Круговое движение — Википедия
- О разновидности перекрёстков: см. Круговой перекрёсток.
В физике кругово́е движе́ние — это вращательное движение материальной точки или тела, когда ось вращения в выбранной системе отсчёта неподвижна и не проходит через центр тела. В этом случае траектория точки или тела является кругом, круговой орбитой. Оно может быть равномерным (с постоянной угловой скоростью) или неравномерным (с переменной угловой скоростью). Вращение трёхмерного тела вокруг неподвижной оси включает в себя круговое движение каждой его части. Мы можем говорить о круговом движении объекта только если можем пренебречь его размерами, так что мы имеем движение массивной точки на плоскости. Например, центр масс тела может совершать круговое движение.
Примеры кругового движения: искусственный спутник на геосинхронной орбите, камень на верёвке, вращающийся по кругу (см. метание молота), болид, совершающий поворот, электрон, движущийся перпендикулярно постоянному магнитному полю, зубчатое колесо, вращающееся внутри механизма.
Круговое движение является ускоренным, даже если происходит с постоянной угловой скоростью, потому что вектор скорости объекта постоянно меняет направление. Такое изменение направления скорости вызывает ускорение движущегося объекта центростремительной силой, которая толкает движущийся объект по направлению к центру круговой орбиты. Без этого ускорения объект будет двигаться прямолинейно в соответствии с законами Ньютона.
Формулы для равномерного кругового движения[править | править код]
Рис. 1: Взаимосвязи векторов равномерного кругового движения; вектор Ω, представляющий вращение, перпендикулярен к плоскости орбиты.Для движения по кругу радиуса R длина окружности будет C = 2π R. Если период вращения есть
- ω=2πT .{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}\ .}
Скорость движения объекта равна
- v=2πRT=ωR{\displaystyle v\,={\frac {2\pi R}{T}}=\omega R}
Угол поворота θ за время t равен:
- θ=2πtT=ωt{\displaystyle \theta =2\pi {\frac {t}{T}}=\omega t}
Ускорение, вызванное изменением направления скорости, можно найти, если заметить, что скорость совершает полное изменение направления за то же самое время T, за которое объект делает один оборот. Тогда вектор скорости проходит путь длиной 2π v каждые T секунд, или:
- a=2πvT=ω2 R ,{\displaystyle a\,={\frac {2\pi v}{T}}=\omega ^{2}\ R\ ,}
и направлено радиально к центру.
Взаимосвязи векторов показаны на рис. 1. Ось вращения изображена вектором Ω, перпендикулярно плоскости орбиты и имеет величину ω = dθ / dt. Направление вектора Ω выбрано в соответствии с правилом правой руки. По этому соглашению скорость это векторное произведение вида:
- v=Ω×r ,{\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \ ,}
и есть вектор, перпендикулярный как Ω так и r ( t ), направленный по касательной к орбите и имеющий величину ω R. Аналогично, ускорение определяется как:
- a=Ω×v ,{\displaystyle \mathbf {a} ={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} \ ,}
Оно представляет собой вектор, перпендикулярный как Ω так и v ( t ), имеющий величину ω |v| = ω2R и направление строго противоположно к r ( t ).
В простейшем случае скорость, масса и радиус являются постоянными.
Рассмотрим тело массой один килограмм, движущееся по кругу радиуса один метр с угловой скоростью один радиан в секунду.
Теперь рассмотрим тело массы m{\displaystyle m}, движущееся по кругу радиуса r{\displaystyle r} с угловой скоростью w{\displaystyle w};{\displaystyle ;}
В круговом движении полную силу, приложенную к объекту, можно разложить на две составляющие: центростремительную, удерживающую тело на круговой орбите (т. е. меняющую направление вектора скорости), и тангенциальную, направленную по касательной к окружности и вызывающую изменение длины вектора скорости (т. е. меняющую скорость вращения тела по орбите). Величина центростремительной составляющей зависит от мгновенной скорости.
Для примера, когда камень привязан к концу верёвки, то он подвергается воздействию некоторой силы, которую мы можем разложить на радиальную и боковую составляющие. Радиальная направлена к центру (вовнутрь) окружности и вызвана тем, что веревка сопротивляется удлинению. А боковая составляющая определяет будет вращение камня ускоряться или замедляться.
Описание кругового движения в полярных координатах[править | править код]
Траектория кругового движения тела может быть описана в полярной системе координат значениями фиксированного расстояние R от центра орбиты, являющейся точкой отсчёта, и угла ориентации θ (t) от некоторого фиксированного направления (рис. 2). Вектор перемещения r→{\displaystyle {\stackrel {\vec {r}}{}}} является радиальным вектором от полюса до текущего положения:
- r→=Ru^R(t) ,{\displaystyle {\vec {r}}=R{\hat {u}}_{R}(t)\ ,}
где u^R(t){\displaystyle {\hat {u}}_{R}(t)} — единичный вектор, параллельный радиусу в момент t и направленный от полюса. Удобно также ввести единичный вектор, ортогональный к u^R{\displaystyle {\hat {u}}_{R}}, который назовём u^θ{\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }}. Обычно его ориентация выбирается по направлению движения вдоль орбиты.
Скорость является производной перемещения по времени:
- v→=ddtr→(t)=dRdtu^R+Rdu^Rdt .{\displaystyle {\vec {v}}={\frac {d}{dt}}{\vec {r}}(t)={\frac {dR}{dt}}{\hat {u}}_{R}+R{\frac {d{\hat {u}}_{R}}{dt}}\ .}
Поскольку радиус окружности является константой, радиальная составляющая скорости равна нулю. Единичный вектор u^R{\displaystyle {\hat {u}}_{R}} имеет инвариантное по времени значение, так что при изменении времени его конец всегда лежит на окружности единичного радиуса, а угол θ такой же, как у r→(t){\displaystyle {\vec {r}}(t)}. Если произошло малое приращение угла dθ за время dt, тогда u^R{\displaystyle {\hat {u}}_{R}} описывает дугу единичной окружности со значением dθ (см. единичную окружность слева на рис. 2). Следовательно:
- du^Rdt=dθdtu^θ ,{\displaystyle {\frac {d{\hat {u}}_{R}}{dt}}={\frac {d\theta }{dt}}{\hat {u}}_{\theta }\ ,}
где направление изменения должно быть перпендикулярно к u^R{\displaystyle {\hat {u}}_{R}} (или, другими словами, вдоль u^θ{\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }}), поскольку любое изменение du^R{\displaystyle {\hat {u}}_{R}} в направлении u^R{\displaystyle {\hat {u}}_{R}} будет изменять величину u^R{\displaystyle {\hat {u}}_{R}}. Знак положительный, потому что увеличение dθ влияет на объект и u^R{\displaystyle {\hat {u}}_{R}} передвигается в направлении u^θ{\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }}. Следовательно, скорость становится:
- v→=ddtr→(t)=Rdu^Rdt=Rdθdtu^θ =Rωu^θ .{\displaystyle {\vec {v}}={\frac {d}{dt}}{\vec {r}}(t)=R{\frac {d{\hat {u}}_{R}}{dt}}=R{\frac {d\theta }{dt}}{\hat {u}}_{\theta }\ =R\omega {\hat {u}}_{\theta }\ .}
Ускорение тела также можно разложить на радиальную и тангенциальную составляющие. Ускорение есть производная скорости по времени:
- a→=ddtv→=ddt(R ω u^θ ) .{\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d}{dt}}{\vec {v}}={\frac {d}{dt}}\left(R\ \omega \ {\hat {u}}_{\theta }\ \right)\ .}
- =R(dωdt u^θ+ω du^θdt) .{\displaystyle =R\left({\frac {d\omega }{dt}}\ {\hat {u}}_{\theta }+\omega \ {\frac {d{\hat {u}}_{\theta }}{dt}}\right)\ .}
Производная по времени от u^θ{\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }} находится таким же путём, как и для u^R{\displaystyle {\hat {u}}_{R}}. Опять же, u^θ{\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }} есть единичный вектор, и его конец расположен на единичной окружности, а угол равен π/2 + θ. Следовательно, приращение угла dθ вектора r→(t){\displaystyle {\vec {r}}(t)} перемещает u^θ{\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }} по дуге на величину dθ, и поскольку u^θ{\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }} перпендикулярен к u^R{\displaystyle {\hat {u}}_{R}}, мы имеем:
- du
ru.wikipedia.org
Движение по окружности, угловая скорость, частота, период, центростремительное ускорение. Формулы, определения, пояснения
Тестирование онлайн
Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.
Угловая скорость
Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.
Период и частота
Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.
Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.
Частота и период взаимосвязаны соотношением
Связь с угловой скоростью
Линейная скорость
Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.
Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T. Путь, который преодолевает точка — это есть длина окружности.
Центростремительное ускорение
При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.
Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения
Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.
Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.
Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.
Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.
Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой
Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна vA и vB соответственно. Ускорение — изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.
Разница векторов есть . Так как , получим
В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.
Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.
Мгновенная скорость определяется по формуле
fizmat.by
| | Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: Поделиться:
| ||||||||||
dpva.ru
Формула для расчета линейной скорости
Понятие скорости
Когда мы сравниваем движение каких-либо тел, то говорим, что одни тела двигаются быстрее, а другие — медленнее. Такую простую терминологию мы используем в повседневной жизни, говоря, например, о движении транспорта. В физике быстрота движения тел характеризуется определенной величиной. Эта величина называется скоростью. Общее определение скорости (в случае, если тело движется равномерно):
Определение 1
Скорость при равномерном движении тела — это физическая величина, показывающая, какой путь прошло тело за единицу времени.
Под равномерным движением тела подразумевается, что скорость тела постоянна. Формула нахождения скорости: $v=\frac{s}{t}$, $s$ — это пройденный телом путь (то есть длина линии), $t$ — время (то есть промежуток времени, за который пройден путь).
Согласно международной системе СИ, единица измерения линейной скорости является производной от двух основных единиц — метра и секунды, то есть измеряется в метрах в секунду (м/с). Это значит, что под единицей скорости понимается скорость такого равномерного движения, при котором путь в один метр тело проходит за одну секунду.
Рассмотрим простой пример задачи на вычисление скорости.
Пример 1
Задача. Двигаясь равномерно, поезд за 4 ч проходит 219 км. Найти его скорость движения.
Решение. $v=\frac{219 км}{4 ч}=54,75\frac{км}{ч}$. Переведём километры в метры и часы в секунды: $54,75\frac{км}{ч}=\frac{54750 м}{3600c}\approx 15,2\frac{м}{c}$.
Ответ. $54,75\frac{км}{ч}$ или $15,2\frac{м}{c}$.
Из примера мы видим, что числовое значение скорости отличается в зависимости от выбранной единицы измерения.
Кроме числового значения, скорость имеет направление. Числовое значение величины в физике называют модулем. Когда у физической величины есть и направление, то эту величину называют векторной. То есть скорость — это векторная физическая величина.
На письме модуль скорости обозначается $v$, а вектор скорости — $\vec v$.
В свою очередь, такие величины как путь, время, длина и другие характеризуются только числовым значением. Тогда говорят, что это скалярные физические величины.
В случае, когда движение является неравномерным, используют понятие средней скорости. Формула средней скорости: $v_{ср}=\frac{s}{t}$, где $s$ — это весь пройденный телом путь, $t$ — всё время движения. Рассмотрим пример задачи на среднюю скорость, чтобы понять разницу.
Пример 2
Задача. Некоторый транспорт за 2,5 часа преодолевает путь в 213 км. Найти его $v_{ср}$.
Решение. $v_{ср}=\frac{213 км}{2,5 ч}= 85,2 \frac{км}{ч}=\frac{213000 м}{9000 с}\approx 23,7\frac{м}{с} $.
Ответ. $85,2 \frac{км}{ч}$ или $23,7\frac{м}{с} $.
Линейная скорость
Определение линейной скорости относится к разделу физики о механике и подразделу о кинематике в рамках вопроса движения по окружности. В измерении скорости движения по окружности выделяют угловую скорость и линейную скорость.
Дадим определение линейной скорости.
Определение 2
Линейная скорость $V$ — это физическая величина, показывающая путь, который прошло тело за единицу времени.
Формула линейной скорости:
$V=\frac{S}{t}$, где $S$ — путь, $t$ — время, за которое точка прошла путь $S$.
Также существует иной вариант этой формулы:
$V=\frac{l}{t}$, где $l$ — путь, $t$ — время, за которое точка прошла по дуге $l$.
В некоторых учебниках линейная скорость также обозначается маленькой буквой $v$.
Есть ещё одна формула, по которой можно найти линейную скорость:
$v=\frac{2\pi R}{T}$.
$2\pi$ соответствует полной окружности (360 угловым градусам).
$\vec V$ направленена по касательной к тракетории.
Связь между линейной и угловой скоростями
Чтобы проследить связь между линейной и угловой скоростями, нужно дать определение угловой скорости.
Определение 3
Угловая скорость — это величина, которая равна отношению угла поворота отрезка, соединяющего точку с центром окружности, к промежутку времени, за который этот поворот произошёл.
Записывается эта формула следующим образом:
$\omega = \frac{\phi}{t}$, где $\phi$ — это угловое перемещение (или угол поворота, измеряется в радианах), $t$ — промежуток времени, за которое соврешено угловое перемещение.
В системе СИ угловая скорость измеряется в рад/с.
Угловую скорость также называют циклической частотой вращения, потому что при вращении твёрдого тела угловая скорость всех его точек одинакова.
Связь между $V$ и $\omega$: $V=\omega R$.
Эта формула выводится из определения модуля центростремительного ускорения.
Определение 4
Центростремительное ускорение $a$ — это ускорение точки при равномерном движении по окружности.
$a=\frac{V^2}{R}$ и $a=\omega^2 R$.
С помощью элементарных математических действий из этих двух формул выводится связь между $V$ и $\omega$.
Таким образом, в данной статье мы разобрали следующие понятия:
- скорость;
- линейная и угловая скорость;
- связь между линейной и угловой скоростями.
spravochnick.ru
1.1.8 Движение тела по окружности. Угловая и линейная скорости точки. Центростремительное ускорение точки
Видеоурок: Движение по окружности
Лекция: Движение тела по окружности. Угловая и линейная скорости точки. Центростремительное ускорение точки
Движение по окружности
Траектория движения — окружность.
Так как скорость — векторная величина, то она зависит не только от модуля значения, но и от направления. Поэтому движение тела по окружности можно назвать равноускоренным. Даже если тело будет двигаться с постоянной по величине скоростью, её направление будет постоянно изменяться.
Любое криволинейное движение можно свести к нескольким движениям по окружности. Примером данного движения является бег по стадиону, ход стрелки часов, прогулка на корде лошади и другое.Основные характеристики движения
1. Линейная скорость
Мгновенная скорость (линейная) — на протяжении всего движения меняет свое направление вдоль касательной к траектории.Так как траектория движения точки — окружность, то в качестве пути в числителе находится формула длины перемещения.
Поэтому формула мгновенной скорости приобретает следующий вид, где Т — период:
2. Центростремительное ускорение
Направлено перпендикулярно к линейной скорости на протяжении всего движения.Центростремительное ускорение определяется по формуле:
3. Период вращения
Период вращения — это величина, определяющая время, за которое тело делает одно полное вращение.
Период — это скалярная величина. Основной единицей периода является [Т]=1с.
Период определяется по формуле:
где N — количество оборотов, t — время, за которое они были совершены.
4. Частота вращения
Определяет, насколько часто совершаются обороты в единицу времени.
Частота — скалярная величина. Измеряется в [n] = 1с-1.
Частота определяется по формуле:
5. Угловое перемещение
Угловое перемещение — величина, которая определяется углом поворота радиуса, соединяющего центр описываемой окружности, с точкой, где находится тело, относительно начального его положения.
Данная величина может измеряться в градусной или радианной мере углов.
6. Угловая скорость
Это значение, которое определяет, насколько изменяется угловое перемещение со временем.
Измеряется в 1 рад/с.Определяется по формуле:где
— угловая скорость материальной точки, 1/с
— угол поворота радиус — вектора, рад- промежуток времени, с
Угловое перемещение связано с линейной скоростью и центростремительным ускорением следующей формулой:
cknow.ru
Вращательное движение (движение тела по окружности) | Формулы и расчеты онлайн
Законы, определяющие движение тела по окружности, аналогичны законам поступательного движения. Уравнения, описывающие вращательное движение, можно вывести из уравнений поступательного движения, произведя в последних следующие замены:
Если:
перемещение s — угловое перемещение (угол поворота) φ,
скорость u — угловая скорость ω,
ускорение a — угловое ускорение α
Вращательное движение, характеристики
| Вращательное движение | Угловая скорость | Угловое ускорение |
|---|---|---|
| Равномерное | Постоянная | Равно нулю |
| Равномерно ускоренное | Изменяется равномерно | Постоянно |
| Неравномерно ускоренное | Изменяется неравномерно | Переменное |
Угол поворота
Во всех уравнения вращательного движения углы задаются в радианах, сокращенно (рад).
Если
φ — угловое перемещение в радианах,
s — длина дуги, заключенной
между сторонами угла поворота,
r — радиус,
то по определению радиана
\[ φ = \frac{s}{r} \]
Соотношение между единицами угла
\[ \frac[-1.35]{φ_{рад}}{φ_{°}} = \frac[-1.2]{π}{180°} \]
$ 1 рад = 57.3° $ | $ 1° = 17.45 мрад $ | $ 1´ = 291 мкрад $ |
Обратите внимание: Наименование единицы радиан (рад) обычно указывается в формулах только в тех случаях, когда ее можно спутать с градусом. Поскольку радиан равен отношению длин двух отрезков
(1рад = 1м/ 1м = 1), он не имеет размерности.
Соотношение между угловой скоростью, угловым перемещением и временем для всех видов движения по окружности наглядно видны на графике угловой скорости (зависимость ω от t). Поэтому графику можно определить, какой угловой скоростью обладает тело в тот или иной момент времени и на какой угол с момента начала движения оно повернулось (он характеризуется площадью под кривой).
Кроме того, для представления соотношений между названными величинами используют график углового перемещения (зависимость φ от t) и график углового ускорения (зависимость α от t).
Число оборотов
Характеристикой всех видов вращения является число оборотов n или равноценная ей характеристика — частота f. Обе величины характеризуют число оборотов в единицу времени.
Единица СИ частоты (или числа оборотов)
\[ [n] = [f] = \frac{Обороты}{Секунда} = \frac{(об)}{с} = \frac{1}{c} = Герц \]
В технике число оборотов обычно измеряется в оборотах в минуту (об/мин) = 1/мин.
Таким образом, величина, обратная числу оборотов, есть продолжительность одного оборота.
Если
n — число оборотов,
f — частота,
T — продолжительность одного оборота, период,
φ — угловое перемещение,
N — полное число оборотов,
t — время, продолжительность вращения,
ω — угловая частота,
то
Период
\[ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{n} \]
Угловое перемещение
Угловое перемещение равно произведению полного числа оборотов на 2π:
\[ φ = 2 π N \]
Угловая скорость
Из формулы для одного оборота следует:
\[ ω = 2 π f = \frac{2π}{T} \]
Обратите внимание:
• формулы (1)—(6) справедливы для всех видов вращательного движения — как для равномерного движения, так и для ускоренного. В них могут входить постоянные величины, средние значения, начальные и конечные значения, а также любые мгновенные значения.
• вопреки своему названию число оборотов n — это не число, а физическая величина.
• следует различать число оборотов n и полное число оборотов N.
В помощь студенту
Вращательное движение (движение тела по окружности) |
стр. 421 |
|---|
www.fxyz.ru
Линейная скорость формула через радиус
Понятие скорости
Когда мы сравниваем движение каких-либо тел, то говорим, что одни тела двигаются быстрее, а другие — медленнее. Такую простую терминологию мы используем в повседневной жизни, говоря, например, о движении транспорта. В физике быстрота движения тел характеризуется определенной величиной. Эта величина называется скоростью. Общее определение скорости (в случае, если тело движется равномерно):
Скорость при равномерном движении тела — это физическая величина, показывающая, какой путь прошло тело за единицу времени.
Под равномерным движением тела подразумевается, что скорость тела постоянна. Формула нахождения скорости: $v=frac$, $s$ — это пройденный телом путь (то есть длина линии), $t$ — время (то есть промежуток времени, за который пройден путь).
Согласно международной системе СИ, единица измерения линейной скорости является производной от двух основных единиц — метра и секунды, то есть измеряется в метрах в секунду (м/с). Это значит, что под единицей скорости понимается скорость такого равномерного движения, при котором путь в один метр тело проходит за одну секунду.
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Также скорость часто измеряют в км/ч, км/с, см/с.
Рассмотрим простой пример задачи на вычисление скорости.
Задача. Двигаясь равномерно, поезд за 4 ч проходит 219 км. Найти его скорость движения.
Решение. $v=frac<219 км><4 ч>=54,75frac<км><ч>$. Переведём километры в метры и часы в секунды: $54,75frac<км><ч>=frac<54750 м><3600c>approx 15,2frac<м>$.
Из примера мы видим, что числовое значение скорости отличается в зависимости от выбранной единицы измерения.
Кроме числового значения, скорость имеет направление. Числовое значение величины в физике называют модулем. Когда у физической величины есть и направление, то эту величину называют векторной. То есть скорость — это векторная физическая величина.
На письме модуль скорости обозначается $v$, а вектор скорости — $vec v$.
В свою очередь, такие величины как путь, время, длина и другие характеризуются только числовым значением. Тогда говорят, что это скалярные физические величины.
Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!
В случае, когда движение является неравномерным, используют понятие средней скорости. Формула средней скорости: $v_<ср>=frac$, где $s$ — это весь пройденный телом путь, $t$ — всё время движения. Рассмотрим пример задачи на среднюю скорость, чтобы понять разницу.
Задача. Некоторый транспорт за 2,5 часа преодолевает путь в 213 км. Найти его $v_<ср>$.
Ответ. $85,2 frac<км><ч>$ или $23,7frac<м> <с>$.
Линейная скорость
Определение линейной скорости относится к разделу физики о механике и подразделу о кинематике в рамках вопроса движения по окружности. В измерении скорости движения по окружности выделяют угловую скорость и линейную скорость.
Дадим определение линейной скорости.
Линейная скорость $V$ — это физическая величина, показывающая путь, который прошло тело за единицу времени.
Формула линейной скорости:
$V=frac$, где $S$ — путь, $t$ — время, за которое точка прошла путь $S$.
Также существует иной вариант этой формулы:
$V=frac$, где $l$ — путь, $t$ — время, за которое точка прошла по дуге $l$.
В некоторых учебниках линейная скорость также обозначается маленькой буквой $v$.
Есть ещё одна формула, по которой можно найти линейную скорость:
$2pi$ соответствует полной окружности (360 угловым градусам).
$vec V$ направленена по касательной к тракетории.
Связь между линейной и угловой скоростями
Чтобы проследить связь между линейной и угловой скоростями, нужно дать определение угловой скорости.
Угловая скорость — это величина, которая равна отношению угла поворота отрезка, соединяющего точку с центром окружности, к промежутку времени, за который этот поворот произошёл.
Записывается эта формула следующим образом:
$omega = frac<phi>$, где $phi$ — это угловое перемещение (или угол поворота, измеряется в радианах), $t$ — промежуток времени, за которое соврешено угловое перемещение.
В системе СИ угловая скорость измеряется в рад/с.
Угловую скорость также называют циклической частотой вращения, потому что при вращении твёрдого тела угловая скорость всех его точек одинакова.
Связь между $V$ и $omega$: $V=omega R$.
Эта формула выводится из определения модуля центростремительного ускорения.
Центростремительное ускорение $a$ — это ускорение точки при равномерном движении по окружности.
С помощью элементарных математических действий из этих двух формул выводится связь между $V$ и $omega$.
Таким образом, в данной статье мы разобрали следующие понятия:
- скорость;
- линейная и угловая скорость;
- связь между линейной и угловой скоростями.
Так и не нашли ответ
на свой вопрос?
Просто напиши с чем тебе
нужна помощь
Движение по окружности — простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆ φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.
Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.
Если угол поворота мал, то ∆ l ≈ ∆ s .
Угловая скорость
При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω , то есть скорости изменения угла поворота.
Определение. Угловая скорость
Угловая скорость в данной точке траектории — предел отношения углового перемещения ∆ φ к промежутку времени ∆ t , за которое оно произошло. ∆ t → 0 .
ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .
Единица измерения угловой скорости — радиан в секунду ( р а д с ).
Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:
Нормальное ускорение
При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.
При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.
a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0
Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:
a n = v 2 R = ω 2 R
Докажем эти соотношения.
Рассмотрим, как изменяется вектор v → за малый промежуток времени ∆ t . ∆ v → = v B → — v A → .
В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.
По определению ускорения:
a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0
Взглянем на рисунок:
Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что O A A B = B C C D .
Если значение угла ∆ φ мало, расстояние A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Принимая во внимание, что O A = R и C D = ∆ v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:
R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R
При ∆ φ → 0 , направление вектора ∆ v → = v B → — v A → приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆ t → 0 , получаем:
a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .
При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.
Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:
Здесь R → — радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.
Тангенциальное ускорение
В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов — нормальное, и тангенциальное.
Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.
a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0
Здесь ∆ v τ = v 2 — v 1 — изменение модуля скорости за промежуток ∆ t
Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.
Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие v x и v y .
Если движение равномерное, величины v x и v y а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T = 2 π R v = 2 π ω
Переход от угловой к линейной скорости.
Сегодня смотрел на детей, катающихся на карусели, и подумал — а интересно, с какой скоростью они крутятся.
Подумав еще, понял, что ответить на этот вопрос очень просто, достаточно подсчитать, сколько оборотов в минуту они совершают.
Зная число оборотов в минуту, можно найти угловую скорость в радианах в секунду — за один оборот угол меняется на радиан, за минуту — радиан, и соответственно за секунду — радиан.
Это угловая скорость — радиан/сек. Переход к линейной тривиален — углу в 1 радиан соответствует дуга окружности равная радиусу, соответственно,
Вот и все, а ниже калькулятор. Скорость в м/с приводит к км/час, чтобы было понятнее.
skoda-rapid.ru