Я понимаю, что можно было бы сделать что-то вроде i = numpy.array([1,0,0]) j = numpy.array([0,1,0]) k = numpy.array([0,0,1]) a = 2*i + 5*j + 9*k но можно ли использовать подобный синтаксис для того,…

Я новичок в OpenCV, и я хотел бы сравнить результаты программы python с моими расчетами в OpenCV. Моя матрица содержит комплексные числа, так как ее результат a cvDFT. Python хорошо обрабатывает…

Я хочу прочитать из файла набор комплексных чисел в массив, используя Python. Я знаю, как это сделать только для целых чисел. Я попробовал это сделать ,но когда я запускаю его, он говорит: complex()…

Go определяет два числовых типа для комплексных чисел: complex64 и complex128 . Это редкость. Большинство языков программирования определяют комплексные числа как комбинацию вещественной и сложной…

Комплексные числа используют i для обозначения мнимой единицы . Кто-нибудь знает, почему Python использует j вместо этого?

Всякий раз, когда я пытаюсь сделать простую сложную арифметику в Cython, я, кажется, получаю некоторые накладные расходы Python; имеет ли это какое-либо отношение к использованию Pythonic 1j ? На…

Я хочу распечатать сложные данные в текстовый файл с помощью Matlab. После этого я хочу прочитать данные с помощью Python (например, через функцию open()). Однако Matlab выводит комплексные числа…

Почему python возвращает print(type(-1**0.5)) float вместо complex ? Получение квадратного корня из отрицательного целого числа float всегда математически рассматривают как комплексные числа. Как…

Я пишу код, который принимает степень поворота двигателя и использует эти данные для вычисления расстояния, пройденного колесами (используя расстояние = количество оборотов * расстояние, пройденное…

Я пытаюсь найти 6-ю степень следующей матрицы 2 X 2, имеющей комплексные числа: Ля = ([[j, 0], [1, -j]]) И результаты отличаются, когда я делаю это вручную и использую Python 3.7 Когда я делаю это…

Решение задач и курсовых по электротехнике Сайт Электротехника и электроника на «пять»

В общем случае алгебраическая форма записи комплексной величины выглядит следующим образом:

Но это математическая запись. В электротехнике принято мнимую единицу обозначать не «i», а буквой «j» (это сделано для того, чтобы не было путаницы с токами, которые чаще всего и обозначаются латинской буквой «i»). Тогда в электротехнике вы скорее всего увидите запись:

При этом мнимая единица может стоять как первым множителем, так и вторым. То есть это же число можно записать:

Часть комплексного числа без мнимой единицы называется «Действительной» и чаще всего обозначается Re (от английского Real — действительный, настоящий)

Часть комплексного числа с мнимой единицой называется также «Мнимой» и обозначается Im (от английского Imaginary — воображаемый)

Что касается показательной формы записи, то в она обычно выглядит так:

Здесь буква «А» — модуль величины, буква «е» ничего не значит и просто указывает, что это показательная форма записи (так как остальные данные записаны в показатель степени). Буква «j» в степени тоже просто обозначает комплексное число, а вот «φ» — это угол в градусах или радианах.

Чтобы легко понять как эти формы записи связаны друг с другом, достаточно рассмотреть изображение вектора на комплексной плоскости:

Очевидно, что такой вектор можно задать, указав его длину и угол поворота — это и есть показательная форма записи комплексных числел. То, что в нашем примере обозначено буквой «А» — длина вектора, а число в показателе степени — угол поворота

Еще один способ точного описания вектора — указать его проекции на координатные оси. Например «отложим пять единиц по горизонтальной оси и три по вертикальной». Именно так и работает алгебраическая форма записи:

Тогда становится понятно — чтобы перевести из алгебраической формы записи в показательную, нужно определить длину вектора и угол его поворота. Длина вектора определятся, исходя из того, то сам вектор это гипотенуза прямоугольного треугольника, а его проекции — катеты. Тогда по закону Пифагора:

Поскольку тангенс угла есть отношение противолежащего катета к прилежащему:

Можно легко определить нужный угол:

Разберем на практическом примере. Пусть в алгебраической форме задано значение тока:

Необходимо записать это число в показательной форме. Здесь действительная чатсть Re(I)=7, мнимая часть Im(I)=16. Сначала определим длину вектора (говоря по-другому — модуль тока):

Теперь рассчитаем угол поворота вектора:

Записываем результат:

Все весьма несложно. Однако, существует один хитрый момент, который нужно иметь ввиду. Предположим, нам задан задан ток в алгебраической форме I=-3-j3. Построим его на комплексной плоскости для наглядности:

С определением длины вектора трудностей не возникнет. Однако, как только мы попытаемся определить угол, то увидим:

Очевидно, угол здесь не может быть 45 градусов. Он должен быть или минус 135 или плюс 225 градусов. Так происходит из-за того, что в формуле арктангенса оказались два отрицательных числа. Грубо говоря, знак «минус» сокращается и арктангенс показывает тот же угол, что и при положительных значениях. Чтобы избежать такой ошибки, досточно ввести правило на случай отрицательной действительной части:

Итак, простой алгоритм перевода алгебраической формы записи комплексного числа в показательную:

Буквенные обозначения употребляемых в электротехнике величин

Буквенные обозначения наиболее употребляемых в электротехнике величин (ГОСТ 1494-77)

Примечания: 1. Запасные обозначения применяются, когда главные обозначения использовать нерационально, например, если могут возникнуть недоразумения вследствие обозначения одной и той же буквой разных величин. 2. Мгновенные значения ЭДС, электрического напряжения, потенциала, тока, плотности тока, электрического заряда, мощности, электромагнитной энергии следует обозначать соответствующими строчными буквами. 3. Для амплитудных значений величин, являющихся синусоидальными функциями времени, применяется нижний индекс ш (например, 1т).

Электротехника и основы электроники

93

3. Определяем комплексные сопротивления.

•

в алгебраической форме:

Z

1

= R + jX

L

=

4

+ j

3 Ом;

Z

2

= R =

4 Ом;

Z

3

= R – jX

C

=

4

– j

3 Ом.

•

в показательной форме:

Z

1

=

Z

2

= R =

4 Ом;

Z

3

=

4. Преобразуем схему (рис. П 1.16).

a

b

i

1

i

2

i

3

Z

1

Z

2

Z

3

U

1

U

2

U

a

b

i

1

Z

1

Z

23

U

1

U

2

U

i

1

Z

U

Рис. П 1.16. Свёртка схемы (замена сопротивлений на одно – эквивалентное)

5. Определим сопротивления схем.

Чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе, числитель и

знаменатель умножим на сопряженное комплексное число знаменателя,

т.е. на комплексное число, у которого знак перед мнимой частью изменен

на противоположный.

Z

23

=

2,34

e

–j

16,3

º

Ом,

Z

=

Z

1

+Z

23

=

6,246

+

j2,343Ом,

Z

= 6,67

e

j

20,6º

Ом.

6. Определим входной ток

Представим ток в алгебраической форме записи (по формуле Эйлера):

=

15cos9,4

º + j

15sin9,4

º =

14,8

+ j

2,45 A.

7. Определим напряжение

=Z

23

=

2,34

e

–j

16,3

º

·

15

e

j

9,4

º

=

35,1

e

–j

6,9

º

B,

=

35

,

1 cos6,9

º — j

35,1 sin6,9

º =

34,85

– j

4,22 B.

Калькулятор преобразования алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую • Электротехнические и радиотехнические калькуляторы • Онлайн-конвертеры единиц измерения

Два гармонических сигнала A и B (B опережает A на угол φ = 20) представлены на векторной диаграмме; амплитуда сигнала A больше амплитуды сигнала B

Этот калькулятор может преобразовывать комплексные числа из алгебраической формы в тригонометрическую (полярную) и наоборот.

Пример 1: Преобразовать импеданс в Z = 5 + j2 Ω из алгебраической формы в полярную.

Пример 2: Преобразовать напряжение из полярной формы U = 206 ∠120° V в алгебраическую.

Определения и формулы

При изучении колебательных процессов в электротехнике и электронике рассматривают источники гармонических сигналов и реактивные нагрузки. При этом для решения сложных уравнений приходится пользоваться не только вещественными, но и комплексными числами. Комплексные числа позволяют выполнять математические операции с комплексными амплитудами и их удобно применять для анализа цепей с синусоидальными токами и напряжениями. С помощью комплексных чисел можно выполнять арифметические действия с величинами, имеющими амплитуду и фазовый угол, а синусоидальные напряжения и другие параметры цепей переменного тока точно характеризуются амплитудой и фазовым углом. Подробнее о таких расчетах — в нашихКалькуляторах по электротехнике, радиотехнике и электронике and Электротехнических конвертерах.

Комплексное число z можно выразить в форме z = x + jy, где x и y — вещественные числа и j — мнимая единица, определяемая формулой j² = –1. В комплексном числе x + jy, величина x называется вещественной частью, а величина y называется мнимой частью. В электротехнике для обозначения мнимой единицы используется буква j, так как буквой i принято обозначать мгновенное значение тока. В математике вместо j обычно используют букву i.

Комплексное число z = x + jy = r ∠φ представлено в виде точки и вектора на комплексной плоскости

Комплексные числа визуально представляются в виде вектора на комплексной плоскости, которая является модифицированной прямоугольной системой координат. В ней на горизонтальной оси Re изображается вещественная часть комплексного числа, а на вертикальной оси Im — его мнимая часть. Любое комплексное число можно представить в виде смещения на горизонтальной оси (вещественная часть) и смещения на вертикальной оси (мнимая часть).

Комплексное число можно также представить на комплексной плоскости в полярной системе координат. Полярное представление состоит из вектора с абсолютной величиной r и угловым положением φ относительно горизонтальной оси 0° и выражается как

В электротехнике и электронике для описания изменяющегося во времени гармонического сигнала используется векторное представление в комплексной форме в полярных координатах, называемое также комплексной амплитудой и фазором (от англ. phase vector — фазовый вектор). Длина вектора представляет амплитуду синусоидальной функции, а угол φ представляет угловое положение вектора. Положительные углы измеряются от начальной оси 0° в направлении против часовой стрелки, а отрицательные углы — по часовой стрелке. Особенно популярен этот метод в учебниках по теоретическим основам электротехники и основам теории цепей на английском языке. В этом их отличие от соответствующих учебников на русском языке, где используется иной подход к анализу. Причем, в отличие от учебников на русском языке, в англоязычной литературе принято обозначение комплексных чисел в полярной системе координат с углом: z = x + jy = re^jφ = r∠φ.

Поскольку представление комплексного числа в полярных координатах основано на прямоугольном треугольнике, для определения амплитуды и фазового угла комплексного числа можно воспользоваться теоремой Пифагора, как описано ниже.

Для преобразования из прямоугольных координат x, y в полярные координаты r, φ, используйте следующие формулы:

Если эти формулы используются для электротехнических расчетов (см. Калькулятор мощности переменного тока and Калькулятор мощности трехфазного тока), то x всегда положительно, а y положительно для индуктивной нагрузки (ток отстает от напряжения) и отрицательно для емкостной нагрузки (ток опережает напряжение). В этом случае для емкостных нагрузок углы должны получаться отрицательными в диапазоне –90°≤φ≤0 и их не корректируют, как описано в приведенных выше формулах (то есть, не добавляют 360°).

Преобразование из полярных координат r, φ в прямоугольные coordinates x, y, выполняется по формулам:

где

Автор статьи: Анатолий Золотков

Теоретический вопрос о мнимой единице «j» (анализ цепей переменного тока)

Если вы поставите знак минус перед цифрой «5», она станет «-5».

Попробуйте взглянуть на это по-другому. Попробуйте подумать, что он поворачивает число «5» (привязанное к началу координат отрезком веревки длиной 5) на 180 градусов, чтобы получить «-5»

ОК, пока? Отрицательные знаки такие же, как поворот на 180 градусов …

Почему бы не расширить это, чтобы создать что-то, что вы можете «наклеить» перед положительным числом, которое поворачивает его на 90 градусов — в EE это обычно называется «j», и оно действует, чтобы повернуть значение (относительно начала координат) на 90 градусов против часовой стрелки i.е. если вы сделаете это дважды (j * j), вы получите 180 градусов («-«).

Из этой жемчужины знаний вы можете поэтому сказать j * j = -1, следовательно, j = \ $ \ sqrt {-1} \ $

Так же, как знак минус может повернуть любое положительное значение на 180 градусов, он может повернуть любой вектор или вектор на 180 градусов. То же самое относится к оператору j — он поворачивает любой вектор или вектор на 90 градусов против часовой стрелки.

РЕДАКТИРОВАТЬ — забытая часть вопроса: —

подставив j в полное сопротивление конденсатора.Помните, что основная формула для конденсатора Q = CV и, следовательно, дифференцируя переменные, мы получаем: —

\ $ I = \ dfrac {dQ} {dt} = C \ dfrac {dV} {dt} \ $

Это говорит нам о том, что для синусоидального напряжения, приложенного к конденсатору, ток также будет синусоидальным, но дифференцированным в косинус следующим образом: —

Если вы попытаетесь вычислить импеданс (V / I) конденсатора из отношения V-I, у вас возникнут проблемы, потому что, когда я перехожу через ноль, V НЕ равен нулю, поэтому вы получаете бесконечности.Если, с другой стороны, вы примените «j», чтобы привести ток в фазу с напряжением, математика работает отлично — ток и напряжение выровнены, а импеданс, основанный на мгновенных значениях V / I, имеет смысл.

Я знаю, что вы только начинаете, поэтому я постарался, чтобы это было точно и просто (может быть, для некоторых слишком просто?).

Если вы посмотрите на катушку индуктивности, «j» можно применить к напряжению, чтобы выровнять его с током, поэтому «j» находится в числителе для индуктивного реактивного сопротивления, а j — в знаменателе для емкостного реактивного сопротивления.Здесь есть нюансы, которые, надеюсь, обретут смысл по мере того, как вы узнаете больше — на самом деле не случайно, что «j», кажется, «следует» за омегой, когда дело доходит до импеданса — мое объяснение не покрывает этого, как и ваш вопрос!

ac — Деление в полярной форме

Фотон, вероятно, дал вам слишком краткий ответ. Но все равно правильно. Я дам слишком длинный ответ. (TL; DR)

Упрощенный геометрический подход

Лучше всего думать о величине (длине гипотенузы или радиус-вектора) и ее угле как о окружности и определениях тригонометрии, которые математики установили как «стандартные».»При нулевом градусе вектор указывает вправо от точки (0,0). В 90 градусах вектор указывает прямо вверх от точки (0,0). И т.д. круг.

Теперь, если вы поместите это значение в делитель рационального числа, тогда вы измените направление вращения. Теперь, когда вы увеличиваете угол, результирующая величина вектора движется по часовой стрелке. Таким образом, вы должны отрицать угол, указанный в делителе, потому что результирующее выражение имеет угол, указанный в числителе (с делителем 1), и этот угол, по соглашению, должен иметь эффект вращения против часовой стрелки.{i \ theta} = \ operatorname {cos} \ left (\ theta \ right) + i \ cdot \ operatorname {sin} \ left (\ theta \ right) $$

Эта формула прекрасно соответствует стандартным определениям тригонометрии, используемым для единичной окружности на декартовом графе. Единственная странность заключается в использовании \ $ i \ $ (который отображается на графике по старой оси \ $ y \ $). На самом деле это намного больше, поскольку использование \ $ i \ $ действительно имеет дело с вращение и подход (x, y), по сути, нет. Также было проведено много исследований по вращению в 3D, результатом которого в конечном итоге стали кватернионы.Фактически, некоторые математики пытались сделать кватернионы «стандартом». Но было подавляющее сопротивление, и оно так и не появилось.

Я хотел бы порекомендовать вам просмотреть замечательную формулу Эйлера 3Blue1Brown с вводным видео по теории групп. Вы почти не можете избежать многого из этого, и он почти волшебник, представляя его, так что вы почти чувствуете это своими кишками, чтобы оно никогда не покидало вас. Пожалуйста, найдите минутку и посмотрите это. Это действительно очень поможет.

Мати подход

Комплексные числа имеют как декартову запись, так и две эквивалентные полярные записи. Декартово обозначение \ $ a + b \: i \ $ очень сложно использовать в электронике, но его очень легко построить. Обычно используется полярная нотация \ $ r \ left [\ operatorname {cos} \ left (\ theta \ right) + i \: \ operatorname {sin} \ left (\ theta \ right) \ right] \ $.

В электронике \ $ i \ $ заменяется на \ $ j \ $ (соглашение), а \ $ \ theta \ $ заменяется на \ $ \ omega \ $ (снова соглашение). Я не знаю его истории. , хоть.s \ $, что на самом деле очень компактно записано.

Примечание: умножение в комплексной области объединяет вращения , а также растягивает (математики называют масштабированием ) за одно действие. В декартовых обозначениях довольно сложно выработать исходный текст. углы и результирующий угол поворота. Но в полярных обозначениях влияние умножения на вращение довольно легко понять. (Ты нужно только сесть и попробовать вращение на угол \ $ \ theta \ $, но используя только декартовы обозначения, чтобы понять, что я имею в виду.)

Теперь предположим, что мы решили использовать силу Эйлера в электронике. Это неплохая идея, потому что электроника имеет величины (напряжения, токи и т. Д.) И имеет частотно-зависимое вращение. «Эйлер» — своего рода блюдо с голубой каемочкой для подобных вещей. Так что это было естественно. Напряжение постоянного тока может быть записано как \ $ \ sigma = \ operatorname {ln} \ left (V \ right) \ $ и \ $ \ omega = 0 \ $ (также могут использоваться другие постоянные значения для \ $ \ omega \ $ для DC — важный бит заключается в том, что в нем нет переменной \ $ f \ $ для частоты.) Напряжение переменного тока может быть \ $ \ sigma = \ operatorname {ln} \ left (V_0 \ right) \ $ и \ $ \ omega = 2 \ pi \: f \ $. (Хотя, как только вводится время, использование \ $ \ sigma = \ operatorname {ln} \ left (V_0 \ right) \ $ приведет к зависящей от времени спирали, поэтому при вводе времени обычно устанавливается \ $ \ sigma = 0 \ $ в электронике, за исключением случаев, когда спиралевидность также важна для решения какого-либо вопроса. \ sigma \ $, поскольку \ $ \ sigma = 0 \ $ означает векторную величину \ $ r = 1 \ $.{s \: t} \ $, где вращение теперь является плавной функцией времени и величины вектора (как функция времени) остается постоянной только , когда \ $ \ sigma = 0 \ $. (В противном случае это будет спиралью наружу [обычно не очень хорошо в электроника] или внутрь [демпфировано])

При анализе АЧХ величина вектора растяжения аспект не используется. Итак, \ $ \ sigma = 0 \ $ и только \ $ j \: \ omega \ $ (скорость вращения) часть сохраняется. Для такого анализа все, что требуется \ $ s = j \: \ omega \ $ (as \ $ \ sigma = 0 \ $.)

j Оператор и его значение

j Оператор — математический оператор, который при умножении на любой вектор поворачивает этот вектор на 90 градусов против часовой стрелки. Подобно тому, как символы x, +, — и т. Д. Используются с числами для обозначения определенных операций, которые должны быть выполнены с этими числами, оператор j используется для обозначения поворота вектора на 90 ° против часовой стрелки.

j присвоено значение √ (-1).Таким образом, это мнимое число. Двойное действие j на вектор вращает его против часовой стрелки на 180 °. Таким образом, направление вектора меняется на противоположное, когда над вектором выполняется двойная операция j. Следовательно, мы можем написать

Когда оператор j работает с вектором E , мы получаем новый вектор j E . Этот новый вектор j E смещен от исходного вектора E на 90 ° против часовой стрелки.Можно отметить, что величина вектора остается неизменной, когда вектор управляется j. Это показано на рисунке ниже.

Если «j» применяется к вектору j E , новый вектор j ₂ E будет разнесен на 180 ° против часовой стрелки. Это означает, что новый вектор j ₂ E противоположен исходному вектору E . Следовательно, мы можем сказать, что, j ² E = — E . Для лучшего понимания вы можете обратиться к рисунку ниже.

Аналогично, когда j ² E работает с j, созданный таким образом новый вектор (j ³ E ) будет на 270 ° впереди E. Обратите внимание, что этот новый вектор противоположен вектор jE. Следовательно, мы можем сказать, что j ³ E = jE. Аналогично, j ⁴ E = E.

Из приведенного выше обсуждения мы можем перечислить некоторые важные свойства оператора j. Они следующие:

• j ² = -1
• j ³ = (j ² ) x j = -j
• j ⁴ = (j ² ) ² = 1
• (1 / j) = -j

В электротехнике оператор j имеет большое значение и применение.Вы часто встретите этого оператора в электрических машинах, энергосистемах, сетях переменного тока и т. Д.

Как мы знаем, полное сопротивление цепи является сложной величиной, то есть состоит из действительной и мнимой частей. Действительная часть означает резистивную часть, тогда как мнимая часть означает реактивную часть импеданса. Поскольку ток через реактивное сопротивление либо отстает, либо опережает напряжение на 90 °, это реактивное сопротивление отображается с помощью оператора j. Ток через сопротивление остается в фазе с напряжением, поэтому сопротивление принимается в качестве эталона, а реактивное сопротивление (скажем, X) поворачивается относительно этого задания при работе с оператором j.Следовательно, импеданс Z записывается как Z = (R ± jX) . Можно отметить, что емкостное и индуктивное сопротивление равны (-j / ωC) и jωL.

Определение оператора J

Оператор j — это «математический символ, который используется для представления комплексных чисел». Например, оператор j используется в виде x + jy . Где x — действительное число, а y — комплексное число.

Оператор j играет жизненно важную роль в анализе и расчетах трехфазных несимметричных нагрузок, симметричных повреждений, цепей переменного тока и векторных диаграмм в электротехнике.

Видео по электротехнике

01:00

учебник

Вход

01:00

учебник

Импеданс

01:00

учебник

Делители напряжения

01:00

учебник

Напряжение

01:00

учебник

двоичный

01:00

учебник

Переменный ток (AC)

01:00

учебник

Аналоговые схемы

01:00

учебник

Аналоговый сигнал

01:00

учебник

Постоянный ток (DC)

Получите определения ключевых инженерных концепций от Chegg

В инженерном деле существует множество ключевых понятий и терминов, которые студенты должны знать и понимать.Часто бывает трудно определить самые важные инженерные концепции и термины, и даже после того, как вы их определили, вам все равно нужно понимать, что они означают. Чтобы помочь вам изучить и понять ключевые технические термины и концепции, мы определили некоторые из наиболее важных из них и предоставили для них подробные определения, написанные и составленные экспертами Chegg.

Комплексное электричество | plus.maths.org

Безопасное, безопасное, надежное и дешевое производство электроэнергии сопряжено с множеством проблем.Электричество сложно хранить в больших количествах, поэтому его обычно необходимо использовать сразу после того, как оно будет произведено. У нас также очень низкая устойчивость к перебоям в электроснабжении. Другие проблемы возникают из-за крайней взаимосвязанности электрической сети, что означает, что проблема в части сети быстро становится проблемой для всей сети.

В большинстве случаев процесс передачи электроэнергии протекает гладко. Однако были времена такого большого спроса, что электрическая сеть Великобритании была почти отключена, например, когда все кипятили свои чайники в перерыве во время полуфинала чемпионата мира 1990 года, когда Англия играла с Германией.

Современная сеть электроснабжения основана на изобретении Николаса Теслы прибора переменного тока (AC). В переменном токе ток и напряжение меняются со временем как волна, как показано ниже. Математически эти волны можно описать функциями синуса и косинуса.

Напряжение и ток переменного тока имеют вид

Электроэнергия комплексная

Для представления переменного напряжения инженеры-электрики широко используют комплексные числа. Мнимое число удовлетворяет уравнению

Причина этого — знаменитая личность Эйлера

Возвращаясь к нашему выражению чередования выше, мы видим, что переменное напряжение является действительной частью функции

Это, согласно тождеству Эйлера, равно

Удобно выразить это как

, и мы называем это выражение комплексным напряжением

Эта статья представляет собой отредактированную версию статьи Криса Бадда «Энергетическая математика». Вы можете прочитать статью полностью здесь.

Вы можете узнать больше о комплексных числах и о том, что с ними делать, в этом вводном пакете и в нашем пакете для учителей.

Операторы j и a в области электротехники

До сих пор я представлял вектор в форме x + j y, также называемой прямоугольной.Вектор также может быть представлен в полярной форме. В полярной форме нам также нужны два параметра, это длина вектора (r) и угол (phi), который он составляет с горизонтальной осью + ve. См. Рисунок-A.

Умножение фазора

Я уже обсуждал использование j в векторном представлении.

Мы знаем, что j равно квадратному корню из -1.

или j = sqrt (-1), поэтому j.j = -1

Теперь рассмотрим два вектора: A = 2 + j 3 и B = -1 + j 2.

А.В = (2 + j 3). (-1 + j2) = -2 + j 4 -j 3 + j.j (3.2) = -2 + j 1-6 = -8 + j 1

Непосредственно умножьте каждую из действительных и мнимых частей из A на каждую из B. Это просто!

В полярной форме размножить еще проще.См. Пример ниже. Как показано на рисунке-A, ниже мы представляем векторы A и B в полярной форме. Длина вектора A равна 4, а с осью абсцисс составляет 20 градусов. Аналогично B имеет длину 3 единицы и составляет 40 градусов с положительной горизонтальной осью.

Умножение в полярной форме стало чрезвычайно простым.

Просто умножьте длины и сложите углы, чтобы получить новый вектор.

Вы можете преобразовать его обратно в прямоугольную форму.

А.B = 12 (cos 60 + sin 60)

j и операторы

Что мы получим, если умножить вектор на j?

например

если A = 3 + j 4

Тогда j A = j (3 + j 4) = j 3 + j.j 4 = -4 + j 3 (Поскольку j.j = -1)

Теперь нарисуйте вектор -4 + j 3. Можно заметить, что угол между 3 + j 4 и -4 + j 3 составляет 90 градусов.

Любой вектор, умноженный на j, повернет исходный вектор на 90 градусов против часовой стрелки.Теперь, если результирующий вектор снова умножается на j, то вектор снова поворачивается на 90 градусов против часовой стрелки, и так далее.

В нашем примере j (-4 + j 3) = -j4 -3 = — (3 + j 4), что противоположно (p + j q). Итак, очевидно, что вектор снова повернулся на 90 градусов против часовой стрелки. Смотрите рисунок. Каждый раз, когда мы применяем j, мы поворачиваем вектор против часовой стрелки на 90 градусов.

Понятно, что если вектор повернуть на 120 градусов (величина остается прежней), то в полярной форме

a = 1 / 120deg

см. Рис-C, как вектор A поворачивается на 120 градусов при применении с оператором a.

Комплексные числа в Учебнике по электротехнике

1. Комплексные числа
Обзор
2. FOIL & Conjugate
3. Напряжение, сопротивление и ток
4. Умножение с использованием V равно I • R
5. Деление с использованием V равно I • R

Комплексное число — это число в форме, содержащее как действительную, так и мнимую части.За мнимой частью следует мнимая единица.

Одно из применений комплексного числа — в электротехнике (а также в других инженерных и научных областях). Комплексные числа используются в расчетах с участием электрических токов, которые будут рассмотрены в примерах ниже. В зависимости от ситуации нам нужно будет либо умножить, либо разделить два комплексных числа. Во время этих процессов мы используем FOIL и комплексные конъюгаты, чтобы найти наши решения. Давайте кратко рассмотрим процесс FOIL и комплексные конъюгаты.

FOIL означает «Первый», «Внешний», «Внутри», «Последний» и относится к терминам, которые умножаются вместе для формирования отдельных дополнений к продукту. Вот пример использования FOIL в биномиальном умножении:

При использовании FOIL с двумя комплексными числами один из наших терминов будет термином. Это упрощается до действительного числа, потому что

При делении двух комплексных чисел мы используем комплексное сопряжение знаменателя, чтобы создать задачу, включающую умножение дробей.Комплексное число и сопряженное с ним число отличаются только знаком, соединяющим действительную и мнимую части. Вот таблица комплексных чисел и их комплексных сопряжений.

Мы используем комплексное сопряжение знаменателя, чтобы получить дробь, эквивалентную 1. Как мы увидим в нашем примере деления, это исключает все мнимые числа из знаменателя.

При работе с электрическими цепями инженеры-электрики часто применяют следующую формулу для связи напряжения, тока и сопротивления:

Напряжение измеряется в вольтах, ток измеряется в амперах, а сопротивление измеряется в омах.

Обозначения, которые инженеры используют для комплексных чисел, немного отличаются от того, что мы привыкли видеть. Как правило, есть две большие разницы:

• Инженеры обычно используют вместо, чтобы не путать мнимую единицу с переменной для тока. Поэтому имейте в виду в этих примерах, что всякий раз, когда мы видим, это представляет нашу воображаемую единицу и имеет значение

• В дополнение к использованию, эта переменная также часто записывается перед коэффициентом, а не после.Например, комплексное число можно записать как.

Электрическая цепь имеет ток в ампер и сопротивление в Ом. Какое напряжение в цепи?

Чтобы найти напряжение, нам нужно умножить ток на сопротивление, получив уравнение:

Напомним, что и взаимозаменяемы, поэтому мы можем заменить все экземпляры на при умножении. Так можно записать как и можно записать как.

Мы можем найти произведение тока и сопротивления с помощью ФОЛЬГИ:

Мы можем выразить напряжение как: вольт.

Электрическая цепь имеет напряжение в вольтах и ​​сопротивление Ом. Какой ток в цепи?

Здесь нам нужно будет разделить напряжение на сопротивление, чтобы получить выражение для тока ():

Чтобы решить задачи комплексного деления чисел, мы умножаем дробь на другую дробь, эквивалентную 1, с комплексным сопряжением знаменателя в качестве числителя и знаменателя второй дроби:

Умножим числители и знаменатели отдельно:

Наконец, мы можем упростить дробь целиком:

В цепи есть ток в амперах.

Комплексное число , плюс bi, содержит действительную часть a, мнимую часть b и мнимую единицу i. При просмотре FOIL и конъюгата конъюгат бинома является биномом с противоположными знаками между членами. Инженеры-электрики часто используют комплексные числа при работе с уравнением, связывающим напряжение , сопротивление и ток . Инженеры и ученые часто используют букву j для обозначения мнимого числа i, чтобы не путать строчную i с прописной i, которая является переменной для тока.FOIL используется при решении умножения с использованием V равно I • R , а конъюгаты используются при решении деления с использованием V, равного I • R , так что знаменатель не имеет мнимых чисел.