Что такое j в электротехнике: Комплексные числа в электротехнике

Содержание

Комплексные числа в электротехнике

Господа, в сегодняшней статье я хотел бы вам немного рассказать про комплексные числа и сигналы. Данная статья будет в основном теоретической. Ее задача – подготовить некоторый фундамент для возможности понимания дальнейших статей. Просто когда речь заходит про фазу или, допустим, про поведение конденсатора в цепи переменного тока, так сразу и начинаю лезть все эти комплексности. А про фазу все-таки хочется поговорить, штука важная. Нет, эта статья ни в коем случае не будет кратким курсом ТФКП, мы рассмотрим только лишь очень узкую область из этой вне всякого сомнения интересной и обширной темы. Итак, поехали!

Но прежде чем начать говорить непосредственно про комплексные числа, я бы хотел еще рассказать про такую любопытную штуку, как тригонометрический круг. Господа, вот мы с вами уже на протяжении аж трех (раз, два, три) статей говорим про синусоидальный ток. Но как вообще формируется функция синуса? Да и косинуса тоже? Можно по-разному ответить на этот вопрос, но в контексте данной статьи я выбрал следующее объяснение. Взгляните, пожалуйста, на рисунок 1. На нем изображен так называемый тригонометрический круг.

Рисунок 1 – Тригонометрический круг

Там много всего намалевано, поэтому давайте разбираться постепенно что там есть что. Во-первых, там есть, собственно, некоторая окружность, центр которой совпадает с центром системы координат с осями Х и Y. Радиус этой окружности равен единице. Просто единице, без всяких вольт, ампер и прочего. Далее из центра этой окружности проведены два радиус-вектора ОА и ОЕ. Очевидно, длина этих векторов равна единице, потому что у нас окружность единичного радиуса. Угол между вектором

ОА и осью Х равен φ₁, угол между вектором ОЕ и осью Х равен φ₂

А теперь самое интересное, господа. Давайте рассмотрим, чему равны проекции этих векторов на оси Х и Y. Проекция вектора ОА на ось Х – это отрезок ОВ, а на ось Y – это отрезок ОС. И все вместе (сам вектор ОА и его проекции ОВ и ОС) образует прямоугольный треугольник ОАВ. По правилам работы с прямоугольным треугольником мы можем найти его стороны ОВ и ОС, то есть проекции радиус вектора ОА на оси Х и Y:

Абсолютно аналогично можно найти соотношения для вектора OE:

Если не понятно почему так, советую погуглить про соотношения сторон в прямоугольном треугольнике. Ну а мы для себя сейчас выносим один немаловажный вывод – проекция единичного вектора на ось Х равна косинусу угла между вектором и осью Х, а проекция на ось Y – синусу этого угла.

А теперь давайте начнем вращать радиус-вектор против часовой стрелки с некоторой частотой. Ну, так, чтобы он своим концом вычерчивал окружность. И, как вы уже, вероятно, догадались, при таком вращении проекция вектора на ось Х будет вырисовывать функцию косинуса, а проекция на ось Y – функцию синуса. То есть, если этот наш радиус-вектор делает за секунду, например, 50 оборотов (то есть вращается с частотой 50 Гц), то это значит, что его проекция на ось Х формирует функцию

а его проекция на ось Y – вырисовывает функцию

Довольно интересный факт на мой взгляд. И вообще тригонометрический круг – любопытная штука. Рекомендую познакомиться с ним поближе, погуглив на эту тему. Он позволяет многое лучше понять. Мы же сейчас рассмотрели только немногие из фич, которые нам будут нужны. Сейчас давайте пока временно оставим этот факт и поговорим непосредственно про комплексные числа.

Итак, господа, комплексное число – это выражение вида

a – это действительная часть комплексного числа z.

b – это мнимая часть комплексного числа z.

На самом деле в серьезных книжках по математике комплексное число определяют несколько по-другому, однако нас вполне устроит и такой вариант.

По-научному – это алгебраическая форма записи комплексного числа. Есть еще и другие, с ними познакомимся чуть позже.

а и b – это обычные числа, к которым мы с вами все привыкли. Например, 42, 18, -94, 100500, 1.87 ну и так далее. То есть абсолютно любые. Например, могут иметь место вот такие записи

А число j – это так называемая мнимая единица. Часто ее обозначают не j, а i, но i – это обычно ток в электротехнике, поэтому мы будем использовать буковку j. Что это такое? Формально, это можно записать так

Немного не понятно, как это может быть корень из отрицательного числа . Все мы с детства привыкли, что под корнем у нас только лишь положительные числа. Но математики ввели вот такую вот абстракцию, которая позволяет извлечь корень и из отрицательных чисел. И, как ни странно, подобная абстракция неплохо помогает описывать вполне себе реальные, а вовсе никакие не абстрактные процессы в электротехнике.

То есть мы видим, что комплексное число само по себе как бы просто состоит из двух самых обычных чисел. Да, перед втором стоит некоторое мифическое j, но сути дела это не меняет.

Давайте теперь познакомимся с графическим представление комплексных чисел.

Господа, взгляните на рисунок 2. Там как раз-таки это представление и изображено.

Рисунок 2 – Комплексная плоскость

Итак, в чем здесь, собственно, фишка? А фишка в том, что мы берем и рисуем систему координат. В ней мы ось Х обзываем Re, а ось Y – Im. Re – это ось действительных чисел, а Im – это ось мнимых чисел. Теперь на оси Re мы откладываем величину a, а на оси Im – величину

b нашего комплексного числа z. В итоге мы получаем точку на комплексной плоскости с координатами (а, b). И теперь можно провести радиус вектор из начала координат в эту точку. Собственно, этот вектор и можно считать комплексным числом.

Интересный факт: давайте представим, что b равно 0. Тогда получается, что комплексное число вырождается в самое обыкновенно, «одномерное»: мнимая часть просто обнуляется. И, естественно, вектор в этом случае будет лежать на оси Re. То есть, можно сказать, что все числа, которые нас окружают в обычной жизни, находятся на оси Re, а комплексное число – это выход за пределы этой оси, в некотором роде расширение границ. Ну да не будем углубляться в это .

Давайте лучше углубимся в другое. А именно в то, как еще можно представить комплексные числа. Только что мы пришли к выводу, что комплексное число – по сути это вектор. А вектор можно характеризовать длинной и углом наклона, например, к оси Х. Действительно, эти два параметра полностью определяют любой вектор при условии, что у нас двумерное пространство, само собой. Для объема или какого-нибудь многомерного пространства (ужас какой) это не верно, а для двумерного – это так. Давайте теперь выразим сказанное математически. Итак, давайте теперь исходить из того, что нам известна длина вектора (обзовем ее |

z|) и угол φ₁.

Что мы можем найти, исходя из этих знаний? Да вообще говоря, довольно много. По сути нам известна гипотенуза прямоугольного треугольника и один из его углов, то есть, согласно каким-то там теоремам геометрии, прямоугольный треугольник полностью определен. Поэтому давайте найдем его катеты а и b:

А теперь, господа, можно сделать небольшой финт ушами? Помните алгебраическую запись комплексного числа? Ну, вот эту

Давайте-ка подставим сюда a и b, представленные через синусы с косинусами. Получим

Мы получили интересное выражение. Выражение вида

называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Она хороша, если нам известна длина нашего вектора |z| и угол его наклона φ₁. Когда речь пойдет об электротехнике, длина вектора внезапно превратится в амлитуду сиганала, а угол наклона – в фазу сигнала. Кстати, обратите внимание, что тригонометрическая форма записи комплексного числа чем-то близка к тригонометрическому кругу, который мы нарисовали в начале статьи. Но к этому сходству мы вернемся чуть позже.

Господа, теперь нам осталось познакомиться с последней формой записи комплексного числа – показательной. Для этого необходимо знать так называемую формулу Эйлера. С вашего позволения я не буду затрагивать вывод этой формулы и рассматривать, откуда она взялась. Это немного выходит за рамки статьи и, к тому же, есть много источников, где, вне всякого сомнения, вам расскажут про вывод этой формулы гораздо более профессионально, чем это смогу сделать я. Мы же просто приведем готовый результат. Итак, формула Эйлера имеет вид

где е – это экспонента или, как ее еще называют, показательная функция. Для математиков это некоторый предел при стремлении чего-то там к бесконечности, а если по-простому – обычное число

Да, просто две целых и семь десятых .

А теперь сравните формулу Эйлера и тригонометрической записью комплексного числа. Не замечаете интереснейшего сходства? Скрестив эти два выражения, можно получить как раз-таки

показательную форму записи комплексного числа:

Как ни странно, эта мудреная запись используется в электротехнике не так уж и редко.

Итак, мы познакомились с основными вариантами записи комплексных числе. Теперь давайте постепенно продвигаться к нашей любимой электротехнике. Запишем закон изменения косинусоидального напряжения.

Мы уже записывали этот закон неоднократно, например, в самой первой статье, посвященной переменному току. Правда, там был синус, а здесь косинус, но это абсолютно ничего не меняет по сути, просто тут косинус немного удобнее для объяснения.

А сейчас внимание, господа. Очень хитрая последовательность действий.

Во-первых, никто нам не мешает рассмотреть косинус, который стоит в этом выражении, на тригонометрическом круге, который мы чертили на рисунке 1 в самом начале статьи. А что? Почему нет? Будем представлять себе, что некоторый вектор Á_m, равный амплитуде нашего косинусоидального напряжения, вращается в прямоугольной системе координат с круговой частотой ω. И тогда в силу выше изложенных обстоятельств его проекция на оси Х будет вырисовывать как раз наш закон v(t). Вроде бы никакого подвоха пока нет.

Смотрим дальше. На оси Х проекция рисует нашу функцию времени, а ось Y пока что вообще не при делах. А что б она просто так не простаивала – давайте-ка считать, что это не просто абы какая ось Y, а ось мнимых чисел. То есть мы сейчас вводим то самое комплексное пространство. В этом пространстве при вращении вектора Á_m (вектора обычно обозначаются буквой с точкой или стрелочкой сверху) в то время как его проекция на оси Х рисует косинус, на оси Y у нас будет рисоваться функция синуса. Вся фишка в том, что мы сейчас как бы скрещиваем тригонометрический круг с комплексной плоскостью. И в результате получаем что-то типа того, что показано на рисунке 3 (картинка кликабельна).

Рисунок 3 – Представление напряжения на комплексной плоскости

Что мы на нем видим? Собственно, то, о чем только что говорили. Вектор, равный по длине амплитуде нашего напряжения, вращается в системе координат, на оси Х (которая Re) вырисовывается закон косинуса (он полностью совпадает нашим сигналом v(t)). А на оси Y (которая Im) вырисовывается закон синуса. Итого на основе вышесказанного наш исходный сигнал

мы можем представить в тригонометрической форме вот так

или в показательной форме вот так

Давайте представим теперь, что у нас не косинусоидальный сигнал, а синусоидальный. К нему мы как-то больше привыкли. То есть, пусть напряжение изменяется вот по такому закону

Проведем все рассуждения аналогичным образом. Единственное отличие будет в том, что теперь наш сигнал «рисуется» на мнимой оси Im, а ось Re как бы не при делах. Но вводя комплексное пространство, мы внезапно получаем, что комплексная запись сигнала для данного случая точно такая же, как и для случая косинуса. То есть и для сигнала

мы можем записать комплексное представление в тригонометрической форме вот так

или в показательной форме вот так

Выходит, что комплексное представление для случая синусоидального и косинусоидального сигнала имеет один и тот же вид. Кстати, это довольно очевидно, если вспомнить, что при вращении вектора по окружности и синус и косинус вырисовываются одновременно на разных осях. А само комплексное число описывает именно этот вращающийся вектор и, таким образом, содержит в себе инфу как про ось Х, так и про ось Y.

Давайте теперь пойдем от обратного и представим, что у нас есть запись некоторого комплексного сигнала в виде

Или, например, в таком виде

Как понять – что он описывает: синус или косинус? Ответ – да никак. Он описывает и то, и то одновременно. И если мы имеем косинусоидальный сигнал, то мы должны взять действительную часть этого комплексного сигнала, а если синусоидальный – мнимую. То есть для случая косинуса это выглядит как-то так:

или так

А для случая синуса это выглядит вот так

или так

Здесь Re() и Im() – функции взятия действительной или мнимой части комплексного числа. Кстати, они определены во многих математических САПРах и их можно прям вот в таком виде использовать. То есть передавать им комплексное число, а на выходе получать дейтсвительную или мнимую часть.

Возможно, вы спросите: а зачем так все усложнять? Какая с этого выгода? В чем профит? Профит, безусловно, есть, но о нем мы поговорим чуть позже, в следующих статьях. На сегодня пока все, господа. Спсибо что прочитали и пока!

Вступайте в нашу группу Вконтакте

Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

ТОЭ Лекции — №15 Основные сведения о комплексных числах

Комплексным числом называется выражение вида:

где – c обозначение комплексного числа; a и b – соответственно действительная и мнимая части комплексного числа; j=√(-1) – мнимая единица.

Величины a и b часто обозначают следующим образом: a = Re(c) , b = Im(c) . Символы Re и Im – есть начальные буквы английских слов Real – действительный и Imaginary – мнимый.

Геометрически комплексное число изображается вектором на комплексной плоскости (рис. 15.1). Горизонтальная и вертикальная оси, отмеченные соответственно знаками +1 и +j, называются действительной (или вещественной) и мнимой. Действительная и мнимая составляющие комплексного числа представляют собой проекции вектора на эти оси.

На рис.15.1

Модуль комплексного числа, равный длине вектора, а

— аргумент комплексного числа. Так как

— тригонометрическая форма комплексного числа. С помощью формулы Эйлера

последняя преобразуется в показательную форму:

Применяется еще и полярная форма

в самой простой форме задающая модуль и агрумент комплексного числа.

Свойства мнимой единицы (рис. 15.2):

Два комплексных числа c и c` называются сопряженными, если они имеют одинаковые модули и равные по величине, но разные по знаку аргументы (рис. 15.3):

Изображающие их векторы симметричны относительно вещественной оси.

Действия над комплексными числами.

Сложение и вычитание производится над числами, записанными в алгебраической форме:

т.е. складываются по отдельности вещественные и мнимые части слагаемых:

a=a1+a2; b=b1+b2

Операции сложения комплексных чисел соответствует сложение изображающих их векторов.

Сумма сопряженных комплексных чисел равна удвоенному значению вещественной части:

Умножение и деление комплексных чисел удобнее всего производить в показательной форме. Модули при этом перемножаются или делятся, а аргументы складываются или вычитаются:

где

Что происходит с векторами при перемножении комплексных чисел?

На рис. 15.4 мы видим, что при умножении длина вектора возросла в с2 раз, а аргумент увеличился на α2.Рассматривая комплексное число как вектор, мы приходим к следующему выводу.

При умножении вектора на комплексное число аеjα , вектор растягивается в а раз и поворачивается на угол α .

Произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля комплексного числа:

или

Иногда приходится производить умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме. Перемножение выполняется по правилам умножения многочленов с учетом того, что j2 = -1

При делении, чтобы получить результат, необходимо избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Этого можно достичь умножением числителя и знаменателя на сопряженный знаменатель:

где

Почему комплексные числа в Python обозначаются ‘j’ вместо ‘i’?

Я знаю, что это электротехническая конвенция, но мне все еще интересно, почему она была выбрана для Python. Я не знаю других языков программирования с литералами комплексных чисел, поэтому мне не с чем сравнивать, но знает ли кто-нибудь хоть один, который использует i?

python
Поделиться Источник Eli Rose 17 июля 2014 в 19:59
5 ответов
Почему комплексные числа являются примитивным числовым типом в Go?
Go определяет два числовых типа для комплексных чисел: complex64 и complex128 . Это редкость. Большинство языков программирования определяют комплексные числа как комбинацию вещественной и сложной части, а не включают для этой цели конкретный примитив. (Даже в теории групп комплексные числа…
Python обозначение комплексных чисел
Комплексные числа используют i для обозначения мнимой единицы . Кто-нибудь знает, почему Python использует j вместо этого?

49

По-видимому, это, как вы уже догадались, потому, что Python следует правилам электротехники. Вот обмен из выпуска Python bug tracker 10562 :
Боштян Меяк : В Python буква ‘j’ обозначает воображаемую единицу. Было бы здорово, если бы мы следовали математике в этом отношении и позволили мнимой единице обозначаться символом ‘i’.
Майкл Фоорд : Мы следуем за инженерией, которая использует j.
(Я собирался закрыть это как wontfix, но Антуан особенно заинтересован в том, чтобы Марк занимался этим вопросом…)
Марк Дикинсон : Просто чтобы добавить свои собственные мысли: ‘j’ для (не ) квадратного корня из -1 имеет, как указывает Майкл, историю использования в технике (особенно в электротехнике) и физике. Лично я бы предпочел ‘i’ ‘j’ здесь, но изменение его сейчас привело бы к (IMO) беспричинной поломке. Это действительно не кажется достаточно большой проблемой, чтобы из-за нее стоило поднимать шум.
…
Гораздо позже:
Гвидо ван Россум : Это не будет исправлено. Во-первых, буква ‘i’ или верхний регистр ‘I’ слишком похожи на цифры. То, как числа анализируются либо синтаксическим анализатором языка (в исходном коде), либо встроенными функциями (int, float, complex), никоим образом не должно быть локализуемым или настраиваемым; это вызывает огромные разочарования в будущем. Если вы хотите анализировать комплексные числа, используя ‘i’ вместо ‘j’, у вас уже есть множество доступных решений.
Поделиться Bill the Lizard 17 июля 2014 в 20:11

15

Python принял конвенцию, используемую инженерами-электриками. В этом поле i используется для представления тока и использования j в качестве квадратного корня из -1.
Была зарегистрирована ошибка , чтобы изменить его на i в Python 3.3. Это было решено как «WONTFIX» с этим рассуждением Гвидо ван Россума :
Это не будет исправлено. Во-первых, буква ‘i’ или верхний регистр ‘I’ слишком похожи на цифры. Способ, которым числа анализируются либо синтаксическим анализатором языка (в исходном коде), либо встроенными функциями (int, float, complex) не должны быть локализуемыми или настраиваемыми каким-либо образом; это требует огромных разочарований в будущем. Если вы хотите анализировать комплексные числа, используя ‘i’ вместо ‘j’, у вас уже есть множество доступных решений.
Поделиться Andy 17 июля 2014 в 20:09

10

Чтобы ответить: «Кто-нибудь знает какие-либо [другие языки программирования с литералами комплексных чисел], которые используют i?»
Да, C++ начиная со стандарта C++14. Однако вы должны использовать правильное пространство имен:
#include <complex> using namespace std::complex_literals; std::complex<double> z = 2 + 3i;
Поделиться Nick Matteo 30 мая 2016 в 13:53
Комплексные числа в Cython-I или 1j?
Всякий раз, когда я пытаюсь сделать простую сложную арифметику в Cython, я, кажется, получаю некоторые накладные расходы Python; имеет ли это какое-либо отношение к использованию Pythonic 1j ? На данный момент я не могу найти никакого способа импортировать воображаемую единицу в стиле C в Cython….
Сделать Matlab печати сложного агрегата, как «j» вместо «Я»
Я хочу распечатать сложные данные в текстовый файл с помощью Matlab. После этого я хочу прочитать данные с помощью Python (например, через функцию open()). Однако Matlab выводит комплексные числа следующим образом 1+1i но Python хотел бы получить его в виде 1+1j Как я могу заставить Matlab…

0

j (не J) используется в электротехнике, как упоминалось ранее. i для тока: да, для тока используются как I (dc), так и i (ac).
Поделиться Oleksii 30 мая 2016 в 13:42

0

i в электротехнике обычно используется для i(t) или мгновенного тока. I — для установившегося состояния DC (не сложного) или rms значений тока AC. Кроме того,пространственные координаты обычно выражаются как i,j,k, но для двумерных элементов i, j-это все, что нужно, и «i» отбрасывается, поэтому перпендикуляр «j» используется, как в 4j3 против 4+3i или 4i3-Смотрите, что это не 413 с первого взгляда. J распознает эту нотацию при обработке комплексных чисел. Как вышедший на пенсию профессор EE — мне нравится использовать «j», так как для плотности тока используется «J».
Поделиться user10973708 27 января 2019 в 05:08
Похожие вопросы:

Можно ли писать векторы в формате i,j,k?
Я понимаю, что можно было бы сделать что-то вроде i = numpy.array([1,0,0]) j = numpy.array([0,1,0]) k = numpy.array([0,0,1]) a = 2*i + 5*j + 9*k но можно ли использовать подобный синтаксис для того,…

Отображение cvMatrix, содержащего комплексные числа (CV_64FC2)
Я новичок в OpenCV, и я хотел бы сравнить результаты программы python с моими расчетами в OpenCV. Моя матрица содержит комплексные числа, так как ее результат a cvDFT. Python хорошо обрабатывает…

Как читать комплексные числа из файла с помощью python
Я хочу прочитать из файла набор комплексных чисел в массив, используя Python. Я знаю, как это сделать только для целых чисел. Я попробовал это сделать ,но когда я запускаю его, он говорит: complex()…

Почему комплексные числа являются примитивным числовым типом в Go?
Go определяет два числовых типа для комплексных чисел: complex64 и complex128 . Это редкость. Большинство языков программирования определяют комплексные числа как комбинацию вещественной и сложной…

Python обозначение комплексных чисел
Комплексные числа используют i для обозначения мнимой единицы . Кто-нибудь знает, почему Python использует j вместо этого?

Комплексные числа в Cython-I или 1j?
Всякий раз, когда я пытаюсь сделать простую сложную арифметику в Cython, я, кажется, получаю некоторые накладные расходы Python; имеет ли это какое-либо отношение к использованию Pythonic 1j ? На…

Сделать Matlab печати сложного агрегата, как «j» вместо «Я»
Я хочу распечатать сложные данные в текстовый файл с помощью Matlab. После этого я хочу прочитать данные с помощью Python (например, через функцию open()). Однако Matlab выводит комплексные числа…

Python оператор экспоненты и комплексные числа
Почему python возвращает print(type(-1**0.5)) float вместо complex ? Получение квадратного корня из отрицательного целого числа float всегда математически рассматривают как комплексные числа. Как…

Python Тригонометрические Функции Возвращают Комплексные Числа?
Я пишу код, который принимает степень поворота двигателя и использует эти данные для вычисления расстояния, пройденного колесами (используя расстояние = количество оборотов * расстояние, пройденное…

Почему существует расхождение в вычислительной мощности матрицы, имеющей комплексные числа?
Я пытаюсь найти 6-ю степень следующей матрицы 2 X 2, имеющей комплексные числа: Ля = ([[j, 0], [1, -j]]) И результаты отличаются, когда я делаю это вручную и использую Python 3.7 Когда я делаю это…
Решение задач и курсовых по электротехнике Сайт Электротехника и электроника на «пять»
В общем случае алгебраическая форма записи комплексной величины выглядит следующим образом:
x = a + i*b
Но это математическая запись. В электротехнике принято мнимую единицу обозначать не «i», а буквой «j» (это сделано для того, чтобы не было путаницы с токами, которые чаще всего и обозначаются латинской буквой «i»). Тогда в электротехнике вы скорее всего увидите запись:
x = a+j*b
При этом мнимая единица может стоять как первым множителем, так и вторым. То есть это же число можно записать:
x = a+b*j
Часть комплексного числа без мнимой единицы называется «Действительной» и чаще всего обозначается Re (от английского Real — действительный, настоящий)
Часть комплексного числа с мнимой единицой называется также «Мнимой» и обозначается Im (от английского Imaginary — воображаемый)
Что касается показательной формы записи, то в она обычно выглядит так:
x=A*e^jφ
Здесь буква «А» — модуль величины, буква «е» ничего не значит и просто указывает, что это показательная форма записи (так как остальные данные записаны в показатель степени). Буква «j» в степени тоже просто обозначает комплексное число, а вот «φ» — это угол в градусах или радианах.
Чтобы легко понять как эти формы записи связаны друг с другом, достаточно рассмотреть изображение вектора на комплексной плоскости:
Очевидно, что такой вектор можно задать, указав его длину и угол поворота — это и есть показательная форма записи комплексных числел. То, что в нашем примере обозначено буквой «А» — длина вектора, а число в показателе степени — угол поворота
Еще один способ точного описания вектора — указать его проекции на координатные оси. Например «отложим пять единиц по горизонтальной оси и три по вертикальной». Именно так и работает алгебраическая форма записи:
Тогда становится понятно — чтобы перевести из алгебраической формы записи в показательную, нужно определить длину вектора и угол его поворота. Длина вектора определятся, исходя из того, то сам вектор это гипотенуза прямоугольного треугольника, а его проекции — катеты. Тогда по закону Пифагора:
Поскольку тангенс угла есть отношение противолежащего катета к прилежащему:
Можно легко определить нужный угол:
Разберем на практическом примере. Пусть в алгебраической форме задано значение тока:
Необходимо записать это число в показательной форме. Здесь действительная чатсть Re(I)=7, мнимая часть Im(I)=16. Сначала определим длину вектора (говоря по-другому — модуль тока):
Теперь рассчитаем угол поворота вектора:
Записываем результат:
Все весьма несложно. Однако, существует один хитрый момент, который нужно иметь ввиду. Предположим, нам задан задан ток в алгебраической форме I=-3-j3. Построим его на комплексной плоскости для наглядности:
С определением длины вектора трудностей не возникнет. Однако, как только мы попытаемся определить угол, то увидим:
Очевидно, угол здесь не может быть 45 градусов. Он должен быть или минус 135 или плюс 225 градусов. Так происходит из-за того, что в формуле арктангенса оказались два отрицательных числа. Грубо говоря, знак «минус» сокращается и арктангенс показывает тот же угол, что и при положительных значениях. Чтобы избежать такой ошибки, досточно ввести правило на случай отрицательной действительной части:
Итак, простой алгоритм перевода алгебраической формы записи комплексного числа в показательную:
Определяем длину вектора по правилу Пифагора
Рассчитываем угол для показательной формы. При этом, если действительная часть числа отрицательна, к получившемуся значению добавляем 180 градусов (или величину π/2, если считаем в радианах)
Записываем итоговое выражение
Буквенные обозначения употребляемых в электротехнике величин
Буквенные обозначения наиболее употребляемых в электротехнике величин (ГОСТ 1494-77)
Примечания: 1. Запасные обозначения применяются, когда главные обозначения использовать нерационально, например, если могут возникнуть недоразумения вследствие обозначения одной и той же буквой разных величин. 2. Мгновенные значения ЭДС, электрического напряжения, потенциала, тока, плотности тока, электрического заряда, мощности, электромагнитной энергии следует обозначать соответствующими строчными буквами. 3. Для амплитудных значений величин, являющихся синусоидальными функциями времени, применяется нижний индекс ш (например, 1т).

Наименование величины
Обозначение
главное
запасное
1
2
3
Емкость электрическая
С
—
Заряд электрический
Q
—
Индуктивность взаимная
м
Lmn
Индуктивность собственная
L
—
Индукция магнитная
В
—
Коэффициент затухания
6

Коэффициент магнитного рассеивания
ст

Коэффициент мощности при синусоидальных напряжении и токе
cosφ

Коэффициент трансформации
п

Коэффициент трансформации трансформатора напряжения (TH)
К
Ки
Коэффициент трансформации трансформатора тока (ТТ)
К
Кт
Мощность, мощность активная
Р
—
Мощность полная
S
Ps
Мощность реактивная
Q
PQ
Напряжение электрическое
и
—
Напряженность магнитного поля
н

Напряженность электрического поля
Е
—
Период колебаний электрической или магнитной величины
Т

1
2
3

Плотность тока
J
—

Постоянная времени электрической цепи
т
т

Постоянная магнитная
Цо
—

Постоянная электрическая
So
—

Поток магнитный
Ф
—

Потокосцепление
V
—

Проводимость магнитная
Л
—

Проводимость электрическая активная
G
g

Проводимость электрическая полная
Y
—

Проводимость реактивная
В
ь

Сдвиг фаз между напряжением и током
Ф
—

Сила коэрцитивная
Не
—

Сила магнитодвижущая (МДС) вдоль замкнутого контура
F
Fm

Сила электродвижущая (ЭДС)
Е
—

Скольжение
s
—

Сопротивление магнитное
Rm
rm

Сопротивление электрическое, то же постоянному току, то же актив

ное
R
г

Сопротивление электрическое полное
Z
—

Сопротивление электрическое реактивное
X
X

Сопротивление электрическое удельное
Р

Ток
I

Частота колебаний электрической или магнитной величины
f
У

Частота колебаний угловая электрической или магнитной величины
со
Q

Число витков
N
W

Число пар полюсов
Р
—

Число фаз многофазной системы
m

Энергия электромагнитная
W

Электротехника и основы электроники
93
3. Определяем комплексные сопротивления.
•
в алгебраической форме:
Z
1
= R + jX
L
=
4
+ j
3 Ом;
Z
2
= R =
4 Ом;
Z
3
= R – jX
C
=
4
– j
3 Ом.
•
в показательной форме:
Z
1
=
Z
2
= R =
4 Ом;
Z
3
=
4. Преобразуем схему (рис. П 1.16).
a
b
i
1
i
2
i
3
Z
1
Z
2
Z
3
U
1
U
2
U
a
b
i
1
Z
1
Z
23
U
1
U
2
U
i
1
Z
U
Рис. П 1.16. Свёртка схемы (замена сопротивлений на одно – эквивалентное)
5. Определим сопротивления схем.
Чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе, числитель и
знаменатель умножим на сопряженное комплексное число знаменателя,
т.е. на комплексное число, у которого знак перед мнимой частью изменен
на противоположный.
Z
23
=
2,34
e
–j
16,3
º
Ом,
Z
=
Z
1
+Z
23
=
6,246
+
j2,343Ом,
Z
= 6,67
e
j
20,6º
Ом.
6. Определим входной ток
Представим ток в алгебраической форме записи (по формуле Эйлера):
=
15cos9,4
º + j
15sin9,4
º =
14,8
+ j
2,45 A.
7. Определим напряжение
=Z
23
=
2,34
e
–j
16,3
º
·
15
e
j
9,4
º
=
35,1
e
–j
6,9
º
B,
=
35
,
1 cos6,9
º — j
35,1 sin6,9
º =
34,85
– j
4,22 B.
Калькулятор преобразования алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую • Электротехнические и радиотехнические калькуляторы • Онлайн-конвертеры единиц измерения
Два гармонических сигнала A и B (B опережает A на угол φ = 20) представлены на векторной диаграмме; амплитуда сигнала A больше амплитуды сигнала B
Этот калькулятор может преобразовывать комплексные числа из алгебраической формы в тригонометрическую (полярную) и наоборот.
Пример 1: Преобразовать импеданс в Z = 5 + j2 Ω из алгебраической формы в полярную.
Пример 2: Преобразовать напряжение из полярной формы U = 206 ∠120° V в алгебраическую.
Определения и формулы
При изучении колебательных процессов в электротехнике и электронике рассматривают источники гармонических сигналов и реактивные нагрузки. При этом для решения сложных уравнений приходится пользоваться не только вещественными, но и комплексными числами. Комплексные числа позволяют выполнять математические операции с комплексными амплитудами и их удобно применять для анализа цепей с синусоидальными токами и напряжениями. С помощью комплексных чисел можно выполнять арифметические действия с величинами, имеющими амплитуду и фазовый угол, а синусоидальные напряжения и другие параметры цепей переменного тока точно характеризуются амплитудой и фазовым углом. Подробнее о таких расчетах — в нашихКалькуляторах по электротехнике, радиотехнике и электронике and Электротехнических конвертерах.
Комплексное число z можно выразить в форме z = x + jy, где x и y — вещественные числа и j — мнимая единица, определяемая формулой j² = –1. В комплексном числе x + jy, величина x называется вещественной частью, а величина y называется мнимой частью. В электротехнике для обозначения мнимой единицы используется буква j, так как буквой i принято обозначать мгновенное значение тока. В математике вместо j обычно используют букву i.
Комплексное число z = x + jy = r ∠φ представлено в виде точки и вектора на комплексной плоскости
Комплексные числа визуально представляются в виде вектора на комплексной плоскости, которая является модифицированной прямоугольной системой координат. В ней на горизонтальной оси Re изображается вещественная часть комплексного числа, а на вертикальной оси Im — его мнимая часть. Любое комплексное число можно представить в виде смещения на горизонтальной оси (вещественная часть) и смещения на вертикальной оси (мнимая часть).
Комплексное число можно также представить на комплексной плоскости в полярной системе координат. Полярное представление состоит из вектора с абсолютной величиной r и угловым положением φ относительно горизонтальной оси 0° и выражается как
В электротехнике и электронике для описания изменяющегося во времени гармонического сигнала используется векторное представление в комплексной форме в полярных координатах, называемое также комплексной амплитудой и фазором (от англ. phase vector — фазовый вектор). Длина вектора представляет амплитуду синусоидальной функции, а угол φ представляет угловое положение вектора. Положительные углы измеряются от начальной оси 0° в направлении против часовой стрелки, а отрицательные углы — по часовой стрелке. Особенно популярен этот метод в учебниках по теоретическим основам электротехники и основам теории цепей на английском языке. В этом их отличие от соответствующих учебников на русском языке, где используется иной подход к анализу. Причем, в отличие от учебников на русском языке, в англоязычной литературе принято обозначение комплексных чисел в полярной системе координат с углом: z = x + jy = re^jφ = r∠φ.
Поскольку представление комплексного числа в полярных координатах основано на прямоугольном треугольнике, для определения амплитуды и фазового угла комплексного числа можно воспользоваться теоремой Пифагора, как описано ниже.
Для преобразования из прямоугольных координат x, y в полярные координаты r, φ, используйте следующие формулы:
Если эти формулы используются для электротехнических расчетов (см. Калькулятор мощности переменного тока and Калькулятор мощности трехфазного тока), то x всегда положительно, а y положительно для индуктивной нагрузки (ток отстает от напряжения) и отрицательно для емкостной нагрузки (ток опережает напряжение). В этом случае для емкостных нагрузок углы должны получаться отрицательными в диапазоне –90°≤φ≤0 и их не корректируют, как описано в приведенных выше формулах (то есть, не добавляют 360°).
Преобразование из полярных координат r, φ в прямоугольные coordinates x, y, выполняется по формулам:
где
Автор статьи: Анатолий Золотков
Теоретический вопрос о мнимой единице «j» (анализ цепей переменного тока)
Если вы поставите знак минус перед цифрой «5», она станет «-5».
Попробуйте взглянуть на это по-другому. Попробуйте подумать, что он поворачивает число «5» (привязанное к началу координат отрезком веревки длиной 5) на 180 градусов, чтобы получить «-5»
.
ОК, пока? Отрицательные знаки такие же, как поворот на 180 градусов …
Почему бы не расширить это, чтобы создать что-то, что вы можете «наклеить» перед положительным числом, которое поворачивает его на 90 градусов — в EE это обычно называется «j», и оно действует, чтобы повернуть значение (относительно начала координат) на 90 градусов против часовой стрелки i.е. если вы сделаете это дважды (j * j), вы получите 180 градусов («-«).
Из этой жемчужины знаний вы можете поэтому сказать j * j = -1, следовательно, j = \ $ \ sqrt {-1} \ $
Так же, как знак минус может повернуть любое положительное значение на 180 градусов, он может повернуть любой вектор или вектор на 180 градусов. То же самое относится к оператору j — он поворачивает любой вектор или вектор на 90 градусов против часовой стрелки.
РЕДАКТИРОВАТЬ — забытая часть вопроса: —
подставив j в полное сопротивление конденсатора.Помните, что основная формула для конденсатора Q = CV и, следовательно, дифференцируя переменные, мы получаем: —
\ $ I = \ dfrac {dQ} {dt} = C \ dfrac {dV} {dt} \ $
Это говорит нам о том, что для синусоидального напряжения, приложенного к конденсатору, ток также будет синусоидальным, но дифференцированным в косинус следующим образом: —
Если вы попытаетесь вычислить импеданс (V / I) конденсатора из отношения V-I, у вас возникнут проблемы, потому что, когда я перехожу через ноль, V НЕ равен нулю, поэтому вы получаете бесконечности.Если, с другой стороны, вы примените «j», чтобы привести ток в фазу с напряжением, математика работает отлично — ток и напряжение выровнены, а импеданс, основанный на мгновенных значениях V / I, имеет смысл.
Я знаю, что вы только начинаете, поэтому я постарался, чтобы это было точно и просто (может быть, для некоторых слишком просто?).
Если вы посмотрите на катушку индуктивности, «j» можно применить к напряжению, чтобы выровнять его с током, поэтому «j» находится в числителе для индуктивного реактивного сопротивления, а j — в знаменателе для емкостного реактивного сопротивления.Здесь есть нюансы, которые, надеюсь, обретут смысл по мере того, как вы узнаете больше — на самом деле не случайно, что «j», кажется, «следует» за омегой, когда дело доходит до импеданса — мое объяснение не покрывает этого, как и ваш вопрос!
ac — Деление в полярной форме
Фотон, вероятно, дал вам слишком краткий ответ. Но все равно правильно. Я дам слишком длинный ответ. (TL; DR)
Упрощенный геометрический подход
Лучше всего думать о величине (длине гипотенузы или радиус-вектора) и ее угле как о окружности и определениях тригонометрии, которые математики установили как «стандартные».»При нулевом градусе вектор указывает вправо от точки (0,0). В 90 градусах вектор указывает прямо вверх от точки (0,0). И т.д. круг.
Теперь, если вы поместите это значение в делитель рационального числа, тогда вы измените направление вращения. Теперь, когда вы увеличиваете угол, результирующая величина вектора движется по часовой стрелке. Таким образом, вы должны отрицать угол, указанный в делителе, потому что результирующее выражение имеет угол, указанный в числителе (с делителем 1), и этот угол, по соглашению, должен иметь эффект вращения против часовой стрелки.{i \ theta} = \ operatorname {cos} \ left (\ theta \ right) + i \ cdot \ operatorname {sin} \ left (\ theta \ right) $$
Эта формула прекрасно соответствует стандартным определениям тригонометрии, используемым для единичной окружности на декартовом графе. Единственная странность заключается в использовании \ $ i \ $ (который отображается на графике по старой оси \ $ y \ $). На самом деле это намного больше, поскольку использование \ $ i \ $ действительно имеет дело с вращение и подход (x, y), по сути, нет. Также было проведено много исследований по вращению в 3D, результатом которого в конечном итоге стали кватернионы.Фактически, некоторые математики пытались сделать кватернионы «стандартом». Но было подавляющее сопротивление, и оно так и не появилось.
Я хотел бы порекомендовать вам просмотреть замечательную формулу Эйлера 3Blue1Brown с вводным видео по теории групп. Вы почти не можете избежать многого из этого, и он почти волшебник, представляя его, так что вы почти чувствуете это своими кишками, чтобы оно никогда не покидало вас. Пожалуйста, найдите минутку и посмотрите это. Это действительно очень поможет.
Мати подход
Комплексные числа имеют как декартову запись, так и две эквивалентные полярные записи. Декартово обозначение \ $ a + b \: i \ $ очень сложно использовать в электронике, но его очень легко построить. Обычно используется полярная нотация \ $ r \ left [\ operatorname {cos} \ left (\ theta \ right) + i \: \ operatorname {sin} \ left (\ theta \ right) \ right] \ $.
В электронике \ $ i \ $ заменяется на \ $ j \ $ (соглашение), а \ $ \ theta \ $ заменяется на \ $ \ omega \ $ (снова соглашение). Я не знаю его истории. , хоть.s \ $, что на самом деле очень компактно записано.
Примечание: умножение в комплексной области объединяет вращения , а также растягивает (математики называют масштабированием ) за одно действие. В декартовых обозначениях довольно сложно выработать исходный текст. углы и результирующий угол поворота. Но в полярных обозначениях влияние умножения на вращение довольно легко понять. (Ты нужно только сесть и попробовать вращение на угол \ $ \ theta \ $, но используя только декартовы обозначения, чтобы понять, что я имею в виду.)
Теперь предположим, что мы решили использовать силу Эйлера в электронике. Это неплохая идея, потому что электроника имеет величины (напряжения, токи и т. Д.) И имеет частотно-зависимое вращение. «Эйлер» — своего рода блюдо с голубой каемочкой для подобных вещей. Так что это было естественно. Напряжение постоянного тока может быть записано как \ $ \ sigma = \ operatorname {ln} \ left (V \ right) \ $ и \ $ \ omega = 0 \ $ (также могут использоваться другие постоянные значения для \ $ \ omega \ $ для DC — важный бит заключается в том, что в нем нет переменной \ $ f \ $ для частоты.) Напряжение переменного тока может быть \ $ \ sigma = \ operatorname {ln} \ left (V_0 \ right) \ $ и \ $ \ omega = 2 \ pi \: f \ $. (Хотя, как только вводится время, использование \ $ \ sigma = \ operatorname {ln} \ left (V_0 \ right) \ $ приведет к зависящей от времени спирали, поэтому при вводе времени обычно устанавливается \ $ \ sigma = 0 \ $ в электронике, за исключением случаев, когда спиралевидность также важна для решения какого-либо вопроса. \ sigma \ $, поскольку \ $ \ sigma = 0 \ $ означает векторную величину \ $ r = 1 \ $.{s \: t} \ $, где вращение теперь является плавной функцией времени и величины вектора (как функция времени) остается постоянной только , когда \ $ \ sigma = 0 \ $. (В противном случае это будет спиралью наружу [обычно не очень хорошо в электроника] или внутрь [демпфировано])
При анализе АЧХ величина вектора растяжения аспект не используется. Итак, \ $ \ sigma = 0 \ $ и только \ $ j \: \ omega \ $ (скорость вращения) часть сохраняется. Для такого анализа все, что требуется \ $ s = j \: \ omega \ $ (as \ $ \ sigma = 0 \ $.)
j Оператор и его значение
Что такое оператор j?
j Оператор — математический оператор, который при умножении на любой вектор поворачивает этот вектор на 90 градусов против часовой стрелки. Подобно тому, как символы x, +, — и т. Д. Используются с числами для обозначения определенных операций, которые должны быть выполнены с этими числами, оператор j используется для обозначения поворота вектора на 90 ° против часовой стрелки.
Оператору
j присвоено значение √ (-1).Таким образом, это мнимое число. Двойное действие j на вектор вращает его против часовой стрелки на 180 °. Таким образом, направление вектора меняется на противоположное, когда над вектором выполняется двойная операция j. Следовательно, мы можем написать
Объяснение j Оператор:
Когда оператор j работает с вектором E , мы получаем новый вектор j E . Этот новый вектор j E смещен от исходного вектора E на 90 ° против часовой стрелки.Можно отметить, что величина вектора остается неизменной, когда вектор управляется j. Это показано на рисунке ниже.
Если «j» применяется к вектору j E , новый вектор j ₂ E будет разнесен на 180 ° против часовой стрелки. Это означает, что новый вектор j ₂ E противоположен исходному вектору E . Следовательно, мы можем сказать, что, j ² E = — E . Для лучшего понимания вы можете обратиться к рисунку ниже.
Аналогично, когда j ² E работает с j, созданный таким образом новый вектор (j ³ E ) будет на 270 ° впереди E. Обратите внимание, что этот новый вектор противоположен вектор jE. Следовательно, мы можем сказать, что j ³ E = jE. Аналогично, j ⁴ E = E.
Из приведенного выше обсуждения мы можем перечислить некоторые важные свойства оператора j. Они следующие:
j ² = -1
j ³ = (j ²) x j = -j
j ⁴ = (j ²) ² = 1
(1 / j) = -j
Значение:
В электротехнике оператор j имеет большое значение и применение.Вы часто встретите этого оператора в электрических машинах, энергосистемах, сетях переменного тока и т. Д.
Как мы знаем, полное сопротивление цепи является сложной величиной, то есть состоит из действительной и мнимой частей. Действительная часть означает резистивную часть, тогда как мнимая часть означает реактивную часть импеданса. Поскольку ток через реактивное сопротивление либо отстает, либо опережает напряжение на 90 °, это реактивное сопротивление отображается с помощью оператора j. Ток через сопротивление остается в фазе с напряжением, поэтому сопротивление принимается в качестве эталона, а реактивное сопротивление (скажем, X) поворачивается относительно этого задания при работе с оператором j.Следовательно, импеданс Z записывается как Z = (R ± jX) . Можно отметить, что емкостное и индуктивное сопротивление равны (-j / ωC) и jωL.
Определение оператора J
Оператор j — это «математический символ, который используется для представления комплексных чисел». Например, оператор j используется в виде x + jy . Где x — действительное число, а y — комплексное число.
Оператор j играет жизненно важную роль в анализе и расчетах трехфазных несимметричных нагрузок, симметричных повреждений, цепей переменного тока и векторных диаграмм в электротехнике.
См. Дополнительные разделы по электротехнике
Видео по электротехнике
01:00
учебник
Вход
01:00
учебник
Импеданс
01:00
учебник
Делители напряжения
01:00
учебник
Напряжение
01:00
учебник
двоичный
01:00
учебник
Переменный ток (AC)
01:00
учебник
Аналоговые схемы
01:00
учебник
Аналоговый сигнал
01:00
учебник
Постоянный ток (DC)
Получите определения ключевых инженерных концепций от Chegg
В инженерном деле существует множество ключевых понятий и терминов, которые студенты должны знать и понимать.Часто бывает трудно определить самые важные инженерные концепции и термины, и даже после того, как вы их определили, вам все равно нужно понимать, что они означают. Чтобы помочь вам изучить и понять ключевые технические термины и концепции, мы определили некоторые из наиболее важных из них и предоставили для них подробные определения, написанные и составленные экспертами Chegg.
Комплексное электричество | plus.maths.org
Безопасное, безопасное, надежное и дешевое производство электроэнергии сопряжено с множеством проблем.Электричество сложно хранить в больших количествах, поэтому его обычно необходимо использовать сразу после того, как оно будет произведено. У нас также очень низкая устойчивость к перебоям в электроснабжении. Другие проблемы возникают из-за крайней взаимосвязанности электрической сети, что означает, что проблема в части сети быстро становится проблемой для всей сети.
В большинстве случаев процесс передачи электроэнергии протекает гладко. Однако были времена такого большого спроса, что электрическая сеть Великобритании была почти отключена, например, когда все кипятили свои чайники в перерыве во время полуфинала чемпионата мира 1990 года, когда Англия играла с Германией.
Современная сеть электроснабжения основана на изобретении Николаса Теслы прибора переменного тока (AC). В переменном токе ток и напряжение меняются со временем как волна, как показано ниже. Математически эти волны можно описать функциями синуса и косинуса.

Напряжение и ток переменного тока имеют вид
и,
, где — время, — частота 50 Гц, и — фаз, соответствующих волн (фаза описывает, насколько волна смещена по горизонтальной оси), и — амплитуды , соответствующих волн. (их рост).
Электроэнергия комплексная
Для представления переменного напряжения инженеры-электрики широко используют комплексные числа. Мнимое число удовлетворяет уравнению
который изначально считался не имеющим решения. Мнимые числа и их расширение, комплексные числа, были введены математиками в 18 веке, чтобы разобраться в этом уравнении, и первоначально считались крайне абстрактными математическими объектами, бесполезными.Однако они лежат в основе энергетики.
Причина этого — знаменитая личность Эйлера
, который позволяет нам легко описать переменный ток, а также его частоту и фазу. (Вы можете узнать больше о личности Эйлера здесь.)
Возвращаясь к нашему выражению чередования выше, мы видим, что переменное напряжение является действительной частью функции
Это, согласно тождеству Эйлера, равно
Удобно выразить это как
, и мы называем это выражение комплексным напряжением
.Это единственное комплексное число содержит две части информации, а именно амплитуду и фазу напряжения. Аналогичное выражение есть и для комплексного тока. Выражение напряжения и тока в виде комплексных чисел значительно упрощает математику электрических сетей и является важной частью обеспечения того, чтобы свет всегда оставался включенным.
Эта статья представляет собой отредактированную версию статьи Криса Бадда «Энергетическая математика». Вы можете прочитать статью полностью здесь.
Вы можете узнать больше о комплексных числах и о том, что с ними делать, в этом вводном пакете и в нашем пакете для учителей.
Операторы j и a в области электротехники

Мы уже обсуждали вектор и его простые свойства. Возможно, пришло время исследовать еще немного. Мы приложили все усилия, чтобы сделать его таким же простым, как в нашей предыдущей статье. Прежде чем продолжить, я хочу пояснить, что здесь мы в основном озабочены умножением векторов и операторами ‘j’ и ‘a’.Эта статья также поможет нам лучше понять использование симметричных компонентов (для анализа несимметричных 3-фазных систем) и, как следствие, других явлений в трансформаторах и цепях переменного тока. Мы знаем, что вектор в форме x + j y нарисован как стрелка от начала координат до точки (x, y).
До сих пор я представлял вектор в форме x + j y, также называемой прямоугольной.Вектор также может быть представлен в полярной форме. В полярной форме нам также нужны два параметра, это длина вектора (r) и угол (phi), который он составляет с горизонтальной осью + ve. См. Рисунок-A.
Умножение фазора
Я уже обсуждал использование j в векторном представлении.
Мы знаем, что j равно квадратному корню из -1.
или j = sqrt (-1), поэтому j.j = -1
Теперь рассмотрим два вектора: A = 2 + j 3 и B = -1 + j 2.
А.В = (2 + j 3). (-1 + j2) = -2 + j 4 -j 3 + j.j (3.2) = -2 + j 1-6 = -8 + j 1
Непосредственно умножьте каждую из действительных и мнимых частей из A на каждую из B. Это просто!
В полярной форме размножить еще проще.См. Пример ниже. Как показано на рисунке-A, ниже мы представляем векторы A и B в полярной форме. Длина вектора A равна 4, а с осью абсцисс составляет 20 градусов. Аналогично B имеет длину 3 единицы и составляет 40 градусов с положительной горизонтальной осью.

(20, 40 и 60 — углы в градусах)
Умножение в полярной форме стало чрезвычайно простым.
Просто умножьте длины и сложите углы, чтобы получить новый вектор.
Вы можете преобразовать его обратно в прямоугольную форму.
А.B = 12 (cos 60 + sin 60)
j и операторы
Что мы получим, если умножить вектор на j?

например
если A = 3 + j 4
Тогда j A = j (3 + j 4) = j 3 + j.j 4 = -4 + j 3 (Поскольку j.j = -1)
Теперь нарисуйте вектор -4 + j 3. Можно заметить, что угол между 3 + j 4 и -4 + j 3 составляет 90 градусов.

Любой вектор, умноженный на j, повернет исходный вектор на 90 градусов против часовой стрелки.Теперь, если результирующий вектор снова умножается на j, то вектор снова поворачивается на 90 градусов против часовой стрелки, и так далее.
В нашем примере j (-4 + j 3) = -j4 -3 = — (3 + j 4), что противоположно (p + j q). Итак, очевидно, что вектор снова повернулся на 90 градусов против часовой стрелки. Смотрите рисунок. Каждый раз, когда мы применяем j, мы поворачиваем вектор против часовой стрелки на 90 градусов.
Теперь рассмотрим еще один оператор «а» (стандартный символ). Он может поворачивать вектор против часовой стрелки на 120 градусов. дважды применяя «a», вектор поворачивается на 240 градусов, при трехкратном применении исходный вектор поворачивается на 360 градусов или один полный оборот, так что исходный вектор.
Понятно, что если вектор повернуть на 120 градусов (величина остается прежней), то в полярной форме
a = 1 / 120deg
в прямоугольной форме a = 1.cos 120 + j 1. sin 120
или a = -0,5 + j 0,866
см. Рис-C, как вектор A поворачивается на 120 градусов при применении с оператором a.

Я покрасил их в красный, зеленый и синий цвета, чтобы вспомнить нашу сбалансированную трехфазную систему.

Очевидно, что мы можем получить векторы B и C, многократно применяя оператор a к вектору A.
В противном случае мы можем сказать, что сбалансированная система последовательности A-B-C может быть одинаково представлена только в терминах «a» и «A». Оператор a будет больше использоваться в нашей статье для симметричных компонентов.
Комплексные числа в Учебнике по электротехнике
Комплексные числа
Обзор
FOIL & Conjugate
Напряжение, сопротивление и ток
Умножение с использованием V равно I • R
Деление с использованием V равно I • R
Комплексное число — это число в форме, содержащее как действительную, так и мнимую части.За мнимой частью следует мнимая единица.
Одно из применений комплексного числа — в электротехнике (а также в других инженерных и научных областях). Комплексные числа используются в расчетах с участием электрических токов, которые будут рассмотрены в примерах ниже. В зависимости от ситуации нам нужно будет либо умножить, либо разделить два комплексных числа. Во время этих процессов мы используем FOIL и комплексные конъюгаты, чтобы найти наши решения. Давайте кратко рассмотрим процесс FOIL и комплексные конъюгаты.
FOIL означает «Первый», «Внешний», «Внутри», «Последний» и относится к терминам, которые умножаются вместе для формирования отдельных дополнений к продукту. Вот пример использования FOIL в биномиальном умножении:

При использовании FOIL с двумя комплексными числами один из наших терминов будет термином. Это упрощается до действительного числа, потому что
При делении двух комплексных чисел мы используем комплексное сопряжение знаменателя, чтобы создать задачу, включающую умножение дробей.Комплексное число и сопряженное с ним число отличаются только знаком, соединяющим действительную и мнимую части. Вот таблица комплексных чисел и их комплексных сопряжений.
Мы используем комплексное сопряжение знаменателя, чтобы получить дробь, эквивалентную 1. Как мы увидим в нашем примере деления, это исключает все мнимые числа из знаменателя.
При работе с электрическими цепями инженеры-электрики часто применяют следующую формулу для связи напряжения, тока и сопротивления:

Напряжение измеряется в вольтах, ток измеряется в амперах, а сопротивление измеряется в омах.
Обозначения, которые инженеры используют для комплексных чисел, немного отличаются от того, что мы привыкли видеть. Как правило, есть две большие разницы:
Инженеры обычно используют вместо, чтобы не путать мнимую единицу с переменной для тока. Поэтому имейте в виду в этих примерах, что всякий раз, когда мы видим, это представляет нашу воображаемую единицу и имеет значение
В дополнение к использованию, эта переменная также часто записывается перед коэффициентом, а не после.Например, комплексное число можно записать как.
Электрическая цепь имеет ток в ампер и сопротивление в Ом. Какое напряжение в цепи?
Чтобы найти напряжение, нам нужно умножить ток на сопротивление, получив уравнение:
Напомним, что и взаимозаменяемы, поэтому мы можем заменить все экземпляры на при умножении. Так можно записать как и можно записать как.
Мы можем найти произведение тока и сопротивления с помощью ФОЛЬГИ:
Мы можем выразить напряжение как: вольт.
Электрическая цепь имеет напряжение в вольтах и сопротивление Ом. Какой ток в цепи?
Здесь нам нужно будет разделить напряжение на сопротивление, чтобы получить выражение для тока ():

Чтобы решить задачи комплексного деления чисел, мы умножаем дробь на другую дробь, эквивалентную 1, с комплексным сопряжением знаменателя в качестве числителя и знаменателя второй дроби:
Умножим числители и знаменатели отдельно:
Наконец, мы можем упростить дробь целиком:

Разделить на 29
В цепи есть ток в амперах.
Комплексное число , плюс bi, содержит действительную часть a, мнимую часть b и мнимую единицу i. При просмотре FOIL и конъюгата конъюгат бинома является биномом с противоположными знаками между членами. Инженеры-электрики часто используют комплексные числа при работе с уравнением, связывающим напряжение , сопротивление и ток . Инженеры и ученые часто используют букву j для обозначения мнимого числа i, чтобы не путать строчную i с прописной i, которая является переменной для тока.FOIL используется при решении умножения с использованием V равно I • R , а конъюгаты используются при решении деления с использованием V, равного I • R , так что знаменатель не имеет мнимых чисел.
.
No related posts.

Разное

+7 495 120-13-73 | 8 800 500-97-74