в крикет, 50 играли в хоккей и 40 играли в волейбол.15 играли в крикет и хоккей, 20 играли в хоккей и волейбол, 15 играли в крикет и волейбол и 10 играли во все три. Если каждый учащийся сыграл хотя бы одну игру, найдите количество учеников и сколько из них играли только в крикет, только в хоккей и только в волейбол?

Решение :

n (C) = 50, n (H) = 50, n (V) = 40

п (C∩H) = 15

п (H∩V) = 20

п (C∩V) = 15

п (C∩H∩V) = 10

Количество учащихся, сыгравших хотя бы одну игру

n (CᴜHᴜV) = n (C) + n (H) + n (V) — n (C∩H) — n (H∩V) — n (C∩V) + n (C∩H∩V)

= 50 + 50 + 40-15-20-15 + 10

Общее количество студентов = 100.

Позвольте обозначить количество людей, которые играли только в крикет и волейбол.
Пусть b обозначает количество людей, которые играли только в крикет и хоккей.
Пусть c обозначает количество людей, которые играли только в хоккей и волейбол.
Пусть d обозначает количество людей, сыгравших во все три игры.

Соответственно d = n (CnHnV) = 10

Теперь, n (CnV) = a + d = 15

п (CnH) = b + d = 15

п (HnV) = c + d = 20

Следовательно, a = 15–10 = 5 [только крикет и волейбол]

b = 15–10 = 5 [только крикет и хоккей]

c = 20–10 = 10 [только хоккей и волейбол]

№студентов, которые играли только в крикет = n (C) — [a + b + d] = 50 — (5 + 5 + 10) = 30

Количество учеников, которые играли только в хоккей = n (H) — [b + c + d] = 50 — (5 + 10 + 10) = 25

Количество учеников, которые играли только в волейбол = n (V) — [a + c + d] = 40 — (10 + 5 + 10) = 15

В качестве альтернативы мы можем решить эту проблему быстрее с помощью диаграммы Венна.

Диаграмма Венна для данной информации выглядит так.

Вычитание значений на пересечениях из отдельных значений дает нам количество учащихся, сыгравших только одну игру.

Тест по теории множеств: решите эти задачи на практике

Проблема 1

В группе было 115 человек, удостоверения личности которых проверялись. У некоторых был паспорт, у некоторых были удостоверения личности избирателя, а у некоторых и то, и другое. Если у 65 был паспорт, а у 30 были оба, у скольких из них были только удостоверения личности избирателя, а не паспорт?

A. 30
B. 50
C. 80
D. Ничего из вышеперечисленного

Ответ 1

Б.

Пояснение

Построим диаграмму Венна для данной информации.

n (PᴜV) = n (P) + n (V) — n (P∩V)

115 = 65 + n (В) — 30

п (В) = 80

Люди с только идентификатором избирателя = 80-30 = 50

Задача 2

Среди группы людей 40% любили красный, 30% — синий и 30% — зеленый. 7% понравились и красный, и зеленый, 5% понравились и красный, и синий, 10% понравились и зеленый, и синий. Если 86% из них понравился хотя бы один цвет, какой процент людей понравились все три?

А.10
B. 6
C. 8
D. Нет

Ответ 2

C.

Пояснение :

n (RᴜBᴜG) = n (R) + n (B) + n (G) — n (R∩B) — n (B∩G) — n (R∩G) + n (R∩G∩B)

86 = 40 + 30 + 30-5-10-7 + n (R∩G∩B)

Решение дает 8.

.

No related posts.