Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: электрическая ёмкость, конденсатор, энергия электрического поля конденсатора.

Предыдущие две статьи были посвящены отдельному рассмотрению того, каким образом ведут себя в электрическом поле проводники и каким образом — диэлектрики. Сейчас нам понадобится объединить эти знания. Дело в том, что большое практическое значение имеет совместное использование проводников и диэлектриков в специальных устройствах — конденсаторах.

Но прежде введём понятие электрической ёмкости.

Ёмкость уединённого проводника

Предположим, что заряженный проводник расположен настолько далеко от всех остальных тел, что взаимодействие зарядов проводника с окружающими телами можно не принимать во внимание. В таком случае проводник называется уединённым.

Потенциал всех точек нашего проводника, как мы знаем, имеет одно и то же значение , которое называется потенциалом проводника. Оказывается, что потенциал уединённого проводника прямо пропорционален его заряду. Коэффициент пропорциональности принято обозначать , так что

Величина называется электрической ёмкостью проводника и равна отношению заряда проводника к его потенциалу:

(1)

Например, потенциал уединённого шара в вакууме равен:

где — заряд шара, — его радиус. Отсюда ёмкость шара:

(2)

Если шар окружён средой-диэлектриком с диэлектрической проницаемостью , то его потенциал уменьшается в раз:

Соответственно, ёмкость шара в раз увеличивается:

(3)

Увеличение ёмкости при наличии диэлектрика — важнейший факт. Мы ещё встретимся с ним при рассмотрении конденсаторов.

Из формул (2) и (3) мы видим, что ёмкость шара зависит только от его радиуса и диэлектрической проницаемости окружающей среды. То же самое будет и в общем случае: ёмкость уединённого проводника не зависит от его заряда; она определяется лишь размерами и формой проводника, а также диэлектрической проницаемостью среды, окружающей проводник. От вещества проводника ёмкость также не зависит.

В чём смысл понятия ёмкости? Ёмкость показывает, какой заряд нужно сообщить проводнику, чтобы увеличить его потенциал на В. Чем больше ёмкость — тем, соответственно, больший заряд требуется поместить для этого на проводник.

Единицей измерения ёмкости служит фарад (Ф). Из определения ёмкости (1) видно, что Ф = Кл/В.

Давайте ради интереса вычислим ёмкость земного шара (он является проводником!). Радиус считаем приближённо равным км.

мкФ.

Как видите, Ф — это очень большая ёмкость.

Единица измерения ёмкости полезна ещё и тем, что позволяет сильно сэкономить на обозначении размерности диэлектрической постоянной . В самом деле, выразим из формулы (2):

Следовательно, диэлектрическая постоянная может измеряться в Ф/м:

Ф.

Так легче запомнить, не правда ли?

Ёмкость плоского конденсатора

Ёмкость уединённого проводника на практике используется редко. В обычных ситуациях проводники не являются уединёнными. Заряженный проводник взаимодействует с окружающими телами и наводит на них заряды, а потенциал поля этих индуцированных зарядов (по принципу суперпозиции!) изменяет потенциал самого проводника. В таком случае уже нельзя утверждать, что потенциал проводника будет прямо пропорционален его заряду, и понятие ёмкости проводника самого по себе фактически утрачивает смысл.

Можно, однако, создать систему заряженных проводников, которая даже при накоплении на них значительного заряда почти не взаимодействует с окружающими телами. Тогда мы сможем снова говорить о ёмкости — но на сей раз о ёмкости этой системы проводников.

Наиболее простым и важным примером такой системы является плоский конденсатор. Он состоит из двух параллельных металлических пластин (называемых обкладками), разделённых слоем диэлектрика. При этом расстояние между пластинами много меньше их собственных размеров.

Для начала рассмотрим воздушный конденсатор, у которого между обкладками находится воздух

Пусть заряды обкладок равны и . Именно так и бывает в реальных электрических схемах: заряды обкладок равны по модулю и противоположны по знаку. Величина — заряд положительной обкладки — называется

Пусть — площадь каждой обкладки. Найдём поле, создаваемое обкладками в окружающем пространстве.

Поскольку размеры обкладок велики по сравнению с расстоянием между ними, поле каждой обкладки вдали от её краёв можно считать однородным полем бесконечной заряженной плоскости:

Здесь — напряжённость поля положительной обкладки, — напряженность поля отрицательной обкладки, — поверхностная плотность зарядов на обкладке:

На рис. 1 (слева) изображены векторы напряжённости поля каждой обкладки в трёх областях: слева от конденсатора, внутри конденсатора и справа от конденсатора.

Рис. 1. Электрическое поле плоского конденсатора

Согласно принципу суперпозиции, для результирующего поля имеем:

Нетрудно видеть, что слева и справа от конденсатора поле обращается в нуль (поля обкладок погашают друг друга):

Внутри конденсатора поле удваивается:

или

(4)

Результирующее поле обкладок плоского конденсатора изображено на рис. 1 справа. Итак:

Внутри плоского конденсатора создаётся однородное электрическое поле, напряжённость которого находится по формуле (4). Снаружи конденсатора поле равно нулю, так что конденсатор не взаимодействует с окружающими телами.

Не будем забывать, однако, что данное утверждение выведено из предположения, будто обкладки являются бесконечными плоскостями. На самом деле их размеры конечны, и вблизи краёв обкладок возникают так называемые краевые эффекты: поле отличается от однородного и проникает в наружное пространство конденсатора. Но в большинстве ситуаций (и уж тем более в задачах ЕГЭ по физике) краевыми эффектами можно пренебречь и действовать так, словно утверждение, выделенное курсивом, является верным без всяких оговорок.

Пусть расстояние между обкладками конденсатора равно . Поскольку поле внутри конденсатора является однородным, разность потенциалов между обкладками равна произведению на (вспомните связь напряжения и напряжённости в однородном поле!):

(5)

Разность потенциалов между обкладками конденсатора, как видим, прямо пропорциональна заряду конденсатора. Данное утверждение аналогично утверждению «потенциал уединённого проводника прямо пропорционален заряду проводника», с которого и начался весь разговор о ёмкости. Продолжая эту аналогию, определяем ёмкость конденсатора как отношение заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками:

(6)

Ёмкость конденсатора показывает, какой заряд ему нужно сообщить, чтобы разность потенциалов между его обкладками увеличилась на В. Формула (6), таким образом, является модификацией формулы (1) для случая системы двух проводников — конденсатора.

Из формул (6) и (5) легко находим ёмкость плоского воздушного конденсатора:

(7)

Она зависит только от геометрических характеристик конденсатора: площади обкладок и расстояния между ними.
Предположим теперь, что пространство между обкладками заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Как изменится ёмкость конденсатора?

Напряжённость поля внутри конденсатора уменьшится в раз, так что вместо формулы (4) теперь имеем:

(8)

Соответственно, напряжение на конденсаторе:

(9)

Отсюда ёмкость плоского конденсатора с диэлектриком:

(10)

Она зависит от геометрических характеристик конденсатора (площади обкладок и расстояния между ними) и от диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего конденсатор.

Важное следствие формулы (10): заполнение конденсатора диэлектриком увеличивает его ёмкость.

Энергия заряженного конденсатора

Заряженный конденсатор обладает энергией. В этом можно убедиться на опыте. Если зарядить конденсатор и замкнуть его на лампочку, то (при условии, что ёмкость конденсатора достаточно велика) лампочка ненадолго загорится.

Следовательно, в заряженном конденсаторе запасена энергия, которая и выделяется при его разрядке. Нетрудно понять, что этой энергией является потенциальная энергия взаимодействия обкладок конденсатора — ведь обкладки, будучи заряжены разноимённо, притягиваются друг к другу.

Мы сейчас вычислим эту энергию, а затем увидим, что существует и более глубокое понимание происхождения энергии заряженного конденсатора.

Начнём с плоского воздушного конденсатора. Ответим на такой вопрос: какова сила притяжения его обкладок друг к другу? Величины используем те же: заряд конденсатора , площадь обкладок .

Возьмём на второй обкладке настолько маленькую площадку, что заряд этой площадки можно считать точечным. Данный заряд притягивается к первой обкладке с силой

где — напряжённость поля первой обкладки:

Следовательно,

Направлена эта сила параллельно линиям поля (т. е. перпендикулярно пластинам).

Результирующая сила притяжения второй обкладки к первой складывается из всех этих сил , с которыми притягиваются к первой обкладке всевозможные маленькие заряды второй обкладки. При этом суммировании постоянный множитель вынесется за скобку, а в скобке просуммируются все и дадут . В результате получим:

(11)

Предположим теперь, что расстояние между обкладками изменилось от начальной величины до конечной величины . Сила притяжения пластин совершает при этом работу:

Знак правильный: если пластины сближаются , то сила совершает положительную работу, так как пластины притягиваются друг к другу. Наоборот, если удалять пластины , то работа силы притяжения получается отрицательной, как и должно быть.

С учётом формул (11) и (7) имеем:

где

Это можно переписать следующим образом:

где

(12)

Работа потенциальной силы притяжения обкладок оказалась равна изменению со знаком минус величины . Это как раз и означает, что — потенциальная энергия взаимодействия обкладок, или энергия заряженного конденсатора.

Используя соотношение , из формулы (12) можно получить ещё две формулы для энергии конденсатора (убедитесь в этом самостоятельно!):

(13)

(14)

Особенно полезными являются формулы (12) и (14).

Допустим теперь, что конденсатор заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Сила притяжения обкладок уменьшится в раз, и вместо (11) получим:

При вычислении работы силы , как нетрудно видеть, величина войдёт в ёмкость , и формулы (12) — (14) останутся неизменными. Ёмкость конденсатора в них теперь будет выражаться по формуле (10).

Итак, формулы (12) — (14) универсальны: они справедливы как для воздушного конденсатора, так и для конденсатора с диэлектриком.

Энергия электрического поля

Мы обещали, что после вычисления энергии конденсатора дадим более глубокое истолкование происхождения этой энергии. Что ж, приступим.

Рассмотрим воздушный конденсатор и преобразуем формулу (14) для его энергии:

Но — объём конденсатора. Получаем:

(15)

Посмотрите внимательно на эту формулу. Она уже не содержит ничего, что являлось бы специфическим для конденсатора! Мы видим энергию электрического поля , сосредоточенного в некотором объёме .

Энергия конденсатора есть не что иное, как энергия заключённого внутри него электрического поля.

Итак, электрическое поле само по себе обладает энергией. Ничего удивительного для нас тут нет. Радиоволны, солнечный свет — это примеры распространения энергии, переносимой в пространстве электромагнитными волнами.

Величина — энергия единицы объёма поля — называется объёмной плотностью энергии. Из формулы (15) получим:

(16)

В этой формуле не осталось вообще никаких геометрических величин. Она даёт максимально чистую связь энергии электрического поля и его напряжённости.

Если конденсатор заполнен диэлектриком, то его ёмкость увеличивается в раз, и вместо формул (15) и (16) будем иметь:

(17)

(18)

Как видим, энергия электрического поля зависит ещё и от диэлектрической проницаемости среды, в которой поле находится.
Замечательно, что полученные формулы для энергии и плотности энергии выходят далеко за пределы электростатики: они справедливы не только для электростатического поля, но и для электрических полей, меняющихся во времени.

Ёмкость сферического конденсатора | Все Формулы

Электроемкость сферического конденсатора — характеристика плоского конденсатора, мера его способности накапливать электрический заряд.

Чтобы найти емкость сферического конденсатора, который состоит из двух концентрических обкладок, разделенных сферическим слоем диэлектрика, используем формулу для разности потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 (r2 > r1) от центра заряженной сферической поверхности. При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов будет выглядеть так:

Подставим данное выражение в формулу электроемкости конденсатора и получим емкость конденсатора для сферического тела:

При малой величине зазора, то есть

, а следовательно можно считать, что

емкость сферического конденсатора будет равна

Площадь сферы

следовательно формула будет совпадать с формулой емкости плоского конденсатора

Так же есть:

Энергия конденсатора:

Ёмкость конденсатора :

Ёмкость цилиндрического конденсатора :

Емкость плоского конденсатора :

В Формуле мы использовали :

C — Электроемкость сферического конденсатора

— Относительная диэлектрическая проницаемость

— Электрическая постоянная

— Больший радиус (от центра, до края конденсатора)

— Малый радиус (Его может и не быть — это пустота)

Формула емкости конденсатора, С

Если q – величина заряда одной из обкладок конденсатора, а – разность потенциалов между его обкладками, то величина C, равная:

называется емкостью конденсатора. Это постоянная величина, которая зависит то размеров и устройства конденсатора.

Рассмотрим два одинаковых конденсатора, разница между которым заключается только в том, что между обкладками одного вакуум (или часто говорят воздух), между обкладками другого находится диэлектрик. В таком случае при равных зарядах на конденсаторах разность потенциалов воздушного конденсатора будет в раз меньше, чем между обкладками второго. Значит емкость конденсатора с диэлектриком (C) в раз больше, чем воздушного ():

где – диэлектрическая проницаемость диэлектрика.

За единицу емкости конденсатора принимают емкость такого конденсатора, который единичным зарядом (1 Кл) заряжается до разности потенциалов, равной одному вольту (в СИ). Единицей емкости конденсатора (как и любой эклектической емкости) в международной системе единиц (СИ) служит фарад (Ф).

Формула электрической емкости плоского конденсатора

Поле между обкладками плоского конденсатора обычно считают однородным. Его однородность нарушается только около краев. При вычислении емкости плоского конденсатора этими краевыми эффектами часто пренебрегают. Это следует делать, если расстояние между пластинами мало в сравнении с их линейными размерами. Для расчета емкости плоского конденсатора применяют формулу:

где – электрическая постоянная; S – площадь каждой (или наименьшей) пластины; d – расстояние между пластинами.

Электрическая емкость плоского конденсатора, который содержит N слоев диэлектрика толщина каждого , соответствующая диэлектрическая проницаемость i-го слоя , равна:

Формула электрической емкости цилиндрического конденсатора

Цилиндрический конденсатор представляется собой две соосных (коаксиальных) цилиндрические проводящие поверхности, разного радиуса, пространство между которыми заполняет диэлектрик. Электрическая емкость цилиндрического конденсатора вычисляется как:

где l – высота цилиндров; – радиус внешней обкладки; – радиус внутренней обкладки.

Формула электрической емкости сферического конденсатора

Сферическим конденсатором называют конденсатор, обкладками которого являются две концентрические сферические проводящие поверхности, пространство между ними заполнено диэлектриком. Емкость такого конденсатора находят как:

где – радиусы обкладок конденсатора.

Примеры решения задач по теме «Емкость конденсатора»

Формула электроемкости конденсатора

Обкладки должны иметь такую форму и быть расположены так относительно друг друга, что поле, которое создается данной системой, было максимально сосредоточено в ограниченной области пространства, между обкладками.

Назначение конденсатора в том, чтобы накапливать и отдавать в электрической цепи заряд.

Основной характеристикой конденсатора является электрическая емкость (C). Электрическая емкость конденсатора – это взаимная емкость принадлежащих ему обкладок:

q – величина заряда на обкладке; – разность потенциалов между обкладками.

Электрическая ёмкость конденсатора зависит от диэлектрической проницаемости диэлектрика, который заполняет пространство между его обкладками. Если пространство между обкладками одного конденсатора заполнено диэлектриком с проницаемостью равной , а у второго конденсатора воздух между пластинами, то емкость конденсатора с диэлектриком (C) в раз больше, чем емкость воздушного конденсатора ():

Формула электроемкости основных типов конденсаторов

При расчете электроемкости плоского конденсатора нарушением однородности поля около краёв обкладок обычно пренебрегают. Это становится возможным, если расстояние между пластинами существенно меньше, чем линейные размеры обкладок. В таком случае электрическую емкость плоского конденсатора вычисляют при помощи формулы:

где – электрическая постоянная; S – площадь каждой (или наименьшей) пластины; d – расстояние между пластинами.

Если плоский конденсатор между обкладками имеет N слоев диэлектрика, при этом толщина каждого слоя равна , а диэлектрическая проницаемость , то его электрическую емкость рассчитывают при помощи формулы:

Цилиндрический конденсатор составляют две соосных (коаксиальных) цилиндрические проводящие поверхности, разного радиуса, пространство между которыми заполнено диэлектриком. При этом емкость цилиндрического конденсатора находят как:

где l – высота цилиндров; – радиус внешней обкладки; – радиус внутренней обкладки.

У сферического конденсатора обкладками служат две концентрические сферические проводящие поверхности, пространство обкладками заполняет диэлектрик. Емкость сферического конденсатора вычисляют как:

где – радиусы обкладок конденсатора. Если , то можно считать, что , тогда, мы имеем:

так как – площадь поверхности сферы, и если обозначить , то получим формулу для емкости плоского конденсатора (3). Если расстояние между обкладками сферического и цилиндрического конденсаторов малы (в сравнении с их радиусами), то в приближенных расчетах используют формулу емкости для плоского конденсатора.

Электрическую емкость для линии из двух проводов находят как:

где d – расстояние между осями проводов; R – радиус проводов; l – длина линии.

Формулы для вычисления электрической емкости соединений конденсаторов

Если конденсаторы соединены параллельно, то суммарная емкость батареи (C) находится как сумма емкостей отдельных конденсаторов ():

При последовательном соединении конденсаторов емкость батареи вычисляют как:

Если последовательно соединены N конденсаторов, с емкостями то емкость батареи найдем как:

Сопротивление конденсатора

Если конденсатор включен в цепь с постоянного тока, то сопротивление конденсатора можно считать бесконечно большим.

При включении конденсатора в цепь переменного тока, его сопротивление носит название емкостного, и вычисляют его с помощью формулы:

где – частота переменного тока; – угловая частота тока; C – емкость конденсатора.

Энергия поля конденсатора

Электрическое поле локализованное между пластинами конденсатора обладает энергией, которую можно вычислить при помощи формулы:

где –энергия поля конденсатора; q – заряд конденсатора; C – емкость конденсатора; – разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Энергия поля плоского конденсатора:

Примеры решения задач по теме «Электроемкость конденсатора»

Теория по физике для ЕГЭ, пособия по подготовке и справочные материалы в Москве

Проводники и диэлектрики в электростатическом поле. Диэлектрическая проницаемость вещества. Электроемкость. Конденсаторы. Поле плоского конденсатора. Электроемкость плоского конденсатора. Последовательное и параллельное соединение конденсаторов. Энергия заряженного конденсатора.

Проводники и диэлектрики в электростатическом поле

Вещества в природе можно разделить на проводники и диэлектрики.

Основная особенность — наличие свободных зарядов (электронов), которые участвуют в тепловом движении и могут перемещаться по всему объему проводника.

Типичные проводники — металлы.

Диэлектрическая проницаемость вещества

В отсутствие внешнего поля в любом элементе объема проводника отрицательный свободный заряд компенсируется положительным зарядом ионной решетки. В проводнике, внесенном в электрическое поле, происходит перераспределение свободных зарядов, в результате чего на поверхности проводника возникают нескомпенсированные положительные и отрицательные заряды. Этот процесс называют электростатической индукцией, а появившиеся на поверхности проводника заряды — индукционными зарядами.

В отличие от проводников, в диэлектриках (изоляторах) нет свободных электрических зарядов. Они состоят из нейтральных атомов или молекул. Заряженные частицы в нейтральном атоме связаны друг с другом и не могут перемещаться под действием электрического поля по всему объему диэлектрика.

Физическая величина, равная отношению модуля напряженности \(\vec{E}_0\) внешнего электрического поля в вакууме к модулю напряженности \(\vec{E}\) полного поля в однородном диэлектрике, называется диэлектрической проницаемостью вещества \(\varepsilon\).

\[\varepsilon=\dfrac{\vec{E}_0}{\vec{E}}\]

Электроемкостью системы из двух проводников называется физическая величина, определяемая как отношение заряда \(q\) одного из проводников к разности потенциалов \(\Delta \varphi\) между ними:

\[\fbox{$C=\dfrac{q}{\Delta \varphi}$}\]

Единицы измерения: \(\displaystyle [\text{Ф}]\) (фарад).

Величина электроемкости зависит от формы и размеров проводников и от свойств диэлектрика, разделяющего проводники.

Существуют такие конфигурации проводников, при которых электрическое поле оказывается сосредоточенным (локализованным) лишь в некоторой области пространства. Такие системы называются конденсаторами, а проводники, составляющие конденсатор, — обкладками.

Плоский конденсатор — система из двух плоских проводящих пластин, расположенных параллельно друг другу на малом по сравнению с размерами пластин расстоянии и разделенных слоем диэлектрика.

Электроемкость плоского конденсатора

Разность потенциалов \(\Delta \varphi\) между пластинами в однородном электрическом поле равна \(Ed\), где \(d\) — расстояние между пластинами. Из этих соотношений можно получить формулу для электроемкости плоского конденсатора:

\[C=\dfrac{q}{\Delta \varphi}=\dfrac{\sigma S}{Ed}=\dfrac{\varepsilon_0S}{d}\]

Таким образом, электроемкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин (обкладок) и обратно пропорциональна расстоянию между ними. Если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, электроемкость конденсатора увеличивается в \(\varepsilon\) раз:

\[\fbox{$C=\dfrac{\varepsilon_0\varepsilon S}{d}$}\]

Электрическое поле плоского конденсатора в основном локализовано между пластинами; однако, вблизи краев пластин и в окружающем пространстве также возникает сравнительно слабое электрическое поле, которое называют

полем рассеяния. В целом ряде задач приближенно можно пренебрегать полем рассеяния и полагать, что электрическое поле плоского конденсатора целиком сосредоточено между его обкладками.

Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

Для достижения нужной емкости или при напряжении, превышающем номинальное напряжение, конденсаторы, могут соединяться последовательно или параллельно. Любое же сложное соединение состоит из нескольких комбинаций последовательного и параллельного соединений.

• Последовательное соединение конденсаторов

  При последовательном соединении, конденсаторы подключены таким образом, что только первый и последний конденсатор подключены к источнику тока одной из своих пластин. Заряд одинаков на всех пластинах, но внешние заряжаются от источника, а внутренние образуются только за счет разделения зарядов ранее нейтрализовавших друг друга. При этом заряд конденсаторов в батарее меньше, чем, если бы каждый конденсатор подключался бы отдельно. Следовательно, и общая емкость батареи конденсаторов меньше.

  Напряжение на данном участке цепи соотносятся следующим образом:

  \[\fbox{$U=U_1+U_2$}\]

  Зная, что напряжение конденсатора можно представить через заряд и емкость, запишем:

  \[\dfrac{q}{C}=\dfrac{q}{C_1}+\dfrac{q}{C_2}\]

  Сократив выражение на \(Q\), получим формулу:

  \[\fbox{$\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}$}\]

  Откуда эквивалентная емкость батареи конденсаторов соединенных последовательно:

  \[\fbox{$C=\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}$}\]

• Параллельное соединение конденсаторов

  При параллельном соединении конденсаторов напряжение на обкладках одинаковое, а заряды разные.

  Величина общего заряда полученного конденсаторами, равна сумме зарядов всех параллельно подключенных конденсаторов. В случае батареи из двух конденсаторов:

  \[\fbox{$q=q_1+q_2$}\]

  Так как заряд конденсатора

  \[q=CU\]

  А напряжения на каждом из конденсаторов равны, получаем следующее выражение для эквивалентной емкости двух параллельно соединенных конденсаторов

  \[CU=C_1U+C_2U\]

  \[\fbox{$C=C_1+C_2$}\]

• По сути, расчет общей емкости конденсаторов схож с расчетом общего сопротивления цепи в случае с последовательным или параллельным соединением, но при этом, зеркально противоположен.

Энергия заряженного конденсатора

Заряженный конденсатор обладает энергией. В этом можно убедиться на опыте. Если зарядить конденсатор и замкнуть его на лампочку, то (при условии того, что ёмкость конденсатора достаточно велика) лампочка ненадолго загорится. Следовательно, в заряженном конденсаторе запасена энергия, которая и выделяется при его разрядке.

Вычислим эту энергию: начнём с плоского воздушного конденсатора.

Ответим на такой вопрос: какова силу притяжения его обкладок друг к другу. Величины используем следующие: заряд конденсатора \(q\), площадь обкладок \(S\). Возьмём на второй обкладке настолько маленькую площадку, что заряд \(q_0\) этой площадки можно считать точечным. Данный заряд притягивается к первой обкладке с силой

\[F_0 = q_0E_1,\]

где \(E_1\) — напряжённость поля первой обкладки:

\[E_1=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\dfrac{q}{2\varepsilon_0S}\]

Значит

\[F_0=\dfrac{qq_0}{2\varepsilon_0S}\]

Направлена эта сила параллельно линиям поля (т.е. перпендикулярно пластинам). Результирующая сила \(F\) притяжения второй обкладки к первой складывается из всех этих сил \(F_0\), с которыми притягиваются к первой обкладке всевозможные маленькие заряды \(q_0\) второй обкладки. При этом суммировании постоянный множитель \(\displaystyle\dfrac{q}{2\varepsilon_0S}\) вынесется за скобку, а в скобке просуммируются все \(q_0\) и дадут \(q\). В результате получим

\[F=\dfrac{q^2}{2\varepsilon_0S}\]

Предположим теперь, что расстояние между обкладками изменилось от начальной величины \(d_1\) до конечной величины \(d_2\). Сила притяжения пластин совершает при этом работу \[A = F(d_1 -d_2)\]

Знак правильный: если пластины сближаются \((d_2 < d_1)\), то сила совершает положительную работу, так как пластины притягиваются друг к другу. Наоборот, если удалять пластины \((d_2 > d_1)\), то работа силы притяжения получается отрицательной, как и должно быть.

Получаем

\[A=\dfrac{q^2}{2\varepsilon_0S}(d_1-d_2)=\dfrac{q^2d_1}{2\varepsilon_0S}-\dfrac{q^2d_2}{2\varepsilon_0S}=\dfrac{q^2}{2C_1}-\dfrac{q^2}{2C_2}=W_1-W_2\]

Это можно переписать следующим образом: \[A =-(W_2-W_1) =-\Delta W,\]

где \[\fbox{$W=\dfrac{q^2}{2C}$}, (1)\]

Работа потенциальной силы \(F\) притяжения обкладок оказалась равна изменению со знаком минус величины \(W\). Это как раз и означает, что \(W\) — потенциальная энергия взаимодействия обкладок, или энергия заряженного конденсатора. Используя соотношение \(q = CU\), можно получить ещё две формулы для энергии конденсатора (проделать это самостоятельно).

\[\fbox{$W=\dfrac{qU}{2}$}, (2)\]

\[\fbox{$W=\dfrac{CU^2}{2}$}, (3)\]

Формулы (1)—(3) универсальны: они справедливы как для воздушного конденсатора, так и для конденсатора с диэлектриком.

Конденсаторы и формулы для расчета емкости Уравнения

Конденсаторы используются пассивные устройства в электронных схемах для хранения энергии в виде электрического поля. Они являются комплиментом индукторы, которые хранят энергию в форме магнитного поля. Идеальный конденсатор является эквивалентом разомкнутой цепи (бесконечные омы) для постоянного тока (DC), и представляет импеданс (реактивное сопротивление) для переменные токи (переменный ток), которые зависят от частоты тока (или напряжения).Реактивное сопротивление (противодействие току Поток) конденсатора обратно пропорционален частоте сигнала, действующего на него. Конденсаторы были изначально упоминается как «конденсаторы» по причине, которая восходит к временам лейденской банки, где считались электрические заряды накапливаться на пластинах в процессе конденсации.

Свойство емкости, которое противодействует изменению напряжения, используется для проведения сигналов с высокочастотная составляющая при одновременном предотвращении прохождения сигналов низкочастотных составляющих.Общее применение Конденсатор в радиочастотной (RF) цепи — это то место, где присутствует напряжение смещения постоянного тока, которое необходимо заблокировать, чтобы оно не присутствовало в цепи, позволяя проходить РЧ сигнал. Источники питания постоянного тока используют большие значения емкости параллельно с выходом клеммы для сглаживания пульсаций низких частот из-за выпрямления и / или переключения сигналов.

При использовании последовательно (левый чертеж) или параллельно (правый чертеж) со своими схема комплимента, индуктор, комбинация индуктор-конденсатор образует цепь, которая резонирует на определенной частоте это зависит от значений каждого компонента.В последовательной цепи полное сопротивление течению тока на резонансной частоте ноль с идеальными компонентами. В параллельной цепи (справа) полное сопротивление для протекания тока бесконечно с идеальными компонентами.

Реальные конденсаторы, изготовленные из физических компонентов, показывают больше, чем просто емкость, когда присутствует в цепи переменного тока. Модель симулятора общей схемы показана слева. Он включает в себя фактический идеальный конденсатор с параллельным резистивным компонент («утечка»), который реагирует на переменный ток.Эквивалентный постоянный резистивный компонент («ESR») последовательно с идеальным конденсатором и эквивалентным последовательным индуктивным компонентом («ESL») присутствует в связи с металлическими выводами (если есть) и характеристиками поверхностей пластины. Эта индуктивность в сочетании с емкостью создает резонансную частоту, на которой конденсатор выглядит как чистое сопротивление.

По мере того, как рабочая частота увеличивается за пределами резонанса (она же само-резонансная частота, или SRF), схема ведет себя как индуктивность, а не как емкость.Следовательно, тщательное рассмотрение SRF требуется, когда Выбор конденсаторов. Симуляторы типа SPICE используют эту или даже более сложную модель для более точных расчетов в широком диапазоне частот.

Уравнения для объединения конденсаторов последовательно и параллельно приведены ниже. Дополнительные уравнения приведены для конденсаторов различных конфигураций. Как показывают эти цифры и формулы, емкость является мерой способности двух поверхностей. хранить электрический заряд.Отделенный и изолированный диэлектриком (изолятором), положительный заряд накапливается на одна поверхность и чистый отрицательный заряд хранятся на другой поверхности. В идеальном конденсаторе заряд будет храниться бесконечно; однако конденсаторы реального мира постепенно теряют заряд из-за токов утечки через неидеальный диэлектрик.

Общая емкость последовательно соединенных конденсаторов равна обратной сумма обратных величин отдельных емкостей.Держите единицы постоянными. Емкость (C, в Фарадах) двух параллельных пластин равной площади является произведением площади (A, в метрах) одной пластины, расстояние (d, в метрах), разделяющее пластины, и диэлектрическая проницаемость (ε, в Фарадах на метр) пространства отделяя тарелки. ε, общая диэлектрическая проницаемость, является произведением диэлектрической проницаемости свободного пространства, ε 0 , и относительная диэлектрическая проницаемость материала, ε r .Обратите внимание, что единицы длины и площади могут быть метрическими или английский, если они последовательны. Коэффициент рассеивания (DF), также известный как тангенс потери (tan δ), взаимозаменяемо определяется как обратный коэффициент качества (QF) или отношение эквивалентного последовательного сопротивления (ESR) и емкостного сопротивления (X C ).Это мера степени потери накопленного заряда. DF обычно используется в низкочастотных приложениях, а tan δ чаще используется в высокочастотных приложениях.

Общая емкость параллельно подключенных конденсаторов равна сумме отдельных емкости. Держите единицы постоянными. Следующие физические константы и механические размерные переменные применяются к уравнениям на этой странице.Единицы для уравнений показаны в квадратных скобках в конце уравнений; например, означает, что длина в дюймах, а индуктивность в Генри. Если никакие единицы не указаны, то могут использоваться любые, если они согласованы для всех объектов; все метры, все мкФ, и т. д. C = Емкость L = Индуктивность Вт = Энергия ε r = Относительная диэлектрическая проницаемость (безразмерная) ε 0 = 8,85 x 10 -12 Ф / м (диэлектрическая проницаемость свободного пространства) µ r = Относительная проницаемость (безразмерная) µ 0 = 4π x 10 -7 H / m (проницаемость свободного пространства) 1 метр = 3.2808 футов <-> 1 фут = 0,3048 метра 1 мм = 0,03937 дюйма <-> 1 дюйм = 25,4 мм Кроме того, точки (не путать с десятичными точками) используются для обозначения умножения во избежание двусмысленности. Емкостное реактивное сопротивление (X C , в Ω) обратно пропорциональна частоте (ω в радианах / с или f в Гц) и емкости (C, в Фарадах).Чистая емкость имеет фазовый угол -90 ° (напряжение отстает от тока с фазовым углом 90 °). заряд (Q, в кулонах) на конденсаторе пластин — это произведение емкости (C, в Фарадах) и напряжения (V, в вольтах) на устройстве. Энергия (Вт, в Джоулях) хранится в конденсаторе это половина произведения емкости (C, в Фарадах) и напряжения (V, в вольтах) на устройстве. Ток действительно протекает через идеальный конденсатор. Скорее, заряд, накопленный на его пластинах, передается подключенной цепи, тем самым облегчая ток течь. И наоборот, чистое напряжение, приложенное к его пластинам, вызывает ток в подключенной цепи, когда заряд накапливается на тарелках. Качественный фактор — безразмерный отношение реактивного сопротивления к сопротивлению в конденсаторе.

Связанные страницы по РФ Кафе
— Конденсаторы и Расчет емкости
— Конденсатор Цветовые коды
— Емкостные преобразования
— Конденсаторные диэлектрики
— Стандартные значения конденсатора
— Поставщики конденсаторов
— Благородное искусство расцепления

,

Емкость конденсатора Формула

Емкость конденсатора — это способность конденсатора накапливать электрический заряд на единицу напряжения на его пластинах конденсатора. Емкость определяется путем деления электрического заряда с напряжением по формуле C = Q / V. Его подразделение — Фарад.

Формула

Его формула имеет вид:

C = Q / V

Где C — емкость, Q — напряжение, а V — напряжение. Мы также можем найти заряд Q и напряжение V, изменив приведенную выше формулу следующим образом:

Q = CV

V = Q / C

Фарад — это единица измерения емкости.Один Фарад — это величина емкости, когда один кулон заряда хранится с одним вольт на пластинах.

Большинство конденсаторов, которые используются в работе электроники, имеют значения емкости, которые указаны в микрофарадах (мкФ) и пикофарадах (пФ). Микрофарад — это одна миллионная часть фарада, а пикофарад — одна триллионная часть фарада.

Какие факторы влияют на емкость конденсатора?

Это зависит от следующих факторов:

Площадь пластин

Емкость прямо пропорциональна физическому размеру пластин, определяемому площадью пластинки, A.Чем больше площадь пластины, тем больше емкость и меньше емкость. На фиг. (А) показано, что площадь пластины конденсатора с параллельными пластинами — это площадь одной из пластин. Если пластины перемещаются относительно друг друга, как показано на рис. (B), площадь перекрытия определяет эффективную площадь пластины. Это изменение эффективной площади пластины является основным для определенного типа переменного конденсатора.

Разделение пластин

`Емкость обратно пропорциональна расстоянию между пластинами.Разделение пластин обозначено d, как показано на рис. (А). Большее разделение пластин приводит к меньшей емкости, как показано на рис. (Б). Как обсуждалось ранее, напряжение пробоя прямо пропорционально разделению пластины. Чем дальше пластины разделены, тем больше напряжение пробоя .

Диэлектрическая постоянная материала

Как известно, изоляционный материал между пластинами конденсатора называется диэлектриком. Диэлектрические материалы имеют тенденцию уменьшать напряжение между пластинами для данного заряда и, таким образом, увеличивать емкость.Если напряжение фиксировано, из-за присутствия диэлектрика может накапливаться больше заряда, чем без диэлектрика. Мера способности материала устанавливать электрическое поле называется диэлектрической проницаемостью или относительной диэлектрической проницаемостью, обозначаемой как _r .

Емкость прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости. Диэлектрическая проницаемость вакуума определяется как 1, а диэлектрическая проницаемость воздуха очень близка к 1. Эти значения используются в качестве эталона, и все другие материалы имеют значения ∈r, указанные относительно значения вакуума или воздуха.Например, материал с ∈r = 8 может привести к емкости, в восемь раз большей, чем у воздуха, при прочих равных условиях.

Диэлектрическая проницаемость ∈r безразмерна, поскольку является относительной мерой. Это отношение абсолютной диэлектрической проницаемости материала, ∈r, к абсолютной диэлектрической проницаемости вакуума, ∈ ₀ , выраженное следующей формулой:

∈ _r = ∈ / ∈ ₀

Ниже приведены некоторые общие диэлектрические материалы и типичные диэлектрические постоянные для каждого.Значения могут варьироваться, поскольку они зависят от конкретного состава материала.

Материал Типичные значения rr

• Воздух 1.0
• Тефлон 2.0
• Бумага 2.5
• Масло 4.0
• Слюда 5.0
• Стекло 7.5
• Керамика 1200

Диэлектрическая проницаемость εr безразмерна, поскольку относительная мера.Это отношение абсолютной диэлектрической проницаемости материала, ∈r, к абсолютной диэлектрической проницаемости вакуума, ∈ 0, выраженное следующей формулой:

∈r = ∈ / ∈0

Значение ∈ 0 равно 8,85 × 10-12 ф / м.

Формула емкости в терминах физических параметров

Вы видели, как емкость напрямую связана с площадью пластины, A и диэлектрической проницаемостью, r, и обратно связана с разделением пластины, d. Точная формула для расчета емкости в терминах этих трех величин:

C = A ∈ _r ∈ / d

где ∈ = ∈ _r ∈ ₀ = ∈r (8.85 × 10-12F / м)

Емкость конденсатора с параллельными пластинами

Рассмотрим конденсатор с параллельными пластинами. Размер пластины большой, а расстояние между пластинами очень маленькое, поэтому электрическое поле между пластинами однородно.

Электрическое поле «Е» между конденсаторами с параллельными пластинами равно:

Емкость цилиндрических конденсаторов физика

Рассмотрим цилиндрический конденсатор длиной L, образованный двумя коаксиальными цилиндрами радиусов «а» и « б.Предположим, что L >> b такое, что на концах цилиндров нет краевого поля.

Пусть «q» — заряд в конденсаторе, а «V» — разность потенциалов между пластинами. Внутренний цилиндр заряжен положительно, а внешний цилиндр заряжен отрицательно. Мы хотим выяснить выражение емкости для цилиндрического конденсатора. Для этого рассмотрим цилиндрическую гауссову поверхность радиуса ‘r’, такую ​​что a << b.

Если «Е» — напряженность электрического поля в любой точке цилиндрической гауссовой поверхности, то по закону Гаусса:

Если «V» — разность потенциалов между пластинами, то

Это отношение для емкость цилиндрического конденсатора.

Емкость сферического конденсатора

Емкость изолированного сферического конденсатора

Внешний источник
https://en.wikipedia.org/wiki/Capacitance.Конденсаторы серии

| Формула Калькулятор

— в некоторых случаях конденсаторы могут появляться последовательно, и необходимо иметь возможность рассчитать значение.

---

Учебное пособие по емкости

Включает в себя: Емкость
Конденсаторные формулы Емкостное сопротивление Параллельные конденсаторы Серийные конденсаторы Диэлектрическая проницаемость и относительная диэлектрическая проницаемость Коэффициент рассеяния, тангенс угла потерь, СОЭ Таблица конверсий конденсаторов

---

Есть несколько случаев, когда конденсаторы могут быть установлены последовательно.В некоторых схемах это происходит естественным образом, например, в некоторых генераторах может быть конденсаторный делитель переменного напряжения. В других случаях конденсаторы могут быть установлены последовательно по ряду причин, и некоторые примеры приведены ниже.

Несмотря на то, что наиболее распространенная комбинация состоит в том, чтобы видеть два конденсатора последовательно, можно размещать три или более последовательно.

Конденсаторы серии

формула

Если конденсаторы размещены параллельно, это немного похоже на увеличение размера пластин конденсатора, и, следовательно, значения конденсаторов параллельно можно просто сложить вместе.Если конденсаторы соединены последовательно, их нельзя просто добавить.

Конденсаторы соединены последовательно

Теоретически нет ограничений на количество конденсаторов, которые можно добавлять последовательно. Очевидно, что могут быть практические ограничения, зависящие от применения, места и других физических ограничений.

Когда конденсаторы соединены последовательно, общую емкость можно определить, взяв обратную величину емкости каждого конденсатора и сложив их вместе, чтобы получить обратную величину общей емкости.

1 С Общее количество знак равно 1 С 1 + 1 С 2 + 1 С 3 , , , , ,

Два конденсатора в серии

При вычислении общего случая для значения общей емкости для серии последовательно соединенных конденсаторов, вычисление может быть немного затянуто, если сделано вручную.Как и в большинстве сетей, только два конденсатора размещены последовательно, и можно значительно упростить формулу. Это делает ручные вычисления намного проще.

Два конденсатора соединены последовательно

С Общее количество знак равно С 1 С 2 С 1 + С 2

Конденсаторы в серии калькулятор

Приведенный ниже калькулятор предоставляет общую емкость для двух последовательно соединенных конденсаторов.Емкость может быть введена как Фарад, мкфарад, нанофарад или пикофарад при условии, что для обоих конденсаторов используются одинаковые единицы. Ответ предоставляется в тех же единицах, что и введенные.

Series Конденсаторный калькулятор

Меры предосторожности при использовании конденсаторов в серии

Хотя конденсаторы появляются последовательно в ряде схемных конфигураций, таких как генераторы и тому подобное, конденсаторы могут использоваться последовательно для увеличения рабочего напряжения.

Когда два конденсатора используются последовательно, часто возникает проблема, заключающаяся в том, что оба конденсатора не разделяют напряжение одинаково. Различия в токе утечки возникают между конденсаторами, особенно для конденсаторов, таких как электролитические версии, и это означает, что напряжения на двух конденсаторах могут сильно различаться, и в результате один может подвергаться условиям перенапряжения, которые могут привести к разрушению одного из них. или оба конденсатора. Это может произойти, если два конденсатора были размещены последовательно, чтобы обеспечить увеличение рабочего напряжения.

Разница в токе утечки может легко возникнуть в результате незначительных различий в изготовлении или даже различий в скорости старения двух конденсаторов — ток утечки в электролитических конденсаторах увеличивается со временем, особенно если они не используются.

Два конденсатора соединены последовательно с резисторным делителем напряжения

Чтобы помочь равномерно распределить напряжение между двумя конденсаторами, вокруг конденсаторов в качестве делителя потенциала размещены резисторы высокого значения.Значения могут быть порядка 100 кОм или, возможно, даже немного выше, но достаточно, чтобы напряжения могли надежно делиться на оба конденсатора.

По сути значения двух резисторов должны быть такими, чтобы ток, протекающий через них, был как минимум в десять раз выше, чем ток утечки. Таким образом, напряжение будет распределяться более равномерно между конденсаторами последовательно. Даже когда этот подход применяется, хорошо оставить хороший запас рабочего напряжения, особенно при использовании электролитических конденсаторов.

Подключение конденсаторов последовательно происходит во многих цепях. Знать, как рассчитать общую стоимость, даже если это грубый расчет в вашей голове, очень полезно. Если требуется более точное значение, то он-лайн калькулятор конденсаторов серии может быть очень полезным.

Более основные понятия:
Напряжение Текущий сопротивление емкость Мощность трансформеры РЧ шум Децибел, дБ Q, добротность
Возврат в меню основных понятий., ,

.Формула емкости

Электрическая емкость — это свойство объектов, которые могут удерживать электрический заряд. Конденсатор представляет собой электрический компонент, который возникает в результате создания небольшого зазора между несущими заряд слоями, например конденсатора с параллельными пластинами. Емкость — это собранный заряд, деленный на разность напряжений на конденсаторе. Емкость измеряется в Фарадах ( F ), заряд измеряется в Кулонах ( C ), а напряжение измеряется в Вольтах ( В ).Будьте осторожны, чтобы не перепутать емкость: C , и устройство Кулоны: C .

C = емкость (Фарад, F )

Q = заряд, накопленный на конденсаторе (Coulombs, C )

В = разность напряжений между двумя сторонами конденсатора (Вольт, В )

Формула емкости

Вопросы:

1) В электрической цепи конденсатор удерживает заряд 0,500 C .Разность напряжений на конденсаторе составляет 5,00 В . Что такое емкость?

Ответ: Емкость можно найти по формуле:

C = 0.100 F

Емкость составляет 0,100 F , что также можно записать в миллифарадах: 100 мФ .

2) Заряд, удерживаемый на маленьком конденсаторе с параллельными пластинами, составляет 100 мкКл (микро-кулоны). Разница напряжений на конденсаторе составляет 20.0 мВ (милливольт). Что такое емкость?

Ответ: заряд дается в единицах мкКл . Один микрокулон равен одной миллионной части кулона: 1 мкКл = 1/1000000 С . Напряжение дано в единицах мВ . Один милливольт равен одной тысячной вольта: 1 мВ = 1/1000 В . Используя эти значения, емкость можно найти по формуле:

С = 0.00500 F

Емкость составляет 0,00500 F , что также можно записать в миллифарадах: 5,00 мФ .

No related posts.

Разное