Глава 7. Вращательное движение. Кинематика и динамика

Как правило, в любом варианте задания ЕГЭ по физике представлены несколько задач на вращательное движение. Приведем основные определения и законы, необходимые для решения такого рода задач. Угловой скоростью тела, совершающего вращательное движение, называется отношение угла поворота к тому времени , за которое этот поворот произошел

(7.1)

В этом определении угол должен измеряться в радианах, поэтому размерность угловой скорости рад/с (или 1/с поскольку радиан — безразмерная величина). В принципе, определение (7.1) позволяет найти как среднюю (для больших интервалов времени ), так и мгновенную (при ) угловую скорость. Однако в школьном курсе физики рассматривается только движение с постоянной угловой скоростью, для которого определение (7.1) дает один и тот же результат для любых интервалов времени . Применяя определение (7.

1) к полному обороту тела (угол поворота — радиан), получим связь угловой скорости и периода вращения

(7.2)

Угловую скорость можно ввести не только для точечного тела, но и для протяженного тела. Действительно, при вращении неточечного тела вокруг любой оси все его точки поворачиваются за одинаковое время на одинаковый угол. Поэтому можно говорить об угловой скорости всего тела.

Из формулы (7.2) легко получить связь угловой и обычной скорости вращающегося точечного тела (в этом контексте последнюю всегда называют линейной скоростью). Умножая правую и левую часть формулы (7.2) на радиус окружности и учитывая, что – это длина пути, пройденного за период, получим

(7.3)

Конечно, для неточечного вращающегося тела нельзя ввести понятие линейной скорости, поскольку у разных точек этого тела линейные скорости будут разными.

Очевидно, при вращательном движении тело всегда имеет ускорение. Действительно, согласно определению (2.1) ускорение тела равно нулю, если не меняется вектор скорости этого тела (т.е. как величина скорости, так и ее направление). При вращательном движении направление скорости обязательно меняется. Можно доказать, что при вращательном движении точечного тела с постоянной по величине линейной скоростью вектор его ускорения в любой момент направлен от тела к центру траектории тела, а его величина равна

(7.4)

Ускорение (7.3) принято называть центростремительным. Если использовать связь линейной и угловой скорости тела при вращательном движении (7.3), то формулу для центростремительного ускорения можно записать и в таких формах

(7.5)

Согласно второму закону Ньютона ускорения сообщаются телам силами. Поэтому если тело совершает движение по окружности радиуса с постоянной по величине скоростью (и соответственно угловой скоростью ), на него должна действовать сила, направленная к центру окружности и равная по величине

(7.6)

Силу (7.6) принято называть центростремительной. Отметим, что термин «центростремительная» связан не с природой этой силы, а с тем, как она действует: в разных ситуациях центростремительной силой может быть и сила тяжести, и сила трения, и сила реакции, и другие силы или их комбинации.

Перечисленных законов и определений достаточно для решения любых задач ЕГЭ на вращательное движение. Рассмотрим их применение к решению задач, приведенных в первой части.

Если период вращения тела задан, то его угловая скорость может быть однозначно определена независимо от размеров тела или радиуса орбиты для точечного тела. В частности, секундная стрелка любых часов поворачивается на угол за одну минуту (конечно, при условии, что они идут «правильно»).

Поэтому угловая скорость секундных стрелок любых часов равна рад/мин (задача 7.1.1 – ответ 2).

Для нахождения линейной скорости конца секундной стрелки часов (задача 7.1.2) используем связь угловой и линейной скоростей (7.5). Имеем

(правильный ответ – 2).

Применяя определение угловой скорости к колесу (задача 7.1.3), получаем

(правильный ответ 1).

Из формулы (7.2) имеем

(задача 7.1.4 – правильный ответ 4).

Используя известное расстояние от первой точки до оси вращения и ее центростремительное ускорение (задача 7.1.5), из формулы (7.5) находим квадрат угловой скорости диска

А теперь по формуле (7. 5) для второй точки получаем

(ответ 2).

Поскольку скорость автомобиля в задаче 7.1.6 не меняется в процессе движения для сравнения центростремительных ускорений автомобиля в разных точках траектории следует использовать формулу (7.4), из которой находим, что ускорение тем больше, чем меньше радиус траектории (правильный ответ –

3).

Ускорение мальчика из задачи 7.1.7 будет равно нулю, если его скорость относительно земли будет равна нулю. Поэтому при движении мальчика против движения карусели, его скорость относительно карусели равна скорости карусели относительно земли . Если мальчик пойдет в другую сторону с той же скоростью относительно карусели, его скорость относительно земли будет равна . Поэтому центростремительное ускорение мальчика будет равно

(ответ 4).

Тело, находящееся на поверхности вращающегося диска и вращающееся вместе с ним (задача 7.1.8), участвует в следующих взаимодействиях. Во-первых, тело притягивается к земле (сила тяжести), и на него действует поверхность диска (сила нормальной реакции и трения), причем сила трения в каждый момент времени направлена к оси вращения (см. рисунок). Действительно, в отсутствии силы трения тело либо будет оставаться на месте, а диск под ним будет вращаться, либо (если тело имеет скорость) слетит с поверхности диска. Именно сила трения «заставляет» тело вращаться вместе с диском. Поэтому сила трения служит в данной задаче цен-тростремительной силой. Остальные перечисления, данные в условии: «на тело действуют силы тяжести, трения, реакции опоры, центростремительная (или центробежная)» являются неправильными, поскольку в них смешиваются характеристики сил разных типов – первые три касаются природы взаимодействий, вторые – результат действия. Поэтому правильный ответ на вопрос задачи –

1. Кроме того, отметим, что центробежная сила возникает только в неинерциальных системах отсчета и в школьном курсе физики не рассматривается (поэтому лучше этим понятием вообще не пользоваться).

Поскольку тело в задаче 7.1.9 вращается с постоянной по величине скоростью по окружности, то его ускорение направлено к центру окружности, и, следовательно, согласно второму закону Ньютона, туда же направлена и результирующая сила, действующая на тело (ответ 2).

Применяя к данному в задаче 7.1.10 телу второй закон Ньютона и учитывая, что его ускорение равно м/с², получим для равнодействующей =2 Н (ответ 2).

Используя формулу для центростремительного ускорения , находим отношение ускорений материальных точек из

задачи 7.2.1

(ответ 1).

Для сравнения центростремительных ускорений материальных точек в задаче 7. 2.2 удобно использовать формулу , поскольку в этой задаче одинаковы угловые скорости точек. Получаем

(ответ 3).

Для сравнения центростремительных ускорений тел в задаче 7.2.3 выразим ускорение через радиус окружности и период. Используя формулу (7.2) для периода и (7.5) для центростремительного ускорения, получим

(7.5)

Поэтому

(ответ 1).

Используя связь угловой и линейной скорости, находим скорости концов часовой и минутной стрелки (задача 7.2.4)

где и – угловые скорости часовой и минутной стрелки соответственно (в рад/час), и – длины часовой и минутной стрелок. Учитывая, что , получаем

(ответ 2).

Телу, вращающемуся вместе с диском на его горизонтальной поверхности (задача 7.2.5), центростремительное ускорение сообщается силой трения

Поэтому при увеличении угловой скорости вращения диска возрастает и сила трения между телом и диском. При некоторой угловой скорости сила трения достигнет максимально возможного для нее значения . Если еще увеличить угловую скорость диска, сила трения уже не сможет удержать тело на диске: тело начнет скользить по поверхности и слетит с поверхности диска. Поэтому значения угловой скорости, при которой тело может вращаться вместе с диском, находится из неравенства

(ответ 4).

В задаче 7. 2.6 центростремительной силой является сила натяжения нити. Поэтому из второго закона Ньютона с учетом формулы (7.5) для центростремительного ускорения имеем

(ответ 3).

В задаче 7.2.7 нужно использовать второй закон Ньютона для каждого тела. Силы, действующие на тела, показаны на рисунке. Проекция второго закона Ньютона для дальнего тела на координатную ось, направленную к центру диска, дает

(1)

На ближнее тело действуют силы натяжения и двух нитей (см. рисунок). Поэтому для него из второго закона Ньютона имеем

Подставляя в эту формулу силу из формулы (1), находим (ответ 2).

В задаче 7. 2.8 необходимо использовать то обстоятельство, что угловая скорость всех точек стержня одинакова. Обозначая расстояния от оси вращения до концов стержня как и , имеем

где = 1 м/с и = 2 м/с – линейные скорости концов стержня, м – его длина. Решая эту систему уравнений, найдем расстояния и , а затем и угловую скорость стержня . В результате получим

(ответ 3).

Среднее ускорение тела за некоторый интервал времени (не обязательно малый) определяется по формуле (2.1):

где и – скорости тела в конце и начале интервала времени . За половину периода вектор скорости поворачивается на 180°, поэтому величина разности равна . Поэтому среднее ускорение тела за половину периода равно

(задача 7. 2.9 – ответ 1).

Очевидно, при зубчатой передаче совпадают линейные скорости точек на ободе шестерней. Действительно, если бы эти скорости были разными, между поверхностями шестерней было бы проскальзывание, которому препятствуют зубцы шестерней (задача 7.2.10 – ответ 2).

Обобщённые формулы для скорости изменения радиусов крупных аэрозольных капель в процессе их испарения и конденсации Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.72

DOI: 10.18384/2310-7251-2018-4-155-166

ОБОБЩЁННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СКОРОСТИ ИЗМЕНЕНИЯ РАДИУСОВ КРУПНЫХ АЭРОЗОЛЬНЫХ КАПЕЛЬ В ПРОЦЕССЕ ИХ ИСПАРЕНИЯ И КОНДЕНСАЦИИ

МК. Кузьмин

Московский государственный областной университет

141014, г. Мытищи, ул. Веры Волошиной, д. 24, Московская область, Российская Федерация

Аннотация. Довольно общей постановкой задачи с целью изучения нестационарного процесса испарения (роста) аэрозольной капли сферической формы получены обобщения известных для скорости изменения радиуса капли формул, применяемых для квазистационарного и нестационарного процессов испарения (роста) капли. Полученные формулы по сравнению с названными формулами позволяют учитывать ряд дополнительных факторов, влияющих на скорость изменения радиуса капли. В их числе: кривизна поверхности капли, коэффициент поверхностного натяжения, начальная разница температур у поверхности капли, коэффициенты теплопроводности и температуропроводности парогазовой смеси, удельная теплота фазового перехода вещества капли, скачки концентрации и температуры, следовательно, и коэффициент испарения вещества капли. Проведён численный анализ полученных формул рассмотрением нестационарного процесса испарения капель воды. В частности, при этом сделан вывод о том, что границы применимости скачков концентрации и температуры при определённых значениях коэффициента испарения могут быть расширены на более крупные капли воды, чем это было до сих пор.

Ключевые слова: аэрозольная капля, нестационарное испарение, скачки концентрации и температуры, обобщение формул скорости изменения радиуса.

GENERALIZED FORMULAE FOR THE RATE OF CHANGE IN THE RADII OF LARGE AEROSOL DROPLETS IN THE PROCESS OF EVAPORATION AND CONDENSATION

M. Kuzmin

Moscow Region State University

ul. Very Voloshinoi 24,141014 Mytishchi, Moscow region, Russian Federation Annotation. A rather general formulation of the problem In the study of the unsteady evaporation (growth) of a spherical aerosol droplet has been used to obtain generalizations of the formulae known for the rate of change in the droplet radius, used for quasi-stationary and non-stationary evaporation (growth) of the droplet. In comparison with the mentioned formulae, the formulae obtained make it possible to take into account a number of additional factors affecting the rate of change in the droplet radius. These factors include the curvature of the droplet surface,

© CC BY М.К. Кузьмин, 2018.

the surface tension coefficient, the initial temperature difference at the droplet surface, the thermal conductivity and thermal diffusivity of the vapor-gas mixture, the specific heat of the phase transition of the droplet substance, the concentration and temperature jumps, and the evaporation coefficient of the droplet substance. The formulae obtained are analyzed numerically by considering the unsteady process of evaporation of water droplets. In particular, it is concluded that the limits of applicability of concentration and temperature jumps at certain values of the evaporation coefficient can be extended to larger water droplets than it has been so far.

Key words: aerosol droplet, unsteady evaporation, concentration and temperature jumps, generalization of formulae for the radius change rate.

Изучение процессов испарения и конденсации имеют значительный теоретический и практический интерес. При этом не меньший интерес у исследователей вызывают процессы испарения и конденсационного роста аэрозольных капель. Это подтверждается большим числом публикуемых теоретических и экспериментальных работ [1-6]. Как отмечал Н.А. Фукс в своей работе [7], изданной ещё в 1958 г., что теория этого явления очень сложна. Это объясняется тем, что в реальных условиях эти процессы являются нестационарными, и скорость их протекания зависит от большого числа факторов.

Основоположником теории испарения капель в газообразной среде был Максвелл [7]. Он рассмотрел простейший случай стационарного испарения сферической капли, неподвижной по отношению к бесконечно протяжённой однородной среде. При этом Максвелл принял, что концентрация пара у поверхности капли равна концентрации насыщенного при температуре капли пара. Это предположение справедливо при радиусе капли, значительно превышающем длину свободного пути молекул пара, то есть для «крупных капель». Максвелл получил формулу для скорости испарения капель, согласно которой эта скорость полностью определяется скоростью диффузии пара в окружающей среде. Это, так называемый, диффузионный режим испарения. Следствием из формулы Максвелла является формула для скорости изменения радиуса капли в квазистационарном режиме испарения (или роста) капли [7]. Как сказано в работе Н.А. Фукса [7], в последующем в эти формулы вносились поправки, учитывающие влияние различных первоначально исключённых факторов. В этой же работе решением нестационарного уравнения диффузии получена формула для скорости изменения радиуса капли в нестационарном режиме испарения [7].

В настоящей статье рассматривается иной путь обобщения указанных формул для скорости изменения радиуса капли. С самого начала выбирается довольно общий подход к постановке задачи, которая включает в себя систему нестационарных уравнений диффузии и теплопроводности среды с надлежащими начальными и граничными условиями. С помощью последних учитываются, например, скачки концентрации и температуры вблизи поверхности капли. Поскольку некоторые из коэффициентов скачков концентрации и температуры зависят от коэффициента испарения вещества капли, то при этом происходит учёт и коэффициента испа-

Введение

рения. Также с самого начала вводятся в рассмотрение уравнения, позволяющие учитывать влияние кривизны поверхности капли и коэффициентов поверхностного натяжения и удельной теплоты фазового перехода.

Постановка задачи

Рассмотрим нестационарный процесс диффузионного режима испарения (концентрационного роста) неподвижной аэрозольной капли сферической формы радиуса R, находящейся в бинарной (парогазовой) смеси, первый компонент которой образован молекулами вещества капли, а второй компонент — молекулами несущего газа, неиспытывающего фазового перехода в рассматриваемом интервале температур. — =-к— , (5)

дг |г=в дг |г=в

где г — радиальная координата сферической системы координат с началом в центре капли, t — время. В нестационарные уравнения диффузии и теплопроводности, то есть в уравнения (1), (2) соответственно, входят: Б = пт2С12/ре, где Б12 -коэффициент взаимной диффузии компонентов бинарной смеси; п = п1 + п2; П1, т1 и П2, т2 — концентрация и масса молекул первого и второго компонентов соответственно; ре и а — соответственно плотность и температуропроводность бинарной смеси.

Отметим, что соотношение (5) выражает условие непрерывности радиального потока тепла через поверхность капли. В левой части его учитывается теплота, идущая на фазовый переход, пропорциональная величине q — удельной теплоте испарения вещества капли, в правую часть входит к — коэффициент теплопроводности парогазовой смеси.

Пусть Т = Т(0 — температура поверхности капли, п1(Т) — концентрация насыщенных паров вещества капли у её поверхности при указанной температуре. Введём ещё обозначения

с„ () = С1 (Т, ) = п (Т,)/п, Т, ())=0 = Т,0, С15 ())=о = 0. (6)

Для того чтобы получить выражение, определяющее концентрацию насыщенных паров вещества капли над сферической поверхностью, используем приближенные уравнения Кельвина (Томсона)

С1, () = С1, ()(1 + к„ / Я) (7)

и Клапейрона — Клаузиуса

С1, () = С1, о {1+к, [т, () — т,о ]}, (8)

соответственно. Следует отметить, что последнее уравнение справедливо лишь при малом изменении температуры поверхности капли. В уравнениях (7), (8) черта над буквой означает концентрацию насыщенных паров вещества капли над поверхностью, имеющей пренебрежимо малую кривизну при её температуре, то есть

С1, () = С1 (т,), С1, о = С1, (г))=о .

Исключив из уравнений (7), (8) функцию с1, (), получим искомую формулу С1, (г) = С1,о (1+кс / я){+ к, [т, (г) — Т о ]}, (9)

где

= 2ш10 = дш1 — кТ,о

1т р , к? = г-г2 , кТ, ор1 кТ,о

а — коэффициент поверхностного натяжения, р, — плотность вещества капли, к — постоянная Больцмана. Отметим, что

С1,о = С1,о (1 + ка / Я). (1о)

Из выражения для ка следует, что концентрация насыщенных паров над поверхностью сферической капли существенно зависит от отношения а/Я, поэтому важность учета коэффициента поверхностного натяжения возрастает с уменьшением радиуса капли.

На скорость испарения (конденсационного роста) аэрозольных капель определённых размеров может оказывать существенное влияние слой Кнудсена вокруг капли [7]. . Обращение в нуль составного коэффициента Хс, или Хг означает отсутствие соответствующего скачка.

При проведении численного анализа физических величин, зависящих от коэффициентов скачков концентрации и температуры, будем использовать выражения для коэффициентов скачков концентрации и температуры, приведённые в монографии [8], где они получены для случая бинарной газовой смеси обобщением подхода Лоялки, предложенного в работе [9] для однокомпонентного газа.

Отметим что газокинетические коэффициенты Кс(с), Кг<-с) зависят от коэффициента испарения вещества капли, а коэффициенты Кс(г), Кг(г) не зависят от него.

Итак, соотношениями (1) — (6), (9) (11а) — (11б) выписаны все основные уравнения, начальные и граничные условия задачи.

Метод решения задачи. Выражения для скорости изменения радиуса капли при больших значениях времени

Для того чтобы получить выражение для скорости изменения радиуса капли, согласно работе [7], надо иметь выражение (Эс1/Эг)|г=д. Тогда

йЯ Бит1 дс1

dt Ol дг

|r=R •

(12)

При решении систем нестационарных уравнений вида (1) и (2), обычно применяют интегральное преобразование Лапласа [10]. Как известно, преобразование Лапласа Ь устанавливает следующую связь между оригиналом ДО и его изображением Р(р), где р — комплексный параметр:

‘(р) = L {f (t )}=Jf (t )e- ptdt •

В нашем случае от неизвестных функций-оригиналов мы должны перейти к следующим функциям-изображениям:

S (г, p) = L { (г, t)}, ©(г, p) = L {T (r, t)},

Ss (p) = L{ (t)}, ©s (p) = L {Ts (t)}. р через г, приходим к квадратному трёхчлену

gхг2 +(кЧа4а + к4Ь + g( + 4а)/Я)г + (+к + gх /Я))а /Я.

Корни г1, г2 этого трёхчлена действительны и различны, ибо для большинства жидкостей (вода, спирты, эфиры) при температурах поверхности капли ниже температуры их кипения дискриминант больше нуля. Таким образом, знаменатель выражения (14) можно представить в виде

где Р1 = -Zl, Р2 = -Z2. В таком случае, разложив (14) на сумму соответствующих простейших дробей, для нахождения оригинала можно воспользоваться надлежащими формулами из таблицы обратных преобразований Лапласа [10] и получить

dc1 dr

= £cr к

|r=R

1

— + JC (ß 7 )cp(ß 7, t)

где

C (ßi ) =

Я (0+к) + ^х ¿=1

Я2р2 — Я (Б + 4а )в, +4Ба Я2gхР2 [Я (с+к) + gх],

ф(,, t ) = ехр (p2t )• еф (р ). yft), получим соответствующее прибли-

dc.

£cr к

dr |r=R R((0+к) + gx

1 +

R2 (VD + Wä)

[ R ( +к) + g x]VnDflt

(15)

при больших значениях t.

Мы рассматриваем процесс медленного испарения капли, то есть масса капли значительно больше массы вещества, испарившегося с поверхности капли за время исследуемого процесса. В таком случае допустимо в постановке задачи и в проведённых до сих пор выкладках радиус капли считать постоянной величиной. В реальном процессе испарения радиус капли изменяется со временем и йЯ/Л < 0.Q

£cTDnmiK

p, [R (kqö+K) + gX] ‘

dR

dt

ecTDnm1K

„1 p, [R (kqG +K) + gx]

1 +

R2 (VD + Wä)

[ R ( +k) + g x]VnDat

(17)

(18)

Анализ формул для скорости изменения радиуса капли

Проведём анализ выражений, находящихся в правых частях формул (17) и (18).

Формулы (17) и (18) являются обобщениями хорошо известных в теории квазистационарного и нестационарного процессов испарения (конденсационного роста) крупных аэрозольных капель формул [7].(и5)_(сю — c1sq )Dnm1 f. R

dt

p,R

1 +

yJnDat

(2Q)

Формула (17) по сравнению с формулой (19) позволяет учитывать ряд дополнительных факторов, влияющих на скорость изменения радиуса капли. Перечислим их: кривизна поверхности капли, коэффициент поверхностного натяжения, начальная разница температур у поверхности капли, коэффициент теплопроводности парогазовой смеси, удельная теплота фазового перехода вещества капли, скачки концентрации и температуры, следовательно, и коэффициент испарения капли. Кроме перечисленных факторов в формуле (18) в отличие от формулы (20) учитывается ещё коэффициент температуропроводности среды.

Как уже было сказано, формулы (19), (20) были выведены для крупных капель. Поэтому при сравнении формул из пары (17), (18) с соответствующей формулой из пары (19), (20) следует выяснить значимость определённых выражений из последней пары формул при различных размерах капель.

Проведём численный анализ некоторых величин, входящих в формулы (17) и (18). Для этого будем рассматривать нестационарный процесс испарения одиночных капель воды разных размеров в воздушную среду 50% влажности (наиболее реальный случай) при двух значениях температуры 293 К, 323 К, когда давление среды Р = 0,1 МПа. При этом, основываясь на данных, приведённых в книге [12], для коэффициента испарения воды а при указанных выше температурах среды полагаем соответственно 0,034 и 0,026. Заметим, что эти значения коэффициента испарения воды сильно отличаются от единицы, поэтому численные значения зависящих от а коэффициентов скачков концентрации и температуры К}с), Кг(с), вычисленные при указанных здесь значениях а будут отличаться от

значений коэффициентов скачков концентрации и температуры, вычисляемых часто при а = 1. Повышение порядка величин Кс(с), Кг(с) должно привести к некоторому расширению границ применимости теории нестационарного процесса испарения аэрозольных капель, в которой учитываются скачки концентрации и температуры, на более крупные капли воды, чем до сих пор предполагалось.

Для процесса испарения капель необходимо выполнение условия

£ с = С10 — С15 0 (1 + кс / Я )< 0.

Из соотношений (17), (18) видно, что для процесса испарения должно выполняться ещё условие £сТ = £с — с150£т < 0.

Приведём таблицу значений интересующих нас величин, не зависящих от радиуса капли при двух значениях температуры (см. табл. 1).

Таблица 1.

Зависимость величин kq, о, ko, к, а, Xc, Хт от температуры

T, K kq • 101, К-1 о • 101, H/м ko • 109, м к • 101, Вт/(мК) а • 101 Xc • 106, м Хт • 106, м

293 0,59 0,73 1,08 0,26 0,34 4,85 2,09

323 0,47 0,68 0,92 0,28 0,26 8,45 2,32

Проведём численный анализ величин, составляющих выражение Я(к9<3 + к) + gг, где к9<3 = ук9с»150 (1 + кс /Я). Для этого приведём таблицу значений величин, зависящих от радиуса капли (см. табл. 2).

Таблица 2.

Зависимость величин к?а, £х от радиуса капли при двух различных значениях температуры

T, К R, м 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4

293 kqo • 101, Вт/(мК) 0,6977 0,6365 0,6304 0,62971 0,62970

gx • 107, Вт/К 1,3931 1,3802 1,3789 1,37881 1,37880

323 kqo • 101, Вт/(мК) 3,1223 2,8853 2,8616 2,8593 2,8590

gx • 107, Вт/К 3,1316 3,0765 3,0710 3,07044 3,07039

Так как ка/Я значительно меньше единицы при Я » 10-7 м, то учет кривизны поверхности капли и поверхностного натяжения может оказывать влияние на скорость испарения капель воды только для капель, радиусы которых Я < 10-7 м, то есть для мелких капель. Разница значений величины ка при рассматриваемых значениях температуры незначительна, на ее значение существенное влияние оказывает обратно пропорциональная зависимость от плотности веще-

ства капли. Если же R > 10-7 м, то замена величины kqa на произведение jkqc1sQ не

приведет к большой ошибке.

Пользуясь численными значениями величин, представленных таблицами 1 и 2, можно убедиться в том, что R(kqa + к) = gx при R ~ 107 м. Капля воды радиуса R = 0,7 • 10-5 м относится к крупным. Для такой капли при T = 293 K имеем R(kqa + к) = 6,23 • 106 Вт/К. Это значение всего в 4,5 раза превышает соответствующее значение величины gx, и пренебрегать при этом значением последней величины не следует. Этот пример показывает, что учёт скачков концентрации и температуры получает расширение границы применимости при определённых значениях коэффициента испарения..

Если не учитывать теплоту фазового перехода вещества капли, то есть положить q = 0 , то Jq = 0. Если совсем не учитывать влияние слоя Кнудсена вокруг

капли в виде скачков концентрации и температуры, то gx = 0 и Т0 — Тз0 = 0. Таким образом, из формул (21) и (22) получим соответственно формулы (19) и (20).

Статья поступила в редакцию 30.08.2018 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Высокоморная О.В., Кузнецов Г.В., Стрижак П.А. Прогностическое определение интегральных характеристик испарения капель воды в газовых средах с различной температурой // Инженерно-физический журнал. 2017. Т. 90. № 3. С. 648-657.

2. Захаревич А.В., Кузнецов Г.В., Стрижак П.А. Экспериментальное исследование изменения температуры в центре капли воды в процессе ее испарения в разогретом воздухе // Инженерно-физический журнал. 2016. Т. 89. № 3. С. 537-541.

3. Кузнецов Г.В., Куйбин П.А., Стрижак П.А. Оценка численных значений констант испарения капель воды, движущихся в потоке высокотемпературных газов // Теплофизика высоких температур. 2015. Т. 53. Вып. 2. С. 264-269.

4. Пискунов М.В., Стрижак П.А. Отличие условий и характеристик испарения неоднородных капель воды в высотемпературной газовой среде // Журнал технической физики. 2016. № 9. С. 24-31.

5. Хасанов А.С. Решение задачи об испарении двух капель операторными методами для любых радиусов капель и любых расстояний между ними // Вестник Московского

государственного областного университета. Серия Физика-Математика. 2018. № 2. С. 51-60.

6. О диффузионном испарении (сублимации) крупной аэрозольной частицы при значительных перепадах температуры в ее окрестности / Щукин Е.Р., Малай Н.В., Шулиманова З.Л., Уварова Л.А. // Теплофизика высоких температур. 2015. Т. 53. Вып. 4. С. 561-568.

7. Фукс Н.А. Испарение и рост капель в газообразной среде. М.: Издательство АН СССР,

1958. 91 с.

8. Галоян В.С., Яламов Ю.И. Динамика капель в неоднородных вязких средах. Ереван: Луйс, 1985. 208 с.

9. Loyalka S.K. Approximate method in the kinetic theory // The Physics of Fluids. 1971. Vol. 14. No. 11. P. 2291-2294.

10. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М.: Наука, 1971. 288 с.

11. Яламов Ю.И., Кузьмин М.К. Скорость нестационарного испарения сферической капли с учетом скачков концентрации и температуры вблизи ее поверхности // Журнал технической физики, 2005. Т. 75/ Вып. 3. С. 30-35.

12. Амелин А.Г. Теоретические основы образования тумана при конденсации пара. М.: Химия, 1972. 304 с.

REFERENCES

1. Vysokomornaya O.V., Kuznetsov G.V., Strizhak P.A. [Prognostic determination of the integral characteristics of evaporation of water droplets in gaseous media with different temperatures]. In: Inzhenerno-fizicheskii zhurnal [Journal of Engineering Physics and Thermophysics], 2017, vol. 90, no. 3, pp. 648-657.

2. Zakharevich A.V., Kuznetsov G.V., Strizhak P.A. [Experimental study of the temperature change in the center of a drop of water during its evaporation in heated air]. In: Inzhenerno-fizicheskii zhurnal [Journal of Engineering Physics and Thermophysics], 2016, vol. 89, no. 3, pp. 537-541.

3. Kuznetsov G.V., Kuibin P.A., Strizhak P.A. [Estimation of the numerical values of the evaporation constants of water droplets moving in a flow of high-temperature gases]. In: Teplofizika vysokikh temperatur [High Temperature], 2015, vol. 53, no. 2, pp. 264-269.

4. Piskunov M.V., Strizhak P.A. [Difference in the conditions and characteristics of evaporation of inhomogeneous water drops in a high-temperature gaseous medium]. In: Zhurnal tekhnicheskoifiziki [Technical Physics. The Russian Journal of Applied Physics], 2016, no. 9, pp. 24-31.

5. Khasanov A.S. [The solution of the evaporation problem of two drops by operator methods for arbitrary radii of drops and arbitrary distances between them]. In: Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo oblastnogo universiteta. Seriya Fizika-Matematika [Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics], 2018, no. 2, pp. 51-60.

6. Shchukin E.R., Malai N.V., Shulimanova Z.L., Uvarova L.A. [Diffuse vaporization (sublimation) of a large aerosol particle under precipitous changes in the ambient temperature]. In: Teplofizika vysokikh temperature [High Temperature], 2015, vol. 53, no. 4, pp. 561-568.

7. Fuks N.A. Evaporation and droplet growth in gaseous medium. Oxford, Pergamon Press,

1959.

8. Galoyan V.S., Yalamov Yu.I. Dinamika kapel’ v neodnorodnykh vyazkikh sredakh [Dynamics of droplets in an inhomogeneous viscous media]. Yerevan, Luis Publ., 1985. 208 p.

9. Loyalka S.K. Approximate method in the kinetic theory. In: The Physics of Fluids, 1971, vol. 14, no. 11, pp. 2291-2294.

10. Dech G. Rukovodstvo k prakticheskomu primeneniyu preobrazovaniya Laplasa i Z-preobrazovaniya [Handbook on the practical use of Laplace transforms and Z-transforms]. Moscow, Nauka Publ., 1971. 288 p.

11. Yalamov Yu.I., Kuz’min M.K. [Rate of unsteady of a spherical drop with regard to concentration and temperature discontinuities at its surface]. In: Zhurnal tekhnicheskoifiziki [Technical Physics. The Russian Journal of Applied Physics], 2005, vol. 75, no. 3, pp. 30-35.

12. Amelin A.G. Teoreticheskie osnovy obrazovaniya tumana pri kondensatsii para [The theoretical basis for the formation of fog in the condensation of vapor]. Moscow, Khimiya Publ., 1972. 304 p.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Кузьмин Михаил Кузьмич — доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа и геометрии Московского государственного областного университета;

e-mail: [email protected]

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

MikhailK. Kuzmin — Doctor in Physical and Mathematical Sciences, Professor at the Department of Mathematical Analysis and Geometry, Moscow Region State University; e-mail: [email protected]

ПРАВИЛЬНАЯ ССЫЛКА НА СТАТЬЮ

Кузьмин М.К. Обобщённые формулы для скорости изменения радиусов крупных аэрозольных капель в процессе их испарения и конденсации // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2018. № 4. С. 155-166.

DOI: 10.18384/2310-7251-2018-4-155-166

FOR CITATION

Kuzmin M.K. Generalized formulae for the rate of change in the radii of large aerosol droplets in the process of evaporation and condensation. In: Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics, 2018, no. 4, pp. 155-166. DOI: 10.18384/2310-7251-2018-4-155-166

Урок 4. равномерное движение точки по окружности — Физика — 10 класс

Законы Кеплера

Орбиты небесных тел – траектории, по которым движутся в космическом пространстве Солнце, звёзды, планеты, кометы, а также искусственные космические аппараты (искусственные спутники Земли, Луны и других планет, межпланетные станции и т. п.). Формы орбит и скорости, с которыми движутся по ним небесные тела, определяются главным образом силой всемирного тяготения. При исследовании движения небесных тел в большинстве случаев допустимо считать их материальными точками.

Указанные упрощения приводят к так называемой задаче двух тел. Одно из решений этой задачи было дано И. Кеплером, полное решение задачи было получено И. Ньютоном.

Заслуга открытия законов движения планет принадлежит выдающемуся немецкому учёному Иоганну Кеплеру (1571–1630). В начале XVII в. Кеплер, изучая обращение Марса вокруг Солнца, установил три закона движения планет.

Первый закон Кеплера. Каждая планета обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Второй закон Кеплера(закон площадей). Радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени описывает равные площади.

Третий закон Кеплера. Квадраты звёздных периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Ньютон доказал, что одна из притягивающихся материальных точек обращается вокруг другой по орбите, имеющей форму эллипса (или окружности, которая является частным случаем эллипса), параболы или гиперболы. В фокусе этой кривой находится вторая точка. Форма орбиты зависит: от масс рассматриваемых тел; от расстояния между ними; от скорости, с которой одно тело движется относительно другого.

Движение небесных тел

Чтобы начав движение вблизи поверхности Земли, тело преодолело земное притяжение и навсегда покинуло Землю по параболической орбите, необходимо сообщить ему начальную скорость не меньше 11,2 км/с. Эта скорость называется второй космической скоростью. Наименьшая начальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником Земли, называется первой космической скоростью. Она равна 7,91 км/с. Большинство тел Солнечной системы движется по эллиптическим орбитам. Только некоторые малые тела Солнечной системы – кометы, возможно, движутся по параболическим или гиперболическим орбитам. В задачах космического полёта наиболее часто встречаются эллиптические и гиперболические орбиты. Так, межпланетные станции отправляются в полет, имея гиперболическую орбиту относительно Земли; затем они движутся по эллиптическим орбитам относительно Солнца по направлению к планете назначения.

Ориентация орбиты в пространстве, её размеры и форма, а также положение небесного тела на орбите определяются шестью величинами, называемыми элементами орбиты. Орбиты небесных светил имеют некоторые характерные точки, которые получили собственные названия. Так, ближайшая к Солнцу точка орбиты небесного тела, движущегося вокруг Солнца, называется перигелием, а наиболее удалённая от него точка эллиптической орбиты – афелием. Если тело движется относительно Земли, то ближайшая к Земле точка орбиты называется перигеем, а самая далёкая – апогеем. В более общих задачах, когда под притягивающим центром можно подразумевать разные небесные тела, употребляют названия: перицентр (ближайшая к центру точка орбиты) и апоцентр (наиболее удалённая от центра точка орбиты).

Методы, разработанные в небесной механике, позволяют очень точно на много лет вперёд определить положение любых тел Солнечной системы.

1.9.2 Угловая и линейная скорости вращения

Вращательное движение вокруг неподвижной оси — еще один частный случай движения твердого тела. Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, называемой осью вращения, при этом плоскости, которым принадлежат эти окружности, перпендикулярны оси вращения (рис.2.4). В технике такой вид движения встречается очень часто: например, вращение валов двигателей и генераторов, турбин и пропеллеров самолетов. Угловая скорость. Каждая точка вращающегося вокруг оси тела, проходящей через точку О, движется по окружности, и различные точки проходят за время разные пути. Так, , поэтому модуль скорости точки А больше, чем у точки В (рис.2.5). Но радиусы окружностей поворачиваются за время на один и тот же угол . Угол — угол между осью ОХ и радиус-вектором , определяющим положение точки А (см. рис.2.5). Пусть тело вращается равномерно, т. е. за любые равные промежутки времени поворачивается на одинаковые углы. Быстрота вращения тела зависит от угла поворота радиус-вектора, определяющего положение одной из точек твердого тела за данный промежуток времени; она характеризуется угловой скоростью. Например, если одно тело за каждую секунду поворачивается на угол , а другое — на угол , то мы говорим, что первое тело вращается быстрее второго в 2 раза. Угловой скоростью тела при равномерном вращении называется величина, равная отношению угла поворота тела к промежутку времени , за который этот поворот произошел. Будем обозначать угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению Угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с). Например, угловая скорость вращения Земли вокруг оси равна 0,0000727 рад/с, а точильного диска — около 140 рад/с1. Угловую скорость можно выразить через частоту вращения, т. е. число полных оборотов за 1с. Если тело совершает (греческая буква «ню») оборотов за 1с, то время одного оборота равно секунд. Это время называют периодом вращения и обозначают буквой T. Таким образом, связь между частотой и периодом вращения можно представить в виде: Полному обороту тела соответствует угол . Поэтому согласно формуле (2.1) Если при равномерном вращении угловая скорость известна и в начальный момент времени угол поворота , то угол поворота тела за время t согласно уравнению (2.1) равен: Если , то , или . Угловая скорость принимает положительные значения, если угол между радиус-вектором, определяющим положение одной из точек твердого тела, и осью ОХ увеличивается, и отрицательные, когда он уменьшается. Тем самым мы можем описать положение точек вращающегося тела в любой момент времени. Связь между линейной и угловой скоростями. Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть ее отличие от угловой скорости. Мы уже отмечали, что при вращении твердого тела разные его точки имеют неодинаковые линейные скорости, но угловая скорость для всех точек одинакова. Между линейной скоростью любой точки вращающегося тела и его угловой скоростью существует связь. Установим ее. Точка, лежащая на окружности радиусом R, за один оборот пройдет путь . Поскольку время одного оборота тела есть период T, то модуль линейной скорости точки можно найти так: Так как , то Из этой формулы видно, что, чем дальше расположена точка тела от оси вращения, тем больше ее линейная скорость. Для точек земного экватора , а для точек на широте Санкт-Петербурга . На полюсах Земли . Модуль ускорения точки тела, движущейся равномерно по окружности, можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности: Следовательно, Чем дальше расположена точка твердого тела от оси вращения, тем большее по модулю ускорение она имеет. Итак, мы научились полностью описывать движение абсолютно твердого тела, вращающегося равномерно вокруг неподвижной оси, так как, пользуясь формулами , можем находить положение, модули скорости и ускорения любой точки тела в произвольный момент времени. Знаем мы и направления и , a также форму траекторий точек.

Формулы кинематики с пояснениями по физике / Блог / Справочник :: Бингоскул

Кинематика — раздел физики, занимающийся исследованием законов движения идеальных тел.

Основные формулы с пояснениями, которые помогут в решении заданий ЕГЭ по физике: движение, скорость, ускорение.2 } { 2 }

• y — координата (высота подъема)
• y₀ — начальная координата (высота)
• g — ускорение свободного падения
• t — время

Общее время движения тела, брошенного горизонтально

t_max=\sqrt { \frac { 2h } { g } }

• t_макс — максимальное время
• h — высота
• g — ускорение свободного падения

---

Смотри также:

Расчет RCF-RPM on-line

Расчет RCF-RPM on-line

Он-лайн калькулятор может быть использован для:

• расчета параметра RPM (обороты в минуту) при работе по протоколам к нашим наборам или методикам, приведенным в статьях;
• указания универсальной величины центрифугирования RCF (g) в своих публикациях.

Отличие

RCF от RPM

В статьях рекомендуется указывать универсальную величину — относительное ускорение центрифуги (RCF, Relative Centrifugal Force), которая измеряется в g. Это дает возможность воспроизвести методику в любой лаборатории. Если установить одно и то же значение RCF на разных центрифугах, они будут осаждать образец с одинаковой эффективностью.

Некоторые модели центрифуг не позволяют задать ускорение RCF, на них возможно установить только частоту вращения (RPM, Rotation Per Minute), которая измеряется в оборотах в минуту. RPM характеризует условия центрифугирования только на выбранной модели центрифуги: если установить одно и то же значение RPM на центрифугах с разными роторами, они будут осаждать образец с разной эффективностью.

RCF, RPM и радиус ротора центрифуги связаны формулой:

, где:

RPM — частота вращения в оборотах в минуту,
RCF — относительное ускорение центрифуги в g,
r — радиус ротора в сантиметрах.

Из этой формулы следует два вывода:

• Чем больше радиус ротора, тем меньше нужно оборотов в минуту, чтобы поддерживать то же относительное ускорение. Информацию о роторе указывают в руководстве по эксплуатации центрифуги.
• Любое изменение частоты вращения сильно влияет на эффективность центрифугирования, поскольку RCF прямо пропорционально квадрату RPM.

Перевести

g в об/мин или наоборот

Радиус ротора (см):

Введите радиус ротора центрифуги в сантиметрах.

RCF (g):

При заполнении поля RCF (g) или RPM (об/мин),
второе значение рассчитается автоматически.

Период и частота обращения | Физика

Равномерное движение по окружности характеризуют периодом и частотой обращения.

Период обращения — это время, за которое совершается один оборот.

Если, например, за время t=4 с тело, двигаясь по окружности, совершило n = 2 оборота, то легко сообразить, что один оборот длился 2 с. Это и есть период обращения. Обозначается он буквой T и определяется по формуле

Итак, чтобы найти период обращения, надо время, за которое совершено n оборотов, разделить на число оборотов.

Другой характеристикой равномерного движения по окружности является частота обращения.

Частота обращения — это число оборотов, совершаемых за 1 с. Если, например, за время t = 2 с тело совершило n = 10 оборотов, то легко сообразить, что за 1 с оно успевало совершить 5 оборотов. Это число и выражает частоту обращения. Обозначается она греческой буквой ν (читается: ню) и определяется по формуле

Итак, чтобы найти частоту обращения, надо число оборотов разделить на время, в течение которого они произошли.

За единицу частоты обращения в СИ принимают частоту обращения, при которой за каждую секунду тело совершает один оборот. Эта единица обозначается так: 1/с или с^-1 (читается: секунда в минус первой степени). Раньше эту единицу называли «оборот в секунду», но теперь это название считается устаревшим.

Сравнивая формулы (6.1) и (6.2), можно заметить, что период и частота — величины взаимно обратные. Поэтому

Формулы (6.1) и (6.3) позволяют найти период обращения T, если известны число n и время оборотов t или частота обращения ν. Однако его можно найти и в том случае, когда ни одна из этих величин неизвестна. Вместо них достаточно знать скорость тела v и радиус окружности r, по которой оно движется. Для вывода новой формулы вспомним, что период обращения — это время, за которое тело совершает один оборот, т. е. проходит путь, равный длине окружности (l_окр = 2πr, где π≈3,14— число «пи», известное из курса математики). Но мы знаем, что при равномерном движении время находится делением пройденного пути на скорость движения. Таким образом,

Итак, чтобы найти период обращения тела, надо длину окружности, по которой оно движется, разделить на скорость его движения.

Видео, не по теме но интересно

1. Что такое период обращения? 2. Как можно найти период обращения, зная время и число оборотов? 3. Что такое частота обращения? 4. Как обозначается единица частоты? 5. Как можно найти частоту обращения, зная время и число оборотов? 6. Как связаны между собой период и частота обращения? 7. Как можно найти период обращения, зная радиус окружности и скорость движения тела?

Веб-сайт класса физики

Круговое движение и гравитация: обзор набора задач

Этот набор из 27 задач нацелен на вашу способность комбинировать законы Ньютона и уравнения кругового движения и гравитации для анализа движения объектов, движущихся по кругу, включая орбитальные спутники. Проблемы варьируются по сложности от очень простых и простых до очень сложных и сложных.Более сложные задачи обозначены цветом , синие задачи .

Характеристики движения объектов, движущихся по кругам.

Объекты, движущиеся по кругу, имеют скорость, равную пройденному за время пути расстоянию. Расстояние вокруг круга эквивалентно длине окружности и рассчитывается как 2 • pi • R, где R — радиус. Время на один оборот по окружности называется периодом и обозначается символом T.Таким образом, средняя скорость объекта при круговом движении определяется выражением 2 • pi • R / T. Часто в постановке задачи указывается частота вращения в оборотах в минуту или в оборотах в секунду. Каждый оборот по окружности эквивалентен длине окружности. Таким образом, умножение частоты вращения на длину окружности позволяет определить среднюю скорость объекта.

Ускорение объектов, движущихся по кругу, основано в первую очередь на изменении направления.Фактическая скорость ускорения зависит от скорости изменения направления и напрямую связана со скоростью и обратно пропорциональна радиусу поворота. В итоге ускорение определяется выражением v ² / R, где v — скорость, а R — радиус окружности.

Уравнения для средней скорости (v) и среднего ускорения (a) приведены ниже.

v = d / t = 2 • pi • R / T = частота • 2 • pi • R
а = v ² / R

Направленные величины для объектов, движущихся по кругу

Успешный математический анализ объектов, движущихся по кругу, во многом зависит от концептуального понимания направления вектора ускорения и результирующей силы.Движение по круговой траектории требует чистой силы, направленной к центру круга. В каждой точке пути результирующая сила должна быть направлена ​​внутрь. Хотя может существовать отдельная сила, направленная наружу, должна быть внутренняя сила, которая подавляет ее по величине и удовлетворяет требованию для внутренней чистой силы. Поскольку чистая сила и ускорение всегда в одном и том же направлении, ускорение объектов, движущихся по кругу, также должно быть направлено внутрь.

Диаграммы свободного тела и второй закон Ньютона

Часто силовой анализ должен проводиться для объекта, движущегося по кругу.Цель анализа — либо определить величину отдельной силы, действующей на объект, либо использовать значения отдельных сил для определения ускорения. Как и любая задача анализа сил, эти задачи должны начинаться с построения диаграммы свободного тела, показывающей тип и направление всех сил, действующих на объект. Из диаграммы F _net = m • можно записать уравнение. При написании уравнения помните, что F _net представляет собой векторную сумму всех индивидуальных сил.Лучше всего это записывать, складывая все силы, действующие в направлении ускорения (внутрь), и вычитая те, которые ему противостоят. Два примера показаны на рисунке ниже.

Закон всемирного тяготения Ньютона

Спутники, движущиеся по орбите, — это просто снаряды — объекты, на которые действует только сила тяжести. Сила, управляющая их движением, — это сила гравитационного притяжения к объекту, который находится в центре их орбиты.Планеты вращаются вокруг Солнца в результате гравитационной силы притяжения к Солнцу. Естественные луны вращаются вокруг планет в результате гравитационной силы притяжения к планете. Гравитация — это сила, которая действует на больших расстояниях таким образом, что любые два объекта с массой будут притягиваться. Ньютон был первым, кто предложил теорию, чтобы описать это универсальное массовое притяжение и выразить его математически. Закон, известный как закон всемирного тяготения, гласит, что сила гравитационного притяжения прямо пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами.В форме уравнения:

F _grav = G • m ₁ • m ₂ / d ²

где m ₁ и m ₂ — массы притягивающих объектов (в кг), d — расстояние разделения, измеренное от центра объекта до центра объекта (в метрах), а G — константа пропорциональности (иногда называемая всемирная гравитационная постоянная). Значение G составляет 6,673 x 10 ^-11 Н • м ² / кг ² .

Ускорение свободного падения

Поскольку на орбитальные спутники действует исключительно сила тяжести, их ускорение является ускорением силы тяжести (g). На земной поверхности это значение составило 9,8 м / с ² . Для местоположений, отличных от поверхности Земли, необходимо уравнение, которое выражает g через соответствующие переменные. Ускорение свободного падения зависит от массы объекта, который находится в центре орбиты (M _{в центре} ) и расстояния разделения от этого объекта (d).Уравнение, связывающее эти две переменные с ускорением свободного падения, получено из закона всемирного тяготения Ньютона. Уравнение

g = G • M _{центральный} / d ²

где G составляет 6,673 x 10 ^-11 Н • м ² / кг ² .

Орбитальная скорость

Скорость, необходимая для того, чтобы спутник оставался на орбите вокруг центрального тела (планеты, солнца, другой звезды и т. Д.).) зависит от радиуса орбиты и массы центрального тела. Уравнение, выражающее взаимосвязь между этими переменными, получается путем объединения определений ускорения кругового движения с законом всемирного тяготения Ньютона. Уравнение

v = SQRT (G • M _{центральный} / R)

где M _central — масса центрального тела, вокруг которого вращается спутник, R — радиус орбиты, G — 6,673 x 10 ^-11 Н • м ² / кг ² .

Орбитальный период

Для общего движения объекта по кругу период связан с радиусом круга и скоростью объекта уравнением v = 2 • pi • R / T. В случае орбитального спутника это уравнение для скорости можно приравнять к уравнению для орбитальной скорости, полученной из всемирного тяготения, чтобы получить новое уравнение для орбитального периода. Результат вывода:

T ² / R ³ = 4 • pi ² / (G • M _{центральный} )

где M _central — масса центрального тела, вокруг которого вращается спутник, R — радиус орбиты, а G — 6.673 x 10 ^-11 Н • м ² / кг ² . Выраженное таким образом уравнение показывает, что отношение квадрата периода к радиусу в кубе для любого спутника, вращающегося вокруг центрального тела, одинаково независимо от природы спутника или радиуса его орбиты. Это соотношение зависит только от массы объекта, который втягивает орбитальный спутник внутрь. Этот принцип согласуется с третьим законом движения планет Кеплера.

Резюме математических формул

Одна из трудностей, с которыми может столкнуться учащийся в этом наборе задач, — это путаница относительно того, какую формулу использовать.В таблице ниже представлено полезное резюме формул, относящихся к круговому движению и движению спутника. В таблице многие формулы получены из других уравнений. Таким образом, часто будет несколько способов определения неизвестной величины. Подходя к этим проблемам, вам предлагается практиковать обычные привычки эффективного решателя проблем; определить известные и неизвестные величины в виде символов физических формул, разработать стратегию использования известных для решения неизвестного, а затем, наконец, выполнить необходимые алгебраические шаги и замены, необходимые для решения.

Для расчета …	… используйте уравнение (а):
Скорость (v)	v = 2 • pi • R / T v = SQRT (G • M центральный / R) только для спутников
Разгон (а)	a = v 2 / R или a = F net / m a = g = G • M центральный / d 2 только для спутников
Чистая сила (F net )	F net = m • a или F net = m • v 2 / R F net = F grav = G • m sat • M центральный / d 2 только для спутников
Период (Т)	T = 2 • pi • R / v T 2 = 4 • pi 2 / (G • M центральный ) • R 3 только для спутников

Привычки эффективно решать проблемы

Эффективный решатель проблем по привычке подходит к физической проблеме таким образом, который отражает набор дисциплинированных привычек.Хотя не все эффективные специалисты по решению проблем используют один и тот же подход, все они имеют общие привычки. Эти привычки кратко описаны здесь. Эффективное решение проблем …

• … внимательно читает задачу и создает мысленную картину физической ситуации. При необходимости они набрасывают простую схему физической ситуации, чтобы помочь визуализировать ее.
• … определяет известные и неизвестные величины в организованном порядке, часто записывая их на диаграмме.Они приравнивают заданные значения к символам, используемым для представления соответствующей величины (например, m = 61,7 кг, v = 18,5 м / с, R = 30,9 м, F _norm = ???).
• … строит стратегию решения неизвестной величины; стратегия, как правило, сосредоточена вокруг использования физических уравнений и во многом зависит от понимания физических принципов.
• … определяет подходящую (ые) формулу (ы) для использования, часто записывая их. При необходимости они выполняют необходимое преобразование количеств в правильные единицы.
• … выполняет подстановки и алгебраические манипуляции, чтобы найти неизвестную величину.

Подробнее …

Дополнительная литература / Учебные пособия:

Следующие страницы учебного пособия «Физический класс» могут быть полезны для понимания концепций и математики, связанных с этими проблемами.

Набор задач кругового движения и гравитации

Просмотреть набор задач

Решения с аудиогидом для кругового движения и гравитации

Просмотрите решение проблемы с аудиогидом:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27

Формула линейной скорости (вращающийся объект)

Линейная скорость точки на вращающемся объекте зависит от ее расстояния от центра вращения.Угловая скорость — это угол, под которым объект движется за определенный промежуток времени. Угловая скорость измеряется в радианах в секунду (рад / с). В полном круге 2π радиана. На расстоянии r от центра вращения точка на объекте имеет линейную скорость, равную угловой скорости, умноженной на расстояние r. Единицы измерения линейной скорости — метры в секунду, м / с.

линейная скорость = угловая скорость x радиус вращения

v = ωr

v = линейная скорость (м / с)

ω = угловая скорость (радиан / с)

r = радиус вращения (м)

Формула линейной скорости (вращающийся объект) Вопросы:

1) Электродрель работает, крутится на 10.0 оборотов в секунду (об / с). Диаметр сверла 4,00 мм. Какова линейная скорость точки на поверхности сверла в метрах в секунду?

Ответ: Первый шаг — найти угловую скорость сверла. Число оборотов в секунду необходимо перевести в радианы в секунду. В полном круге 2π радиана.

ω = 10,0 об / с

Расстояние между центром вращения и точкой на поверхности сверла равно радиусу.Диаметр сверла указан в миллиметрах. Радиус в метрах:

∴r = 0,002 м

Используя формулу v = ωr, линейная скорость точки на поверхности бурового долота равна

v = ωr

∴v = (62,8 радиан / с) (0,002 м)

Линейная скорость точки на поверхности сверла составляет приблизительно 0,126 м / с. Радианы — это единица измерения «заполнитель», поэтому они не включаются при записи решенного значения для линейной скорости.

2) Еще вопрос.

Датчик, подключенный к автомобильному колесу, измеряет линейную скорость. Датчик находится на 0,080 м от центра вращения. В этом положении датчик показывает, что линейная скорость колеса составляет 8,00 м / с. Если радиус колеса 0,220 м, какова линейная скорость на внешней кромке колеса?

Ответ: Линейная скорость различается на разных расстояниях от центра вращения, но угловая скорость одинакова везде на колесе.Чтобы решить эту проблему, сначала найдите угловую скорость, используя линейную скорость в положении датчика 0,080 м. Формулу v = ωr можно переписать, чтобы найти угловую скорость ω:

Это также угловая скорость на внешней кромке колеса, радиус которой равен r = 0,220 м. Формулу v = ωr можно снова использовать для определения линейной скорости на этом радиусе:

v = ωr

v = (100 рад / с) (0,220 м)

∴v = 22.0 м / с

Линейная скорость автомобильного колеса по внешнему краю 22,0 м / с.

1.4: Скорость и угловая скорость

Длина дуги по окружности

В разделе 1.3 мы узнали, что радианная мера угла равна длине дуги на единичной окружности, связанной с этим углом. Таким образом, дуга длины 1 на единичной окружности образует угол в 1 радиан. Бывают случаи, когда также будет полезно знать длину дуг на других окружностях, которые образуют тот же угол.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Дуги, заключенные под углом в 1 радиан.

На рисунке \ (\ PageIndex {1} \) внутренний круг имеет радиус 1, внешний круг имеет радиус \ (r \), а показанный угол имеет меру \ (\ theta \) радиан. . Таким образом, длина дуги на единичной окружности, образуемой углом, равна \ (\ theta \), и мы использовали s для представления длины дуги на окружности радиуса \ (r \), образуемой этим углом.

Напомним, что длина окружности радиуса \ (r \) равна \ (2 \ pi r \), а длина окружности радиуса 1 равна \ (2 \ pi \).Следовательно, отношение длины дуги \ (s \) на окружности радиуса \ (r \), которая образует угол в \ (\ theta \) радиан к соответствующей дуге единичной окружности, равно \ (\ dfrac {2 \ pi r} {2 \ pi} = r \). Отсюда следует, что

\ [\ dfrac {s} {\ theta} = \ dfrac {2 \ pi r} {\ pi} \]

\ [s = r \ theta \]

Определение

На окружности радиуса \ (r \) длина s дуги, пересекаемая центральным углом с радианной мерой, равна

.

\ [s = r \ theta \]

Примечание

Важно помнить, что для расчета длины дуги необходимо измерить центральный угол в радианах.

(Непонятно, почему буква \ (s \) обычно используется для обозначения длины дуги. Одно из объяснений состоит в том, что дуга «расширяет» угол.)

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Использование кружков в начале действия для этого раздела:

1. Используйте формулу для длины дуги, чтобы определить длину дуги на окружности радиусом 10 футов, которая образует центральный угол в \ (\ dfrac {\ pi} {2} \) радиан. Результат равен одной четверти длины окружности?
2. Используйте формулу для длины дуги, чтобы определить длину дуги на окружности радиусом 20 футов, которая образует центральный угол в \ (\ dfrac {\ pi} {2} \) радиан.\ circ}) = \ dfrac {11 \ pi} {90} \) и \ [s = r \ theta = (3ft) \ dfrac {11 \ pi} {90} \] \ [s = \ dfrac {11 \ pi} {30} \] Длина дуги составляет \ (\ dfrac {11 \ pi} {30} \) футов или около \ (1.1519 \) футов.

Почему радианы?

Градус знаком и удобен, так почему же мы вводим единицу радиан? Это хороший вопрос, но на него есть тонкий ответ. Как мы только что видели, длина \ (s \) дуги на окружности радиуса \ (r \), образуемой углом в \ (\ theta \) радиан, равна \ (s = r \ theta \), поэтому \ (\ theta = \ dfrac {s} {r} \).В результате радиан представляет собой отношение двух длин (отношение длины дуги к радиусу окружности), что делает радиан безразмерной величиной. Таким образом, измерение в радианах можно рассматривать как действительное число. Это удобно для работы с длиной дуги (и угловой скоростью, как мы скоро увидим), и это также будет полезно при изучении периодических явлений в главе 2. По этой причине радианная мера повсеместно используется в математике, физике и технике как в отличие от степеней, потому что, когда мы используем градусную меру, мы всегда должны учитывать градусное измерение в вычислениях.Это означает, что радианы на самом деле более естественны с математической точки зрения, чем градусы.

Линейная и угловая скорость

Связь между дугой на окружности и углом, который она образует, измеряемым в радианах, позволяет нам определять величины, относящиеся к движению по окружности. Объекты, движущиеся по круговым траекториям, обладают двумя типами скорости: линейной и угловой скоростью. Представьте себе вращение на карусели. Если вы уроните камешек с края движущейся карусели, камешек не упадет прямо вниз.Вместо этого он будет продолжать двигаться вперед со скоростью, которую имела карусель в тот момент, когда камешек был выпущен. Это линейная скорость гальки. Линейная скорость измеряет, как длина дуги изменяется во времени.

Рассмотрим точку \ (P \), движущуюся с постоянной скоростью по окружности радиуса \ (r \). Это называется равномерным круговым движением . Предположим, что P перемещается на расстояние s единиц за время \ (t \). Линейная скорость v точки \ (P \) — это расстояние, которое она проехала, деленная на прошедшее время.То есть \ (v = \ dfrac {s} {t} \). Расстояние s — это длина дуги, и мы знаем, что \ (s = r \ theta \).

Определение: линейная скорость

Рассмотрим точку \ (P \), движущуюся с постоянной скоростью по окружности радиуса \ (r \). Линейная скорость \ (v \) точки \ (P \) равна

.

\ [v = \ dfrac {s} {t} = \ dfrac {r \ theta} {t} \]

где \ (\ theta \), измеренный в радианах, — это центральный угол, образованный дугой длиной \ (s \).

Другой способ измерить, насколько быстро объект движется с постоянной скоростью по круговой траектории, называется угловой скоростью. В то время как линейная скорость измеряет, как длина дуги изменяется с течением времени, угловая скорость является мерой того, насколько быстро изменяется центральный угол с течением времени.

Определение: угловая скорость

Рассмотрим точку P, движущуюся с постоянной скоростью по окружности радиуса r по дуге, соответствующей центральному углу измерения \ (\ theta \) (в радианах).Угловая скорость точки \ (\ omega \) — это радианная мера угла \ (\ theta \), деленная на время t, необходимое для того, чтобы охватить этот угол. То есть

\ [\ omega = \ dfrac {\ theta} {t}. \]

Примечание

Символ \ (\ omega \) — это строчная греческая буква «омега». Также обратите внимание, что угловая скорость не зависит от радиуса r.

Это несколько специализированное определение угловой скорости, которое немного отличается от общепринятого термина, используемого для описания скорости вращения точки по окружности.Этот срок составляет об / мин или об / мин . Иногда используется единица измерения оборотов в секунду . Лучший способ представить количество оборотов в минуту — использовать «дробь единицы» \ (\ dfrac {rev} {min} \). Поскольку 1 оборот равен \ (2 \ pi \) радианам, мы видим, что если объект min движется со скоростью x оборотов в минуту, то

\ [\ omega = x \ dfrac {rev} {min} \ cdot \ dfrac {2 \ pi rad} {rev} = x (2 \ pi) \ dfrac {rad} {min}. \]

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Предположим, круглый диск вращается со скоростью 40 оборотов в минуту.Мы хотим определить линейную скорость v (в футах в секунду) точки, находящейся на расстоянии 3 футов от центра диска.

1. Определите угловую скорость \ (\ omega \) точки в радианах в минуту. Подсказка : Используйте формулу \ [\ omega = x \ dfrac {rev} {min} \ cdot \ dfrac {2 \ pi rad} {rev}. \]
2. Теперь мы знаем \ (\ omega = \ dfrac {\ theta} {t} \). Поэтому используйте формулу \ (v = \ dfrac {r \ theta} {t} \), чтобы определить \ (v \) в футах в минуту.
3. Наконец, преобразуйте линейную скорость v из футов в минуту в футы в секунду.

Ответ

1. Мы видим, что

\ [\ omega = 40 \ dfrac {rev} {min} \ times \ dfrac {2 \ pi \ space rad} {rev} \]
\ [\ omega = 80 \ pi \ dfrac {rad} {min} \ ]

2. Результат части (а) дает

\ [v = r (\ dfrac {\ theta} {r}) = r \ omega \]
\ [v = (3ft) \ times 80 \ pi \ dfrac {rad} {min} \]
\ [v = 240 \ pi \ dfrac {ft} {min} \]

3. Теперь мы переводим футы в минуту в футы в секунду.

\ [v = 240 \ pi \ dfrac {ft} {min} \ times \ dfrac {1 \ space min} {60 \ space sec} \]
\ [v = 4 \ pi \ dfrac {ft} {sec} \ около 12.566 \ dfrac {ft} {sec} \]

Обратите внимание, что в упражнении 1.18, как только мы определили угловую скорость, мы смогли определить линейную скорость. То, что мы сделали в этом конкретном случае, мы можем сделать в целом. Существует простая формула, которая напрямую связывает линейную скорость с угловой скоростью. Наша формула для линейной скорости: \ (v = \ dfrac {s} {t} \ dfrac {r \ theta} {t} \). Обратите внимание, что мы можем записать это как \ (v = r \ dfrac {\ theta} {t} \). То есть \ (v = r \ omega \)

Примечание

Рассмотрим точку \ (P \), движущуюся с постоянной (линейной) скоростью \ (v \) по окружности радиуса \ (r \).Если угловая скорость равна \ (\ omega \), то

\ [v = r \ omega \]

Итак, в упражнении 1.18, когда мы определили, что \ (\ omega = 80 \ pi \ dfrac {rad} {min} \), мы могли бы определить v следующим образом:

\ [v = r \ omega = (3 \ space ft) (80 \ pi \ dfrac {rad} {min} = 240 \ pi \ dfrac {ft} {min}). \]

Обратите внимание, что, поскольку радианы «без единиц измерения», мы можем отбросить их при работе с уравнениями, такими как предыдущее.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): линейная и угловая скорость

LP (долгоиграющая) или виниловая пластинка со скоростью 331 об / мин — это аналоговый носитель для хранения звука, который долгое время использовался для прослушивания музыки.LP обычно имеет диаметр 12 или 10 дюймов. Чтобы работать с нашими формулами для линейной и угловой скорости, нам нужно знать угловую скорость в радианах в единицу времени. Для этого мы преобразуем \ (33 \ dfrac {1} {3} \) оборотов в минуту в радианы в минуту. Мы будем использовать тот факт, что \ (33 \ dfrac {1} {3} = \ dfrac {100} {3} \)

\ [\ omega = \ dfrac {100} {3} \ dfrac {rev} {min} \ times \ dfrac {2 \ pi \ space rad} {1 \ space rev} = \ dfrac {200 \ pi} {3 } \ dfrac {rad} {min} \]

Теперь мы можем использовать формулу v D r! для определения линейной скорости точки на краю 12-дюймовой пластинки.Радиус 6 дюймов и так

\ [v = r \ omega = (6 \ пробел дюймов) (\ dfrac {200 \ pi} {3} \ dfrac {rad} {min}) = 400 \ pi \ dfrac {дюймы} {min} \]

Было бы удобнее выразить это десятичным числом в дюймах в секунду. Получаем

\ [v = 400 \ pi \ dfrac {дюймы} {мин} \ times \ dfrac {1 \ space min} {60 \ space sec} \ приблизительно 20. 944 \ dfrac {дюймы} {sec} \]

Линейная скорость составляет приблизительно 20,944 дюйма в секунду.

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Для этих задач мы предположим, что Земля представляет собой сферу с радиусом 3959 миль.Когда Земля вращается вокруг своей оси, человек, стоящий на Земле, будет путешествовать по кругу, перпендикулярному оси.

1. Земля вращается вокруг своей оси каждые \ (24 \) часа. Определите угловую скорость Земли в радианах в час. (Оставьте свой ответ в виде числа �� \ (\ pi \).)
2. Когда Земля вращается, человек, стоящий на экваторе, будет путешествовать по кругу с радиусом 3959 миль. Определите линейную скорость этого человека в милях в час.\ circ \) север будет двигаться по кругу радиусом 2800 миль. Определите линейную скорость этого человека в милях в час и футах в секунду.

Ответ

1. Один оборот соответствует \ (2 \ pi \) радианам. Итак, \ [\ omega = \ dfrac {2 \ pi \ space rad} {24 \ space hr} = \ dfrac {\ pi \ space rad} {12 \ space hr}. \]
2. Для определения линейной скорости мы используем формулу \ (v = r \ omega \) \ [v = r \ omega = (3959mi) (\ dfrac {\ pi} {12} \ dfrac {rad} {hr}) = \ dfrac {3959 \ pi} {12} \ dfrac {mi} {hr} \] Линейная скорость приблизительно равна 1036.5 миль в час.
3. Для определения линейной скорости мы используем формулу \ (v = r \ omega \) \ [v = r \ omega = (2800mi) (\ dfrac {\ pi} {12} \ dfrac {rad} {hr}) = \ dfrac {2800 \ pi} {12} \ dfrac {mi} {hr} \] Линейная скорость составляет примерно 733,04 мили в час. Чтобы преобразовать это в футы в секунду, мы используем тот факт, что в одной миле 5280 футов, в часе 60 минут и в минуте 60 секунд. Итак

\ [v = (\ dfrac {2800 \ pi} {12} \ dfrac {mi} {hr}) (\ dfrac {5280 \ space ft} {1 \ space mi}) (\ dfrac {1 \ space hr } {60 \ space min}) (\ dfrac {1 \ space min} {60 \ space sec}) = \ dfrac {(2800 \ pi) (5280)} {12 \ cdot 60 \ cdot 60} \ dfrac {ft } {сек} \]

Итак, линейная скорость приблизительно равна \ (1075.1 \) футов в секунду.

Сводка

В этом разделе мы изучили следующие важные концепции и идеи:

• На окружности радиуса \ (r \) длина дуги \ (s \), пересеченная центральным углом с радианной мерой, равна \ [s = r \ theta \]
• Равномерное круговое движение — это когда точка движется с постоянной скоростью по окружности круга. Линейная скорость — это длина дуги, пройденная точкой, деленная на прошедшее время.В то время как линейная скорость измеряет, как длина дуги изменяется с течением времени, угловая скорость является мерой того, насколько быстро изменяется центральный угол с течением времени. Угловая скорость точки — это радианная мера угла, деленная на время, необходимое для того, чтобы охватить этот угол.
• Для точки \ (P \), движущейся с постоянной (линейной) скоростью v по окружности радиуса \ (r \), имеем \ [v = r \ omega \], где \ (\ omega \) — угловая скорость точки.

Скорость, ускорение и сила | Безграничная физика

Угол вращения и угловая скорость

Угол поворота — это мера того, как далеко вращается объект, а угловая скорость — это скорость его вращения.

Цели обучения

Выразите взаимосвязь между углом поворота и расстоянием

Основные выводы

Ключевые моменты

• Когда объект вращается вокруг оси, точки на краю объекта перемещаются по дугам.
• Угол, выходящий за пределы этих дуг, называется углом поворота и обычно обозначается символом theta .
• Мера того, насколько быстро объект вращается относительно времени, называется угловой скоростью. Обычно он представлен греческим символом омега . Как и его аналог линейной скорости, это вектор.

Ключевые термины

• радиан : угол, образуемый в центре окружности дугой той же длины, что и радиус окружности.

Угол вращения и угловая скорость

Когда объект вращается вокруг оси, как в случае с шиной на автомобиле или с записью на поворотной платформе, движение можно описать двумя способами. Точка на краю вращающегося объекта будет иметь некоторую скорость и будет перенесена по дуге на вращающемся объекте. Точка будет перемещаться на расстояние [latex] \ Delta \ text {S} [/ latex], но часто удобнее говорить о степени поворота объекта. Величина поворота объекта называется углом поворота и может измеряться в градусах или радианах.Поскольку угол поворота связан с расстоянием [latex] \ Delta \ text {S} [/ latex] и с радиусом [latex] \ text {r} [/ latex] уравнением [latex] \ Delta \ theta = \ frac {\ Delta \ text {S}} {\ text {R}} [/ latex], обычно удобнее использовать радианы.

Угол θ и длина дуги s : Радиус круга поворачивается на угол [латекс] \ дельта \ тета [/ латекс]. Длина дуги [латекс] \ Delta \ text {s} [/ latex] указывается на окружности.

Скорость вращения объекта определяется угловой скоростью, которая представляет собой скорость изменения угла поворота во времени.Хотя сам угол не является векторной величиной, угловая скорость — это вектор. Направление вектора угловой скорости перпендикулярно плоскости вращения в направлении, которое обычно задается правилом правой руки. Угловое ускорение дает скорость изменения угловой скорости. Угол, угловая скорость и угловое ускорение очень полезны при описании вращательного движения объекта.

Направление угловой скорости : Угловая скорость описывает скорость вращения и ориентацию мгновенной оси, вокруг которой происходит вращение.Направление угловой скорости будет вдоль оси вращения. В этом случае (вращение против часовой стрелки) вектор направлен вверх.

Когда ось вращения перпендикулярна вектору положения, угловую скорость можно вычислить, взяв линейную скорость [latex] \ text {v} [/ latex] точки на краю вращающегося объекта и разделив на радиус. Это даст угловую скорость, обычно обозначаемую [latex] \ omega [/ latex], в радианах в секунду.

Угловая скорость : Муха на краю вращающегося объекта фиксирует постоянную скорость [latex] \ text {v} [/ latex]. Объект вращается с угловой скоростью, равной [latex] \ frac {\ text {v}} {\ text {r}} [/ latex].

Центробежное ускорение

Центростремительное ускорение — это постоянное изменение скорости, необходимое объекту для поддержания круговой траектории.

Цели обучения

Выразите центростремительное ускорение через скорость вращения

Основные выводы

Ключевые моменты

• Чтобы объект мог двигаться по кругу, он должен постоянно менять направление.
• Поскольку скорость является вектором, изменения направления представляют собой изменения скорости.
• Изменение скорости называется ускорением. Изменение скорости из-за кругового движения известно как центростремительное ускорение.
• Центростремительное ускорение можно рассчитать, разделив квадрат линейной скорости на радиус круга, по которому движется объект.

Ключевые термины

• ускорение : величина, на которую увеличивается скорость или скорость (и, следовательно, скалярная величина или векторная величина).
• круговое движение : Движение таким образом, что пройденный путь представляет собой круговую траекторию.
• скорость : векторная величина, которая обозначает скорость изменения положения относительно времени или скорость с направленным компонентом.

Обзор

Как упоминалось в предыдущих разделах по кинематике, любое изменение скорости определяется ускорением. Часто изменения скорости являются изменениями по величине. Когда объект ускоряется или замедляется, это изменение скорости объекта.Изменения в величине скорости соответствуют нашему интуитивному и повседневному использованию термина «ускорение». Однако, поскольку скорость является вектором, у нее также есть направление. Следовательно, любое изменение направления движения объекта также должно сопровождаться ускорением.

Равномерное круговое движение означает, что объект движется по круговой траектории с постоянной скоростью. Поскольку скорость постоянна, обычно не думается, что объект ускоряется. Однако направление постоянно меняется, когда объект пересекает круг.Таким образом, говорят, что он ускоряется. Это ускорение можно почувствовать, катаясь на американских горках. Даже если скорость постоянная, быстрый поворот вызовет у гонщика чувство силы. Это ощущение ускорения.

Центростремительное ускорение : Краткий обзор центростремительного ускорения для школьников-физиков.

Расчет центростремительного ускорения

Чтобы вычислить центростремительное ускорение объекта, совершающего равномерное круговое движение, необходимо иметь скорость, с которой движется объект, и радиус круга, вокруг которого происходит движение.2 \ text {r} [/ latex]

, где омега — это скорость вращения, заданная [latex] \ frac {\ text {v}} {\ text {r}} [/ latex].

Центростремительное ускорение : Когда объект движется по окружности, направление вектора скорости постоянно меняется.

Центростремительная сила

Сила, которая вызывает движение по криволинейной траектории, называется центростремительной силой (равномерное круговое движение является примером центростремительной силы).

Цели обучения

Выразите уравнения для центростремительной силы и ускорения

Основные выводы

Ключевые моменты

• Когда объект находится в равномерном круговом движении, он постоянно меняет направление и, следовательно, ускоряется.Это угловое ускорение.
• Сила, действующая на объект при равномерном круговом движении (называемая центростремительной силой), действует на объект из центра круга.

Ключевые термины

• центростремительный : Направлен или движется к центру.
• угловая скорость : векторная величина, описывающая объект в круговом движении; его величина равна скорости частицы, а направление перпендикулярно плоскости ее кругового движения.

Сила, вызывающая движение по криволинейной траектории, называется центростремительной силой. Равномерное круговое движение является примером действия центростремительной силы. Это можно увидеть на орбите спутников вокруг Земли, натяжении веревки в игре с тросом, в петле-петле на американских горках или в ведре, вращающемся вокруг тела.

Обзор центростремительной силы : Краткий обзор центростремительной силы.

Ранее мы узнали, что любое изменение скорости — это ускорение.По мере того, как объект движется по круговой траектории, он постоянно меняет направление и, следовательно, ускоряется, вызывая постоянное воздействие на объект силы. Эта центростремительная сила действует по направлению к центру кривизны, по направлению к оси вращения. Поскольку объект движется перпендикулярно силе, путь, по которому он движется, является круговым. Именно эта сила удерживает мяч от выпадения из ведра, если вы непрерывно раскачиваете его по кругу.

Центростремительная сила : Когда объект движется по круговой траектории с постоянной скоростью, он испытывает центростремительную силу, ускоряющую его к центру.2 [/ латекс]

6.1 Угол поворота и угловая скорость

Угловая скорость

Насколько быстро вращается объект? Мы можем ответить на этот вопрос, используя понятие угловой скорости. Рассмотрим сначала угловую скорость (ω) (ω) — это скорость, с которой изменяется угол поворота. В форме уравнения угловая скорость равна

. 6.2 ω = ΔθΔt, ω = ΔθΔt,

, что означает, что угловое вращение (Δθ) (Δθ) происходит за время ΔtΔt. Если объект поворачивается на больший угол поворота в данный момент времени, он имеет большую угловую скорость.Единицы измерения угловой скорости — радианы в секунду (рад / с).

Теперь давайте рассмотрим направление угловой скорости, а это значит, что теперь мы должны называть ее угловой скоростью. Направление угловой скорости — вдоль оси вращения. Для объекта, вращающегося по часовой стрелке, угловая скорость указывает от вас вдоль оси вращения. Для объекта, вращающегося против часовой стрелки, угловая скорость указывает на вас вдоль оси вращения.

Угловая скорость (ω) — это угловая версия линейной скорости v .Тангенциальная скорость — это мгновенная линейная скорость объекта во вращательном движении . Чтобы получить точное соотношение между угловой скоростью и тангенциальной скоростью, снова рассмотрим яму на вращающемся компакт-диске. Эта яма проходит по длине дуги (Δs) (Δs) за короткий промежуток времени (Δt) (Δt), поэтому его тангенциальная скорость равна

Из определения угла поворота, Δθ = ΔsrΔθ = Δsr, мы видим, что Δs = rΔθΔs ​​= rΔθ. Подставляя это в выражение для v , получаем

v = rΔθΔt = rω.v = rΔθΔt = rω.

Уравнение v = rωv = rω говорит, что тангенциальная скорость v пропорциональна расстоянию r от центра вращения. Следовательно, тангенциальная скорость больше для точки на внешнем крае CD (с большим r ), чем для точки ближе к центру CD (с меньшим r ). Это имеет смысл, потому что точка, находящаяся дальше от центра, должна покрыть большую длину дуги за то же время, что и точка ближе к центру.Обратите внимание, что обе точки по-прежнему будут иметь одинаковую угловую скорость, независимо от их расстояния от центра вращения. См. Рисунок 6.4.

Рисунок 6.4 Точки 1 и 2 вращаются на один и тот же угол (ΔθΔθ), но точка 2 перемещается на большую длину дуги (Δs2Δs2), потому что она дальше от центра вращения.

Теперь рассмотрим другой пример: шину движущегося автомобиля (см. Рис. 6.5). Чем быстрее вращается шина, тем быстрее движется машина — большое ωω означает большое v , потому что v = rωv = rω.Точно так же шина большего радиуса, вращающаяся с той же угловой скоростью ωω, будет создавать для автомобиля большую линейную (тангенциальную) скорость v, . Это связано с тем, что больший радиус означает, что большая длина дуги должна касаться дороги, поэтому автомобиль должен двигаться дальше за то же время.

Рисунок 6.5 Автомобиль, движущийся со скоростью v, вправо, имеет шину, вращающуюся с угловой скоростью ωω. Скорость протектора шины относительно оси составляет v , такая же, как если бы автомобиль был поднят домкратом и колеса вращались, не касаясь дороги.Непосредственно под осью, где шина касается дороги, протектор шины движется назад по отношению к оси с тангенциальной скоростью v = rωv = rω, где r — радиус шины. Поскольку дорога неподвижна относительно этой точки шины, автомобиль должен двигаться вперед с линейной скоростью v . Чем больше угловая скорость шины, тем больше линейная скорость автомобиля.

Однако есть случаи, когда линейная скорость и тангенциальная скорость не эквивалентны, например, когда автомобиль вращает свои колеса по льду.В этом случае линейная скорость будет меньше тангенциальной скорости. Из-за отсутствия трения под шинами автомобиля на льду длина дуги, по которой движутся протекторы шин, больше, чем линейное расстояние, по которому движется автомобиль. Это похоже на бег на беговой дорожке или на велотренажере; вы буквально никуда не денетесь.

Советы для успеха

Угловая скорость ω и тангенциальная скорость v являются векторами, поэтому мы должны включить величину и направление.Направление угловой скорости — вдоль оси вращения и указывает от вас для объекта, вращающегося по часовой стрелке, и к вам для объекта, вращающегося против часовой стрелки. В математике это описывается правилом правой руки. Тангенциальная скорость обычно описывается как вверх, вниз, влево, вправо, север, юг, восток или запад, как показано на рисунке 6.6.

Рис. 6.6. Поскольку муха на краю старинной виниловой пластинки движется по кругу, ее мгновенная скорость всегда находится по касательной к кругу.Направление угловой скорости в данном случае указано на странице.

Watch Physics

Взаимосвязь между угловой скоростью и скоростью

В этом видео рассматриваются определение и единицы угловой скорости и их связь с линейной скоростью. Здесь также показано, как преобразовать число оборотов в радианы.

Проверка захвата

Для объекта, движущегося по круговой траектории с постоянной скоростью, изменится ли линейная скорость объекта при увеличении радиуса пути?

1. Да, потому что тангенциальная скорость не зависит от радиуса.
2. Да, потому что тангенциальная скорость зависит от радиуса.
3. Нет, поскольку тангенциальная скорость не зависит от радиуса.
4. Нет, потому что тангенциальная скорость зависит от радиуса.

Как найти среднюю скорость (формула и примеры)

Определение средней скорости

Средняя скорость объединяет две идеи в двух словах: средняя, ​​что означает среднее значение, полученное из множества отдельных точек данных, и скорость, которая представляет собой изменение положения.

Вы можете рассчитать среднюю скорость для любого типа движения, если можете рассчитать время движения и измерить расстояние.

Содержание

1. Определение средней скорости
2. Формула средней скорости
3. Как рассчитать среднюю скорость
4. Проблемы средней скорости

Формула средней скорости

Средняя скорость — это общее расстояние, пройденное до рассматриваемого объекта, деленное на общее время, затраченное на преодоление расстояния, общий период времени.Формула средней скорости:

Средняя скорость (с) = общее пройденное расстояние

Средняя скорость отличается от мгновенной скорости.

Мгновенная скорость

Средняя скорость учитывает все событие, такое как ускорение автомобиля с места остановки, ускорение, некоторое движение, затем замедление на желтый свет и, наконец, остановка.

Автомобиль движется с разной скоростью. В любой момент автомобиль не движется со скоростью 55 миль в час (миль в час).Это может быть 0 миль в час, затем 7 миль в час в другой момент, затем 53 миль в час, затем 61 миль в час и, наконец, 3 мили в час, прежде чем вернуться к 0 миль в час.

Чтобы упростить измерения и добиться прогресса в решении физико-математической задачи, вы берете среднюю скорость всех дискретных событий, говоря, что автомобиль проехал 5,5 миль за 6 минут:

с = 5,5 миль 6 мин. = 55 миль / ч

Все остальные измерения в определенные моменты путешествия — это мгновенная скорость . В большинстве случаев вы делаете , а не , вам нужно знать формулу для мгновенной скорости, v , находя предел по мере того, как изменение во времени («мгновенное») приближается к 0:

.

v = lim △ t → 0 △ x △ t

Мгновенные скорости колеблются во время события.Определение средней скорости на на проще — и обычно гораздо полезнее — чем расчет мгновенной скорости.

Скалярные и векторные величины

Скорость — это скалярная величина . У него нет направления. У него есть только размер, то есть величина или масштаб. Скалярные величины могут изменяться от 0 (нет скорости) до бесконечно высокой.

Векторная величина имеет размер и направление, как в случае с движением самолета в небе. Скорость — это векторная величина.

Скорость, будучи скалярной величиной, никогда не может быть меньше 0. Средняя и мгновенная скорости всегда являются скалярными величинами, что означает, что вы всегда можете измерить их числом. Расстояние и время также являются скалярными величинами и также могут быть измерены числами.

Как рассчитать среднюю скорость

Чтобы вычислить среднюю скорость объекта, вы должны знать общее расстояние, которое проходит объект, и общее время, затраченное на его полное путешествие.

Треугольник расстояние / скорость / время удобен для вычисления этой и двух других скалярных величин (расстояния и времени):

Три части треугольника математически расположены в правильных положениях:

1. Чтобы получить среднюю скорость, с, разделите общее расстояние на затраченное время: Dt
2. Чтобы получить истекшее время t, разделите общее расстояние на скорость: Ds
3. Чтобы получить расстояние D, умножьте скорость на количество времени: s × t

Допустим, вы хотите найти среднюю скорость тихоокеанской афалины.Вам говорят, что он может преодолеть расстояние 89,7 километра за 3 часа.

Вставьте эти два заданных числа в треугольник в их двух углах, чтобы получить:

с = 89,7 км3 часов = 29,9 километров в час (км / ч)

Если вы знаете две из трех переменных: расстояние, время и скорость, то вы можете использовать алгебру, чтобы найти то, что вам не хватает.

Если вам нужно общее время, у вас должны быть расстояние и скорость. Вы вставляете эти две скалярные величины в их части треугольника, чтобы получить:

т = 89.7 км 29,9 км / ч = 3 часа

Если вам нужно общее расстояние, у вас должны быть скорость и время:

D = 29,9 км / ч × 3 часа = 89,7 км

Средняя скорость особенно полезна, потому что она учитывает реальность события, а не предполагает, что что-то или кто-то движется с постоянной скоростью.

Морская свинья могла начать медленно, ускориться, остановиться для игры и продолжить. Этот трехпалый ленивец, возможно, остановился на мгновение, чтобы отдышаться, прежде чем поспешить дальше.Возможно, вам придется делать множество остановок во время прогулки с собакой, но во всех трех случаях вы можете легко вычислить среднюю скорость, разделив общее пройденное расстояние на общее затраченное время.

A Предостережение

Средняя скорость часто определяется из единиц расстояния или времени, которые необходимо преобразовать в другие единицы для окончательного ответа. Будьте осторожны при этом. Обычные преобразования заключаются в умножении единиц в секунду на 60 или 3600, чтобы получить единицы в минуту и ​​единицы в час. Просто убедитесь, что ваш ответ дан в правильную единицу времени.

Если изменяется только одна единица измерения, вам нужно будет выполнить только одну математическую операцию (например, умножить секунды, чтобы получить минуты или часы). Если две единицы изменяются (футы в секунду на мили в час), вам необходимо как умножить, так и разделить (или умножить на десятичное значение).

Проблемы со средней скоростью

Проверьте свои знания на примере задач со словами:

1. Тарпон (разновидность рыбы) может преодолеть 105 миль за 3 часа. Какая у него средняя скорость?
2. Синий тунец может проплыть 286 миль за обычный школьный день из 6 человек.5 часов. Какова его средняя скорость, пока вы проводите день в классе?
3. Мировой рекорд по максимальной скорости бега назад (при жонглировании!) Принадлежит Джо Солтеру, который преодолел 5280 футов за 457 секунд. Какова была его средняя скорость в милях за часов ? (умножьте на 3600 и затем разделите на 5280; или умножьте на 0,681818)
4. Гепард может преодолеть 0,6 мили за 36 секунд. Какова средняя скорость гепарда в милях за секунд ? Как насчет скорости в милях за час ? (умножить на 3600)
5. Косатка может двигаться со средней крейсерской скоростью 8 миль в час.Большая белая акула может преодолеть расстояние в 35 миль за семь часов. Какая скорость у большой белой акулы и какое животное движется быстрее?
6. Самый быстрый человек в воде преодолел 22,9 метра за 10 секунд. Кальмар Гумбольта может преодолеть 399,6 метра за 60 секунд. Вам нужно рассчитать среднюю скорость самого быстрого человека и кальмара Гумбольта, чтобы знать, кто кого может обогнать.

Мы знаем, что вы сначала выполните работу, прежде чем проверять эти ответы, верно?

1. Рассчитайте среднюю скорость тарпона следующим образом: s = 105 миль3 часа, что означает, что рыба может двигаться со средней скоростью 35 миль в час.
2. Формула синего тунца будет выглядеть так: s = 286 миль 6,5 часов, поэтому средняя скорость рыбы составляет 44 мили в час.
3. Джо Солтер преодолел 5280 футов за 457 секунд, поэтому s = 5280 футов 457 секунд дает 11,5536 футов в секунду. Мы умножаем это на 3600 (количество секунд в часе), а затем делим это на 5280 (футов в миле), чтобы получить среднюю скорость 7,87745 миль в час.
4. Формула для средней скорости гепарда будет s = 0,6 мили 36 секунд, что дает вам 0.01666 (повторяющееся десятичное число, поэтому мы округлим 0,01666) как мили на секунд , которые можно умножить на 3600, чтобы получить среднюю скорость 60 миль в час.
5. Косатка может двигаться со средней крейсерской скоростью 8 миль в час, в то время как средняя скорость большой белой акулы s = 35 миль, 7 часов = 5 миль в час. Касатка плавает быстрее.
6. Самый быстрый человек в воде проплыл 22,9 метра за 10 секунд, поэтому средняя скорость s = 22,9 м · 10 секунд = 2,29 метра в секунду или м / с. Кальмар Гумбольта может путешествовать 399.6 метров за 60 секунд, поэтому s = 399,6 м 60 секунд = 6,67 м / с, что значительно быстрее, чем у самого быстрого человека-пловца. Будем надеяться, что вас никогда не преследует кальмар Гумбольта!

Следующий урок:

Диагональная формула

Формула угловой скорости

| Определение скорости вращения и проблемы

Ранее мы изучили темы угловой скорости, поэтому здесь мы обсудим формулу угловой скорости. Формула угловой скорости используется для расчета расстояния, которое преодолевает одно конкретное тело с точки зрения оборотов или оборотов к затраченному времени.

Скорость — это то, насколько медленно или быстро движется объект. Мы уже слышали о скорости, но знаем ли мы, что мы говорим о конкретном типе скорости здесь. Итак, если мы не слышали об угловой скорости, то мы находимся в нужном месте. Более того, мы узнаем о разнице в угловой скорости и угловой скорости.

Угловая скорость, которую мы узнаем, — это скорость объекта во вращательном движении. Формула угловой скорости обычно вычисляет расстояние, которое преодолевает тело, с точки зрения оборотов или поворотов к затраченному времени.Говорят, что она представлена ​​буквой или символом ω и выражается как:

Угловая скорость = общее пройденное расстояние / общее затраченное время.

Круговое или вращательное движение

Что именно мы подразумеваем под круговым движением или вращением? Вращательное движение — это круговое движение объекта вокруг оси вращения, когда объект движется по круговой траектории. Например, круговые движения включают в себя ускорение гоночного автомобиля по круговой кривой или игрушку, которая прикреплена к веревке, раскачивающейся по кругу, или круговую петлю на американских горках.Другими примерами являются вращение колеса на своей оси, вращение торнадо на его пути разрушения или вращение фигуриста во время выступления на Олимпийских играх. Мы можем заметить, что иногда объекты будут вращаться во время кругового движения, как планета Земля, которая вращается вокруг своей оси, вращаясь вокруг Солнца.

Когда мы решаем задачи, связанные с вращательным движением, мы используем переменные, аналогичные линейным переменным, таким как расстояние, скорость, ускорение и сила.но следует заметить, что он учитывает кривизну вращения движения. Здесь мы обычно определяем угол поворота, который является угловой эквивалентностью расстояния и угловой скорости, которая является угловым эквивалентом линейной скорости.

Как найти угловую скорость

Скорость, известная как угловая скорость, является мерой того, насколько быстро центральный угол вращающегося тела изменяется во времени. Формула угловой скорости, которая представляет собой линейную зависимость между угловой скоростью и скоростью, а также несколько проблем с угловой скоростью.

Термин скорость, который раньше использовался в различных контекстах. Например, мы должны знать, с какой скоростью мы ведем машину или с какой скоростью бросаем мяч. Точно так же скорость в основном относится к тому, насколько медленно или мы можем сказать, насколько быстро движется объект. Таким образом, угловая скорость — это скорость вращения объекта. Другими словами, он описывается как изменение угла объекта за единицу времени.

Следовательно, если мы хотим вычислить скорость вращательного движения, нам потребуется его угловая скорость.Формула угловой скорости вычисляет расстояние, которое тело преодолевает в оборотах или оборотах, к затраченному времени.

Кроме того, здесь очень важен радиан. Чтобы вычислить угловую скорость, мы измеряем угол в радианах. Говорят, что радианы — это способ измерения углов, при котором мы определяем прямой угол как пи / 2 радиана. Следовательно, один полный оборот будет содержать около 6,28 радиана.

Мы видим, что угловая скорость — это скорость, с которой объект меняет свои углы, которые мы измеряем в радианах в данный момент времени.Угловая скорость имеет величину, которая является только величиной.

Символ ω = θ / t

Где:

• Символ ω обозначает угловую скорость в радианах / сек.

• Символ θ — это угол в радианах (2π радиан = 360 градусов).

• t относится к времени, сек.

Важно отметить, что угловая скорость и угловая скорость используют одну и ту же формулу. Однако разница между ними заключается в том, что угловая скорость является скалярной величиной, тогда как угловая скорость является векторной величиной.

Формула угловой скорости

Линейная скорость, с которой у нас уже есть точка на вращающемся объекте, зависит от ее расстояния от центра вращения. Угловая скорость, которую мы знаем, — это угол, под которым объект обычно движется за определенное время.

No related posts.